Soal OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013 www.olimattohir.blogspot.com

Soal OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang

OSN SMP Tingkat Nasional Tahun 2013
Bidang Matematika
Waktu: 2x90 Menit
A. HARI PERTAMA
1.

1
Diketahui f adalah suatu fungsi sehingga f(x) + 2 f   = 3x untuk setiap x ≠ 0. Carilah nilai x
 x
yang memenuhi f(x) = f(–x)

2.

Diketahui ABC adalah segitiga lancip dengan titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran yang
berpusat di titik O. Titik P terletak pada sisi BC sehingga AP adalah garis tinggi segitiga ABC.
Jika ∠ABC + 300 ≤ ∠ACB, buktikan bahwa ∠COP + ∠CAB < 900.

3.

Tentukan semua bilangan asli a, b, dan c yang lebih besar dari 1 dan berbeda, serta memenuhi
sifat bahwa abc membagi habis bc + ac + ab + 2

4.

Misalkan A, B, dan P adalah paku-paku yang ditanam pada papan ABP. Panjaang AP = a satuan
dan BP = b satuan. Papan ABP diletakkan pada lintasan x1x2 dan y1y2 sehingga A hanya bergerak
bebas sepanjang lintasan x1x2 dan hanya bergerak bebas sepanjang lintasan y1y2 seperti pada
gambar berikut. Misalkan x adalah jarak titik P terhadap lintasan y1y2 dan y adalah terhadap
x2 y 2
lintasan x1x2. Tunjukkan bahwa persamaan lintasan titik P adalah 2  2  1
b
a
y2

P
B

x1

A

x2

y1

http://olimattohir.blogspot.co.id/

1

Soal OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
5.

Terdapat tiga buah kotak A, B, dan C masing-masing berisi 3 bola berwarna putih dan 2 bola
berwarna merah. Selanjutnya dilakukan pengambilan tiga bola dengan aturan sebagai berikut :
1. Tahap ke – 1
Ambil satu bola dari kotak A
2. Tahap ke – 2

 Jika bola yang terambil dari kotak A pada tahap ke-1 berwarna putih, maka bola tersebut
dimasukkan ke kotak B. selanjutnya dari kotak B diambil satu bola. Jika yang terambil
adalah bola berwarna putih, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak C, sedangkan jika
yang terambil bola merah, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak A.


Jika bola yang terambil dari kotak A pada tahap ke-1 berwarna merah, maka bola tersebut
dimasukkan ke kotak C. selanjutnya dari kotak C diambil satu bola. Jika yang terambil
adalah bola berwarna putih, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak A, sedangkan jika
yang terambil bola merah, maka bola tersebut dimasukkan ke kotak B.

3. Tahap ke – 3
Ambil masing-masing satu bola dari kotak A, B, dan C
Berapa peluang bahwa semua bola yang terambil pada tahap ke – 3 berwarna merah?

Disusun oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/

http://olimattohir.blogspot.co.id/

http://olimattohir.blogspot.co.id/

2

Soal OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
B. HARI KEDUA
6.

Apakah ada bilangan asli n sehingga n2 + 5n + 1 habis dibagi oleh 49? Jelaskan!

7.

Diketahui parabola y = ax2 + bx + c melalui titik (–3, 4) dan (3, 16), serta tidak memotong
sumbu-x. Carilah semua nilai absis yang mungkin untuk titik puncak parabola tersebut.

8.

Diketahui T.ABC adalah limas segitiga beraturan dengan panjang rusuk 2 cm. Titik-titik P, Q, R,
dan S berturut-turut merupakan titik berat segitiga ABC, segitiga TAB, segitiga TBC, dan segitiga
TCA. Tentukan volume limas segitiga beraturan P.QRS. (catatan : titik berat suatu segitiga adalah
perpotongan ketiga garis berat)

9.

Pada suatu acara diundang 13 orang tamu istimewa yang terdiri dari 8 orang pria dan 5 orang
wanita. Khusus untuk semua tamu istimewa tersebut disediakan 13 tempat duduk pada satu baris
khusus. Jika diharapkan tidak ada dua orang wanita yang duduk bersebelahan, tentukan banyak
posisi duduk yang mungkin untuk semua tamu istimewa tersebut

10. Sebuah tabel yang berukuran n baris dan n kolom akan diisi dengan bilangan 1 atau –1 sehingga
hasil kali semua bilangan yang terletak dalam setiap baris dan hasil kali semua bilangan yang
terletak dalam setiap kolom adalah – 1. Berapa banyak cara berbeda untuk mengisi tabel tersebut?

Disusun oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.

My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://olimattohir.blogspot.co.id/

http://olimattohir.blogspot.co.id/

3