Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013 (Hari Kedua) www.olimattohir.blogspot.com

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

OSN SMP Tingkat Nasional Tahun 2013
Bidang Matematika
Waktu: 2×90 Menit
B. HARI KEDUA
1.

Apakah ada bilangan asli n sehingga n2 + 5n + 1 habis dibagi oleh 49? Jelaskan!
Pembahasan:
(1) Jika n = 49a
n2 + 5n + 1

 (49a)2 + 5(49a) + 1
 49a(a + 5) + 1
Karena 49a(a + 5) habis dibagi 49, maka 49a(a + 5) + 1 tidak habis dibagi 49

(2) Jika n = 49a + 1
n2 + 5n + 1
 (49a + 1)2 + 5(49a + 1) + 1

 2401a2 + 98a + 1 + 343a + 5 + 1
 2401a2 + 343a + 343a + 7
 343a(a + 1) + 7
Karena 343a(a + 1) habis dibagi 49, maka 343a(a + 1) + 7 tidak habis dibagi 49
(3) Jika n = 49a – 1
n2 + 5n + 1
 (49a – 1)2 + 5(49a – 1) + 1
 2401a2 – 98a + 1 + 343a – 5 + 1
 2401a2 + 147a – 3
 49a(a + 3) – 3
Karena 49a(a + 3) habis dibagi 49, maka 49a(a + 3) – 3 tidak habis dibagi 49
Jadi, dapat disimpulkan tidak ada bilangan asli n sehingga n2 + 5n + 1 habis dibagi oleh 49

2.

Diketahui parabola y = ax2 + bx + c melalui titik (–3, 4) dan (3, 16), serta tidak memotong
sumbu-x. Carilah semua nilai absis yang mungkin untuk titik puncak parabola tersebut.
Pembahasan:
Diketahui persamaan parabola y = ax2 + bx + c melalui titik (–3, 4) dan (3, 16), diperoleh:
Untuk (–3, 4)  4 = a(–3)2 + b(–3) + c

 4 = 9a – 3b + c
..........(1)
Untuk (3, 16)  16 = a(3)2 + b(3) + c
 16 = 9a + 3b + c
..........(2)
Dari persamaan 2) dan 1), diperoleh:

http://olimattohir.blogspot.co.id/

1

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

9a – 3b + c = 4
9a + 3b + c = 16
-------------------- –
–6b = –12
b=2

..........(3)

sehingga persamaannya menjadi y = ax2 + 2x + c
dari persamaan 3) dan 1) diperoleh
9a – 3b + c = 4
 9a – 3(2) + c = 4
 c = 10 – 9a ..........(4)
Karena diketahui persamaan parabola tersebut tidak memotong sumbu-x, maka berakibat nilai dari
a > 0 dan diskrimannya: D < 0,
Untuk D < 0:
b2 – 4ac < 0
 22 – 4ac < 0
 4 – 4ac < 0
 ac > 1 ..........(5)
Dari persamaan 4) dan 5) diperoleh
c = 10 – 9a  a(10 – 9a) > 1  10a – 9a2 > 1
 9a2 – 10a + 1 < 0
 (9a – 1)(a – 1) < 0
 (9a – 1)(a – 1) = 0
1

Sehingga diperoleh a = dan a = 1
9




1
1
9
1
HP = {a | < a < 1}
9
b
b
D


Selanjutnya: mencari nilai absis dari titik puncak  
,  , yaitu x = 
2a

 2a 4a 
1
Dengan demikian diperoleh < a < 1
 – 9 < x < –1
9
Jadi, semua nilai absis yang mungkin adalah {x | – 9 < x < –1}
3.

x= 

1
a

Diketahui T.ABC adalah limas segitiga beraturan dengan panjang rusuk 2 cm. Titik-titik P, Q, R,
dan S berturut-turut merupakan titik berat segitiga ABC, segitiga TAB, segitiga TBC, dan segitiga
TCA. Tentukan volume limas segitiga beraturan P.QRS. (catatan : titik berat suatu segitiga adalah
perpotongan ketiga garis berat)
Pembahasan:
Perhatikan gambar ilustrasi berikut!
Diketahui T.ABC adalah limas segitiga beraturan, sehingga akan berlaku beberapa hal berikut ini!

T

T
T

2 cm

R

S
C

U

S
C

Q

Q

D
B

P
A

(a)

http://olimattohir.blogspot.co.id/

A

2 cm
(b)

B

A

E
B

P
(c)

2

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Perhatikan gambar (b) Garis AU adalah garis berat pada segitiga ABT sama sisi, sehingga  AUB
adalah siku-siku di U dan pada garis berat berlaku perbandingan AQ : QU = 2 : 1
..........(1)
Selanjutnya mencari panjang AQ dengan mencari terlebih dulu panjang AU (Pythagoras)
AU2 = AB2 – BU2  AU2 = 22 – 12
Sehingga AQ + QU =

 AU = BD =

3

..........(2)

3

Dari persamaan 1) dan 2) diperolah
1
2
AQ + QU = 3  AQ + AQ = 3  AQ =
3
2
3
Dimana AQ = BQ = TQ = BR = CR = TR = TA = AS = CS = AP = BP = CP =

2
3
3

Perhatikan gambar (c) Kemudian mencari tinggi limas (Pythagoras)
TP2 = TA2 – AP2

2

 TP2 = 22 – 
3
3


2

2

 TP2 = 22 – 
3
3

4
 TP2 = 4 –

3
2
 TP =
6
3

2

Sehingga volume limas segitiga beraturan T. ABC yaitu
1 1
Volume Limas T.ABC = x x AC x BD x TP
3 2
1 1
2
= x x2x 3 x
6
3 2
3
1
2
= x 3 x
2.3
3
3
1
2
= x3x
2
3
3
2
=
2
3
Selanjutnya perhatika gambar c) pada segitiga TPA, dengan persamaan 1) diperoleh
1
2
TS = BP = AQ =
3
3 dan SD = PD = QU =
3
3
Kemudian perhatikan limas T.ABC dengan P.QRS pada gambar a), keduanya adalah sebangun,
sehingga diperoleh:

Volume Limas P.QRS  PE 


Volume Limas T . ABC  PT 

3

3

 PE 
 Volume Limas P.QRS = 
 x Volume Limas T.ABC
 PT 
3

2
1
=  x
2
3
3
2
=
2
81
Jadi, volume limas segitiga beraturan P.QRS adalah

http://olimattohir.blogspot.co.id/

2
2 cm3
81

3

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

4.

Pada suatu acara diundang 13 orang tamu istimewa yang terdiri dari 8 orang pria dan 5 orang
wanita. Khusus untuk semua tamu istimewa tersebut disediakan 13 tempat duduk pada satu baris
khusus. Jika diharapkan tidak ada dua orang wanita yang duduk bersebelahan, tentukan banyak
posisi duduk yang mungkin untuk semua tamu istimewa tersebut

Pembahasan:
Menurut informasi dari soal bahwa Pada suatu acara diundang 13 orang tamu istimewa yang
terdiri dari 8 orang pria dan 5 orang wanita, sehingga mengatur tempat duduk 8 pria dalam satu
baris yaitu ada 8! cara. Sedangkan untuk kelima wanita tersebut dapat ditempatkan di sela - sela
tempat duduk laki - laki, yaitu ada 9 pilihan tempat duduk yang dapat dipilih oleh kelima wanita
tersebut, seperti pada tabel berikut
x

L

x

L

x

L

x

L

x

L

x

L

x

L

x

L

x

Keterangan: L adalah tempat duduk Pria
x adalah pilihan tempat duduk yang mungkin bagi Wanita
Sehingga cara mengatur tempat duduk kelima wanita tersebut dapat menggunakan aturan
permutasi, yakni: Prn =

n!
(n  r )!

 P59 =

9!
= 9 x 8 x 7 x 6 x 5= 15120
(9  5)!

Jadi, total banyak posisi duduk yang mungkin dari ketiga belas tamu istimewa tersebut
adalah 15120 × 8! cara.

5.

Sebuah tabel yang berukuran n baris dan n kolom akan diisi dengan bilangan 1 atau –1 sehingga
hasil kali semua bilangan yang terletak dalam setiap baris dan hasil kali semua bilangan yang
terletak dalam setiap kolom adalah – 1. Berapa banyak cara berbeda untuk mengisi tabel tersebut?
Pembahasan:
Berdasarkan informasi dari soal ada Sebuah tabel permainan angka berukuran n x n akan diisi
dengan bilangan 1 atau –1 sehingga hasil kali semua bilangan yang terletak dalam setiap baris dan
hasil kali semua bilangan yang terletak dalam setiap kolom adalah – 1. Untuk itu kita mencari pola
penyelesaiannya mukalia dari ukuran minimum, yakni sebagai berikut:
Untuk ukuran 1 × 1:
–1

ada 1 cara

Untuk ukuran 2 x 2:
1

–1

–1

1

–1

1

1

–1

http://olimattohir.blogspot.co.id/

ada 2 cara

4

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Untuk ukuran 3 x 3:
1

1

–1

–1

1

1

1

–1

1

–1

–1

–1

1

–1

1

1

–1

1

–1

–1

–1

–1

–1

–1

–1

1

1

1

1

–1

1

–1

1

–1

–1

–1

1

1

–1

–1

1

1

1

–1

1

1

–1

1

–1

1

1

1

1

–1

–1

1

1

1

1

–1

1

–1

1

1

–1

1

1

1

–1

–1

1

1

1

–1

1

–1

1

1

–1

–1

–1

1

1

–1

1

–1

1

–1

–1

–1

1

–1

1

–1

–1

–1

–1

–1

–1

–1

1

1

1

–1

1

1

1

–1

–1

–1

–1

–1

–1

–1

–1

1

1

1

1

–1

1

1

–1

–1

1

1

–1

1

1

1

1

–1

1

1

–1

–1

1

1

–1

–1

–1

–1

–1

–1

ada 16 cara

Perhatikan polanya:
Untuk ukuran 1 x 1

 ada 1 cara

 20

 2(1-1)x2  2 11

Untuk ukuran 2 x 2

 ada 2 cara

 21

 2(2-1)x2  221

Untuk ukuran 3 x 3
.
.
.
.
.
.

 ada 16 cara
.
.
.
.
.
.

 24

 2(3-1)x2  231

Untuk ukuran n x n

 ada ..... cara

 2...

 2...

Pola 1

Pola 2

2

2

2

 2n1

2

Pola 3

Untuk pola 1: pola ini masih belum nampak jelas, walaupun bilangan pokoknya sudah sama,
Untuk pola 2: untuk pangkatnya polanya sudah sama, tapi pada ukuran 2x2 mengakibatkan hasil
yang salah, yakni 2(2-1)x2 = 22 dan 22 ≠ 21. Sehingga pola ini masih kurang tepat.
Untuk pola 3: coba perhatikan polanya! Pola ini masing-masing sudah sama, baik bilangan
2
pokoknya mapun pangkatnya. Sehingga polanya ‘sudah benar’, yakni 2n1
Kemudian kita buktikan bahwa setiap cara pengisian dari tabel (n – 1)x(n – 1) yang pertama, agar
selalu bisa mengisi bilangan - bilangan pada kolom ke-n dan baris ke-n terpenuhi, yaitu adalah:
Jika hasil kali dari (n – 1) bilangan pada suatu baris (atau kolom) adalah 1 maka bilangan terakhir
pada baris (atau kolom) tersebut adalah –1.
http://olimattohir.blogspot.co.id/

5

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Sedangkan jika hasil kali dari (n – 1) bilangan pada suatu baris (atau kolom) adalah –1 maka
bilangan terakhir pada baris (atau kolom) tersebut adalah 1.
Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa untuk menghitung banyak cara berbeda pada
pengisian tabel tersebut cukup kita menghitung banyaknya mengisi tabel (n – 1)x(n – 1) yaitu
2
sebanyak 2n1 (karena hanya dapat diisi dengan 1 atau –1).
Jadi, banyak cara berbeda untuk mengisi tabel tersebut adalah ada 2n1

2

Disusun oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://olimattohir.blogspot.co.id/

http://olimattohir.blogspot.co.id/

6