Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013 (Hari Pertama) www.olimattohir.blogspot.com

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

OSN SMP Tingkat Nasional Tahun 2013
Bidang Matematika
Waktu: 2×90 Menit
A. HARI PERTAMA
1.

1
Diketahui f adalah suatu fungsi sehingga f(x) + 2 f   = 3x untuk setiap x ≠ 0. Carilah nilai x
 x
yang memenuhi f(x) = f(–x)
1
Menurut informasi dari soal f(x) + 2 f   = 3x untuk setiap x ≠ 0,
 x
Untuk menemukan nilai x: maka carilah terlebih dahulu nilai fungsi f(x)-nya, dengan cara
1
mengenolkan fungsi dari f   , fungsi ini bisa dienolkan terjadi apabila dibuat fungsi kebalikan
 x
dari nilai x; artinya adalah mensubstitusi nilai kebalikan dari x ke persamaan tersebut sehingga di

dapat dua persamaan, yaitu:
1
Untuk nilai x = x
 f(x) + 2 f   = 3x .......... (1)
 x
1
3
1
Untuk nilai kebalikan dari x, x =
 f   + 2 f(x) =
.......... (2)
x
x
 x
Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh:
1
1
f(x) + 2 f   = 3x | x 1
 f(x) + 2 f   = 3x
 x

 x
3
6
1
1
f   + 2 f(x) =
|x2
 2 f   + 4 f(x) =
x
x
 x
 x
--------------------------- –
3x2  6
2
–3 f(x) =
 f(x) =  x .......... (3)
x
x
Kemudian mencari nilai x yang memenuhi f(x) = f(–x), dari persamaan (3), diperoleh:

2
2
f(x) = f(–x)
 f(x) =  x dan f(–x) =   x
x
x
2
2
 x=   x
x
x
4
 = 2x
x
x=± 2
 x = 2 atau x = – 2
Jadi, nilai x yang memenuhi f(x) = f(–x) adalah x = 2 atau x = – 2

Pembahasan:

http://olimattohir.blogspot.co.id/

1

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

2.

Diketahui ABC adalah segitiga lancip dengan titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran yang
berpusat di titik O. Titik P terletak pada sisi BC sehingga AP adalah garis tinggi segitiga ABC.
Jika ∠ABC + 300 ≤ ∠ACB, buktikan bahwa ∠COP + ∠CAB < 900.
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar baerikut!
C
b c

P

R

b

A

a

Q
O

a

c

B

Misalkan OAB = a , OAC = b, dan OBC = c.
Diketahui ∠ABC + 300 ≤ ∠ACB  artinya bahwa a + 300 ≤ b,
 jadi b > a
(terlihat jelas pada gambar )
Perhatikan ABC dan segitiga sama kaki AOB, AOC, dan  BOC. Segitiga tersebut mempunyai

hubungan sebagai berikut: ABC = AOB + AOC +  BOC
Kemudian perhatikan persegi PQOR dan CPO,
sehingga diperoleh besar CPO = 900 + 450 = 1350
 CPO = 1350
besar COP = 1800 – (c + CPO)
= 1800 – (c + 1350)
COP = 450 – c ..........(1)
Selanjutnya untuk besar CAB = 1800 – (ABC + ACB)
a + b = 1800 – (a + c + c + b)
= 1800 – (a + b + 2c)
a + b + c = 900
sehingga
CAB = 900 – c ..........(2)
dari persamaan 1) dan 2) diperoleh:
COP + CAB = 450 – c + 900 – c
 COP + CAB + 2c – 450 = 900 ..........(3)
Dari persamaan 3) jelas bahwa COP + CAB < 900
Jadi, terbukti bahwa ∠COP + ∠CAB < 900.
3.

Tentukan semua bilangan asli a, b, dan c yang lebih besar dari 1 dan berbeda, serta memenuhi
sifat bahwa abc membagi habis bc + ac + ab + 2
Pembahasan:
Menurut informasi dari soal dapat dimisalkan bahwa terdapat pertidaksamaan 1 < a < b < c.
Karena abc membagi habis bc + ac + ab + 2 itu berarti terdapat bilangan asli k sedemikian
sehingga;
bc + ac + ab + 2 = k⋅abc ⋯⋯⋯(1)
Dari persamaan (1) diperoleh
1
1
2
1
k=
+ + +
b
c
abc
a
Padahal 1 < a < b < c sehingga diperoleh

http://olimattohir.blogspot.co.id/

2

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

k≤

1
1
1
14
2
+ + +
=