CATATAN KULIAH Pertemuan XII: Optimasi dengan Kendala Persamaan dan Aplikasinya

  

CATATAN KULI AH

Pe r t e m u a n X I I : Opt im a si de n ga n Ke n da la Pe r sa m a a n

da n Aplik a sin ya

A. Efe k da r i Sa t u Ke n da la

• Tujuan utama digunakannya sebuah kendala adalah memberi tanggung jawab kepada faktor-faktor pembatas (constrains) tertentu dalam masalah optimasi.
• U = x x 2x
• Misalkan Fungsi Utilitas sederhana :
^{1 2 1} Jika konsumen ingin membelanjakan 60 dollar, dan harga barang P

  1 =4 dan P 2 =2, maka terdapat kendala anggaran

  (budget constrain):

  60 = +

4 x

₁

2 x ₂ Kendala ini menyebabkan pilihan x 1 * dan x 2 * menjadi saling tergantung.

  Untuk melihat efek kendala ini, dapat dilakukan substitusi :

  x = ₂ 30 − 2 x ₁

  = + U x ( ₁ 30 − 2 x ) ₁ 2 x ₁ Ambil derivatifnya : du = 32 − 4 x = ₁ dx ₁ Hasilnya adalah :

  x = ₁ 8 , x = ₂ 14 , U = 128

  Uji derivatif orde kedua: ₂ d u 4 (max) ₂ = − dx ₁ B. Pe n ca r ia n N ila i- n ila i St a sion e r

  Bagaiman jika kasusnya:

• Bentuk fungsional kendala kompleks
• – Terdapat banyak kendala
• – Maka dapat digunakan Metode Pengali-Lagrange
• Inti dari metode pengali-Lagrange adalah mengubah
• – persoalan titik ekstrem terkendala menjadi persoalan ekstrem bebas kendala.
• λ = 0 menjamin kendala akan dipenuhi

  Kondisi Orde Pertama: L = 0 , mentransformasikan fungsi U terkendala dengan n

• λ

  L

  variabel menjadi Fungs L tanpa kendala dengan n + 1 variabel

• Fungsi Lagrange : L = f(x, y) + λ[c - g(x, y)]; dengan f(x,y)=fungsi objektif ; g(x,y)=fungsi kendala ; dan λ=pengali Lagrange •

  Kendala anggaran : 2x – 4x –

  Contoh: Fungsi Utilitas ^{1 2 1 2 1}

  2x x x ) x , U(x + =

60 C

  _{2 1} = =

• =
• Metode pengali-Lagrange membuat pendekatan fungsi tanpa
• Jika Kondisi Orde Pertama: L
• – 2x
• Selanjutnya didapat:
• Atur dalam bentuk matriks:

  1

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −

  − − − λ

  Kemudian pecahkan untuk λ, x

  

1

  , x

  2

  dengan Aturan Cramer Jacobian matrix _{2 2 1 2 2 2 1 1 1 1} ^{2 1}

  λx λx _{x x x x x x x x x x} L L L L L L L L L J

  λ λ λλ

  =

  16

  8

  8

  2

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥

  1

  λ J

  60

= + = −

− − − =

  4

  

2

  2

  

1

  4

  

1

  60

  64

  − − = J

  4 = + = − −

  

2

  4

  ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  Fungsi Lagrange: ( ) _{2 1 1 2 1}

  1

  2x – 4x – L 60 2x x x

  λ

  Kendala yang sudah dibahas sebelumnya dapat digunakan: Kondisi orde pertama untuk L, adalah:

  L

  λ

  = L

  

x1

  = L

  x2

  = 0

  λ = 0 dipenuhi, maka kendala akan

  dipenuhi: L

  λ

  =60 – 4x

  2

  

−

− = ⎥

  = 0 dan L = U

  

λ2

λ4

  

2

_{1 2 2 1} = − =

= − + =

  L x L x _{x x}

  matriks bentuk

  

2

  

60

  1

  2

  1

  4

  2

  4 _{2 1} Ax d x x =

  ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

  − 60 −

  2 _{x 1} 4 −

  2 1 = 120 + J = − 8 = 128 −

  2 − 4 −

  60 J = + − _{x 2} 4 − 2 = − 16 240 = 224 −

  2

  1 _{* * *}

  64

  16 4 x 128

  16 8 x 224

  16

  14 = = = = = =

  λ _{* * * *} ^{1 2} = + + U x x _{1 2} 2 x = ( ) ₁

  8 14 ( )

  2 8 = 128

• Nilai Stasioner U* di atas perlu diuji lagi dengan Syarat Orde Kedua sebelum diketahui maksimum atau minimum atau bukan keduanya.
• Pendekatan Diferensial Total Diferensial dari L=f(x,y) : dL = f dx + f dy = 0

  x y

  Diferensial dari g=g(x,y) : dg = g dx + g dy = 0

  x y

  dimana dx dan dy bergantung satu dengan yang lain Gradien dari kurva isokuan : dy/dx = -f x / f y Gradien dari kurva kendala : dy/dx = -g

  x / g y Maka didapat persam aan : - g x / g y = - f x / f y

  Apakah pendekatan diferensial total menghasilkan kondisi orde pertama yang sama dengan metode pengali Lagrange? Dari metode Pengali Lagrange didapat:

  f / g = f /g = λ

x x y y

  Hal ini menghasilkan informasi yang tepat sama dengan hasil pendekatan diferensial total. Selanjutnya λ dapat diintrepretasikan tersendiri.

• Intrepetasi dari Pengali Lagrange λ adalah ukuran sensitivitas dari L terhadap perubahan dari kendala c λ, x dan y : bersifat endogen, dan c : bersifat eksogen
• F(λ, x, y; c) = 0

  Diferensial total dari fungsi implisit adalah: dL/dc = λ, sehingga λ dapat diintrepetasikan sebagai ukuran pengaruh suatu perubahan di dalam kendala melalui parameter c terhadap perubahan nilai optimal dari fungsi objektifnya

C. Sya r a t Or de Ke du a

• karena kendala sama dengan nol, tetapi mengakibatkan Syarat Orde Kedua yang baru diperlukan untuk menguji nilai stasioner Z*

  Pengali Lagrange λ tidak mempunyai efek pada nilai stasioner Z*

• minimum relatif.

  Adanya kendala mengubah kondisi untuk maksimum relatif atau

  Ilustrasi:

  I. Kasus tanpa kendala z = z ( x , y )

• Diferensia l Orde Pertama : dz z dx z dy
₂ = _{x y 2 2} Diferensia l Orde Kedua : d z = z dx z dxdy z dxdy z dy _{xx xy yx yy} + + + z z ₂ ⎡ ⎤ dx _{xx xy ⎡ ⎤} dalam bentuk matriks : d z = dx dy

  [ ] ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ z z _{yx yy} dy

  ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

  Maka uji Hessian untuk kasus tanpa kendala (Free Extremum Hessian tests) : 1. z adalah maksimum relatif

  2

  z adalah definit negatif, yaitu jika :

• jika d

  |H1| < 0, |H2| > 0, |H3| < 0, … 2. z adalah minimum relatif

  2

  z adalah definit positif, yaitu jika :

• jika d

  |H1| > 0, |H2| > 0, |H3| > 0, …

  II. Kasus dengan kendala _{2 2}

  z ax

• = + + 2 hxy by kendala : x y =

  α β α pecahkan kendala untuk y: y = − x

  β substitusikan ke fungsi objektif: _{2 2} ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

  α α

  2 hx − x b − x ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

• z = + ax

  β β

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ₂ ⎛ x ⎞ ^{2 2}

  2 h b α β

• z = a β − α

  ( )

  ⎜⎜ ⎟⎟

  β

  ⎝ ⎠

  

2

² z > jika a β −

  2 α + h b α > β

  α β ^{2 2}

• Sedangkan H a - - h a

  2 h b = α = β α β α h b

  β Æ minimum relatif jika

  Maka z definit positif α β

  H = a h <

  α

  h b

  β Maka uji Hessian Terbatas untuk kasus dengan kendala (Bordered Hessian tests) : z adalah maksimum relatif

  2

  z adalah definit negatif (dg = 0), yaitu jika :

• jika d

  |H| > 0 2. z adalah minimum relatif

  2

  z adalah definit positif (dg = 0), yaitu jika :

• jika d

  |H| < 0 Uji Hessian Terbatas Jika z = f(x,y) dengan kendala g(x,y) = k Fungsi Langrangenya: L(x,y, λ) = f(x,y) – λ [g(x,y) – k] Untuk membuktikan apakah titik ekstrim yang ditemukan merupakan titik maksimum atau minimum, yang merupakan syarat cukup untuk titik ekstrim relatif, maka dicari MATRIKS HESSIAN TERBATAS (BORDERED HESSI AN MATRI X) sebagai berikut:

  ⎡ ⎤

  g g _{x y}

  ⎢ ⎥

  H = g L L _{x xx xy}

  ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

  g L L _{y yx yy}

  ⎣ ⎦ di mana: g = turunan pertama kendala terhadap x.

  x g y = turunan pertama kendala terhadap y.

  L = turunan dari L terhadap x.

  xx x L xy = turunan dari L x terhadap y.

  L = turunan dari L terhadap y.

  yy y L = turunan dari L terhadap x. yx y

• Bila |H| > 0 maka fungsi tersebut mempunyai titik maksimum relatif.
• Bila |H| < 0 maka fungsi tersebut mempunyai titik minimum relatif.

  Kasusn n-Variabel Jika fungsi objektifnya mempunyai bentuk : z=f(x ,x ,...,x ) dengan syarat g(x ,x ,...,x )=c

  1 2 n

  1 2 n

  Fungsi Langrangenya:

  L(x 1 ,x 2 ,...,x n , λ) = f(x 1 ,x 2 ,...,x n ) – λ [g(x 1 ,x 2 ,...,x n ) – k]

  MATRIKS HESSIAN TERBATAS (BORDERED HESSI AN MATRI X) sebagai berikut:

  g g g ⎡ ^{1 2 " n ⎤} ⎢ ⎥ g L L L _{1 11 12 " 1 n}

  ⎢ ⎥ H ⎢ g L L L ⎥

  = ⎢ ⎥ # # # # ⎢ ⎥

  ⎢ ⎥ g L L L

_{n n}

_{1 n 1 " nn}

  ⎣ ⎦

  Maka uji Hessian Terbatas untuk kasus dengan kendala (Bordered Hessian tests) : 1. z adalah maksimum relatif

  2

  z adalah definit negatif (dg = 0), yaitu jika :

• jika d minor utama |H2| > 0, |H3| < 0, |H4| > 0 … 2.

  z adalah minimum relatif

  2

  z adalah definit positif (dg = 0), yaitu jika :

• jika d minor utama |H2| < 0, |H3| < 0, |H4| < 0 …

  Contoh:

• U(x , x • ) x x 2x =

  Fungsi Utilitas ^{1 2 1 2 1}

  60 4x Æ g(x , – – 2x x ) 4x 2x

• Kendala anggaran : C

  60 = = = =

₁

_{2 1 2 1 2} Fungsi Lagrange: L x x 2x _{1 2}

₁

60 – 4x 2x _{1 2} =

  λ ( ) + +

• – Dalam bagian sebelumnya telah didapatkan nilai stasioner contoh ini sbb: _{* * *}

  =

  64 16 = x = 4 128 16 = 8 x = 224 16 =

  14 λ _{* * * *} ^{1 2} U x x = = ( ) ( ) = + + _{1 2} 2 x ₁

  8

  14

  2 8 128

  Uj i H e ssia n Te r ba t a s : g g

₁

₂

  4

  2 | H | = g L L = ₁

₁₁

₁₂

  4 1 = 16 >

g L L

₂

₂₁

₂₂

  2

  1

  Note: Seperti anda lihat elemen-elemen matriks Hessian hampir sama dengan matriks Jacobian, kecuali bagian g dan g berlawanan tanda

  1

  2

  antara matriks Hessian dan matriks Jacobian. Walaupun begitu perhitungan Determinannya mempunyai nilai yang sama.

  D . Aplik a si da r i Opt im a si de n ga n Ke n da la Pe r sa m a a n

• Memaksimumkan Utilitas dan Permintaan Konsumen Misalkan terdapat pilihan dua barang saja, dimana keduanya mempunyai fungsi utilitas marginal postif ( U , U > ) dan _{x y} kontinu. Harga kedua barang ditentukan oleh pasar sehingga bersifat eksogen. Jika daya beli konsumen adalah B, maka persoalannya adalah pemaksimuman fungsi utilitas : U=U(x,y) dengan syarat:
• xP yP B
_{x y} =

  Fungsi Lagrangenya:

  Z = U ( ) x , y λ B − xP − yP _{x y )} (

• Syarat Orde Pertama:

  Z = B − xP − yP = _{x y} λ

  

Z = U − =

_{x x λP x}

Z = U − =

_{y y λP y}

  Diferensial Fungsi Implisitnya: _{x y x y .} + − P d x − P d y = x dP y dP − dB − P d U d x U d y = + + dP _{x xx xy x} λ λ

  − + + P d U d x U d y = dP _{y yx yy y} λ λ

  Dalam bentuk matriks: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

  − P − P d λ x dP y dP − dB _{x y x y} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

  − P U U d x = dP _{x xx xy λ x} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

  − P U U d y dP _{y yx yy λ y} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

  Syarat Orde Pertama _* Syarat orde pertama ekuivalen dengan persamaan berikut:

  U U y ∂ _{x x x} U P U

  , = = λ = =

  P P ∂ B P U _{x y y y}

  Kurva Utilitas indiferens

  U = U ( ) x , y

  = + dU U dx U dy = _{x y} Dengan implikasi − U

  

dy y U

_x negatif dr rasio utilitas marjinal

  = =

  

dx U U

_{x y}

  Untuk Garis anggaran, dapat ditulis sebagai: _{x y} + B = xP yP − U

  B P dy − P y _{x x} y = − x , = =

P P dx P U

_{y y y x}

  Bentuk yang baru ini dapat diinterpretasikan sbb: dalam memaksimumkan utilitas, konsumen harus mengalokasikan anggaran sehingga kemiringan/lereng garis anggaran sama dengan kemiringan kurva indiferens.

  Syarat Orde Kedua Jika Hessian Terbatas nya adalah positif maka:

  − P − P _{x y}

  H = − P U U > _{x xx xy}

  − P U U _{y yx yy 2 2} = − > + − P U _{x yy x y xy y xx}

  2 P P U P U H : definit negatif → max Di sini nilai stasioner U* dipastikan maksimum.

I. Kemiringan kurva indiferen telah dijamin oleh

  U

  −

  dy y U _x

  = = negatif dr rasio utilitas marjinal ,

  dx U U _{x y 2} d y

  Sedangkan kecembungan sempurna dijamin oleh > _{2 2} dx − U

  d y dy y

  Untuk mendapatkan , dapat didiferensiasikan = , sbb: _{2 2} dx dx U _x

  ⎞ d y d ⎛ − U _x

  1 ⎜ ⎟ = = − U ( dU dx ) − U dU dx _{2 2} ( y x x ( y ) )

  ⎜ ⎟ dx dx U U _{y y}

  ⎝ ⎠ dU _x

  

= U dx dx U dy dx = U U dy dx

_{xx xb xx xy}

+ +

dx dU _y

  

= U dx dx U dy dx = U U dy dx

_{xy yy xy yy}

+ +

dx
• − + − =

  − − =

  ⎜ ⎝ ⎛

• − − − =

  Kurvatur dari fungsi utilitas indiferens adalah : , positif,

  2 : dapat di Shg

  U maksimum, sehingga negatif) (definit positif ,

  2

  1

  2

  2 ^{2 2 2}

²

^{2 2 2 2 2 2 2 2}

²

^{2 2 2}

  > > =

  > > − − =

  ⎜ ⎝ ⎛

  − −

  − − =

  > =

  − − =

  dx y d P U H P U U P U P U P P dx y d H

  U P U P U P P U U P U U P P P H P U dengan P U

  H P U U P U P U P P dx y d

y y y y

^{yy x xx y xy y x yy x xx y xy y x yy yx y xy xx x y x y y}

^{y y y y}

^{yy x xx y xy y x}

  Interpretasi dari ₂ ² >

  dx y d

  = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  1 , subtitusi

  1

  U dx y d U dx dy U U dx dy U U U U dx y d

  Sehingga di dapat:

  ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  − −

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

  ⎜ ⎝ ⎛ − − =

  y ^{x yy xy x}

^y

^x

^{xy xx y y yy xy x xy xx y y} P P U U U P P U U U

  2 ^{2 2 2 2 2}

  1

  1 ( ) yy x xy x y xx y _{y y} ^{yy y x y xy y x y xx y y y x y x yy y x y x y xy y x y xy y x y xx y y}

• − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  U P U P P U P P U dx y d

  U naan penyederha P P U U P P U U U

  U dx y d P P U U U P P P P U U P P U U P P U U U

  U dx y d

• − − =

  2 ² _{2 2} ²

²

²

^{2 2 2 2 2 2}

  2

  1 ,

  2

  adalah : Kurva Utilitas Indiferensnya Cembung sempurna pada titik singgungnya. Kuantitas Q ² garis anggaran

  P dy − P

x

kemiringan = dx P

y

  P B Kurva indiferens

  A − U _y dy kemiringan = dx U _x

  C U U ¹ Kuantitas Q ¹ ₁ P ¹ P

  Latihan

1. Diketahui fungsi kepuasan (ut ilit y) seorang konsumen yang

  2

  mengkonsumsi barang X dan Y adalah U = x y, dan fungsi anggaran dari konsumen itu adalah p x + p y = I, dimana: x

  x y dan y = jumlah barang X dan Y yang dikonsumsi (dalam unit).

  P = harga barang x = $3.

  x P y = harga barang y = $6.

  I = incom e konsum en = $18. Berapa unit x dan y yang harus dikonsumsi konsumen itu agar kepuasannya maksimum? Berapa kepuasan maksimumnya?