Bab 2 Fungsi, Persamaan & Pertidaksamaan Kuadrat

BAB 2
Fungsi Persamaan, dan
Pertidaksamaan Kuadrat
Standar Kompetensi:
 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan, dan fungsi kuadrat serta
pertidaksamaan kuadrat

Kompetensi Dasar:
 Memahami konsep fungsi
 Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat
 Menggunakan sifat dan aturan tentang persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang berkaitan dengan persamaan dan
pertidaksamaan kuadrat
 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan atau fungsi
kuadrat
 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan atau fungsi
kuadrat dan penafsirannya.

Fungsi
A. Fungsi atau Pemetaan
a

b
c

A

p
q

f

r

B

Fungsi atau pemetaan adalah relasi himpunan A ke
himpunan B yang memasangkan setiap anggota himpunan A
dengan tepat pada satu anggota pada himpunan B.

B. Daerah Asal, Daerah Kawan, dan Daerah Hasil

Misalkan f sebuah fungsi yang memetakan tiap anggota himpunan A
ke himpunan B (f : A  B), maka:
i. himpunan A dinamakan daerah asal (domain) fungsi f,
ii. himpunan B dinamakan daerah kawan (kodomain) fungsi f,
iii. himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan tiap anggota
himpunana A dinamakan wilayah hasil (range) fungsi f.

C. Beberapa Macam Fungsi Khusus
1.Fungsi Konstan
Fungsi konstan adalah suatu fungsi y = f (x) dengan f(x) sama
dengan sebuah konstanta (tetapan) untuk semua nilai x dalam
sebuah daerah asalnya.

f : x  f(x) = k
dengan x  R dan k adalah sebuah konstanta atau nilai tetapan.

2.Fungsi Identitas
Fungsi identitas adalah fungsi y = f (x) dengan f(x) = x untuk
semua nilai x dalam daerah asalnya.

3.Fungsi Linear
Fungsi linear adalah y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan b  R,
a  0) untuk semua x dalam daerah asalnya.

4.Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah fungsi y = f(x) = ax² + bx + c  R, a  0)
untuk semua nilai x dalam daerah asalnya.
Grafik fungsi kuadrat f (x) = ax² + bx + c dikenal sebagai parabola.

5.Fungsi Modulus atau Fungsi Nilai Mutlak
Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak adalah fungsi y = f (x) dengan
f(x) = 1 x 1 untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Bentuk 1 x 1
dibaca sebagai “nilai mutlak x” dan didefinisikan sebagai berikut.

Definisi
Untuk setiap bilangan real x, maka nilai mutlak x ditentukan oleh aturan
1x1 =

x, jika x ≥ 0


x, jika x < 0

D. Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif
1.Fungsi Surjektif
g

f
1
2
3

4

a
b

c
d

A

B

A

1
2
3

4

a
b
c

B

Definisi
Fungsi f : A  B disebut sebagai fungsi kepada B (surjektif) jika

wilayah hasil fungsi f sama dengan himpunan
f B atau W = B.
Fungsi f ke dalam B, jika wilayah hasil fungsi f merupakan
himpunan bagian dari himpunan B atau W  B.

2. Fungsi Injektif
1
2
3

A

f
a

1

g
a

2

b

c

3

c

B

A

B

b

Definisi
Fungsi f : A  B disebut fungsi satu-satu atau

1
fungsi injektif jika dan
hanya jika untuk sebarang
a1 dan a2  A dengan a1  a2 berlaku f(a ) 
f(a ).

3. Fungsi Bijektif
g

f
0
1
2

A

a

0

b

1


c

B

2

A

a
b
c

B

Definisi

Fungsi f : A  B disebut fungsi bijektif, jika dan hanya
fungsi f adalah fungsi surjektif dan juga fungsi injektif.

Fungsi Linear
Fungsi linear adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan b  R,
a  0) untuk semua x dalam daerah asalnya.
Fungsi linear juga dikenal sebagai fungsi polinom atau fungsi suku
banyak berderajat satu dalam variabel x.
Y

Contoh:

4 (0, 4)

y = f(x) = -2x + 4

3
2

y = f(x) = 2x + 4

1

0
-1

1

(2, 0)

2 3 4

5

-2
-3
-4

(4, -4)


6

X

Fungsi Kuadrat
Misalkan a, b, dan c bilangan real dan a  0, maka fungsi
yang dirumuskan oleh

f(x) = ax2 + bx + c
dinamakan fungsi kuadrat dalam peubah x.
Contoh:
• f(x) = x² - 1
• f(x) = 2x² - 6x
• f(x) = x² - 4x + 3
• f(x) = -3x² + 4x – 3

Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
a. Titik Potong dengan Sumbu X

X

X

X

X

X

X

 Jika b2  4ac  0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik
yang berlainan.
 Jika b2  4ac = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik
yang berimpit.
 Jika b2  4ac  0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun
menyinggung sumbu X.

b. Titik Potong dengan Sumbu Y
Y

Y


0

X

Y


0

Y

X

0

Y

Y

X


0

0

X

X

0


X

 Jika c  0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y di atas titik asal 0.
 Jika c = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y tepat di titik asal 0.
 Jika c  0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y dibawah titik asal 0.

2. Titik Puncak atau Tititk Balik dan Persamaan Sumbu Simetri
Mari kita tinjau persamaan parabola berikut
y = ax2 + bx + c
b
 y = a (x2 + a x)+ c
2
b
b2
b
2
 y = a (x + a x +
) 
+c
4a2
4a2
b
b2  4ac
 y = a (x + 2a)2 
4a
1. Parabola y = ax2 + bx + c, dengan a,b, c  R dan a  0, mempunyai titik
puncak atau titik balik


b

2a’

(b2  4ac)
4a

2. Jika a  0, titik baliknya adalah titik balik minimum dan parabola terbuka
ke atas. Jika a  0, titik baliknya adalah titik balik maksimum dan parabola
ke bawah.
3. Persamaan sumbu simetri parabola y = ax2 + bx + c adalah

x = 

b
2a

Menggambarkan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah 1
Tentukan titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y.
Langkah 2
Tentukan titik puncak atau titik balik serta persamaan
sumbu simetrinya.
Langkah 3
Gambarkan koordinat titik-titik hasil Langkah 1 dan
Langkah 2 pada bidang koordinat. Kemudian hubungkan
titik-titik itu dengan kurva yang mulus, dengan
memperhatikan apakah parabola itu terbuka ke atas
atau ke bawah.

Membentuk Fungsi Kuadrat
a. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di A (x1, 0) dan B (x2, 0),
serta melalui sebuah titik tertentu.

y = f(x) = a (x  x2)(x  x2)
b. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X di A ( x , 0), serta melalui
sebuah titik tertentu.

y = f(x) = a (x  x1)2
c. Grafik fungsi kuadrat melalui titi puncak atau titik balik P (x p, yp),
dan melalui sebuah titik tertentu.

y = f(x) = a (x  xp)2 + y
d. Grafik fungsi kuadrat melalui titik A (x1 , y1), B (x2, y2), C (x3, y3).

y = f(x) = ax2 + bx + c

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Definisi
Misalkan a, b, c  R dan a  0, maka persamaan yang berbentuk

ax2 + bx + c = 0
dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x.
Dalam persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0,
- a adalah koefisien dari x2
- b adalah koefisien dari x
- c adalah suku tetapan

Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Untuk menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat
dengan cara:
a. memfaktorkan
b. melengkapkan kuadrat sempurna,
c. menggunakan rumus kuadrat, dan
d. menggambarkan sketsa grafik fungsi f(x) = ax2 + bx + c.
Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadrat
Misalkan a, b, dan c bilangan-bilangan real dan a  0, maka akar-akar
persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 ditentukan oleh
x1 =

b 

b2  4ac
2a

atau x2 =

b 

b2  4ac
2a

Diskriminan Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c dengan nilai diskriminan D = b2 

4ac,

1. Jika D  0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang
berlainan.
a) Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional.
b) Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya
irasional.
2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama
(akar kembar), real, dan rasional.
3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau
kedua akarnya tidak real (imajiner).

Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 (a  0)
ditentukan dengan rumus kuadrat:
x1 =

b

b2  4ac
2a

atau x2 =

b 

b2  4ac
2a

Jika x dan x adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx
+ c = 0; dengan a  0,
Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat itu
ditentukan dengan rumus:
x +x = 
2
1

b
a

dan

x · x = c
2
1
a

Menyusun Persamaan Kuadrat
Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Akar-Akarnya
a. Memakai Faktor
apabila x 1 dan x 2 merupakan akar-akar suatu persamaan
kuadrat, maka persamaan kuadrat, maka persamaan
kuadrat itu dapat ditentukan dengan rumus:

( x  x1 )( x  x2 )  0
b.Memakai Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar
b
c
2
persamaan x  xdapat
  0dinyatakan dalam bentuk
a
a

x 2  ( x1  x2 ) x  ( x1 x2 )  0

Pertidaksamaan Kuadrat
Bentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x ada 4 macam,
yaitu:
1. ax2 + bx + c < 0
2. ax2 + bx + c ≤ 0
3. ax2 + bx + c  0
4. ax2 + bx + c ≥ 0
dengan a, b, c bilangan-bilangan real dan a  0.
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat
dalam variabel x dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu:
a) Sketsa grafik fungsi kuadrat
b) Garis bilangan

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan
Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
Y
4
y 0
y =0
y