SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 2.7 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS)
Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
2. 7.
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan komposisi dua fungsi atau fungsi invers.
Fungsi Komposisi
Definisi
Sifat
∘
∘
∘
(
=
= (
= (
∘
)
Tidak Komutatif
∘
≠
∘
Assosiatif
∘ℎ )
=( ∘
( ∘
Identitas
= �∘
∘�
)
)
∘ ℎ)
Fungsi Invers
Definisi
=
−
Sifat
∘
=
Identitas
= − ∘
−
=�
Invers Komposisi itu Dibalik
∘ − = − ∘ −
∘ − = − ∘ −
−
=
Penyusun Komposisi
∘
=ℎ⇒ = ℎ∘ −
∘
=ℎ ⇒ = − ∘ℎ
TRIK SUPERKILAT
TRIK SUPERKILAT
Balik Operasi, Balik Urutan
Hilangkan Yang Lain
Grafik fungsi
dan
simetris terhadap garis
+ ↔
× ↔
↔
log ↔
−
−
÷
√
�
⇒
⇒
∘
=ℎ
−
∘ ⏟∘ � = ℎ ∘ �−
�
�
=ℎ∘
Gambarkan
=
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
ℎ
−
−
ℎ
Halaman 47
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menyusun komposisi fungsi
Contoh Soal 1:
Diketahui
=
− dan
Penyelesaian:
∘
= (
)
=
−
=
−
=
−
=
−
Contoh Soal 2:
Diketahui
=
− dan
=
+
+ −
+ −
+
Penyelesaian:
∘
= (
)
=
−
=
−
−
=
−
+ −
=
−
+
=
−
−
+ . Tentukan
∘
=?
−
+ . Tentukan
∘
=?
+ . Tentukan
∘
=?
+
+ +
Menentukan nilai komposisi fungsi
Contoh Soal 1:
Diketahui
=
− dan
Penyelesaian:
∘
= (
)
=
−
=
−
=
−
=
−
Jadi,
∘
=
+
+ −
+ −
+
=
−
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Karena
= , maka:
=
(
)=
Contoh Soal 2:
Diketahui
=
− dan
Penyelesaian:
∘
= (
)
=
−
=
−
−
=
−
+ −
=
−
+
Jadi,
∘
−
=
−
−
+
=
−
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Karena − = − , maka:
( − )= − =
Halaman 48
−
=
−
+
=
+ . Tentukan
+
+ +
−
−
+
=
+
+
∘
−
=?
=
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan fungsi pembentuk komposisi
Contoh Soal 1:
Diketahui
∘
=
Penyelesaian:
∘
=
(
)=
− =
=
=
=
=
+ dan
=
− , maka
=?
+
+
+
+ +
+
+
+
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Karena ∘ = ℎ, maka = − ∘ ℎ.
Jadi
= − (ℎ ), artinya substitusikan fungsi komposisi ℎ ke fungsi
Invers akan dibahas nanti.
−
.
Contoh Soal 2:
Diketahui
∘
=
Penyelesaian:
∘
=
(
)=
+ =
+
=
=
+ dan
+
+
⏟+
+
−
=
=?
+ , maka
�+
−
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Karena ∘ = ℎ, maka = ℎ ∘ − .
Jadi
= ℎ( −
), artinya substitusikan fungsi
Invers akan dibahas nanti.
−
ke fungsi komposisi ℎ.
Contoh Soal 3:
Diketahui
∘
=
Penyelesaian:
∘
=
(
)=
− =
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
+ dan
+
=
− , maka
=?
+
+
+
+
+
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Karena ∘ = ℎ, maka = − ∘ ℎ.
Jadi
= − (ℎ ), artinya substitusikan fungsi komposisi ℎ ke fungsi
Invers akan dibahas nanti.
−
.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 49
Contoh Soal 4:
Diketahui
∘
=
−
+ dan
Penyelesaian:
∘
=
−
−
)=
(
−
+ = ⏟ −
−
+
=
=
−
−
+
+
+
� 2 −5�+
+
=
−
+ , maka
=?
−
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Karena ∘ = ℎ, maka = ℎ ∘ − .
Jadi
= ℎ( −
), artinya substitusikan fungsi
Invers akan dibahas nanti.
−
ke fungsi komposisi ℎ.
Contoh Soal 5:
Diketahui
∘
x =
−
Penyelesaian:
∘
=
−
=
−
(
)
− = ⏟� −
−
−
−
−
=
=
=
=
=
�−
−
−
−
−
+ dan
=
− , maka
+
+
+
+ �− −
+
− �+
−
�− − +
−
− +
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Karena ∘ = ℎ, maka = ℎ ∘ − .
Jadi
= ℎ( −
), artinya substitusikan fungsi
Invers akan dibahas nanti.
Halaman 50
� �
�
� �
�−
+
=?
−
−
� −
=
−
−
+
+ ,
−
− =−
=−
−
+ ,
−
−
=
ke fungsi komposisi ℎ.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan Invers Fungsi
Contoh Soal 1:
Jika
=
− , tentukan
−
!
Penyelesaian:
=
−
=
−
= +
+
=
+
−
=
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan =
− ,
Urutan operasi yang dilakukan terhadap adalah:
1. Dikalikan 2
2. Dikurangi 1
Maka operasi invers adalah BALIK OPERASI DAN BALIK URUTAN:
1. Ditambah 1
2. Dibagi 2
Sehingga:
−
=
+
Contoh Soal 2:
Jika
=
−
+ , tentukan
Penyelesaian:
=
−
=
−
=
−
= −
−
= +
−
−
=√ +
−
!
+
+
+ −
−
=√ + +
=√ + +
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
=
−
+ ubah dulu menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna, sehingga menjadi
= −
− .
Urutan operasi yang dilakukan terhadap adalah:
1. Dikurangi 2
2. Dikuadratkan
3. Dikurangi 1
Maka operasi invers adalah BALIK OPERASI DAN BALIK URUTAN:
1. Ditambah 1
2. Diakar kuadrat
3. Ditambah 2
Sehingga:
−
=√ + +
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 51
Contoh Soal 3:
+
=
+
Tentukan −
!
Penyelesaian:
=
+
+
−
−
−
=
=
=
=−
=−
−
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
− +
=
−
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
− +
+
=
=
⇒ −
−
+
Tukarkan dan ubah tanda diagonal utama.
=
Halaman 52
+
+
⇒
−
=
−
+
−
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
Diketahui fungsi f ( x) 3x 1 dan g ( x) 2 x 2 3. Komposisi fungsi ( g f )(x) ....
A. 9 x 2 3x 1
TRIK SUPERKILAT:
∘
= (
)
B. 9 x 2 6 x 3
∘
artinya substitusikan
ke
.
=
−
Coba
ah
iseng
saya
substitusikan
=
ke
,
C. 9 x 2 6 x 6
−
=
−
ternyata hasilnya
=− .
2
=
−
+ −
D. 18x 12x 2
Iseng lagi ah, saya substitusikan = − ke
,
2
=
−
+ −
E. 18x 12x 1
Ternyata hasilnya − = − .
=
2.
−
−
Lalu saya substitusikan 0 ke semua pilihan
jawaban. Mana yang hasilnya − ? Ternyata
jawaban E saja!
Diketahui fungsi f ( x) 2 x 3 dan g ( x) x 2 2 x 3. Komposisi fungsi ( g f )(x) ....
TRIK SUPERKILAT:
= (
)
A. 2 x 2 4 x 9 ∘
∘
artinya substitusikan
ke
2
=
−
B. 2 x 4 x 3
Coba
ah
iseng
saya
substitusikan
=
ke
=
−
+
− −
ternyata hasilnya
=− .
C. 4 x 2 6 x 18
=
−
+ +
− −
Iseng lagi ah, saya substitusikan = − ke
D. 4 x 2 8 x
=
−
ternyata hasilnya − = − .
Lalu saya substitusikan 1 ke semua pilihan
E. 4 x 2 8 x
.
Diketahui fungsi f ( x) 2 x 1 dan g ( x) x 2 4 x. Komposisi fungsi ( f g )(x) ....
TRIK SUPERKILAT:
= (
)
A. 2 x 2 8x 2 ∘
∘
artinya substitusikan
ke
2
=
−
B. 2 x 8 x 2
Coba ah iseng saya substitusikan = ke
=
−
+
ternyata hasilnya
= .
C. 2 x 2 8 x 1
=
−
+
Iseng lagi ah, saya substitusikan = ke
2
D. 2 x 8 x 2
ternyata hasilnya
= .
Lalu saya substitusikan 0 ke semua pilihan
E. 2 x 2 8 x 1
.
,
,
jawaban. Mana yang hasilnya − ? Ternyata hanya
dipenuhi oleh jawaban E saja!
3.
,
,
jawaban. Mana yang hasilnya ? Ternyata hanya
dipenuhi oleh jawaban C saja!
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 53
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
2. 7.
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan komposisi dua fungsi atau fungsi invers.
Fungsi Komposisi
Definisi
Sifat
∘
∘
∘
(
=
= (
= (
∘
)
Tidak Komutatif
∘
≠
∘
Assosiatif
∘ℎ )
=( ∘
( ∘
Identitas
= �∘
∘�
)
)
∘ ℎ)
Fungsi Invers
Definisi
=
−
Sifat
∘
=
Identitas
= − ∘
−
=�
Invers Komposisi itu Dibalik
∘ − = − ∘ −
∘ − = − ∘ −
−
=
Penyusun Komposisi
∘
=ℎ⇒ = ℎ∘ −
∘
=ℎ ⇒ = − ∘ℎ
TRIK SUPERKILAT
TRIK SUPERKILAT
Balik Operasi, Balik Urutan
Hilangkan Yang Lain
Grafik fungsi
dan
simetris terhadap garis
+ ↔
× ↔
↔
log ↔
−
−
÷
√
�
⇒
⇒
∘
=ℎ
−
∘ ⏟∘ � = ℎ ∘ �−
�
�
=ℎ∘
Gambarkan
=
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
ℎ
−
−
ℎ
Halaman 47
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menyusun komposisi fungsi
Contoh Soal 1:
Diketahui
=
− dan
Penyelesaian:
∘
= (
)
=
−
=
−
=
−
=
−
Contoh Soal 2:
Diketahui
=
− dan
=
+
+ −
+ −
+
Penyelesaian:
∘
= (
)
=
−
=
−
−
=
−
+ −
=
−
+
=
−
−
+ . Tentukan
∘
=?
−
+ . Tentukan
∘
=?
+ . Tentukan
∘
=?
+
+ +
Menentukan nilai komposisi fungsi
Contoh Soal 1:
Diketahui
=
− dan
Penyelesaian:
∘
= (
)
=
−
=
−
=
−
=
−
Jadi,
∘
=
+
+ −
+ −
+
=
−
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Karena
= , maka:
=
(
)=
Contoh Soal 2:
Diketahui
=
− dan
Penyelesaian:
∘
= (
)
=
−
=
−
−
=
−
+ −
=
−
+
Jadi,
∘
−
=
−
−
+
=
−
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Karena − = − , maka:
( − )= − =
Halaman 48
−
=
−
+
=
+ . Tentukan
+
+ +
−
−
+
=
+
+
∘
−
=?
=
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan fungsi pembentuk komposisi
Contoh Soal 1:
Diketahui
∘
=
Penyelesaian:
∘
=
(
)=
− =
=
=
=
=
+ dan
=
− , maka
=?
+
+
+
+ +
+
+
+
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Karena ∘ = ℎ, maka = − ∘ ℎ.
Jadi
= − (ℎ ), artinya substitusikan fungsi komposisi ℎ ke fungsi
Invers akan dibahas nanti.
−
.
Contoh Soal 2:
Diketahui
∘
=
Penyelesaian:
∘
=
(
)=
+ =
+
=
=
+ dan
+
+
⏟+
+
−
=
=?
+ , maka
�+
−
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Karena ∘ = ℎ, maka = ℎ ∘ − .
Jadi
= ℎ( −
), artinya substitusikan fungsi
Invers akan dibahas nanti.
−
ke fungsi komposisi ℎ.
Contoh Soal 3:
Diketahui
∘
=
Penyelesaian:
∘
=
(
)=
− =
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
+ dan
+
=
− , maka
=?
+
+
+
+
+
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Karena ∘ = ℎ, maka = − ∘ ℎ.
Jadi
= − (ℎ ), artinya substitusikan fungsi komposisi ℎ ke fungsi
Invers akan dibahas nanti.
−
.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 49
Contoh Soal 4:
Diketahui
∘
=
−
+ dan
Penyelesaian:
∘
=
−
−
)=
(
−
+ = ⏟ −
−
+
=
=
−
−
+
+
+
� 2 −5�+
+
=
−
+ , maka
=?
−
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Karena ∘ = ℎ, maka = ℎ ∘ − .
Jadi
= ℎ( −
), artinya substitusikan fungsi
Invers akan dibahas nanti.
−
ke fungsi komposisi ℎ.
Contoh Soal 5:
Diketahui
∘
x =
−
Penyelesaian:
∘
=
−
=
−
(
)
− = ⏟� −
−
−
−
−
=
=
=
=
=
�−
−
−
−
−
+ dan
=
− , maka
+
+
+
+ �− −
+
− �+
−
�− − +
−
− +
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Karena ∘ = ℎ, maka = ℎ ∘ − .
Jadi
= ℎ( −
), artinya substitusikan fungsi
Invers akan dibahas nanti.
Halaman 50
� �
�
� �
�−
+
=?
−
−
� −
=
−
−
+
+ ,
−
− =−
=−
−
+ ,
−
−
=
ke fungsi komposisi ℎ.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan Invers Fungsi
Contoh Soal 1:
Jika
=
− , tentukan
−
!
Penyelesaian:
=
−
=
−
= +
+
=
+
−
=
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan =
− ,
Urutan operasi yang dilakukan terhadap adalah:
1. Dikalikan 2
2. Dikurangi 1
Maka operasi invers adalah BALIK OPERASI DAN BALIK URUTAN:
1. Ditambah 1
2. Dibagi 2
Sehingga:
−
=
+
Contoh Soal 2:
Jika
=
−
+ , tentukan
Penyelesaian:
=
−
=
−
=
−
= −
−
= +
−
−
=√ +
−
!
+
+
+ −
−
=√ + +
=√ + +
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
=
−
+ ubah dulu menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna, sehingga menjadi
= −
− .
Urutan operasi yang dilakukan terhadap adalah:
1. Dikurangi 2
2. Dikuadratkan
3. Dikurangi 1
Maka operasi invers adalah BALIK OPERASI DAN BALIK URUTAN:
1. Ditambah 1
2. Diakar kuadrat
3. Ditambah 2
Sehingga:
−
=√ + +
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 51
Contoh Soal 3:
+
=
+
Tentukan −
!
Penyelesaian:
=
+
+
−
−
−
=
=
=
=−
=−
−
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
− +
=
−
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
− +
+
=
=
⇒ −
−
+
Tukarkan dan ubah tanda diagonal utama.
=
Halaman 52
+
+
⇒
−
=
−
+
−
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
Diketahui fungsi f ( x) 3x 1 dan g ( x) 2 x 2 3. Komposisi fungsi ( g f )(x) ....
A. 9 x 2 3x 1
TRIK SUPERKILAT:
∘
= (
)
B. 9 x 2 6 x 3
∘
artinya substitusikan
ke
.
=
−
Coba
ah
iseng
saya
substitusikan
=
ke
,
C. 9 x 2 6 x 6
−
=
−
ternyata hasilnya
=− .
2
=
−
+ −
D. 18x 12x 2
Iseng lagi ah, saya substitusikan = − ke
,
2
=
−
+ −
E. 18x 12x 1
Ternyata hasilnya − = − .
=
2.
−
−
Lalu saya substitusikan 0 ke semua pilihan
jawaban. Mana yang hasilnya − ? Ternyata
jawaban E saja!
Diketahui fungsi f ( x) 2 x 3 dan g ( x) x 2 2 x 3. Komposisi fungsi ( g f )(x) ....
TRIK SUPERKILAT:
= (
)
A. 2 x 2 4 x 9 ∘
∘
artinya substitusikan
ke
2
=
−
B. 2 x 4 x 3
Coba
ah
iseng
saya
substitusikan
=
ke
=
−
+
− −
ternyata hasilnya
=− .
C. 4 x 2 6 x 18
=
−
+ +
− −
Iseng lagi ah, saya substitusikan = − ke
D. 4 x 2 8 x
=
−
ternyata hasilnya − = − .
Lalu saya substitusikan 1 ke semua pilihan
E. 4 x 2 8 x
.
Diketahui fungsi f ( x) 2 x 1 dan g ( x) x 2 4 x. Komposisi fungsi ( f g )(x) ....
TRIK SUPERKILAT:
= (
)
A. 2 x 2 8x 2 ∘
∘
artinya substitusikan
ke
2
=
−
B. 2 x 8 x 2
Coba ah iseng saya substitusikan = ke
=
−
+
ternyata hasilnya
= .
C. 2 x 2 8 x 1
=
−
+
Iseng lagi ah, saya substitusikan = ke
2
D. 2 x 8 x 2
ternyata hasilnya
= .
Lalu saya substitusikan 0 ke semua pilihan
E. 2 x 2 8 x 1
.
,
,
jawaban. Mana yang hasilnya − ? Ternyata hanya
dipenuhi oleh jawaban E saja!
3.
,
,
jawaban. Mana yang hasilnya ? Ternyata hanya
dipenuhi oleh jawaban C saja!
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 53