ANALISIS DAN VISUALISASI GERAK TRIPLE PENDULUM NONLINIER MENGGUNAKAN MATHEMATICA 9 SKRIPSI RUSSELL ONG 110801031
NLISIS DN VISULISSI GERK TRIPLE PENDULUM
NONLINIER MENGGUNKN MTHEMTIC 9
SKRIPSI
RUSSELL ONG
110801031
DEPRTEMEN FISIK
FKULTS MTEMTIK DN ILMU PENGETHUN LM
UNIVERSITS SUMTER UTR
MEDN
2016
Universitas Sumatera Utara
NLISIS DN VISULISSI GERK TRIPLE PENDULUM NONLINIER
MENGGUNKN MTHEMTIC 9
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar
Sarjana Sains
RUSSELL ONG
110801031
DEPRTEMEN FISIK
FKULTS MTEMTIK DN ILMU PENGETHUN LM
UNIVERSITS SUMTER UTR
MEDN
2016
Universitas Sumatera Utara
i
PERSETUJUAN
Judul
: ANALISIS DAN VISUALISASI GERAK TRIPLE
PENDULUM NONLINIER MENGGUNAKAN
MATHEMATICA 9
Kategori
: SKRIPSI
Nama
: RUSSELL ONG
NIM
: 110801031
Program Studi
: SARJANA (S1) FISIKA
Departemen
: FISIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA
Disetujui di
Medan,
Maret 2016
Komisi Pembimbing:
Pembimbing I
Dr. Mester Sitepu, M.Sc, M.Phil
NIP. 195503161982031002
Pembimbing II
Tua Raja Simbolon, S.Si, M.Si
NIP. 197211152000121001
Disetujui oleh :
Departemen Fisika FMIPA USU
Ketua
Dr. Marhaposan Situmorang
NIP.195510301980031003
Universitas Sumatera Utara
ii
PERNYATAAN
ANALISIS DAN VISUALISASI GERAK TRIPLE PENDULUM
NONLINIER MENGGUNAKAN MATHEMATICA 9
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
Kutipan dan ringkasan yang masing – masing disebutkan sumbernya.
Medan, Maret 2016
RUSSELL ONG
110801031
Universitas Sumatera Utara
iii
PENGHARGAAN
Penulis mengucapkan segala puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa/Allah
karena atas limpahan rahmat dan karuniaNya penulisa dapat menyelesaikan studi
selama perkuliahan dan dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul,
“Analisis dan Visualisasi Gerak Triple Pendulum Nonlinier Menggunakan
Mathematica 9”. Saya menyadari bahwa tidak akan pernah ada keberhasilan
tanpa dukungan, oleh karena itu dalam kesempatan ini, penulis mengucapkan
terima kasih yang sebesar-besarnya kepada mereka yang telah mendukung penulis
bahkan sampai pada penyelesaian skripsi ini.
1. Kepada kedua orang tua yang tercinta dan tersayang Bapak Rusdy Usman dan
Ibu Lisma Yukarnaen, serta adik penulis Ryan Ongdrus yang telah
memberikan doa dan dukungannya baik moril maupun materil selama penulis
kuliah sampai penyelesaian skripsi ini.
2. Kepada Bapak Dr. Mester Sitepu, M.Sc, M.Phil selaku Dosen Pembimbing I
dan Bapak Tua Raja Simbolon, S.Si, M.Si selaku Pembimbing II penulis
dalam menyelesaikan skripsi ini yang selalu terbuka dalam memberikan
bimbingan maupun motivasi dalam penulisan skripsi ini.
3. Kepada Bapak Dr. Marhaposan Situmorang selaku ketua departemen Fisika
USU dan kepada Bapak Drs. Syahrul Humaidi, M.Sc selaku sekretaris
jurusan beserta semua dosen departemen Fisika USU yang telah mendidik
penulis menjadi fisikawan. kemudian, kepada Bapak Dr. Nasruddin M. Noor,
M. Eng.Sc selaku dosen wali saya selama mengikuti perkuliahan banyak
memberikan masukan dan nasehat.
4. Kepada Kak Tini, Bang Johaidin Saragih, dan Kak Yusfa selaku staff
departemen fisika yang telah membantu dalam mengurus administrasi kuliah
dan memberikan kepercayaan kepada penulis dalam berbagai kegiatan
kampus.
5. Kepada Pak Herli Giting,MS selaku Kepala Lab Fiskom beserta Pak Takdir
Tamba dan Pak Awan Magfirah, dan bang Herya Wandra (staff ahli lab
Fiskom) yang telah mempercayai saya sebagai asisten untuk menangani Lab
Fisika Komputasi.
Universitas Sumatera Utara
iv
6. Kepada Keluarga besar FMIPA USU, Bapak Dr. Sutarman M.Sc selaku
Dekan yang telah memberikan nasehat yang yang baik bagi penulis selama
menjalani perkuliahan terutama dalam mengikuti suatu kompetisi, Ibu Dr.
Marpongahtun, M.Sc selaku Wakil Dekan I yang telah meringankan masalah
administrasi dan mengingatkan penulis masalah akademik, Bapak Dr. Kerista
Sebayang, MS. yang banyak membantu penulis dan merekomendasikan
penulis dalam berbagai kegiatan diluar akademik dan beasiswa, beserta
jajarannya.
7. Kepada Keluarga besar Physics Prolix fisika angkatan 2011: Togar(komting),
David(Ketua IMF), Ancela(Sekretaris IMF), Putri(Bendahara IMF), Nova,
Desi, Misael, Henni, Rahel, Tabita, Rinto, William – Wahyu(kawan sisten
Lab Fiskom), Hendri PB, Dosni, Iwan, Simon, Stefen, Ingot, Ilham, Darma,
Fahmi, Tri, Sri, Intan, Indah, Jepri, Jerri, Hendra Damos, Hendra
Panggabean, David L., Nensi, Juliana, Ivo, Lurani, Tabita, Pesta, Ita, Randy,
Dyana, Widya, Lilis, Eman, Trisno, Parasian, Jansius, Fitri, Rusti, Jusprin,
dan Hendra Nababan yang telah setia menemani penulis berjuang selama
menjalai perkuliahan dari 0 hingga selesai.
8. Kepada kawan2 di fisika teoritis : Adimas Agung, Tirto A. Syahid, Piko A B,
dan Ade Ferry Irawan
9. Kepada adik2 angkatan 2012, 2013, 2014, dan 2015.
10. Kepada adik Lin Huan-Yu(Wahyutin Ekananda) yang setia menemani penulis
dalam suka-duka kehidupan penulis terutama dalam proses pengerjaan
skripsi.
11. Kepada kakak Ong Ci-Wie(Alween Ong) yang telah memberikan masukan
solusi dalam menghadapi kritikan sebagai saudara seiman.
12. Kepada Keluarga Besar PEMA FMIPA USU: Ganda Wijaya(Gubernur) dan
Abdul Rahim(Wakil Gubernur) beserta jajarannnya.
13. Kepada Keluarga Besar PEMA USU: Brillian A Rasyid (presiden USU) dan
Abdul Rahim(Wakil Presiden USU) beserta jajarannya.
14. Kepada Sahabat Setia Jeddah Yanti Chaniago yang telah menemani penulis
dalam petualangan Fisika, kak Miranda Rizka Anggrani, Prof Terry Mart ,
Alm. Drs. Tenang Ginting, MS. yang memberikan motivasi dan semangat
Universitas Sumatera Utara
v
dalam melanjutkan Fisika Teoritis. dan Humaira Efendi yang telah membuat
penulis mengetahui akan kebenaran hidup yakni kebenaran Agama Islam.
15. Kepada Bang Adri Huda (Ketua IMK), Bang Diky (Komting Matematika
2010), Bang Aan, bang Suman, Kak Sumiyati, dan kak Annisa yang
membukakan pikiran penulis ke dunia eksperimen sehingga tidak melulu di
teori terus-menerus.
16. Kepada kawan- kawan di lingkungan MIPA : Juli, Ayu, Abral, Dian, Jepri,
Putri, Ketty, Windry, atit, Aisyah, Faqih, Nuril, Clara, Ronggur, Palupi,
Junita, Septi, Anie, Nisa, Wanna, Iki, Fatya, Raihan, Dinda, Vadhya, Cut,
Putri^3, Rizky, Redondo, Afif, Mariyati, Delly, Kak Fitri, Palupi Rahayu,
Bang Oki, Steven, Harnisya, Frico, Kak Melly, Fatur, Marina dllnya yang
tidak bisa disebutkan penulis. Terima Kasih atas kebersamaan selama 4 tahun
ini. Kalian akan selalun dikenang penulis untuk selamanya.
17. Keluarga besar KMB(Keluarga Mahasiswa Buddhis) USU: Vivian Felicia,
Julius Gunawan, Thomson, Shelly, Ci Shelly Chandra, Stefen, Adriyanus,
Weillun, Gilbert, Seriching, Hendra, Jeffrey, dkk yang memberikan
pengalaman dan pemahaman yang banyak tentang agama Buddha.
18. Keluarga Besar ILMMIPA Wilayah I: Randika Irwa Rizky(Gubernur BEM
FMIPA UNP) dan jajarannya beserta Rido Nofalshah(Gubernur BEM FMIPA
UNAND) dan jajarannya
19. Kepada abang kakak Senior 2010,2009, 2008 dan alumni.
Penulis menyadari bahwa penulisan Skripsi ini masih jauh dari
sempurna karena keterbatasan pengetahuan dan ilmu yang dimiliki
penulis. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran- saran dari pembaca
untuk menyempurnakan skripsi ini. Kiranya Skripsi ini dapat bermanfaat
bagi pembaca.
Medan,
Penulis
Universitas Sumatera Utara
vi
ANALISIS DAN VISUALISASI GERAK TRIPLE PENDULUM
NONLINIER DENGAN MENGGUNAKAN MATHEMATICA 9
ABSTRAK
Telah dibuat program untuk simulasi dan animasi gerak triple pendulum nonlinier
dengan perangkat lunak Wolfram Mathematica versi 9. Persamaan gerak triple
pendulum diperoleh dari persamaan Lagrange yang dioperasikan pada fungsi
Lagrangain. Hasil persamaan gerak diplot berupa grafik perbandingan posisi
pendulum 1 dengan posisi pendulum 2, posisi pendulum 2 dengan posisi
pendulum 3, perbandingan simpangan x pada pendulum 1 dengan pendulum 2 dan
perndulum 2 dengan pendulum 3, Perbandingan simpangan y pada pendulum 1
dengan pendulum 2 dan pendulum 2 dengan pendulum 3, grafik perbandingan
simpangan x dan y pada masing-masing pendulum, perbandingan lintasan pada
dua kondisi awal yang berbeda dan diagram fasa tiap-tiap pendulum. Grafik –
grafik ini dipakai untuk menganalisis sistem mulai dari keadaan periodik hingga
keadaan chaos. Animasi dari sistem diberikan untuk memperjelas dimana keadaan
chaos terjadi pada gerak pendulum. Variasi yang digunakan dalam animasi berupa
variasi sudut, massa, dan panjang tali. Dari pengujian dan eksplorasi terhadap
dinamika gerak sistem dapat dikatakan bahwa program ini sudah baik untuk
mempelajari karakteristik gejala chaos.
Kata Kunci : Triple Pendulum, Mathematica 9, chaos
Universitas Sumatera Utara
vii
ANALYSIS AND VISUALISATION OF NONLINEAR TRIPLE
PENDULUM WITH MATHEMATICA 9
ABSTRACT
The Program for simulation and animation of nonlinier triple pendulum motion
have been done by Wolfram Mathematica software version 9. The Triple
pendulum equation was derived from Lagrange equation that operated to
Langrangian function. The result of the equation were plotted in graphics of the
comparison of position pendulum 1 with pendulum 2, the comparison of position
pendulum 2 with pendulum 3, the comparison of graphics x deviation on
pendulum 1 with pendulum 2 and pendulum 2 with pendulum 3, the comparison
of graphics y deviation on pendulum pendulum 1 with pendulum 2 and pendulum
2 with pendulum 3, the comparison of graphics x and y deviation’s on every
pendulum, the comparison of trajectories derived by two different initial
conditions, and the phase diagram of each pendulum. These Graphics were used
to observe the system from periodic to chaos state. The animation of these system
were given in order to show chaos state in its motion clearly. The variation that
were used at animation i.e. variation angle, mass and rope length. From the
experiment of this program and the exploration of dynamics in the system, it can
be said that this program works well to learn chaos.
Keywords: Triple Pendulum, Mathematica 9, chaos
Universitas Sumatera Utara
viii
DAFTAR ISI
Halaman
Persetujuan .................................................................................................................i
Pernyataan ............................................................................................................... ii
Penghargaan ............................................................................................................ iii
Abstrak .................................................................................................................... vi
Abstract .................................................................................................................. vii
Daftar Isi.................................................................................................................. viii
Daftar Tabel ..............................................................................................................x
Daftar Gambar ......................................................................................................... xi
Daftar Lampiran ...................................................................................................... xii
Bab 1. Pendahuluan
1.1
Latar Belakang .................................................................................................1
1.2
Rumusan Masalah ...........................................................................................2
1.3
Batasan Masalah .............................................................................................2
1.4
Tujuan Penelitian ............................................................................................3
1.5
Manfaat Penelitian ..........................................................................................3
1.6
Sistematika Penulisan .....................................................................................3
Bab 2. Tinjauan Pustaka
2.1
Teori Chaos .....................................................................................................5
2.1.1 Studi Chaos secara numerik ...................................................................7
2.1.1.1 Ruang Fasa .................................................................................8
2.1.1.2 Penggandaan Perioda .................................................................9
2.1.2 Chaos dan Pengaruhnya Dalam Sains ...................................................10
2.2
Dinamika Sistem Triple Pendulum.................................................................12
2.3
Fungsi Lagrangian ..........................................................................................13
2.4
Persamaan Lagrange .......................................................................................14
2.5
Pemrograman dengan Mathematica 9 ............................................................15
Universitas Sumatera Utara
ix
Bab 3. Analisis Masalah dan Perancangan Program
3.1
Analisis Masalah .............................................................................................17
3.1.1 Persamaan Gerak Triple Pendulum Nonlinier ......................................17
3.1.2 Penentuan Ruang Fasa ...........................................................................18
3.2
Perancangan Program......................................................................................19
3.2.1 Perancangan Diagram Alir (Flowchart)................................................19
3.3.2 Algoritma Program Bantu ....................................................................23
Bab 4. Hasil dan Pembahasan
4.1
Keadaan Periodik ............................................................................................27
4.2
Keadaan Kuasperiodik ....................................................................................32
4.3
Keadaan Chaos................................................................................................36
4.4
Perbandingan Keadaan Sistem untuk Variasi Nilai Beberapa Parameter .......41
Bab 5. Kesimpulan dan Saran
5.1
Kesimpulan ....................................................................................................48
5.2
Saran ..............................................................................................................49
Daftar Pustaka
Lampiran
:
A
Menterjemahkan Setiap Langkah demi Langkah ke Bahsa Mathematica 9.52
B
Listing Program Simulasi Gerak Triple Pendulum Nonlinier ……………..59
C
Penjabaran Persamaan Lagrange Sistem Triple Pendulum……….………66
D
Grafik Ruang Fasa untuk Perbandingan sistem dengan Variasi Beberapa
Parameter …..…………………………………………………………..…..70
Universitas Sumatera Utara
x
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi sudut simpangan awal,
sudut pendulum2 dan sudut pendulum3 ....................................................41
Tabel 4.2 Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi panjang tali pendulum1,
sudut pendulum2 dan sudut pendulum3 ....................................................43
Tabel 4.3 Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi panjang tali pendulum2,
sudut pendulum2 dan sudut pendulum3 ....................................................44
Tabel 4.4 Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi panjang tali pendulum3,
sudut pendulum2 dan sudut pendulum3 ....................................................44
Tabel 4.5 Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi massa pendulum1, sudut
pendulum2 dan sudut pendulum3 ..............................................................45
Tabel 4.6 Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi massa pendulum2, sudut
pendulum2 dan sudut pendulum3 ..............................................................46
Tabel 4.7 Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi massa pendulum3, sudut
pendulum2 dan sudut pendulum3 ..............................................................46
Tabel 4.8 Hasil pengujian keadaan sistem untuk massa dan tali yang sama .............47
Universitas Sumatera Utara
xi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Model Cuaca Edward Lorentz................................................................5
Gambar 2.2 Bawah, skala dari energi potensial V(θ) untuk sistem terkendali pada
pendulum, atas, menunjukkan lintasan ruang fasa pada tiga tingkatan
energi .......................................................................................................8
Gambar 2.3 Sistem triple pendulum dengan θ1 sebagai posisi pendulum 1, θ2
sebagai posisi pendulum 2 dan θ3 sebagai posisi pendulum 3 ................12
Gambar 3.1 Diagram alir simulasi dan animasi persamaan gerak triple pendulum
nonlinier dengan metode Euler-Lagrange ...............................................21
Gambar 4.1 Hasil eksekusi program ”Animasi & Visualisasi Gerak Triple
Pendulum Nonlinier” pada lampiran .......................................................27
Gambar 4.2 Ruang fasa pada m1 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1,
ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8........................27
Gambar 4.3 Ruang fasa pada m2 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1
ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8........................28
Gambar 4.4 Ruang fasa pada m3 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1,
ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8........................28
Gambar 4.5 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1
= l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 =
3Pi/8. .......................................................................................................28
Gambar 4.6 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1
= l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = 5Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3
= 3Pi/8. ....................................................................................................29
Gambar 4.7 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1
= l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 =
3Pi/8. .......................................................................................................29
Gambar 4.8 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1
= l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = 5Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3
= 3Pi/8. ....................................................................................................29
Universitas Sumatera Utara
xii
Gambar 4.9 Grafik x(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 =
ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8 (Pendulum1 dan
pendulum2)..............................................................................................30
Gambar 4.10 Grafik x(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8 (Pendulum2 dan
pendulum3)..............................................................................................30
Gambar 4.11 Grafik y(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8 (Pendulum1 dan
pendulum2)..............................................................................................30
Gambar 4.12 Grafik y(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8 (Pendulum2 dan
pendulum3)..............................................................................................30
Gambar 4.13 Grafik x1 vs y1 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8.. ...........................31
Gambar 4.14 Grafik x2 vs y2 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8.. ...........................31
Gambar 4.15 Grafik x3 vs y3 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8.. ...........................31
Gambar 4.16 Grafik θ1 vs θ2 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8.. ...........................31
Gambar 4.17 Grafik θ2 vs θ3 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8.. ...........................32
Gambar 4.18 Ruang fasa pada m1 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g =
1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat
range waktu 1s-15s.. ................................................................................32
Gambar 4.19 Ruang fasa pada m2 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g =
1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat
range waktu 1s-15s.. ................................................................................33
Gambar 4.20 Ruang fasa pada m3 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g =
1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat
range waktu 1s-15s.. ................................................................................33
Universitas Sumatera Utara
xiii
Gambar 4.21 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1,
l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3
= 3Pi/7 pada saat range waktu 1s-35s.. ...................................................33
Gambar 4.22 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1,
l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan
θ3 = 3Pi/7 pada saat range waktu 1s-35s.. ...............................................34
Gambar 4.23 Grafik x(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat range
waktu 1s-35s(pendulum1 dan pendulum2).. ...........................................34
Gambar 4.24 Grafik x(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat range
waktu 1s-35s(pendulum2 dan pendulum3).... .........................................35
Gambar 4.25 Grafik y(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat range
waktu 1s-35s(pendulum1 dan pendulum2).... .........................................35
Gambar 4.26 Grafik y(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat range
waktu 1s-35s(pendulum2 dan pendulum3).... .........................................35
Gambar 4.27 Grafik x2 vs y2 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat range
waktu 1s-35s.... ........................................................................................35
Gambar 4.28 Grafik x3 vs y3 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat range
waktu 1s-35s.... ........................................................................................36
Gambar 4.29 Grafik θ1 vs θ2 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat range
waktu 1s-35s.... ........................................................................................36
Gambar 4.30 Grafik θ2 vs θ3 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat range
waktu 1s-35s.... ........................................................................................36
Universitas Sumatera Utara
xiv
Gambar 4.31 Ruang fasa pada m1 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g =
1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/11 pada saat
range waktu 1s-90s.... ..............................................................................37
Gambar 4.32 Ruang fasa pada m2 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g =
1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/11 pada saat
range waktu 1s-90s.... ..............................................................................37
Gambar 4.33 Ruang fasa pada m3 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g =
1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/11 pada saat
range waktu 1s-90s.... ..............................................................................37
Gambar 4.34 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1,
l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3
= 3Pi/11 pada saat range waktu 1s-35s.... ...............................................38
Gambar 4.35 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1,
l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan
θ3 = 3Pi/11 pada saat range waktu 1s-35s.... ...........................................38
Gambar 4.36 Grafik x(t) vs t m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 =
ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/11(Pendulum1 dan
pendulum2)..............................................................................................39
Gambar 4.37 Grafik x(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/11(Pendulum2 dan
pendulum3)..............................................................................................39
Gambar 4.38 Grafik y(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/11(Pendulum1 dan
pendulum2)..............................................................................................39
Gambar 4.39 Grafik y(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/11(Pendulum2 dan
pendulum3)..............................................................................................40
Gambar 4.40 Grafik x2 vs y2 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/11.... .......................40
Gambar 4.41 Grafik x3 vs y3 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/11.... .......................40
Universitas Sumatera Utara
xv
Gambar 4.42 Grafik θ1 vs θ2 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/11.... .......................40
Gambar 4.43 Grafik θ2 vs θ3 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/11.... .......................40
Gambar 4.44 Animasi Pendulum saat gerakan chaos dengan m1 = m2 = m3 =1, l1
= l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = 0-0.84, θ2 = 1.31, dan θ3 =
1.17 .... .....................................................................................................42
Gambar 4.45 Animasi Pendulum saat gerakan kuasiperiodik dengan m1 = m2 = m3
=1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = 0.85-1.14, θ2 =
1.31, dan θ3 = 1.17 ..................................................................................42
Gambar 4.46 Animasi Pendulum saat gerakan periodik dengan m1 = m2 = m3 =1,
l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = 0.85-1.14, θ2 = 1.31,
dan θ3 = 1.17 ...........................................................................................42
Universitas Sumatera Utara
NONLINIER MENGGUNKN MTHEMTIC 9
SKRIPSI
RUSSELL ONG
110801031
DEPRTEMEN FISIK
FKULTS MTEMTIK DN ILMU PENGETHUN LM
UNIVERSITS SUMTER UTR
MEDN
2016
Universitas Sumatera Utara
NLISIS DN VISULISSI GERK TRIPLE PENDULUM NONLINIER
MENGGUNKN MTHEMTIC 9
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar
Sarjana Sains
RUSSELL ONG
110801031
DEPRTEMEN FISIK
FKULTS MTEMTIK DN ILMU PENGETHUN LM
UNIVERSITS SUMTER UTR
MEDN
2016
Universitas Sumatera Utara
i
PERSETUJUAN
Judul
: ANALISIS DAN VISUALISASI GERAK TRIPLE
PENDULUM NONLINIER MENGGUNAKAN
MATHEMATICA 9
Kategori
: SKRIPSI
Nama
: RUSSELL ONG
NIM
: 110801031
Program Studi
: SARJANA (S1) FISIKA
Departemen
: FISIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA
Disetujui di
Medan,
Maret 2016
Komisi Pembimbing:
Pembimbing I
Dr. Mester Sitepu, M.Sc, M.Phil
NIP. 195503161982031002
Pembimbing II
Tua Raja Simbolon, S.Si, M.Si
NIP. 197211152000121001
Disetujui oleh :
Departemen Fisika FMIPA USU
Ketua
Dr. Marhaposan Situmorang
NIP.195510301980031003
Universitas Sumatera Utara
ii
PERNYATAAN
ANALISIS DAN VISUALISASI GERAK TRIPLE PENDULUM
NONLINIER MENGGUNAKAN MATHEMATICA 9
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
Kutipan dan ringkasan yang masing – masing disebutkan sumbernya.
Medan, Maret 2016
RUSSELL ONG
110801031
Universitas Sumatera Utara
iii
PENGHARGAAN
Penulis mengucapkan segala puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa/Allah
karena atas limpahan rahmat dan karuniaNya penulisa dapat menyelesaikan studi
selama perkuliahan dan dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul,
“Analisis dan Visualisasi Gerak Triple Pendulum Nonlinier Menggunakan
Mathematica 9”. Saya menyadari bahwa tidak akan pernah ada keberhasilan
tanpa dukungan, oleh karena itu dalam kesempatan ini, penulis mengucapkan
terima kasih yang sebesar-besarnya kepada mereka yang telah mendukung penulis
bahkan sampai pada penyelesaian skripsi ini.
1. Kepada kedua orang tua yang tercinta dan tersayang Bapak Rusdy Usman dan
Ibu Lisma Yukarnaen, serta adik penulis Ryan Ongdrus yang telah
memberikan doa dan dukungannya baik moril maupun materil selama penulis
kuliah sampai penyelesaian skripsi ini.
2. Kepada Bapak Dr. Mester Sitepu, M.Sc, M.Phil selaku Dosen Pembimbing I
dan Bapak Tua Raja Simbolon, S.Si, M.Si selaku Pembimbing II penulis
dalam menyelesaikan skripsi ini yang selalu terbuka dalam memberikan
bimbingan maupun motivasi dalam penulisan skripsi ini.
3. Kepada Bapak Dr. Marhaposan Situmorang selaku ketua departemen Fisika
USU dan kepada Bapak Drs. Syahrul Humaidi, M.Sc selaku sekretaris
jurusan beserta semua dosen departemen Fisika USU yang telah mendidik
penulis menjadi fisikawan. kemudian, kepada Bapak Dr. Nasruddin M. Noor,
M. Eng.Sc selaku dosen wali saya selama mengikuti perkuliahan banyak
memberikan masukan dan nasehat.
4. Kepada Kak Tini, Bang Johaidin Saragih, dan Kak Yusfa selaku staff
departemen fisika yang telah membantu dalam mengurus administrasi kuliah
dan memberikan kepercayaan kepada penulis dalam berbagai kegiatan
kampus.
5. Kepada Pak Herli Giting,MS selaku Kepala Lab Fiskom beserta Pak Takdir
Tamba dan Pak Awan Magfirah, dan bang Herya Wandra (staff ahli lab
Fiskom) yang telah mempercayai saya sebagai asisten untuk menangani Lab
Fisika Komputasi.
Universitas Sumatera Utara
iv
6. Kepada Keluarga besar FMIPA USU, Bapak Dr. Sutarman M.Sc selaku
Dekan yang telah memberikan nasehat yang yang baik bagi penulis selama
menjalani perkuliahan terutama dalam mengikuti suatu kompetisi, Ibu Dr.
Marpongahtun, M.Sc selaku Wakil Dekan I yang telah meringankan masalah
administrasi dan mengingatkan penulis masalah akademik, Bapak Dr. Kerista
Sebayang, MS. yang banyak membantu penulis dan merekomendasikan
penulis dalam berbagai kegiatan diluar akademik dan beasiswa, beserta
jajarannya.
7. Kepada Keluarga besar Physics Prolix fisika angkatan 2011: Togar(komting),
David(Ketua IMF), Ancela(Sekretaris IMF), Putri(Bendahara IMF), Nova,
Desi, Misael, Henni, Rahel, Tabita, Rinto, William – Wahyu(kawan sisten
Lab Fiskom), Hendri PB, Dosni, Iwan, Simon, Stefen, Ingot, Ilham, Darma,
Fahmi, Tri, Sri, Intan, Indah, Jepri, Jerri, Hendra Damos, Hendra
Panggabean, David L., Nensi, Juliana, Ivo, Lurani, Tabita, Pesta, Ita, Randy,
Dyana, Widya, Lilis, Eman, Trisno, Parasian, Jansius, Fitri, Rusti, Jusprin,
dan Hendra Nababan yang telah setia menemani penulis berjuang selama
menjalai perkuliahan dari 0 hingga selesai.
8. Kepada kawan2 di fisika teoritis : Adimas Agung, Tirto A. Syahid, Piko A B,
dan Ade Ferry Irawan
9. Kepada adik2 angkatan 2012, 2013, 2014, dan 2015.
10. Kepada adik Lin Huan-Yu(Wahyutin Ekananda) yang setia menemani penulis
dalam suka-duka kehidupan penulis terutama dalam proses pengerjaan
skripsi.
11. Kepada kakak Ong Ci-Wie(Alween Ong) yang telah memberikan masukan
solusi dalam menghadapi kritikan sebagai saudara seiman.
12. Kepada Keluarga Besar PEMA FMIPA USU: Ganda Wijaya(Gubernur) dan
Abdul Rahim(Wakil Gubernur) beserta jajarannnya.
13. Kepada Keluarga Besar PEMA USU: Brillian A Rasyid (presiden USU) dan
Abdul Rahim(Wakil Presiden USU) beserta jajarannya.
14. Kepada Sahabat Setia Jeddah Yanti Chaniago yang telah menemani penulis
dalam petualangan Fisika, kak Miranda Rizka Anggrani, Prof Terry Mart ,
Alm. Drs. Tenang Ginting, MS. yang memberikan motivasi dan semangat
Universitas Sumatera Utara
v
dalam melanjutkan Fisika Teoritis. dan Humaira Efendi yang telah membuat
penulis mengetahui akan kebenaran hidup yakni kebenaran Agama Islam.
15. Kepada Bang Adri Huda (Ketua IMK), Bang Diky (Komting Matematika
2010), Bang Aan, bang Suman, Kak Sumiyati, dan kak Annisa yang
membukakan pikiran penulis ke dunia eksperimen sehingga tidak melulu di
teori terus-menerus.
16. Kepada kawan- kawan di lingkungan MIPA : Juli, Ayu, Abral, Dian, Jepri,
Putri, Ketty, Windry, atit, Aisyah, Faqih, Nuril, Clara, Ronggur, Palupi,
Junita, Septi, Anie, Nisa, Wanna, Iki, Fatya, Raihan, Dinda, Vadhya, Cut,
Putri^3, Rizky, Redondo, Afif, Mariyati, Delly, Kak Fitri, Palupi Rahayu,
Bang Oki, Steven, Harnisya, Frico, Kak Melly, Fatur, Marina dllnya yang
tidak bisa disebutkan penulis. Terima Kasih atas kebersamaan selama 4 tahun
ini. Kalian akan selalun dikenang penulis untuk selamanya.
17. Keluarga besar KMB(Keluarga Mahasiswa Buddhis) USU: Vivian Felicia,
Julius Gunawan, Thomson, Shelly, Ci Shelly Chandra, Stefen, Adriyanus,
Weillun, Gilbert, Seriching, Hendra, Jeffrey, dkk yang memberikan
pengalaman dan pemahaman yang banyak tentang agama Buddha.
18. Keluarga Besar ILMMIPA Wilayah I: Randika Irwa Rizky(Gubernur BEM
FMIPA UNP) dan jajarannya beserta Rido Nofalshah(Gubernur BEM FMIPA
UNAND) dan jajarannya
19. Kepada abang kakak Senior 2010,2009, 2008 dan alumni.
Penulis menyadari bahwa penulisan Skripsi ini masih jauh dari
sempurna karena keterbatasan pengetahuan dan ilmu yang dimiliki
penulis. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran- saran dari pembaca
untuk menyempurnakan skripsi ini. Kiranya Skripsi ini dapat bermanfaat
bagi pembaca.
Medan,
Penulis
Universitas Sumatera Utara
vi
ANALISIS DAN VISUALISASI GERAK TRIPLE PENDULUM
NONLINIER DENGAN MENGGUNAKAN MATHEMATICA 9
ABSTRAK
Telah dibuat program untuk simulasi dan animasi gerak triple pendulum nonlinier
dengan perangkat lunak Wolfram Mathematica versi 9. Persamaan gerak triple
pendulum diperoleh dari persamaan Lagrange yang dioperasikan pada fungsi
Lagrangain. Hasil persamaan gerak diplot berupa grafik perbandingan posisi
pendulum 1 dengan posisi pendulum 2, posisi pendulum 2 dengan posisi
pendulum 3, perbandingan simpangan x pada pendulum 1 dengan pendulum 2 dan
perndulum 2 dengan pendulum 3, Perbandingan simpangan y pada pendulum 1
dengan pendulum 2 dan pendulum 2 dengan pendulum 3, grafik perbandingan
simpangan x dan y pada masing-masing pendulum, perbandingan lintasan pada
dua kondisi awal yang berbeda dan diagram fasa tiap-tiap pendulum. Grafik –
grafik ini dipakai untuk menganalisis sistem mulai dari keadaan periodik hingga
keadaan chaos. Animasi dari sistem diberikan untuk memperjelas dimana keadaan
chaos terjadi pada gerak pendulum. Variasi yang digunakan dalam animasi berupa
variasi sudut, massa, dan panjang tali. Dari pengujian dan eksplorasi terhadap
dinamika gerak sistem dapat dikatakan bahwa program ini sudah baik untuk
mempelajari karakteristik gejala chaos.
Kata Kunci : Triple Pendulum, Mathematica 9, chaos
Universitas Sumatera Utara
vii
ANALYSIS AND VISUALISATION OF NONLINEAR TRIPLE
PENDULUM WITH MATHEMATICA 9
ABSTRACT
The Program for simulation and animation of nonlinier triple pendulum motion
have been done by Wolfram Mathematica software version 9. The Triple
pendulum equation was derived from Lagrange equation that operated to
Langrangian function. The result of the equation were plotted in graphics of the
comparison of position pendulum 1 with pendulum 2, the comparison of position
pendulum 2 with pendulum 3, the comparison of graphics x deviation on
pendulum 1 with pendulum 2 and pendulum 2 with pendulum 3, the comparison
of graphics y deviation on pendulum pendulum 1 with pendulum 2 and pendulum
2 with pendulum 3, the comparison of graphics x and y deviation’s on every
pendulum, the comparison of trajectories derived by two different initial
conditions, and the phase diagram of each pendulum. These Graphics were used
to observe the system from periodic to chaos state. The animation of these system
were given in order to show chaos state in its motion clearly. The variation that
were used at animation i.e. variation angle, mass and rope length. From the
experiment of this program and the exploration of dynamics in the system, it can
be said that this program works well to learn chaos.
Keywords: Triple Pendulum, Mathematica 9, chaos
Universitas Sumatera Utara
viii
DAFTAR ISI
Halaman
Persetujuan .................................................................................................................i
Pernyataan ............................................................................................................... ii
Penghargaan ............................................................................................................ iii
Abstrak .................................................................................................................... vi
Abstract .................................................................................................................. vii
Daftar Isi.................................................................................................................. viii
Daftar Tabel ..............................................................................................................x
Daftar Gambar ......................................................................................................... xi
Daftar Lampiran ...................................................................................................... xii
Bab 1. Pendahuluan
1.1
Latar Belakang .................................................................................................1
1.2
Rumusan Masalah ...........................................................................................2
1.3
Batasan Masalah .............................................................................................2
1.4
Tujuan Penelitian ............................................................................................3
1.5
Manfaat Penelitian ..........................................................................................3
1.6
Sistematika Penulisan .....................................................................................3
Bab 2. Tinjauan Pustaka
2.1
Teori Chaos .....................................................................................................5
2.1.1 Studi Chaos secara numerik ...................................................................7
2.1.1.1 Ruang Fasa .................................................................................8
2.1.1.2 Penggandaan Perioda .................................................................9
2.1.2 Chaos dan Pengaruhnya Dalam Sains ...................................................10
2.2
Dinamika Sistem Triple Pendulum.................................................................12
2.3
Fungsi Lagrangian ..........................................................................................13
2.4
Persamaan Lagrange .......................................................................................14
2.5
Pemrograman dengan Mathematica 9 ............................................................15
Universitas Sumatera Utara
ix
Bab 3. Analisis Masalah dan Perancangan Program
3.1
Analisis Masalah .............................................................................................17
3.1.1 Persamaan Gerak Triple Pendulum Nonlinier ......................................17
3.1.2 Penentuan Ruang Fasa ...........................................................................18
3.2
Perancangan Program......................................................................................19
3.2.1 Perancangan Diagram Alir (Flowchart)................................................19
3.3.2 Algoritma Program Bantu ....................................................................23
Bab 4. Hasil dan Pembahasan
4.1
Keadaan Periodik ............................................................................................27
4.2
Keadaan Kuasperiodik ....................................................................................32
4.3
Keadaan Chaos................................................................................................36
4.4
Perbandingan Keadaan Sistem untuk Variasi Nilai Beberapa Parameter .......41
Bab 5. Kesimpulan dan Saran
5.1
Kesimpulan ....................................................................................................48
5.2
Saran ..............................................................................................................49
Daftar Pustaka
Lampiran
:
A
Menterjemahkan Setiap Langkah demi Langkah ke Bahsa Mathematica 9.52
B
Listing Program Simulasi Gerak Triple Pendulum Nonlinier ……………..59
C
Penjabaran Persamaan Lagrange Sistem Triple Pendulum……….………66
D
Grafik Ruang Fasa untuk Perbandingan sistem dengan Variasi Beberapa
Parameter …..…………………………………………………………..…..70
Universitas Sumatera Utara
x
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi sudut simpangan awal,
sudut pendulum2 dan sudut pendulum3 ....................................................41
Tabel 4.2 Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi panjang tali pendulum1,
sudut pendulum2 dan sudut pendulum3 ....................................................43
Tabel 4.3 Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi panjang tali pendulum2,
sudut pendulum2 dan sudut pendulum3 ....................................................44
Tabel 4.4 Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi panjang tali pendulum3,
sudut pendulum2 dan sudut pendulum3 ....................................................44
Tabel 4.5 Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi massa pendulum1, sudut
pendulum2 dan sudut pendulum3 ..............................................................45
Tabel 4.6 Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi massa pendulum2, sudut
pendulum2 dan sudut pendulum3 ..............................................................46
Tabel 4.7 Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi massa pendulum3, sudut
pendulum2 dan sudut pendulum3 ..............................................................46
Tabel 4.8 Hasil pengujian keadaan sistem untuk massa dan tali yang sama .............47
Universitas Sumatera Utara
xi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Model Cuaca Edward Lorentz................................................................5
Gambar 2.2 Bawah, skala dari energi potensial V(θ) untuk sistem terkendali pada
pendulum, atas, menunjukkan lintasan ruang fasa pada tiga tingkatan
energi .......................................................................................................8
Gambar 2.3 Sistem triple pendulum dengan θ1 sebagai posisi pendulum 1, θ2
sebagai posisi pendulum 2 dan θ3 sebagai posisi pendulum 3 ................12
Gambar 3.1 Diagram alir simulasi dan animasi persamaan gerak triple pendulum
nonlinier dengan metode Euler-Lagrange ...............................................21
Gambar 4.1 Hasil eksekusi program ”Animasi & Visualisasi Gerak Triple
Pendulum Nonlinier” pada lampiran .......................................................27
Gambar 4.2 Ruang fasa pada m1 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1,
ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8........................27
Gambar 4.3 Ruang fasa pada m2 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1
ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8........................28
Gambar 4.4 Ruang fasa pada m3 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1,
ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8........................28
Gambar 4.5 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1
= l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 =
3Pi/8. .......................................................................................................28
Gambar 4.6 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1
= l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = 5Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3
= 3Pi/8. ....................................................................................................29
Gambar 4.7 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1
= l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 =
3Pi/8. .......................................................................................................29
Gambar 4.8 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1
= l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = 5Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3
= 3Pi/8. ....................................................................................................29
Universitas Sumatera Utara
xii
Gambar 4.9 Grafik x(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 =
ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8 (Pendulum1 dan
pendulum2)..............................................................................................30
Gambar 4.10 Grafik x(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8 (Pendulum2 dan
pendulum3)..............................................................................................30
Gambar 4.11 Grafik y(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8 (Pendulum1 dan
pendulum2)..............................................................................................30
Gambar 4.12 Grafik y(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8 (Pendulum2 dan
pendulum3)..............................................................................................30
Gambar 4.13 Grafik x1 vs y1 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8.. ...........................31
Gambar 4.14 Grafik x2 vs y2 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8.. ...........................31
Gambar 4.15 Grafik x3 vs y3 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8.. ...........................31
Gambar 4.16 Grafik θ1 vs θ2 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8.. ...........................31
Gambar 4.17 Grafik θ2 vs θ3 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/8.. ...........................32
Gambar 4.18 Ruang fasa pada m1 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g =
1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat
range waktu 1s-15s.. ................................................................................32
Gambar 4.19 Ruang fasa pada m2 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g =
1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat
range waktu 1s-15s.. ................................................................................33
Gambar 4.20 Ruang fasa pada m3 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g =
1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat
range waktu 1s-15s.. ................................................................................33
Universitas Sumatera Utara
xiii
Gambar 4.21 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1,
l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3
= 3Pi/7 pada saat range waktu 1s-35s.. ...................................................33
Gambar 4.22 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1,
l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan
θ3 = 3Pi/7 pada saat range waktu 1s-35s.. ...............................................34
Gambar 4.23 Grafik x(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat range
waktu 1s-35s(pendulum1 dan pendulum2).. ...........................................34
Gambar 4.24 Grafik x(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat range
waktu 1s-35s(pendulum2 dan pendulum3).... .........................................35
Gambar 4.25 Grafik y(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat range
waktu 1s-35s(pendulum1 dan pendulum2).... .........................................35
Gambar 4.26 Grafik y(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat range
waktu 1s-35s(pendulum2 dan pendulum3).... .........................................35
Gambar 4.27 Grafik x2 vs y2 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat range
waktu 1s-35s.... ........................................................................................35
Gambar 4.28 Grafik x3 vs y3 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat range
waktu 1s-35s.... ........................................................................................36
Gambar 4.29 Grafik θ1 vs θ2 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat range
waktu 1s-35s.... ........................................................................................36
Gambar 4.30 Grafik θ2 vs θ3 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/7 pada saat range
waktu 1s-35s.... ........................................................................................36
Universitas Sumatera Utara
xiv
Gambar 4.31 Ruang fasa pada m1 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g =
1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/11 pada saat
range waktu 1s-90s.... ..............................................................................37
Gambar 4.32 Ruang fasa pada m2 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g =
1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/11 pada saat
range waktu 1s-90s.... ..............................................................................37
Gambar 4.33 Ruang fasa pada m3 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g =
1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/11 pada saat
range waktu 1s-90s.... ..............................................................................37
Gambar 4.34 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1,
l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3
= 3Pi/11 pada saat range waktu 1s-35s.... ...............................................38
Gambar 4.35 Grafik Sensitivitas kondisi awal θ(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1,
l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = 7Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan
θ3 = 3Pi/11 pada saat range waktu 1s-35s.... ...........................................38
Gambar 4.36 Grafik x(t) vs t m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 =
ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/11(Pendulum1 dan
pendulum2)..............................................................................................39
Gambar 4.37 Grafik x(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/11(Pendulum2 dan
pendulum3)..............................................................................................39
Gambar 4.38 Grafik y(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/11(Pendulum1 dan
pendulum2)..............................................................................................39
Gambar 4.39 Grafik y(t) vs t dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/11(Pendulum2 dan
pendulum3)..............................................................................................40
Gambar 4.40 Grafik x2 vs y2 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/11.... .......................40
Gambar 4.41 Grafik x3 vs y3 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/11.... .......................40
Universitas Sumatera Utara
xv
Gambar 4.42 Grafik θ1 vs θ2 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/11.... .......................40
Gambar 4.43 Grafik θ2 vs θ3 dengan m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1
= ω2 = ω3 = 0, θ1 = Pi/2, θ2 = 5Pi/12, dan θ3 = 3Pi/11.... .......................40
Gambar 4.44 Animasi Pendulum saat gerakan chaos dengan m1 = m2 = m3 =1, l1
= l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = 0-0.84, θ2 = 1.31, dan θ3 =
1.17 .... .....................................................................................................42
Gambar 4.45 Animasi Pendulum saat gerakan kuasiperiodik dengan m1 = m2 = m3
=1, l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = 0.85-1.14, θ2 =
1.31, dan θ3 = 1.17 ..................................................................................42
Gambar 4.46 Animasi Pendulum saat gerakan periodik dengan m1 = m2 = m3 =1,
l1 = l2 = l3 = 1, g = 1, ω1 = ω2 = ω3 = 0, θ1 = 0.85-1.14, θ2 = 1.31,
dan θ3 = 1.17 ...........................................................................................42
Universitas Sumatera Utara