1 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SDMI
SOAL-SOAL LATIHAN 1
1. Hari ini usiaku kali usia ayahku. Sepuluh tahun yang lalu usiaku kali usia 4
10 ayahku pada waktu itu. Berapakah usiaku sekarang?
2. Jika dan , tentukanlah .
3. Ayu menghabiskan Rp 2.200,00 untuk membeli 2 bungkus kacang dan 4 bungkus keripik. Putri membeli 3 bungkus kacang dan 2 bungkus keripik dan menghabiskan
Rp 2.100,00. Carilah harga sebungkus keripik.
4. Misalnya m dan n dua bilangan asli. Jika faktor persekutuan terbesar dari m dan n m
adalah 3 dan
; maka hasilkali mn adalah….
n 20
5. Banyaknya bilangan bulat di antara 100 dan 1000 yang habis dibagi 11 adalah….
6. Sebuah sekolah memiliki sejumlah komputer. Sekelompok siswa akan menggunakan komputer-komputer tersebut. Jika setiap kemputer digunakan oleh
dua orang, ada dua orang siswa yang tidak mendapat komputer. Jika setiap computer digunakan oleh tiga orang, ada dua computer yang tidak terpakai. Hitunglah banyaknya komputer di sekolah tersebut.
7. Penduduk Jawa Tengah adalah 25% dari penduduk pulau Jawa dan 15% dari penduduk Indonesia. Berapa persen penduduk Indonesia yang tinggal di luar Pulau Jawa?
8. Di suatu hotel, rata-rata 96% kamar terpakai sepanjang sebulan liburan kenaikan kelas dan rata-rata 72% kamar terpakai sepanjang sebelas bulan lainnya. Carilah
rata-rata pemakaian kamar sepanjang tahun di hotel tersebut.
9. Jika 2007 dibagi ke dalam tiga bagian dengan perbandingan 2 : 3 : 4, carilah bagian terbesar.
10. Iwan selalu berbohong pada hari Senin, Selasa, Rabu, dan berkata jujur pada hari- hari lainnya. Di lain pihak Budi selalu berbohong pada hari Kamis, Jumat, Sabtu,
dan berkata jujur pada hari-hari lainnya. Pada suatu hari terjadi percakapan berikut: Iwan: Kemarin saya berbohong. Budi: Saya juga. Pada hari apa percakapan tersebut terjadi?
SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1
1. Misalnya usiaku = a tahun dan usia ayahku = b tahun, maka 1
b 4 a ……………………………(1) 1
a 10 ( b 10 ) …………………(2)
10 Dari persamaan (1) dan (2), kita memperoleh:
Jadi, usiaku sekarang adalah 15 tahun.
2. p q q 3 3
3. Misalnya harga 1 bungkus kacang adalah a rupiah dan harga 1 bungkus keripik
adalah b rupiah, maka
2 a b 4 20
a 10 2 b ….…..………(1)
3 a b 2 2100 …………...(2) Dari persamaan (1) dan (2), kita memperoleh:
a 10 2 b 3 a b 2 2100
3 ( 10 2 b ) 2 b 2100 30 6 b 2 b 2100
4 b 1200
b 300
Jadi, harga sebungkus keripik adalah Rp 300,00.
4. n 20 5 4
Faktor persekutuan terbesar adalah 3, maka m 2 3 6
n 5 3 15
Sehingga m = 6 dan n = 15.
Jadi, mn 6 15 90 .
5. Barisan bilangan: 110, 121, 132, …,990
a = 110, u n = 990, b = 121 110 = 11
990 = 110 + (n – 1)11 880 = (n – 1)11
80 = n –1 n = 81 Jadi, banyaknya bilangan bulat di antara 100 dan 1000 yang habis dibagi 11 adalah
81 buah.
6. Misalnya banyak komputer = a buah dan banyak siswa = b orang, maka
b a 2 2
b a 2 2 ……………(1) b
3 a b 6 …………..(2) Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh:
b a 2 2 3 a b 6
3 a a ( 2 2 ) 6
3 a a 2 2 6
Jadi, banyaknya komputer di sekolah tersebut adalah 8 buah.
7. Misalnya penduduk Indonesia = x jiwa. Penduduk Jawa Tengah = 15% x jiwa Penduduk Jawa Tengah = 25% penduduk Pulau Jawa
Penduduk Pulau Jawa =
penduduk Jawa Tengah
x = 25 100
3 x jiwa =
Penduduk di luar Pulau Jawa = x x x jiwa.
2 x Jadi, penduduk luar Pulau Jawa = 5 100 % 40 %
8. Rata-rata pemakaian kamar sepanjang tahun di hotel itu
9. Bagian terbesar
10. Senin Selasa
Sabtu Minggu
Iwan bohong bohong bohong jujur
jujur Jujur Budi
jujur bohong bohong bohong jujur
Iwan: Kemarin saya berbohong (Kamis-Jujur) Budi: Saya juga (Kamis-Bohong) Jadi, percakapan tersebut terjadi pada hari Kamis.
SOAL-SOAL LATIHAN 2
1. Bulan-bulan sabit yang diarsir diperoleh dengan menggambar setengah lingkaran pada 3 sisi dari segitiga siku-siku ABC. Cari ratio dari luas daerah yang diarsir dengan segitiga ABC.
2. Benda-benda pejal itu masing-masing tersusun dari 6 buah kubus satuan. Yangmana dua dari mereka adalah sama?
3. ABCD adalah sebuah persegi dengan pusat O. Lingkaran-lingkaran digambarkan sekitar A, B, C, dan D sebagai pusat, masing-masing dengan jari-jari AO, BO, CO,
dan DO yang sama, yang berpotongan di P, Q, R, dan S. Jika AB = 8 cm, carilah luas daerah yang diarsir.
4. Enam kartu berbentuk persegi dengan masing-masing sisi 10 cm disusun seperti tampak pada gambar di bawah ini. Temukan luas keseluruhan daerah yang tertutupi
oleh kartu-kartu itu.
5. Dinda merencanakan memotong persegi yang diarsir dari segitiga. Jika sisi segitiga
8 cm, 15, cm, dan 17 cm, cari ukuran persegi itu?
6. Pada gambar di bawah A, B, C, dan D adalah pusat 4 lingkaran. Jari-jari setiap lingkaran adalah 20 cm. Cari luas keseluruhan bagian yang diarsir. (Ambil = 3,14).
7. Segitiga ABC sama kaki, D adalah titik pada sisi BC sehingga EAD = 30 o ; E adalah titik pada sisi AC sehingga AD = AE. Cari EAD.
8. Sebuah jajargenjang dibagi ke dalam 4 jajargenjang kecil P, Q, R dan S. Luas P, Q
2 2 dan R masing-masing adalah 10 cm 2 , 20 cm dan 60 cm . Carilah luas dari R.
9. Cari rasio luas daerah lingkaran yang diarsir dengan sektor OAB.
10. Sebuah persegi berukuran 3 2 dapat ditutupi oleh persegi berukuran 2 1 dengan
3 cara yang berbeda, seperti tampak pada gambar di bawah.
Ada berapa cara yang berbeda dapat dilakukan untuk menutupi gambar di bawah dengan persegi berukuran 2 1?
SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 2
1. Luas daerah yang diarsir = luas bangun itu seluruhnya – luas lingkaran besar
Luas segitiga ABC AC BC
1 1 Luas daerah yang diarsir : luas segitiga ABC = AC BC : AC BC = 1 : 1. 2 2
2. Bangun yang sama adalah bangun B dan D.
3. R
A 8 cm
Panjang AB = 8 cm, maka OA SA 4 2 cm
90 o
Luas tembereng SO
o π r OA SA
4 2 ( 8 π 16 ) cm
Luas daerah yang diarsir = luas lingkaran – 8 luas tembereng
4. Luas keseluruhan daerah yang tertutupi oleh kartu-kartu itu
256 512 128 768 256 2 1 . 152 cm
5. Misalnya panjang sisi persegi adalah x, maka
5 Jadi, persegi terbesar memiliki ukuran panjang sisi adalah 5 cm.
AB AD BD CB CD = 20 + 20 = 40 cm.
ABD dan CBD adalah segitiga sama sisi dan kongruen.
o A B C D = 60 + 120 + 120 + 60 = 360
Luas keseluruhan bagian yang diarsir = luas lingkaran
7. Karena segitiga ABC sama kaki, maka
B D C Jadi, ukuran dari o EAD adalah 15 .
Q 20 Jadi, luas D adalah 30 cm 2 .
9. Jika jari-jari lingkaran yang diarsir adalah PQ PR PS r , maka OP r 2 ,
sehingga jari-jari sector OAB r r 2 r 1 2
Jadi, rasio luas daerah dari lingkaran yang diarsir S
2 2 dengan sector OAB r π r : π
OR
10.
Jadi, gambar itu dapat ditutup dengan persegi panjang 2 1 dengan 8 cara yang berbeda.
SOAL-SOAL LATIHAN 3
1. Hitunglah 1 2 3 4 2004 . 2 3 6 12
2. Dua puluh satu silinder identik dimuat pada tiga truk. Tujuh buah kosong, 7 buah berisi setengah minyak, dan 7 buah berisi penuh minyak. Tentukan susunan banyak
silinder yang dimuat pada setiap truk agar beratnya sama.
3. Ada dua buah takaran berukuran 5 liter dan 3 liter. Dapatkah Anda mengukur tepat
4 liter air dengan dua buah takaran itu?
4. Seorang anak laki-laki menuliskan umur ayahnya setelah menuliskan umurnya. Untuk bilangan empat angka ini ia menambahkan 16 kali perbedaan antara umur
mereka dan diperoleh 1991. Carilah umur mereka masing-masing.
5. Untuk sebarang bilangan x dan y , simbol x y didefinisikan sebagai
x y xy x y . Hitung 4 , 5 7 , dan 8 9 . 8
6. Seekor ikan memiliki ekor sepanjang kepalanya ditambah seperempat panjang tubuhnya. Tubuhnya tiga perempat dari panjang keseluruhan. Panjang kepalanya 10 cm. Berapa panjang total ikan itu?
7. Annisa mempunyai 20 lembar uang di dompetnya. Dalam bentuk pecahan 10 ribu,
20 ribu dan 50 ribu. Total jumlah uangnya adalah 500 ribu. Jika dia memiliki pecahan 50 ribu lebih banyak daripada 10 ribu. Berapa banyak pecahan 10 ribu yang ia miliki?
8. Carilah banyaknya angka nol yang berurutan pada bilangan hasil dari perkalian 1 23 … 2006 2007.
9. Sebuah bilangan yang terdiri dari enam angka dimulai dengan angka 1. Tiga kali bilangan ini sama dengan bilangan semula tetapi angka 1 terletak diakhir angka.
Temukan bilangan-bilangan itu.
10. Berapa banyak bilangan bulat positif yang merupakan solusi dari persamaan
a b c 10 ?
SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 3
1) Isikan air ke dalam takaran 5 liter sampai penuh, kemudian tuangkan air itu ke dalam takaran 3 liter. (Sisa 2 liter pada takaran 5 liter). Kosongkan takaran 3 liter.
2) Isikan air yang 2 liter ke dalam takaran yang 3 liter.
3) Isikan air takaran 5 liter sampai penuh dan tuangkan 1 liter untuk mengisi takaran yang 3 liter.
4) Pada takaran 5 liter sekarang tersisa tepat 4 liter.
Strategi 2:
1) Isikan air ke dalam takaran 5 liter sampai penuh, kemudian tuangkan air itu ke dalam takaran 3 liter. Sisa 2 liter dimasukkan ke dalam suatu tempat untuk menampung air sebanyak 4 liter. Kosongkan takaran 3 liter.
2) Isikan air ke dalam takaran 5 liter sampai penuh, kemudian tuangkan air itu ke dalam takaran 3 liter. Sisa 2 liter dimasukkan ke dalam suatu tempat untuk menampung air sebanyak 4 liter itu. Dengan demikian, kita telah memperoleh
tepat 4 liter air.
4. Misalnya umur anak laki-laki x tahun dan ayahnya y tahun, maka: 100 x y 16 ( y x ) 1991
x 2 y 117 5 x
17 Dalam kasus ini 17 harus habis membagi x 2 dan 117 5 y , yang hanya
mungkin dipenuhi oleh x 15 dan y 43 .
Jadi, umur anak laki-laki adalah 15 tahun dan ayahnya berumur 43 tahun.
6. Misalnya a , b , c , dan d adalah panjang kepala, panjang badan, panjang ekor, dan panjang total, maka:
c a b b 4 c 4 a … .... (1)
b d d b ……………. (2)
a 10 ……………. (3)
d a b c .......... (4)
Substitusikan a 10 ke persamaan (1), diperoleh:
c 10 b 4
b c 4 40 ……... (5)
Substitusikan a 10 dan d b ke persamaan (4), diperoleh:
b 10 b c 3
4 b 30 3 b 3 c
b c 3 30 ………. (6) Dari persamaan (5) dan (6) diperoleh:
Substitusikan c 70 ke persamaan (6), diperoleh:
b 3 ( 70 ) 30
b 240
Substitusikan b 240 ke persamaan (2), diperoleh:
d ( 240 ) 320 3
Jadi, panjang total ikan adalah 320 cm.
7. Misalnya jumlah pecahan 50 ribu = x, pecahan 20 ribu = y, maka jumlah pecahan
10 ribu = 20 ( x y ) , sehingga persoalan itu dapat dinyatakan sebagai berikut.
50 x 20 y 10 20 ( x y ) 500
y 30 4 x Sekarang kita secara sistematis dapat menentukan kemungkinan jawaban..
Dengan mencoba mensubstitusikan nilai x ke dalam persamaan terakhir. Dari persamaan itu kita tidak dapat mensubstitusikan nilai x = 1, 2, dan 3; karena akan menghasilakn jumlah pecahan uang yang lebih dari 20.
Perhatikan daftar kemungkinan berikut ini.
50 ribu (x)
20 ribu (y)
Kita tidak dapat melajutkan untuk x 7 , karena akan diperoleh nilai y negatif. Dari 4 kemungkinan itu yang memenuhi syarat adalah empat pecahan 50 ribu, 14 pecahan 20 ribu, dan 2 pecahan 10 ribu.
8. Bilangan 5 1 = 5 menghasilkan 1 angka 0. Bilangan 5 2 = 25 menghasilkan 2 angka 0. Bilangan 5 3 = 125 menghasilkan 3 angka 0. Bilangan 5 4 = 625 menghasilkan 4 angka 0.
Jadi, banyaknya angka nol yang berurutan pada bilangan hasil dari perkalian
1 23 … 2006 2007 adalah 401 + 80 + 16 + 3 = 500 buah.
9. Misalnya bilangan semula adalah abcde 1 , maka
1abcde
abcde1
Agar e 3 menghasilkan angka akhir 1, maka haruslah e = 7.
Agar d 3 2 menghasilkan angka akhir 7, maka haruslah d = 5. Agar c 3 1 menghasilkan angka akhir 5, maka haruslah c = 8.
Agar b 3 2 menghasilkan angka akhir 8, maka haruslah b = 2. Agar a 3 menghasilkan angka akhir 2, maka haruslah a = 4.
Jadi, bilangan-bilangan itu adalah 142857 dan 428571.
10. Persoalan ini ekuivalen dengan penjumlahan bilangan dari solusi untuk a b n , dengan n berkisar antara 2 dan 9.
a b 2 ( c 8 ) : {a, b}= {1, 1}
a b 3 ( c 7 ) : {a, b}= {1, 2}; {2, 1}
a b 4 ( c 6 ) : {a, b}= {1, 3}; {2, 2}; {3, 1}
a b 5 ( c 5 ) : {a, b}= {1, 4}; {2, 3}; {3, 2}; {4, 1}
a b 6 ( c 4 ) : {a, b}= {1, 5}; {2, 4}; {3, 3}; {4, 2}; {5, 1} a b 6 ( c 4 ) : {a, b}= {1, 5}; {2, 4}; {3, 3}; {4, 2}; {5, 1}
a b 8 ( c 2 ) : {a, b}= {1, 7}; {2, 6}; {3, 5}; {4, 4}; {5, 3}; {6, 2}; {7, 1}
a b 9 ( c 1 ) : {a, b}= {1, 8}; {2, 7}; {3, 6}; {4, 5}; {5, 4}; {6, 3}; {7, 2}; {8, 1} Jadi, banyak bilangan bulat positif yang merupakan solusi dari persamaan tersebut
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36.
SOAL-SOAL LATIHAN 4
1. a. Aturlah angka-angka 1, 2, 3, dan 4, satu ke dalam masing-masing kotak, sedemikian sehingga hasilkalinya sebesar mungkin.
b. Aturlah angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5, satu ke dalam masing-masing kotak, sedemikian sehingga hasilkalinya sebesar mungkin.
c. Berapa bilangan yang terbesar dapat ditemukan dengan sebuah perkalian menggunakan masing-masing angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 hanya sekali ?
d. Berapa bilangan yang terbesar dapat ditemukan dengan sebuah perkalian menggunakan masing-masing angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 hanya sekali ?
e. Berapa bilangan yang terbesar dapat ditemukan dengan sebuah perkalian menggunakan masing-masing angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8 hanya sekali ?
f. Berapa bilangan yang terbesar dapat ditemukan dengan sebuah perkalian menggunakan masing-masing angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 hanya sekali ?
2. Nyatakan dalam hasil bagi bilangan rasional.
a. 2,005 c. 0,444… e. 31,253253…
b. 19,54 d. 0,6565…
4. Carilah sisa pembagian apabila bilangan 10.327 dan 11.351 dibagi dengan bilangan yang terdiri atas tiga digit masing-masing memberikan sisa yang sama.
5. Pendapatan kotor dari penjualan produk air mineral dalam kemasan botol perusahaan “Pasti Makmur” pada suatu saat adalah Rp 1.000.000.000,00. Setelah dipelajari oleh bagian keuangan, ada hal yang menarik perhatiannya, bukannya nilai total penjualan itu, melainkan bahwa banyaknya air mineral yang terjual dan harganya tidak mengandung satu pun angka nol. Berapakah banyaknya air mineral dalam kemasan botol yang terjual ?
6. Apabila diberikan
8 9 = 145 Hitunglah 7 5 dan 12 9.
7. Bilangan 17 dapat dinyatakan sebagai bentuk jumlah beberapa bilangan positif. Misalnya 17 = 11 + 6 dan hasil kali penguraiannya adalah 11 6 = 66; 17 = 2 + 3
+ 5 + 7 dan hasil kali penguraiannya adalah 2 3 5 7 = 210. Dapatkah anda menemukan penguraian bilangan 17 yang hasil kalinya terbesar ?
8. Carilah nilai yang dapat menggantikan huruf-huruf pada operasi berkut ini.
9. Bilangan berangka enam a1989b habis dibagi 72. Carilah bilangan itu dan hasil baginya!
10. Dinda pergi ke sanggar senam setiap 3 hari sekali, Annisa setiap 2 hari sekali, dan Fitri setiap 5 hari sekali. Pada tanggal 24 September 2002 ketiganya datang
bersama-sama. Berapakah hari lagi mereka akan bersama-sama kembali ?
SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 4
c. Strategi 1:
Misalnya x 0 , 444 ... , maka
10 x 4 , 44 ... x 0 , 444 ...
9x = 4 4
4 Jadi, 0 , 444 ... .
Strategi 2:
a = 0,4 dan r
4 Jadi, 0 , 444 ... . 9
Catatan: 0,444… biasa ditulis juga sebagai 4 0 , .
d. Strategi 1:
Misalnya x 0 , 6565 ... , maka 100 x 65 , 65 ... x 0 , 6565 ...
a = 0,65 dan r
Catatan: 0,6565… biasa ditulis juga sebagai 65 0 , .
e. Strategi 1:
Misalnya x 31 , 253253 ... , maka 1000 x 31253 , 253 ...
x 31 , 253253 ...
999x = 31222 999x = 31222
Catatan: 31,253253… biasa ditulis juga sebagai 31 , 253 .
3 3. Karena k 2k 4k = 8k 3 dan k 3k 9k = 27k untuk 1 k n
1 2 .... n
3 3 3 1 2 4 2 4 8 ... n 2 n 4 n 3 8
1 3 9 2 6 18 ... n 3 n 9 n 27 1 2 ... n 27 3
4. Misalnya sisa pembagian itu adalah s, maka:
Bilangan pertama:
k 10 . 327 kp s
Bilangan kedua:
c 11 . 351 cp s
Perbedaan antara kedua bilangan itu adalah ( k p c ) 1 . 024 .
Faktor-faktor dari 1.024 yang terdiri dari tiga digit adalah 128, 256, dan 512 merupakan pembagi dari bilangan-bilangan itu. Pada pembagian 10.327 dan 11.351 dengan 512 memberikan sisa yang sama, yaitu s = 87.
5. Pendapatan Rp 1.000.000.000,00 merupakan banyak air mineral gelas dikalikan dengan harganya per gelas.
Berdasarkan pemfaktoran itu dapat dikemukakan bahwa banyaknya air mineral botol adalah 1.953.125 dan harganya Rp 512,00.
2 6. Setelah melakukan uji coba, maka diperoleh bahwa secara umum a b = a 2 +b
2 2 2 Jadi, 7 5 = 7 2 +5 = 74 dan 12 9 = 12 +9 = 225
7. Andaikan bilangan positif itu adalah ditafsirkan sebagai bilangan asli, maka penguraian dari 17 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 2 dan memberikan hasil kali
penguraiannya yang terbesar = 5 3 2 486 .
Andaikan bilangan positif itu ditafsirkan sebagai bilangan rasional, maka penguraian dari 17 17 17 17 17 17 6 17 6 6 6 6 6 dan memberikan hasil kali
17 17 17 17 17 17 17 penguraiannya 6 517
8. I harus 1 atau 2, karena IKAT 4 = TAKI, empat angka.
I tidak mungkin 1, karena IKAT 4 bersatuan genap, maka haruslah I = 2. Kalau I = 2, maka haruslah T = 8.
4 K < 10, maka nilai K yang mungkin adalah 0, 1, atau 2.
4 A + 3 tidak mungkin bersatuan 0 atau 2, maka haruslah K = 1. Karena K = 1, maka haruslah A = 7. Jadi, 2178 4 = 8712.
9. 72 = 8 9. Karena itu:
1. a1989 habis dibagi dengan 8, sehingga b b 89 habis dibagi 8, maka haruslah
2. a1989 habis dibagi dengan 9, sehingga b a 1 9 8 9 b a 33 , maka
haruslah a 3 .
Jadi, bilangan yang diminta adalah 319896 dan hasil baginya adalah 4443.
10. Dinda pergi ke sanggar setiap 3 hari sekali: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, …
Annisa pergi ke sanggar setiap 2 hari sekali: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,
24, 26, 28, 30 , 32, … Fitri pergi ke sanggar setiap 5 hari sekali: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 , 35, …
Lebih sederhana dengan menentukan KPK dari 3, 2, dan 5, yaitu 3 2 5 = 30. Jadi, mereka akan bersama-sama kembali setelah 30 hari.
SOAL-SOAL LATIHAN 5
1. Pada diagram, jika AB = 17 cm, BC = 8 cm, dan AC = 15 cm, cari r.
FO
2. Terdapat 9 persegi pada setiap permukaan kubus. Berapa banyak persegi yang dapat dicat merah jika dua persegi dengan sisi bersamaan tidak dapat keduanya dicat merah?
3. Pada diagram, ABCD adalah sebuah persegi dan AB = 18 cm, titik C dan D adalah pusat lingkaran. Hitung luas daerah yang diarsir.
4. Gambar di bawah ini menunjukkan jaring-jaring kubus yang tiap ditulisi bilangan. Sisi yang diarsir adalah alas kubus. Carilah rasio dari sisi-sisi yang berhadapan.
5. Pada diagram, AB = 24 cm adalah diameter lingkaran dan BC = 12 cm, cari luas daerah yang diarsir.
6. ABCD adalah persegi dengan sisinya 60 cm. Sisi AB bertambah 15% dan sisi AD berkurang 40 % menjadi persegi panjang AKLM. Hitunglah
a. Luas persegi ABCD. b.Luas persegi panjang
c. Berapa persentase luas yang dimiliki persegi ABCD dari persegi sebelum berkurang?)
ML
D 60 cm
7. Diketahui keliling segitiga ABC siku-siku di C adalah 24 cm. Panjang sisi-sisinya merupakan 3 buah bilangan yang berurutan, dengan selisih antara dua bilangan
yang berurtan adalah sama. Hitunglah luas segitiga itu.
8. Berapa bagian gambar yang diarsir?
9. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan persegi ABCD, dengan AB = 10 cm dan besar o DCE = 60 . Cari luas BEC.
60 o
10. Gambar di bawah dibentuk dari tiga persegi yang masing-masing sisinya 8 cm, 16 cm, dan 12 cm. Cari luas daerah yang diarsir.
16 12 cm
8 cm
cm
SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 5
Karena ABC siku-siku di C, maka:
2. Banyak persegi yang dapat dicat merah jika dua persegi dengan sisi yang sama tidak dapat keduanya dicat merah adalah 22 buah.
3. Perhatikan segitiga CDE adalah sama sisi, maka:
60 o 2 1 18 2 Luas tembereng
3 54 π 81 3 cm
o π 18 18
Luas daerah yang diarsir = 2 luas tembereng + luas CDE
108 π 81 3 cm
5. Titik F adalah pusat lingkaran. EF AB .
Luas daerah yang diarsir AB EF
2 2 48 3 cm
6. a. Luas persegi ABCD = 60 60 = 3600 cm 2
b. AK = 60 + 15% 60 = 69 cm AM = 60 40% 60 = 36 cm Luas persegi panjang AKLM = 69 2 36 = 2484 cm
c. Persentase luas yang dimiliki persegi ABCD dari persegi sebelum berkurang 2484
7. Strategi Biasa:
Keliling: a b c 24
a c 24 b ………..….(1)
Sisi-sisinya berurutan dengan beda sama: a, b, c, maka
2 b a c ………………………….(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
b 8 a c 16 …………..…….(3)
b 2 ( c a )( c a ) …………………(4) Dari persamaan (2) dan (4) diperoleh:
b 2 ( c a )( 2 b ) 2 1
c a ( 8 ) 4 2
c 4 a ………………………….(5) Dari persamaan (3) dan (5) diperoleh:
Luas ABC = AC BC 8 6 24 cm .
Strategi Cerdas:
Jika sisi-sisi segitiga siku-siku merupakan bilangan yang berurutan dengan beda antara dua sisi yang berurutan itu sama, maka rasio sisi-sisinya adalah 3k : 4k : 5k atau 3 : 4 : 5. Untuk soal di atas, kita mengerjakannya sebagai berikut.
Luas ABC = a b 6 8 24 cm .
8. Bagian gambar yang diarsir = .
Coba Anda mencari gagasan yang lainnya.
9. BCE = 90 o 60 = 30
A CBE = 90 B 45 = 45 o
45 BF EF E F
CF EF 3 30 o
BF CF BC
60 o BF EF 3 8 D C
BF 1 3 8
8 BF 1 3
Luas BEC BC EF 8
1 1 8 32 2
cm
10. Luas daerah yang diarsir = 16 12 16 8 8 ( 8 16 ) 8
= 224 + 64 96
2 = 192 cm
SOAL-SOAL LATIHAN 6
1. Sifat menarik dari bilangan 599 adalah bila bilangan itu dibagi dengan 6, 5, 4, 3, dan 2, berturut-turut memberikan sisa 5, 4, 3, 2, dan 1. Bilangan terkecil manakah
yang memiliki sifat ini ?
2. Temukanlah 3 buah bilangan yang kurang dari 10.000 yang bila dibagi dengan 10,
9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, dan 2 memberikan sisa yang satu kurangnya dari pembaginya?
3. Angka pertama dari bilangan enam-angka, N sama dengan angka yang keempat, yang kedua sama dengan yang kelima, dan yang ketiga sama dengan yang keenam. Tentukan 3 bilangan pembagi N .
4. Telitilah pola bilangan di bawah ini, kemudian tentukan nilai dari A.
5. Manakah yang paling besar di antara dua bilangan a dan b, jika 150 a 37 dan
b 100 215 ?
6. Manakah yang paling besar di antara dua bilangan a dan b, jika 65 a 2 dan
22 b 7 5 125
7. Manakah yang paling besar di antara dua bilangan a dan b, jika a 5 7 dan
8. Cari setiap huruf pada penjumlahan berikut yang mewakili angka-angka 0 s.d 9 .
FORTY TEN TEN SIXTY +
9. Berapa angka satuan dari 3 1000 ?
10. Perhatikan gambar di bawah ini.
Bilangan 1 sampai 12 ditempatkan sedemikian rupa sehingga jumlah dari 4 bilangan pada tiap-tiap ruas garis adalah sama. Dimana Anda meletakkan angka 7?
SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 6
1. Kunci terhadap masalah ini adalah pemahaman bahwa suatu bilangan yang 1 lebih kecil dari suatu bilangan lain yang mempunyai 6, 5, 4, 3, dan 2 sebagai faktor
memiliki sifat yang dikehendaki. Jadi, bilangan terkecil yang mempunyai sifat ini 1 kurangnya dari kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari 6, 5, 4, 3, dan 2. Untuk sebarang bilangan yang berbentuk (60n – 1), dengan n adalah bilangan asli, akan mempunyai sifat itu. Jadi, bilangan yang terkecil yang mempunyai sifat, bila dibagi oleh 6, 5, 4, 3, dan 2 berturut-turut memberikan sisa yang satu kurangnya dari pembaginya adalah (60 1 – 1) = 59.
2. KPK dari 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, dan 2 adalah 2520. Untuk sebarang bilangan yang berbentuk (2520n – 1), dengan n adalah bilangan
asli, bila dibagi dengan 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, dan 2 selalu memberikan sisa yang satu kurangnya dari pembaginya. Bilangan-bilangan itu yang kurang dari 10.000 adalah 2519, 5039, dan 7559.
3. Misalnya a digit pertama, b digit kedua, dan c digit ketiga, maka
abcabc 1001 abc 7 11 13 abc .
Jadi, tiga bilangan pembagi N adalah 7, 11, dan 13.
4. Perhatikan bilangan pada tiap baris. Polanya adalah jumlah bilangan yang diujung sama dengan jumlah bilangan yang di
tengah.
4 x 20 36 x 56 4 52 Jadi, nilai x adalah 52.
3 50 5. 50 a 37
2 50 b 50 215
Jadi, bilangan yang terbesar adalah a.
22 7 22 3 7 22 21 21 6. 21 b 5 125 5
65 2 63 3 21 a 21 2 2 2 4
Jadi, bilangan yang paling besar adalah a.
2 7. 2 a 5 7 a
b 3 8 b 3 8 3 2 24 8 11 2 24
2 a 2 b a b Jadi, bilangan yang paling besar adalah a.
1 2 3 4 9. 3 5 = 3, 3 = 9, 3 = 27, 3 = 81, 3 = 243 , … Demikian angka satuan terulang setiap
4 pangkat 4. Selanjutnya, 1000 = 4 250 250, maka kita memperoleh 3 = (3 ) = ( 250 1) = 1, dengan menunjukkan bilangan tanpa angka satuan.
Jadi, angka satuan dari 3 1000 adalah 1.
10. Jumlah bilangan tiap ruas garis = 3 + 8 + 6 + 9 = 26.
D = 26 (1 + 5 + 9) = 11
A + C = 26 – (8 + 4) = 14 (A dan C tidak mungkin bernilai 7)
A + B = 26 – (3 + 1) = 22 (jika B bernilai 7, maka A = 15 hal ini tidak mungkin)
B + E = 26 – (4 + 5) = 17 (E = 7 dan B = 10, karena B tidak mungkin 7)
C + E = 26 – (11 + 6) = 9 (E = 7 dan C = 2, karena C tidak mungkin 7) Jadi, nilai 7 terletak pada E
SOAL-SOAL LATIHAN 7
1. Sembilan angka (tidak termasuk nol) pada suatu kalkulator diperlihatkan pada gambar di bawah ini. Sebuah bilangan dibentuk dari dari bilangan-bilangan ini
dengan mengambil tiga angka suatu baris, kolom, atau diagonal utama diikuti dengan tiga angka yang sama yang letaknya sebaliknya. Sebagai ilustrasi 789987, 753357, dan 741147. Dari bilangan-bilangan ini, carilah faktor-faktor primanya. Apakah komentar Anda?
2. Ada lima lima eskul (ekstra kurikuler) di sekolah kami, kata rekan lain yang mengawalinya, yaitu Elektronika, Bahasa Asing, Bela Diri, Basket, dan Kesenian.
Elektronika dilaksanakan setiap hari yang kedua, Bahasa Asing setiap hari yang ketiga, Bela Diri setiap hari yang ke empat, Basket setiap hari yang ke lima, dan Kesenian setiap hari yang ke enam. Lima eskul ini berlaku mulai tanggal 1 Januari, kemudian menurut jadwal itu dan lagi tidak merupakan tahun kabisat. Pertanyaannya:
a. Berapa kalikah semuanya bertemu pada hari yang sama dalam kuartal pertama (1 Januari termasuk)?
b. Ada berapa harikah ketika tak satu pun eskul bertemu dalam kuartal pertama itu?
3. Ada empat bilangan yang jumlah tiga bilangan diantaranya adalah 180, 197, 208, dan 222. Carilah bilangan-bilangan itu?
4. Bilangan yang terdiri dari 5 digit a679b (basis 10) habis dibagi 72. Dapatkah Anda menentukan nilai a dan b?
5. Sebuah bilangan terdiri atas dua angka. Bilangan itu 7 kali jumlah kedua angkanya. Jika kedua digit tersebut dipertukarkan maka akan terbentuk bilangan yang lebih 18
dari jumlah kedua digitnya. Dapatkah Anda menentukan bilangan itu?
6. Carilah sisa pembagian dari
7. Pada tahun 2000 umur Alifba sama dengan jumlah semua digit tahun kelahirannya, Dapatkah Anda menentukan umur Alifba?
8. Diberikan persamaan: a 8 3 b 7 c d 9 e . Dapatkah anda mensubstitusikan atau mengganti huruf-huruf yang diberikan itu, dengan menggunakan angka-angka yang
belum digunakan dari 1 sampai 9, agar menjadi pernyataan yang benar?
9. Dapatkah Anda menemukan pembagian dan perkalian suatu bilangan, sehingga bilangan-bilangan 1 sampai dengan 9 hanya muncul sekali, baik di kedua ruas atau
sebuah ruas saja?
10. Tanpa melakukan pembagian langsung, apakah bilangan 250.673.976 habis dibagi dengan 8 ?
SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 7
741147 3 11 37 607 Jadi, bilangan-bilangan yang dihasilkan memiliki faktor-faktor 3, 11, dan 37.
2. a. Pertanyaan pertama dapat diselesaikan dengan menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 2, 3, 4, 5, dan 6 = 2 3 4 5 6 = 60.
Jadi, mereka akan bertemu bersama-sama lagi pada hari yang ke-61, dengan eskul elektronika setelah selang 30 selang 2 hari, eskul Bahasa Asing setelah 20 selang
3 hari, eskul Bela Diri setelah 15 selang 4 hari, eskul Basket setelah 12 selang 5 hari, dan eskul Kesenian setelah 10 selang 6 hari. Dengan perkataan lain, mereka bersama-sama saling bertemu hanya sekali dalam 60 hari.
b. Pernyataan kedua dapat ditentukan solusinya dengan menuliskan semua bilangan dari 1 sampai 90 (karena 1 kuartal ada 90 hari) hurufnya tidak
ditebalkan menunjukkan semua hari saat eskul itu ada.
3. Misalnya bilangan-bilangan itu adalah a, b, c, dan d , sehingga jumlah tiga bilangan itu dapat dimisalkan sebagai berikut.
a + b + c = 180
a + b + d = 197
a + c + d = 208 a + c + d = 208
Jadi, bilangan-bilangan itu adalah 47, 61, 72, dan 89.
4. Karena 72 adalah faktor dari 8 9, maka bentuk 79b harus habis dbagi 8, sehingga akan diperoleh nilai b = 2, dan karena a6792 habis dibagi 9 , maka a + 6 + 7 + 9 + 2 = 9 atau a + 24 = 9 atau a + 6 = 9, sehingga didapat a = 3.
Jadi, bentuk bilangan lima digit tersebut adalah 36792.
5. Misalnya bilangan itu adalah ab. Berdasarkan informasi pertama diperoleh hubungan
ab = 7 (a + b)
10a + b = 7a + 7b
a = 2b ……………….…(1) Berdasarkan informasi kedua diperoleh
ba = (a + b + 18) 10b + a = a + b + 18
b = 2 …………………. ..(2) Substitusikan nilai b = 2 ke persamaan (1), maka diperoleh a = 4. Jadi, bilangan yang diminta adalah. 42.
2 7 : 7 sisa 2 Jika diteruskan kita akan dapatkan sisa dengan formasi 2-4-1 sehingga
7. Misalnya tahun kelahiran Alifba adalah abcd dan umurnya pada tahun 2000 EF, maka
2000 – EF = abcd ………………….(1)
a + b + c + d = EF ………………….(2) Sehingga diperoleh hubungan
d + F = 10 (karena penjumlahan suku terakhir 0)
c + E = 9 (karena mendapat tambahan angka 1 dari d + F)
Karena a + b + c + d tidak mungkin lebih dari 100, maka Alifba lahir pada tahun 1900-an, sehingga nilai a = 1 dan b = 9.
Sehingga persaman (2) menjadi: 10 + c + d = EF Bilangan EF minimum adalah 10, jika c = 0 dan d = 0. Bilangan EF maksimum adalah 28, jika c = 9 dan d = 9, maka nilai E ada dua
kemungkinan, yaitu 1 atau 2. Untuk E = 1, maka c = 8 sehingga 1+9+8+d=1 F
18 + d = F Maka nilai d = 1 dan F = 9. Jadi, umur Alifba pada tahun 2000 adalah 19 tahun atau lahir pada tahun 1981.
8. 58 3 174 29 6 Jadi, a 5 , b 1 , c 4 , d 2 , dan e 6 .
9. a.
159 (pada kedua ruas muncul angka 1 sampai 9 hanya sekali)
b. 149 . 253 . 678 16 . 583 . 742 9 (pada kedua ruas masing-masing muncul angka 1 sampai 9)
c. 195.287.34 6 32.547.891 6 (pada kedua ruas masing-masing muncul angka 1 sampai 9)
d. 153.749.62 8 51.249.876 3 (pada kedua ruas masing-masing muncul angka 1 sampai 9)
10. Bilangan-bilangan yang habis dibagi:
a. Jika suatu bilangan berakhir dengan digit genap, maka bilangan itu habis dibagi
b. Jika suatu bilangan jumlah digitnya habis dibagi 3, maka bilangan itu habis dibagi 3.
c. Jika suatu bilangan dua digit terakhirnya habis dibagi 4, maka bilangan itu habis dibagi 4.
d. Jika suatu bilangan digit akhirnya 0 atau 5, maka bilangan itu habis dibagi 5.
e. Jika suatu bilangan habis dibagi 2 dan 3, maka bilangan itu habis dibagi 6.
f. Jika suatu bilangan tiga digit terakhirnya habis dibagi 8, maka bilangan itu habis dibagi 8.
Oleh karena bilangan 250.673.976, dengan tiga digit terakhirnya 976 habis dibagi 8, yaitu 122, maka bilangan 250.673.976 pasti habis dibagi 8, yaitu 31.334.247.
SOAL-SOAL LATIHAN 8
1. Di dalam lingkaran yang berpusat di O, dengan luas 1.024 cm 2 , dibuat lingkaran- lingkaran sepusat (konsentris) dengan jari-jari setengah dari jari-jari lingkaran di
luarnya. Cari luas lingkaran ke-5.
O
2. Pada gambar ditunjukkan sebuah benda pejal yang dibangun dari kubus-kubus dengan sisi 1 cm. Cari luas keseluruhan permukaan bangun itu.
3. Berapa banyak segitiga pada gambar ini?
4. Pada gambar, yang digambar tanpa skala, BD = DE, DBC = 40, dan ADE = 100 . Carilah x.
A 100 o x
5. Masing-masing lingkaran I, II, dan III adalah bersinggungan pada dua lingkaran yang lainnya. Luas lingkaran-lingkaran itu masing-masing adalah 81 2 cm , 256
2 cm 2 , 625 cm . Temukan panjang keliling dari segitiga yang dibentuk dengan menghubungkan pusat-pusat lingkaran ini.
II III
6. Pada gambar di bawah, berapa banyak persegi dan persegi panjang yang ada seluruhnya?
7. Perhatikan gambar di bawah ini. AB = 64 cm, BC = 48 cm, CD = 36 cm, dan DE =
27 cm, dengan AB, BC, CD, dan DE adalah diameter dibuat setengah lingkaran.
Cari panjang busur ABCDE. Ambil π
8. 9 lingkaran dengan ukuran sama digambar dalam sebuah persegi seperti tampak pada gambar. Jika jari-jari setiap lingkaran adalah 10 cm, cari luas keseluruhan daerah yang diarsir. (Ambil = 3,14)
10 cm
9. Dengan AB sebagai diameter dibuat lingkaran (P, R). Pada AB terletak titik C, sehingga AC : CB = 3 : 1 . Dengan AC dan BC sebagai diameter dibuat setengah lingkaran. Carilah rasio luas daerah yang diarsir dengan luas daerah yang tidak
diarsir.
Kita dapat menggunakan 6 potongan untuk menutup sebuah persegi panjang berukuran 6 3 sebagai contoh,
Dalam berapa banyak cara yang berbeda dapat menutup persegi panjang berukuran
6 3 itu?
SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 8
= 4 cm 2 Jadi, luas lingkaran ke lima adalah 4 cm 2 .
2. Luas permukaannya = 2 10 6 ( 1 1 ) = 60 cm
3. Banyak segitiga pada gambar tersebut adalah 20 buah dengan perincian 12 segitiga yang kecil, 6 buah segitiga yang sedang, dan 2 buah segitiga yang besar)
4. BDC = ADE = 100 o
E BDC = 180 o ADE
100 x BCD = 180 o (CBD + BDC)
BDC adalah segitiga sama kaki, akibatnya CD BD . Karena CD DE , maka CDE sama kaki.
2 Jadi, o x 50
Jadi, panjang keliling dari segitiga yang dibentuk dengan menghubungkan pusat-
pusat lingkaran ini r I r II r III = 9 + 16 + 25 = 50 cm.
6. Jenis Jumlah ……………………… 13
Jumlah total = 54
Jadi, banyak persegi dan persegi panjang bersama-sama adalah 54 buah.
7. Panjang busur ABCDE π( AB ) π( BC ) π( CD ) π( DE )
L = Luas persegi ABCD – 4 luas lingkaran
Jadi, luas keseluruhan dari bagian yang diarsir adalah 344 cm 2 .
9. AC : CB = 3 : 1
AC R d dan CB R d
Luas daerah diarsir 2 d AC BC
Luas daerah yang tidak diarsir = luas lingkaran besar – luas daerah yang diarsir
d 32
Jadi, rasio luas daerah yang diarsir dengan luas daerah yang tidak diarsir 7 π 2 π 2
Jadi, cara yang berbeda persegi panjang 6 3 dapat ditutup itu adalah 6 cara.
SOAL-SOAL LATIHAN 9
1. Carilah hasil kali dari bilangan-bilangan berikut ini.
a. 68 43 dan 86 34 b. 63 24 dan 36 42 c. 93 dan 13 39 31 Apakah hasil kali pada setiap pasangan sama ? Berikan contoh 6 pasang bilangan lainnya!
2. Sebuah kombinasi angka yang terdiri dari tiga angka, yaitu 9, 5, dan x . Apabila angka-angka itu dibalik dan mengurangi angka semula, maka hasilnya akan memuat
angka-angka yang sama tetapi dalam urutan yang berlainan. Temukan angka x ?
3. a. Dengan bilangan berapa 59 harus dikalikan agar diperoleh 5959?
b. Dengan bilangan berapa 43 harus dikalikan agar diperoleh 434343?
c. Carilah empat bilangan prima yang hasilkalinya dengan sebarang bilangan berangka ab menghasilkan bilangan berangka enam ababab.
d. Selidiki pengaruh hasil kali 73 101 137 terhadap bilangan berangka dua ab.
4. Angka-angka 1 sampai 9 dapat diisikan ke dalam lingkaran-lingkaran kosong pada segitiga dalam berbagai cara, sehingga jumlahnya sepanjang sisi sama. Tetapi sekarang dapatkah anda menemukan susunan semacam itu dengan sifat selain
jumlah sepanjang sisinya sama, juga jumlah kuadrat sepanjang sisinya sama?
5. Hitunglah ....
, dengan n bilangan asli.
7 n 43
7. Carilah semua nilai n bulat yang menyebabkan juga bilangan bulat.
3 2 8. Jika 2 2005 x y , dengan x dan y adalah bilangan asli, carilah nilai x dan y.
3 3 3 3 9. Hitunglah nilai dari 3 1 2 3 ... 2006 2007
10. Tentukan angka satuan dari 1991 1997 .
SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 9
1. a. 68 43 2924 dan 86 34 2924
b. 63 24 1512 dan 36 42 1512
c. 93 13 1209 dan 39 31 1209
Setiap pasangan bilangan itu memiliki faktor yang sama, maka hasil kalinya sama. Misalnya ab dan cd adalah dua buah bilangan masing-masing dengan dua digit, maka
a : b d : c Jadi, enam pasangan bilangan yang memiliki sifat demikian adalah:
a. 36 84 3024 dan 36 48 3024
b. 46 32 1472 dan 64 23 1472
14 c. 82 1148 dan 41 28 1148
d. 12 42 504 dan 21 24 504
e. 24 84 2016 dan 42 48 2016
f. 26 93 2418 dan 62 39 2418
2. Bilangan x 95 sama artinya dengan 9 100 5 10 x .
Bilangan x 95 dibalik menjadi 59 x yang sama artinya dengan x 100 5 10 9 .
900 50 x ( 100 x 50 9 ) 100 x 90 5
199 x 796 x 4 Jadi, x 4 .
3. a. 59 101 = 5959
b. 43 1001 = 434343 b. 43 1001 = 434343
ab 3 7 13 37 ababab Jadi, empat bilangan prima yang diminta adalah 3, 7, 13, dan 37.
d. Hasil kali dari 73 101 137 = 1010101
Jadi, ab 73 101 137 ab 1010101 abababab
5. Misalnya .... x , maka .... x , sehingga
2 4 8 16 4 8 16 32 2 1 3 5 7
.... x 2 4 8 16
1 3 5 7 1 .... x
4 8 16 32 2
1 2 2 2 1 .... x
2 4 8 16 2 1 1 1 1 1
2 .... x
2 4 8 16 2
3 1 x
, dengan n bulat.
n 1 n 1 50
Agar 7 bilangan bulat, maka haruslah n 1 merupakan faktor atau pembagi n 1
dari 50. Dengan demikian, semua nilai n bulat yang diminta adalah 2, 3, 6, 11,
26, 51, 1, 4, 9, 24, dan 49.
Jadi, x 2011015 dan y 2009010
2 1004 4013 = 4.045.168.208
2 3 4 5 6 10. Observasi angka satuan dari 7, 7 7 ,7 ,7 ,7 ,7 ,7 ,… adalah 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1,… yang terulang pada putaran ke-4.
4 497 Jadi, angka satuan dari 3 1997 1997 adalah 3.
1991
SOAL-SOAL LATIHAN 10
1. Diberikan tiga bilangan bulat positif a, b, c sedemikian, sehingga . b c a
a b c Carilah
2. Diketahui a, b, c masing-masing adalah bilangan real positif. Jika , b c a
2003 a 2004 b 2005 c
carilah nilai dari
3. Diketahui a, b, c, d, e, dan f masing-masing adalah bilangan real. Jika
64 , carilah nilai dari
4. Carilah sebuah bilangan bulat positif yang memiliki tepat 8 faktor dan hasil kali 8 faktor itu adalah 331776.
5. Pada perkalian persegi ajaib, a, b, c, …, i adalah bilangan asli. Hasil kali tiga bilangan dalam baris, kolom, atau diagonal sama dengan suatu bilangan konstan k, yang terletak di antara 10000 dan 12000. Carilah nilai k.
6. Jika m dan n bilangan bulat positif yang memenuhi
, carilah nilai dari m n 12
7. Hitunglah
, dengan n bilangan asli
8. Jika a, b, c, dan d adalah bilangan bulat yang memenuhi a ,
30 1
17 1
temukan nilai dari a b c d .
9. Dalam berapa cara 45 dapat diekspresikan sebagai perbedaan dua bilangan bulat kuadrat?
10. Carilah setiap bilangan yang hilang a, b, c, d, e, f, g, dan h pada pembagian berikut ini.
SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 10
1. Karena , maka b c a
2. Karena , maka b c a
2003 a 2004 b 2005 c 2003 a 2004 a 2005 a 6012 a
3. Karena 64 , maka a 64 b , c 64 d , dan e 64 f b d f
2 2 3 2 2 5 3 a c 4 c e e 5 ( 64 b ) ( 64 d ) 4 ( 64 d ) ( 64 f ) ( 64 f )
4. Misalnya 8 buah faktor bilangan bulat positif itu adalah a 1 , a 2 , a 3 , …, a 8 , dengan
a 1 1 , a 8 n , dan a 1 a 8 a 2 a 7 a 3 a 6 a 4 a 5 , maka
4 a 1 a 8 331776
n 4 331776 n 4 331776 = 24
Jadi, sebuah bilangan bulat positif yang memiliki tepat 8 faktor adalah 24.
( aei )( def )( gec )
5. 3 k , maka e k . Karena 10000 k 12000 , maka k 10648 . ( adg )( cfi )
m n 12 1 1 15
m n 36 1 1 3 12
m n 36 36 1 1 1 1
m n 12 3
m 12 dan n 3
2 2 2 m 2 n 12 3 144 9 153
n n1
a b c d 1 1 3 3 8 Jadi, nilai dari a b c d adalah 8.
2 9. Dengan menggunakan konsep 2 x y ( x y )( x y ) , kita memperoleh bahwa
10. 1. Angka d = 4 dan e = 5 (karena 9 5 = 45). Angka b = 8 ( karena 8 – 5 = 3).
2. Angka a = 4 (karena 9 4 = 36).
3. Angka g = 3 dan angka-angka c = f = h = 6. Jadi, pembagian itu lengkapnya adalah:
SOAL-SOAL LATIHAN 11
1. Jika rasio volume dua buah kubus adalah , berapakah rasio luas permukaannya.
2. Pada gambar di bawah ini, terdapat 5 buah titik P, Q, R, S, dan T. PQR dan SQT adalah garis-garis lurus. Berapa banyak segitiga yang dapat dibentuk sedikitnya
oleh 3 dari 5 titik yang ada?
3. Jika jarak titik-titik pusat lingkaran ke titik persekutuan empat lingkaran berikut ini berbanding sebagai 1 : 2 : 4 : 8. Temukan rasio daerah kecil yang diarsir dengan daerah besar yang diarsir.
4. Berapa banyakkah maksimum kotak yang dapat dibentuk dari kubus berukuran 60
cm, jika ukuran kotak harus 4 6 8 ?
5. Diketahui jajargenjang ABCD. Pada pertengahan AB terletak titik M dan pada CD terletak N, sehingga CN : ND = 1 : 2. Hitunglah perbandingan luas trapesium
MBCN dan AMND.
6. Bila Anda menggambar dua lingkaran dan dua garis lurus, berapa jumlah terbanyak titik perpotongan yang akan Anda dapatkan?
7. Luas persegi panjang ABCD adalah 120 cm 2 . Pada sisi CD terletak titik-titik E dan
F, sehingga CP : PQ : QD = 1 : 2 : 1. Perpanjangan AQ dan BP berpotongan G. Tentukan luas ABR.
8. Terdapat 10 garis yang terletak pada suatu bidang, 4 garis dari mereka saling sejajar satu dengan lainnya. Sebuah garis membagi bidang itu ke dalam daerah-daerah.
Temukan jumlah terbesar daerah yang mungkin terjadi.
9. Gunakan sebagai titik sudut pusat lingkaran untuk menggambar lingkaran dari jari- jari yang sama dengan panjang sisi itu. Temukan dalam gambar luas daerah yang
diarsir “bunga” ( Ambil masing-masing sisi dalam satu satuan panjang.
10. Gambar yang diperlihatkan ini adalah sebuah persegi dengan dua buah seperempat lingkaran yang dibuat di dalamnya. Temukan selisih luas antara dua daerah yang
diarsir. (Ambil = 3,14).
12 cm
SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 11
1. Misalnya panjang rusuk-rusuk kubus itu adalah a dan b, maka Volume kubus pertama: 3 V
Volume kubus kedua: 3 V
Jadi, rasio luas permukaannya adalah .
2. PQS , PQT , PRS , PRT , PST , QRS , QRT , dan RST .
Jadi, kita dapat menemukan 8 buah segitiga pada gambar itu.
3. r 1 : r 2 : r 3 : r 4 1 : 2 : 4 : 8 r 1 k , r 2 2 k , r 3 4 k , dan r 4 8 k
2 2 2 2 Luas daerah kecil yang diarsir 2 π r
2 π r 1 π( 2 k ) π k 3k π
2 2 2 2 Luas daerah kecil yang diarsir 2 π r
4 π r 3 π( 8 k ) π( 4 k ) 48 k π Jadi, rasio daerah kecil yang diarsir dengan daerah besar yang diarsir
2 2 3 π k : 48 π k 1 : 16
4. Ukuran kubus 3 60 60 60 cm Ukuran kubus 3 4 6 8 cm Potongan = 15 10 7 , 5 buah
Jadi, banyakkah maksimum kotak yang dapat dibentuk dari kubus itu =
15 10 7 1 . 050 buah.
5. Misalnya ukuran persegi panjang: AB = p dan BC = q. Luas trapesium MBCN : luas trapezium AMND
Lingkaran berpotongan pada 2 titik.
Masing-masing garis berpotongan dengan lingkaran pada 4 titik. Sehingga banyaknya = 4 2 = 8 titik. Dua garis berpotongan pada 1 titik. Jadi, paling banyak jumlah titik persekutuan yang dapat dibuat = 2 + 8 + 1 = 11 buah.
7. Strategi 1:
Jumlah daerah yang terbesar yang mungkin terjadi = 5 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 50 buah.
Stategi 2:
Banyak garis Banyak daerah
Jadi, jumlah daerah yang terbesar yang mungkin terjadi adalah 50 buah.
8. Misalnya panjang dan lebar persegi panjang itu adalah a cm dan b cm, maka BC : EC = GH : HE
b : a GH : a
GH b Ternyata BCE , GHE, GHF, dan ADF adalah kongruen.
Jadi, kita dapat menarik kesimpulan bahwa luas ABR sama dengan luas persegi panjang ABCD = 120 cm 2 .
9. D C
Luas daerah yang tidak diarsir (yang ditunjuk oleh tanda panah) = luas persegi ABCD – luas ABE – 2 luas juring EBC
Jadi, keseluruhan luas bunga = luas persegi – 4 luas daerah yang tidak diarsir
2 3 3 satuan
10. Buat segitiga ABE yang merupakan segitiga sama sisi.
A 20cm
Luas tembereng BE = Luas juring BAE luas segitiga ABE
60 o
Luas tembereng BE
Luas daerah besar yang diarsir = 2 luas tembereng + luas segitiga ABC
Luas daerah yang tidak diarsir = luas juring BCE luas tembereng BE 30
Luas daerah kecil yang diarsir = luas pesegi ABCD – luas segitiga ABE – 2 luas juring ADE
572 Selisih luas antara dua daerah yang diarsir
3 Coba Anda mencari gagasan yang lainnya.
SOAL-SOAL LATIHAN 12
1. Carilah nilai D yang mungkin, agar bilangan D 2597 D 0 habis dibagi 60.
2. Seorang guru menulis persegi ajaib 3 menggunakan angka-angka sampai 3 dengan 9 pada papan tulis. Seseorang telah menghapus, kecuali dua buah bilangan.
Lengkapilah persegi ajaib itu.
3. 5, 11, 17, 23, dan 29 adalah lima bilangan prima dalam barisan aritmetika. Carilah enam bilangan prima dalam barisan aritmetika.
4. Diberikan 6 buah bilangan positif A, B, C, D, E, dan F; sehingga A B 29 ,
C D 45 , E F 65 , AC 36 , dan BE 312 . Carilah nilai-nilai dari A, B, C,
D, E, dan F.
5. Carilah bilangan asli m dan n, jika 1 + 2 + 3 + … + n = mmm.
6. Seratus dua puluh bola identik disusun dalam bentuk piramida segitiga beraturan. Berapa banyak bola-bola yang diperlukan pada susunan paling bawah?
7. Tentukan jumlah dari 6 + 66 + 666 + 6666 + … + 6666...6666 (100 kali)
8. Berapa banyak diagonal segiduapuluh?
9. Berapa banyaknya segitiga yang berbeda yang dapat dibentuk dengan menghubungkan ke enam titik ujung dari segi enam, titik-titik ujung dari setiap
segitiga terletak pada segi enam?
10. Berapa banyak sudut yang lebih kecil dari 180 o dibentuk oleh 12 garis lurus yang berpangkal pada sebuah titik, apabila tidak ada dua buah garis pada garis lurus yang
sama?
SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 12
1. Jika D 2597 D 0 habis dibagi 60, maka D2597 D habis dibagi 6 dan D adalah bilangan genap.
Pilihan dari D adalah bilangan dalam himpunan {0, 2, 4, 6, 8}. Jadi, D 2597 D 0 habis dibagi 60, jika D adalah 2 atau 8.
2. Dalam persegi ajaib, jumlah bilangan pada baris, kolom, dan diagonal masing- masing adalah sama. Karena pesegi ajaib 3 hanya diisi oleh angka-angka dari 1 3 sampai dengan 9, maka jumlah semua sel = 1 + 2 + 3 + … + 9 = 45. Jadi, jumlah bilangan pada setiap baris, kolom, dan diagonal masing-masing = 45 : 3 = 15.
Selengkapnya persegi ajaib 3 disajikan pada diagram di samping. 3
3. Barisan bilangan prima adalah
4. 3 BE 312 2 3 13 . Pilihan untuk B adalah 13, 24, 8, 26. Hanya B = 26 yang mungkin, sehingga:
B = 26 A B 29
A 26 29
A 3 AC 36
3 C 36
Jadi, nilai-nilai dari A, B, C, D, E, dan F masing-masing adalah 3, 26, 12, 33, 12, dan 53.
Dalam kasus ini n ( n 1 ) adalah perkalian dua buah bilangan asli yang berturutan dan 1 m 9 , dengan m adalah bilangan asli.
Jadi, kita memperoleh nilai n 36 dan m 6 .
6. Susunan Jumlah bola Jumlah kumulatif
Jadi, pada susunan paling bawah terdapat 36 bola.
7. P = 6 + 66 + 666 + 6666 + … + 6666...6666 (100 kali) 3
P 10 1 90
Jadi, 6 + 66 + 666 + 6666 + … + 6666...6666 adalah
8. Banyak diagonal segi-n = n ( n 3 )
Banyak diagonal segi-20 = 20 ( 20 3 ) 170 buah.
9. Banyaknya segi-3 yang dapat dibuat pada segi-n = n ( n n 1 )( 2 )
Banyaknya segi-3 yang dapat dibuat pada segi-6 = 6 ( 6 1 )( 6 2 ) 20 segitiga
10. Banyak sudut yang lebih kecil dari 180 o dibentuk oleh n garis lurus yang berpangkal pada sebuah titik, apabila tidak ada dua buah garis pada garis lurus yang
1 sama = n ( n 1 ) 2
Jadi, banyak sudut yang diminta = 12 ( 12 1 ) 66 buah
SOAL-SOAL LATIHAN 13
1. Bilangan asli N bersisa 3 jika dibagi 7 dan bersisa 4 jika dibagi 5. Carilah nilai N terkecil.
2. Bilangan manakah yang terletak antara 900 dan 1000 dan berturut-turut meninggalkan sisa 4 dan 10, jika dibagi dengan 9 dan 11?
3. Sebuah pecahan memiliki sifat-sifat sebagai berikut. y
a. y 3
b. x bilangan dengan dua angka. y
c. x kuadrat sempurna. y Carilah x dan y yang memenuhi kondisi itu. (AEM)
4. Hitunglah
5. Bagilah 192 atas 4 bagian; bagian ke-1 ditambah 7 = bagian ke-2 dikurangi 7 = bagian ke-3 dikalikan dengan 7 = bagian ke-4 dibagi 7. Tentukanlah semua
bilangan itu.
6. Pecahan ditulis dalam bentuk desimal. Angka apakah yang ke-1997 dari 7000
tempat decimal itu?
7. Carilah angka-angka A, B, C, dan D dari perkalian berikut ini.
8. Persamaan 19 x 97 y 1997 dipenuhi oleh bilangan bulat positif x 100 dan y 1 . Ada hanya satu pasangan bilangan bulat lain yang memenuhi persamaan. Berapa jumlah bilangan itu?
2 9. Tentukan nilai x dan y yang memenuhi persamaan 2 x y 1995 .