Resume Fungsi Gelombang FISIKA MODERN
TUGAS 6
FISIKA MODERN
(MEKANIKA KUANTUM)
Ikke Pratiwi Septyarin
12030234025
Kimia A 2012
JURUSAN KIMIA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA
2014
Buat draft tulisan tentang inti-inti bahasan dalam mekanika kuantum yang menyangkut
fungsi gelombang partikel, persamaan schrodinger bergantung waktu dan persamaan
schrodinger tidak bergantung waktu. Lengkapi dengan contoh-contoh soalnya.
I. Fungsi Gelombang
- Fungsi gelombang merupakan sebuah fungsi matematika
- Fungsi gelombang mengandung semua informasi yang mungkin diketahui
-
tentang lokasi dan gerak dari partikel
Jika sebuah fungsi gelombang memiliki nilai yang besar, maka semakin besar
kemungkinan menemukan partikel pada posisi tersebut. Jika memberikan nilai 0,
-
maka tidak ada kemungkinan untuk menemukan partikel pada posisi tersebut
Perubahan fungsi gelombang yang lebih cepat dari satu tempat ke tempat lain
membutuhkan energi kinetik partikel yang lebih besar
Fungsi gelombang :
ψ= A+iB
Konjugasi Kompleks :
ψ∗¿ A−iB
¿ ψ∨¿2 =ψ∗ψ= A 2−i 2 B2= A2 + B2
¿
Contoh soal:
1. Partikel bergerak sepanjang sumbu x pada suatu waktu tertentu dinyatakan
dalam fungsi gelombang
−¿ x∨¿sin ax
ψ ( x )=Ce¿
Tentukan fungsi gelombang ternormalisasinya!
Solusi :
Fungsi gelombang partikel diberikan oleh
{
x
ψ ( x )= Ce−xsin ax , untuk x 0
Maka kuadrat dari fungsi gelombangnya
{
2 2x
2
¿ ψ ( x )∨¿ 2= C2 e−2 xsin 2ax , untuk x< 0
C e sin ax ,untuk x >0
ψ∗( x ) ψ ( x ) =¿
2
2
2
|ψ (x)| adalah fungsi genap, karena |ψ (−x)| =|ψ (x)|
Tampak bahwa
Syarat normalisasi
∞
2
∫ |ψ ( x)| dx=1
−∞
0
∞
∫ C2 e 2 x sin 2 ax dx+∫ C2 e−2 x sin2 ax dx=1
0
−∞
∞
2C
2
∫ e−2 x sin2 ax dx=1
0
∞
2C
2
∫e
−2 x
0
−C
2
−C
2
(
2
e iax−e−iax
dx=1
2i
)
2 ∞
∫ e−2 x ( e2 iax +e−2 iax−2 ) dx=1
0
2 ∞
∫ ( e (2 ia−2 ) x+ e−( 2 ia+2) x−2 e−2 x ) dx=1
0
∞
|
|
|
−C 2 e( 2ia−2) x e−( 2ia+2 ) x 2 e−2 x
+
−
=1
2 2 ia−2 −(2ia +2) −2 0
∞
|
−C 2 e( 2ia−2) x e−(2 ia+2) x −2 x
−
+e
=1
2 2 ia−2 2 ia+2
0
2
(
2
(
C
1
1
−
+1 =1
2 2 ia−2 2ia+2
)
C
−4
+1 =1
2 4 a2 + 4
)
2
( )
a
C 2
=2
a +1
2
C=
√
2 a2 +2
2
a
2
Fungsi gelombang ternormalisasinya adalahn
2 a +2 −¿ x∨¿sin ax
e
2
a
ψ ( x )= √ ¿
2. Ada berapa kemungkinan bilangan kuantum magnetik pada bilangan kuantum
utama n=2?
Jawab:
Banyaknya kemungkinan bilangan kuantum magnetic dinyatakan dalam:
ml = 2l + l dimana untuk l = (n-l) n=2 maka nilai l=(2-1), maka jumlah bilangan
kuantum magnetic sebanyak:
ml = 2.1 + 1 = 3, yakni -1,0, dan 1
II. Sifat Gelombang
- Harus mempunyai nilai tunggal dimanapun
- Bersifat continue
III. Persamaan Schrodinger
Persamaan Schrodinger Bergantung Waktu
Postulat mekanika kuantum:
• Setiap sistem memiliki fungsi gelombang (yang bergantung pada
koordinat partikel-partikel) yang dapat menggambarkan keadaan
sistem.
• Setiap besaran klasik mempunyai padanannya dalam mekanika
kuantum berupa operator. Untuk sistem yang bergantung waktu,
fungsi gelombang satu partikel yang bergerak pada ruang satudimensi memenuhi suatu persamaan yang dapat dipostulatkan
sebagai
Persamaan di atas dikenal sebagai persamaan Schrodinger yang
bergantung waktu.
Contoh soal:
1. Menurut postulat schrodinger informasi tentang partikel dapat
diperoleh dari ψ(x,t) , Lalu bagaimana cara memperolehnya?
Jawab:
Lakukan operasi matematika
Terhadap fungsi gelombang ψ(x,t) , hasil operasinya adalah sebagai
berikut:
Selanjutnya diperoleh momentum linier partikel bersangkutan,
dengan ungkapan
Dengan
Persamaan Schrodinger Tak Bergantung Waktu
Dari persamaan Schrodinger yang bergantung waktu, dapat diturunkan
persamaan Schrodinger yang tak-bergantung waktu (lihat Levine, hal. 13).
Dari penurunan ini, diperoleh persamaan Schrodinger tak-bergantung
waktu, yaitu untuk partikel yang bergerak dalam ruang satu-dimensi.
Jika potensial pada persamaan (1.1) tak bergantung waktu, maka kedua
persamaan di atas saling berkaitan melalui persamaan
Contoh soal:
1. Bagaimanakah persamaan Shrödinger bebas waktu untuk sebuah osilator
harmonik satu dimensi yang mengandung sebuah partikel dengan masa m dan
bergerak sepanjang sumbu-x di bawah pengaruh gaya potensial U(x) = ½kx2 (k >
0).
Jawab :
Persamaan Schrödinger bebas waktu dinyatakan sebagai ψ = Eψ . Dalam kasus ini
gerak partikel dibatasi hanya pada sumbu-x, sehingga fungsi gelombang adalah
sebuah fungsi terhadap x dan direpresentasikan sebagai ψ = ψ(x). Hamiltonian
yang ada pada sistem ini ada pada sistem ini diperoleh dari fungsi Hamilton H
yang terdiri dari penjumlahan atas energi kinetik dan energi potensial. Untuk
sistem ini, momentum p dari partikel akan menjadi energi kinetik p2 / 2m dan
energi potensialnya adalah ½kx2 dan kita akan mendapatkan
Dengan demikian Hamiltonian dapat diturunkan dengan mudah hanya dengan
mengganti momentum p dengan operator = −ih∂ / ∂x dalam ekspresi terhadap
H. Penggantian ini harus dilakukan dua kali untuk p2 / 2m dan kita akan
mendapatkan
Energi potensial ½kx2 dapat digunakan langsung karena tidak mengandung
momentum p. Karenanya Hamiltonian dapat dinyatakan sebagai berikut
Dengan memasukkan Hamiltonia ini ke dalam ψ = Eψ, persamaan Schrödinger
bebas waktu untuk osilator harmonik satu dimensi dinyatakan sebagai berikut
FISIKA MODERN
(MEKANIKA KUANTUM)
Ikke Pratiwi Septyarin
12030234025
Kimia A 2012
JURUSAN KIMIA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA
2014
Buat draft tulisan tentang inti-inti bahasan dalam mekanika kuantum yang menyangkut
fungsi gelombang partikel, persamaan schrodinger bergantung waktu dan persamaan
schrodinger tidak bergantung waktu. Lengkapi dengan contoh-contoh soalnya.
I. Fungsi Gelombang
- Fungsi gelombang merupakan sebuah fungsi matematika
- Fungsi gelombang mengandung semua informasi yang mungkin diketahui
-
tentang lokasi dan gerak dari partikel
Jika sebuah fungsi gelombang memiliki nilai yang besar, maka semakin besar
kemungkinan menemukan partikel pada posisi tersebut. Jika memberikan nilai 0,
-
maka tidak ada kemungkinan untuk menemukan partikel pada posisi tersebut
Perubahan fungsi gelombang yang lebih cepat dari satu tempat ke tempat lain
membutuhkan energi kinetik partikel yang lebih besar
Fungsi gelombang :
ψ= A+iB
Konjugasi Kompleks :
ψ∗¿ A−iB
¿ ψ∨¿2 =ψ∗ψ= A 2−i 2 B2= A2 + B2
¿
Contoh soal:
1. Partikel bergerak sepanjang sumbu x pada suatu waktu tertentu dinyatakan
dalam fungsi gelombang
−¿ x∨¿sin ax
ψ ( x )=Ce¿
Tentukan fungsi gelombang ternormalisasinya!
Solusi :
Fungsi gelombang partikel diberikan oleh
{
x
ψ ( x )= Ce−xsin ax , untuk x 0
Maka kuadrat dari fungsi gelombangnya
{
2 2x
2
¿ ψ ( x )∨¿ 2= C2 e−2 xsin 2ax , untuk x< 0
C e sin ax ,untuk x >0
ψ∗( x ) ψ ( x ) =¿
2
2
2
|ψ (x)| adalah fungsi genap, karena |ψ (−x)| =|ψ (x)|
Tampak bahwa
Syarat normalisasi
∞
2
∫ |ψ ( x)| dx=1
−∞
0
∞
∫ C2 e 2 x sin 2 ax dx+∫ C2 e−2 x sin2 ax dx=1
0
−∞
∞
2C
2
∫ e−2 x sin2 ax dx=1
0
∞
2C
2
∫e
−2 x
0
−C
2
−C
2
(
2
e iax−e−iax
dx=1
2i
)
2 ∞
∫ e−2 x ( e2 iax +e−2 iax−2 ) dx=1
0
2 ∞
∫ ( e (2 ia−2 ) x+ e−( 2 ia+2) x−2 e−2 x ) dx=1
0
∞
|
|
|
−C 2 e( 2ia−2) x e−( 2ia+2 ) x 2 e−2 x
+
−
=1
2 2 ia−2 −(2ia +2) −2 0
∞
|
−C 2 e( 2ia−2) x e−(2 ia+2) x −2 x
−
+e
=1
2 2 ia−2 2 ia+2
0
2
(
2
(
C
1
1
−
+1 =1
2 2 ia−2 2ia+2
)
C
−4
+1 =1
2 4 a2 + 4
)
2
( )
a
C 2
=2
a +1
2
C=
√
2 a2 +2
2
a
2
Fungsi gelombang ternormalisasinya adalahn
2 a +2 −¿ x∨¿sin ax
e
2
a
ψ ( x )= √ ¿
2. Ada berapa kemungkinan bilangan kuantum magnetik pada bilangan kuantum
utama n=2?
Jawab:
Banyaknya kemungkinan bilangan kuantum magnetic dinyatakan dalam:
ml = 2l + l dimana untuk l = (n-l) n=2 maka nilai l=(2-1), maka jumlah bilangan
kuantum magnetic sebanyak:
ml = 2.1 + 1 = 3, yakni -1,0, dan 1
II. Sifat Gelombang
- Harus mempunyai nilai tunggal dimanapun
- Bersifat continue
III. Persamaan Schrodinger
Persamaan Schrodinger Bergantung Waktu
Postulat mekanika kuantum:
• Setiap sistem memiliki fungsi gelombang (yang bergantung pada
koordinat partikel-partikel) yang dapat menggambarkan keadaan
sistem.
• Setiap besaran klasik mempunyai padanannya dalam mekanika
kuantum berupa operator. Untuk sistem yang bergantung waktu,
fungsi gelombang satu partikel yang bergerak pada ruang satudimensi memenuhi suatu persamaan yang dapat dipostulatkan
sebagai
Persamaan di atas dikenal sebagai persamaan Schrodinger yang
bergantung waktu.
Contoh soal:
1. Menurut postulat schrodinger informasi tentang partikel dapat
diperoleh dari ψ(x,t) , Lalu bagaimana cara memperolehnya?
Jawab:
Lakukan operasi matematika
Terhadap fungsi gelombang ψ(x,t) , hasil operasinya adalah sebagai
berikut:
Selanjutnya diperoleh momentum linier partikel bersangkutan,
dengan ungkapan
Dengan
Persamaan Schrodinger Tak Bergantung Waktu
Dari persamaan Schrodinger yang bergantung waktu, dapat diturunkan
persamaan Schrodinger yang tak-bergantung waktu (lihat Levine, hal. 13).
Dari penurunan ini, diperoleh persamaan Schrodinger tak-bergantung
waktu, yaitu untuk partikel yang bergerak dalam ruang satu-dimensi.
Jika potensial pada persamaan (1.1) tak bergantung waktu, maka kedua
persamaan di atas saling berkaitan melalui persamaan
Contoh soal:
1. Bagaimanakah persamaan Shrödinger bebas waktu untuk sebuah osilator
harmonik satu dimensi yang mengandung sebuah partikel dengan masa m dan
bergerak sepanjang sumbu-x di bawah pengaruh gaya potensial U(x) = ½kx2 (k >
0).
Jawab :
Persamaan Schrödinger bebas waktu dinyatakan sebagai ψ = Eψ . Dalam kasus ini
gerak partikel dibatasi hanya pada sumbu-x, sehingga fungsi gelombang adalah
sebuah fungsi terhadap x dan direpresentasikan sebagai ψ = ψ(x). Hamiltonian
yang ada pada sistem ini ada pada sistem ini diperoleh dari fungsi Hamilton H
yang terdiri dari penjumlahan atas energi kinetik dan energi potensial. Untuk
sistem ini, momentum p dari partikel akan menjadi energi kinetik p2 / 2m dan
energi potensialnya adalah ½kx2 dan kita akan mendapatkan
Dengan demikian Hamiltonian dapat diturunkan dengan mudah hanya dengan
mengganti momentum p dengan operator = −ih∂ / ∂x dalam ekspresi terhadap
H. Penggantian ini harus dilakukan dua kali untuk p2 / 2m dan kita akan
mendapatkan
Energi potensial ½kx2 dapat digunakan langsung karena tidak mengandung
momentum p. Karenanya Hamiltonian dapat dinyatakan sebagai berikut
Dengan memasukkan Hamiltonia ini ke dalam ψ = Eψ, persamaan Schrödinger
bebas waktu untuk osilator harmonik satu dimensi dinyatakan sebagai berikut