Akar menurut beberapa ahli Indonesia

DAFTAR ISI
Daftar Isi …………………………………………………………………………………... 1
BAB I PENDAHULUAN………………………………………………………………….2
a. Latar belakang ……………………………………………………………………...2
b. Rumusan masalah …………………………………………………………………. 2
c. Tujuan penulisan …………………………………………………………………...2
BAB II PEMBAHASAN…………………………………………………………………..3
a. Pembelajaran Akar berdasarkan Teori Jean Piaget ……...….……………..……….3
b. Pembelajaran Akar berdasarkan Teori Jerome Bruner …………………...........…..6
c. Pembelajaran Akar berdasarkan Teori Zoltan P Dienes .……...………….……......8
d. Pembelajaran Akar berdasarkan Teori Robert M Gagne ….……….....……...….....12
BAB III PENUTUP………………………………………………………………………..15
a. Kesimpulan ………………………………………………………………………... 15
DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………………………...16

1

BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Matematika adalah salah satu mata pelajaran yang dipelajari dari jenjang pendidikan dasar

sampai dengan pendidikan menengah bahkan perguruan tinggi. Di dalam pelajaran matematika
banyak sekali kita temukan rumus-rumus yang terkadang sulit dimengerti oleh sebagian siswa,
padahal matematika adalah pelajaran yang sistematis , karena antara rumus memiliki keterkaitan
satu sama lain.
Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, memegang peranan penting dalam mempercepat
penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini disebabkan karena, matematika merupakan
sarana berfikir untuk menumbuh kembangkan cara berfikir logis, sistematis, dan kritis. Pada
pelajaran matematika, ada beberapa macam bidang pelajaran yang dapat kita ketahui salah
satunya adalah akar.
Di dalam matematika, akar kuadrat dari bilangan x sama dengan bilangan r sedemikian
sehingga r2 = x, atau di dalam perkataan lain, bilangan r yang bila di kuadratkan (hasil kali
dengan bilangan itu sendiri) sama dengan x. Misalnya akar kuadrat utama dari 9 adalah 3,
dituliskan dengan √9=3, karena 32 = 3x3 = 9.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian latar belakang di atas dapat dirumuskan suatu permasalahan sebagai berikut:
1. Apa itu akar kuadrat?
2. Teori apa saja yang digunakan dalam mempelajari akar?
C. Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah, tujuan penulisan makalah ini adalah:
1. Untuk mengetahui pengertian akar.

2. Untuk mengetahui teori yang digunakan dalam mempelajari akar.

2

BAB II
PEMBAHASAN
A. Pembelajaran Akar berdasarkan Teori Jean Piaget
Piaget adalah seorang tokoh

psikologi kognitif yang besar pengaruhnya terhadap

perkembangan pemikiran para pakar kognitif lainnya. Menurut Piaget, perkembangan kognitif
merupakan suatu proses genetik, yaitu suatu proses yang didasarkan atas mekanisme biologis
perkembangan sistem syaraf. Dengan makin bertambahnya umur seseorang, maka makin
komplekslah susunan sel syarafnya dan makin meningkat pula kemampuannya. Ketika individu
berkembang menuju kedewasaan, akan mengalami adaptasi biologis dengan lingkungannya.
Menurutnya dasar dari belajar adalah aktivitas anak bila ia berinteraksi dengan lingkungan sosial
dan lingkungan fisiknya. Pertumbuhan anak merupakan suatu proses sosial. Anak tidak
berinteraksi dengan lingkungan fisiknya sebagai suatu individu terikat, tetapi sebagai bagian dari
kelompok sosial. Akibatnya lingkungan sosialnya berada diantara anak dengan lingkungan

fisiknya.
Piaget membagi tahap-tahap perkembangan kognitif ini menjadi empat, yaitu :
1.Tahap sensorimotor (umur 0 - 2 tahun) :
Pertumbuhan kemampuan anak tampak dari kegiatan motorik dan persepsinya yang
sederhana. Ciri pokok perkembangannya berdasarkan tindakan, dan dilakukan langkah demi
langkah.
2.Tahap preoperasional (umur 2 - 7/8 tahun) :
Ciri pokok perkembangan pada tahap ini adalah pada penggunaan symbol atau bahasa tanda,
dan mulai berkembangnya konsep-konsep intuitif. Tahap ini dibagi menjadi dua, yaitu
preoperasional dan intuitif.
Preoperasional (umur 2-4 tahun), anak telah mampu menggunakan bahasa dalam
mengembangkan konsep nya, walaupun masih sangat sederhana
Tahap intuitif (umur 4 - 7 atau 8 tahun), anak telah dapat memperoleh pengetahuan
berdasarkan pada kesan yang agak abstraks. Dalam menarik kesimpulan sering tidak
diungkapkan dengan kata-kata.

3

3.Tahap operasional konkret (umur 7 atau 8-11 atau 12 tahun)
Ciri pokok perkembangan pada tahap ini adalah anak sudah mulai menggunakan aturanaturan yang jelas dan logis, dan ditandai adanya reversible dan kekekalan. Anak telah memiliki

kecakapan berpikir logis, akan tetapi hanya dengan benda-benda yang bersifat konkret.
4.Tahap operasional formal (umur 11/12-18 tahun) :
Ciri pokok perkembangan pada tahap ini adalah anak sudah mampu berpikir abstrak dan logis
dengan menggunakan pola berpikir "kemungkinan".

symbol radikal

Simbol radikal (akar) pertama kali dikenalkam oleh matematikawan Jerman, Chirstoff
Rufoff, di dalam bukunya Die Coss. Simbol tersebut ia pilih karena mirip dengan huruf “r” yang
diambil dengan kata radix, bahasa latin untuk akar pangkat dua. Misalkan n bilangan bulat, a dan
b adalah bilangan real. Jika berlaku bn = a , maka b merupakan akar pangkat n dari a.

Berdasarkan pembahasan di atas dapat disimpulkan kembali bahwa “ m 2 = n sama artinya dengan
√ n = m” .

4

Begitu pula dengan perpangkatan tiga :

5

Penyederhanaan bentuk akar
Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi bentuk akar yang lebih sederhana.
Contoh penyederhanaan bentuk akar konkret :
3

√ 27 = √ 3 x 3 x 3 = √ 33 = √3 33 = 3 3 = 31 = 3

Contoh penyederhanaan bentuk akar semi konkret :
3

√ 27 = √ 33 = √3 33 = 3 3 = 3

Contoh penyederhanaan bentuk akar semi abstrak :
√ 27 = √3 33 = 3

Contoh penyederhanaan bentuk akar abstrak :
√ 27 = 3

B. Pembelajaran Akar berdasarkan Teori Jerome Bruner

Bruner yang memiliki nama lengkap Jerome S.Bruner seorang ahli psikologi (1915) dari
Universitas Harvard, Amerika Serikat, telah mempelopori aliran psikologi kognitif yang
memberi dorongan agar pendidikan memberikan perhatian pada pentingnya pengembangan
berfikir. Bruner banyak memberikan pandangan mengenai perkembangan kognitif manusia,
bagaimana manusia belajar, atau memperoleh pengetahuan dan mentransformasi pengetahuan.
Dasar pemikiran teorinya memandang bahwa manusia sebagai pemproses, pemikir dan pencipta
informasi. Bruner menyatakan belajar merupakan suatu proses aktif yang memungkinkan
manusia untuk menemukan hal-hal baru diluar informasi yang diberikan kepada dirinya.
Pendirian yang terkenal yang dikemukakan oleh J. Bruner mengatakan bahwa setiap mata
pelajaran dapat diajarakan dengan efektif dalam bentuk yang jujur secara intelektual kepada
setiap anak dalam setiap tingkat perkembangannya.

6

Dalam teori brunner ada 3 tahapan yaitu:
a. Tahap Enaktif.
Dalam tahap ini penyajian yang dilakukan melalui tindakan anak secara langsung terlihat
dalam memanipulasi (mengotak atik) objek.
Di dalam matematika, akar kuadrat dari bilangan x sama dengan bilangan r sedemikian
sehingga r2 = x, atau, di dalam perkataan lain, bilangan r yang bila dikuadratkan (hasil kali

dengan bilangan itu sendiri) sama dengan x.
Contohnya:
√4=2
√4 = √2x2 = 2√22 = 2

2 /2

= 21 = 2

2x2 = 4
b. Tahap Ikonik
Dalam tahap ini kegiatan penyajian dilakukan berdasarkan pada pikiran internal dimana
pengetahuan disajikan melalui serangkaian gambar-gambar atau grafik yang dilakukan anak,
berhubungan dengan mental yang merupakan gambaran dari objek-objek yang dimanipulasinya.
Contoh:
√9 =
=3

√4 =

=2

c. Tahap Simbolis
Dalam tahap ini bahasa adalah pola dasar simbolik, anak memanipulasi Simbol-simbol atau
lambang-lambang objek tertentu.

7

Contoh: anak-anak diminta untuk mengerjakan soal didepan, lalu anak diminta untuk
mengelompokan mana yang ganjil dan mana yang genap
√16=4
√81=9
√49=7
√36=6

C. Pembelajaran Akar berdasarkan Teori Zoltan P Dienes
Zoltan P. Dienes adalah seorang matematikawan yang memusatkan perhatiannya pada caracara pengajaran terhadap siswa-siswa. Terinspirasi dari Jean Piaget, Zoltan P. Dienes (1981)
kemudian merumuskan teorinya yang dikenal dengan teori dienes. Teori dienes memusatkan
perhatiannya pada cara-cara pengajaran matematika terhadap anak-anak sehingga sistem yang
dikembangkannya itu menarik bagi anak yang mempelajari matematika.

Dienes (dalam Ruseffendi, 1992) berpendapat bahwa pada dasarnya matematika dapat
dianggap sebagai studi tentang struktur, memisah-misahkan hubungan-hubungan di antara
struktur-struktur dan mengkategorikan hubungan-hubungan di antara struktur-struktur. Seperti
halnya dengan Bruner, Dienes mengemukakan bahwa tiap-tiap konsep atau prinsip dalam
matematika yang disajikan dalam bentuk yang konkret akan dapat dipahami dengan baik. Ini
mengandung arti bahwa jika benda-benda atau objek-objek dalam bentuk permainan akan sangat
berperan bila dimanipulasi dengan baik dalam pengajaran matematika. Dienes beranggapan
bahwa terdapat 3 tahapan dalam mengetahui hasil belajar anak:
1. Tahu
2. Paham
3. Evaluasi
Di sini saya akan menjelaskan dan membuat permainan yang berkaitan dengan pembelajaran
akar (√) baik itu akar kuadrat.
Terlebih dahulu kita akan mengetahui tentang apa itu kuadrat?

8

Kuadrat merupakan suatu bilangan perkalian yang berulang dari bilangan tersebut sebanyak dua
kali. Apabila X merupakan suatu bilangan, maka kuadrat dari X adalah X 2. Contoh di bawah ini
merupakan beberapa bentuk kuadrat:

a. 22 = 2 X 2 = 4
b. 52 = 5 X 5 = 25
Lalu apakah yang dimaksud dengan akar kuadrat?
Akar kuadrat merupakan suatu bilangan yang apabila dikuadratkan sama dengan bilangan
tersebut. Bisa dikatakan bahwa akar kuadrat dari sebuah bilangan merupakan kebalikan dari
kuadrat suatu bilangan. Apabila Y adalah kuadrat dari bilangan X (Y = X2) maka bilangan X
adalah akar kuadrat dari bilangan Y (X = √Y). Di bawah ini terdapat beberapa contoh bentuk
akar kuadrat.
a.

2

√36 = 2√62= 62/2 = 61 = 6

b.

2

c.

3

√9 = 2√32 = 32/2 = 31 = 3
√8 = 3√23 = 23/3 = 21 = 2

Pengoperasionalan bentuk akar:
a. Penyederhanaan bentuk akar

√a = n√an = an/n = a1 = a
Contoh:
1.

2

√49= 2√72 = 72/2 = 71 = 7

2.

3

3.

4

√27 = 3√33 = 33/3 = 31 = 3
√16 = 4√24 = 22/2 = 21 = 2

b. Penjumlahan bentuk akar

a√c + b√c = (a+b)√c
Contoh:

9

1. 3√5 + 4√5 = (3+4)√5 = 7√5
2. 2√4 + 3√4 = (2+3)√4 = 5√4
3. 8√3 + 5√3 = (8+5)√3 = 13√3
c. Pengurangan bentuk akar

a√c - b√c = (a-b)√c
Contoh:
1. 10√2 - 4√2 = (10−4)√2 = 6√2
2. 15√7 - 6√7 = (15−6)√7 = 9√7
3. 8√9 - 4√9 = (8−4)√9 = 4√9
d. Perkalian bentuk akar

√a x √b = √ab
atau
a√b x c√d = (axc)√(bxd) =
ac√bd
Contoh:
1. √3 x √2 = √6
2. √5 x √9 = √45
3. √4 x √8 = √32
4. 3√5 x 3√4 = (3x3)√(5x4) = 9√20
5. 7√2 x 2√6 = (7x2)√(2x6) = 14√12

10

e. Pembagian bentuk akar

a√b = a √b
c√d

b √d

Contoh:
1. 4√8/2√2 = (4/2)√(8/2) = 2√4
2. 10√9/10√3 = (10/10)√(9/3) = 1√3 = √3
3. 16√6/4√3 = (16/4)√(6/3) = 4√2
Pada kesempatan ini saya akan mengadakan games yang berkaitan dengan pembelajaran akar
(root).
Judul Permainan: siswa dapat memahami akar kuadrat
Peraturan permainan:
1. Siswa telah mengetahui dan dapat membedakan hasil dari penghitungan akar (ganjil dan
genap)
2. Masing-masing siswa bebas memilih kelompok ganjil atau genap.
3. Setelah siswa mendapatkan kelompoknya masing-masing, guru memberikan instruksi
kepada siswa untuk berpasangan dengan kelompok yang berbeda (kelompok ganjil
berpasangan dengan kelompok genap)
4. Setelah masing-masing siswa mendapatkan pasangannya, lalu guru memberikan instruksi
kepada siswa untuk saling berhadapan dengan posisi telapak

tangan yang hampir

bersentuhan (di antara telapak tangan diberikan sedikit jarak).
5. Guru menjelaskan cara permainannya contoh: ketika guru menyebutkan √4 yang hasilnya
sama dengan 2 maka anak yang merupakan kelompok ganjil menangkap tangan anak yang
kelompok genap sedangkan anak yang menjadi kelompok genap berusaha menghindar agar
tidak tertangkap, begitupun sebaliknya.
6. Bagi kelompok yang berhasil menangkap telapak tangan temannya maka akan di berikan
poin 1.
7. Bagi kelompok yang kalah akan mendapatkan hukuman berupa bernyanyi ataupun menari.
11

Soal Permainan:
Guru menyebutkan :
1.

2

2.

2

3.

2

4.

2

5.

2

√9 = 3
√16 = 4
√4 = 2
√25 = 5
√49 = 7

6. √81 + √64 = 9 + 8 = 17
7. √49 - √16 = 7 – 4 = 3
8. √16 - √4 = 4 – 2 = 2
9. √4 x √9 = 2 x 3 = 6
10. √36 : √4 = 6 ÷ 2 = 3
D. Teori Pembelajaran Akar berdasarkan Teori Robert M Gagne
Sebagaimana tokoh-tokoh lainnya dalam psikologi pembelajaran, Gagne berpendapat bahwa
belajar dipengaruhi oleh pertumbuhan dan lingkungan, namun yang paling besar pengaruhnya
adalah lingkungan individu seseorang. Lingkungan individu seseorang meliputi lingkungan
rumah, geografis, sekolah, dan berbagai lingkungan sosial. Berbagai lingkungan itulah yang akan
menentukan apa yang akan dipelajari oleh seseorang dan selanjutnya akan menentukan akan
menjadi apa ia nantinya.
Bagi Gagne, belajar tidak dapat didefinisikan dengan mudah karena belajar itu bersifat
kompleks. Dalam pernyataan tersebut, dinyatakan bahwa hasil belajar akan mengakibatkan
perubahan pada seseorang yang berupa perubahan kemampuan, perubahan sikap, perubahan
minat atau nilai pada seseorang. Perubahan tersebut bersifat menetap meskipun hanya sementara.
Pembelajaran Akar menurut teori Gagne :
1. Attetntion ( Perhatian)
Kegiatan ini merupakan proses guru dalam memberikan stimulus kepada siswa dengan
cara meyakinkan siswa bahwa mempelajari materi tersebut itu penting. Hal ini bisa
dilakukan melalui pertanyaan-pertanyaan ringan seputar materi yang akan disajikan.
12

Contoh :
Memperkenalkan dasar akar
2. Objective ( Tujuan )
Dalam hal ini guru harus mengupayakan untuk memberitahu siswa akan tujuan
pembelajaran. Sehingga siswa mengetahui tujuan dari materi pembelajaran yang
dipelajarinya. Ini sangat penting dilakukan agar siswa lebih termotivasi untuk bisa
mencapai tujuan pembelajaran.
Contoh :
Agar siswa mampu mengikuti pelajaran matematika lebih lanjut yang berkaitan dengan
akar dan dapat membantu siswa untuk memahami bidang study lainnya. Seperti : Fisika,
Kimia, Ekonomi dan Farmasi.
3. Recall ( Mengingat )
Merangsang siswa untuk mengingat kembali apa yang telah dipelajari, upaya merangsang
siswa dalam mengingat materi yang lalu bisa dilakukan dengan cara bertanya tentang
materi yang telah diajarkan.
Contoh :
Sebagai guru harus membuat siswa tertarik untuk mempelajari akar, Misalnya belajar
akar menggunakan Game , setelah siswa tertarik pasti siswa akan mencari tahu sendiri.
4. Content ( inti/isi )
Menyajikan stimulus bisa dilakukan dengan cara guru menyajikan materi pembelajaran
secara menarik dan menantang. Sehingga siswa merasa tertarik untuk mengikuti
pembelajaran yang sedang berlangsung.
Contoh :
Guru harus mampu menjelaskan tentang dasar-dasar akar secara jelas.
5. Guidance ( Arahan )
Guru harus membimbing siswa dalam proses belajarnya. Sehingga siswa dapat terarah
dalam pembelajarannya.
Contoh :
Guru memberikan soal kepada siswa, kemudian jika ada siswa yang salah
mengerjakannya, siswa boleh bertanya kepada guru kemudian guru memberitahu dimana
letak kesalahannya.
13

6. Demonstration ( Langkah Peraga)
Menetapkan apa yang dipelajari dengan memberikan latihan-latihan untuk menerapkan
apa yang telah dipelajari itu.
Contoh :
Cara mencari akar pangkat dua
7. Feedback ( Umpan Balik)
Memberikan feedback atau balikan dengan memberitahukan kepada murid apakah hasil
belajarnya benar atau tidak.
Contoh :
Guru menjelaskan kembali teori akar tetapi sengaja menyalahkannya lalu siswa
memperbaikinya
8. Performance ( Nilai)
Menilai hasil belajar dengan memberikan kesempatan kepada murid untuk mengetahui
apakah ia telah benar menguasai bahan pelajaran itu dengan memberikan beberapa soal.
Contoh :
Ulangan harian,kuis,PTS, dan PAS
9. Retention ( Mengulang)
Mengusahakan

transfer

dengan

memberikan

contoh-contoh

tambahan

untuk

menggeneralisasi apa yang telah dipelajari itu sehingga ia dapat menggunakannya dalam
situasi-situasi lain.
Contoh :
Guru meriview teori akar serta menjelaskannya secara singkat dan jelas sebelum
melanjutkan teori selanjutnya agar siswa memahami betul teori akar yang telah
disampaikan oleh guru.

14

BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Dalam mempelajari matematika terdapat 4 teori menurut para ahli:
a. Jean Piaget mempunyai 4 tahapan yaitu:
 Konkret
 Semi Konkret
 Semi Abstrak
 Abstrak
b. Jerome Bruner mempunyai 3 tahapan yaitu:
 Enaktif
 Ikonik
 Simbolis
c. Zoltan P Dienes, menurutnya anak-anak akan lebih paham pelajaran apabila diselingi
dengan bermain game. Dienes juga mempunyai 3 tahapan yaitu:
 Tahu
 Paham
 Evaluasi
d. Robert M Gagnemempunyai 9 tahapan yaitu:
 Attention (Perhatian)
 Objective (Tujuan)
 Recall (Mengingat)
 Content (Inti atau isi)
 Guidance (Arahan)
 Demonstration (Langkah Peraga)
 Feedback (Umpan Balik)
 Performance (Nilai)
 Retention (Mengulang)

15

DAFTAR PUSTAKA
 Wikipedia (diakses pada 5/7/2018 pukul 09.00)

16