Strategi Kendala Aktif Dalam Menyelesaikan Persoalan Aliran Multi-Komoditi
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dipaparkan beberapa metode untuk menyelesaikan persoalan aliran multi-komoditi seperti metode simplek, metode interior point.
Persoalan pengiriman komoditi pada mulanya dikembangkan oleh F.L Hitchcock pada tahun 1941 dalam studinya yang berjudul The distribution of a product
from several sources to numerous locations. Pengiriman komoditi dari daerah
asal (pusat produksi) ke beberapa daerah tujuan (daerah permintaan), harus dilakukan dengan sedemikian rupa agar jumlah biaya transportasi minimum.
Pengiriman komoditi dari daerah asal (produksi) ke daerah tujuan (permintaan) mengalami beberapa permasalahan. Beberapa contoh dari permasalahan
tersebut adalah (Powell, et.al, 2002):
1. Distribusi produk
Permasalahan yang mungkin sudah lama atau paling banyak muncul dalam problema transportasi adalah menentukan berapa banyak produk yang
dikirim dari pabrik ke gudang sebelum akhirnya dikirim ke pengecer atau
konsumen. Keputusan untuk menentukan berapa banyak produk dan tujuan akan dikirim harus dibuat sebelum jumlah permintaan konsumen di
ketahui. Terdapat sejumlah variasi penting dari problema ini, yaitu:
(a) Pembagian proses distribusi kasus yang sering terjadi konsumen akan
dilayani oleh suatu gudang khusus, tetapi substitusi diantara gudang
yang ada seharusnya dapat dilakukan.
(b) Substitusi tipe produk suatu perusahaan dapat memproduksi berbagai jenis produk untuk memenuhi permintaan pasar. Untuk problema distribusi periode tunggal, substitusi diantara produk pada lokasi
yang berbeda adalah sama dengan substitusi diantara jenis-jenis produk yang berbeda selama biaya substitusi diketahui.
(c) Penimbunan permintaan dalam problema multi periode, jika permintaan tidak dipenuhi dalam satu periode dapat diasumsikan bahwa per5
6
mintaan tersebut gagal atau ditahan untuk periode selanjutnya. Problema ini menimbulkan suatu pokok permasalahan yaitu produk yang
tidak tahan lama harus segera dihabiskan, sedangkan produk yang
tahan lama dapat disimpan dahulu.
2. Manajemen kontainer
Kontainer biasanya diartikan dengan sebuah kotak yang bentuknya berbedabeda yang berhubungan dengan muatan. Kontainer bisa dalam bentuk
kereta gandeng, mobil atau kontainer intermodal yang digunakan untuk memindahkan produk antara wilayah dan kemudian menggunakan truk atau
kereta api untuk pengiriman ke konsumen. Kontainer menghadirkan suatu
sumber daya yang berguna untuk memenuhi permintaan konsumen (perpindahan muatan dari i ke j), juga memberikan efek pada perubahan pada
sistem dasar (kontainer berpindah dari i ke j).
Permintaan konsumen akan berkurang dari sistem, tetapi kontainer tidak
berkurang. Variasi dari problem ini meliputi:
(a) Problema komoditi tunggal
Problema ini muncul ketika semua kontainer yang digunakan adalah
sama, atau ketika terdapat tipe kontainer yang berbeda, tanpa substitusi diantara tipe permintaan yang berbeda. Ketika terjadi tidak
terdapat substitusi, problema ini berubah menjadi problema komoditi
tunggal untuk setiap tipe produk.
(b) Problema multi-komoditi
Terdapat tipe-tipe kontainer yang berbeda dan konsumen dapat memilih kontainer yang diinginkan untuk mengangkut permintaan. Sebagai
contoh, konsumen dapat menerima sebuah kontainer yang berukuran
besar, atau menginginkan pengiriman produk kering dengan menggunakan kereta yang mempunyai sistim pendingin.
(c) Penimbunan permintaan dan pemborosan waktu
Kebanyakan model menghadirkan variabel permintaan pada suatu poin
waktu, dimana permintaan dianggap gagal jika permintaan tidak dipenuhi pada poin waktu yang ditentukan. Pada prakteknya permintaan
konsumen pada kasus ini biasanya akan ditunda.
7
(d) Perpindahan dari suatu alat pengangkut ke alat pengangkut lain dan
point relay.
Model yang paling sederhana menghadirkan suatu permintaan yang dikirim dari i ke j, dan dimana perpindahan tersebut dihadirkan kembali sebagai
suatu keputusan tunggal. Permasalahaan yang lebih komplek harus memodelkan
taraf transportasi (pengiriman melalui samudra atau darat dengan relay atau titik
perpindahan dari suatu alat pengangkut ke alat pengangkut lain (pelabuhan, tempat pemberhentian kereta api) dimana kontainer berpindah dari wilayah satu ke
wilayah lainnya.
Pada tahun 1947, T.C Koopmans secara terpisah menerbitkan suatu hasil
studi mengenai Optimum utilization of the transportation system. Selanjutnya,
perumusan persoalan linier programming dan cara pemecahan yang sistematis
dikembangkan oleh Prof. George Danzig yang sering disebut bapak linier programming.
Linier berarti bahwa semua fungsi matematis dalam model harus
merupakan fungsi-fungsi linier. Programming merupakan sinonim untuk kata
perencanaan. Dengan demikian membuat rencana kegiatan-kegiatan untuk memperoleh hasil optimal, yaitu suatu hasil untuk mencapai tujuan yang ditentukan
dengan cara yang paling baik (sesuai dengan model matematis) diantara semua
alternatif yang mungkin.
Terdapat tiga tahap dalam menggunakan teknik program linier:
1. Masalah harus dapat diidentifikasikan sebagai suatu yang dapat diselesaikan
dengan program linier
2. Masalah yang tidak terstruktur harus dapat dirumuskan dalam model matematika sehingga menjadi terstruktur
3. Model harus diselesaikan dengan model matematika yang telah dibuat. Teknik program linier mengambarkan bahwa hubungan fungsi linier dalam model matematika adalah linier dan teknik pemecahan masalah terdiri dari
langkah-langkah matematika yang telah ditetapkan disebut program.
8
Dalam program linier dikenal dua jenis fungsi yaitu (Powell, et.al, 2002) :
1. Fungsi tujuan adalah hubungan matematika linier yang menjelaskan tujuan perusahaan dalam terminology variabel keputusan. Fungsi tujuan selalu mempunyai salah satu target yaitu memaksimumkan keuntungan atau
meminimumkan biaya produksi.
2. Fungsi batasan/kendala merupakan hubungan linier dari variabel-variabel
keputusan, batasan-batasan menunjukkan keterbatasan perusahaan karena
lingkungan.
Dalam program linier juga terdapat tiga asumsi yaitu :
1. Proporsionalitas, naik turunnya keuntungan dan penggunaan sumber daya
yang tersedia akan berubah berbanding lurus dengan perubahan tingkat
kegiatan.
2. Adivitas, nilai fungsi total dapat diperoleh dengan menjumlahkan kontribusikontribusi individual dari masing-masing kegiatan.
3. Divisibilitas, variabel-variabel keputusan yang dihasilkan angka fisik yang
bulat akan tetapi juga dapat berupa bilangan pecahan.
Prosedur pemecahan masalah yang sistematis yang terdiri dari langkahlangkah matematika yang telah ditetapkan disebut metode simplek. Metode simplek digunakan untuk menyelesaikan persoalan aliran multi-komoditi. Algoritma
partitioning yang dikembangkan oleh Mamer, et.al, (2000) yang merupakan spesialisasi dari metode simplek untuk persoalan aliran multi-komoditi, dimana upaya
untuk mempercepat perhitungan matrik yang berhubungan dengan iterasi.
Algoritma primal simplek untuk menyelesaikan persoalan aliran multi-komoditi menggunakan dua cara yaitu:
1. Menggunakan metode ambang batas untuk decomposing dari metode primal simplek, dimana himpunan arc pada persoalan jaringan diselesaikan
pada tiap-tiap langkah disebut juga metode Sprint (Lisser, et.al, 2002). Aplikasinya sama dengan pembangkit kolom untuk program integer.
9
2. Mengelompokan jaringan yang sama pada masing-masing iterasi, Metode
Interior point digunakan oleh Lima,et.al,(2010) untuk menyelesaikan persoalan aliran multi-komoditi. Solusi numerik untuk persoalan optimasi pada
persoalan aliran multi-komoditi, dimana setiap komoditi memiliki network
flow constraints dan masing-masing komoditi memberikan arc pada kapasitas jaringan.
Perhitungan iterasi pada metode Interior point adalah menemukan solusi
dari persamaan linier, yang disebut juga persamaan Newton. Pada umumnya
metode Interior point menggunakan pendekatan langsung untuk menyelesaiakan
persamaan Newton. Ada dua pendekatan langsung yang kompetitif untuk menyelesaikan persamaan Newton yaitu :
1. The augmented system approach
2. The normal equation approach
Metode primal-dual merupakan dasar dari normal equation dan algoritma
primal-dual menghasilkan iterasi yang positif. Pendekatan yang lebih terkenal
adalah berdasarkan price-directive decomposition yaitu pendekatan Lagrangian relaxation, Sedangkan cara untuk menyelesaikan masalah Lagrangian ganda adalah
dengan menggunakan metode Kelley, et.al, (2004) atau Danzig-Wolfe decomposition scheme. Dantzig-Wolfe decomposition adalah cara untuk menyelesaikan
rumus arc-chain dari masalah aliran muticommodity.
Orlin, et.al, (2006) menyelesaikan persoalan aliran multi-komoditi dengan
menggunakan Primal Simplex Method. Chardaire, et.al,(2002) dengan menggunakan ACCPM. Goffin, et.al, (2002) mengaplikasikan metode ACCPM untuk
menyelesaikan masalah lagrangian ganda. Mahey, et.al, (2005) menyelesaikan
persoalan aliran multi-komoditi dengan menggunakan a bounded number of paths.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dipaparkan beberapa metode untuk menyelesaikan persoalan aliran multi-komoditi seperti metode simplek, metode interior point.
Persoalan pengiriman komoditi pada mulanya dikembangkan oleh F.L Hitchcock pada tahun 1941 dalam studinya yang berjudul The distribution of a product
from several sources to numerous locations. Pengiriman komoditi dari daerah
asal (pusat produksi) ke beberapa daerah tujuan (daerah permintaan), harus dilakukan dengan sedemikian rupa agar jumlah biaya transportasi minimum.
Pengiriman komoditi dari daerah asal (produksi) ke daerah tujuan (permintaan) mengalami beberapa permasalahan. Beberapa contoh dari permasalahan
tersebut adalah (Powell, et.al, 2002):
1. Distribusi produk
Permasalahan yang mungkin sudah lama atau paling banyak muncul dalam problema transportasi adalah menentukan berapa banyak produk yang
dikirim dari pabrik ke gudang sebelum akhirnya dikirim ke pengecer atau
konsumen. Keputusan untuk menentukan berapa banyak produk dan tujuan akan dikirim harus dibuat sebelum jumlah permintaan konsumen di
ketahui. Terdapat sejumlah variasi penting dari problema ini, yaitu:
(a) Pembagian proses distribusi kasus yang sering terjadi konsumen akan
dilayani oleh suatu gudang khusus, tetapi substitusi diantara gudang
yang ada seharusnya dapat dilakukan.
(b) Substitusi tipe produk suatu perusahaan dapat memproduksi berbagai jenis produk untuk memenuhi permintaan pasar. Untuk problema distribusi periode tunggal, substitusi diantara produk pada lokasi
yang berbeda adalah sama dengan substitusi diantara jenis-jenis produk yang berbeda selama biaya substitusi diketahui.
(c) Penimbunan permintaan dalam problema multi periode, jika permintaan tidak dipenuhi dalam satu periode dapat diasumsikan bahwa per5
6
mintaan tersebut gagal atau ditahan untuk periode selanjutnya. Problema ini menimbulkan suatu pokok permasalahan yaitu produk yang
tidak tahan lama harus segera dihabiskan, sedangkan produk yang
tahan lama dapat disimpan dahulu.
2. Manajemen kontainer
Kontainer biasanya diartikan dengan sebuah kotak yang bentuknya berbedabeda yang berhubungan dengan muatan. Kontainer bisa dalam bentuk
kereta gandeng, mobil atau kontainer intermodal yang digunakan untuk memindahkan produk antara wilayah dan kemudian menggunakan truk atau
kereta api untuk pengiriman ke konsumen. Kontainer menghadirkan suatu
sumber daya yang berguna untuk memenuhi permintaan konsumen (perpindahan muatan dari i ke j), juga memberikan efek pada perubahan pada
sistem dasar (kontainer berpindah dari i ke j).
Permintaan konsumen akan berkurang dari sistem, tetapi kontainer tidak
berkurang. Variasi dari problem ini meliputi:
(a) Problema komoditi tunggal
Problema ini muncul ketika semua kontainer yang digunakan adalah
sama, atau ketika terdapat tipe kontainer yang berbeda, tanpa substitusi diantara tipe permintaan yang berbeda. Ketika terjadi tidak
terdapat substitusi, problema ini berubah menjadi problema komoditi
tunggal untuk setiap tipe produk.
(b) Problema multi-komoditi
Terdapat tipe-tipe kontainer yang berbeda dan konsumen dapat memilih kontainer yang diinginkan untuk mengangkut permintaan. Sebagai
contoh, konsumen dapat menerima sebuah kontainer yang berukuran
besar, atau menginginkan pengiriman produk kering dengan menggunakan kereta yang mempunyai sistim pendingin.
(c) Penimbunan permintaan dan pemborosan waktu
Kebanyakan model menghadirkan variabel permintaan pada suatu poin
waktu, dimana permintaan dianggap gagal jika permintaan tidak dipenuhi pada poin waktu yang ditentukan. Pada prakteknya permintaan
konsumen pada kasus ini biasanya akan ditunda.
7
(d) Perpindahan dari suatu alat pengangkut ke alat pengangkut lain dan
point relay.
Model yang paling sederhana menghadirkan suatu permintaan yang dikirim dari i ke j, dan dimana perpindahan tersebut dihadirkan kembali sebagai
suatu keputusan tunggal. Permasalahaan yang lebih komplek harus memodelkan
taraf transportasi (pengiriman melalui samudra atau darat dengan relay atau titik
perpindahan dari suatu alat pengangkut ke alat pengangkut lain (pelabuhan, tempat pemberhentian kereta api) dimana kontainer berpindah dari wilayah satu ke
wilayah lainnya.
Pada tahun 1947, T.C Koopmans secara terpisah menerbitkan suatu hasil
studi mengenai Optimum utilization of the transportation system. Selanjutnya,
perumusan persoalan linier programming dan cara pemecahan yang sistematis
dikembangkan oleh Prof. George Danzig yang sering disebut bapak linier programming.
Linier berarti bahwa semua fungsi matematis dalam model harus
merupakan fungsi-fungsi linier. Programming merupakan sinonim untuk kata
perencanaan. Dengan demikian membuat rencana kegiatan-kegiatan untuk memperoleh hasil optimal, yaitu suatu hasil untuk mencapai tujuan yang ditentukan
dengan cara yang paling baik (sesuai dengan model matematis) diantara semua
alternatif yang mungkin.
Terdapat tiga tahap dalam menggunakan teknik program linier:
1. Masalah harus dapat diidentifikasikan sebagai suatu yang dapat diselesaikan
dengan program linier
2. Masalah yang tidak terstruktur harus dapat dirumuskan dalam model matematika sehingga menjadi terstruktur
3. Model harus diselesaikan dengan model matematika yang telah dibuat. Teknik program linier mengambarkan bahwa hubungan fungsi linier dalam model matematika adalah linier dan teknik pemecahan masalah terdiri dari
langkah-langkah matematika yang telah ditetapkan disebut program.
8
Dalam program linier dikenal dua jenis fungsi yaitu (Powell, et.al, 2002) :
1. Fungsi tujuan adalah hubungan matematika linier yang menjelaskan tujuan perusahaan dalam terminology variabel keputusan. Fungsi tujuan selalu mempunyai salah satu target yaitu memaksimumkan keuntungan atau
meminimumkan biaya produksi.
2. Fungsi batasan/kendala merupakan hubungan linier dari variabel-variabel
keputusan, batasan-batasan menunjukkan keterbatasan perusahaan karena
lingkungan.
Dalam program linier juga terdapat tiga asumsi yaitu :
1. Proporsionalitas, naik turunnya keuntungan dan penggunaan sumber daya
yang tersedia akan berubah berbanding lurus dengan perubahan tingkat
kegiatan.
2. Adivitas, nilai fungsi total dapat diperoleh dengan menjumlahkan kontribusikontribusi individual dari masing-masing kegiatan.
3. Divisibilitas, variabel-variabel keputusan yang dihasilkan angka fisik yang
bulat akan tetapi juga dapat berupa bilangan pecahan.
Prosedur pemecahan masalah yang sistematis yang terdiri dari langkahlangkah matematika yang telah ditetapkan disebut metode simplek. Metode simplek digunakan untuk menyelesaikan persoalan aliran multi-komoditi. Algoritma
partitioning yang dikembangkan oleh Mamer, et.al, (2000) yang merupakan spesialisasi dari metode simplek untuk persoalan aliran multi-komoditi, dimana upaya
untuk mempercepat perhitungan matrik yang berhubungan dengan iterasi.
Algoritma primal simplek untuk menyelesaikan persoalan aliran multi-komoditi menggunakan dua cara yaitu:
1. Menggunakan metode ambang batas untuk decomposing dari metode primal simplek, dimana himpunan arc pada persoalan jaringan diselesaikan
pada tiap-tiap langkah disebut juga metode Sprint (Lisser, et.al, 2002). Aplikasinya sama dengan pembangkit kolom untuk program integer.
9
2. Mengelompokan jaringan yang sama pada masing-masing iterasi, Metode
Interior point digunakan oleh Lima,et.al,(2010) untuk menyelesaikan persoalan aliran multi-komoditi. Solusi numerik untuk persoalan optimasi pada
persoalan aliran multi-komoditi, dimana setiap komoditi memiliki network
flow constraints dan masing-masing komoditi memberikan arc pada kapasitas jaringan.
Perhitungan iterasi pada metode Interior point adalah menemukan solusi
dari persamaan linier, yang disebut juga persamaan Newton. Pada umumnya
metode Interior point menggunakan pendekatan langsung untuk menyelesaiakan
persamaan Newton. Ada dua pendekatan langsung yang kompetitif untuk menyelesaikan persamaan Newton yaitu :
1. The augmented system approach
2. The normal equation approach
Metode primal-dual merupakan dasar dari normal equation dan algoritma
primal-dual menghasilkan iterasi yang positif. Pendekatan yang lebih terkenal
adalah berdasarkan price-directive decomposition yaitu pendekatan Lagrangian relaxation, Sedangkan cara untuk menyelesaikan masalah Lagrangian ganda adalah
dengan menggunakan metode Kelley, et.al, (2004) atau Danzig-Wolfe decomposition scheme. Dantzig-Wolfe decomposition adalah cara untuk menyelesaikan
rumus arc-chain dari masalah aliran muticommodity.
Orlin, et.al, (2006) menyelesaikan persoalan aliran multi-komoditi dengan
menggunakan Primal Simplex Method. Chardaire, et.al,(2002) dengan menggunakan ACCPM. Goffin, et.al, (2002) mengaplikasikan metode ACCPM untuk
menyelesaikan masalah lagrangian ganda. Mahey, et.al, (2005) menyelesaikan
persoalan aliran multi-komoditi dengan menggunakan a bounded number of paths.