097 berpikir kritis dalam menyelesaikan
Be r fik ir Kr it is da n
Pe m e ca h a n M a sa la h
Penyusun:
Bevina D. Handari
Kiki A
A. Sugeng
S
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Be r pik
B
ik ir
i Kr
K it is
i da
d lla m
Ke h idu pa n Se h a r i- h a r i
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Apa k a h ya n g dim
A
di a k su d
de n g
ga n be r fik ir k r it is?
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Be rfik ir K rit is
wBerfikir kritis adalah sekumpulan keahlian yang kita
gunakan sehari‐hari
sehari hari dan diperlukan untuk
pengembangan kemampuan personal maupun
intelektual.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
KAS2
Be rfik ir K rit is
wKarakter (ciri‐ciri) dari orang yang berfikir kritis
adalah sbb
Mempunyai kemampuan analisis yang baik
Mempunyai kemampuan komunikasi yang efektif
Memperoleh informasi yang baik dan memiliki
kemampuan melakukan penelitian
Mempunyai sifat fleksibel dan toleran terhadap
kerancuan dan ketidak pastian
Mempunyai pemikiran terbuka
Pencari solusi masalah yang kreatif
Mempunyai perhatian dan hasrat ingin tahu yang
besar
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Slide 5
KAS2
Kiki A Sugeng, 12/ 1/ 2010
Se git iga T ingk a t a n Be rpik ir
An a lisa
hambatan
I n t e r pr e t a si
Pe n ga la m a n
Tingkatan berfikir dapat digambarkan sebagai segitiga piramid yang
terbagi dalam 3 tingkatan.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Se git iga T ingk a t a n Be rpik ir
Ana lisa
hambatan
I n t e r pr e t a si
Pe n ga la
l m an
Hambatan dapat timbul disebabkan oleh berbagai hal,
hal antara lain:
• Merasa terlalu nyaman dengan kondisi saat ini
• Keengganan untuk berubah
•Pemikiran
Pemikiran yang sempit
• Kemarahan
• Egosentris
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe nga la m a n
Ana lisa
I n t e r pr e t a si
Pe n ga la m a n
• Merupakan level pertama dalam
tingkatan berpikir.
berpikir
• Termasuk pengalaman yang dialami
sendiri dan penerimaan informasi serta
f k f k empiris
fakta-fakta
i i yang diterima
di i dari
d i
sumber lain.
• Merupakan
p
dasar dari ppemikiran kritis
dan argumentasi.
• Menyediakan bahan untuk interpretasi
dan analisis.
analisis
• Pada level ini, kita cenderung hanya
menggambarkan pengalaman kita
d i d berusaha
daripada
b
h untuk
t k
memahaminya.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Cont oh Pe nga la m a n
w Saya ditolak oleh pekerjaan dimana saya sudah diwawancara.
w Mardi membantu
Mardi membantu membukakan pintu ketika saya hendak
keluar.
w Kloning manusia merupakan sesuatu yang ilegal di Amerika
Serikat.
w Pada pemilihan presiden Amerika tahun 2004, hanya 58,4
persen dari seluruh warga Amerika yang memenuhi
yang memenuhi syarat
sebagai pemilih yang memberikan suara. Untuk warga usia
antara 18 hingga 25 tahun persentasenya bahkan lebih
rendah, yaitu 41,9 persen.
w Silk Road atau jalur sutra adalah julukan untuk jalur
perdagangan antara Asia dan
Asia dan Eropa di zaman dahulu.
dahulu
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
I nt e rpre t a si
Ana lisa
I n t e r pr e t a si
Pe n ga la m a n
• Merupakan level kedua dalam tingkatan
berpikir.
• Merupakan usaha untuk membuat
pengalaman agar dapat dimengerti.
dimengerti
• Meliputi : interpretasi individual
terhadap pengalaman, pandangan
umum, dan
d pandangan
d
k lt l
kultural.
• Sebagian dari interpretasi kita mungkin
berdasarkan informasi yang cukup dan
sebagian lainnya mungkin hanya
berdasarkan pendapat, perasaan pribadi,
atau praduga.
praduga
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Ana lisa
Ana lisa
I n t e r pr e t a si
Pe n ga la m a n
• Merupakan level ketiga dalam
tingkatan
ti k t berpikir.
b iki
• Pada tingkatan ini kita perlu
meningkatkan tingkatan berpikir kita
dan secara kritis menentukan
interpretasi-interpretasi untuk sebuah
pengalaman, juga untuk pengalaman
pengalamanpengalaman lainnya, menolak untuk
menerima menentukan apakah
interpretasi akurat
ak rat atau
ata interpretasi
terlalu umum untuk suatu pengalaman.
• Analisis biasanya dimulai dari
menanyakan sebuah pertanyaan.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Cont oh 1
Pe n ga la m a n
Saya tidak diterima pada pekerjaan dimana saya sudah
diwawancara.
I nterp
pr e t a si
Saya tidak mendapatkan pekerjaan tersebut karena saya tidak
memiliki
iliki koneksi
k k i yang tepat.
An a lisa
Apakah yang menyebabkan saya tidak mendapatkan
pekerjaan
k j
adalah
d l h koneksi
k k i saya yang kurang,
k
k
karena
kemampuan wawancara saya yang lemah, ataukah karena
saya kurang memenuhi kualifikasi pekerjaan tersebut?
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Cont oh 2
Pe n ga la m a n
Mardi m em bant u
hendak keluar.
I nterp
pr e t a si
Mardi adalah seseorang yang berpikir wanita terlalu lemah
untukk membuka
b k pintu
i
untukk mereka
k sendiri.
di i
An a lisa
m em bukakan
pint u
ket ika
Apakah tujuan Mardi membukakan pintu untuk saya?
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
saya
Be rpik ir K rit is
Berpikir kritis sangat dibutuhkan dalam proses
pemecahan masalah.
masalah
Untuk lebih dapat berpikir kritis berikut langkah‐
langkah
langkah yang harus dicermati dalam membaca sebuah
masalah:
9 Menentukan apakah ada informasi yang hilang,
9 Menentukan apakah ada informasi yang tidak
yang tidak
relevan atau tidak penting.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Be rpik ir K rit is
Menentukan informasi yang hilang
Hilangnyaa satu
Hilangn
sat informasi penting dapat menghalangi
pemecahan masalah
Contoh:
Setiap
p hari atmosfir bumi dibombardir oleh 1022 jjoule radiasi
solar (1 J = 0,239 kal). Jumlah energi ini cukup untuk
memenuhi kebutuhan energi populasi manusia selama 25
tahun.
tahun
Penjelasan ini tidak memberikan informasi bagaimana atau
berdasarkan apa kebutuhan energi populasi manusia dihitung.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Be rpik ir K rit is
Menentukan informasi yang tidak relevan/ penting
Pada masalah mungkin terdapat informasi yang keberadaannya
Pada
masalah mungkin terdapat informasi yang keberadaannya
tidak dibutuhkan dalam pemecahan masalah.
Contoh:
Pada suatu penelitian, peneliti menyebarkan low concentrations of
dissolved iron di laut seluas 72 km
dissolved iron
di laut seluas 72 km2, kemudian diukur perubahan
kemudian diukur perubahan
kepadatan phytoplankton dalam periode 7 hari. Pengukuran
dilakukan terus‐menerus dalam periode tersebut. Terjadi
peningkatan phytoplankton dalam jumlah besar yang ditunjukkan
i k
h
l k
d l
j l hb
di j kk
dengan bertambahnya konsentrasi chlorophyll dalam air.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Be rpik ir K rit is
Perhatikan bahwa kalimat:
“Pengukuran dilakukan terus‐menerus dalam periode
tersebut”
bukan merupakan informasi yang penting. Informasi ini hanya
menjelaskan
j l k bagaimana
b i
proses pengukuran
k
dil k k
dilakukan.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
E t iim a sii
Est
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Saat ini banyak tersedia alat
Saat
ini banyak tersedia alat
bantu hitung yang berfungsi
membantu kita dalam kegiatan
yang melibatkan perhitungan,
seperti kalkulator, komputer,
dan lain lain
dan lain‐lain.
Namun, contoh berikut
,
menunjukkan bahwa kita hanya
membutuhkan estimasi dari solusi
l hb k
l b
hi
masalah bukan alat bantu hitung.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
ESTI M ASI
Est im a si
CONTOH 1 :
Mengestimasi jumlah kandang burung.
Sebuah kandang burung merpati dapat
Sebuah
kandang burung merpati dapat
memuat sampai 4 burung. Berapa
banyak kandang yang dibutuhkan untuk
banyak kandang yang dibutuhkan untuk
dapat memuat 14 burung?
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Dengan menggunakan alat bantu hitung diperoleh nilai
D
k
l t b t hit
di
l h il i
3,5. Namun tidak mungkin ada 3,5 kandang.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Jadi, untuk dapat memuat sampai 14 burung
dibutuhkan 4 kandang burung
dibutuhkan 4 kandang burung.
Pada contoh ini harus digunakan pembulatan ke atas
d i bil
dari bilangan 3,5 ke bilangan bulat berikutnya.
3 5 k bil
b l t b ik t
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
CONTOH 2 :
CONTOH
2:
Membandingkan proporsi pekerja sesuai rentang usia
Sebuah pabrik elektronik memiliki buruh pabrik dengan
rentang usia 18‐22 tahun sebanyak 85 buruh laki‐laki dari
total 150 buruh di rentang usia tersebut. Dari 275 buruh di
rentang usia 23‐27 tahun terdapat 120 buruh laki‐laki.
Rentang usia mana yang memiliki proporsi buruh laki‐laki
yang lebih besar?
yang lebih besar?
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Untuk rentang usia 18‐22 tahun, terdiri dari 85 buruh laki‐laki
Untuk
rentang usia 18 22 tahun terdiri dari 85 buruh laki laki
dan 150‐85=65 buruh perempuan.
Berarti pada rentang usia tersebut, lebih dari separuhnya adalah
p
g
,
p
y
buruh laki‐laki.
P opor sii bu
Pr
b r u h pa d
da r e n t a n g
u sia 1 8 - 2 2 t a h u n
Laki- laki
Perem puan
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Rentang usia 23‐27 tahun terdiri dari 120 buruh laki‐laki dan
Rentang
usia 23 27 tahun terdiri dari 120 buruh laki laki dan
275‐120 = 155 buruh perempuan.
Berarti jumlah buruh laki‐laki kurang dari separuh jumlah buruh
j
g
p
j
di rentang usia tersebut.
P opor sii bu
Pr
b r u h pa d
da r e n t a n g
u sia 2 3 - 2 7 t a h u n
Laki- laki
Perem puan
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Pr opor
p si bu r u h p
pa da
r e n t a n g u sia 1 8 - 2 2 t a h u n
Pr opor
p si bu r u h p
pa da
r e n t a n g u sia 2 3 - 2 7 t a h u n
LakiL
ki laki
l ki
Perem puan
Laki- laki
Perem puan
Gambar di atas menunjukkan rentang usia 18‐22 tahun
G b di
j kk
i 18 22 h
memiliki proporsi buruh laki‐laki yang lebih besar
dibanding rentang usia 23‐27 tahun
dibanding rentang usia 23‐27 tahun.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Tujuan
1.Menggunakan teknik‐teknik estimasi untuk
menentukan
k solusi
l i pendekatan,
d k
2.Menggunakan
gg
teknik‐teknik estimasi dalam ggrafik,,
3.Mengembangkan model yang dapat menggambarkan
hubungan antar variabel.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
MENGGUNAKAN TEKNIK‐TEKNIK ESTIMASI UNTUK
MENEMUKAN SOLUSI PENDEKATAN
MENEMUKAN SOLUSI PENDEKATAN
Estimasi adalah sebuah proses yang dilakukan untuk
memperoleh solusi aproksimasi dari suatu masalah.
Estimasi dapat membantu kita menentukan apakah
suatu perhitungan masuk akal atau tidak.
t
hit
k k l t tid k
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
BEBERAPA CONTOH ESTIMASI :
9 Sekitar 80% gempa bumi terbesar di dunia terjadi di
kawasan lingkaran api (the Ring of Fire) yaitu daerah
kawasan lingkaran api (the Ring of Fire), yaitu daerah
dengan aktivitas geologi yang sangat tinggi.
9 Tsunami di Aceh menelan korban lebih dari 184.000
orang di 14 negara
orang di 14 negara.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
9 Rata‐rata ketinggian 7 benua di atas permukaan laut
adalah 840 meter. Mt. Everest adalah permukaan
tertinggi dengan ketinggian 8848 m di atas
tertinggi dengan ketinggian 8848 m di atas
permukaan laut dan Laut Mati terendah dengan
ketinggian 400 m di bawah permukaan laut.
ketinggian 400 m di bawah permukaan laut.
9 Sekitar 75% gunung
Sekitar 75% gunung‐gunung
gunung di dunia berada pada
di dunia berada pada
daerah lingkaran api, dan sekitar 600 gunung
merupakan gunung aktif.
p
g
g
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Beberapa teknik estimasi :
Pembulatan bilangan asli
Contoh : :
Contoh
123.436 dibulatkan menjadi 123.440,
dinotasikan 123.436 ≈ 123.440.
Notasi ≈ berarti “diaproksimasi dengan”
Pembulatan desimal sebuah bilangan
g
Contoh :
12,345 dibulatkan menjadi 12,350,
dinotasikan 12,345 ≈ 12,350.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Pembulatan bilangan asli
Perhatikan digit disebelah kanan dari digit bilangan
yang akan dibulatkan
yang akan dibulatkan.
Contoh: bulatkan 123.436 ke puluhan terdekat.
C
t h b l tk 123 436 k
l h t d k t
Digit di sebelah
123.4 3 6
kanan 3 adalah 6
Digit yang akan
dibulat kan
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Pembulatan bilangan asli
Jika digit di kanan bernilai 5 atau lebih, nilai digit yang akan
dibulatkan di tambah 1 dan ganti semua digit di kanannya
g
g
y
dengan nol.
123.4 3 6
123
4 43 06
Digit
Di
it 6 di
digantt i
m enj adi 0
karena digit
g dikanan 3
adalah 6 dan 6 lebih dari 5
m aka digit 3 dit am bah 1
m enj adi 4
Jadi hasil pembulatan ke puluhan terdekat dari 123.436 ≈ 123.440.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Pembulatan bilangan asli
Jika digit di kanan bernilai kurang dari 5, nilai digit yang
akan dibulatkan tidak berubah dan ganti semua digit di
g
g
kanannya dengan nol.
123.4 3 4
123
4 3 04
Digit
Di
it 4 di
digantt i
m enj adi 0
karena digit dikanan 3
adalah 4 kurang dari 5 m aka
3 t idak berubah
Jadi hasil pembulatan ke puluhan terdekat dari 123.434 ≈ 123.430.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Pembulatan desimal sebuah bilangan
Dengan menggunakan aturan yang sama dengan
pembulatan bilangan asli dapat dilakukan pembulatan
b l
bil
li d
dil k k
b l
desimal pada sebuah bilangan.
Contoh:
P b l
Pembulatan 3,14159 ke per seratus terdekat adalah
3 14159 k
d k
d l h
3,14159 ≈ 3,14.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Estimasi dengan pembulatan
Misalkan anda berbelanja di pasar membeli beberapa
barang yang berturut‐turut
barang yang berturut
turut berharga
berharga
Rp 12.550, Rp 13.250, Rp 8.600,
p
, p
p
Rp 10.500, Rp 10.250 dan Rp 5.450.
Penjual mengatakan anda harus membayar
Rp 68.000. Apakah jumlah tersebut masuk akal?
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Estimasi dengan pembulatan ke sepuluh ribu terdekat:
Rp 12.550 ≈ Rp 13.000,
Rp 13.250 ≈ Rp 13.000,
Rp 8.600 ≈ Rp 9.000,
Rp 10.500 ≈ Rp 11.000,
R 10 250 R 10 000
Rp 10.250 ≈ Rp 10.000,
Rp 5.450 ≈ Rp 5.000.
Total estimasi adalah Rp 61.000 sehingga jumlah yang
harus dibayar Rp 68.000 tidak masuk akal.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
St r a t e gii Pe
P m e ca h a n
M a sa la h
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
PEN DAH U LU AN
Materi yang akan anda dipelajari pada topik ini akan
membantu Anda dalam memecahkan masalah masalah
membantu Anda dalam memecahkan masalah‐masalah
anda sehari‐hari, seperti :
¾ apakah Anda akan membeli rumah atau cukup
menyewa saja,
menyewa saja,
¾ bagaimana
bagaimana menyelesaikan tugas yang cukup
menyelesaikan tugas yang cukup
kompleks dari dosen Anda.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
PEN DAH U LU AN
Masalah di dunia nyata jauh lebih kompleks dari
masalah masalah yang ada dalam pembahasan topik
masalah‐masalah yang ada dalam pembahasan topik
ini, namun dengan mempelajari topik ini tanpa anda
sadari akan memampukan anda menggunakan konsep
p
gg
p
matematika dalam kehidupan anda sehari‐hari.
Hal ini jelas akan membantu Anda dalam proses
pemecahan masalah yang Anda hadapi.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
PEN DAH U LU AN
Yang perlu dipahami adalah proses pemecahan
masalah membutuhkan kesabaran dan pengalaman.
pengalaman
Dengan bekerja secara cerdik, walau harus melalui
kerja
j keras, akan
,
membantu anda menjadi
j p
pemecah
masalah yang hebat.
Pemecahan masalah membutuhkan:
1.Persiapan
2.Waktu untuk berpikir
3.Ide untuk memecahkan masalah
4 V ifik i
4.Verifikasi
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Sya ra t Pe m e c a ha n M a sa la h
1.Persiapan
Misalkan anda diberi tugas untuk membuat iklan
promosi produk telekomunikasi baru. Maka
baru Maka anda harus
mempelajari fitur‐fitur produk, mencobanya, dan
memperkirakan
p
serta mempelajari
p j segmen
g
pasar yyang
p
g
akan disasar. Persiapan yang tepat dibutuhkan untuk
menghasilkan iklan yang efektif.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Sya ra t Pe m e c a ha n M a sa la h
2.Waktu Untuk Berpikir
Jika solusi masalah yang diperoleh makin tidak
mendekati solusi yang dicari alihkan perhatian anda ke
mendekati solusi yang dicari, alihkan perhatian anda ke
hal lain sejenak. Anda dapat kembali mencoba
mengatasi masalah anda jika anda sudah merasa lebih
g
j
baik.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Sya ra t Pe m e c a ha n M a sa la h
3.Ide Untuk Memecahkan Masalah
Dalam memecahkan masalah, kadang kita
membutuhkan ide yang dapat membantu kita
membutuhkan ide yang dapat membantu kita
memecahkan masalah. Misalnya anda sudah pernah
menghadapi masalah yang hampir sama
g
p
y g
p
sebelumnya, maka anda dapat menggunakan cara yang
sama untuk memecahkan masalah anda sekarang.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Sya ra t Pe m e c a ha n M a sa la h
4.Verifikasi
Jika solusi sudah diperoleh, pikirkan dan uji kembali
solusi tersebut Apakah solusi sudah memenuhi semua
solusi tersebut. Apakah solusi sudah memenuhi semua
kondisi masalah? Apakah ada kesalahan kalkulasi atau
teori yang digunakan?
y g g
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Sya ra t Pe m e c a ha n M a sa la h
Pemecahan
P
h masalah
l h lebih
l bih kepada
k
d senii daripada
d i d sains
i
sehingga tidak ada suatu aturan yang dapat digunakan
untuk memecahkan semua jenis masalah.
masalah
Dalam hal ini Anda harus kreatif menggunakan alat
bantu matematika dalam memecahkan masalah Anda.
bantu matematika
Anda.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h ( Proble m Solving )
Tujuan:
M
Mampu memecahkan masalah menggunakan prosedur
hk
l h
k
d
empat langkah pemecahan masalah.
Kemampuan berpikir kritis dan memecahkan masalah
K
b iki k iti d
hk
l h
merupakan kemampuan penting yang sangat
dibutuhkan baik di sekolah dunia kerja maupun dalam
dibutuhkan baik di sekolah, dunia kerja maupun dalam
kehidupan sehari‐hari.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
George Polya (1887‐1985) mengusulkan
sebuah model pemecahan masalah yang
dapat digunakan di sebarang bidang ilmu
dapat digunakan di sebarang bidang ilmu.
Model ini dapat digunakan sebagai
pedoman proses pemecahan masalah, dan
pada masalah‐masalah tertentu dapat
digunakan tanpa harus melakukan setiap
g
p
p
langkahnya.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Empat langkah Pemecahan Masalah menurut Polya:
Langkah 1: Memahami Masalah
Baca masalah
l h beberapa
b b
k l
kali.
Bacaan pertama sebagai overview.
Bacaan ke dua anda tuliskan informasi yang ada dan
tentukan masalah apa yang harus anda dipecahkan.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Langkah 2: Susun rencana pemecahan masalah
Rencana pemecahan masalah dapat terdiri dari satu atau lebih
langkah dari strategi pemecahan masalah berikut:
9 Gunakan inductive reasoning
g untuk menentukan ada tidaknya
y
sebuah pola,
9 Buat daftar atau tabel yang sistematis,
9 Gunakan estimasi untuk memperoleh tebakan yang cerdik
dari solusi. Cek estimasi terhadap kondisi masalah dan
ggunakan langkah
g
mundur hingga
gg diperoleh
p
solusi sebenarnya,
y ,
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
9 Coba nyatakan masalah ke dalam bentuk yang lebih
yang lebih
sederhana dan gunakan hasil pemecahkan masalah yang lebih
sederhana ke masalah sekarang,
9 Lakukan trial and error,
9 Buat daftar informasi yang tersedia atau diberikan dalam
masalah ke bentuk tabel,
tabel
9 Coba buat diagram atau sketsa untuk mengilustrasikan
masalah,
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
9 Hubungkan
Hubungkan masalah yang dihadapi dengan masalah yang
masalah yang dihadapi dengan masalah yang
hampir sama yang sudah pernah dihadapi
sebelumnya, gunakan metode pemecahan masalah pada
masalah tersebut ke masalah yang sedang dihadapi sekarang,
l h
b k
l h
d
dih d i k
9 Gunakan informasi yang ada untuk menghapus kemungkinan‐
kemungkinan yang kurang sesuai,
kemungkinan yang kurang sesuai,
9 Gunakan akal sehat.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Langkah 3: Jalankan rencana pemecahan masalah dan
pecahkan masalah
Langkah 4: Lihat
4: Lihat kembali solusi dan cek kembali solusi
tersebut.
Solusi harus memenuhi semua kondisi masalah, masuk
,
akal dan
dapat ditelusuri kebenarannya. Jika tidak, cek kembali metode
atau penghitungan yang digunakan. Mungkin ada cara lain untuk
menentukan solusi sebenarnya.
sebenarnya
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Berikut adalah beberapa contoh pemecahan masalah
menggunakan
gg
model pemecahan
p
masalah sebagai
g p
pedoman
proses pemecahan masalah.
Contoh 1: Disebuah pesta terdapat 6 tamu
6 tamu yang saling
yang saling
menyalami satu sama lain. Berapa banyak kemungkinan jabat
tangan yang dapat terjadi?
Langkah 1: Memahami masalah
Informasi yang diperoleh
yang diperoleh adalah ada 6 tamu
6 tamu yang saling
yang saling berjabat
tangan satu sama lain.
Masalah yang harus dipecahkan berapa banyak kemungkinan
j b tangan yang dapat
jabat
d
terjadi?
j di?
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Langkah 2: Susun rencana pemecahan masalah
Buat diagram atau sketsa untuk mengilustrasikan masalah
Buat diagram atau sketsa untuk mengilustrasikan masalah.
Tamu 1
Tamu 2
Tamu 6
Tamu 3
keterangan
menyatakan saling
Berjabat tangan
Tamu 5
Tamu 4
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Langkah 3: Jalankan rencana pemecahan masalah dan
pecahkan masalah
Dengan menghitung jumlah garis yang menghubungkan tiap dua
tamu p
pada ggambar, dapat
p dihitungg bahwa terjadi
j 15 kali salingg
berjabat tangan.
Langkah 4: Lihat kembali solusi dan cek kembali solusi
tersebut.
Solusi dapat ditelusuri kebenarannya dengan menggunakan
prinsip kombinasi dalam matematika.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Contoh 2: Tentukan jumlah bilangan baris ke enam dari
segitiga Pascal berikut:
segitiga Pascal berikut:
baris 0
baris 1
baris 2
baris 3
baris 4
baris 4
baris 5
baris 6
1
1 1
1 2 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
?
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Langkah 1: Memahami Masalah
Ak dit t k j l h bil
Akan ditentukan jumlah bilangan baris ke enam dari
b i k
d i
segitiga Pascal. Informasi bilangan yang ada hanya
sampai baris ke lima
sampai baris ke lima.
baris 0
baris 1
baris 2
baris 3
baris 3
baris 4
baris 5
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Langkah 2: Susun rencana pemecahan masalah
C b k
Coba kenali pola dari masalah yang dihadapi. Jika
li l d i
l h
dih d i Jik
mungkin gunakan pola yang sama dalam memecahkan
masalah.
masalah
Dengan memperhatikan setiap bilangan pada segitiga
Dengan
memperhatikan setiap bilangan pada segitiga
Pascal dapat dilihat adanya pola pada bilangan segitiga
Pascal sebagai berikut:
g
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
1
1 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
10 diperoleh dengan menjumlahkan
bilangan dikiri atasnya yaitu 6
dengan bilangan di kanan atasnya yaitu 4
Setiap bilangan pada segitiga Pascal dapat diperoleh dengan
menjumlahkan bilangan yang letaknya di sebelah kiri atas
d
dengan bilangan yang letaknya di sebelah kanan atas dari
bil
l t k
di b l h k
t d i
bilangan tersebut.
g p
p
j
p
g g
Dengan pola ini dapat ditentukan jumlah tiap baris segitiga
Pascal.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Langkah 3: Jalankan rencana pemecahan masalah dan
pecahkan masalah
pecahkan masalah
Dengan pola tersebut dapat ditentukan semua bilangan
pada baris ke enam segitiga Pascal kemudian hitung
pada baris ke enam segitiga Pascal kemudian hitung
jumlahnya.
baris 6
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 6 15 20 15 6 1
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
J l h?
Jumlah?
Pe m e c a ha n M a sa la h
Jumlah
1 = 1
1+1 = 2
1+2+1 = 4
1+3+3+1 = 8
1+3+3+1 = 8
1+4+6+4+1 = 16
1+5+10+10+5+1 = 32
1+6+15+20+15+6+1 = 64
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 6 15 20 15 6 1
Pada tabel berikut ditunjukkan jumlah tiap baris segitiga Pascal
hingga baris ke delapan.
Baris
ke
ke‐
0
1
2
3
4
5
6
Total
1
2
4
8
16
32
64
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
LLangkah 4: Lihat kembali solusi dan cek kembali solusi
k h 4 Lih t k b li l i d
k k b li l i
tersebut.
Solusi dapat ditelusuri kebenarannya dengan menggunakan
Solusi
dapat ditelusuri kebenarannya dengan menggunakan
rumus matematika menghitung jumlah bilangan pada baris
segitiga Pascal.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Memecahkan masalah yang cukup kompleks tidaklah
mudah, karena itu pada langkah 2 terdapat strategi pemecahan
masalah:
Coba nyatakan masalah ke dalam bentuk yang lebih sederhana
dan gunakan hasil pemecahkan masalah yang lebih sederhana ke
masalah sekarang.
Strategi ini mengusulkan :
Awali langkah pemecahan masalah dengan memecahkan
submasalah yang lebih sederhana kemudian gunakan solusi
submasalah tersebut untuk memecahkan masalah anda.
anda
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Contoh 3:
Misalkan terdapat sepuluh mahasiswa calon penerima
penghargaan mahasiswa berprestasi UI. Panitia ingin
mengatur urutan penerima penghargaan naik ke atas
mengatur urutan penerima penghargaan naik ke atas
panggung. Ada berapa urutan yang mungkin dibentuk
panitia?
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Masalah yang lebih sederhana dari masalah di atas
misalnya hanya terdapat 3 mahasiswa Maka terdapat
misalnya hanya terdapat 3 mahasiswa. Maka terdapat
6 urutan mahasiswa yang mungkin:
1
2
3
Kemungkinan 1
1
2
3
Kemungkinan 2
1
2
3
Kemungkinan 5
1
2
3
Kemungkinan 3
1
2
3
Kemungkinan 6
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
1
2
3
Kemungkinan 4
Pe m e c a ha n M a sa la h
Pada Langkah 2 juga terdapat strategi pemecahan
masalah:
masalah:
Hubungkan masalah yang dihadapi dengan masalah
Hubungkan
masalah yang dihadapi dengan masalah
yang hampir sama yang sudah pernah dihadapi
sebelumnya.
Langkah ini merupakan langkah yang efektif dalam
Langkah
ini merupakan langkah yang efektif dalam
pemecahan masalah. Berikut contohnya:
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Misalkan sebuah server utama dari sebuah sistim
komputer akan dihubungkan dengan 6 server lainnya
komputer akan dihubungkan dengan 6 server lainnya
sehingga setiap server dapat saling berhubungan satu
sama lainnya.
y
Berapa banyak saluran yang harus disiapkan oleh
Berapa
banyak saluran yang harus disiapkan oleh
teknisi komputer sehingga keterhubungan tersebut
dapat terwujud?
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Masalah server ini hampir sama dengan masalah di
sebuah pesta ketika 6 tamu saling menyalami satu
sebuah pesta ketika 6 tamu saling menyalami satu
sama lain. Sehingga solusi masalah 6 tamu dapat
digunakan untuk menyelesaikan masalah server ini.
g
y
Dengan 6 server sudah diketahui terdapat 15 saluran
Dengan
6 server sudah diketahui terdapat 15 saluran
yang menghubungkan tiap dua server. Sehingga untuk
masalah dengan 7 server perlu ditambahkan 6 saluran
baru.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Konversi masalah 6 server ke 7 server. Total saluran
baru yang dibutuhkan adalah 15 + 6 = 21 saluran
baru yang dibutuhkan adalah 15 + 6 = 21 saluran.
Server 1
Server 2
1
2
3
Server 7
Server 3
Server 6
4
5
Server 5
Server 4
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
6
Cont oh M a sa la h
Grafik berikut menunjukkan
biaya yang telah digunakan
hingga tahun 2007 dan
rencana biaya mendatang
yang dibutuhkan oleh sebuah
yang dibutuhkan
perusahaan periklanan (dalam
jutaan rupiah) pada tahun
rupiah) pada tahun
2008.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Cont oh M a sa la h
Jika diasumsikan
Jik
di
ik berlaku
b l k kecenderungan
k
d
k b t h
kebutuhan
biaya yang sama hingga tahun 2012 dimulai dari tahun
2006 gunakan grafik di atas untuk mengestimasi
2006, gunakan
berapa biaya yang harus dikeluarkan oleh perusahaan
tersebut ditahun 2012?
(Bulatkan jawaban anda ke puluhan juta terdekat.
Karena yang dibutuhkan hanya perkiraan bukan
jawaban yang tepat)
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Cont oh M a sa la h
Langkah 1: Memahami masalah
I f
Informasi yang diberikan adalah biaya yang dikeluarkan
i
dib ik
d l h bi
dik l k
pada tahun 2000 hingga tahun 2007, dan prediksi biaya
yang akan dikeluarkan pada tahun 2008
yang akan dikeluarkan pada tahun 2008.
Masalahnya adalah menentukan estimasi biaya yang
Masalahnya
adalah menentukan estimasi biaya yang
dibutuhkan pada tahun 2012 dengan asumsi berlaku
kecenderungan kebutuhan biaya yang sama dimulai
g
y y g
tahun 2006.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Cont oh M a sa la h
Langkah 2: Susun rencana pemecahan masalah
Karena soal memiliki asumsi kecenderungan kebutuhan
biaya yang sama dimulai tahun 2006, berarti kita dapat
menggunakan
gg
strategi
g p
pemecahan masalah:
Gunakan penalaran induktif untuk menentukan ada
tidaknya sebuah pola (karena asumsi kecenderungan
yang sama menunjukkan adanya sebuah pola).
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Cont oh M a sa la h
Langkah 3: Jalankan rencana pemecahan masalah dan
pecahkan masalah
pecahkan masalah
Berdasarkan grafik, pengeluaran tahun 2006 adalah 30
juta rupiah dan pada tahun 2007 berjumlah 34 juta
juta rupiah dan pada tahun 2007 berjumlah 34 juta
rupiah. Berarti terdapat kenaikan 4 juta rupiah.
Dengan asumsi tersebut dapat diestimasi pengeluaran
g
p
p g
tahun 2008 adalah 38 juta rupiah.
Untuk menghitung estimasi biaya pada tahun 2012
dapat digunakan ilustrasi sebagai berikut:
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Cont oh M a sa la h
Menurut asumsi dipenuhi:
2006 2007 2008
4 juta 4 juta
Maka rencana biaya tiap tahun sejak tahun 2006 dapat
diilustrasikan sebagai:
2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
4 juta 4 juta 4 juta 4 juta 4 juta 4 juta
Sehingga estimasi dari kebutuhan biaya pada tahun 2012 adalah
biaya
y tahun 2006, yaitu 30 juta
,y
j
dijumlahkan
j
dengan
g 24 juta
j
menjadi 54 juta rupiah atau 50 juta rupiah jika dibulatkan ke
puluhan juta terdekat.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Cont oh M a sa la h
Langkah 4: Lihat kembali solusi dan cek kembali solusi
tersebut.
Dari tahun 2008 hingga 2012 terhitung 4 tahun, dan
berdasarkan asumsi dapat diestimasi biaya tiap tahun adalah 4
juta rupiah Sehingga estimasi biaya selama 4 tahun adalah 4
juta rupiah. Sehingga estimasi biaya selama 4 tahun adalah 4
juta/tahun x 4 tahun adalah 16 juta rupiah.
Berarti estimasi biaya pada tahun 2012 adalah prediksi biaya
tahun 2008 dijumlahkan dengan biaya selama 4 tahun. Jadi 38
j
juta ditambah dengan 16 juta menjadi 54 juta.
g
j
j
j
Hasil pendekatan ke puluhan juta terdekat adalah 50 juta rupiah.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
K sim
Ke
i pu la
l n
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
KAS3
Be rfik ir K rit is
wKarakter (ciri‐ciri) dari orang yang berfikir kritis
adalah sbb
Mempunyai kemampuan analisis yang baik
Mempunyai kemampuan komunikasi yang efektif
Memperoleh informasi yang baik dan memiliki
kemampuan melakukan penelitian
Mempunyai sifat fleksibel dan toleran terhadap
kerancuan dan ketidak pastian
Mempunyai pemikiran terbuka
Pencari solusi masalah yang kreatif
Mempunyai perhatian dan hasrat ingin tahu yang
besar
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Slide 79
KAS3
Kiki A Sugeng, 12/ 1/ 2010
Se git iga T ingk a t a n Be rpik ir
An a lisa
hambatan
I n t e r pr e t a si
Pe n ga la m a n
Tingkatan berfikir dapat digambarkan sebagai segitiga piramid yang
terbagi dalam 3 tingkatan.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Empat langkah Pemecahan Masalah:
Langkah 1: Memahami Masalah
Baca masalah beberapa kali.
l hb b
k l
Bacaan pertama sebagai overview.
Bacaan ke dua anda tuliskan informasi yang ada dan
tentukan masalah apa yang harus anda dipecahkan.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Langkah 2: Susun rencana pemecahan masalah
Rencana pemecahan masalah dapat terdiri dari satu atau lebih
langkah dari strategi pemecahan masalah berikut:
9 Gunakan inductive reasoning
g untuk menentukan ada tidaknya
y
sebuah pola,
9 Buat daftar atau tabel yang sistematis,
9 Gunakan estimasi untuk memperoleh tebakan yang cerdik
dari solusi. Cek estimasi terhadap kondisi masalah dan
ggunakan langkah
g
mundur hingga
gg diperoleh
p
solusi sebenarnya,
y ,
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
9 Coba nyatakan masalah ke dalam bentuk yang lebih
yang lebih
sederhana dan gunakan hasil pemecahkan masalah yang lebih
sederhana ke masalah sekarang,
9 Lakukan trial and error,
9 Buat daftar informasi yang tersedia atau diberikan dalam
masalah ke bentuk tabel,
tabel
9 Coba buat diagram atau sketsa untuk mengilustrasikan
masalah,
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
9 Hubungkan
Hubungkan masalah yang dihadapi dengan masalah yang
masalah yang dihadapi dengan masalah yang
hampir sama yang sudah pernah dihadapi
sebelumnya, gunakan metode pemecahan masalah pada
masalah tersebut ke masalah yang sedang dihadapi sekarang,
l h
b k
l h
d
dih d i k
9 Gunakan informasi yang ada untuk menghapus kemungkinan‐
kemungkinan yang kurang sesuai,
kemungkinan yang kurang sesuai,
9 Gunakan akal sehat.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Langkah 3: Jalankan rencana pemecahan masalah dan
pecahkan masalah
Langkah 4: Lihat
4: Lihat kembali solusi dan cek kembali solusi
tersebut.
Solusi harus memenuhi semua kondisi masalah, masuk
,
akal dan
dapat ditelusuri kebenarannya. Jika tidak, cek kembali metode
atau penghitungan yang digunakan. Mungkin ada cara lain untuk
menentukan solusi sebenarnya.
sebenarnya
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Da ft a r Pust a k a
Angel, A. R., Abbot, C. D., Runde, D., C., A Survey of Mathematics with
Applications, Pearson Addison Wesley, 8Ed, 2009.
Blitzer, R., Thinking Mathematically, New Jersey, Pearson Prentice Hall, 4Ed, 2008.
Botkin, D.B. dan Keller, E.A., Environmental Science, Asia, John Wiley and Sons,
2010
Mill C D H
Miller C. D., Heeren
V E H
V. E., Hornsby J.S., Mathematical Ideas, Pearson, 11Ed, 2008.
b J S M th
ti l Id
P
11Ed 2008
Pirnot, T., Mathematics All Around, Boston, Addison Wesley, 3Ed, 2006.
Sevilla, A. dan Sommers, K., Quantitative Reasoning, Emeryville, Key College
Publishing 2007
Publishing, 2007
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e ca h a n M a sa la h
Penyusun:
Bevina D. Handari
Kiki A
A. Sugeng
S
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Be r pik
B
ik ir
i Kr
K it is
i da
d lla m
Ke h idu pa n Se h a r i- h a r i
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Apa k a h ya n g dim
A
di a k su d
de n g
ga n be r fik ir k r it is?
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Be rfik ir K rit is
wBerfikir kritis adalah sekumpulan keahlian yang kita
gunakan sehari‐hari
sehari hari dan diperlukan untuk
pengembangan kemampuan personal maupun
intelektual.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
KAS2
Be rfik ir K rit is
wKarakter (ciri‐ciri) dari orang yang berfikir kritis
adalah sbb
Mempunyai kemampuan analisis yang baik
Mempunyai kemampuan komunikasi yang efektif
Memperoleh informasi yang baik dan memiliki
kemampuan melakukan penelitian
Mempunyai sifat fleksibel dan toleran terhadap
kerancuan dan ketidak pastian
Mempunyai pemikiran terbuka
Pencari solusi masalah yang kreatif
Mempunyai perhatian dan hasrat ingin tahu yang
besar
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Slide 5
KAS2
Kiki A Sugeng, 12/ 1/ 2010
Se git iga T ingk a t a n Be rpik ir
An a lisa
hambatan
I n t e r pr e t a si
Pe n ga la m a n
Tingkatan berfikir dapat digambarkan sebagai segitiga piramid yang
terbagi dalam 3 tingkatan.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Se git iga T ingk a t a n Be rpik ir
Ana lisa
hambatan
I n t e r pr e t a si
Pe n ga la
l m an
Hambatan dapat timbul disebabkan oleh berbagai hal,
hal antara lain:
• Merasa terlalu nyaman dengan kondisi saat ini
• Keengganan untuk berubah
•Pemikiran
Pemikiran yang sempit
• Kemarahan
• Egosentris
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe nga la m a n
Ana lisa
I n t e r pr e t a si
Pe n ga la m a n
• Merupakan level pertama dalam
tingkatan berpikir.
berpikir
• Termasuk pengalaman yang dialami
sendiri dan penerimaan informasi serta
f k f k empiris
fakta-fakta
i i yang diterima
di i dari
d i
sumber lain.
• Merupakan
p
dasar dari ppemikiran kritis
dan argumentasi.
• Menyediakan bahan untuk interpretasi
dan analisis.
analisis
• Pada level ini, kita cenderung hanya
menggambarkan pengalaman kita
d i d berusaha
daripada
b
h untuk
t k
memahaminya.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Cont oh Pe nga la m a n
w Saya ditolak oleh pekerjaan dimana saya sudah diwawancara.
w Mardi membantu
Mardi membantu membukakan pintu ketika saya hendak
keluar.
w Kloning manusia merupakan sesuatu yang ilegal di Amerika
Serikat.
w Pada pemilihan presiden Amerika tahun 2004, hanya 58,4
persen dari seluruh warga Amerika yang memenuhi
yang memenuhi syarat
sebagai pemilih yang memberikan suara. Untuk warga usia
antara 18 hingga 25 tahun persentasenya bahkan lebih
rendah, yaitu 41,9 persen.
w Silk Road atau jalur sutra adalah julukan untuk jalur
perdagangan antara Asia dan
Asia dan Eropa di zaman dahulu.
dahulu
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
I nt e rpre t a si
Ana lisa
I n t e r pr e t a si
Pe n ga la m a n
• Merupakan level kedua dalam tingkatan
berpikir.
• Merupakan usaha untuk membuat
pengalaman agar dapat dimengerti.
dimengerti
• Meliputi : interpretasi individual
terhadap pengalaman, pandangan
umum, dan
d pandangan
d
k lt l
kultural.
• Sebagian dari interpretasi kita mungkin
berdasarkan informasi yang cukup dan
sebagian lainnya mungkin hanya
berdasarkan pendapat, perasaan pribadi,
atau praduga.
praduga
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Ana lisa
Ana lisa
I n t e r pr e t a si
Pe n ga la m a n
• Merupakan level ketiga dalam
tingkatan
ti k t berpikir.
b iki
• Pada tingkatan ini kita perlu
meningkatkan tingkatan berpikir kita
dan secara kritis menentukan
interpretasi-interpretasi untuk sebuah
pengalaman, juga untuk pengalaman
pengalamanpengalaman lainnya, menolak untuk
menerima menentukan apakah
interpretasi akurat
ak rat atau
ata interpretasi
terlalu umum untuk suatu pengalaman.
• Analisis biasanya dimulai dari
menanyakan sebuah pertanyaan.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Cont oh 1
Pe n ga la m a n
Saya tidak diterima pada pekerjaan dimana saya sudah
diwawancara.
I nterp
pr e t a si
Saya tidak mendapatkan pekerjaan tersebut karena saya tidak
memiliki
iliki koneksi
k k i yang tepat.
An a lisa
Apakah yang menyebabkan saya tidak mendapatkan
pekerjaan
k j
adalah
d l h koneksi
k k i saya yang kurang,
k
k
karena
kemampuan wawancara saya yang lemah, ataukah karena
saya kurang memenuhi kualifikasi pekerjaan tersebut?
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Cont oh 2
Pe n ga la m a n
Mardi m em bant u
hendak keluar.
I nterp
pr e t a si
Mardi adalah seseorang yang berpikir wanita terlalu lemah
untukk membuka
b k pintu
i
untukk mereka
k sendiri.
di i
An a lisa
m em bukakan
pint u
ket ika
Apakah tujuan Mardi membukakan pintu untuk saya?
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
saya
Be rpik ir K rit is
Berpikir kritis sangat dibutuhkan dalam proses
pemecahan masalah.
masalah
Untuk lebih dapat berpikir kritis berikut langkah‐
langkah
langkah yang harus dicermati dalam membaca sebuah
masalah:
9 Menentukan apakah ada informasi yang hilang,
9 Menentukan apakah ada informasi yang tidak
yang tidak
relevan atau tidak penting.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Be rpik ir K rit is
Menentukan informasi yang hilang
Hilangnyaa satu
Hilangn
sat informasi penting dapat menghalangi
pemecahan masalah
Contoh:
Setiap
p hari atmosfir bumi dibombardir oleh 1022 jjoule radiasi
solar (1 J = 0,239 kal). Jumlah energi ini cukup untuk
memenuhi kebutuhan energi populasi manusia selama 25
tahun.
tahun
Penjelasan ini tidak memberikan informasi bagaimana atau
berdasarkan apa kebutuhan energi populasi manusia dihitung.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Be rpik ir K rit is
Menentukan informasi yang tidak relevan/ penting
Pada masalah mungkin terdapat informasi yang keberadaannya
Pada
masalah mungkin terdapat informasi yang keberadaannya
tidak dibutuhkan dalam pemecahan masalah.
Contoh:
Pada suatu penelitian, peneliti menyebarkan low concentrations of
dissolved iron di laut seluas 72 km
dissolved iron
di laut seluas 72 km2, kemudian diukur perubahan
kemudian diukur perubahan
kepadatan phytoplankton dalam periode 7 hari. Pengukuran
dilakukan terus‐menerus dalam periode tersebut. Terjadi
peningkatan phytoplankton dalam jumlah besar yang ditunjukkan
i k
h
l k
d l
j l hb
di j kk
dengan bertambahnya konsentrasi chlorophyll dalam air.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Be rpik ir K rit is
Perhatikan bahwa kalimat:
“Pengukuran dilakukan terus‐menerus dalam periode
tersebut”
bukan merupakan informasi yang penting. Informasi ini hanya
menjelaskan
j l k bagaimana
b i
proses pengukuran
k
dil k k
dilakukan.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
E t iim a sii
Est
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Saat ini banyak tersedia alat
Saat
ini banyak tersedia alat
bantu hitung yang berfungsi
membantu kita dalam kegiatan
yang melibatkan perhitungan,
seperti kalkulator, komputer,
dan lain lain
dan lain‐lain.
Namun, contoh berikut
,
menunjukkan bahwa kita hanya
membutuhkan estimasi dari solusi
l hb k
l b
hi
masalah bukan alat bantu hitung.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
ESTI M ASI
Est im a si
CONTOH 1 :
Mengestimasi jumlah kandang burung.
Sebuah kandang burung merpati dapat
Sebuah
kandang burung merpati dapat
memuat sampai 4 burung. Berapa
banyak kandang yang dibutuhkan untuk
banyak kandang yang dibutuhkan untuk
dapat memuat 14 burung?
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Dengan menggunakan alat bantu hitung diperoleh nilai
D
k
l t b t hit
di
l h il i
3,5. Namun tidak mungkin ada 3,5 kandang.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Jadi, untuk dapat memuat sampai 14 burung
dibutuhkan 4 kandang burung
dibutuhkan 4 kandang burung.
Pada contoh ini harus digunakan pembulatan ke atas
d i bil
dari bilangan 3,5 ke bilangan bulat berikutnya.
3 5 k bil
b l t b ik t
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
CONTOH 2 :
CONTOH
2:
Membandingkan proporsi pekerja sesuai rentang usia
Sebuah pabrik elektronik memiliki buruh pabrik dengan
rentang usia 18‐22 tahun sebanyak 85 buruh laki‐laki dari
total 150 buruh di rentang usia tersebut. Dari 275 buruh di
rentang usia 23‐27 tahun terdapat 120 buruh laki‐laki.
Rentang usia mana yang memiliki proporsi buruh laki‐laki
yang lebih besar?
yang lebih besar?
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Untuk rentang usia 18‐22 tahun, terdiri dari 85 buruh laki‐laki
Untuk
rentang usia 18 22 tahun terdiri dari 85 buruh laki laki
dan 150‐85=65 buruh perempuan.
Berarti pada rentang usia tersebut, lebih dari separuhnya adalah
p
g
,
p
y
buruh laki‐laki.
P opor sii bu
Pr
b r u h pa d
da r e n t a n g
u sia 1 8 - 2 2 t a h u n
Laki- laki
Perem puan
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Rentang usia 23‐27 tahun terdiri dari 120 buruh laki‐laki dan
Rentang
usia 23 27 tahun terdiri dari 120 buruh laki laki dan
275‐120 = 155 buruh perempuan.
Berarti jumlah buruh laki‐laki kurang dari separuh jumlah buruh
j
g
p
j
di rentang usia tersebut.
P opor sii bu
Pr
b r u h pa d
da r e n t a n g
u sia 2 3 - 2 7 t a h u n
Laki- laki
Perem puan
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Pr opor
p si bu r u h p
pa da
r e n t a n g u sia 1 8 - 2 2 t a h u n
Pr opor
p si bu r u h p
pa da
r e n t a n g u sia 2 3 - 2 7 t a h u n
LakiL
ki laki
l ki
Perem puan
Laki- laki
Perem puan
Gambar di atas menunjukkan rentang usia 18‐22 tahun
G b di
j kk
i 18 22 h
memiliki proporsi buruh laki‐laki yang lebih besar
dibanding rentang usia 23‐27 tahun
dibanding rentang usia 23‐27 tahun.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Tujuan
1.Menggunakan teknik‐teknik estimasi untuk
menentukan
k solusi
l i pendekatan,
d k
2.Menggunakan
gg
teknik‐teknik estimasi dalam ggrafik,,
3.Mengembangkan model yang dapat menggambarkan
hubungan antar variabel.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
MENGGUNAKAN TEKNIK‐TEKNIK ESTIMASI UNTUK
MENEMUKAN SOLUSI PENDEKATAN
MENEMUKAN SOLUSI PENDEKATAN
Estimasi adalah sebuah proses yang dilakukan untuk
memperoleh solusi aproksimasi dari suatu masalah.
Estimasi dapat membantu kita menentukan apakah
suatu perhitungan masuk akal atau tidak.
t
hit
k k l t tid k
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
BEBERAPA CONTOH ESTIMASI :
9 Sekitar 80% gempa bumi terbesar di dunia terjadi di
kawasan lingkaran api (the Ring of Fire) yaitu daerah
kawasan lingkaran api (the Ring of Fire), yaitu daerah
dengan aktivitas geologi yang sangat tinggi.
9 Tsunami di Aceh menelan korban lebih dari 184.000
orang di 14 negara
orang di 14 negara.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
9 Rata‐rata ketinggian 7 benua di atas permukaan laut
adalah 840 meter. Mt. Everest adalah permukaan
tertinggi dengan ketinggian 8848 m di atas
tertinggi dengan ketinggian 8848 m di atas
permukaan laut dan Laut Mati terendah dengan
ketinggian 400 m di bawah permukaan laut.
ketinggian 400 m di bawah permukaan laut.
9 Sekitar 75% gunung
Sekitar 75% gunung‐gunung
gunung di dunia berada pada
di dunia berada pada
daerah lingkaran api, dan sekitar 600 gunung
merupakan gunung aktif.
p
g
g
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Beberapa teknik estimasi :
Pembulatan bilangan asli
Contoh : :
Contoh
123.436 dibulatkan menjadi 123.440,
dinotasikan 123.436 ≈ 123.440.
Notasi ≈ berarti “diaproksimasi dengan”
Pembulatan desimal sebuah bilangan
g
Contoh :
12,345 dibulatkan menjadi 12,350,
dinotasikan 12,345 ≈ 12,350.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Pembulatan bilangan asli
Perhatikan digit disebelah kanan dari digit bilangan
yang akan dibulatkan
yang akan dibulatkan.
Contoh: bulatkan 123.436 ke puluhan terdekat.
C
t h b l tk 123 436 k
l h t d k t
Digit di sebelah
123.4 3 6
kanan 3 adalah 6
Digit yang akan
dibulat kan
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Pembulatan bilangan asli
Jika digit di kanan bernilai 5 atau lebih, nilai digit yang akan
dibulatkan di tambah 1 dan ganti semua digit di kanannya
g
g
y
dengan nol.
123.4 3 6
123
4 43 06
Digit
Di
it 6 di
digantt i
m enj adi 0
karena digit
g dikanan 3
adalah 6 dan 6 lebih dari 5
m aka digit 3 dit am bah 1
m enj adi 4
Jadi hasil pembulatan ke puluhan terdekat dari 123.436 ≈ 123.440.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Pembulatan bilangan asli
Jika digit di kanan bernilai kurang dari 5, nilai digit yang
akan dibulatkan tidak berubah dan ganti semua digit di
g
g
kanannya dengan nol.
123.4 3 4
123
4 3 04
Digit
Di
it 4 di
digantt i
m enj adi 0
karena digit dikanan 3
adalah 4 kurang dari 5 m aka
3 t idak berubah
Jadi hasil pembulatan ke puluhan terdekat dari 123.434 ≈ 123.430.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Pembulatan desimal sebuah bilangan
Dengan menggunakan aturan yang sama dengan
pembulatan bilangan asli dapat dilakukan pembulatan
b l
bil
li d
dil k k
b l
desimal pada sebuah bilangan.
Contoh:
P b l
Pembulatan 3,14159 ke per seratus terdekat adalah
3 14159 k
d k
d l h
3,14159 ≈ 3,14.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Estimasi dengan pembulatan
Misalkan anda berbelanja di pasar membeli beberapa
barang yang berturut‐turut
barang yang berturut
turut berharga
berharga
Rp 12.550, Rp 13.250, Rp 8.600,
p
, p
p
Rp 10.500, Rp 10.250 dan Rp 5.450.
Penjual mengatakan anda harus membayar
Rp 68.000. Apakah jumlah tersebut masuk akal?
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Est im a si
Estimasi dengan pembulatan ke sepuluh ribu terdekat:
Rp 12.550 ≈ Rp 13.000,
Rp 13.250 ≈ Rp 13.000,
Rp 8.600 ≈ Rp 9.000,
Rp 10.500 ≈ Rp 11.000,
R 10 250 R 10 000
Rp 10.250 ≈ Rp 10.000,
Rp 5.450 ≈ Rp 5.000.
Total estimasi adalah Rp 61.000 sehingga jumlah yang
harus dibayar Rp 68.000 tidak masuk akal.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
St r a t e gii Pe
P m e ca h a n
M a sa la h
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
PEN DAH U LU AN
Materi yang akan anda dipelajari pada topik ini akan
membantu Anda dalam memecahkan masalah masalah
membantu Anda dalam memecahkan masalah‐masalah
anda sehari‐hari, seperti :
¾ apakah Anda akan membeli rumah atau cukup
menyewa saja,
menyewa saja,
¾ bagaimana
bagaimana menyelesaikan tugas yang cukup
menyelesaikan tugas yang cukup
kompleks dari dosen Anda.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
PEN DAH U LU AN
Masalah di dunia nyata jauh lebih kompleks dari
masalah masalah yang ada dalam pembahasan topik
masalah‐masalah yang ada dalam pembahasan topik
ini, namun dengan mempelajari topik ini tanpa anda
sadari akan memampukan anda menggunakan konsep
p
gg
p
matematika dalam kehidupan anda sehari‐hari.
Hal ini jelas akan membantu Anda dalam proses
pemecahan masalah yang Anda hadapi.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
PEN DAH U LU AN
Yang perlu dipahami adalah proses pemecahan
masalah membutuhkan kesabaran dan pengalaman.
pengalaman
Dengan bekerja secara cerdik, walau harus melalui
kerja
j keras, akan
,
membantu anda menjadi
j p
pemecah
masalah yang hebat.
Pemecahan masalah membutuhkan:
1.Persiapan
2.Waktu untuk berpikir
3.Ide untuk memecahkan masalah
4 V ifik i
4.Verifikasi
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Sya ra t Pe m e c a ha n M a sa la h
1.Persiapan
Misalkan anda diberi tugas untuk membuat iklan
promosi produk telekomunikasi baru. Maka
baru Maka anda harus
mempelajari fitur‐fitur produk, mencobanya, dan
memperkirakan
p
serta mempelajari
p j segmen
g
pasar yyang
p
g
akan disasar. Persiapan yang tepat dibutuhkan untuk
menghasilkan iklan yang efektif.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Sya ra t Pe m e c a ha n M a sa la h
2.Waktu Untuk Berpikir
Jika solusi masalah yang diperoleh makin tidak
mendekati solusi yang dicari alihkan perhatian anda ke
mendekati solusi yang dicari, alihkan perhatian anda ke
hal lain sejenak. Anda dapat kembali mencoba
mengatasi masalah anda jika anda sudah merasa lebih
g
j
baik.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Sya ra t Pe m e c a ha n M a sa la h
3.Ide Untuk Memecahkan Masalah
Dalam memecahkan masalah, kadang kita
membutuhkan ide yang dapat membantu kita
membutuhkan ide yang dapat membantu kita
memecahkan masalah. Misalnya anda sudah pernah
menghadapi masalah yang hampir sama
g
p
y g
p
sebelumnya, maka anda dapat menggunakan cara yang
sama untuk memecahkan masalah anda sekarang.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Sya ra t Pe m e c a ha n M a sa la h
4.Verifikasi
Jika solusi sudah diperoleh, pikirkan dan uji kembali
solusi tersebut Apakah solusi sudah memenuhi semua
solusi tersebut. Apakah solusi sudah memenuhi semua
kondisi masalah? Apakah ada kesalahan kalkulasi atau
teori yang digunakan?
y g g
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Sya ra t Pe m e c a ha n M a sa la h
Pemecahan
P
h masalah
l h lebih
l bih kepada
k
d senii daripada
d i d sains
i
sehingga tidak ada suatu aturan yang dapat digunakan
untuk memecahkan semua jenis masalah.
masalah
Dalam hal ini Anda harus kreatif menggunakan alat
bantu matematika dalam memecahkan masalah Anda.
bantu matematika
Anda.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h ( Proble m Solving )
Tujuan:
M
Mampu memecahkan masalah menggunakan prosedur
hk
l h
k
d
empat langkah pemecahan masalah.
Kemampuan berpikir kritis dan memecahkan masalah
K
b iki k iti d
hk
l h
merupakan kemampuan penting yang sangat
dibutuhkan baik di sekolah dunia kerja maupun dalam
dibutuhkan baik di sekolah, dunia kerja maupun dalam
kehidupan sehari‐hari.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
George Polya (1887‐1985) mengusulkan
sebuah model pemecahan masalah yang
dapat digunakan di sebarang bidang ilmu
dapat digunakan di sebarang bidang ilmu.
Model ini dapat digunakan sebagai
pedoman proses pemecahan masalah, dan
pada masalah‐masalah tertentu dapat
digunakan tanpa harus melakukan setiap
g
p
p
langkahnya.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Empat langkah Pemecahan Masalah menurut Polya:
Langkah 1: Memahami Masalah
Baca masalah
l h beberapa
b b
k l
kali.
Bacaan pertama sebagai overview.
Bacaan ke dua anda tuliskan informasi yang ada dan
tentukan masalah apa yang harus anda dipecahkan.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Langkah 2: Susun rencana pemecahan masalah
Rencana pemecahan masalah dapat terdiri dari satu atau lebih
langkah dari strategi pemecahan masalah berikut:
9 Gunakan inductive reasoning
g untuk menentukan ada tidaknya
y
sebuah pola,
9 Buat daftar atau tabel yang sistematis,
9 Gunakan estimasi untuk memperoleh tebakan yang cerdik
dari solusi. Cek estimasi terhadap kondisi masalah dan
ggunakan langkah
g
mundur hingga
gg diperoleh
p
solusi sebenarnya,
y ,
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
9 Coba nyatakan masalah ke dalam bentuk yang lebih
yang lebih
sederhana dan gunakan hasil pemecahkan masalah yang lebih
sederhana ke masalah sekarang,
9 Lakukan trial and error,
9 Buat daftar informasi yang tersedia atau diberikan dalam
masalah ke bentuk tabel,
tabel
9 Coba buat diagram atau sketsa untuk mengilustrasikan
masalah,
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
9 Hubungkan
Hubungkan masalah yang dihadapi dengan masalah yang
masalah yang dihadapi dengan masalah yang
hampir sama yang sudah pernah dihadapi
sebelumnya, gunakan metode pemecahan masalah pada
masalah tersebut ke masalah yang sedang dihadapi sekarang,
l h
b k
l h
d
dih d i k
9 Gunakan informasi yang ada untuk menghapus kemungkinan‐
kemungkinan yang kurang sesuai,
kemungkinan yang kurang sesuai,
9 Gunakan akal sehat.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Langkah 3: Jalankan rencana pemecahan masalah dan
pecahkan masalah
Langkah 4: Lihat
4: Lihat kembali solusi dan cek kembali solusi
tersebut.
Solusi harus memenuhi semua kondisi masalah, masuk
,
akal dan
dapat ditelusuri kebenarannya. Jika tidak, cek kembali metode
atau penghitungan yang digunakan. Mungkin ada cara lain untuk
menentukan solusi sebenarnya.
sebenarnya
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Berikut adalah beberapa contoh pemecahan masalah
menggunakan
gg
model pemecahan
p
masalah sebagai
g p
pedoman
proses pemecahan masalah.
Contoh 1: Disebuah pesta terdapat 6 tamu
6 tamu yang saling
yang saling
menyalami satu sama lain. Berapa banyak kemungkinan jabat
tangan yang dapat terjadi?
Langkah 1: Memahami masalah
Informasi yang diperoleh
yang diperoleh adalah ada 6 tamu
6 tamu yang saling
yang saling berjabat
tangan satu sama lain.
Masalah yang harus dipecahkan berapa banyak kemungkinan
j b tangan yang dapat
jabat
d
terjadi?
j di?
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Langkah 2: Susun rencana pemecahan masalah
Buat diagram atau sketsa untuk mengilustrasikan masalah
Buat diagram atau sketsa untuk mengilustrasikan masalah.
Tamu 1
Tamu 2
Tamu 6
Tamu 3
keterangan
menyatakan saling
Berjabat tangan
Tamu 5
Tamu 4
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Langkah 3: Jalankan rencana pemecahan masalah dan
pecahkan masalah
Dengan menghitung jumlah garis yang menghubungkan tiap dua
tamu p
pada ggambar, dapat
p dihitungg bahwa terjadi
j 15 kali salingg
berjabat tangan.
Langkah 4: Lihat kembali solusi dan cek kembali solusi
tersebut.
Solusi dapat ditelusuri kebenarannya dengan menggunakan
prinsip kombinasi dalam matematika.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Contoh 2: Tentukan jumlah bilangan baris ke enam dari
segitiga Pascal berikut:
segitiga Pascal berikut:
baris 0
baris 1
baris 2
baris 3
baris 4
baris 4
baris 5
baris 6
1
1 1
1 2 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
?
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Langkah 1: Memahami Masalah
Ak dit t k j l h bil
Akan ditentukan jumlah bilangan baris ke enam dari
b i k
d i
segitiga Pascal. Informasi bilangan yang ada hanya
sampai baris ke lima
sampai baris ke lima.
baris 0
baris 1
baris 2
baris 3
baris 3
baris 4
baris 5
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Langkah 2: Susun rencana pemecahan masalah
C b k
Coba kenali pola dari masalah yang dihadapi. Jika
li l d i
l h
dih d i Jik
mungkin gunakan pola yang sama dalam memecahkan
masalah.
masalah
Dengan memperhatikan setiap bilangan pada segitiga
Dengan
memperhatikan setiap bilangan pada segitiga
Pascal dapat dilihat adanya pola pada bilangan segitiga
Pascal sebagai berikut:
g
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
1
1 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
10 diperoleh dengan menjumlahkan
bilangan dikiri atasnya yaitu 6
dengan bilangan di kanan atasnya yaitu 4
Setiap bilangan pada segitiga Pascal dapat diperoleh dengan
menjumlahkan bilangan yang letaknya di sebelah kiri atas
d
dengan bilangan yang letaknya di sebelah kanan atas dari
bil
l t k
di b l h k
t d i
bilangan tersebut.
g p
p
j
p
g g
Dengan pola ini dapat ditentukan jumlah tiap baris segitiga
Pascal.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Langkah 3: Jalankan rencana pemecahan masalah dan
pecahkan masalah
pecahkan masalah
Dengan pola tersebut dapat ditentukan semua bilangan
pada baris ke enam segitiga Pascal kemudian hitung
pada baris ke enam segitiga Pascal kemudian hitung
jumlahnya.
baris 6
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 6 15 20 15 6 1
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
J l h?
Jumlah?
Pe m e c a ha n M a sa la h
Jumlah
1 = 1
1+1 = 2
1+2+1 = 4
1+3+3+1 = 8
1+3+3+1 = 8
1+4+6+4+1 = 16
1+5+10+10+5+1 = 32
1+6+15+20+15+6+1 = 64
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 6 15 20 15 6 1
Pada tabel berikut ditunjukkan jumlah tiap baris segitiga Pascal
hingga baris ke delapan.
Baris
ke
ke‐
0
1
2
3
4
5
6
Total
1
2
4
8
16
32
64
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
LLangkah 4: Lihat kembali solusi dan cek kembali solusi
k h 4 Lih t k b li l i d
k k b li l i
tersebut.
Solusi dapat ditelusuri kebenarannya dengan menggunakan
Solusi
dapat ditelusuri kebenarannya dengan menggunakan
rumus matematika menghitung jumlah bilangan pada baris
segitiga Pascal.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Memecahkan masalah yang cukup kompleks tidaklah
mudah, karena itu pada langkah 2 terdapat strategi pemecahan
masalah:
Coba nyatakan masalah ke dalam bentuk yang lebih sederhana
dan gunakan hasil pemecahkan masalah yang lebih sederhana ke
masalah sekarang.
Strategi ini mengusulkan :
Awali langkah pemecahan masalah dengan memecahkan
submasalah yang lebih sederhana kemudian gunakan solusi
submasalah tersebut untuk memecahkan masalah anda.
anda
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Contoh 3:
Misalkan terdapat sepuluh mahasiswa calon penerima
penghargaan mahasiswa berprestasi UI. Panitia ingin
mengatur urutan penerima penghargaan naik ke atas
mengatur urutan penerima penghargaan naik ke atas
panggung. Ada berapa urutan yang mungkin dibentuk
panitia?
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Masalah yang lebih sederhana dari masalah di atas
misalnya hanya terdapat 3 mahasiswa Maka terdapat
misalnya hanya terdapat 3 mahasiswa. Maka terdapat
6 urutan mahasiswa yang mungkin:
1
2
3
Kemungkinan 1
1
2
3
Kemungkinan 2
1
2
3
Kemungkinan 5
1
2
3
Kemungkinan 3
1
2
3
Kemungkinan 6
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
1
2
3
Kemungkinan 4
Pe m e c a ha n M a sa la h
Pada Langkah 2 juga terdapat strategi pemecahan
masalah:
masalah:
Hubungkan masalah yang dihadapi dengan masalah
Hubungkan
masalah yang dihadapi dengan masalah
yang hampir sama yang sudah pernah dihadapi
sebelumnya.
Langkah ini merupakan langkah yang efektif dalam
Langkah
ini merupakan langkah yang efektif dalam
pemecahan masalah. Berikut contohnya:
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Misalkan sebuah server utama dari sebuah sistim
komputer akan dihubungkan dengan 6 server lainnya
komputer akan dihubungkan dengan 6 server lainnya
sehingga setiap server dapat saling berhubungan satu
sama lainnya.
y
Berapa banyak saluran yang harus disiapkan oleh
Berapa
banyak saluran yang harus disiapkan oleh
teknisi komputer sehingga keterhubungan tersebut
dapat terwujud?
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Masalah server ini hampir sama dengan masalah di
sebuah pesta ketika 6 tamu saling menyalami satu
sebuah pesta ketika 6 tamu saling menyalami satu
sama lain. Sehingga solusi masalah 6 tamu dapat
digunakan untuk menyelesaikan masalah server ini.
g
y
Dengan 6 server sudah diketahui terdapat 15 saluran
Dengan
6 server sudah diketahui terdapat 15 saluran
yang menghubungkan tiap dua server. Sehingga untuk
masalah dengan 7 server perlu ditambahkan 6 saluran
baru.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Konversi masalah 6 server ke 7 server. Total saluran
baru yang dibutuhkan adalah 15 + 6 = 21 saluran
baru yang dibutuhkan adalah 15 + 6 = 21 saluran.
Server 1
Server 2
1
2
3
Server 7
Server 3
Server 6
4
5
Server 5
Server 4
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
6
Cont oh M a sa la h
Grafik berikut menunjukkan
biaya yang telah digunakan
hingga tahun 2007 dan
rencana biaya mendatang
yang dibutuhkan oleh sebuah
yang dibutuhkan
perusahaan periklanan (dalam
jutaan rupiah) pada tahun
rupiah) pada tahun
2008.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Cont oh M a sa la h
Jika diasumsikan
Jik
di
ik berlaku
b l k kecenderungan
k
d
k b t h
kebutuhan
biaya yang sama hingga tahun 2012 dimulai dari tahun
2006 gunakan grafik di atas untuk mengestimasi
2006, gunakan
berapa biaya yang harus dikeluarkan oleh perusahaan
tersebut ditahun 2012?
(Bulatkan jawaban anda ke puluhan juta terdekat.
Karena yang dibutuhkan hanya perkiraan bukan
jawaban yang tepat)
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Cont oh M a sa la h
Langkah 1: Memahami masalah
I f
Informasi yang diberikan adalah biaya yang dikeluarkan
i
dib ik
d l h bi
dik l k
pada tahun 2000 hingga tahun 2007, dan prediksi biaya
yang akan dikeluarkan pada tahun 2008
yang akan dikeluarkan pada tahun 2008.
Masalahnya adalah menentukan estimasi biaya yang
Masalahnya
adalah menentukan estimasi biaya yang
dibutuhkan pada tahun 2012 dengan asumsi berlaku
kecenderungan kebutuhan biaya yang sama dimulai
g
y y g
tahun 2006.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Cont oh M a sa la h
Langkah 2: Susun rencana pemecahan masalah
Karena soal memiliki asumsi kecenderungan kebutuhan
biaya yang sama dimulai tahun 2006, berarti kita dapat
menggunakan
gg
strategi
g p
pemecahan masalah:
Gunakan penalaran induktif untuk menentukan ada
tidaknya sebuah pola (karena asumsi kecenderungan
yang sama menunjukkan adanya sebuah pola).
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Cont oh M a sa la h
Langkah 3: Jalankan rencana pemecahan masalah dan
pecahkan masalah
pecahkan masalah
Berdasarkan grafik, pengeluaran tahun 2006 adalah 30
juta rupiah dan pada tahun 2007 berjumlah 34 juta
juta rupiah dan pada tahun 2007 berjumlah 34 juta
rupiah. Berarti terdapat kenaikan 4 juta rupiah.
Dengan asumsi tersebut dapat diestimasi pengeluaran
g
p
p g
tahun 2008 adalah 38 juta rupiah.
Untuk menghitung estimasi biaya pada tahun 2012
dapat digunakan ilustrasi sebagai berikut:
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Cont oh M a sa la h
Menurut asumsi dipenuhi:
2006 2007 2008
4 juta 4 juta
Maka rencana biaya tiap tahun sejak tahun 2006 dapat
diilustrasikan sebagai:
2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
4 juta 4 juta 4 juta 4 juta 4 juta 4 juta
Sehingga estimasi dari kebutuhan biaya pada tahun 2012 adalah
biaya
y tahun 2006, yaitu 30 juta
,y
j
dijumlahkan
j
dengan
g 24 juta
j
menjadi 54 juta rupiah atau 50 juta rupiah jika dibulatkan ke
puluhan juta terdekat.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Cont oh M a sa la h
Langkah 4: Lihat kembali solusi dan cek kembali solusi
tersebut.
Dari tahun 2008 hingga 2012 terhitung 4 tahun, dan
berdasarkan asumsi dapat diestimasi biaya tiap tahun adalah 4
juta rupiah Sehingga estimasi biaya selama 4 tahun adalah 4
juta rupiah. Sehingga estimasi biaya selama 4 tahun adalah 4
juta/tahun x 4 tahun adalah 16 juta rupiah.
Berarti estimasi biaya pada tahun 2012 adalah prediksi biaya
tahun 2008 dijumlahkan dengan biaya selama 4 tahun. Jadi 38
j
juta ditambah dengan 16 juta menjadi 54 juta.
g
j
j
j
Hasil pendekatan ke puluhan juta terdekat adalah 50 juta rupiah.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
K sim
Ke
i pu la
l n
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
KAS3
Be rfik ir K rit is
wKarakter (ciri‐ciri) dari orang yang berfikir kritis
adalah sbb
Mempunyai kemampuan analisis yang baik
Mempunyai kemampuan komunikasi yang efektif
Memperoleh informasi yang baik dan memiliki
kemampuan melakukan penelitian
Mempunyai sifat fleksibel dan toleran terhadap
kerancuan dan ketidak pastian
Mempunyai pemikiran terbuka
Pencari solusi masalah yang kreatif
Mempunyai perhatian dan hasrat ingin tahu yang
besar
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Slide 79
KAS3
Kiki A Sugeng, 12/ 1/ 2010
Se git iga T ingk a t a n Be rpik ir
An a lisa
hambatan
I n t e r pr e t a si
Pe n ga la m a n
Tingkatan berfikir dapat digambarkan sebagai segitiga piramid yang
terbagi dalam 3 tingkatan.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Empat langkah Pemecahan Masalah:
Langkah 1: Memahami Masalah
Baca masalah beberapa kali.
l hb b
k l
Bacaan pertama sebagai overview.
Bacaan ke dua anda tuliskan informasi yang ada dan
tentukan masalah apa yang harus anda dipecahkan.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Langkah 2: Susun rencana pemecahan masalah
Rencana pemecahan masalah dapat terdiri dari satu atau lebih
langkah dari strategi pemecahan masalah berikut:
9 Gunakan inductive reasoning
g untuk menentukan ada tidaknya
y
sebuah pola,
9 Buat daftar atau tabel yang sistematis,
9 Gunakan estimasi untuk memperoleh tebakan yang cerdik
dari solusi. Cek estimasi terhadap kondisi masalah dan
ggunakan langkah
g
mundur hingga
gg diperoleh
p
solusi sebenarnya,
y ,
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
9 Coba nyatakan masalah ke dalam bentuk yang lebih
yang lebih
sederhana dan gunakan hasil pemecahkan masalah yang lebih
sederhana ke masalah sekarang,
9 Lakukan trial and error,
9 Buat daftar informasi yang tersedia atau diberikan dalam
masalah ke bentuk tabel,
tabel
9 Coba buat diagram atau sketsa untuk mengilustrasikan
masalah,
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
9 Hubungkan
Hubungkan masalah yang dihadapi dengan masalah yang
masalah yang dihadapi dengan masalah yang
hampir sama yang sudah pernah dihadapi
sebelumnya, gunakan metode pemecahan masalah pada
masalah tersebut ke masalah yang sedang dihadapi sekarang,
l h
b k
l h
d
dih d i k
9 Gunakan informasi yang ada untuk menghapus kemungkinan‐
kemungkinan yang kurang sesuai,
kemungkinan yang kurang sesuai,
9 Gunakan akal sehat.
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Pe m e c a ha n M a sa la h
Langkah 3: Jalankan rencana pemecahan masalah dan
pecahkan masalah
Langkah 4: Lihat
4: Lihat kembali solusi dan cek kembali solusi
tersebut.
Solusi harus memenuhi semua kondisi masalah, masuk
,
akal dan
dapat ditelusuri kebenarannya. Jika tidak, cek kembali metode
atau penghitungan yang digunakan. Mungkin ada cara lain untuk
menentukan solusi sebenarnya.
sebenarnya
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia
Da ft a r Pust a k a
Angel, A. R., Abbot, C. D., Runde, D., C., A Survey of Mathematics with
Applications, Pearson Addison Wesley, 8Ed, 2009.
Blitzer, R., Thinking Mathematically, New Jersey, Pearson Prentice Hall, 4Ed, 2008.
Botkin, D.B. dan Keller, E.A., Environmental Science, Asia, John Wiley and Sons,
2010
Mill C D H
Miller C. D., Heeren
V E H
V. E., Hornsby J.S., Mathematical Ideas, Pearson, 11Ed, 2008.
b J S M th
ti l Id
P
11Ed 2008
Pirnot, T., Mathematics All Around, Boston, Addison Wesley, 3Ed, 2006.
Sevilla, A. dan Sommers, K., Quantitative Reasoning, Emeryville, Key College
Publishing 2007
Publishing, 2007
Hanya dipergunakan di Universitas Indonesia