Mekanika Newton - Suatu Kasus Pergerakan Benda pada Bidang Miring
Perhatikan gambar di bawah ini :
Y
X
m2
F X
Y
FAWS
m1
50 - 2020
Bumi (g = 10 [m/s2])
Diketahui, dua buah benda, m1 = 2 [kg] dan m2 = 6 [kg], dihubungkan dengan tali yang tegang, melalui
sebuah katrol licin yang massanya dapat diabaikan. Benda – 2 berada pada bidang miring yang kasar
(s = 0,4 ; k = 0,3). Pada benda diberikan gaya, F , yang nilainya 50 [N]. Nilai tan = ¾ dan tan
= 4/3 . Carilah :
(a)
Percepatan sistem
(b)
Tegangan tali
Solusi
Gambar vektor gaya – gaya yang bekerja pada tiap benda
X
Benda – 1
T12
Y
W1
Benda – 2
T21
Y
N2
f2
W2
F
X
Maka, analisis vektor untuk benda – 1 adalah
T12
T12
i
W1 W1 i
0
0
j N
j N
+
G1 T12 W1 i 0 j
N
Dengan hukum Newton, kita peroleh
m
T W1
i 0 j 2
a 1 12
m1
s
G1 m1 a 1
T 20 m
a1x 12
2
2
s
.............................................................................. (1)
m
a1y 0 2
s
.............................................................................. (2)
Maka, analisis vektor untuk benda – 2 adalah
T 21 T21 i
N2
f
2
F
W2
0
i
N2
f2 i
0
F
j N
0
j N
j N
F
i
cos β
sin β
j
N
W 2 sin α i W 2 cos α j N
+
G2
F
cos β
W2
sin α
T21 f 2
i
N2 F
sin β
W2
cos α
j
N
Dengan hukum Newton, kita peroleh
G 2 m2 a 2
a
2
F
cos β
W2
m2
N2 F
66 T21 f 2 m
a 2x
2
6
s
N 8 m
2
a 2 y 2
m2 s
sin α
sin β
T21 f 2
i
m2
W2
cos α
m
j 2
s
...................................... (3)
................................. (4)
Maka, kita peroleh empat (4) buah persamaan linear, yaitu
T 20 m
a1x 12
2
2
s
m
a1y 0 2
s
66 T21 f 2 m
a 2x
2
6
s
N 8 m
2
a 2 y 2
m2 s
Dengan tujuh (7) buah parameter yang belum diketahui, yaitu
a1x , a2x , a2y ,
T12 , T21 ,
....................................... (1)
........................................ (2)
...................................... (3)
.................................. (4)
N2 , f 2 .
Persoalan di atas tidak akan dapat diselesaikan karena banyaknya yang tidak diketahui tidak sama
dengan persamaan yang dimiliki. Untuk itu kita harus memasukkan syarat batas, sehingga akan
mengurangi parameter yang tidak diketahui.
Syarat batas – 1
Disyaratkan bahwa benda – 2 harus selalu berada pada lintasan bidang miring (selalu bersentuhan
dengan lintasan bidang miring). Syarat ini akan menghasilkan :
a 2y 0
N 2 8 N
Dengan memasukkan syarat batas – 1, parameter yang tidak diketahui berkurang menjadi enam (6).
Tetapi persamaan yang kita miliki juga berkurang menjadi dua (2). Sehingga kita harus memasukkan
lagi syarat batas.
Syarat batas – 2
Disyaratkan bahwa benda – 1 dan benda – 2 harus terhubung dengan tali yang tegang (bukan
menggunakan tali yang elastis). Berdasarkan hukum Dinamika Newton III, maka dihasilkan :
T12 T21 T
Syarat batas – 2 ini mengurangi banyaknya parameter yang tidak diketahui menjadi empat (4). Tetapi
karena banyaknya persamaan masih tetap dua (2), maka banyaknya persamaan dan parameter yang
belum diketahui masih belum sama, yaitu :
T 20
a1x
2
m
s 2
66 T f 2 m
a 2x
2
6
s
Sehingga persoalan di atas tetap tidak bisa diselesaikan.
....................................... (1)
...................................... (3)
Dan tidak ada syarat batas lagi yang dapat kita gunakan untuk menyelesaikan persamaan di atas. Kita
tidak bisa memaksa memasukkan nilai gaya gesekan, f 2 , karena kita "TIDAK" memiliki kepastian
apakah benda masih diam atau sudah bergerak, karena akan berkaitan langsung dengan nilai – nilai a 1x
dan a2x . Dan kita juga "TIDAK" memiliki syarat batas lagi untuk mendapatkan nilai tegangan tali T.
Sehingga, kita "hanya" bisa menjawab persoalan di atas dengan memberikan dua buah kemungkinan
jawaban, yaitu
(1) Jika diasumsikan sistem diam, maka
(i)
percepatan sistem : a1x = a2x = a = 0 [m/s2]
(ii)
dampak dari sistem diam adalah gaya gesekan pada benda – 2 adalah gaya
gesekan statik yaitu f2statik . Untuk mendapatkan nilai f2statik , maka kita gunakan
persamaan (1) dan (3) dengan memasukkan syarat (ii), sehingga diperoleh
f2statik = 46 [N]
(iii) dengan syarat (i) pada persamaan (1), kita peroleh nilai gaya tegangan tali
T = 20 [N]
(2) Jika diasumsikan sistem bergerak, dengan benda – 1 dan benda – 2 bergerak bersama, maka
(i)
a1x = a2x = a 0
(ii)
dampak dari sistem bergerak adalah gaya gesekan pada benda – 2 adalah gaya
gesekan kinetik yaitu f2kinetik . Untuk mendapatkan nilai f2kinetik , maka kita
gunakan persamaan
f2kinetik = k N2 = (0,3) (8 [N]) = 2,4 [N]
(iii) Eliminasi T pada persamaan (1) dan (3) , dengan memasukkan syarat (i),
maka kita peroleh percepatan sistem
a = 5,45 [m/s2]
(iv) Masukkan nilai percepatan
tegangan tali, yaitu
T = 30,9 [N]
pada persamaan (1)
maka kita peroleh nilai
Y
X
m2
F X
Y
FAWS
m1
50 - 2020
Bumi (g = 10 [m/s2])
Diketahui, dua buah benda, m1 = 2 [kg] dan m2 = 6 [kg], dihubungkan dengan tali yang tegang, melalui
sebuah katrol licin yang massanya dapat diabaikan. Benda – 2 berada pada bidang miring yang kasar
(s = 0,4 ; k = 0,3). Pada benda diberikan gaya, F , yang nilainya 50 [N]. Nilai tan = ¾ dan tan
= 4/3 . Carilah :
(a)
Percepatan sistem
(b)
Tegangan tali
Solusi
Gambar vektor gaya – gaya yang bekerja pada tiap benda
X
Benda – 1
T12
Y
W1
Benda – 2
T21
Y
N2
f2
W2
F
X
Maka, analisis vektor untuk benda – 1 adalah
T12
T12
i
W1 W1 i
0
0
j N
j N
+
G1 T12 W1 i 0 j
N
Dengan hukum Newton, kita peroleh
m
T W1
i 0 j 2
a 1 12
m1
s
G1 m1 a 1
T 20 m
a1x 12
2
2
s
.............................................................................. (1)
m
a1y 0 2
s
.............................................................................. (2)
Maka, analisis vektor untuk benda – 2 adalah
T 21 T21 i
N2
f
2
F
W2
0
i
N2
f2 i
0
F
j N
0
j N
j N
F
i
cos β
sin β
j
N
W 2 sin α i W 2 cos α j N
+
G2
F
cos β
W2
sin α
T21 f 2
i
N2 F
sin β
W2
cos α
j
N
Dengan hukum Newton, kita peroleh
G 2 m2 a 2
a
2
F
cos β
W2
m2
N2 F
66 T21 f 2 m
a 2x
2
6
s
N 8 m
2
a 2 y 2
m2 s
sin α
sin β
T21 f 2
i
m2
W2
cos α
m
j 2
s
...................................... (3)
................................. (4)
Maka, kita peroleh empat (4) buah persamaan linear, yaitu
T 20 m
a1x 12
2
2
s
m
a1y 0 2
s
66 T21 f 2 m
a 2x
2
6
s
N 8 m
2
a 2 y 2
m2 s
Dengan tujuh (7) buah parameter yang belum diketahui, yaitu
a1x , a2x , a2y ,
T12 , T21 ,
....................................... (1)
........................................ (2)
...................................... (3)
.................................. (4)
N2 , f 2 .
Persoalan di atas tidak akan dapat diselesaikan karena banyaknya yang tidak diketahui tidak sama
dengan persamaan yang dimiliki. Untuk itu kita harus memasukkan syarat batas, sehingga akan
mengurangi parameter yang tidak diketahui.
Syarat batas – 1
Disyaratkan bahwa benda – 2 harus selalu berada pada lintasan bidang miring (selalu bersentuhan
dengan lintasan bidang miring). Syarat ini akan menghasilkan :
a 2y 0
N 2 8 N
Dengan memasukkan syarat batas – 1, parameter yang tidak diketahui berkurang menjadi enam (6).
Tetapi persamaan yang kita miliki juga berkurang menjadi dua (2). Sehingga kita harus memasukkan
lagi syarat batas.
Syarat batas – 2
Disyaratkan bahwa benda – 1 dan benda – 2 harus terhubung dengan tali yang tegang (bukan
menggunakan tali yang elastis). Berdasarkan hukum Dinamika Newton III, maka dihasilkan :
T12 T21 T
Syarat batas – 2 ini mengurangi banyaknya parameter yang tidak diketahui menjadi empat (4). Tetapi
karena banyaknya persamaan masih tetap dua (2), maka banyaknya persamaan dan parameter yang
belum diketahui masih belum sama, yaitu :
T 20
a1x
2
m
s 2
66 T f 2 m
a 2x
2
6
s
Sehingga persoalan di atas tetap tidak bisa diselesaikan.
....................................... (1)
...................................... (3)
Dan tidak ada syarat batas lagi yang dapat kita gunakan untuk menyelesaikan persamaan di atas. Kita
tidak bisa memaksa memasukkan nilai gaya gesekan, f 2 , karena kita "TIDAK" memiliki kepastian
apakah benda masih diam atau sudah bergerak, karena akan berkaitan langsung dengan nilai – nilai a 1x
dan a2x . Dan kita juga "TIDAK" memiliki syarat batas lagi untuk mendapatkan nilai tegangan tali T.
Sehingga, kita "hanya" bisa menjawab persoalan di atas dengan memberikan dua buah kemungkinan
jawaban, yaitu
(1) Jika diasumsikan sistem diam, maka
(i)
percepatan sistem : a1x = a2x = a = 0 [m/s2]
(ii)
dampak dari sistem diam adalah gaya gesekan pada benda – 2 adalah gaya
gesekan statik yaitu f2statik . Untuk mendapatkan nilai f2statik , maka kita gunakan
persamaan (1) dan (3) dengan memasukkan syarat (ii), sehingga diperoleh
f2statik = 46 [N]
(iii) dengan syarat (i) pada persamaan (1), kita peroleh nilai gaya tegangan tali
T = 20 [N]
(2) Jika diasumsikan sistem bergerak, dengan benda – 1 dan benda – 2 bergerak bersama, maka
(i)
a1x = a2x = a 0
(ii)
dampak dari sistem bergerak adalah gaya gesekan pada benda – 2 adalah gaya
gesekan kinetik yaitu f2kinetik . Untuk mendapatkan nilai f2kinetik , maka kita
gunakan persamaan
f2kinetik = k N2 = (0,3) (8 [N]) = 2,4 [N]
(iii) Eliminasi T pada persamaan (1) dan (3) , dengan memasukkan syarat (i),
maka kita peroleh percepatan sistem
a = 5,45 [m/s2]
(iv) Masukkan nilai percepatan
tegangan tali, yaitu
T = 30,9 [N]
pada persamaan (1)
maka kita peroleh nilai