Bilangan Tetrasi sumardyono untung
BILANGAN TETRASI
Sumardyono, M.Pd
Mengapa Tetrasi?
Di dalam aritmetika atau “ilmu berhitung”, operasi hitung merupakan konsep yang amat penting
bahkan mungkin sama pentingnya dengan konsep bilangan itu sendiri. Tanpa kehadiran operasi
hitung, maka tampaknya mustahil akan hadir berbagai jenis bilangan yang secara umum merupakan
jenis bilangan yang lebih luas dibanding jenis bilangan sebelumnya.
Untuk memahami tetrasi, perhatikan perkembangan secara matematis jenis bilangan berdasarkan
definisi yang menggunakan operasi hitung aritmetika di bawah ini:
Pandang a sebarang bilangan real positif dan
bilangan bulat positif (bilangan asli).
Penjumlahan (addition):
a + n = bilangan dengan urutan ke- n setelah bilangan a pada garis bilangan asli.
Perkalian (multiplication):
n×a = a + a + a +
+ a dengan a ada sebanyak n pada penjumlahan tersebut.
Bilangan berpangkat, dengan operasi perpangkatan (exponentiation) yaitu “perkalian
berulang”.
an = a × a × a ×
× a dengan a ada sebanyak n pada perkalian tersebut.
Tetrasi (tetration), dengan operasi tetrasi yaitu “perpangkatan berulang”.
aa
a
dengan a ada sebanyak n pada perpangkatan tersebut.
Sifat perpangkatan berulang
Berbeda dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang bersifat komutatif dan asosiatif, maka
operasi perpangkatan tidak komutatif dan tidak asosiatif. Oleh karena itu, perlu diperhatikan
dengan seksama pengertian tetrasi tersebut.
Perhatikan bahwa
( )
22
2
2
( 2 ) = 216 = 65536
4
=2
Sementara itu
( )
2
2
2 2
( )
2
= 4
2
= 162 = 256
Bilangan yang sebelah kiri menunjukkan suatu tetrasi yaitu suatu perpangkatan berulang terhadap
pangkat sebelumnya (tidak perlu menggunakan tanda kurung), sementara bilangan yang sebelah
kanan menunjukkan perpangkatan berulang terhadap bilangan pokok yang sama.
Jadi, pada tetrasi, perpangkatan paling atas atau paling kanan, dilakukan terlebih dahulu.
Definisi Tetrasi
Untuk
sebarang bilangan real positif dan
a
a
a
=
a
a
a
dengan
bilangan bulat positif, maka didefinisikan
a ada sebanyak n kali.
Contoh berikut.
2
2
22
2
=
2
2
2
(22 )
=
2
2
(24 )
( 2 ) = 265536
=2
16
Seperti yang bisa ditebak, operasi tetrasi pada bilangan bulat positif menghasilkan bilangan yang
“super besar” atau yang “sangat sangat besar”. Untuk bilangan berpangkat saja sudah menyatakan
bilangan yang sangat besar, apalagi bilangan bertetrasi.
65535
Bilangan 2
di atas tidak dapat kita ditulis dalam bentuk desimal yang lengkap karena sudah
sangat besar. Beberapa kalkulator online yang dapat menghitung bilangan yang besar, juga “tidak
mampu” menghitung bilangan tsb. Semua kalkulator online yang penulis coba menampilkan pesan
“infinity” untuk menunjukkan bilangan yang sangat-sangat besar itu. Jika ditulis dalam bentuk baku,
265536 ≈ 2 × 1019728, sehingga membutuhkan hampir 20.000 angka!
Notasi tetrasi
Ada beberapa notasi atau lambang untuk bentuk “perpangkatan berulang” tersebut yang
dipergunakan matematikawan.
Bentuk yang paling standar, sebagai berikut:
n
a = aa
a
Dengan a ada sebanyak n kali.
Notasi ini pertama kali dipergunakan oleh Maurer (1901), lalu Goodstein (1947), dan akhirnya
dipopulerkan oleh Rudy Rucker tahun 1982 lewat bukunya Infinity and the Mind.
Sumber: http://en.wikipedia.org
Notasi lain yang sering dipergunakan adalah notasi panah ke atas Knuth (Knut`s up-arrow notation)
a ↑↑ n = a a
a
dengan a sebanyak n kali.
Catatan:
Dengan notasi dari Knuth tersebut, kita dapat memperluas notasi untuk bilangan super besar lainnya
(pentation, dst.).
a ↑↑↑ n = a ↑↑ (a ↑↑ (
↑↑ a ))
dengan a sebanyak n
a ↑↑↑↑ n = a ↑↑↑ (a ↑↑↑ (
↑↑↑ a))
dengan a sebanyak n
a ↑↑
↑n = a↑
k
↑ (a ↑
k −1
↑( ↑
k −1
↑ a ))
k −1
dengan a sebanyak n
↑ n dapat disederhanakan menjadi a ↑k n .
Notasi a ↑↑
k
Dengan notasi di atas, a ↑k n dapat dituliskan sebagai
a ↑ k n ≡ a ↑ k −1 a ↑ k −1 ( n − 1)
Bersamaan dengan itu didefinisikan pula
a ↑ n = an
(bilangan berpangkat)
a ↑k 1 = a
Selain dua notasi di atas, masih ada beberapa notasi atau simbol lain yang dipergunakan
matematikawan, namun kedua simbol di atas yang lebih familiar dan lebih banyak penggunaannya.
Nama lain tetrasi
Nama “tetration” (dalam bahasa Indonesianya penulis sebut “tetrasi”) diperkenalkan oleh Goodstein
tahun 1947 dalam artikelnya Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory. Selain nama tetration,
ada nama lain yang juga sering dipergunakan: “power tower” (antara lain dipergunakan oleh
Stephen Wolfram), “superexponentiation” (dipopulerkan oleh Ed Nelson (1986), juga Bromer
(1987)), dan “Hyperpower” (antara lain oleh MacDonnell (1989)).
Beberapa perluasan dan definisi tambahan
Untuk n = 0 maka didefinisikan
0
a = 1 atau a ↑↑ 0 = 1
Untuk a = 0 maka didefinisikan
n
0 = lim n x
x →0
1, jika n genap
0, jika n ganjil
Hal ini dimungkinkan karena lim n x =
x →0
Untuk n menuju tak hingga,
aa
a
= lim n a
n→∞
Limit ini konvergen jika
1
ee
Sumardyono, M.Pd
Mengapa Tetrasi?
Di dalam aritmetika atau “ilmu berhitung”, operasi hitung merupakan konsep yang amat penting
bahkan mungkin sama pentingnya dengan konsep bilangan itu sendiri. Tanpa kehadiran operasi
hitung, maka tampaknya mustahil akan hadir berbagai jenis bilangan yang secara umum merupakan
jenis bilangan yang lebih luas dibanding jenis bilangan sebelumnya.
Untuk memahami tetrasi, perhatikan perkembangan secara matematis jenis bilangan berdasarkan
definisi yang menggunakan operasi hitung aritmetika di bawah ini:
Pandang a sebarang bilangan real positif dan
bilangan bulat positif (bilangan asli).
Penjumlahan (addition):
a + n = bilangan dengan urutan ke- n setelah bilangan a pada garis bilangan asli.
Perkalian (multiplication):
n×a = a + a + a +
+ a dengan a ada sebanyak n pada penjumlahan tersebut.
Bilangan berpangkat, dengan operasi perpangkatan (exponentiation) yaitu “perkalian
berulang”.
an = a × a × a ×
× a dengan a ada sebanyak n pada perkalian tersebut.
Tetrasi (tetration), dengan operasi tetrasi yaitu “perpangkatan berulang”.
aa
a
dengan a ada sebanyak n pada perpangkatan tersebut.
Sifat perpangkatan berulang
Berbeda dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang bersifat komutatif dan asosiatif, maka
operasi perpangkatan tidak komutatif dan tidak asosiatif. Oleh karena itu, perlu diperhatikan
dengan seksama pengertian tetrasi tersebut.
Perhatikan bahwa
( )
22
2
2
( 2 ) = 216 = 65536
4
=2
Sementara itu
( )
2
2
2 2
( )
2
= 4
2
= 162 = 256
Bilangan yang sebelah kiri menunjukkan suatu tetrasi yaitu suatu perpangkatan berulang terhadap
pangkat sebelumnya (tidak perlu menggunakan tanda kurung), sementara bilangan yang sebelah
kanan menunjukkan perpangkatan berulang terhadap bilangan pokok yang sama.
Jadi, pada tetrasi, perpangkatan paling atas atau paling kanan, dilakukan terlebih dahulu.
Definisi Tetrasi
Untuk
sebarang bilangan real positif dan
a
a
a
=
a
a
a
dengan
bilangan bulat positif, maka didefinisikan
a ada sebanyak n kali.
Contoh berikut.
2
2
22
2
=
2
2
2
(22 )
=
2
2
(24 )
( 2 ) = 265536
=2
16
Seperti yang bisa ditebak, operasi tetrasi pada bilangan bulat positif menghasilkan bilangan yang
“super besar” atau yang “sangat sangat besar”. Untuk bilangan berpangkat saja sudah menyatakan
bilangan yang sangat besar, apalagi bilangan bertetrasi.
65535
Bilangan 2
di atas tidak dapat kita ditulis dalam bentuk desimal yang lengkap karena sudah
sangat besar. Beberapa kalkulator online yang dapat menghitung bilangan yang besar, juga “tidak
mampu” menghitung bilangan tsb. Semua kalkulator online yang penulis coba menampilkan pesan
“infinity” untuk menunjukkan bilangan yang sangat-sangat besar itu. Jika ditulis dalam bentuk baku,
265536 ≈ 2 × 1019728, sehingga membutuhkan hampir 20.000 angka!
Notasi tetrasi
Ada beberapa notasi atau lambang untuk bentuk “perpangkatan berulang” tersebut yang
dipergunakan matematikawan.
Bentuk yang paling standar, sebagai berikut:
n
a = aa
a
Dengan a ada sebanyak n kali.
Notasi ini pertama kali dipergunakan oleh Maurer (1901), lalu Goodstein (1947), dan akhirnya
dipopulerkan oleh Rudy Rucker tahun 1982 lewat bukunya Infinity and the Mind.
Sumber: http://en.wikipedia.org
Notasi lain yang sering dipergunakan adalah notasi panah ke atas Knuth (Knut`s up-arrow notation)
a ↑↑ n = a a
a
dengan a sebanyak n kali.
Catatan:
Dengan notasi dari Knuth tersebut, kita dapat memperluas notasi untuk bilangan super besar lainnya
(pentation, dst.).
a ↑↑↑ n = a ↑↑ (a ↑↑ (
↑↑ a ))
dengan a sebanyak n
a ↑↑↑↑ n = a ↑↑↑ (a ↑↑↑ (
↑↑↑ a))
dengan a sebanyak n
a ↑↑
↑n = a↑
k
↑ (a ↑
k −1
↑( ↑
k −1
↑ a ))
k −1
dengan a sebanyak n
↑ n dapat disederhanakan menjadi a ↑k n .
Notasi a ↑↑
k
Dengan notasi di atas, a ↑k n dapat dituliskan sebagai
a ↑ k n ≡ a ↑ k −1 a ↑ k −1 ( n − 1)
Bersamaan dengan itu didefinisikan pula
a ↑ n = an
(bilangan berpangkat)
a ↑k 1 = a
Selain dua notasi di atas, masih ada beberapa notasi atau simbol lain yang dipergunakan
matematikawan, namun kedua simbol di atas yang lebih familiar dan lebih banyak penggunaannya.
Nama lain tetrasi
Nama “tetration” (dalam bahasa Indonesianya penulis sebut “tetrasi”) diperkenalkan oleh Goodstein
tahun 1947 dalam artikelnya Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory. Selain nama tetration,
ada nama lain yang juga sering dipergunakan: “power tower” (antara lain dipergunakan oleh
Stephen Wolfram), “superexponentiation” (dipopulerkan oleh Ed Nelson (1986), juga Bromer
(1987)), dan “Hyperpower” (antara lain oleh MacDonnell (1989)).
Beberapa perluasan dan definisi tambahan
Untuk n = 0 maka didefinisikan
0
a = 1 atau a ↑↑ 0 = 1
Untuk a = 0 maka didefinisikan
n
0 = lim n x
x →0
1, jika n genap
0, jika n ganjil
Hal ini dimungkinkan karena lim n x =
x →0
Untuk n menuju tak hingga,
aa
a
= lim n a
n→∞
Limit ini konvergen jika
1
ee