166 muhammad syawaluddin akbar
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
MESIN OTTO KUANTUM BERBASIS PARTIKEL MASSLESS-BOSON
TUNGGAL SEBAGAI WORKING SUBTANCE DALAM KOTAK 1 DIMENSI
MUHAMMAD SYAWALUDDIN AKBAR1), ENY LATIFAH2,*), HARI WISODO2)
Jurusan Fisika FMIPA Universitas Negeri Malang. Jl. Semarang 5 Malang,
1)E-mail: [email protected]
2)E-mail: [email protected]
3)E-mail: [email protected]
ABSTRAK: Mesin panas merupakan suatu alat yang dapat mengkonversi panas menjadi kerja.
Beberapa contoh mesin panas adalah mesin Carnot, Otto, Brayton dan Diesel. Pada penelitian ini
mempelajari sistem mekanika kuantum yang mirip dengan proses pada sistem mesin panas yang
dikenal sebagai mesin panas kuantum. Sistem kuantum yang dimaksud adalah sistem partikel
yang terjebak dalam kotak potensial 1 dimensi dengan salah satu batas dinding potensial dapat
bergerak bebas. Telah dilakukan eksplorasi mesin Otto kuantum sistem Massless-Boson tunggal
dalam kotak potensial 1 Dimensi sebagai zat kerja. Eksplorasi mesin panas dilakukan dengan
menyelesaikan persamaan Klein-Gordon. Metode yang digunakan adalah permodelan analogi
yang termodifikasi dari penggunaan hukum pertama termodinamika, sehingga dapat
mendeskripsikan setiap proses pada siklus mesin Otto untuk sistem kuantum. Hasil akhir
penelitian berupa formulasi dari efisiensi mesin Otto untuk sistem kuantum berbasis Bosson
tunggal tak bermassa yang terjebak dalam kotak 1 dimensi sebagai zat kerjanya. Terdapat
kesesuaian hasil antara efisiensi mesin Otto kuantum relativistik dengan sistem kuantum nonrelativistik dan klasiknya. Diperoleh konstanta Laplace untuk sistem kuantum relativistik
bernilai 2.
Kata Kunci: Mesin Otto Kuantum , partikel Massless-Boson tunggal , kotak satu dimensi
.
PENDAHULUAN
Mesin panas secara prinsip merupakan suatu perangkat yang dapat mengubah
energi panas menjadi usaha mekanik (kerja)[1,6]. Pernyataan hukum ke-dua
termodinamika yang telah diungkapkan oleh Kelvin-Plank yaitu tidak mungkin
membuat suatu perangkat yang dapat beroprasi mengubah seluruh kalor yang masuk
ke sistem menjadi kerja dalam satu siklus (efisiensi 100%)[2]. Mesin panas umumnya
memiliki nilai efisiensi di atas 50%[10]. Kehadiran teori kuantum diharapkan mampu
menjadi solusi untuk meningkatkan tingkat efisiensi suatu mesin panas. Kinerja dari
mesin panas tersebut dapat ditinjau dengan menggunakan prinsip mekanika kuantum
yang selanjutnya disebut mesin panas kuantum [1,3,6,7,8,9].
Mesin panas kuantum yang dimaksud adalah sistem partikel yang terjebak dalam
kotak 1 dimensi pada mekanika kuantum dengan salah satu batas dinding potensial
dapat bergerak bebas. Sehingga sistem tersebut mirip dengan sistem piston pada
termodinamika klasik. Dengan menggantikan kuantitas energi internal pada
termodinamika klasik sebagai nilai harap Hamiltonian pada sistem mekanika kuantum.
Volume sistem pada termodinamika klasik diperankan oleh lebar sistem kotak 1
dimensi. Tekanan pada sistem termodinamika klasik diperankan oleh gaya yang
mendorong dinding sistem.
Mesin panas termodinamika klasik dan sistem kuantum memiliki prinsip
konseptual yang berbeda. Sistem mekanika kuantum memiliki keadaan energi diskrit
yang nilainya tergantung dari probabilitas tingkat keadaan sistem. termodinamika
klasik memiliki energi yang keadaannya bernilai kontinyu (tidak ada tingkatan
keadaan).
Mesin panas kuantum khususnya mesin Carnot mendapatkan hasil bahwa efisiensi
mesin panas kuantum untuk dua keadaan memiliki efisiensi lebih besar daripada
ISBN 978-602-71279-1-9
FTK-17
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
efisiensi untuk lebih dari 2 keadaan. Ini menunjukkan bahwa semakin tinggi jumlah
keadaan yang terlibat maka semakin rendah tingkat efisiensi mesin [6], serta nilai
efisiensi dari mesin panas bergantung dari rasio ekspansi adiabatiknya. Hasil penelitian
sebelumnya yang mengkaji tentang mesin Carnot [1,6], Otto [7,9], Brayton [7], dan
Diesel kuantum [7] didapatkan hasil mirip dengan sistem klasiknya. Berbeda dengan
penelitian sebelumnya, yaitu menggunakan partikel non-relativistik sebagai zat kerja
sistem, Munoz dan Pena menggunakan partikel relativistik sebagai zat kerja yang
diterapkan pada mesin Carnot kuantum dan didapatkan hasil yang korelasi dengan
sistem klasiknya [8]. Kajian tentang mesin panas kuantum dengan pendekatan
relativistik merupakan penelitian yang jarang dilakukan sehingga perlu adanya
penelitian lebih lanjut. Oleh karena itu dilakukan penelitian dengan menggunakan
partikel relativistik seperti boson tak bermassa yang terkurung dalam kotak 1 Dimensi
sebagai zat kerja. Penelitian ini diharapkan dapat mengembangkan hasil dari teori
sebelumnya serta dapat menjadi pertimbangan pengembangan penelitian lebih lanjut.
METODE PENELITIAN
Berbeda dengan penelitian penelitian lain yang menerapkan metode eksperimen
dengan cara pengambilan data sampel. Penelitian ini merupakan penelitian
pengembangan teoritik yang menggunakan metode analitik dengan cara membangun
model fisis yang merepresentasikan secara matematik. Model fisis yang
diimplementasikan adalah model analogi termodifikasi dengan mengambil suatu kasus
pada sistem mekanika kuantum yang memiliki analogi terdekat dengan sistem
termodinamika dan mengimplementasikan hukum pertama termodinamika bagi sistem
kuantum tersebut, yang dimaksud untuk mendiskripsikan perubahan kuantitas fisis
sepanjang proses berlangsung [7].
Sistem mekanika kuantum yang memiliki analogi terdekat dengan silinder
berpiston pada termodinamika adalah sistem partikel yang terjebak dalam kotak satu
dimensi. Diambil kasus kotak satu dimensi dimana potensial sistem bernilai tak hingga
(V = ) di x 0 dan x 0, dan bernilai nol (V = 0) di 0 < x < 0. Ilustrasi dari analogi
sistem mekanika kuantum sebagai sistem piston lihat (gambar 1).
V=
V=
P
F
A
(a)
dL
0
L
dL
x
(b))
Gambar 3.1. Sistem Piston antara termodinamika klasik dan mekanika kuantum (a)
Sistem Piston (b) Model Analogi Kotak 1 Dimensi.
1. Sistem massless-Boson dalam kotak 1 potensial Dimensi
Persamaan gerak partikel massless-Boson tunggal yang terjebak dalam kotak
potensial 1 dimensi dideskripsikan oleh persamaan Klein-Gordon tak bergantung
waktu, yaitu
2
2
2 2 ψ ( x)
ˆ
H ψ ( x ) c
.
x 2
(1)
Persamaan (1) merupakan persamaan diverensial orde 2 yang memiliki solusi
umum yaitu
ISBN 978-602-71279-1-9
FTK-18
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
ψ ( x ) A sin kx B cos kx.
(2)
Penerapan syarat batas bahwa probabilitas keadaan sistem bernilai nol untuk x
= 0 dan x = L dan syarat normalisasi, didapatkan solusi dari fungsi gelombang yang
mendiskripsikan msing masing tingkat keadaan sistem, yaitu
ψ ( x)
nπx
2
sin
.
L
L
(3)
Fungsi gelombang pada persamaan (3) berkaitan dengan nilai eigen energinya,
yaitu
En
2.
nπ c
.
L
(4)
Proses Termodinamika Kuantum
Pendeskripsian kuantitas fisis antara sistem termodinamika klasik dan mekanika
kuantum berbeda. kuantitas termodinamika klasik meninjau besaran makroskopik dan
pada sistem mekanika kuantum meninjau besaran fisis secara mikroskopik. Tetapi dari
perbedaan tersebut terdapat hubungan yang bisa dikaitkan satu sama lain, misalnya
temperatur.
Temperatur sistem berkaitan dengan energi internal pada sistem termodinamika
klasik jika ditinjau secara mikroskopik merupakan manifestasi dari energi kinetik ratarata partikel zat kerja. Sistem mekanika kuantum untuk nilai hamiltonian pada kasus
partikel yang terjebak dalam kotak satu dimensi merupakan energi kinetik saja
sehingga nilai harap Hamiltonian berperan sebagai energi internal sistem. tekanan
pada sistem termodinamika klasik diperankan oleh gaya yang mendorong salah satu
batas dinding potensial. Hubungan kuantitas fisis antara sistem termodinamika kalsik
dengan mekanika kuantum dilihat (Tabel 1).
Tabel 3.1. Pendiskripsian Kuantitas dalam Sistem Kuantum yang Berkaitan
dengan Kuantitas Sistem Termodinamika Klasik
ISBN 978-602-71279-1-9
No
Kuantitas dalam
Termodinamika
Klasik
Kuantitas dalam Sistem
Kuantum
1
Tekanan ( P )
Gaya ( F )
2
Volume ( V )
Lebar Kotak ( L )
3
Energi internal ( U )
Nilai Harap Hamiltonian
4
Kalor ( Q )
Perubahan Probabilitas
Keadaan
5
Usaha ( W )
Perubahan Nilai Eigen
Energi
FTK-19
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
Hukum pertama termodinamika secara umum untuk sistem termodinamika
klasik adalah
(5)
d U δQ δW .
Penelitian sebelumnya belum membangun pendefinisian nilai gaya dengan baik
karena belum ada implementasi hukum pertama termodinamika yang sudah
termodifikasi untuk sistem mekanika kuantum [1,6]. Hukum pertama termodinamika
untuk sistem mekanika kuantum adalah
d H E n dPn Pn dE n
N
N
n 1
n 1
(6)
Kalor yang masuk ataupun keluar sistem mengakibatkan perubahan probabilitas
tingkat keadaan sistem, sehingga besarnya aliran kalor pada sistem mekanika kuantum
adalah
δQ E n dPn
(7)
δW Pn dE n
(8)
N
n 1
Besar kerja dari sistem yang mengekspansi dinding batas kotak 1 dimensi atau
yang dikenakan pada sistem dari luar adalah
N
n 1
Proses Adiabatik
Proses adiabatik pada sistem termodinamika klasik dicirikan dengan tidak adanya
aliran kalor antara sistem dengan lingkungan, sehingga usaha yang dilakukan sistem
untuk mengekspansi hanya berasal dari energi internal. Hukum pertama
termodinamika untuk proses adiabatik adalah
dU δW F dL.
(9)
Sistem mekanika kuantum untuk proses adiabatik dicirikan dengan tidak
mengalami perubahan probabilitas tingkat keadaan sistem [7] sehingga hukum pertama
termodinamika untuk proses adiabatik sistem mekanika kuantum adalah
d H Pn dE n .
(10)
N
n 1
Gaya yang bekerja untuk menggerakkan dinding potensial tak hingga dengan
massless-Boson sebagai zat kerja adalah
N
π c
F ( L) Pn ( L)n 2 .
n 1
L
(11)
Kerja sepanjang proses adiabatik diperoleh dengan menintegralkan persamaan (11)
terhadap partisi infinitesimal dari lebar awal (Li) hingga akhir (Lf), yaitu
Wi f
L
N
π c
(
)d
(
)
F
L
L
P
L
n
1 i
n
i
Li
n 1
Li L f
Lf
.
(12)
Proses Isokhorik/Isovolume
Proses isovolume pada termodinamika klasik tidak menghasilkan nilai kerja karena
tidak mengalami perubahan volume. Proses isovolume pada sistem mekanika kuantum
dicirikan dengan tidak adanya perubahan lebar sistem. Aliran kalor yang masuk
maupun keluar sistem berpengaruh terhadap
energi internal sistem. Jumlah
probabilitas tingkat keadaan sistem meningkat seiring dengan masuknya kalor dari
lingkungan, dan sebaliknya apabila kalor aliran keluar sistem maka jumlah probabilitas
tingkat keadaan sistem akan menurun sehingga energi internal juga menurun. Besar
aliran kalor antara sistem dengan lingkungan pada proses isokhorik untuk sistem
mekanika kuantum adalah
Q H
ISBN 978-602-71279-1-9
f
H i.
(15)
FTK-20
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
F(L)
B
QH
A
C
D
LA =
LB
QC
LC =
LD
L
Gambar 3. Grafik F-L untuk siklus Otto kuantum
HASIL DAN PEMBAHASAN
Mesin panas yang dibahas pada penelitian ini adalah mesin Otto. mesin Otto
merupakan siklus idealisasi dari mesin motor. Siklus Otto pertama kali ditemukan
tahun 1876 oleh insinyur kebangsaan Jerman Nicolas Otto. Siklus Otto terbentuk dari
dua proses Isokhorik dan dua proses adiabatik. Siklus Otto ditunjukkan pada Gambar 1.
Deskripsi dari masing-masing proses dalam satu siklus Otto akan dibahas pada bagian
Hasil dan Pembahasan ini.
1. Keadaan awal
Keadaan awal dari siklus Otto diawali dari kondisi D. Jumlah probabilitas tingkat
keadaan sistem adalah 1 karena keadaan awal sistem 100% berada di keadaan dasar
dengan n = 1. Fungsi gelombang yang mendeskripsikan keadaan awal sistem pada
siklus Otto adalah
ψ D ( x)
πx
2
sin
.
LD
LD
(16)
Nilai Eigen energi yang berasosiasi dengan keadaan dasar n = 1 ketika proses
berada pada keadaan awal (kondisi D) adalah
E1
π c
LD
(17)
Nilai harap Hamiltonian probabilitas tingkat keadaan sistem 100% di keadaan
dasar yaitu
H
D
π c
N
2 π c
a n ( LD ) n
.
LD
n1
LD
(18)
2. Kompresi Adiabatik
Proses adiabatik merupakan proses yang tidak terjadi aliran kalor antara sistem
dengan lingkungan, sehingga perubahan energi internal sistem hanya saling berkaitan
dengan usaha. Proses adiabatik kuantum tidak disertai perubahan jumlah probabilitas
setiap tingkat keadaan sistem. kerja yang dikenakan pada sistem dari kondisi D ke A
adalah
WD A
π c LA
1 .
LA LD
(19)
3. Proses Kompresi Isokhorik
Proses Isokhorik pada sistem tidak menghasilkan atau dikenai kerja, sehingga
aliran kalor yang masuk maupun keluar sistem hanya mempengaruhi energi internal
ISBN 978-602-71279-1-9
FTK-21
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
yang dimiliki sistem. Aliran kalor menyebabkan perubahan jumlah probabilitas tingkat
keadaan karena keadaan sistem mengalami perubahan. Fungsi gelombang yang
mendiskripsikan keadaan sistem ketika proses siklusnya berada pada kondisi A adalah
ψ A ( x)
πx
2
sin
.
LA
LA
(20)
π c
N
2 π c
a n ( L A ) n
.
LA
n 1
LA
(21)
ψ B ( x)
πx
2
sin N
.
LB
LB
(22)
π c
.
LA
(23)
Oleh karena probabilitas tingkat keadaan eigen pada kondisi A adalah 100%
berada di keadaan dasar, niali harap hamiltoniannya adalah
H
A
Aliran kalor yang masuk sistem menyebabkan perubahan keadaan sistem
sedemikian rupa untuk probabilitas tingkat keadaan eigen sistem yang yang
tingkatannya lebih dari tingkat keadaan dasar meningkat. Perubahan tingkat keadaan
eigen mengalami batas maksimum ketika sistem mencapai kondisi B. probabilitas
tingkat keadaan partikel berada di kondisi tertingginya, yaitu probabilitas tingkat
keadaan sistem 100% berada di keadaan n = N . fungsi gelombang yang
mendiskripsikan keadaan sistem ketika di kondisi B adalah
Nilai Harap Hamiltonian sistem ketika proses siklus mencapai kondisi B adalah
H
B
N
Besar aliran kalor yang diserap sistem untuk proses isokhorik diperoleh dengan
menselisihkan antara energi internal (nilai harap Hamiltonian) pada kondisi B dan A,
yaitu
QH H
B
H
A
N 1
π c
.
LA
(24)
4. Ekspansi Adiabatik
Proses B C merupakan proses ekspansi adiabatik. Proses adiabatik tidak
mengalami perubahan jumlah tingkat keadaan sistem. Keadaan sistem pada proses
B C memiliki probabilitas tingkat keadaan 100% berada di keadaan n = N. fungsi
gelombang yang mendiskripsikan keadaan sistem ketika di kondisi C yaitu
ψ C x
Nπ x
2
sin
.
LC
LC
(25)
L
π c
1 B .
LB
LC
(26)
Kerja pada proses B C merupakan perubahan nilai Harap Hamiltonian dari
kondisi B ke kondisi C, yaitu
W B C N
5. Isokhorik / Isovolume
Proses C D merupakan proses Isokhorik dimana aliran kalor dari sistem dilepas
ke lingkungan dengan menjaga volume sistem bernilai tetap. Kerja pada proses C D
adalah nol karena tidak mengalami perubahan volume. Pelepasan kalor menyebabkan
keadaan sistem berubah sedemikian rupa probabilitas tingkat keadaan sistem pada
keadaan dasar meningkat dan probabilitas keadaan eigen tertingginya menurun. Proses
isokhorik C D akan mencapai batas ketika probabilitas tingkat keadaan sistem 100%
berada di keadaan dasar. Fungsi gelombang yang mendiskripsikan keadaan sistem
ketika proses berada di kondisi C ditunjukkan pada persamaan (25). Nilai harap
Hamiltonian sistem pada kondisi C adalah
ISBN 978-602-71279-1-9
FTK-22
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
H
C
N
D
D
H
π c
.
LC
Nilai harap Hamiltonian sistem pada kondisi D adalah
H
π c
.
LD
(27)
(28)
Kalor yang dilepas sistem ke lingkungan untuk proses isokhorik adalah selisih nilai
harap Hamiltonian antara kondisi D dengan kondisi C, yaitu
QC H
C
π c
1 N .
LD
(29)
6. Efisiensi Mesin Otto
Efisiensi mesin Otto merupakan rasio antara kerja mesin Otto dalam satu siklus
dengan kalor yang diserap siste pada proses isokhorik A B. kerja total dalam satu
siklus Otto adalah
Wtotal
L
π c
N 11 A .
LA
LD
(30)
Kalor yang diserap sistem dari lingkungan untuk siklus Otto ditunjukkan pada
persamaan (24). Dengan membagi persamaan (30) dengan persamaan (24) diperoleh
efisiensinya yaitu
ηOtto
Wtotal
L
1 A
QH
LD
atau 1-
LB
LC
(31)
KESIMPULAN
Efisiensi merupakan rasio antara kerja yang dilakukan sistem dengan kalor yang
mengalir dari lingkungan ke sistem dalam satu siklus.
Efisiensi mesin Otto berdasarkan perhitungan didapatkan
ηOtto
1
LA
L
atau 1 - B .
LD
LC
(26)
Efisiensi mesin panas antara termodinamika klasik, mekanika kuantum nonrelativistik, dan mekanika kuantum relativistik ditunjukkan oleh tabel 2.
Tabel
mesin Otto
2.
Efisiensi
No
Tinjauan kajian
Efisiensi Mesin Panas Sistem
Termodinamika Klasik
V
1 A
VD
γ 1
1
2
3
ISBN 978-602-71279-1-9
Termodinamika
Klasik
Mekanika Kuantum
Non-relativistik
Mekanika Kuantum
Relativistik
L
1 A
LD
L
1 A
LD
2
FTK-23
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
Berdasarkan Tabel 2 menunjukkan adanya korespondensi efisiensi mesin Otto
antara sistem termodinamika klasik, sistem kuantum non-relativistik dengan sistem
kuantum relativistik. Pembeda antara ketiga sistem tersebut adalah faktor konstanta
Laplace ( ). Nilai Konstanta Laplace untuk mesin Otto pada sistem termodinamika
klasik bergantung pada zat kerjanya (diatomic atau monoatomic). Konstanta Laplace
untuk sistem kuantum non-relativistik bernilai 3. Sistem kuantum relativistik dengan
massless-Boson sebagai zat kerjanya didapatkan konstanta Laplace bernilai 2.
UCAPAN TERIMA KASIH
Pertama-tama penulis mengucapkan terima-kasih kepada Dr. Eny Latifah, M.Si,
dan Dr. Hari Wisodo, S.Pd., M.Si. selaku Dosen pembimbing yang senantiasa membantu
penulis dalam menyelesaikan artikel ilmiah ini. Penulis juga berterimakasih kepada
Deny Prasetyo, S,Si. Karena selalu menjadi rekan diskusi untuk menunjang
penyelesaian artikel ini. Ucapan terima-kasih juga diberikan kepada rekan rekan Teori
dan Komputasi jurusan Fisika Universitas Negeri malang.
DAFTAR RUJUKAN
Bender, C. M., Brody, D. C., Meister B. K. 2000. Quantum Mechanical Carnot Engine.
Journal of Physics A. 33, 4427-4436.
ápek, Vladislav, Sheehan, Daniel P. 2005. Challlenges to Second Law of
Thermodynamics. Dordrecht : Springer.
Dwi Y. S., Purwanto A. 2009. Mesin Panas Kuantum Berbasis Sumur Potensial Satu
Dimensi. Surabaya : Seminar Fisika dan Aplikasinya.
Ginting, Raja Ulungan.1989. Dasar-Dasar Termodinamika Teknik. Jakarta:
Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi
Proyek Pengembangan Lembaga Pendidikan Tenaga Kependidikan.
Greiner, Walter. 2000. Relativistik Quantum Mechanics Wave Equations 3th ed. Berlin:
Springer
Latifah, E., Purwanto, A. 2011. Multiple-State Quantum Carnot Engine. Journal of
Modern Physics. 2, 1366-1372.
Latifah, E., Purwanto, A. 2013. Quantum Heat Engines; Multiple-State 1D Box System.
Journal of Modern Physics. 4, 1108-1115.
Munoz, E., Pena, F. J. 2012. Quantum Heat Engine in the Relativistik Limit: The Case of
a Dirac Particle. Physical Review E. 86, 061108.
Wu, F., Yang, Z., Yang, L., Liu, X., Wu, S. 2010. Work Output and Efficiency of a
Reversible Quantum Otto Cycle. Thermal Science. 14, 879-886.
Zemansky, M. W., Dittman, R.. 1997. Heat and Thermodynamics An Intermediate
Texbook. NewYork: McGraw-Hill.
ISBN 978-602-71279-1-9
FTK-24
MESIN OTTO KUANTUM BERBASIS PARTIKEL MASSLESS-BOSON
TUNGGAL SEBAGAI WORKING SUBTANCE DALAM KOTAK 1 DIMENSI
MUHAMMAD SYAWALUDDIN AKBAR1), ENY LATIFAH2,*), HARI WISODO2)
Jurusan Fisika FMIPA Universitas Negeri Malang. Jl. Semarang 5 Malang,
1)E-mail: [email protected]
2)E-mail: [email protected]
3)E-mail: [email protected]
ABSTRAK: Mesin panas merupakan suatu alat yang dapat mengkonversi panas menjadi kerja.
Beberapa contoh mesin panas adalah mesin Carnot, Otto, Brayton dan Diesel. Pada penelitian ini
mempelajari sistem mekanika kuantum yang mirip dengan proses pada sistem mesin panas yang
dikenal sebagai mesin panas kuantum. Sistem kuantum yang dimaksud adalah sistem partikel
yang terjebak dalam kotak potensial 1 dimensi dengan salah satu batas dinding potensial dapat
bergerak bebas. Telah dilakukan eksplorasi mesin Otto kuantum sistem Massless-Boson tunggal
dalam kotak potensial 1 Dimensi sebagai zat kerja. Eksplorasi mesin panas dilakukan dengan
menyelesaikan persamaan Klein-Gordon. Metode yang digunakan adalah permodelan analogi
yang termodifikasi dari penggunaan hukum pertama termodinamika, sehingga dapat
mendeskripsikan setiap proses pada siklus mesin Otto untuk sistem kuantum. Hasil akhir
penelitian berupa formulasi dari efisiensi mesin Otto untuk sistem kuantum berbasis Bosson
tunggal tak bermassa yang terjebak dalam kotak 1 dimensi sebagai zat kerjanya. Terdapat
kesesuaian hasil antara efisiensi mesin Otto kuantum relativistik dengan sistem kuantum nonrelativistik dan klasiknya. Diperoleh konstanta Laplace untuk sistem kuantum relativistik
bernilai 2.
Kata Kunci: Mesin Otto Kuantum , partikel Massless-Boson tunggal , kotak satu dimensi
.
PENDAHULUAN
Mesin panas secara prinsip merupakan suatu perangkat yang dapat mengubah
energi panas menjadi usaha mekanik (kerja)[1,6]. Pernyataan hukum ke-dua
termodinamika yang telah diungkapkan oleh Kelvin-Plank yaitu tidak mungkin
membuat suatu perangkat yang dapat beroprasi mengubah seluruh kalor yang masuk
ke sistem menjadi kerja dalam satu siklus (efisiensi 100%)[2]. Mesin panas umumnya
memiliki nilai efisiensi di atas 50%[10]. Kehadiran teori kuantum diharapkan mampu
menjadi solusi untuk meningkatkan tingkat efisiensi suatu mesin panas. Kinerja dari
mesin panas tersebut dapat ditinjau dengan menggunakan prinsip mekanika kuantum
yang selanjutnya disebut mesin panas kuantum [1,3,6,7,8,9].
Mesin panas kuantum yang dimaksud adalah sistem partikel yang terjebak dalam
kotak 1 dimensi pada mekanika kuantum dengan salah satu batas dinding potensial
dapat bergerak bebas. Sehingga sistem tersebut mirip dengan sistem piston pada
termodinamika klasik. Dengan menggantikan kuantitas energi internal pada
termodinamika klasik sebagai nilai harap Hamiltonian pada sistem mekanika kuantum.
Volume sistem pada termodinamika klasik diperankan oleh lebar sistem kotak 1
dimensi. Tekanan pada sistem termodinamika klasik diperankan oleh gaya yang
mendorong dinding sistem.
Mesin panas termodinamika klasik dan sistem kuantum memiliki prinsip
konseptual yang berbeda. Sistem mekanika kuantum memiliki keadaan energi diskrit
yang nilainya tergantung dari probabilitas tingkat keadaan sistem. termodinamika
klasik memiliki energi yang keadaannya bernilai kontinyu (tidak ada tingkatan
keadaan).
Mesin panas kuantum khususnya mesin Carnot mendapatkan hasil bahwa efisiensi
mesin panas kuantum untuk dua keadaan memiliki efisiensi lebih besar daripada
ISBN 978-602-71279-1-9
FTK-17
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
efisiensi untuk lebih dari 2 keadaan. Ini menunjukkan bahwa semakin tinggi jumlah
keadaan yang terlibat maka semakin rendah tingkat efisiensi mesin [6], serta nilai
efisiensi dari mesin panas bergantung dari rasio ekspansi adiabatiknya. Hasil penelitian
sebelumnya yang mengkaji tentang mesin Carnot [1,6], Otto [7,9], Brayton [7], dan
Diesel kuantum [7] didapatkan hasil mirip dengan sistem klasiknya. Berbeda dengan
penelitian sebelumnya, yaitu menggunakan partikel non-relativistik sebagai zat kerja
sistem, Munoz dan Pena menggunakan partikel relativistik sebagai zat kerja yang
diterapkan pada mesin Carnot kuantum dan didapatkan hasil yang korelasi dengan
sistem klasiknya [8]. Kajian tentang mesin panas kuantum dengan pendekatan
relativistik merupakan penelitian yang jarang dilakukan sehingga perlu adanya
penelitian lebih lanjut. Oleh karena itu dilakukan penelitian dengan menggunakan
partikel relativistik seperti boson tak bermassa yang terkurung dalam kotak 1 Dimensi
sebagai zat kerja. Penelitian ini diharapkan dapat mengembangkan hasil dari teori
sebelumnya serta dapat menjadi pertimbangan pengembangan penelitian lebih lanjut.
METODE PENELITIAN
Berbeda dengan penelitian penelitian lain yang menerapkan metode eksperimen
dengan cara pengambilan data sampel. Penelitian ini merupakan penelitian
pengembangan teoritik yang menggunakan metode analitik dengan cara membangun
model fisis yang merepresentasikan secara matematik. Model fisis yang
diimplementasikan adalah model analogi termodifikasi dengan mengambil suatu kasus
pada sistem mekanika kuantum yang memiliki analogi terdekat dengan sistem
termodinamika dan mengimplementasikan hukum pertama termodinamika bagi sistem
kuantum tersebut, yang dimaksud untuk mendiskripsikan perubahan kuantitas fisis
sepanjang proses berlangsung [7].
Sistem mekanika kuantum yang memiliki analogi terdekat dengan silinder
berpiston pada termodinamika adalah sistem partikel yang terjebak dalam kotak satu
dimensi. Diambil kasus kotak satu dimensi dimana potensial sistem bernilai tak hingga
(V = ) di x 0 dan x 0, dan bernilai nol (V = 0) di 0 < x < 0. Ilustrasi dari analogi
sistem mekanika kuantum sebagai sistem piston lihat (gambar 1).
V=
V=
P
F
A
(a)
dL
0
L
dL
x
(b))
Gambar 3.1. Sistem Piston antara termodinamika klasik dan mekanika kuantum (a)
Sistem Piston (b) Model Analogi Kotak 1 Dimensi.
1. Sistem massless-Boson dalam kotak 1 potensial Dimensi
Persamaan gerak partikel massless-Boson tunggal yang terjebak dalam kotak
potensial 1 dimensi dideskripsikan oleh persamaan Klein-Gordon tak bergantung
waktu, yaitu
2
2
2 2 ψ ( x)
ˆ
H ψ ( x ) c
.
x 2
(1)
Persamaan (1) merupakan persamaan diverensial orde 2 yang memiliki solusi
umum yaitu
ISBN 978-602-71279-1-9
FTK-18
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
ψ ( x ) A sin kx B cos kx.
(2)
Penerapan syarat batas bahwa probabilitas keadaan sistem bernilai nol untuk x
= 0 dan x = L dan syarat normalisasi, didapatkan solusi dari fungsi gelombang yang
mendiskripsikan msing masing tingkat keadaan sistem, yaitu
ψ ( x)
nπx
2
sin
.
L
L
(3)
Fungsi gelombang pada persamaan (3) berkaitan dengan nilai eigen energinya,
yaitu
En
2.
nπ c
.
L
(4)
Proses Termodinamika Kuantum
Pendeskripsian kuantitas fisis antara sistem termodinamika klasik dan mekanika
kuantum berbeda. kuantitas termodinamika klasik meninjau besaran makroskopik dan
pada sistem mekanika kuantum meninjau besaran fisis secara mikroskopik. Tetapi dari
perbedaan tersebut terdapat hubungan yang bisa dikaitkan satu sama lain, misalnya
temperatur.
Temperatur sistem berkaitan dengan energi internal pada sistem termodinamika
klasik jika ditinjau secara mikroskopik merupakan manifestasi dari energi kinetik ratarata partikel zat kerja. Sistem mekanika kuantum untuk nilai hamiltonian pada kasus
partikel yang terjebak dalam kotak satu dimensi merupakan energi kinetik saja
sehingga nilai harap Hamiltonian berperan sebagai energi internal sistem. tekanan
pada sistem termodinamika klasik diperankan oleh gaya yang mendorong salah satu
batas dinding potensial. Hubungan kuantitas fisis antara sistem termodinamika kalsik
dengan mekanika kuantum dilihat (Tabel 1).
Tabel 3.1. Pendiskripsian Kuantitas dalam Sistem Kuantum yang Berkaitan
dengan Kuantitas Sistem Termodinamika Klasik
ISBN 978-602-71279-1-9
No
Kuantitas dalam
Termodinamika
Klasik
Kuantitas dalam Sistem
Kuantum
1
Tekanan ( P )
Gaya ( F )
2
Volume ( V )
Lebar Kotak ( L )
3
Energi internal ( U )
Nilai Harap Hamiltonian
4
Kalor ( Q )
Perubahan Probabilitas
Keadaan
5
Usaha ( W )
Perubahan Nilai Eigen
Energi
FTK-19
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
Hukum pertama termodinamika secara umum untuk sistem termodinamika
klasik adalah
(5)
d U δQ δW .
Penelitian sebelumnya belum membangun pendefinisian nilai gaya dengan baik
karena belum ada implementasi hukum pertama termodinamika yang sudah
termodifikasi untuk sistem mekanika kuantum [1,6]. Hukum pertama termodinamika
untuk sistem mekanika kuantum adalah
d H E n dPn Pn dE n
N
N
n 1
n 1
(6)
Kalor yang masuk ataupun keluar sistem mengakibatkan perubahan probabilitas
tingkat keadaan sistem, sehingga besarnya aliran kalor pada sistem mekanika kuantum
adalah
δQ E n dPn
(7)
δW Pn dE n
(8)
N
n 1
Besar kerja dari sistem yang mengekspansi dinding batas kotak 1 dimensi atau
yang dikenakan pada sistem dari luar adalah
N
n 1
Proses Adiabatik
Proses adiabatik pada sistem termodinamika klasik dicirikan dengan tidak adanya
aliran kalor antara sistem dengan lingkungan, sehingga usaha yang dilakukan sistem
untuk mengekspansi hanya berasal dari energi internal. Hukum pertama
termodinamika untuk proses adiabatik adalah
dU δW F dL.
(9)
Sistem mekanika kuantum untuk proses adiabatik dicirikan dengan tidak
mengalami perubahan probabilitas tingkat keadaan sistem [7] sehingga hukum pertama
termodinamika untuk proses adiabatik sistem mekanika kuantum adalah
d H Pn dE n .
(10)
N
n 1
Gaya yang bekerja untuk menggerakkan dinding potensial tak hingga dengan
massless-Boson sebagai zat kerja adalah
N
π c
F ( L) Pn ( L)n 2 .
n 1
L
(11)
Kerja sepanjang proses adiabatik diperoleh dengan menintegralkan persamaan (11)
terhadap partisi infinitesimal dari lebar awal (Li) hingga akhir (Lf), yaitu
Wi f
L
N
π c
(
)d
(
)
F
L
L
P
L
n
1 i
n
i
Li
n 1
Li L f
Lf
.
(12)
Proses Isokhorik/Isovolume
Proses isovolume pada termodinamika klasik tidak menghasilkan nilai kerja karena
tidak mengalami perubahan volume. Proses isovolume pada sistem mekanika kuantum
dicirikan dengan tidak adanya perubahan lebar sistem. Aliran kalor yang masuk
maupun keluar sistem berpengaruh terhadap
energi internal sistem. Jumlah
probabilitas tingkat keadaan sistem meningkat seiring dengan masuknya kalor dari
lingkungan, dan sebaliknya apabila kalor aliran keluar sistem maka jumlah probabilitas
tingkat keadaan sistem akan menurun sehingga energi internal juga menurun. Besar
aliran kalor antara sistem dengan lingkungan pada proses isokhorik untuk sistem
mekanika kuantum adalah
Q H
ISBN 978-602-71279-1-9
f
H i.
(15)
FTK-20
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
F(L)
B
QH
A
C
D
LA =
LB
QC
LC =
LD
L
Gambar 3. Grafik F-L untuk siklus Otto kuantum
HASIL DAN PEMBAHASAN
Mesin panas yang dibahas pada penelitian ini adalah mesin Otto. mesin Otto
merupakan siklus idealisasi dari mesin motor. Siklus Otto pertama kali ditemukan
tahun 1876 oleh insinyur kebangsaan Jerman Nicolas Otto. Siklus Otto terbentuk dari
dua proses Isokhorik dan dua proses adiabatik. Siklus Otto ditunjukkan pada Gambar 1.
Deskripsi dari masing-masing proses dalam satu siklus Otto akan dibahas pada bagian
Hasil dan Pembahasan ini.
1. Keadaan awal
Keadaan awal dari siklus Otto diawali dari kondisi D. Jumlah probabilitas tingkat
keadaan sistem adalah 1 karena keadaan awal sistem 100% berada di keadaan dasar
dengan n = 1. Fungsi gelombang yang mendeskripsikan keadaan awal sistem pada
siklus Otto adalah
ψ D ( x)
πx
2
sin
.
LD
LD
(16)
Nilai Eigen energi yang berasosiasi dengan keadaan dasar n = 1 ketika proses
berada pada keadaan awal (kondisi D) adalah
E1
π c
LD
(17)
Nilai harap Hamiltonian probabilitas tingkat keadaan sistem 100% di keadaan
dasar yaitu
H
D
π c
N
2 π c
a n ( LD ) n
.
LD
n1
LD
(18)
2. Kompresi Adiabatik
Proses adiabatik merupakan proses yang tidak terjadi aliran kalor antara sistem
dengan lingkungan, sehingga perubahan energi internal sistem hanya saling berkaitan
dengan usaha. Proses adiabatik kuantum tidak disertai perubahan jumlah probabilitas
setiap tingkat keadaan sistem. kerja yang dikenakan pada sistem dari kondisi D ke A
adalah
WD A
π c LA
1 .
LA LD
(19)
3. Proses Kompresi Isokhorik
Proses Isokhorik pada sistem tidak menghasilkan atau dikenai kerja, sehingga
aliran kalor yang masuk maupun keluar sistem hanya mempengaruhi energi internal
ISBN 978-602-71279-1-9
FTK-21
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
yang dimiliki sistem. Aliran kalor menyebabkan perubahan jumlah probabilitas tingkat
keadaan karena keadaan sistem mengalami perubahan. Fungsi gelombang yang
mendiskripsikan keadaan sistem ketika proses siklusnya berada pada kondisi A adalah
ψ A ( x)
πx
2
sin
.
LA
LA
(20)
π c
N
2 π c
a n ( L A ) n
.
LA
n 1
LA
(21)
ψ B ( x)
πx
2
sin N
.
LB
LB
(22)
π c
.
LA
(23)
Oleh karena probabilitas tingkat keadaan eigen pada kondisi A adalah 100%
berada di keadaan dasar, niali harap hamiltoniannya adalah
H
A
Aliran kalor yang masuk sistem menyebabkan perubahan keadaan sistem
sedemikian rupa untuk probabilitas tingkat keadaan eigen sistem yang yang
tingkatannya lebih dari tingkat keadaan dasar meningkat. Perubahan tingkat keadaan
eigen mengalami batas maksimum ketika sistem mencapai kondisi B. probabilitas
tingkat keadaan partikel berada di kondisi tertingginya, yaitu probabilitas tingkat
keadaan sistem 100% berada di keadaan n = N . fungsi gelombang yang
mendiskripsikan keadaan sistem ketika di kondisi B adalah
Nilai Harap Hamiltonian sistem ketika proses siklus mencapai kondisi B adalah
H
B
N
Besar aliran kalor yang diserap sistem untuk proses isokhorik diperoleh dengan
menselisihkan antara energi internal (nilai harap Hamiltonian) pada kondisi B dan A,
yaitu
QH H
B
H
A
N 1
π c
.
LA
(24)
4. Ekspansi Adiabatik
Proses B C merupakan proses ekspansi adiabatik. Proses adiabatik tidak
mengalami perubahan jumlah tingkat keadaan sistem. Keadaan sistem pada proses
B C memiliki probabilitas tingkat keadaan 100% berada di keadaan n = N. fungsi
gelombang yang mendiskripsikan keadaan sistem ketika di kondisi C yaitu
ψ C x
Nπ x
2
sin
.
LC
LC
(25)
L
π c
1 B .
LB
LC
(26)
Kerja pada proses B C merupakan perubahan nilai Harap Hamiltonian dari
kondisi B ke kondisi C, yaitu
W B C N
5. Isokhorik / Isovolume
Proses C D merupakan proses Isokhorik dimana aliran kalor dari sistem dilepas
ke lingkungan dengan menjaga volume sistem bernilai tetap. Kerja pada proses C D
adalah nol karena tidak mengalami perubahan volume. Pelepasan kalor menyebabkan
keadaan sistem berubah sedemikian rupa probabilitas tingkat keadaan sistem pada
keadaan dasar meningkat dan probabilitas keadaan eigen tertingginya menurun. Proses
isokhorik C D akan mencapai batas ketika probabilitas tingkat keadaan sistem 100%
berada di keadaan dasar. Fungsi gelombang yang mendiskripsikan keadaan sistem
ketika proses berada di kondisi C ditunjukkan pada persamaan (25). Nilai harap
Hamiltonian sistem pada kondisi C adalah
ISBN 978-602-71279-1-9
FTK-22
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
H
C
N
D
D
H
π c
.
LC
Nilai harap Hamiltonian sistem pada kondisi D adalah
H
π c
.
LD
(27)
(28)
Kalor yang dilepas sistem ke lingkungan untuk proses isokhorik adalah selisih nilai
harap Hamiltonian antara kondisi D dengan kondisi C, yaitu
QC H
C
π c
1 N .
LD
(29)
6. Efisiensi Mesin Otto
Efisiensi mesin Otto merupakan rasio antara kerja mesin Otto dalam satu siklus
dengan kalor yang diserap siste pada proses isokhorik A B. kerja total dalam satu
siklus Otto adalah
Wtotal
L
π c
N 11 A .
LA
LD
(30)
Kalor yang diserap sistem dari lingkungan untuk siklus Otto ditunjukkan pada
persamaan (24). Dengan membagi persamaan (30) dengan persamaan (24) diperoleh
efisiensinya yaitu
ηOtto
Wtotal
L
1 A
QH
LD
atau 1-
LB
LC
(31)
KESIMPULAN
Efisiensi merupakan rasio antara kerja yang dilakukan sistem dengan kalor yang
mengalir dari lingkungan ke sistem dalam satu siklus.
Efisiensi mesin Otto berdasarkan perhitungan didapatkan
ηOtto
1
LA
L
atau 1 - B .
LD
LC
(26)
Efisiensi mesin panas antara termodinamika klasik, mekanika kuantum nonrelativistik, dan mekanika kuantum relativistik ditunjukkan oleh tabel 2.
Tabel
mesin Otto
2.
Efisiensi
No
Tinjauan kajian
Efisiensi Mesin Panas Sistem
Termodinamika Klasik
V
1 A
VD
γ 1
1
2
3
ISBN 978-602-71279-1-9
Termodinamika
Klasik
Mekanika Kuantum
Non-relativistik
Mekanika Kuantum
Relativistik
L
1 A
LD
L
1 A
LD
2
FTK-23
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
Berdasarkan Tabel 2 menunjukkan adanya korespondensi efisiensi mesin Otto
antara sistem termodinamika klasik, sistem kuantum non-relativistik dengan sistem
kuantum relativistik. Pembeda antara ketiga sistem tersebut adalah faktor konstanta
Laplace ( ). Nilai Konstanta Laplace untuk mesin Otto pada sistem termodinamika
klasik bergantung pada zat kerjanya (diatomic atau monoatomic). Konstanta Laplace
untuk sistem kuantum non-relativistik bernilai 3. Sistem kuantum relativistik dengan
massless-Boson sebagai zat kerjanya didapatkan konstanta Laplace bernilai 2.
UCAPAN TERIMA KASIH
Pertama-tama penulis mengucapkan terima-kasih kepada Dr. Eny Latifah, M.Si,
dan Dr. Hari Wisodo, S.Pd., M.Si. selaku Dosen pembimbing yang senantiasa membantu
penulis dalam menyelesaikan artikel ilmiah ini. Penulis juga berterimakasih kepada
Deny Prasetyo, S,Si. Karena selalu menjadi rekan diskusi untuk menunjang
penyelesaian artikel ini. Ucapan terima-kasih juga diberikan kepada rekan rekan Teori
dan Komputasi jurusan Fisika Universitas Negeri malang.
DAFTAR RUJUKAN
Bender, C. M., Brody, D. C., Meister B. K. 2000. Quantum Mechanical Carnot Engine.
Journal of Physics A. 33, 4427-4436.
ápek, Vladislav, Sheehan, Daniel P. 2005. Challlenges to Second Law of
Thermodynamics. Dordrecht : Springer.
Dwi Y. S., Purwanto A. 2009. Mesin Panas Kuantum Berbasis Sumur Potensial Satu
Dimensi. Surabaya : Seminar Fisika dan Aplikasinya.
Ginting, Raja Ulungan.1989. Dasar-Dasar Termodinamika Teknik. Jakarta:
Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi
Proyek Pengembangan Lembaga Pendidikan Tenaga Kependidikan.
Greiner, Walter. 2000. Relativistik Quantum Mechanics Wave Equations 3th ed. Berlin:
Springer
Latifah, E., Purwanto, A. 2011. Multiple-State Quantum Carnot Engine. Journal of
Modern Physics. 2, 1366-1372.
Latifah, E., Purwanto, A. 2013. Quantum Heat Engines; Multiple-State 1D Box System.
Journal of Modern Physics. 4, 1108-1115.
Munoz, E., Pena, F. J. 2012. Quantum Heat Engine in the Relativistik Limit: The Case of
a Dirac Particle. Physical Review E. 86, 061108.
Wu, F., Yang, Z., Yang, L., Liu, X., Wu, S. 2010. Work Output and Efficiency of a
Reversible Quantum Otto Cycle. Thermal Science. 14, 879-886.
Zemansky, M. W., Dittman, R.. 1997. Heat and Thermodynamics An Intermediate
Texbook. NewYork: McGraw-Hill.
ISBN 978-602-71279-1-9
FTK-24