Buku Elements ini bermula dengan
Geometri Euclid
Geometri Euclid merupakan sebuah sistem matematik yang
disumbangkan oleh seorang ahli matematik Yunani bernama Euclid dari Alexandria. Teks Euclid,
Elements merupakan sebuah kajian sistematik yang terawal mengenai geometri. Ia sudah
menjadi salah satu buku-buku yang paling berpengarh di dalam sejarah, sama banyaknya dengan
kaedahnya yang mempunyai isi kandungan matematik. Kaedah cara yang mengandungi andaian
satu set aksiom secara intuitif yang sangat menarik, dan kemudiannya membuktikan banyak usul
(teorem-teorem) daripada aksiom-aksiom berkenaan. Walaupun banyak daripada keputusankeputusan oleh Euclid sudah dinyatakan oleh ahli-ahli matematik Yunani sebelumnya, Euclid
merupakan orang yang pertama untuk menunjukkan bagaimana usul-usul ini diletakkan secara
sempurna membentuk satu deduksi dan sistem logikyang komprehensif.
Buku Elements ini bermula dengan geometri satah, yang masih lagi diajar di sekolah menengah
sebagai satu sistem aksioman dan contoh-contoh pembuktian formal yang pertama.
Kemudiannya, Elements merangkumi geometri pepejal dalam tiga dimensi, dan seterusnya
geometri Euclid telah dipanjangkan kepada satu bilangan dimensi yang terhingga. Kebanyakan
daripada Elements menyatakan keputusan-keputusan dalam apa yang kini disebut sebagai teori
nombor, yang boleh dibuktikan menerusi kaedah geometri.
Selama dua ribu tahun, kata adjektif “Euclid” tidak diperlukan kerana pada masa itu tiada
geometri lain dapat dibayangkan. Aksiom-aksiom Euclid nampak seperti sangat jelas
sehinggakan apa-apa teorem lain yang dibuktikan daripadanya dianggap benar secara mutlak.
Hari ini, bagaimanapun, banyak geometri bukan Euclid sudah diketahui, yang pertamanya telah
dijumpai pada awal abad ke-19. Ia juga tidak boleh diambil mudah bahawa geometri Euclid
hanya menggambarkan ruang fizikal. Satu implikasi daripada teori Einstein mengenai teori
kerelatifan umum bahawa geometri Euclid merupakan satu anggaran yang baik kepada sifat-sifat
ruang fizikal hanyak sekiranya medan graviti tidak terlalu kuat.
Pendekatan aksioman
Geometri Euclid merupakan satu sistem aksioman, yang mana
semua teorem (“penyataan benar”) adalah diambil daripada satu bilangan aksiom-aksiom yang
terhingga. Pada permulaan buku Elements yang pertama, Euclid memberikan lima postulat
(aksiom):
1. Apa-apa dua titik boleh dihubungkan dengan satu garis lurus.
2. Apa-apa tembereng garis lurus boleh dipanjangkan di dalam satu garis lurus.
3. Satu bulatan boleh dilukis dengan menggunakan satu garis lurus sebagai jejari dan satu
lagi titik hujung sebagai pusat.
4. Semua sudut serenjang adalah kongruen.
5. Postulat selari. Jika dua garis bersilangan dengan yang ketiga dalam satu cara yang
jumlah sudut dalaman adalah kurang daripada satu lagi, maka dua garis ini mesti
bersilangan di atas satu sama lain sekiranya dipanjangkan secukupnya.
Aksiom-aksiom ini menggunakan konsep-konsep berikut: titik, tembereng garis lurus dan garis,
sebahagian daripada satu garis, bularan dengan jejari dan pusat, sudut serenjang, kongruen,
sudut-sudut dalaman dan serenjang, jumlah. Kata-kata kerja yang berikut muncul: sambung,
dipanjangkan, lukis, silang. Bulatan ini digambarkan dengan menggunakan postulat 3 adalah
sangat unik. Postulat-postulat 3 dan 5 hanya boleh digunakan untuk geometri satah; dalam tiga
dimensi, postulat 3 mentakrifkan suatu bulatan.
Satu bukti daripada buku Euclid “Elements” bahawa apabila diberikan satu tembereng garis, satu
segitiga sama wujud termasuklah tembereng sebagai salah satu daripada tiga sisi. Buktinya
adalah dengan cara binaan: Satu segitiga sama ΑΒΓ dibuat dengan melukis bulatan Δ dan Ε
berpusat pada titik-titik Α dan Β, dan dengan mengambil satu persilangan bulatan sebagai puncak
sudut ketiga bagi segitiga tersebut.
Postulat 5 membawa kepada geometri yang sama sebagai penyataan yang berikut, dikenali
sebagai Aksiom Playfair, yang hanya boleh dipegang hanya konsep di dalam satah itu:
Menerusi satu titik yang tidak terletak di atas satu garis lurus, hanya satu sahaja garis yang boleh
dilukis tidak akan bertemu garis yang diberi.
Postulat-postulat 1, 2, 3, dan 5 menegaskan bahawa kewujudan dan keunikan rajah-rajah
geometri, dan peegasan ini adalah satu binaan semulajadi: iaitu, kita tidak diberitahu bahawa ada
perkara tertentu wujud, tetapi kaedah-kaedah diberi untuk mencipta dengan tidak lebih daripada
satu kompas dan satu pinggiran lurus yang tidak bertanda. Dalam kes ini, geometri Euclid adalah
lebih konkrit daripada kebanyakan sistem-sistem aksiom moden seperti teori set, yang mana
kebiasaannya menegaskan kewujudan objek-objek tanpa mengatakan bagaimana untuk membina
mereka, atau menegaskan kewujudan objek-objek yang tidak boleh dibina di dalam ruang teori
berkenaan.
Sebenarnya, binaan-binaan garis di atas kertas dan sebagainya adalah model-model objek yang
lebih baik ditakrifkan di dalam sistem formal, daripada hanya contoh-contoh objek berkenaan.
Sebagai contoh, satu garis lurus Euclid tidak mempunyai lebar, tetapi apa-apa garis yang benar
akan menjadi lebar.
Elements juga memasukkan lima “notasi biasa”:
1. Perkara yang sama dengan benda yang sama tetapi juga setara antara satu sama lain.
2. Jika setara ditambahkan kepada persamaan, maka jumlah keseluruhan juga adalah setara.
3. Jika setara ditolak daripada persamaan, maka bakinya juga adalah setara.
4. Perkara yang bertembung di antara satu sama lain juga setara antara satu sama lain that
coincide with one another equal one another.
5. Jumlah keseluruhan juga lebih besar daripada bahagian berkenaan.
Euclid juga menggunakan sifat-sifat lain yang berkaitan dengan magnitud. 1 adalah satu-satunya
bahagian daripada dasar logik yang Euclid lahirkan dengan terang dan jelas. 2 dan 3 adalah
prinsip-prinsip “aritmetik”; perhatikan bahawa makna-makna “tambah” dan “tolak” di dalam
konteks geometri asli ini telah diberi sama seperti diambil. 1 hingga 4 secara takrifan mempunyai
persamaan, yang mana boleh juga diambil sebagai bahagian pendasaran logik atau sebagai satu
keperluan hubungan kesetaraan , seperti “pertembungan,” definisi yang sangat teliti. 5 adalah
satu prinsip mereologi. “Keseluruhan”, “sebahagian”, dan “baki” memerlukan takrifan yang
tepat.
Geometri Non Euclid
Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari
dua geometri tertentu yang, longgar berbicara, diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel
postulat , yaitu hiperbolik dan geometri eliptik . Ini adalah satu istilah yang, untuk alasan sejarah,
memiliki arti dalam matematika yang jauh lebih sempit dari yang terlihat untuk memiliki dalam
bahasa Inggris umum. Ada banyak sekali geometri yang tidak geometri Euclidean , tetapi hanya
dua yang disebut sebagai non-Euclidean geometri.
Perbedaan penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah sifat paralel baris.
Euclid ‘s kelima mendalilkan, yang paralel mendalilkan , setara dengan yang Playfair postulat
yang menyatakan bahwa, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan A
titik, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak berpotongan ℓ. Dalam geometri
hiperbolik, sebaliknya, ada tak terhingga banyak baris melalui A ℓ tidak berpotongan, sementara
dalam geometri eliptik, setiap baris melalui A memotong ℓ (lihat entri pada geometri hiperbolik ,
geometri berbentuk bulat panjang , dan geometri mutlak untuk informasi lebih lanjut).
Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah mempertimbangkan dua garis
lurus tanpa batas waktu diperpanjang dalam bidang dua dimensi yang baik tegak lurus ke saluran
ketiga:
Dalam geometri Euclidean garis tetap konstan jarak dari satu sama lain bahkan jika
diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel.
Dalam geometri hiperbolik mereka “kurva pergi” satu sama lain, peningkatan jarak
sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik persimpangan dengan tegak lurus umum,
garis-garis ini sering disebut ultraparallels.
Dalam geometri berbentuk bulat panjang garis “kurva ke arah” satu sama lain dan
akhirnya berpotongan.
Sejarah
Sejarah awal
Sementara geometri Euclidean , dinamai matematikawan Yunani Euclid , termasuk beberapa dari
matematika tertua, non-Euclidean geometri tidak secara luas diterima sebagai sah sampai abad
ke-19.
Perdebatan yang akhirnya menyebabkan penemuan non-Euclidean geometri mulai segera setelah
karya Euclid ‘s Elemen ditulis. Dalam Elemen, Euclid dimulai dengan sejumlah asumsi (23
definisi, lima pengertian umum, dan lima postulat) dan berusaha untuk membuktikan semua hasil
lain ( proposisi ) dalam pekerjaan. Yang paling terkenal dari postulat sering disebut sebagai
“Kelima Postulat Euclid,” atau cukup dengan ” paralel mendalilkan “, yang dalam formulasi asli
Euclid adalah:
Jika garis lurus jatuh pada dua garis lurus sedemikian rupa sehingga sudut interior pada sisi yang
sama bersama-sama kurang dari dua sudut yang tepat, maka garis-garis lurus, jika diproduksi
tanpa batas waktu, bertemu di sisi itu yang adalah sudut kurang dari dua kanan sudut.
Lain yang hebat matematika telah menemukan bentuk-bentuk sederhana dari properti ini (lihat
postulat paralel untuk laporan setara). Terlepas dari bentuk dalil, bagaimanapun, secara
konsisten tampaknya lebih rumit dari yang lain Euclid postulat (termasuk, misalnya, “Antara dua
titik garis lurus bisa diambil”).
Setidaknya seribu tahun, geometers merasa kesulitan akibat kompleksitas yang berbeda dari
kelima postulat, dan percaya itu bisa dibuktikan sebagai teorema dari keempat lainnya. Banyak
berusaha untuk menemukan bukti oleh kontradiksi , termasuk matematikawan Arab Ibn alHaytham (Alhazen, abad ke-11), dengan Persia matematikawan Umar Khayyām (abad 12) dan
Nasir al-Din al-Tusi (abad ke-13), dan dengan Italia matematika Giovanni Girolamo Saccheri
(abad 18).
Teorema Ibn al-Haytham, Khayyam dan al-Tusi pada segiempat , termasuk segiempat Lambert
dan Saccheri segiempat , adalah “teorema pertama dari hiperbolik dan geometri berbentuk bulat
panjang . ” Teorema-teorema bersama dengan alternatif mereka mendalilkan, seperti aksioma
Playfair ‘s , memainkan peran penting dalam perkembangan selanjutnya dari non-Euclidean
geometri. Upaya-upaya awal pada menantang kelima postulat memiliki pengaruh yang besar
terhadap pembangunan di antara geometers kemudian Eropa, termasuk Witelo , Levi ben
Gerson , Alfonso , John Wallis dan Saccheri. Semua upaya awal dibuat di mencoba untuk
merumuskan non-Euclidean Namun geometri diberikan bukti cacat dari paralel mendalilkan,
mengandung asumsi yang pada dasarnya setara dengan postulat paralel. Upaya-upaya awal itu,
bagaimanapun, memberikan beberapa sifat awal dari geometri hiperbolik dan eliptik.
Khayyam, misalnya, mencoba untuk mendapatkan dari setara mendalilkan ia merumuskan dari
“prinsip-prinsip Bertuah” ( Aristoteles ): “Dua garis lurus berpotongan konvergen dan tidak
mungkin untuk dua garis lurus konvergen menyimpang ke arah di mana mereka bertemu. ”
Khayyam kemudian dianggap sebagai tiga kasus yang tepat, tumpul, dan akut yang sudut puncak
dari sebuah segiempat Saccheri dapat mengambil dan setelah membuktikan sejumlah teorema
tentang mereka, ia benar membantah kasus tumpul dan akut berdasarkan dalil nya dan karena
berasal klasik postulat Euclid yang tidak disadarinya adalah setara dengan postulat sendiri.
Contoh lain adalah anak al-Tusi, Sadr al-Din (kadang-kadang dikenal sebagai “Pseudo-Tusi”),
yang menulis sebuah buku tentang subjek di 1298, berdasarkan pengalaman kemudian al-Tusi,
yang disajikan lain setara hipotesis untuk paralel dalil . “Dia pada dasarnya revisi kedua sistem
Euclidean aksioma dan dalil-dalil dan bukti-bukti proposisi banyak dari Elemen.” Karyanya
diterbitkan di Roma tahun 1594 dan dipelajari oleh geometers Eropa, termasuk Saccheri yang
mengkritik pekerjaan ini serta yang dari Wallis.
Giordano Vitale , dalam bukunya Euclide restituo (1680, 1686), menggunakan Saccheri
segiempat untuk membuktikan bahwa jika tiga poin adalah jarak yang sama di pangkalan AB dan
CD KTT, maka AB dan CD di mana-mana berjarak sama.
Dalam sebuah karya berjudul Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid Dibebaskan dari
Semua Cacat), yang diterbitkan tahun 1733, Saccheri geometri eliptik cepat dibuang sebagai
kemungkinan (beberapa orang lain dari aksioma Euclid harus dimodifikasi untuk geometri
berbentuk bulat panjang untuk bekerja) dan mulai bekerja membuktikan besar jumlah hasil
dalam geometri hiperbolik. Dia akhirnya mencapai titik di mana ia percaya bahwa hasil
menunjukkan ketidakmungkinan geometri hiperbolik. Klaimnya tampaknya telah didasarkan
pada pengandaian Euclidean, karena tidak ada kontradiksi logis hadir. Dalam upaya untuk
membuktikan geometri Euclidean ia malah tidak sengaja menemukan sebuah geometri baru yang
layak, tapi tidak menyadarinya.
Pada 1766 Johann Lambert menulis, tetapi tidak mempublikasikan, Theorie der Parallellinien di
mana ia mencoba, sebagai Saccheri lakukan, untuk membuktikan postulat kelima. Dia bekerja
dengan angka yang hari ini kita sebut segiempat Lambert, suatu segiempat dengan tiga sudut
kanan (dapat dianggap setengah dari segiempat Saccheri). Dia segera menghilangkan
kemungkinan bahwa sudut keempat adalah tumpul, karena memiliki Saccheri dan Khayyam, dan
kemudian melanjutkan untuk membuktikan teorema banyak berdasarkan asumsi sudut akut.
Tidak seperti Saccheri, ia tidak pernah merasa bahwa ia telah mencapai kontradiksi dengan
asumsi ini. Dia telah membuktikan hasil non-Euclidean bahwa jumlah sudut dalam segitiga
meningkat sebagai luas segitiga berkurang, dan ini menyebabkan dia untuk berspekulasi
mengenai kemungkinan model kasus akut pada bola berjari-jari imajiner. Dia tidak membawa ide
ini lebih jauh.
Pada saat ini itu sangat percaya bahwa alam semesta bekerja menurut prinsip-prinsip geometri
Euclidean.
Penciptaan non-Euclidean geometri
Awal abad ke-19 akhirnya akan menyaksikan langkah-langkah yang menentukan dalam
penciptaan non-Euclidean geometri. Sekitar 1830, Hungaria matematika János Bolyai dan Rusia
matematika Nikolai Lobachevsky secara terpisah diterbitkan risalah pada geometri hiperbolik.
Akibatnya, geometri hiperbolik disebut Bolyai-Lobachevskian geometri, baik sebagai
matematikawan, independen satu sama lain, adalah penulis dasar non-Euclidean geometri. Gauss
disebutkan kepada ayah Bolyai, ketika ditampilkan karya Bolyai muda, bahwa ia telah
dikembangkan seperti geometri sekitar 20 tahun sebelumnya, meskipun ia tidak
mempublikasikan. Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean dengan
meniadakan paralel mendalilkan, Bolyai bekerja di luar geometri di mana kedua Euclidean dan
geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada k parameter. Bolyai berakhir karyanya
dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin untuk memutuskan melalui penalaran matematis saja
jika geometri alam semesta fisik Euclid atau non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik.
Bernhard Riemann , dalam sebuah kuliah yang terkenal pada 1854, mendirikan bidang geometri
Riemann , membahas khususnya ide-ide sekarang disebut manifold , Riemannian metrik , dan
kelengkungan . Ia dibangun sebuah keluarga tak terbatas geometri yang tidak Euclidean dengan
memberikan rumus untuk keluarga metrik Riemann pada bola unit dalam ruang Euclidean . Yang
paling sederhana ini disebut geometri berbentuk bulat panjang dan dianggap menjadi geometri
non-Euclidean karena kurangnya garis paralel.
Terminologi
Itu Gauss yang menciptakan istilah “non-euclidean geometri”. Dia merujuk pada karyanya
sendiri yang hari ini kita sebut geometri hiperbolik. Beberapa penulis modern yang masih
menganggap “non-euclidean geometri” dan “geometri hiperbolik” menjadi sinonim. Pada tahun
1871, Felix Klein , dengan mengadaptasi metrik dibahas oleh Arthur Cayley pada tahun 1852,
mampu membawa sifat metrik menjadi sebuah lokasi yang proyektif dan karena itu mampu
menyatukan perawatan geometri hiperbolik, euclidean dan berbentuk bulat panjang di bawah
payung projective geometri . Klein bertanggung jawab untuk istilah “hiperbolik” dan “eliptik”
(dalam sistem, ia disebut geometri Euclidean “parabola”, sebuah istilah yang belum selamat dari
ujian waktu). Pengaruhnya telah menyebabkan penggunaan saat ini dari “geometri noneuclidean” untuk berarti baik geometri “hiperbolik” atau “berbentuk bulat panjang”.
Ada beberapa hebat matematika yang akan memperpanjang daftar geometri yang harus disebut
“non-euclidean” dengan berbagai cara. Dalam disiplin ilmu lainnya, terutama yang paling
matematika fisika , istilah “non-euclidean” sering diartikan tidak Euclidean .
aksioma dasar non-Euclidean geometri
Geometri Euclidean aksiomatik dapat dijelaskan dalam beberapa cara. Sayangnya, sistem yang
asli Euclid lima postulat (aksioma) bukan salah satu dari ini sebagai bukti nya mengandalkan
asumsi tak tertulis beberapa yang juga seharusnya diambil sebagai aksioma. sistem Hilbert yang
terdiri dari 20 aksioma paling dekat mengikuti pendekatan Euclid dan memberikan pembenaran
untuk semua bukti Euclid. Sistem lain, menggunakan set yang berbeda dari istilah terdefinisi
mendapatkan geometri yang sama dengan jalan yang berbeda. Dalam semua pendekatan,
bagaimanapun, ada aksioma yang secara logis setara dengan kelima Euclid postulat, paralel dalil.
Hilbert menggunakan bentuk aksioma Playfair, sementara Birkhoff , misalnya, menggunakan
aksioma yang mengatakan bahwa “tidak ada sepasang yang sama tetapi tidak kongruen segitiga.
” Dalam salah satu sistem, penghapusan satu aksioma yang setara dengan postulat sejajar, dalam
bentuk apapun yang diperlukan, dan meninggalkan semua aksioma lainnya utuh, menghasilkan
geometri absolut . Sebagai pertama 28 proposisi Euclid (dalam The Elements) tidak memerlukan
penggunaan postulat paralel atau apa setara dengan itu, mereka semua pernyataan benar dalam
geometri mutlak.
Untuk mendapatkan geometri non-Euclidean, paralel dalil (atau ekuivalen) harus diganti oleh
yang negasi . Meniadakan aksioma Playfair ‘s bentuk, karena itu adalah pernyataan majemuk (…
terdapat satu dan hanya satu …), bisa dilakukan dengan dua cara. Entah ada akan ada lebih dari
satu baris melalui paralel titik ke garis diberikan atau akan ada tidak ada garis melalui titik
paralel ke garis yang diberikan. Dalam kasus pertama, menggantikan paralel dalil (atau
ekuivalen) dengan pernyataan “Di pesawat, diberi titik P dan garis l tidak melewati P, terdapat
dua garis melalui P yang tidak memenuhi l” dan menjaga semua aksioma lainnya, hasil geometri
hiperbolik . Kasus kedua tidak ditangani dengan mudah. Cukup mengganti paralel mendalilkan
dengan pernyataan, “Dalam pesawat, diberi titik P dan garis l tidak melewati P, semua garis
melalui P memenuhi l”, tidak memberikan satu set konsisten aksioma. Ini mengikuti sejak garis
paralel ada di geometri mutlak , tetapi pernyataan ini mengatakan bahwa tidak ada garis paralel.
Masalah ini dikenal (dalam kedok yang berbeda) untuk Khayyam, Saccheri dan Lambert dan
merupakan dasar untuk menolak mereka apa yang dikenal sebagai “kasus sudut tumpul”. Untuk
mendapatkan satu set konsisten aksioma yang meliputi aksioma ini tentang tidak memiliki garis
paralel, beberapa aksioma lain harus tweak. Penyesuaian harus dibuat tergantung pada sistem
aksioma yang digunakan. Beberapa diantaranya tweak akan memiliki efek memodifikasi kedua
postulat Euclid dari pernyataan bahwa segmen garis dapat diperpanjang tanpa batas waktu untuk
pernyataan bahwa garis tak terbatas. Riemann ‘s geometri eliptik muncul sebagai geometri
paling alami memuaskan aksioma ini.
Model non-Euclidean geometri
Untuk rincian lebih lanjut tentang topik ini, lihat
Model non-Euclidean geometri .
Pada bola, jumlah sudut segitiga tidak sama dengan 180 °. Permukaan sebuah bola bukan ruang
Euclidean, tetapi secara lokal hukum geometri Euclidean adalah perkiraan yang baik. Dalam
sebuah segitiga kecil di muka bumi, jumlah dari sudut sangat hampir 180 °.
Dua geometri Euclidean dimensi dimodelkan dengan gagasan kita tentang “datar pesawat . “
geometri Elliptic
Model sederhana untuk geometri eliptik adalah bola, di mana garis ” lingkaran besar “(seperti
ekuator atau meridian di dunia ), dan poin yang berlawanan satu sama lain (disebut poin
antipodal ) diidentifikasi (dianggap sama). Ini juga salah satu model standar dari pesawat
proyektif nyata . Perbedaannya adalah bahwa sebagai model geometri eliptik metrik
diperkenalkan memungkinkan pengukuran panjang dan sudut, sedangkan pada model pesawat
proyektif tidak ada metrik tersebut.
Dalam model berbentuk bulat panjang, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak
pada ℓ, semua baris melalui A akan berpotongan ℓ.
geometri hiperbolik
Bahkan setelah pekerjaan Lobachevsky, Gauss, dan Bolyai, pertanyaannya tetap: apakah model
seperti itu ada untuk geometri hiperbolik ? Model untuk geometri hiperbolik dijawab oleh
Eugenio Beltrami , pada 1868, yang pertama kali menunjukkan bahwa permukaan yang disebut
pseudosphere memiliki sesuai kelengkungan untuk model sebagian dari ruang hiperbolik , dan
dalam makalah kedua di tahun yang sama, mendefinisikan Model Klein yang model keseluruhan
dari ruang hiperbolik, dan digunakan ini untuk menunjukkan bahwa geometri Euclidean dan
geometri hiperbolik adalah equiconsistent , sehingga geometri hiperbolik adalah logis konsisten
jika dan hanya jika geometri Euclidean adalah. (Implikasi terbalik berikut dari horosphere model
geometri Euclidean.)
Dalam model hiperbolik, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan
Titik, yang tidak pada ℓ, ada tak terhingga banyak baris melalui A yang tidak berpotongan ℓ.
Dalam model ini konsep-konsep non-Euclidean geometri sedang diwakili oleh objek Euclidean
dalam pengaturan Euclidean. Ini memperkenalkan sebuah distorsi perseptual dimana garis-garis
lurus dari geometri non-Euclidean yang diwakili oleh kurva Euclidean yang secara visual
membungkuk. Ini “lentur” bukan milik non-Euclidean baris, hanya kecerdasan dari cara mereka
diwakili.
sifat Jarang
Euclid dan geometri non-Euclidean secara alami memiliki sifat serupa, yaitu mereka yang tidak
tergantung pada sifat paralelisme. Kesamaan ini adalah subjek dari geometri netral (juga disebut
geometri absolut). Namun, sifat yang membedakan satu geometri dari yang lain adalah orangorang yang secara historis menerima perhatian yang besar.
Selain perilaku baris sehubungan dengan tegak lurus umum, disebutkan dalam pendahuluan,
kami juga memiliki berikut ini:
Sebuah segiempat Lambert adalah segiempat yang memiliki tiga sudut kanan. Sudut
keempat dari segiempat Lambert adalah akut jika geometri hiperbolik, sebuah sudut yang
tepat jika geometri Euclidean adalah atau tumpul jika geometri adalah berbentuk bulat
panjang. Akibatnya, empat persegi panjang hanya ada dalam geometri Euclidean.
Sebuah segiempat Saccheri adalah segiempat yang memiliki dua sisi dengan panjang
yang sama, baik tegak lurus ke samping disebut basis. Dua lainnya dari sudut segiempat
Saccheri disebut sudut puncak dan mereka memiliki ukuran yang sama. Sudut puncak
dari sebuah segiempat Saccheri yang akut jika geometri hiperbolik, sudut yang tepat jika
geometri Euclidean adalah sudut tumpul dan jika geometri adalah berbentuk bulat
panjang.
Jumlah dari ukuran sudut segitiga apapun adalah kurang dari 180 ° jika geometri
hiperbolik, sama dengan 180 ° jika geometri Euclidean, dan lebih besar dari 180 ° jika
geometri adalah berbentuk bulat panjang. Cacat segitiga adalah nilai numerik (180 ° –
jumlah dari ukuran sudut segitiga). Hasil ini juga dapat dinyatakan sebagai: cacat segitiga
dalam geometri hiperbolik adalah positif, cacat segitiga dalam geometri Euclidean adalah
nol, dan cacat segitiga dalam geometri eliptik adalah negatif.
Pentingnya
Non-Euclidean geometri adalah contoh dari sebuah pergeseran paradigma dalam sejarah ilmu
pengetahuan . Sebelum model pesawat non-Euclidean yang disajikan oleh Beltrami, Klein, dan
Poincaré, geometri Euclidean berdiri tertandingi sebagai model matematika dari ruang . Selain
itu, karena substansi subjek dalam geometri sintetis adalah pameran kepala rasionalitas, titik
Euclidean pandang diwakili otoritas mutlak. Non-Euclidean geometri, meskipun diasimilasi oleh
peneliti dipelajari, terus menjadi tersangka bagi mereka yang tidak memiliki paparan konsep
hiperbolis dan elips.
Penemuan non-Euclidean geometri memiliki efek riak yang jauh melampaui batas-batas
matematika dan ilmu pengetahuan. Filsuf Immanuel Kant pengobatan itu pengetahuan manusia
memiliki peran khusus untuk geometri. Itu adalah contoh utama tentang sintetis pengetahuan
apriori, tidak berasal dari indera atau disimpulkan melalui logika – pengetahuan kita tentang
ruang merupakan kebenaran bahwa kita dilahirkan dengan. Sayangnya bagi Kant, konsepnya ini
geometri unalterably benar adalah Euclidean. Teologi juga dipengaruhi oleh perubahan dari
kebenaran absolut untuk kebenaran relatif dalam matematika yang adalah hasil dari pergeseran
paradigma.
Keberadaan non-Euclidean geometri berdampak pada “kehidupan intelektual” dari Inggris
Victoria dalam banyak hal dan khususnya adalah salah satu faktor yang menyebabkan yang
menyebabkan pemeriksaan ulang pengajaran geometri berdasarkan Euclid ‘s Elemen . Masalah
kurikulum yang hangat diperdebatkan pada saat itu dan bahkan subyek dari bermain, Euclid dan
Rivals modern, ditulis oleh penulis Alice in Wonderland .
Geometri Euclid merupakan sebuah sistem matematik yang
disumbangkan oleh seorang ahli matematik Yunani bernama Euclid dari Alexandria. Teks Euclid,
Elements merupakan sebuah kajian sistematik yang terawal mengenai geometri. Ia sudah
menjadi salah satu buku-buku yang paling berpengarh di dalam sejarah, sama banyaknya dengan
kaedahnya yang mempunyai isi kandungan matematik. Kaedah cara yang mengandungi andaian
satu set aksiom secara intuitif yang sangat menarik, dan kemudiannya membuktikan banyak usul
(teorem-teorem) daripada aksiom-aksiom berkenaan. Walaupun banyak daripada keputusankeputusan oleh Euclid sudah dinyatakan oleh ahli-ahli matematik Yunani sebelumnya, Euclid
merupakan orang yang pertama untuk menunjukkan bagaimana usul-usul ini diletakkan secara
sempurna membentuk satu deduksi dan sistem logikyang komprehensif.
Buku Elements ini bermula dengan geometri satah, yang masih lagi diajar di sekolah menengah
sebagai satu sistem aksioman dan contoh-contoh pembuktian formal yang pertama.
Kemudiannya, Elements merangkumi geometri pepejal dalam tiga dimensi, dan seterusnya
geometri Euclid telah dipanjangkan kepada satu bilangan dimensi yang terhingga. Kebanyakan
daripada Elements menyatakan keputusan-keputusan dalam apa yang kini disebut sebagai teori
nombor, yang boleh dibuktikan menerusi kaedah geometri.
Selama dua ribu tahun, kata adjektif “Euclid” tidak diperlukan kerana pada masa itu tiada
geometri lain dapat dibayangkan. Aksiom-aksiom Euclid nampak seperti sangat jelas
sehinggakan apa-apa teorem lain yang dibuktikan daripadanya dianggap benar secara mutlak.
Hari ini, bagaimanapun, banyak geometri bukan Euclid sudah diketahui, yang pertamanya telah
dijumpai pada awal abad ke-19. Ia juga tidak boleh diambil mudah bahawa geometri Euclid
hanya menggambarkan ruang fizikal. Satu implikasi daripada teori Einstein mengenai teori
kerelatifan umum bahawa geometri Euclid merupakan satu anggaran yang baik kepada sifat-sifat
ruang fizikal hanyak sekiranya medan graviti tidak terlalu kuat.
Pendekatan aksioman
Geometri Euclid merupakan satu sistem aksioman, yang mana
semua teorem (“penyataan benar”) adalah diambil daripada satu bilangan aksiom-aksiom yang
terhingga. Pada permulaan buku Elements yang pertama, Euclid memberikan lima postulat
(aksiom):
1. Apa-apa dua titik boleh dihubungkan dengan satu garis lurus.
2. Apa-apa tembereng garis lurus boleh dipanjangkan di dalam satu garis lurus.
3. Satu bulatan boleh dilukis dengan menggunakan satu garis lurus sebagai jejari dan satu
lagi titik hujung sebagai pusat.
4. Semua sudut serenjang adalah kongruen.
5. Postulat selari. Jika dua garis bersilangan dengan yang ketiga dalam satu cara yang
jumlah sudut dalaman adalah kurang daripada satu lagi, maka dua garis ini mesti
bersilangan di atas satu sama lain sekiranya dipanjangkan secukupnya.
Aksiom-aksiom ini menggunakan konsep-konsep berikut: titik, tembereng garis lurus dan garis,
sebahagian daripada satu garis, bularan dengan jejari dan pusat, sudut serenjang, kongruen,
sudut-sudut dalaman dan serenjang, jumlah. Kata-kata kerja yang berikut muncul: sambung,
dipanjangkan, lukis, silang. Bulatan ini digambarkan dengan menggunakan postulat 3 adalah
sangat unik. Postulat-postulat 3 dan 5 hanya boleh digunakan untuk geometri satah; dalam tiga
dimensi, postulat 3 mentakrifkan suatu bulatan.
Satu bukti daripada buku Euclid “Elements” bahawa apabila diberikan satu tembereng garis, satu
segitiga sama wujud termasuklah tembereng sebagai salah satu daripada tiga sisi. Buktinya
adalah dengan cara binaan: Satu segitiga sama ΑΒΓ dibuat dengan melukis bulatan Δ dan Ε
berpusat pada titik-titik Α dan Β, dan dengan mengambil satu persilangan bulatan sebagai puncak
sudut ketiga bagi segitiga tersebut.
Postulat 5 membawa kepada geometri yang sama sebagai penyataan yang berikut, dikenali
sebagai Aksiom Playfair, yang hanya boleh dipegang hanya konsep di dalam satah itu:
Menerusi satu titik yang tidak terletak di atas satu garis lurus, hanya satu sahaja garis yang boleh
dilukis tidak akan bertemu garis yang diberi.
Postulat-postulat 1, 2, 3, dan 5 menegaskan bahawa kewujudan dan keunikan rajah-rajah
geometri, dan peegasan ini adalah satu binaan semulajadi: iaitu, kita tidak diberitahu bahawa ada
perkara tertentu wujud, tetapi kaedah-kaedah diberi untuk mencipta dengan tidak lebih daripada
satu kompas dan satu pinggiran lurus yang tidak bertanda. Dalam kes ini, geometri Euclid adalah
lebih konkrit daripada kebanyakan sistem-sistem aksiom moden seperti teori set, yang mana
kebiasaannya menegaskan kewujudan objek-objek tanpa mengatakan bagaimana untuk membina
mereka, atau menegaskan kewujudan objek-objek yang tidak boleh dibina di dalam ruang teori
berkenaan.
Sebenarnya, binaan-binaan garis di atas kertas dan sebagainya adalah model-model objek yang
lebih baik ditakrifkan di dalam sistem formal, daripada hanya contoh-contoh objek berkenaan.
Sebagai contoh, satu garis lurus Euclid tidak mempunyai lebar, tetapi apa-apa garis yang benar
akan menjadi lebar.
Elements juga memasukkan lima “notasi biasa”:
1. Perkara yang sama dengan benda yang sama tetapi juga setara antara satu sama lain.
2. Jika setara ditambahkan kepada persamaan, maka jumlah keseluruhan juga adalah setara.
3. Jika setara ditolak daripada persamaan, maka bakinya juga adalah setara.
4. Perkara yang bertembung di antara satu sama lain juga setara antara satu sama lain that
coincide with one another equal one another.
5. Jumlah keseluruhan juga lebih besar daripada bahagian berkenaan.
Euclid juga menggunakan sifat-sifat lain yang berkaitan dengan magnitud. 1 adalah satu-satunya
bahagian daripada dasar logik yang Euclid lahirkan dengan terang dan jelas. 2 dan 3 adalah
prinsip-prinsip “aritmetik”; perhatikan bahawa makna-makna “tambah” dan “tolak” di dalam
konteks geometri asli ini telah diberi sama seperti diambil. 1 hingga 4 secara takrifan mempunyai
persamaan, yang mana boleh juga diambil sebagai bahagian pendasaran logik atau sebagai satu
keperluan hubungan kesetaraan , seperti “pertembungan,” definisi yang sangat teliti. 5 adalah
satu prinsip mereologi. “Keseluruhan”, “sebahagian”, dan “baki” memerlukan takrifan yang
tepat.
Geometri Non Euclid
Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari
dua geometri tertentu yang, longgar berbicara, diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel
postulat , yaitu hiperbolik dan geometri eliptik . Ini adalah satu istilah yang, untuk alasan sejarah,
memiliki arti dalam matematika yang jauh lebih sempit dari yang terlihat untuk memiliki dalam
bahasa Inggris umum. Ada banyak sekali geometri yang tidak geometri Euclidean , tetapi hanya
dua yang disebut sebagai non-Euclidean geometri.
Perbedaan penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah sifat paralel baris.
Euclid ‘s kelima mendalilkan, yang paralel mendalilkan , setara dengan yang Playfair postulat
yang menyatakan bahwa, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan A
titik, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak berpotongan ℓ. Dalam geometri
hiperbolik, sebaliknya, ada tak terhingga banyak baris melalui A ℓ tidak berpotongan, sementara
dalam geometri eliptik, setiap baris melalui A memotong ℓ (lihat entri pada geometri hiperbolik ,
geometri berbentuk bulat panjang , dan geometri mutlak untuk informasi lebih lanjut).
Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah mempertimbangkan dua garis
lurus tanpa batas waktu diperpanjang dalam bidang dua dimensi yang baik tegak lurus ke saluran
ketiga:
Dalam geometri Euclidean garis tetap konstan jarak dari satu sama lain bahkan jika
diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel.
Dalam geometri hiperbolik mereka “kurva pergi” satu sama lain, peningkatan jarak
sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik persimpangan dengan tegak lurus umum,
garis-garis ini sering disebut ultraparallels.
Dalam geometri berbentuk bulat panjang garis “kurva ke arah” satu sama lain dan
akhirnya berpotongan.
Sejarah
Sejarah awal
Sementara geometri Euclidean , dinamai matematikawan Yunani Euclid , termasuk beberapa dari
matematika tertua, non-Euclidean geometri tidak secara luas diterima sebagai sah sampai abad
ke-19.
Perdebatan yang akhirnya menyebabkan penemuan non-Euclidean geometri mulai segera setelah
karya Euclid ‘s Elemen ditulis. Dalam Elemen, Euclid dimulai dengan sejumlah asumsi (23
definisi, lima pengertian umum, dan lima postulat) dan berusaha untuk membuktikan semua hasil
lain ( proposisi ) dalam pekerjaan. Yang paling terkenal dari postulat sering disebut sebagai
“Kelima Postulat Euclid,” atau cukup dengan ” paralel mendalilkan “, yang dalam formulasi asli
Euclid adalah:
Jika garis lurus jatuh pada dua garis lurus sedemikian rupa sehingga sudut interior pada sisi yang
sama bersama-sama kurang dari dua sudut yang tepat, maka garis-garis lurus, jika diproduksi
tanpa batas waktu, bertemu di sisi itu yang adalah sudut kurang dari dua kanan sudut.
Lain yang hebat matematika telah menemukan bentuk-bentuk sederhana dari properti ini (lihat
postulat paralel untuk laporan setara). Terlepas dari bentuk dalil, bagaimanapun, secara
konsisten tampaknya lebih rumit dari yang lain Euclid postulat (termasuk, misalnya, “Antara dua
titik garis lurus bisa diambil”).
Setidaknya seribu tahun, geometers merasa kesulitan akibat kompleksitas yang berbeda dari
kelima postulat, dan percaya itu bisa dibuktikan sebagai teorema dari keempat lainnya. Banyak
berusaha untuk menemukan bukti oleh kontradiksi , termasuk matematikawan Arab Ibn alHaytham (Alhazen, abad ke-11), dengan Persia matematikawan Umar Khayyām (abad 12) dan
Nasir al-Din al-Tusi (abad ke-13), dan dengan Italia matematika Giovanni Girolamo Saccheri
(abad 18).
Teorema Ibn al-Haytham, Khayyam dan al-Tusi pada segiempat , termasuk segiempat Lambert
dan Saccheri segiempat , adalah “teorema pertama dari hiperbolik dan geometri berbentuk bulat
panjang . ” Teorema-teorema bersama dengan alternatif mereka mendalilkan, seperti aksioma
Playfair ‘s , memainkan peran penting dalam perkembangan selanjutnya dari non-Euclidean
geometri. Upaya-upaya awal pada menantang kelima postulat memiliki pengaruh yang besar
terhadap pembangunan di antara geometers kemudian Eropa, termasuk Witelo , Levi ben
Gerson , Alfonso , John Wallis dan Saccheri. Semua upaya awal dibuat di mencoba untuk
merumuskan non-Euclidean Namun geometri diberikan bukti cacat dari paralel mendalilkan,
mengandung asumsi yang pada dasarnya setara dengan postulat paralel. Upaya-upaya awal itu,
bagaimanapun, memberikan beberapa sifat awal dari geometri hiperbolik dan eliptik.
Khayyam, misalnya, mencoba untuk mendapatkan dari setara mendalilkan ia merumuskan dari
“prinsip-prinsip Bertuah” ( Aristoteles ): “Dua garis lurus berpotongan konvergen dan tidak
mungkin untuk dua garis lurus konvergen menyimpang ke arah di mana mereka bertemu. ”
Khayyam kemudian dianggap sebagai tiga kasus yang tepat, tumpul, dan akut yang sudut puncak
dari sebuah segiempat Saccheri dapat mengambil dan setelah membuktikan sejumlah teorema
tentang mereka, ia benar membantah kasus tumpul dan akut berdasarkan dalil nya dan karena
berasal klasik postulat Euclid yang tidak disadarinya adalah setara dengan postulat sendiri.
Contoh lain adalah anak al-Tusi, Sadr al-Din (kadang-kadang dikenal sebagai “Pseudo-Tusi”),
yang menulis sebuah buku tentang subjek di 1298, berdasarkan pengalaman kemudian al-Tusi,
yang disajikan lain setara hipotesis untuk paralel dalil . “Dia pada dasarnya revisi kedua sistem
Euclidean aksioma dan dalil-dalil dan bukti-bukti proposisi banyak dari Elemen.” Karyanya
diterbitkan di Roma tahun 1594 dan dipelajari oleh geometers Eropa, termasuk Saccheri yang
mengkritik pekerjaan ini serta yang dari Wallis.
Giordano Vitale , dalam bukunya Euclide restituo (1680, 1686), menggunakan Saccheri
segiempat untuk membuktikan bahwa jika tiga poin adalah jarak yang sama di pangkalan AB dan
CD KTT, maka AB dan CD di mana-mana berjarak sama.
Dalam sebuah karya berjudul Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid Dibebaskan dari
Semua Cacat), yang diterbitkan tahun 1733, Saccheri geometri eliptik cepat dibuang sebagai
kemungkinan (beberapa orang lain dari aksioma Euclid harus dimodifikasi untuk geometri
berbentuk bulat panjang untuk bekerja) dan mulai bekerja membuktikan besar jumlah hasil
dalam geometri hiperbolik. Dia akhirnya mencapai titik di mana ia percaya bahwa hasil
menunjukkan ketidakmungkinan geometri hiperbolik. Klaimnya tampaknya telah didasarkan
pada pengandaian Euclidean, karena tidak ada kontradiksi logis hadir. Dalam upaya untuk
membuktikan geometri Euclidean ia malah tidak sengaja menemukan sebuah geometri baru yang
layak, tapi tidak menyadarinya.
Pada 1766 Johann Lambert menulis, tetapi tidak mempublikasikan, Theorie der Parallellinien di
mana ia mencoba, sebagai Saccheri lakukan, untuk membuktikan postulat kelima. Dia bekerja
dengan angka yang hari ini kita sebut segiempat Lambert, suatu segiempat dengan tiga sudut
kanan (dapat dianggap setengah dari segiempat Saccheri). Dia segera menghilangkan
kemungkinan bahwa sudut keempat adalah tumpul, karena memiliki Saccheri dan Khayyam, dan
kemudian melanjutkan untuk membuktikan teorema banyak berdasarkan asumsi sudut akut.
Tidak seperti Saccheri, ia tidak pernah merasa bahwa ia telah mencapai kontradiksi dengan
asumsi ini. Dia telah membuktikan hasil non-Euclidean bahwa jumlah sudut dalam segitiga
meningkat sebagai luas segitiga berkurang, dan ini menyebabkan dia untuk berspekulasi
mengenai kemungkinan model kasus akut pada bola berjari-jari imajiner. Dia tidak membawa ide
ini lebih jauh.
Pada saat ini itu sangat percaya bahwa alam semesta bekerja menurut prinsip-prinsip geometri
Euclidean.
Penciptaan non-Euclidean geometri
Awal abad ke-19 akhirnya akan menyaksikan langkah-langkah yang menentukan dalam
penciptaan non-Euclidean geometri. Sekitar 1830, Hungaria matematika János Bolyai dan Rusia
matematika Nikolai Lobachevsky secara terpisah diterbitkan risalah pada geometri hiperbolik.
Akibatnya, geometri hiperbolik disebut Bolyai-Lobachevskian geometri, baik sebagai
matematikawan, independen satu sama lain, adalah penulis dasar non-Euclidean geometri. Gauss
disebutkan kepada ayah Bolyai, ketika ditampilkan karya Bolyai muda, bahwa ia telah
dikembangkan seperti geometri sekitar 20 tahun sebelumnya, meskipun ia tidak
mempublikasikan. Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean dengan
meniadakan paralel mendalilkan, Bolyai bekerja di luar geometri di mana kedua Euclidean dan
geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada k parameter. Bolyai berakhir karyanya
dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin untuk memutuskan melalui penalaran matematis saja
jika geometri alam semesta fisik Euclid atau non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik.
Bernhard Riemann , dalam sebuah kuliah yang terkenal pada 1854, mendirikan bidang geometri
Riemann , membahas khususnya ide-ide sekarang disebut manifold , Riemannian metrik , dan
kelengkungan . Ia dibangun sebuah keluarga tak terbatas geometri yang tidak Euclidean dengan
memberikan rumus untuk keluarga metrik Riemann pada bola unit dalam ruang Euclidean . Yang
paling sederhana ini disebut geometri berbentuk bulat panjang dan dianggap menjadi geometri
non-Euclidean karena kurangnya garis paralel.
Terminologi
Itu Gauss yang menciptakan istilah “non-euclidean geometri”. Dia merujuk pada karyanya
sendiri yang hari ini kita sebut geometri hiperbolik. Beberapa penulis modern yang masih
menganggap “non-euclidean geometri” dan “geometri hiperbolik” menjadi sinonim. Pada tahun
1871, Felix Klein , dengan mengadaptasi metrik dibahas oleh Arthur Cayley pada tahun 1852,
mampu membawa sifat metrik menjadi sebuah lokasi yang proyektif dan karena itu mampu
menyatukan perawatan geometri hiperbolik, euclidean dan berbentuk bulat panjang di bawah
payung projective geometri . Klein bertanggung jawab untuk istilah “hiperbolik” dan “eliptik”
(dalam sistem, ia disebut geometri Euclidean “parabola”, sebuah istilah yang belum selamat dari
ujian waktu). Pengaruhnya telah menyebabkan penggunaan saat ini dari “geometri noneuclidean” untuk berarti baik geometri “hiperbolik” atau “berbentuk bulat panjang”.
Ada beberapa hebat matematika yang akan memperpanjang daftar geometri yang harus disebut
“non-euclidean” dengan berbagai cara. Dalam disiplin ilmu lainnya, terutama yang paling
matematika fisika , istilah “non-euclidean” sering diartikan tidak Euclidean .
aksioma dasar non-Euclidean geometri
Geometri Euclidean aksiomatik dapat dijelaskan dalam beberapa cara. Sayangnya, sistem yang
asli Euclid lima postulat (aksioma) bukan salah satu dari ini sebagai bukti nya mengandalkan
asumsi tak tertulis beberapa yang juga seharusnya diambil sebagai aksioma. sistem Hilbert yang
terdiri dari 20 aksioma paling dekat mengikuti pendekatan Euclid dan memberikan pembenaran
untuk semua bukti Euclid. Sistem lain, menggunakan set yang berbeda dari istilah terdefinisi
mendapatkan geometri yang sama dengan jalan yang berbeda. Dalam semua pendekatan,
bagaimanapun, ada aksioma yang secara logis setara dengan kelima Euclid postulat, paralel dalil.
Hilbert menggunakan bentuk aksioma Playfair, sementara Birkhoff , misalnya, menggunakan
aksioma yang mengatakan bahwa “tidak ada sepasang yang sama tetapi tidak kongruen segitiga.
” Dalam salah satu sistem, penghapusan satu aksioma yang setara dengan postulat sejajar, dalam
bentuk apapun yang diperlukan, dan meninggalkan semua aksioma lainnya utuh, menghasilkan
geometri absolut . Sebagai pertama 28 proposisi Euclid (dalam The Elements) tidak memerlukan
penggunaan postulat paralel atau apa setara dengan itu, mereka semua pernyataan benar dalam
geometri mutlak.
Untuk mendapatkan geometri non-Euclidean, paralel dalil (atau ekuivalen) harus diganti oleh
yang negasi . Meniadakan aksioma Playfair ‘s bentuk, karena itu adalah pernyataan majemuk (…
terdapat satu dan hanya satu …), bisa dilakukan dengan dua cara. Entah ada akan ada lebih dari
satu baris melalui paralel titik ke garis diberikan atau akan ada tidak ada garis melalui titik
paralel ke garis yang diberikan. Dalam kasus pertama, menggantikan paralel dalil (atau
ekuivalen) dengan pernyataan “Di pesawat, diberi titik P dan garis l tidak melewati P, terdapat
dua garis melalui P yang tidak memenuhi l” dan menjaga semua aksioma lainnya, hasil geometri
hiperbolik . Kasus kedua tidak ditangani dengan mudah. Cukup mengganti paralel mendalilkan
dengan pernyataan, “Dalam pesawat, diberi titik P dan garis l tidak melewati P, semua garis
melalui P memenuhi l”, tidak memberikan satu set konsisten aksioma. Ini mengikuti sejak garis
paralel ada di geometri mutlak , tetapi pernyataan ini mengatakan bahwa tidak ada garis paralel.
Masalah ini dikenal (dalam kedok yang berbeda) untuk Khayyam, Saccheri dan Lambert dan
merupakan dasar untuk menolak mereka apa yang dikenal sebagai “kasus sudut tumpul”. Untuk
mendapatkan satu set konsisten aksioma yang meliputi aksioma ini tentang tidak memiliki garis
paralel, beberapa aksioma lain harus tweak. Penyesuaian harus dibuat tergantung pada sistem
aksioma yang digunakan. Beberapa diantaranya tweak akan memiliki efek memodifikasi kedua
postulat Euclid dari pernyataan bahwa segmen garis dapat diperpanjang tanpa batas waktu untuk
pernyataan bahwa garis tak terbatas. Riemann ‘s geometri eliptik muncul sebagai geometri
paling alami memuaskan aksioma ini.
Model non-Euclidean geometri
Untuk rincian lebih lanjut tentang topik ini, lihat
Model non-Euclidean geometri .
Pada bola, jumlah sudut segitiga tidak sama dengan 180 °. Permukaan sebuah bola bukan ruang
Euclidean, tetapi secara lokal hukum geometri Euclidean adalah perkiraan yang baik. Dalam
sebuah segitiga kecil di muka bumi, jumlah dari sudut sangat hampir 180 °.
Dua geometri Euclidean dimensi dimodelkan dengan gagasan kita tentang “datar pesawat . “
geometri Elliptic
Model sederhana untuk geometri eliptik adalah bola, di mana garis ” lingkaran besar “(seperti
ekuator atau meridian di dunia ), dan poin yang berlawanan satu sama lain (disebut poin
antipodal ) diidentifikasi (dianggap sama). Ini juga salah satu model standar dari pesawat
proyektif nyata . Perbedaannya adalah bahwa sebagai model geometri eliptik metrik
diperkenalkan memungkinkan pengukuran panjang dan sudut, sedangkan pada model pesawat
proyektif tidak ada metrik tersebut.
Dalam model berbentuk bulat panjang, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak
pada ℓ, semua baris melalui A akan berpotongan ℓ.
geometri hiperbolik
Bahkan setelah pekerjaan Lobachevsky, Gauss, dan Bolyai, pertanyaannya tetap: apakah model
seperti itu ada untuk geometri hiperbolik ? Model untuk geometri hiperbolik dijawab oleh
Eugenio Beltrami , pada 1868, yang pertama kali menunjukkan bahwa permukaan yang disebut
pseudosphere memiliki sesuai kelengkungan untuk model sebagian dari ruang hiperbolik , dan
dalam makalah kedua di tahun yang sama, mendefinisikan Model Klein yang model keseluruhan
dari ruang hiperbolik, dan digunakan ini untuk menunjukkan bahwa geometri Euclidean dan
geometri hiperbolik adalah equiconsistent , sehingga geometri hiperbolik adalah logis konsisten
jika dan hanya jika geometri Euclidean adalah. (Implikasi terbalik berikut dari horosphere model
geometri Euclidean.)
Dalam model hiperbolik, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan
Titik, yang tidak pada ℓ, ada tak terhingga banyak baris melalui A yang tidak berpotongan ℓ.
Dalam model ini konsep-konsep non-Euclidean geometri sedang diwakili oleh objek Euclidean
dalam pengaturan Euclidean. Ini memperkenalkan sebuah distorsi perseptual dimana garis-garis
lurus dari geometri non-Euclidean yang diwakili oleh kurva Euclidean yang secara visual
membungkuk. Ini “lentur” bukan milik non-Euclidean baris, hanya kecerdasan dari cara mereka
diwakili.
sifat Jarang
Euclid dan geometri non-Euclidean secara alami memiliki sifat serupa, yaitu mereka yang tidak
tergantung pada sifat paralelisme. Kesamaan ini adalah subjek dari geometri netral (juga disebut
geometri absolut). Namun, sifat yang membedakan satu geometri dari yang lain adalah orangorang yang secara historis menerima perhatian yang besar.
Selain perilaku baris sehubungan dengan tegak lurus umum, disebutkan dalam pendahuluan,
kami juga memiliki berikut ini:
Sebuah segiempat Lambert adalah segiempat yang memiliki tiga sudut kanan. Sudut
keempat dari segiempat Lambert adalah akut jika geometri hiperbolik, sebuah sudut yang
tepat jika geometri Euclidean adalah atau tumpul jika geometri adalah berbentuk bulat
panjang. Akibatnya, empat persegi panjang hanya ada dalam geometri Euclidean.
Sebuah segiempat Saccheri adalah segiempat yang memiliki dua sisi dengan panjang
yang sama, baik tegak lurus ke samping disebut basis. Dua lainnya dari sudut segiempat
Saccheri disebut sudut puncak dan mereka memiliki ukuran yang sama. Sudut puncak
dari sebuah segiempat Saccheri yang akut jika geometri hiperbolik, sudut yang tepat jika
geometri Euclidean adalah sudut tumpul dan jika geometri adalah berbentuk bulat
panjang.
Jumlah dari ukuran sudut segitiga apapun adalah kurang dari 180 ° jika geometri
hiperbolik, sama dengan 180 ° jika geometri Euclidean, dan lebih besar dari 180 ° jika
geometri adalah berbentuk bulat panjang. Cacat segitiga adalah nilai numerik (180 ° –
jumlah dari ukuran sudut segitiga). Hasil ini juga dapat dinyatakan sebagai: cacat segitiga
dalam geometri hiperbolik adalah positif, cacat segitiga dalam geometri Euclidean adalah
nol, dan cacat segitiga dalam geometri eliptik adalah negatif.
Pentingnya
Non-Euclidean geometri adalah contoh dari sebuah pergeseran paradigma dalam sejarah ilmu
pengetahuan . Sebelum model pesawat non-Euclidean yang disajikan oleh Beltrami, Klein, dan
Poincaré, geometri Euclidean berdiri tertandingi sebagai model matematika dari ruang . Selain
itu, karena substansi subjek dalam geometri sintetis adalah pameran kepala rasionalitas, titik
Euclidean pandang diwakili otoritas mutlak. Non-Euclidean geometri, meskipun diasimilasi oleh
peneliti dipelajari, terus menjadi tersangka bagi mereka yang tidak memiliki paparan konsep
hiperbolis dan elips.
Penemuan non-Euclidean geometri memiliki efek riak yang jauh melampaui batas-batas
matematika dan ilmu pengetahuan. Filsuf Immanuel Kant pengobatan itu pengetahuan manusia
memiliki peran khusus untuk geometri. Itu adalah contoh utama tentang sintetis pengetahuan
apriori, tidak berasal dari indera atau disimpulkan melalui logika – pengetahuan kita tentang
ruang merupakan kebenaran bahwa kita dilahirkan dengan. Sayangnya bagi Kant, konsepnya ini
geometri unalterably benar adalah Euclidean. Teologi juga dipengaruhi oleh perubahan dari
kebenaran absolut untuk kebenaran relatif dalam matematika yang adalah hasil dari pergeseran
paradigma.
Keberadaan non-Euclidean geometri berdampak pada “kehidupan intelektual” dari Inggris
Victoria dalam banyak hal dan khususnya adalah salah satu faktor yang menyebabkan yang
menyebabkan pemeriksaan ulang pengajaran geometri berdasarkan Euclid ‘s Elemen . Masalah
kurikulum yang hangat diperdebatkan pada saat itu dan bahkan subyek dari bermain, Euclid dan
Rivals modern, ditulis oleh penulis Alice in Wonderland .