Makalah Fisika Dasar Sistem Partikel

SISTEM PARTIKEL ‘Makalah Fisika Dasar’

Disusun oleh :
 Devi Adi Nufriana
 Agus Novian
 Nurshinta
 Waluyo Eka Prasetyo
Teknik Informatika

UNIVERSITAS MUHADI SETIABUDI
Brebes, Jawa Tengah, Indonesia
2014/2015

i| Page

DAFTAR ISI
HALAMAN
HALAMAN JUDUL ............................................................................ i
DAFTAR ISI ......................................................................................... ii
BAB

I

PENDAHULUAN ............................................................ 1

BAB

II

PEMBAHASAN ‘SISTEM PARTIKEL’.......................... 2

A. Pusat Massa ....................................................................... 2
B. Gerak Pusat Masa .............................................................. 4
C. Momentum Sudut, Tenaga Sinetik Sistem ........................ 5
D. Impuls Dan Momentum ..................................................... 7
E. Momentum Dan Tumbukan................................................ 8
BAB III PENUTUP ............................................................................ 12
A. Kesimpulan ..................................................................... 12
B. Daftar Pustaka .................................................................. 12

ii | P a g e

BAB I
PENDAHULUAN
Semua benda di bumi ini terdiri dari banyak partikel. Bahkan debu-pun terdiri
dari partikel-partikel. Semua yang ada di bumi ini dapat ditinjau dengan mekanika
newton. Hukum dasar mekanika terbukti mampu menjelaskan berbagai fenomena yang
berhubungan dengan sistem diskrit (partikel). Hukum dasar ini tercakup dalam
formulasi Hukum Newton tentang gerak. Pada bagian ini akan dibahas formulasi hukum
mekanika pada sistem partikel dan benda benda yang terdiri dari partikel yang kontinyu
(benda tegar).
Perbedaan mendasar antara partikel dan benda tegar adalah bahwa suatu partikel
hanya dapat mengalami gerak translasi (gerak lurus) saja, karena secara logika, jika
suatu partikel bergerak rotasi maka partikel itu tidak akan terlihat bergerak rotasi
melainkan akan tetap terlihat bergerak lurus saja. Hal ini dikarenakan partikel tersebut
sangat kecil. Sedangkan benda tegar selain dapat mengalami gerak translasi juga dapat
bergerak rotasi yaitu gerak mengelilingi suatu poros ataupun mengalami gerak
keduanya secara serempak yaitu translasi-rotasi.

1 |Page

BAB II
PEMBAHASAN ‘SISTEM PARTIKEL’
Sistem Partikel adalah sistem ataupun benda yang terdiri dari banyak partikel
(titik partikel) maupun benda yang terdiri dari partikel-partikel yang dianggap tersebar
secara kontinyu pada benda.
A. Pusat Massa
Pusat massa adalah lokasi rerata dari semua massa yang ada di dalam suatu
sistem. Istilah pusat massa sering dipersamakan dengan istilah pusat gravitasi, namun
demikian mereka secara fisika merupakan konsep yang berbeda. Letak keduanya
memang bertepatan dalam kasus medan gravitasi yang sama, akan tetapi ketika
gravitasinya tidak sama maka pusat gravitasi merujuk pada lokasi rerata dari gaya
gravitasi yang bekerja pada suatu benda. Hal ini menghasilkan suatu torsi gravitasi,
yang kecil tetapi dapat terukur dan harus diperhitungkan dalam pengoperasian satelitsatelit buatan.
Posisi pusat massa sebuah sistem banyak partikel didefinisikan sebagai berikut
r 2+ …+ ¿m r
mi r i
r⃗ pm=m1 r 1 +m 2 m + m +…+ m =∑ i M
¿.........(1)
1
2

n
n n

2 |Page

M =∑ mi .........

r i adalah posisi partikel ke-i di dalam sistem, dan.
Dengan ⃗

i

Lihat gambar di samping. Dengan mengganti

ri = ⃗
⃗
r pm + ⃗
r i di mana ⃗
r i adalah posisi partikel
ke-i relatif terhadap pusat massa, maka pers.

Menjadi

r⃗ pm=∑ i

mi ( r⃗ pm + r⃗ i )
∑ imi ⃗r i ....(3)
=⃗
r
+
pm
M
M

(2)
r⃗ pm=∑ i

mi ( r⃗ pm + r⃗ i )
∑ imi ⃗r i ........(4)
=⃗
r

+
pm
M
M

sehingga dapat disimpulkan bahwa

∑i mi ⃗r i=0

.......(5)

ρ ( r ) dv
r dm akanr menjadi
Bila bendanya bersifat kontinyu, maka menjadi fungsi r⃗pusat
massa
....(6)
pm=∫
M =∫ M
integral :
dengan dm adalah elemen massa pada posisir ⃗⃗ i

ρ ( r ) =rapat massa pada posisi r
dm= ρ ( r ) dv → elemen massa dalam

3 |Page

elemen volume pada posisi r

Jika diuraikan pada komponene x,y,z maka;
n

x pm=

n

m1 x 1
∑
i=1
M

, y pm=

n

m1 y 1
∑
i=1
M

, z pm=

m1 z 1 .........(7)
∑
i =1
M

Kecepatan masing-masing partikel penyusunnya;
n

v pm =

∑i mi v i ........(8)
M

B. Gerak Pusat Massa
Gerak pusat massa dapat diperoleh melalui definisi pusat massa. Kecepatan
pusat massa diperoleh dari derivatif persamaan pusat massa;
⃗v pm =

4 |Page

∑ i mi r⃗i .......(9)
M

Dari persamaan ini, setelah dikalikan dengan M, diperoleh
M ⃗v pm=∑ m i ⃗v i=∑ ⃗pi ..........(10)
i

i

Besaran M ⃗v pm yang dapat kita anggap sebagai momentum pusat massa, tidak lain

adalah total momentum sistem (jumlahan seluruh momentum partikel dalam sistem).
Dengan menderivatifkan pers.diatas terhadap waktu, diperoleh
d ⃗p
M ⃗a pm=∑ dt i =¿ ∑ ⃗
F i ¿ ........(11)
i
i
F i adalah total gaya yang bekerja pada partikel ke-i. Persamaan di atas
dengan ⃗
menunjukkan bahwa gerak pusat massa ditentukan oleh total gaya yang bekerja pada
sistem.
Gaya yang bekerja pada sistem dapat dikelompokkan menjadi dua jenis, gaya
internal yaitu gaya antar partikel di dalam sistem, dan gaya eksternal yaitu gaya yang
berasal dari luar sistem. Untuk gaya internal, antara sembarang dua partikel dalam
sistem, i dan j misalnya, akan ada gaya pada i oleh j dan sebaliknya (karena aksi-reaksi),
tetapi
⃗
F ij + ⃗
F ji =⃗
F ij −⃗

F ij =0 .........(12)
Sehingga jumlah total gaya internal pada sistem akan lenyap, dan
M ⃗a pm=∑ ⃗
F ieks= ⃗
F eks .........(13)
i

Jadi gerak pusat massa sistem hanya ditentukan oleh total gaya eksternal yang bekerja
pada sisem. Ketika tidak ada gaya eksternal yang bekerja pada suatu sistem, maka
d
⃗p i=0 ........(14)
dt ∑
i
5 |Page

Atau berarti total momentum seluruh partikel dalam system konstan,
C. Momentum Sudut, Tenaga Kinetik Sistem
Vektor posisi dan kecepatan partikel ke- i dalam sistem banyak dapat dinyatakan
sebagai;
r⃗i=⃗r pm+ ⃗r ipm
dan
⃗vi =⃗v pm + ⃗vipm
Dimana dan masing- masing adalah vektor posisi dan kecepataan partikel ke- i
terhadaap pusat massa. Dari persamaan- persamaan (1), (5), (14) diperoleh

∑ mi ⃗r i=0⃗ ..........(15)
Dan

∑ mi ⃗v i=0

...........(16)

Persamaan (15) dan (16) menyatakan bahwaa vektor posisi dan kecepatan sistem
terhadap pusat massanya ( terhadap dirinya sendiri) adalah nol.
Momentum sudut sistem banyak partikel dirumuskan sebagai,

⃗
L=∑ ⃗r i x mi ⃗v i ........................(17)
⃗
L=⃗r ipm x M ⃗v pm+ ∑ ⃗r ipm x mi ⃗v ipm......(18)
Suku pertama ruas kanan persamaan berasal dari gerak pusat massanya, sering disebut
momentum sudut orbital atau lintasan, dan suku keduanya berasal dari gerak partikelpartikel penyusun terhadap pusat massanya, sering disebut momentum sudut spin.

6 |Page

Apabila ada torsi ( moment gaya) eksternal yang bekerja pada sistem makaa berlaku
persamaan,
τ eks=∑ ⃗τ i= ⃗
L´ ...............(19)
Yang berarti pula jika resultan torsi eksternal nol, maka momentum sudutnya kekal,
sebagai hukum kekekalan momentum sudut.
Tenaga kinetik sistem banyak partikel didefinisikan sebagai,
1
K=∑ K i=∑ mi (⃗v j . ⃗v i)
2

.................(20)

Dengan persamaan (13) (14) (16) tenaga kinetik sistem dirumuskan menjadi,
1
1
K= M v pm + ∑ m i v ipm ................(21)
2
2
Atau
K= K pm+ K (pm)

...................(22)

Merupakan penjumlahan dari tenaga kinetik pusat massa dan tenaga kinetik partikelpartikel penyusun terhadap pusat massanya.

D. Impuls dan Momentum
Dalam suatu tumbukan, misalnya bola yang dihantam tongkat pemukul, tongkat
bersentuhan dengan bola hanya dalam waktu yang sangat singkat, sedangkan pada
waktu tersebut tongkat memberikan gaya yang sangat besar pada bola. Gaya yang
cukup besar dan terjadi dalam waktu yang relatif singkat ini disebut gaya impulsif.

7 |Page

Dari hukum ke-2 Newton diperoleh
F=

dp
dt
tf

pf

∫ti Fdt =∫pi dp
tf

I =∫ Fdt=∆ P=impuls
ti

Dilihat dari grafik tersebut, impuls dapat dicari dengan menghitung luas daerah di
bawah kurva F(t) (yang diarsir). Bila dibuat pendekatan bahwa gaya tersebut konstan,
yaitu dari harga rata-ratanya, Fr , maka

I =F r ∆ t=∆ p
F r=

I ∆p
=
∆t ∆t

“ Impuls dari sebuah gaya sama dengan perubahan momentum partikel “.

E. Kekekalan Momentum dalam Tumbukan

V1
8 |Page

V
2

m2

m1

bertumbuka

v 1'

v 2'

F 12

F 21

m1
m2

Dua buah partikel saling bertumbukan. Pada saat bertumbukan kedua partikel
saling memberikan gaya (aksi-reaksi), F12 pada partikel 1 oleh partikel 2 dan F21 pada
partikel 2 oleh partikel 1.
Perubahan momentum pada partikel 1 :
tf

∆ p1=∫ F 12 dt=F r 12 ∆ t
ti

Perubahan momentum pada partikel 2 :
tf

∆ p2 =∫ F 21 dt=F r 21 ∆t
ti

Karena F21 = - F12 maka Fr21 = - Fr12 oleh karena itu

p1 = - p2

Momentum total sistem : P = p1 + p2 dan perubahan momentum total sistem :

∆ P=∆ P1 +∆ P2
“Jika tidak ada gaya eksternal yang bekerja, maka tumbukan tidak mengubah
momentum total sistem”.
selama tumbukan gaya eksternal (gaya grvitasi, gaya gesek) sangat kecil
dibandingkan dengan gaya impulsif, sehingga gaya eksternal tersebut dapat diabaikan.

9 |Page

Tumbukan Satu Dimensi
a) Tumbukan Lenting Sempurna
Tumbukan biasanya dibedakan dari kekal-tidaknya tenaga kinetik selama proses.
Bila tenaga kinetiknya kekal, tumbukannya bersifat elastik. Sedangkan bila tenaga
kinetiknya tidak kekal tumbukannya tidak elastik. Dalam kondisi setelah tumbukan
kedua benda menempel dan bergerak bersama-sama, tumbukannya tidak elastik
sempurna.
Sebelum Tumbukan
m1

Sesudah Tumbukan

m2
v1

m1
v2

Dari Kekekalan Momentum :
m1.v1 + m2.v2 = m1v’1 + m2v’2
Dari kekekalan tenaga kinetik :
1
1
1
1
2
2
2
2
2 m1 v1 + 2 m2 v2 = 2 m1v’1 + 2 m2v2’
Koefisien restitusi e=1

e=

−( v '❑1 −v ' ❑
2 )
❑
(v 1−v 2 )
b) Tumbukan Tidak Lenting Sama Sekali
Dari kekekalan momentum :
V1 >
v2

10 | P a g e

v’1

m2
v’2

m1

m2
v1

m 1+m 2
v'

v2
m1 v1 + m2 v2 =( m1+ m2 ) v’

dengan koefisien restitusi e = 0. Kekekalan tenaga mekanik tidak berlaku,
berkurang/bertambahnya tenaga mekanik ini berubah/berasal dari tenaga potensial
deformasi (perubahan bentuk).
c) Tumbukan Lenting Sebagian
Setelah tumbukan kedua benda berpisah, energi kinetik hilang dan
momentum tetap. Dari kekekalan momentum :
m1 v1 + m2 v2 = m1v’1 + m2v’2
dengan koefisien restitusi 0 ≤ e ≤1

Tumbukan Dua Dimensi
y

11 | P a g e

sesudah

sebelum

bertumbukan
m1
v’1

m

θ1
θ2

Dari kekekalan momentum , untuk komponen gerak dalam arah x :

x

m2 v’2

m1v1 + m2v2 = m1(v’1 cos 1)+ m2(v’2 cos 2)
untuk komponen gerak dalam komponen y :
1

= m1v’1 sin 1- m2v’2 sin 2

Dalam tumbukan dua dimensi juga terdapat tumbukan lenting sempurna,lenting
sebagian, dan tidak lenting sama sekali.Bila dianggap tumbukannya lenting :
1
2
2 m1 v1

12 | P a g e

1
1
1
+ 2 m2 v22 = 2 m1v’12 + 2 m2v2’2

BAB III
KESIMPULAN
 Sistem banyak partikel adalah sistem ataupun benda yang terdiri dari banyak
partikel (titik partikel) maupun benda yang terdiri dari partikel-partikel yang
dianggap tersebar secara kontinyu pada benda.
 Posisi pusat massa sebuah sistem banyak partikel didefinisikan sebagai berikut
r 2+ …+ ¿m r
mi r i
r⃗ pm=m1 r 1 +m2 m + m +…+ m =∑ i M
¿
1
2
n
n n

 Momentum sudut sistem banyak partikel dirumuskan sebagai,
o ⃗
L=∑ ⃗r i x mi ⃗v i ,

⃗
L=⃗r ipm x M ⃗v pm+ ∑ ⃗r ipm x mi ⃗v ip m

 Impuls dari sebuah gaya sama dengan perubahan momentum partikel


I =F r ∆ t=∆ p,

F r=

I ∆p
=
∆t ∆t

 Tumbukan dapat dibagi menjadi tiga yaitu tumbukan lenting sempurna,
tumbukna lenting sebagian, dan tumbukan tidak lenting sama sekali.

DAFTAR PUSTAKA
o Riyanto.http//riyanto.wordpress.com. diakses pada tanggal 19 november
2010
o Supliyadi.2009.Fisika program IPA.jakarta: Grasindo
o Sistem partikel pdf.www.google.com. diakses pada tanggal 19 november
2010

13 | P a g e