Mengenal Trigonometri Lebih Dalam tentang

Kata Pengantar
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena dengan pertolonganNya
kami dapat menyelesaiakan makalah yang berjudul ‘Rumus-rumus segitiga’. Meskipun
banyak rintangan dan hambatan yang kami alami dalam proses pengerjaannya, tapi kami
berhasil menyelesaikannya dengan baik.
Tak lupa kami mengucapkan terimakasih kepada guru pembimbing yang telah membantu
kami dalam mengerjakan proyek ilmiah ini. Kami juga mengucapkan terima kasih kepada
teman-teman kelompok yang juga sudah memberi kontribusi baik langsung maupun tidak
langsung dalam pembuatan makalah ini.
Tentunya ada hal-hal yang ingin kami berikan kepada para siswa lain dari hasil makalah ini.
Karena itu kami berharap semoga makalah ini dapat menjadi sesuatu yang berguna bagi kita
bersama.
Pada bagian akhir, kami akan mengulas tentang berbagai masukan dan pendapat dari orangorang yang ahli di bidangnya, karena itu kami harapkan hal ini juga dapat berguna bagi kita
bersama.
Semoga makalah yang kami buat ini dapat membuat kita mencapai kehidupan yang lebih
baik lagi.

Makassar, 24 Oktober 2014

Tim Penyusun

1.
I.

Penentuan unsur segitiga sembarang
Aturan Sinus (Rumus Sinus)

A. Contoh-contoh untuk pengantar.
B

B

B
15

6
130
40
C

A

35

80
A

(i)

20

C

A

C

(iii)

(ii)

Jawaban:

∠ A=35 ° , ∠C=90 ° dan sisi c =15

1. Pada gambar (i):

a) Apakah data itu cukup untuk dapat melukis segitiga tersebut?
Cukup, karena besar salah satu sudut Segitiga ABC tersebut 90 (yaitu
sudut lainnya diketahui.

∠ C ) dan

b) Jika a, b, dan c masing-masing adalah rusuk-rusuk didepan sudut A, B,dan C, hitunglah a
dan b
Jawab:
a = c sin
b=

35 ° = 15 sin 35 ° = 8,6

√ c 2−a2

=

2. Pada gambar (ii):

√ 152−(8,6)2

=12,29

∠ A=80° , ∠C=40 ° dan sisi c = 6

a) Apakah data itu cukup untuk dapat melukis segitiga tersebut?
Jawab:
Cukup, karena satu rusuk dan dua sudutnya diketahui
B

6
40

80

C

A

Q

b) Bagaimana cara menghitung panjang BQ, BC, AQ, QC, dan AC?
Jawab:
i.

80 ° = 5,9
BQ
BC =
=
sinC

BQ =AB sin A = 6 sin

ii.

BQ
BC

iii.

AQ =

√( AB)2−( BQ)2

=

√ 62−(5,9)2

iv.

QC =

√( BC )2−( BQ)2

=

√(9,2)2−( 5,9)2

v.

AC = AQ + QC = 1,09 + 7,06 = 8,15

= sin C

3. Pada gambar (iii):

5,9
sin 40 °

= 9,2

= 1,09
= 7,06

∠ A=130 ° , ∠C=20 ° dan sisi c = 8

B
8
20
C

130

50
A

P
Perhatikan gambar di atas:
i.

Pandang segitiga APB;

∠ P=90 °

dan

∠ A=180 °−130 °=50° , maka :

50 ° = 8 sin 50 ° = 6,13

BP =AB sin
ii.

Pandang segitiga BPC: ;

BQ
BC

= sin C

∠ P=90 °
BQ
sin20

BC =

dan
=

∠ c=20 ° , maka :

6,13
sin20 °

= 17,92

Jadi, a = BC= 17,92.
PC =

√(BC )2−( BP)2

=

√(17,92)2−(6,13)2

= 16, 84

Jadi, b = PC- PA= 16,84 – 5,14 = 11,7.
II.

Aturan Sinus dan pembuktiannya

Pada segitiga di atas berlaku

Pembuktian
A

i.

c

b

C
M
a

B

Sudut lancip C ; perhatikan gambar di atas
Pada segitiga ACM; AM = AC sin C = b sin C
Pada segitiga ABM; AM = AB sin B = c sin B

b
sin B

Jadi, b sin C = c sin B atau

c
sinC

=

Dengan cara yang sama, yaitu menggambar garis dari titik C tegak lurus AB,
didapatkan:

a
sin A

Maka:

b
sin B

=

a
sin A

=

A

ii.

c

b

a
B

M

C

Sudut tumpul C; perhatikan gambar diatas
Pada segitiga ACM; AC sin

∠ ACM

= b sin (180 °−C ¿=b sin C

Pada segitiga ABM; AM = AB sin B = c sin B
Jadi, b sin C = c sin B atau

b
sin B

=

c
sinC

Dengan cara yang sama, yaitu menggambar garis dari titik C tegak lurus AB, didapatkan:

a
b
=
sin aA
sin B
Maka:
=
sin A
Contoh soal:
1) Carilah panjang x pada gambar disamping.
jawab :

x
20 cm

Dengan menemukan x, kita pergunakan aturan, diperoleh:

sin30 ° sin 135°
=
20
x
x ∙ sin 30° =20 sin 135°

1
1
x ∙ =20 ∙ √2
2
2
x=20 √ 2cm .
2) Tentukan besar sudut C pada segitiga berikut!

Pembahasan
Data
AC = 5/3 √6 cm
BC = 5 cm
Dari data yang ada bisa ditentukan besar sudut B terlebih dahulu

135

30

Jumlah sudut segitiga adalah 180°sehingga besar sudut C adalah
∠C = 180 − (60 + 45) = 75°
3) Perhatikan gambar segitiga di bawah ini!

Tentukan perbandingan panjang sisi AB dan BC!
Pembahasan
Pada segitiga berlaku:

Sehingga perbandingan AB : BC = √2 : √3
4) Segitiga PQR dengan sisi-sisinya adalah p, q dan r. Jika p = 16 cm, r = 8√2 cm
dan ∠ R = 30° tentukan besar ∠ P !
Pembahasan
Segitiga PQR

Berlaku aturan sinus

III.

Aturan Kosinus dan Pembuktiannya.
Untuk segitiga sembarang ABC berlaku:
2

2

2

c =a + b −2 ab cos C

a2=b2 +c 2−2 bc cos C
2

2

2

b =a +c −2 ac cos C

A

c

b
P

B

M

a-x

C

x

Bukti :
Sudut lancip C, pada gambar diatas
AM dilukis tegak lurus BC.
MIsalkan AM = p dan MC = x.
Pada segitiga ACM,

AC 2= AM 2 + MC 2 (Teorema Pythagoras)
b2= p 2+ x 2 (1)

Pada segitiga ABM,

AB 2 =AM 2 +BM 2 (Teorema Pythagoras)
c 2= p2 +(a−x )2
2

2

2

c = p +a −2 ax+ x

2

c 2=a 2+ ( p 2+x 2 )−2ax

(2)

Subsitusikan Persamaan (1) ke persamaan (2), dan
x = MC = AC cos C = b cos C, maka Persamaan (2) menjadi:

c 2=a 2+ b2−2 ab cos C

A

c

B

b

C

a

p

x

M

Sudut lancip C, pada gambar diatas
AM dilukis tegak lurus dengan perpanjangan BC.
MIsalkan AM = p dan CM = x.
Pada segitiga ACM,

2

2

AC = AM + MC

2

(Teorema Pythagoras)

b2= p 2+ x 2 (1)
x = CM = AC cos ∠ ACM
= b cos (180 °−C ¿
Pada segitiga ABM,

2

2

AB =AM +BM

2

(2)

(Teorema Pythagoras)

c 2= p2 +(a−x )2
2

2

2

c = p +a −2 ax+ x

2

c 2=a 2+ ( p 2+x 2 )−2ax

(3)

Subsitusikan Persamaan (1) dan persamaan (2) ke persamaan (3), maka diperoleh,
2

2

2

c =a + b −2 ab cos C
Dengan cara yang sama untuk dua keadaan itu dapat dibuktikan bahwa:
2

2

2

a =b +c −2 bc cos C

dan

2
2
2
b =a +c −2 ac cos C .

Untuk menghitung besar sudut suatu segitiga jika diketahui panjang ketiga rusuknya,
digunakan aturan kosinus dalam bentuk berikut.

cos A=

b2+ c 2−a2
2bc

cos B=

a2 + c2−b2
2 ac

cos C=

a2 +b2 −c 2
2ab

Contoh soal:
1.

Penyelesaian:

2.

Jawab:

3.

Jawab:

2. Luas segitiga dan segin-n beraturan
Untuk menghitung luas segitiga, secara umum kita menggunakan formula berikut :

Luas segitiga =

1
×alas ×tinggi
2

2.1 Menentukan Luas segitiga jika Diketahui Ketiga
titik sudutnya
Luas segitiga ABC dengan titik sudutnya, A(X1,Y1), B(X2,Y2) dan C(X3,Y3)
dapat dijabarkan sebagai berikut.

Y
C
B
A

0

D

E

F

X

Luas ∆ ABC=Luas DACE+ Luas ECBF−Luas DABF

¿

1
( Y +Y ) ( X − X 1 ) + ( Y 2 +Y 3 ) ( X 2− X 3 )−( Y 1+Y 2) (X 2− X 1)]
2[ 1 3 3

Jadi luas

∆ ABC

¿

1
( X Y + X Y + X Y ) −( X 2 Y 1 + X 3 Y 2 + X 1 Y 3)|
2| 1 2 2 3 3 1

Bentuk di atas sangat sulit untuk mengingatnnya, untuk mengatasi hal tersebut kita ubah ke
bentuk baris berikut ini.
A

B

|

1 X

C

X

D

X X

|

Luas ∆ ABC = 2 Y 1 Y 2 Y 3 Y 4
1
2
3 4
(-) (-) (-)

(+) (+) (+)

2.2 Menentukan luas segi empat jika diketahui
keempat titik sudutnya
Analog dengan penentuan luas segitiga, maka luas segi empat dengan titik-titik
sudut (X1,Y1), (X2,Y2) dan (X3,Y3) , dan (X4,Y4) ditentukan oleh :

|

(-)

(-) (-) (-)

|

1 X X X X X
Luas segi empat= 2 Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 1
1
2
3 4 1

(+) (+)
Jadi luas segi empat

X2Y 1+ X3 Y 2+ X 4Y 3+ X1Y 4
( X 1 Y 2 + X 2 Y 3+ X 3 Y 4 + X 4 Y 1 ) −¿
1
¿ ¿
2

(+)

(+)

Contoh :

∆ ABC dengan A(1,2) , B(6,12) dan C(x,y) mempunyai luas 15 satuan luas. Carilah
hubungan x dan y.

(-)

Jawab:

Luas ∆ ABC=

(-) (-)

|

|

1 1 6 x1
2 2 12 y 2
(+)

15 =

(+)

(+)

1
|12+6 y +2 x−12−12 x − y|
2

∴ y=2 x+ 6

2.3 Menentukan luas segitiga jika diketahui dua rusuk
dan satu sudut (RRS)

A

Perhatikan gambar berikut :

A
c

b

C

B

M
a

C

B

a

b

C

M

(b)
Pada gambar (a)

AM = AC sin C=b sin C , atau

Pada gambar (b)

AM = AC sin ( 180 °−C )=b sin C .

Luas segitiga ABC =

1
×alas ×tinggi
2
=

1
× BC × AM
2

=

1
ab sin C
2

Dengan cara yang saa diperoleh:
Luas

1
1
∆ ABC= ac sin B dan luas ∆ ABC= bc sin A
2
2

Contoh :
Tentukan luas

∆ ABC apabila diketahui ∠ A=30 ° , b=4 cm , dan

c=15 cm .
Jawab :

1
Luas ∆ ABC= bc sin A
2
1
¿ .4 cm.15 cm . sin30
2
¿ 15 cm

2.4

2

Menentukan Luas segitiga jika diketahui dua
sudut dan satu rusuk (RSS)

C

b

a

A

c

Dengan aturan sinus diperoleh :

b=

asin B
a sinC
dan c=
sin A
sin A

1
Luas ∆ ABC= bc .sin A
2
¿

1 a sin B
2 sin A

(

)( asinsinAC ) . sin A

1 a2 . sin B . sinC
¿ .
2
sin A
2

1 a . sin B . sin C
¿ .
2 sin(180−( B+C ) )
2

¿

a . sin B. sin C
2 sin( B+C)

Dengan cara yang sama diperoleh :

B

Luas ∆ ABC=

b2 sin A sinC
dan
sin( A+C)

Luas ∆ ABC=

C2 sin A sin B
sin( A +B)

Jadi ,

a2 . sin B . sinC
Luas ∆ ABC=
2 sin ( B+C )
2

b sin A sinC
Luas ∆ ABC=
dan
sin( A+C)
Luas ∆ ABC=

C2 sin A sin B
sin( A +B)

Contoh :

∆ ABC jika diketahui ∠ B=60 ° ,∠ C=30 ° dan a=8cm.

Tentukan luas
Jawab :

Luas ∆ ABC=

¿

a2 sin B sin C
2sin (B+ C)

8 2 sin 60 ° sin30 °
2sin ( 60 ° +30 ° )

= 8√3
Jadi luas

2.5

∆ ABC=8 √ 3 cm

3

Menentukan Luas segitiga jika diketahui dua sudut
dan satu rusuk (RRR)
B

A

c

cx
Dd

a

C

b
Perhatikan

∆ ABC

⊥ AC ; BD = d; DC ¿ x

BD

x

AD = bPada

2

2

∆ BCD :a =d + x

2

x=√ a2−d 2
Pada

2

2

2

∆ ABD :c =d +(b− x)

2 2

c =d +(b− √ a −d )
2

2

2

c =d +b −2 b √a −d +a −d
2

2

2

2

2

2

2

2 b √ a2−d 2=a2+ b2−c2
4 b2 ( a2−d2 ) =(a2+ b2−c2 )2 (kedua ruas dikuadratkan)
4 a2 b2−4 b2 d 2=( a2 +b2 −c 2)2
2

2

2

2

2

2

2 2

4 b d =4 a b −( a +b −c )

4 b2 d 2={( a+b)2−c2 }{ c2 −(a−b)2 }
4 b2 d 2=( a+b+ c )( a+b−c )( c +a−b ) (c−a+ b)

d=

1
√ ( a+ b+c ) ( a+b−c ) ( c+ a−b ) (c−a+b)
2b

1
∆ ABC= . b . d
2

Luas

1
1
¿ .b .
√ ( a+b+ c )( a+ b−c )( c +a−b )( c−a+b )
2
2b
¿

1
√( a+b+c ) ( a+b−c ) ( c +a−b ) ( c−a+ b )
4
a+b +c=2 s

Misal

⇔ ( a+ b−c )=2 ( s−c ) ;

( c +a−b )=2 ( s−b ) ;
( c−a+ b )=2 ( s−a ) ;
Maka luas

∆ ABC=

1
√ 2 b .2 ( s−c ) .2 ( s−b ) .2( s−a)
4

¿ √ s ( s−a ) ( s−b )( s−c )
Luas ∆ ABC=√ s ( s−a )( s−b ) ( s−c )
1
1
Dengan s= ( a+ b+c )= keliling ∆ ABC
2
2
Hitunglah luas ∆ ABC apabila a=6cm, b=5 cm, c=9cm.
Contoh

Jawab :

1
1
s= ( a+ b+c )= ( 6+ 5+9 )=10
2
2
s−a=10−6=4

s−b=10−5=5
s−c=10−9=1
Luas

∆ ABC=√ S ( S− A )( S−B )( S−C)

=

√ 10.4 .5 .1
¿ √ 200
¿ 10 √ 2

Jadi luas

2

∆ ABC=10 √ 2 cm