Pemodelan Pohon Skenario Untuk Program Stokastik Tahap Ganda

PEMODELAN POHON SKENARIO UNTUK
PROGRAM STOKASTIK TAHAP GANDA

TESIS

Oleh

RUSLI TARIGAN
097021007/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

PEMODELAN POHON SKENARIO UNTUK
PROGRAM STOKASTIK TAHAP GANDA

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara

Oleh

RUSLI TARIGAN
097021007/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis

: EMODELAN POHON SKENARIO UNTUK
PROGRAM STOKASTIK TAHAP GANDA
Nama Mahasiswa : Rusli Tarigan
Nomor Pokok
: 097021007
Program Studi
: Matematika

Menyetujui,
Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Ketua

(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)
Anggota

Ketua Program Studi,

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 16 Juni 2011

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada
Tanggal 16 Juni 2011

PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua

:

Prof. Dr. Herman Mawengkang

Anggota

:

1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Prof. Dr. Tulus, M.Si
3. Dra. Mardiningsih, M.Si

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Program stokastik multi tahap yang terdiri dari representasi aproksimasi dari
proses input stokastik (multivariat) dapat diselesaikan dengan membentuk pohon scenario. Dalam tesis ini pendekatan maju dan pendekatan mundur dikembangkan untuk menghasilkan pohon skenario dari fan skenario-skenario awal. Kedua pendekatan ini dimotivasi oleh hasil stabilitas untuk nilai optimal dari program stokastik multitahap. Kedua pendekatan ini didasarkan pada batas atas
untuk kedua unsur relevan taksiran stabilitas yaitu probabilistik dan jarak filtrasi.
Batasan-batasan memungkinkan untuk dapat mengontrol proses reduksi skenario
rekursif dan pencabangan.
Kata kunci : Skokastik, Program multi-tahap, Stabilitas, Filtrasi, Pohon skenario

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

The program of stochastic in multi-phase comprising the representation of approximation by stochastic input process in multi-variant can be settled with producing
a scenario tree. In this study, both forward and backward approaches is allowable
to generate the scenario tree from earlier scenarios fan. This all approaches have
been motivated by result of stability for an optimal point from program of multiphase stochastic. This both approaches is based on upper limit on both relevant
term in stability assessment namely probabilistic and filtration distance. Prohibits
is allowable to control process reduction of recursive scenarioand grafting.
Keywords : Stochastic, Multi-phase program, Stability, Filtration, Scenario tree

ii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa yang
telah memberikan rahmat dan karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan
penyusunan tesis yang berjudul : ”Pemodelan Pohon Skenario Untuk Program
Stokastik Tahap Ganda”.

Tujuan dari penulisan tesis ini adalah untuk memenuhi salah satu syarat
dalam memperoleh gelar Magister Sains (M.Si) pada program studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera
Utara Medan.
Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
memberi bantuan yang sangat berharga dalam penyusunan tesis ini. Dan secara
khusus ucapan ini disampaikan kepada :
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc (CTM) Sp. A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara Medan.
Bapak Prof. Dr. Ir. A. Rahim Matondang, MSIE selaku Direktur Sekolah Pasca
Sarjana Universitas Sumatera Utara Medan.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Medan.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister
Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan juga selaku pembimbing I
serta Bapak Prof. Dr. Opim Salim S. M.Sc selaku pembimbing II yang telah
banyak memberi bantuan berupa saran dalam penulisan tesis ini.
Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberi saran dan motivasi selama perkuliahan sehingga penulis dapat menyelesaikan perkuliahan tepat waktu.
Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si selaku Dosen
Pembanding yang telah banyak memberi kritik dan saran serta bantuan dan motivasinya dalam penulisan tesis ini.
iii
Universitas Sumatera Utara

Bapak Dirjen DIKTI yang telah memberikan beasiswa BPPS kepada penulis.
Bapak Koordinator Kopertis Wilayah I Sumatera Utara yang telah memberi izin
kuliah di SPs Universitas Sumatera Utara Medan.
Seluruh staf administrasi SPs USU, Ibu Misiani, S.Si yang telah memberi pelayanan
yang baik kepada penulis.
Bapak Ketua Yayasan dan Ketua Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan
(STKIP) Budidaya Binjai yang telah mendorong semangat dalam mengikuti perkuliahan di SPs Program Studi Magister Matematika USU Medan.
Kedua orang tua penulis S. Tarigan (Alm) dan K. Br. Sitepu yang telah mendoakan
penulis dalam menyelesaikan perkuliahan.
Istri dan anak-anak tercinta yang telah memberi dorongan dengan penuh kesabaran
semoga anak-anakku dapat lebih berprestasi dari orang tua.
Serta semua pihak yang telah turut membantu dalam perkuliahan dan penulisan
tesis ini hingga selesai. Kiranya tesis ini bermanfaat, semoga.
Medan, 16 Juni 2011
Penulis,

Rusli Tarigan

iv

Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP

Rusli Tarigan dilahirkan di Telagah Kecamatan Sei Bingai Kabupaten Langkat
pada tanggal 6 Agustus 1956 merupakan anak pertama dari S. Tarigan (Alm) dan
K. Br. Sitepu. Masuk sekolah dasar di SD Negeri Bekancan dan setelah duduk di
kelas VI pindah ke SD Negeri 11 Binjai dan tamat pada tahun 1969, melanjutkan
pendidikan ke SMP Negeri 1 Binjai tamat pada tahun 1972, kemudian melanjutkan pendidikan ke SMA Negeri 1 Binjai dan tamat pada tahun 1975. Pada
tahun 1976 melanjutkan pendidikan ke Fakultas Ilmu Pasti dan Ilmu Pengetahuan
Alam (FIPIA) Universitas Sumatera Utara yang sekarang Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara. Pada tahun
1981 mendapat gelar Baccalaureat lengkap dan memperoleh gelar Sarjana Muda
(B.Sc) dan terus melanjutkan studi ke tingkat doctoral.
Pada tahun 1985 penulis menikah dengan R. Br. Ginting dan sampai saat ini
dikaruniai dua orang anak Elianna Merysna Br. Tarigan,SE dan David Jonathan
Tarigan, ST.
Pada tahun 1988 penulis menyelesaikan studi dan memperoleh gelar sarjana
(S1).
Pengalaman mengajar dari tahun 1978 sampai 1992 di berbagai sekolah swasta

di Kotamadya Binjai dan Kabupaten Langkat dan pada tahun 1993 diangkat menjadi CPNS di Kopertis Wilayah I Sumatera Utara dan sampai saat ini sebagai
dosen DPK diperbantukan di STKIP Budidaya Binjai.
Pada tahun 2009 mengikuti pendidikan di SPs Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara Medan dengan program beasiswa dari BPPS
dan selesai pada tahun 2011.

v
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK

i

ABSTRACT

ii

KATA PENGANTAR

iii

RIWAYAT HIDUP

v

DAFTAR ISI

vi

DAFTAR TABEL

vii

DAFTAR GAMBAR

viii

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Perumusan Masalah

3

1.3 Tujuan Penelitian

4

1.4 Manfaat Penelitian

4

1.5 Metodologi Penelitian

4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

5

BAB 3 PROGRAM STOKASTIK

10

3.1 Pengertian Program Stokastik

10

3.2 Jarak dan Reduksi Skenario

12

3.3 Stabilitas model multi-tahap

17

BAB 4 MENAKSIR JARAK FILTRASI

20

BAB 5 KESIMPULAN

28

DAFTAR PUSTAKA

29
vi
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR TABEL

Nomor

Judul

Halaman

vii
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR GAMBAR

Nomor

Judul

Halaman

viii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Program stokastik multi tahap yang terdiri dari representasi aproksimasi dari
proses input stokastik (multivariat) dapat diselesaikan dengan membentuk pohon scenario. Dalam tesis ini pendekatan maju dan pendekatan mundur dikembangkan untuk menghasilkan pohon skenario dari fan skenario-skenario awal. Kedua pendekatan ini dimotivasi oleh hasil stabilitas untuk nilai optimal dari program stokastik multitahap. Kedua pendekatan ini didasarkan pada batas atas
untuk kedua unsur relevan taksiran stabilitas yaitu probabilistik dan jarak filtrasi.
Batasan-batasan memungkinkan untuk dapat mengontrol proses reduksi skenario
rekursif dan pencabangan.
Kata kunci : Skokastik, Program multi-tahap, Stabilitas, Filtrasi, Pohon skenario

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

The program of stochastic in multi-phase comprising the representation of approximation by stochastic input process in multi-variant can be settled with producing
a scenario tree. In this study, both forward and backward approaches is allowable
to generate the scenario tree from earlier scenarios fan. This all approaches have
been motivated by result of stability for an optimal point from program of multiphase stochastic. This both approaches is based on upper limit on both relevant
term in stability assessment namely probabilistic and filtration distance. Prohibits
is allowable to control process reduction of recursive scenarioand grafting.
Keywords : Stochastic, Multi-phase program, Stability, Filtration, Scenario tree

ii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Program stokastik multiperiode sering digunakan untuk memodelkan proses
keputusan praktis seiring berjalannya waktu dan dengan ketidakpastian, misalnya
dalam keuangan, produksi, energi dan logistik. Inputnya adalah proses stokastik
T

multivariat {ξt }t=1 yang didefenisikan atas ruang probabilitas (ΩFP ) di mana Ω
adalah himpunan ruang sampel,F adalah σ - field dan P adalah peluang dengan ξt
mengambil nilai Rd . Keputusan xt pada t yang merupakan elemen dari Rmt diasumsikan nonantisipatif, yaitu hanya tergantung pada (ξ1 , . . . , ξt ). Sifat ini ekuivalen
dengan keterukuran xt terhadap σ-field F1 ⊆ F, yang dihasilkan oleh ξ t ; = ξt ).
Yang jelas, diperoleh F1 ⊆ Ft+1 untuk t = 1, . . . T − 1. Karena pada waktu t = 1
input diketahui, diasumsikan bahwa Ft = {∅, Ω} dan, tanpa kehilangan keumuman
bahwa FT = F. Pflug, (2001)
Program stokastik multiperiode diasumsikan berbentuk:




" T
#

 X
E
hbt (ξt ), xt i


t−1







x
∈
X
 t

t,




 xt adalah Ft − terukur, t = 1, .....T,





 At,0xt + At−1 (ξ) xt−1 = ht (ξt ), t = 2, ....T 

(1.1)

dimana himpunan bagian Xt dan Rmt adalah tak kosong dan polyhedral koefisien
biaya b1(ξt ) merupakan elemen dari {R}mt , ruas kanan ht (ξt ) adalah matriks(nt , m−1). Diasumsikan bahwa bt(.), ht (.) dan at , 1(.) tergantung affine linier pada
ξt yang mencakup situasi bahwa sebagian komponen dari bt dan ht, dan elemenelemen dari At,1adalah acak. Eichhorn et al. (2005)
Walaupun kelompok batas pertama dan ketiga dalam (1.1) harus dipenuhi
titik demi titik dengan probabilitas 1, kelompok kedua, ketekunan, batasan filtrasi
atau informasi, adalah fungsional dan bukan titik demi titik setidaknya jika T > 2
dan F1 ⊆ F1 ⊆ FT untuk suatu 1 < t < T . Dalam kasus yang disebut terakhir (1.1)
1
Universitas Sumatera Utara

2
disebut tahap-ganda. Keberadaan batasan-batasan yang berbeda secara kualitatip
sedemikian merupakan asal dari tantangan teoritis dan tantangan perhitungan dari
model tahap-ganda.
Pendekatan perhitungan utama terhadap program stokastik tahap-ganda terdiri dari aproksimasi proses stokastik ξ = {ξt }Tt=1 dengan proses yang mempunyai
skenario yang banyaknya berhingga yang menunjukkan struktur pohon dan dimulai pada elemen tetap ξ1 dari Rd . Ini menghasilkan model program linier yang
berskala sangat besar dalam sebagian besar kasus dan bisa diselesaikan dengan
metode dekomposisi yang mendeksploitasi struktur spesifik model. Ruszczynski
dan Shapiro (2003).
Sekarang ini, ada beberapa pendekatan untuk menghasilkan tree skenario untuk program stokastik multi tahap. Terdapat beberapa Pendekatan untuk menghasilkan pohon skenario untuk program stokastik tahap ganda. Pendekatan tersebut didasarkan pada beberapa prinsip yang berbeda, yaitu :
1. Kontruksi berbasis batas.
2. Skema berbasis-Monte Carlo atau metode berbasis-EVPI dalam skema dekomposisi.
3. Prinsip sampel dan reduksi berbasis-EVPI dalam skema dekomposisi.
4. Prinsip pencocokan momen.
5. Aproksimasi berbasis metrik probabilitas.
Banyak diantaranya mengharuskan penetapan struktur tree dan menawarkan strategi
yang berbeda untuk pemilihan skenario. Juga pentingnya mengevaluasi kualitas
tree skenario dan analisa pascaoptimalitas.
Dalam tesis ini dikaji dan diperluas teknik pengembangan tree skenario .
Growe Kuska et al. (2003). Idenya adalah untuk mengawali dengan aproksimasi
awal yang bagus atas proses input stokastik utama ξ yang terdiri dari fan ξˆ dari
skenario-. Skenario-skenario ini bisa diperoleh dengan teknik pengambilan sampel
atau pengambilan sampel ulang yang didasarkan pada model stokastik parametric

Universitas Sumatera Utara

3
ˆ dikembangkan ξtr dengan
atau non parametric dari ξ. Dengan berawal dari ξ,
menghapus dan membendel skenario-skenario secara rekursif. Walaupun metode
rekursif yang dibahas dalam Growe Kuska et al. (2003) bekerja mundur dalam
waktu, metode maju ada diajukan dalam Heitsch dan Romisch (2003). Tujuan
dari tesis ini ada dua:
1. Untuk kedua (mundur dan
maju)
teknik pengembangan tree diperoleh tak

siran error untuk jarak Lr
ξˆ − ξtr
r

2. Batas atas diperoleh untuk jarak filtrasi ξˆ dan ξtr , yang memungkinkan dapat memperoleh struktur filtrasi dari proses input awal ξ secara aproksimasi. Penggunaan jarak filtrasi bersama-sama dengan pemilihan r ≥ 1 untuk
jarak-Lr dimotivasi oleh hasil stabilitas. Dengan cara ini, heuristik berbasisteori (stabilitas) dikembangkan yang menghasilkan tree skenario yang mengaproksimasi distribusi probabilitas dan strukur filtrasi dari ξ secara simultan.
Metode pengembangan tree mundur dan maju diimplementasikan dan ditest

atas data kehidupan nyata dalam beberapa aplikasi praktis, yaitu untuk menghasilkan tree skenario permintaan penumpang dalam managemen pendapatan perusahaan penerbangan dan untuk tree skenrio harga beban dalam managemen
protofolio listrik Eichhorn A. et al. (2005). Dengan memasukkan jarak filtrasi
ke dalam skema pengembangan tree mundur atau maju tidak ada ditest sampai
sejauh ini.
Bagian 2 memuat beberapa prasyarat untuk jarak distribusi probabilitas dan
vector acak, dan pengantar singkat untuk reduksi skenario . Bagian 3 mencatat
hasil stabilitas utama dari yang memberikan dasar pengembangan tree. Bagian 4
memuat hasil-hasil utama tesis ini, khususnya, algoritma pengembangan tree dan
taksiran error masing-masing dalam bentuk jarak -Lr dan jarak filtrasi.

1.2

Perumusan Masalah
Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana menentukan model

program stokastik tahap ganda dengan menaksir jarak filtrasi untuk merefleksikan

Universitas Sumatera Utara

4
kemungkinan-kemungkinan kejadian sehingga informasi skenario tahap ganda dapat dibentuk ke dalam struktur pohon.

1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk memperoleh model pohon skenario
dalam mendukung proses pengambilan keputusan yang mengandung ketidakpastian dalam persoalan-persoalan stokastik tahap ganda.

1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah dengan diperolehnya model pohon sekanrio dapat digunakan untuk pengambilan keputusan yang sering muncul dalam bidang
energi, financial, logistik dan menagemen portofolio listrik dalam skala luas.

1.5 Metodologi Penelitian

Penelitian ini membahas pemodelan skenario ter-

hadap persoalan keputusan dengan ketidakpastian tahap ganda. Sebagai langkah
awal dibicarakan konsep dasar program stokastik dan program stokastik tahap
ganda.
Program stokastik tahap ganda yang dikaji bertujuan untuk membentuk
model pohon skenario. Setiap sekanrio diberikan nilai probabilitas untuk merefleksikan kemungkinan kejadiannya.
Terakhir akan dibahas mengenai pohon skenario dan jarak filtrasi.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA

Banyak konsep program stokastik tahap ganda telah dikembangkan. Filosofi dasar
dari model metode pemodelan skenario diajukan oleh Hoyland dan Wallace (2001).
Para pengguna menyatakan bahwa penjualan yang diharapkan dalam distibusi
marginal pada tiap-tiap kelas asset akan berkorelasi antara perbedaan kelas asset dan sifat-sifat statistik yang lain. Idenya adalah meminimumkan jarak antara
sifat-sifat statistik dari hasil yang sudah dibangun dan sifat-sifat statistik tertentu.
Masalah pemodelan pohon skenario untuk program matematika sudah banyak dibahas oleh peneliti. Biasanya persoalan pembentukan pohon skenario muncul
pada program stokastik dua tahap dan tahap ganda. Dalam tesis ini diuraikan secara singkat beberapa metode yang pernah diajukan.
Heitsch dan R?misch (2003) mengajukan alogritma untuk mereduksi skenario dalam program skokastik. Mereka memperhatikan program stokastik konveks dengan sebuah pendekatan distribusi peluang awal P yang mempunyai skenario dengan jumlah berhingga. Program stokastik yang dimaksud akan stabil
terhadap gangguan dari P yang terukur pada Forter-Mourier probability metriks.
Persoalan reduksi skenario optimal akan berada pada penentuan ukuran peluang
yang dibantu oleh sebuah subset pada P dari penentuan kardinalitas dan yang
paling dekat terhadap P pada sebuah metriks peluang. Dua versi baru algoritma tipe forward dan backward diberikan untuk menghitung sehingga ukuran
peluang yang direduksi optimal. Bandingkan dengan versi lama, pelaksanaan perhitungan (akurasi, waktu menjalankan) dari algoritma yang baru telah diperbaiki
(lebih baik). Hasil secara numerik yang telah dilaporakan digunakan untuk kejadian berbeda dari pohon skenario dengan perhitungan optimal pada batas terkecil.
Contoh-contoh pengujian juga termasuk pohon skenario ternary menyatakan proses
bermuatan listrik mingguan dalam model manajemen power.
Sedangkan Hoyland et al. (2003) mengajukan metode heuristik untuk membangun pohon skenario pada masalah keputusan tahap ganda. Mereka menampilkan
sebuah algoritma untuk membangun pohon skenario dari masalah tahap tunggal
5
Universitas Sumatera Utara

6
dan tahap ganda. Algoritma yang diberikan untuk membangun sebaran diskrit
tertentu oleh empat momen marginal pertama dan korelasi. Pohon skenario dikonstruksikan oleh dekomposisi masalah multivariate menjadi univariate, dan menggunakan prosedur iterative dengan kombinasi simulasi. Dekomposisi Cholesky dan
bermacam-macam transformasi untuk mendapatkan korelasi yang tepat. Pengujian mereka menunjukkan bahwa algoritma yang baru secara substansial lebih cepat
daripada algoritma Benchmark. Kecepatan akan meningkat sebanding dengan
jumlah pohon dan lebih besar dari 100 kali pada kasus 20 variabel acak dan 1000
skenario.
Kaut dan Wallace (2003) mengajukan evaluasi dari metode pembangun skenario untuk program stokastik. Mereka mendiskusikan kualitas/keserasian (kecocokan) dari metode pembangun skenario untuk model program stokastik yang
diberikan. Mereka memformulasi persyaratan minimal yang akan ditetapkan (ditentukan) pada metode pembangun skenario sebelum digunakan untuk menyelesaikan model program stokastik. Mereka juga menunjukkan bagaimana persyaratan dapat diuji. Prosedur pengujian metode pembangun skenario diilustrasikan pada kasus manajemen portofolio. Sebagai tambahan mereka juga memberikan ulasan singkat metode pembangun skenario.
Hochreiter dan Pflug (2004) mengajukan metode membangun pohon skenario sebagai masalah penempatan fasilitas multidimensi. Menurut mereka kualitas
model optimisasi stokastik multiperioda yang muncul dalam perencanaan energi asset dan manajemen pertanggungjawaban, perancanaan transportasi dan lain-lain.
Kebanyakan bergantung pada kualitas model skenario, penggambaran pengaruh
proses ketidakpastian fungsi keuntungan/biaya, seperti proses permintaan energi,
besar asset dan pertanggungjawaban, permintaan untuk transprotasi dan lain-lain.
Cara yang biasa untuk membangun model skenario didasarkan pada perkiraan
peluang yang tidak diketahui dan kesesuaian momen mereka dengan momen dari
model skenario diskrit. Tujuan mereka adalah mendemonstrasikan masalah penentuan perkiraan skenario terbaik yang digambarkan sebagai masalah penempatan
fasilitas multidimensi. Mereka juga mendiskusikan algoritma penyelesaian untuk
masalah ini dan mendemonsrasikan kualitas dari penyelesaian contoh numerik pada
optimisasi finansial.

Universitas Sumatera Utara

7
Casey dan Sen (2005) mengajukan algoritma pembentukan skenario untuk
program linier stokastik tahap ganda. Program linier stokastik tahap ganda adalah
rangkaian model optimisasi stokastik dimana fungsi dan kendalanya linier. Ketika
variable acak digunakan pada program linier stokastik tahap ganda adalah variable
kontinu. Masalah tersebut adalah dimensi tak terbatas, sehingga perhitungannya
harus ditukar ke dalam bentuk dimensi terbatas. Berikut ini akan diberikan ulasan
singkat mengenai metode pembentukan skenario. Metode dibahas meliputi Pure
Skenario-generation methods dan Related methods.
Pure Skenario-generation methods meliputi:
1. Conditional sampling
2. Sampling dari korelasi dan marginal tertentu
3. Moment matching
4. Path-based methods
5. Optimal discretization
Sedangkan Related methods meliputi reduksi skenario dan internal sampling
methods.
bf Conditional Sampling
Metode traditional sampling dapat mengambil sampel hanya dari variable
univariate random.

Ketika perlu mengambil sampel vector acak, maka perlu

untuk setiap sampel marginal untuk dipisahkan (menjadi komponen univeriate).
Biasanya sampel dikombinasi oleh semua univariate, yang menghasilkan vektor
variable acak independen. Persoalannya adalah ukuran dari pertambahan pohon
berkembang secara eksponensial dengan dimensi vektor acak. Jika diambil skenario
s dengan k marginal, maka akhir diperoleh sk skenario.
Persoalan lain adalah bagaimana untuk mendapatkan vektor acak yang dikorelasi, penentuan komponen prinsip (yang independen oleh definisi) dan sampel
tersebut, sebagai ganti dari variable acak mula-mula. Pendekatan ini berguna untuk mereduksi dimensi dan mereduksi banyaknya skenario.

Universitas Sumatera Utara

8
Terdapat banyak cara memperbaiki sampling algoritma. Sebagai ganti dari
Pure sampling dapat digunakan integration quadratures atas low discrepancy sequences seperti yang diajukan oleh Pennanen dan Koivu (2005).
Sampling dari marginal tertentu dan Korelasi
Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, metode traditional sampling mempunyai masalah membangun vector multivariate, khususnya jika mereka berkorelasi. Walaupun demikian, terdapat sampling based methods untuk menyelesaikan
masalah ini dengan menggunakan bermacam-macam transformasi.
Moment Matching
Metode sebelumnya dapat dipakai (digunakan) jika diketahui distribusi fungsi
marginalnya. Jika distribusi fungsi marginalnya tidak diketahui, dapat digambarkan marginal oleh momen mereka (rataan, variasi, kurtosis dan lain-lain) sebagai gantinya.
Path-Baset Methods
Metode ini diawali oleh membangun path lengkap yaitu skenario, oleh pengembangan proses stokastik (ξt ). Hasil dari tahap ini bukanlah pohon skenario,
tetapi kumpulan path yang dikenal sebagai fan. Untuk mentransformasikan fan
menjadi pohon skenario, skenario yang diperoleh dikelompokkan bersama (dibatasi),
semuanya tetapi tidak periode sebelumnya. Proses ini dikenal sebagai pengelompokan, metode ini dapat ditemukan pada Dupacova et al. (2000).
Optimal Discretization
Pflug (2001) mengajukan metode untuk menentukan pendekatan dari proses
stokastik (pohon skenario) yang meminimumkan kesalahan pada fungsi objektif
dari model optimisasi. Ketidak sesuaian metode sebelumnya menyebabkan pohon
skenario periode berganda dikonstruksikan kembali. Metode optimal discretization
hanya mengerjakan proses univariate.

Universitas Sumatera Utara

9
Reduksi Skenario
Ini adalah metode untuk penurunan banyaknya garis. Metode ini bertujuan
untuk menentukan subset skenario dari kardinal yang ditentukan, dan pengukuran
peluang yang didasarkan pada himpunan yang paling dekat dengan distribusi awal
dengan menggunakan matriks peluang. Metode ini digambarkan dalam Dupacova
et al. (2003).
Sebagai tambahan terdapat metode dengan proses iteratif, yang diselesaikan
dengan aliran pohon skenario, penambahan atau pengeluaran beberapa skenario
dan menyelesaikan masalah lain. Metode ini berbeda dalam penambahan / pengurangan skenario Casey and Sen (2005) menggunakan variabel aliran penyelesaian.

Universitas Sumatera Utara

BAB 3
PROGRAM STOKASTIK

3.1 Pengertian Program Stokastik
Banyak persoalan pengambilan keputusan dapat dimodelkan dengan menggunakan program matematika yang tujuannya untuk mendapatkan hasil yang maksimal atau minimal. Keputusan yang dihasilkan akan bergantung kepada kendala
yang dibatasi oleh sumber dana, persyaratan minimum dan lain-lain. Keputusan
dinyatakan oleh variabel dapat berupa bilangan cacah atau nonnegatif. Tujuan
dan kendala adalah fungsi dari variabel, dan persoalan data. Sebagai contoh dari
persoalan data termasuklah biaya perunit, rata-rata produksi, penjualan atau kapasitas.
Andaikan keputusan dinyatakan oleh variable (x1 , x2, . . . , xn ). Sebagai contoh x1 menyatakan produksi ke-i dari n produk. Bentuk umum program matematikanya adalah:
min f(x1 , x2, x3, . . . xn )
Kendala

q1 (x1, x2, x3 , . . . xn ) ≤ 0
q2 (x

1,

qm (x
(x

1,

x

x

1,
2,

2,

x
x

2,

x
x

3, ... x n )
3, ... x n )

3, ... x n

6 0
(3.1)

60

)∈ X

dimana X adalah himpunan bilangan real non negatif
Stokastik programming adalah program matematika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear tetapi dengan menampilkan elemen stokastik
pada data. Oleh karena itu dapat dinyatakan bahwa :
1. Pada program matematika deterministik, data (koefisien) adalah bilanganbilangan yang diketahui (tertentu).
2. Pada program stokastik, data (koefisien) merupakan bilangan yang tidak
diketahui (tidak pasti) yang disajikan sebagai distribusi peluang.
10
Universitas Sumatera Utara

11
Program stokastik merupakan program matematika dengan situasi (yang mengandung) ketidakpastian. Program stokastik adalah merupakan program matematika, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung ketidakpastian, ketidakpastian biasanya dicirikan oleh ditribusi peluang pada
parameter. Walaupun ketidakpastian didefenisikan dengan tepat tetapi pada prakteknya diberikan beberapa skenario (hasil yang mungkin dari data) yang spesifik
dan distribusi peluang gabungan yang cepat. Hasil-hasil secara umum digambarkan pada elemen ω ∈ W . Ketika beberapa data acak, maka penyelesaian dan
nilai tujuan optimal untuk masalah optimisasi juga acak.
Ada dua tipe permasalahan program stokastik, yaitu :
1. Model Rekursif
2. Model Kendala Berpeluang
Suatu cara logis yang diperlukan dalam persoalan adalah membuat sebuah keputusan sekarang dan meminimumkan biaya rata-rata harapan (yang digunakan) sebagai konsekuensi dari keputusan. Paradigma ini dikenal sebagai Model Rekursif.
Andaikan x adalah vektor keputusan yang diambil, dan y(ω) adalah sebuah vektor keputusan yang menyatakan aksi terbaru atau konsekuensi dari x. Himpunan
berbeda yang berisi y akan dipilih dari tiap-tiap hasil yang mungkin dari ω. Formulasi dua tahapnya adalah :
min f1(x) + nilai harapan[f2(y(ω), ω)]
kendala

q1 (x) ≤ 0, . . . qm(x) ≤ 0

h1 (x, y(ω)) 6 0, untuk setiap ω ∈ W
hk (x, y(ω)) 6 0, untuk setiap ω ∈ W

(3.2)

x ∈ X,y(ω) ∈ Y
Himpunan kendala h1, h2 . . . , hk , menggambarkan hubungan antara keputusan tahap
pertama x dan keputusan kedua y(ω). Dicatat bahwa dipersyaratkan (diharuskan)
tiap-tiap kendala dipenuhi dengan peluang 1, atau untuk setiap ω ∈ W yang

Universitas Sumatera Utara

12
mungkin. Fungsi f2 merupakan penyelesaian yang sering muncul dari persoalan
matematika. Tidak dibutuhkan untuk membuat korelasi yang berubah-ubah (recourse) untuk keputusan tahap pertama, perlu untuk dibuat korelasi yang terbaik.
Model Rekursif dapat diperluas dengan banyak cara. Untuk persoalan tahap
ganda, pengaruh keputusan sekarang akan ditunggu untuk beberapa ketidakpastian yang diselesaikan kembali (direalisasikan), sehingga pembuatan keputusan
yang lain didasarkan pada apa yang terjadi. Tujuannya adalah untuk meminimumkan biaya yang diharapkan dari semua keputusan yang diambil.
Pada beberapa kasus, dapat digunakan suatu metode yang lebih tepat untuk
mencoba menentukan sebuah keputusan, yang mana keputusan tersebut dijamin
oleh himpunan kendala yang akan dipenuhi oleh sebuah peluang tertentu. Model
umum kendal berpeluang dirumuskan sebagai berikut :
min f(x1 , x2, x3, . . . xn )
Kendala

Pr(x1 , x2, x3 , . . . xn ) ≤ 0
qm (x

1,

x

2,

x

3, ... x n )

6 06 0

h1 (x

1,

x

2,

x

3, ... x n )

60

h2 (x

1,

x

2,

x

3, ... x n )

60

x

1,

x

2,

x

3, ... x n

(3.3)

∈ X

3.2 Jarak dan Reduksi Skenario
Dalam stabilitas kuantitatip program stokastik tanpa batasan informasi, metrik
probabilitas untuk mengukur jarak distribusi probabilitas memegang peranan utama.
Khususnya, jarak yang diberikan dalam bentuk persoalan transportasi massa MongeKantorovich menjadi relevan. Persoalan tersebut berbentuk

inf

Z

Ξ×Ξ


  

c ξ ξ˜ η dξ, dξ˜ : η ∈ P (Ξ × Ξ) , π2η = Q

(3.4)

di mana Ξ adalah himpunan bagian tertutup dari ruang Euclidean, π1 dan π2
menotasikan proyeksi masing-masing pada komponen pertama dan kedua, c adalah
fungsi biaya kontinu, simetrik nonnegatip, P dan Q merupakan anggota himpunan

Universitas Sumatera Utara

13
Pc (Ξ) dari ukuran-ukuran probabilitas atas Ξ, yang dipilih sedemikian rupa sehingga semua integral yang muncul adalah berhingga. Dua tipe fungsi biaya digunakan dalam analisa stabilitas, yaitu :
r 


 


c ξ ξ˜ :=
ξ − ξ˜
ξ, ξ˜ ∈ Ξ

dan

(3.5)



r−1 


 



r−1
˜
˜
c ξ ξ := max 1, kξ − ξ0 k ,
ξ − ξ0

ξ − ξ˜
ξ, ξ˜ ∈ Ξ

(3.6)

untuk suatu r ≥ 1, ξ0 ∈ Ξ dan seminorm atau norm k| dalam ruang Euclidean
yang mengandung Ξ. Dalam kedua kasus, himpunan Pc (Ξ) bisa dipilih sebagai
himpunan Pr (Ξ) dari semua ukuran probabilitas atas Ξ yang mempunyai momen
absolut berorde r. Biaya (3.5) menghasilkan metrik Lr -minimal ℓr , yang didefinisikan dengan

ℓr (P, Q) := inf

Z

Ξ×Ξ



r 

˜
˜
ξ, ξ
η dξ, dξ |η ∈ P (Ξ × Ξ) , π1η = P, π2 η = Q

(3.7)

dan kadang-kadang juga disebut metrik Wasserstein berorde r. Persoalan transportasi massa (3.4) dengan biaya (3.6) mendefinisikan fungsional Monge-Kantorovich
ˆ r muncul jika, dalam definisinya (3.4), syarat
µ
ˆr Suatu varian dari fungsional µ
η ∈ P(Ξ × Ξ), π1η = P, π2 η = Q diganti dengan η, yang merupakan ukuran
berhingga atas Ξ × Ξ, sedemikian sehingga π1 ηπ2η = P Q. Fungsional yang ber◦
sesuaian µ menjadi metrik atas Pr (Ξ). Itu disebut metrik Forter-Mourier berorde
r

r. Konvergensi dari barisan ukuran-ukuran probabilitas terjadap metrik ℓr mau◦
pun µ ekuivalen dengan konvergensi lemahnya dan konvergensi momen absolutnya
r

berorde r.
Untuk program stokastik yang memuat batasan informasi situasinya berbeda.
Contoh-contoh yang menunjukkan bahwa analisa stabilitas yang hanya didasarkan

Universitas Sumatera Utara

14
pada jarak distribusi probabilitas bisa gagal. Heitsch dan Romisch, (2003) stabilitas kuantitatip dari program stokastik multi-tahap (1.1) dibuktikan terhadap
jumlah dua jarak, yaitu norm
kξkr :=



T
P

r

E [kξt k ]

t=1

 1r

dalam Lr (Ω, F, P; Rs ) dengan s := T d untuk input acak bernilai-Ξ dan yang disebut dengan informasi atau jarak filtrasi. Yang disebut terakhir ini didefinisikan
′

dalam bentuk || · ||r′ dengan r tergantung pada r.
Misalkan ξ dan ξ˜ adalah vektor-vektor acak atas ruang probabilitas (Ω, F, P)
dengan distribusi probabilitas P dan Q. Karena distribusi probabilitas η˜ dari pa˜ vektor acak bernilai-Ξ layak untuk persoalan minimisasi (3.7), dipersangan (ξ, ξ)
oleh





ℓr (P, Q) 6
ξ − ξ˜

(3.8)

r′

Selain itu, karena penyelesaian optimal η ∗ ∈ P(Ξ × Ξ) dari persoalan transportasi massa (3.7) selalu ada, terdapat ruang probabilitas dan sepasang vektor
acak bernilai-Ξ, yang disebut juga dengan perangkaian optimal, yang didefinisikan
atasnya, sedemikian sehingga distribusi probabilitas dari pasangan tiada lain sama
dengan η ∗ . Karenanya, kesamaan sah dalam (3.8) atas ruang probabilitas. Fakta
ini membenarkan metrik Lr -minimal untuk ℓr .
Sekarang, misalkan ξ dan ξ˜ adalah vektor-vektor acak diskrit masing-masing
dengan skenario ξ i dengan probabilitas pi , i = 1, . . . , N, dan ξ˜j dengan probabilitas
qj , j = 1, . . . , M. Maka diperoleh :

ℓrr (P, Q) := min

(
X
i,j

)
r

X
X


ηij = qj ,
ηij = Pi , ,
ηij
ξ i , ξ˜j
ηij > 0
i

(3.9)

j

yaitu, ℓrr (P, Q) adalah nilai optimal dari persoalan transportasi linier. Kasus khusus
penting terdiri dari situasi bahwa M < N dan bahwa skenario Q membentuk
himpunan bagian {ξ j }j6∈J dari himpunan skenario {ξ i : i = 1, . . . , N } dari P . Mula-

Universitas Sumatera Utara

15
mula ingin diselesaikan masalah penentuan aproksimasi terbaik dari P terhadap ℓr
dengan ukuran probabilitas QJ yang didukung oleh himpunan (skenario) {ξ j }j6∈J ,
qj : j 6∈ J}
yaitu untuk menentukan jarak minimal DJ dan penyelesaian optimal {¯
P
sedemikian sehingga ℓr (P, QJ ) diminimalkan atas simplex {q : qj ≥ 0, j6∈Jqj = 1}.

Lemma 2.1Misalkan J adalah himpunan bagian tak kosong dari {1, . . . , N }. Maka
identitas
(

DJ = min ℓr (P, QJ ) qi = 1

X

qi = 1)

i∈J
/

)

X

=

j∈J

berlaku dan minimum dicapai pada q¯i = pi +


r
Pj min
ξ i − ξ j

P

i∈J
/

! r1

(3.10)

Pj , i ∈
/ J di mana J i := {j ∈

j∈J

J | i = i(j)} dan i(j) merupakan anggota arg min kξ i − ξ j k untuk setiap j ∈ J
i∈J
/

(redistribusi optimal).
Misalkan ruang probabilitas didefinisikan dengan Ω = {ω1 , . . . , ωN }, F adalah
himpunan kuasa dari Ω dan P(ωi ) = pi , i = 1, . . . , N . Jika vektor acak ξJ didefinisikan dengan
ξJ (ωi ) =


 ξi

 ξ i(j)

,i ∈
/ J,
, i ∈ J,

di mana i(j) didefinisikan seperti dalam Lemma 2.1, diperoleh
r

kξ − ξJ kr =

P

r

pj kξ − ξJ k =

j∈J

P

j∈J

r

pj min kξ i − ξ j k = DJ r
i∈J
/

Karenanya, jarak ℓr (P, QJ ) adalah minimal jika QJ adalah distribusi probabilitas
dari ξJ . Akibatnya, reduksi skenario terhadap jarak Lr -minimal sebagai alternatip
bisa dianggap terhadap norm ? ?r atas ruang probabilitas spesifik ini.
Dengan menggunakan rumus eksplisit (3.10), persoalan reduksi optimal untuk
himpunan indeks skenario J dengan kardinalitas yang ditetapkan |J | = N − n dari
P diberikan oleh model optimisasi kombinatorial

(

min DJ =

X
j∈J

)
i

r
pj min
ξ − ξ j
: J ⊂ {1, . . . , N } , |J | = N − n
i∈J
/

(3.11)

Universitas Sumatera Utara

16
Untuk kedua kasus ekstremal n = N − 1 dan n = 1 persoalan (3.11) adalah
berbentuk
min

i∈{1,...,N}

r

Pj min kξ i − ξ j k (n = N − 1) dan
i∈J
/

min

P

u∈{1,...,N} j=1
j6=u

r

pj kξ i − ξ j k (n = 1)

dan bisa diselesaikan dengan mudah. Penyelesaiannya J = {l∗} dan J =
{1, . . . , N }\{u∗} muncul sebagai hasil dari dua proses yang berbeda: Reduksi
mundur dan seleksi maju. Kedua ide proses bisa diperluas dan menghasilkan kedua heuristik berikut untuk penentuan penyelesaian aproksimasi (3.11). Hasilnya
adalah masing-masing himpunan indeks J [N −n] dan J [n] dari skenario yang dihapus
dan mempunyai kardinalitas N − n.
Algoritma 2.2 (Reduksi mundur)
Tahap [0] : J [0] := ∅.
Tahap [i] : li ∈ arg min

i∈j
/ [i−1]

k∈J

P

[i−1]

pj
∪{l}

min

k∈j [i−1] ∪{l}

J [i] := J [i−1] ∪ {li }.

k

ξ − ξ j
r

Tahap [N − n + 1]: Redistribusi optimal.
Algoritma 2.3 (Seleksi maju)
Tahap [0] : J [0] := {1, . . . , N }.
Tahap [i] : ui ∈ arg min

u∈j [i−1]

k∈J

P

[i−1]

pk
∪{u}

min

j∈J [i−1] \{u}

J [i] := J [i−1] \{ui}.

k

ξ − ξ j
r

Tahap [N − n + 1]: Redistribusi optimal.
Heuristik ini dikaji dalam Heitsch dan Rmisch, (2003) untuk fungsi biaya c
yang berbeda-beda. Dalam tesis ini ditunjukkan bahwa algoritma menunjukkan
kompleksitas polinomial.

Walaupun algoritma tidak menghasilkan optimalitas

pada umumnya, evaluasi kinerja atas implementasinya dalam Heitsch dan Rmisch,
(2003) sangat membesarkan hati.

Universitas Sumatera Utara

17
3.3 Stabilitas model multi-tahap
Dalam stabilitas model multi tahap Heitsch dan Romisch, (2003) diasumsikan
bahwa proses input stokastik ξ merupakan anggota dari ruang Banach Lr (Ω, FP; Rs )
dan r ≥ 1. Model multi-tahap (1.1) dianggap sebagai persoalan optimisasi dalam
P
ruang Lr (Ω, FP; Rm ) dengan m = Tt=1 mt dan dilengkapi dengan norm
kXkr′ :=



T
P

h

r′

E kxt k

t=1

i r1′

(1 6 r′ < ∞) atau kXk∞ := max ess sup kXt k
t=1,...,T

di mana bilangan r′ didefinisikan dengan


r



r+1


 r
′
r :=

r=2




 ∞

, jika hanya biaya yang acak
, jika hanya ruas kanan yang acak
, jika hanya biaya dan uras kanan yang acak

(3.12)

, jika semua matriks teknologi acak dan r = T.

Jika dimasukkan beberapa notasi. Misalkan F menotasikan fungsi tujuan
hP
T
yang didefinisikan atas Lr (Ω, FP; Rs )×Lr (Ω, F P; Rm ) → R oleh F (ξ, x) := E
t=1
hbt (ξt ), xti] , misalkan

χt(xt−1 ; ξt ) := {xt ∈ Xt (At,0 xt + At ,1 (ξt )xt−1 = ht (ξt )}
menotasikan himpunan kelayakan ke-t untuk setiap t = 2, . . . , T dan
χ(ξ) := {x = (x1, x2, . . . , xT ) ∈ ×Tt=1L′r (Ω, FP; Rm ) | x1 ∈ X1 , xt ∈ χt(xt−1 ; ξt )}
himpunan elemen-elemen layak dari (1.1) dengan input Ξ. Maka program stokastik
multi-tahap (1.1) bisa ditulis kembali sebagai
min{F (ξ, x) : x ∈ χ(ξ)}.

(3.13)

Lebih jauh lagi, misalkan v(ξ) menotasikan nilai optimal dan misalkan, untuk setiap
α ≥ 0,
lα(F (ξ, )) := {x ∈ χ(ξ) : F (ξ, x) ≤ v(ξ) + α}
menotasikan himpungan tingkat- dari program stokastik (3.13) dengan input ξ.

Universitas Sumatera Utara

18
Syarat-syarat berikut ditetapkan untuk (3.13) :
(A1) Terdapat
δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap ξ˜ ∈ Lr (Ω, FP; Rs ) dengan


˜

ξ − ξ
≤ δ, setiap t = 2, . . . , T dan setiap x1 ∈ X1 , xr ∈ χr (xt−1 ; ξ˜r ), τ =
r
2, . . . , t−1, himpunan χt(xt−1 ; ξ˜t ) adalah tak kosong (wacana relatip lengkap secara

lokal di sekitarξ).

(A2) Nilai optimal v(ξ) dari (3.13) adalah berhingga dan fungsi tujuan T adalah
terbatas-tingkat secara lokal secara seragam di ξ, yaitu untuk suatu α > 0 terdapat
δ > 0 dan himpunan bagian terbatas B dari L′r (Ω, F, P; Rm ) sedemikian sehingga
˜ )) adalah tak kosong dan termuat dalam B untuk ξ˜ ∈ Lr (Ω, F, P; Rm )
lα(F (ξ,



˜
dengan
ξ − xi
≤ δ.
r



 
 





˜
˜
v (ξ) − v ξ  6 L
ξ − ξ
+ Df ξ, ξ˜

(3.14)

r



˜

s
˜
berlaku untuk semua elemen acak ξ ∈ Lr (Ω, F, P; R ) dengan
ξ − xi
≤ δ. Di
r
˜ menotasikan jarak filtrasi dari ξ dan ξ˜ yang didefinisikan dengan
sini, Df (ξ, ξ)

 
Df ξ, ξ˜ := sup

inf

T −2
X

ε∈(0∞] x∈ls(F (ξ,.)) t=2
x∈ls(F (ξ,.)

h  i
o
n
h  i


˜


xt − E x
˜t F˜
max
xt − E xt Ft
,
˜
′
′
r

r

(3.15)

di mana Ft dan F˜t menotasikan τ -field yang dihasilkan oleh ξ t dan ξ˜t , dan E[| Ft]
dan E[| F˜t], t = 1, . . . , T , masing-masing ekspektasi bersyarat yang bersesuaian.
Sebuah contoh dalam Heitsch dan Romisch, (2003) menunjukkan bahwa jarak
filtrasi Df sangat penting agar Teorema 3.1 berlaku. Jarak filtrasi dari dua proses
stokastik hapus jika filtrasi-filtrasi berimpit, khususnya, jika model adalah duatahap (yaitu, T = 2). Jika penyelesaian dari (3.13) dengan input ξ dan ξ˜ ada,
maka jarak filtrasi adalah dengan bentuk yang disederhanakan

 
Df ξ, ξ˜ :=

inf

T −2
X

x∈ls(F (ξ,.))
x∈ls(F (ξ,.) t=2

h  i
o
h  i

n




(3.16)
xt − E x
˜t F˜
max
xt − E xt F˜t
,
˜
′
′
r

r

Universitas Sumatera Utara

19
Sebagai contoh misalnya, penyelesaian (3.13) ada jika Ω berhingga atau jika 1 <
r′ < ∞ yang mengimplikasikan bahwa ruang L′r adalah ruang Banach dimensiberhingga atau ruang Banach refleksif (karenanya, himpunan tingkat adalah kompak atau kompak lemah secara barisan).
Teorema 3.1 sah untuk setiap pilihan ruang probabilitas utama sedemikian
sehingga terdapat suatu versi ξ dengan distribusi probabilitasnya. Ruas kanan dari
(3.14) adalah minimal jika ruang probabilitas diseleksi sedemikian rupa sehingga
baik norm k·kr maupun k·k′r berimpit dengan jarak Lr -minimal dan L′r -minimal
yang bersesuaian. Akan tetapi, untuk memperoleh taksiran jarak filtrasi, ruang
probabilitas spesifik mungkin lebih tepat.

Universitas Sumatera Utara

BAB 4
MENAKSIR JARAK FILTRASI

Misalkan ξ adalah aproksimasi (diskrit) dari proses stokastik awal dan ξ˜ = ξ˜tr
adalah proses yang diperoleh dengan menggunakan salah satu dari tiga pendekatan




konstruksi tree. Sampai sejauh ini dapat ditaksir bahan pokok pertama
ξ − ξ˜tr
r

dari taksiran stabilitas (3.14) dalam Teorema 3.1. Di sini, diperoleh taksiran untuk
bahan pokok kedua Df (ξ, ξ˜tr ) dan dikembangkan strategi untuk mengontrol proses
pembentukan tree dengan membatasi kedua jarak.
Selanjutnya, diperhatikan dua proses stokastik ξ dan ξ˜ yang diberikan dalam
bentuk tree skenario. Diasumsikan bahwa syarat (A1) dan (A2) dari bab 3 dipenuhi
dan diperoleh taksiran untuk batas


1

 


r ′ 
h
i r′

TP
−1
′



  
xt − E[˜
max E
xt − E[xt F˜t]
, E k˜
xt |Ft ]kr
˜
Df ξ, ξ 6
t=2

o
n

−1
 TP




xt − E[˜
xt |Ft ]k∞
max
xt − E[xt F˜t]
, k˜

∞

t=2

, 1 6 r′ < ∞
, r′ = ∞
(4.1)

dari masing-masing jarak ξ dan ξ˜ yang didefinisikan oleh (3.15). Di sini, x dan x
˜
′
adalah penyelesaian dari (3.13) dengan input masing-masing ξ dan ξ˜ dan r didefinisikan oleh (3.12). Untuk ini, diasumsikan bahwa ξ = {ξt }t=1 dan ξ˜ = {ξ˜t }Tt=1
didefinisikan atas ruang probabilitas (Ω, F, P) dengan Ω = {ψ1 , . . . , ψN }, F menotasikan himpunan kuasa dari Ω dan P(ψi ) = pi , i = 1, . . . , N . Misalkan It dan I˜t
menotasikan himpunan indeks masing-masing dari realisasi ξt dan ξ˜t . Lebih jauh
lagi, misalkan Et dan E˜t menotasikan famili elemen-elemen tak kosong dari Ft dan
F˜t , yang membentuk partisi-partisi dari Ω dan menghasilkan sigma-field yang bersesuaian. Ditetapkan Ets : {ψ ∈ Ω : (ξ1 (ψ), . . . , ξt (ψ)) = (ξ1s , . . . , ξts )}, s ∈ It dan
˜ts := {ψ ∈ Ω : (ξ˜1 (ψ), . . . , ξ˜t (ψ)) = (ξ˜s , . . . , ξ˜ts ξ˜ts )}, s ∈ I˜t . Untuk penjumlahan
E
1

ke-t dari batas dimasukkan notasi

20
Universitas Sumatera Utara

21

 
Df ξ, ξ˜ 6











1

 

r′ 
h
i r ′

˜
r′
max E
xt − E[xt Ft]
, E k˜
xt − E[˜
xt |Ft ]k

o
n


xt − E[˜
xt |Ft]k∞
max
xt − E[xt F˜t]
, k˜
∞

, 1 6 r′ < ∞
, r′ = ∞

dan diperoleh untuk 1 ≤ r′ < ∞

1

Df



N



r′  r′
r′ P

P
˜
˜

N
˜
xt(ωi ) − E[˜
ξ, ξ = max
xt Ft](ωi )
pi
xt (ωi ) − E[xt Ft](ωi )
, pi
˜
i=1

i=1




P P

xt(ωi ) −
= max
pi
s∈I˜t ωi ∈E˜ts



P P

˜t (ωi ) −
pi
x

s∈It ωi ∈Ets

P

ωj ∈Ets

P

P

pj

˜
ωj ∈E
ts

′





pj x
˜t (ωj )
r

P

pj

ωj ∈Ets

r′





pj xt (ωj )

˜
ωj ∈E
ts

Untuk r′ = ∞ diperoleh







 






xt (ωi ) − E[˜
xt F˜t ](ωi )
Df ξ, ξ˜ = max max
xt(ωi ) − E[xt F˜t](ωi )
, max
˜
i=1,...,N

i=1,...,N







xt(ωi ) −
= max max max
 s∈I˜t ωi ∈E˜ts




max max
xt(ωi ) −
s∈It ωi ∈Ets

P

ωj ∈Ets

P

˜
ωj ∈E
ts

P

ωj ∈Ets

pj

˜
ωj ∈E
ts

)




pj x
˜t (ωj )

P

pj







pj xt (ωj )

Sekarang, kembali ke kasus khusus yang dikaji dalam tesis ini bahwa ξ adalah
skenario-skenario individual {ξ i : i = 1, . . . , N } dan ξ˜ = ξ˜tr tree skenario dengan
sebanyak IT skenario. Karenanya, diperoleh Ft = F untuk t = 2, . . . , T dan item
kedua dari maksimum yang mendefinisikan Dt (Ft , F˜t)r′ hapus. Dengan menggunakan notasi dengan It himpunan indeks realisasi tree skenario ξ˜tr pada waktu t,
dengan I˜t,i = {i}∪It,i , i ∈ It kelompok-kelompok skenario pada t, dengan πti (node)
P
j
probabilitas dari ξ˜i , yaitu π i =
˜ Pj , dan dengan pj probabilitas skenario ξ
t

t

j∈It,i

˜ts ekuivalen dengan j ∈ I˜ts , diperoleh
untuk j = 1, . . . , N . Karena ψj ∈ E

Df




r′

 ′ XX
X
j

1
′
k
ξ, ξ˜ r =
pi
pk xt

xt − π i
(1 ≤ r < ∞)
t


i∈It j∈I˜t,i
k∈I˜t,i

(4.2)

Universitas Sumatera Utara

22





 
X
j
′
1
k
(r = ∞),
x
Df ξ, ξ˜ max max
−
p
x
k
t
t

i
i∈It i∈I˜t,i
π
t


k∈I˜t,i

(4.3)

di mana xit, i = 1, . . . , N , adalah komponen ke-t dari skenario penyelesaian dari
model dua-tahap dengan input ξ (mempunyai skenario ξ j , j = 1, . . . , N ). Dengan
berawal dari (4.2) dan (4.3) taksiran berikut berlaku sah.
Teorema 4.1 Misalkan (A1) dan (A2) dipenuhi. Misalkan proses stokastik ξ mempunyai skenario ξ i dengan probabilitas pi , i = 1, . . . , N , dan ξ˜tr adalah tree skenario
dengan himpunan indeks It dari realisasi-realisasi dan kelompok-kelompok skenario
I˜t,i pada t. Maka jarak filtrasinya memungkinkan taksiran

 
Df ξ, ξ˜ ≤




TP
−1





r ′
P P
′
pi (πti)r −1 max
xkt − xjt

t=2

k∈I˜t,i

i∈It j∈I˜t,i

! 1′
r

, 1 6 r′ < ∞
(4.4)


TP
−1





max max
xkt − xjt


, r′ = ∞

t=2 i∈It j,k∈I˜t,i

 
Df ξ, ξ˜ ≤




TP
−1





r′
P P
pj
xjt − xit

t=2

i∈It j∈I˜t,i

! 1′


TP
−1





max max
xjt − xit

t=2 i∈It j,k∈I˜t,i

r

, 1 6 r′ < ∞
(4.5)
, r′ = ∞

untuk setiap penyelesaian x dari (3.13) dengan input ξ dan suatu konstanta K > 0.
Bukti: Misalkan x adalah penyelesaian dari (3.13) dengan input ξ, yang eksis
′

menurut (A1) dan (A2). Bukti diberikan untuk kasus 1 ≤ r < ∞. Dalam kasus
′

r = ∞ taksiran diperoleh dengan modifikasi langsung. Untuk memperoleh (4.4),
diawali dari (4.2) dan diperoleh
r′


P
 
P
P
′
pj
j
k
˜
pk (xt − xt )
Df ξ, ξ r =
πi

i∈It j∈I˜t,i t
k∈I˜t,i
≤

P P

i∈It j∈I˜t,i

pj
πti

P

k∈I˜t,i

!r ′


pk
xkt − xjt
Universitas Sumatera Utara

23
≤

P P

i∈It j∈I˜t,i

′
pj
(πti)r
πti


r ′
max
xkt − xjt

k∈I˜t,i

Untuk taksiran kedua diperhatikan untuk setiap i ∈ It indeks αt(i) yang didefinisikan masing-masing. Dengan berawal dari (4.2) diperoleh
Df




P P
′
ξ, ξ˜ r 6
pj
i∈It j∈I˜t,i



P
j
α (i)

xt − xt t
+

k∈I˜t,i

¯ P P pj
6K
i∈It j∈I˜t,i

¯
6K

P

i∈It

¯
= 2K

P

j∈I˜t,i

P P

i∈It j∈I˜t,i

¯
= 2K

P P

i∈It j∈It,i

pk
πti

!′

r
αt(i)

− xkt

xt


r ′
r ′
P  pk r′

j
αt(i)
α (i)
k
−
x
xt − xt t
+
x
i
t
t
π
t

k∈I˜t,i

!

r ′
r ′


′


α (i)
(π i )r −1 P
α (i)
pj
xjt − xt t
+ πti (πt i )r′
pk
xt t − xkt
t

k∈I˜t,i

!

r ′

j
αt (i)
pj
xt − xt

r ′

pj
xjt − xit

di mana identitas αt (i) = i untuk setiap i ∈ It digunakan dalam tahap akhir
¯ > 0 adalah suatu konstanta yang tergantung pada r′ dan maksimum dari
dan K
kardinalitas It,i.
Batas atas untuk jarak filtrasi hanya memuat penjumlahan nontrivial pada
pasangan-pasangan (t, i) di mana Jt,i 6= ∅ atau, dengan kata lain, di mana skenario i bercabang pada waktu t. Kontribusi relevan dari pasangan-pasangan (t, i)
sedemikian kepada batas filtrasi menghasilkan

bt,i

 P
r′


pj
xjt − xit
, 1 6 r′ < ∞

j∈It,i
:=



 max
xjt − xit
, r′ = ∞

(4.6)

j∈It,i

Karenanya, bentuk (4.6) harus dikontrol selama proses pembentukan tree secara
keseluruhan (mundur atau maju). Pada umumnya, ini berarti bahwa skenario i bisa
bercabang pada t hanya jika bt,i cukup kecil. Lebih tepatnya, haruslah diperluas
untuk memasukkan syarat

Universitas Sumatera Utara

24

Bt :=

 P
′

bt,i 6 εrf,t


, 1 6 r′ < ∞

j∈It

(4.7)


 max bt,i 6 εf,t , r′ = ∞
j∈It

dengan suatu toleransi filtrasi εf,t ke dalam tahap t untuk t = 2, . . . , T − 1.
Sayangnya, proses penyelesaian {xt}Tt=1 dari model dua-tahap tidak mungkin tersedia pada umumnya dan hanya tersedia dengan biaya ekstra tertentu. Karenanya,
mereduksi skenario dengan ξ berkenaan dengan k· · · kr . Untuk menghitung penyelesaian (3.13) dengan input tereduksi dan menaksir batas-batas Bt bisa menjadi
alternatip yang tepat.
Namun demikian, penting mengembangkan batas-batas untuk jarak filtrasi
yang hanya didasarkan pada informasi input. Ini mengharuskan taksiran diperoleh
untuk jarak setiap dua skenario dengan penyelesaian x dari (3.13) dengan input
ξ. Untuk ini, diasumsikan bahwa hanya biaya dan ruas kanan yang acak dalam
(3.13). Diperhatikan program stokastik berbasis-skenario dengan input ξ


 i
 xt ∈ Xt , t = 1, ..., T
T
N
X
X

hbt (ξti ), xiti  At,0xit + At,1xit−1 = ht (ξti )
pi
min hb1 (ξ∗1 ), x1i +



t=2
t=1

 t = 2, ..., T, i = 1, ..., N










(4.8)





yang tentu saja dua-tahap dan merupakan program linier. Lebih jauh lagi, minimisasi didekomposisikan menjadi variabel tahap-pertama dan tahap-kedua yang
menghasilkan bentuk program dua-tahap (4.8) berikut
di mana fungsi nilai optimal
P hi bernilai-riil diperluas dan didefinisikan atas Ξ × X1 dengan

Φ (z, x1) := inf

(

T
X
t=2