aljabar linear elementer i

Drs. Darmo

 Definisi:

Susunan bilangan berbentuk persegi panjang
yang diatur dalam baris dan kolom.
Contoh:

  4 3
A  2 0
 1 7

1 3
B 

3
1






Bentuk umum suatu matriks:
 a11
a
A  21
 

 am1

 a1n 
 a2 n 


am 2  amn   a11 
a 
 Elemen kolom ke-1 =
 21 
 
 
 am1 



a12
a22


Elemen baris ke-1 =

 a11

a12  a1n 






aij adalah elemen baris ke-i, kolom ke-j
Matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut
berordo m  n.

Matriks berordo mxn yang banyak baris sama dengan
banyaknya kolom disebut matriks persegi.
Contoh:
1
3 2
A  4  6 7 
9 8  1



Elemen 3, -6, -1 disebut elemen-elemen diagonal utama.



Kesamaan Dua Matriks
Dua matriks disebut sama jika ordonya sama dan
elemen-elemen yang seletak sama.




Jumlah Dua Matriks
Dua Matriks A dan B dapat dijumlahkan jika
ordonya sama.
Jumlah dua matriks A dan B ialah matriks C yang
ordonya sama dengan ordo matriks A maupun B,
sedangkan
elemen-elemen
yang
seletak
dijumlahkan:
 2  1   3 4    1 3 
Contoh: 
 
 

0

5 2

 8


2

 3





Hasil Kali Matriks dengan Skalar
Hasil kali matriks A dengan skalar k ialah matriks yang
ordonya sama dengan ordo matriks A sedangkan elemenelemennya dikalikan dengan k.
Hasil Kali 2 Matriks
Jika A adalah sebuah matriks m  r dan B adalah matriks r 
n maka hasil kali A  B adalah matriks mxn yang elemenelemennya ditentukan sbb: elemen di dalam baris ke-i, kolom
ke-j dari AB, maka pilihlah baris ke-i dari matriks A dan
kolom ke-j dari matriks B, kalikanlah elemen-elemen yang
bersangkutan dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan
kemudian tambahkanlah hasil perkalian yang dihasilkan.


 4 1 4 3
 Contoh: A  1 2 4 B  0  1 3 1 
 2 6 0




 2 7 5 2
 1 2 4
 2 6 0



23



 4 1 4 3
 0  1 3 1 ... ... ... ...


 ... ... 26 ...

 2 7 5 2 

34

(2  4) + (6  3) + (0  5) = 26

24

Misalkan ordo matriks-matriks berikut memenuhi syarat agar
operasi-operasi berikut terdefinisi maka berlaku:
1.A+B = B+A
(H. Komutatif Penjumlahan)
2.A+(B+C) = (A+B)+C
(H. Asosiatif Penjumlahan)
3.k(A+B) = kA+kB
k skalar
4.(k+l)A = kA + lA
k dan l skalar

5.(kl)A = k(lA)
k dan l skalar
6.k(AB) = kA(B) = A(kB)
k skalar
7.A(BC) = (AB)C
(H. Asosiatif Perkalian)
8.A(B+C) = AB + AC
(H. Distributif)
9.(A+B)C = AC + BC
(H. Distributif)

1. Misalkan A dan B adalah matriks-matriks 45 dan misalkan
C, D, dan E berturut-turut adalah matriks-matriks: 52,
42, dan 54. Tentukanlah yang mana diantara pernyataan
berikut terdefinisi dan berapakah ordo hasilnya.
a b
2. Hitunglah a, b, c dan d jika 

b  c  8 1




3
d

c
2
a

4
d
7
6

 


3. Ditentukan:

 3  2 7  dan

 6  2 4
A 6 5 4
B  0 1 3
0 4 9 
7 7 5

dengan tidak menghitung hasil keseluruhan, hitunglah:

dengan tidak
hitunglah:
4.

5.

menghitung

hasil

keseluruhan,


Misalkan Q adalah matriks nn yang elemen di dalam baris
ke-i, kolom ke-j adalah 1 jika i = j, dan 0 jika i ≠ j. Perlihatkan
bahwa aI = Ia = a untuk setiap matriks A nn .
Jika A dan B matriks-matriks persegi yang ordonya sama,
apakah (A+B)2=A2+2AB+B2. Mengapa?







Definisi:
Jika A suatu matriks persegi didefinisikan Ao = I (matriks
Identitas) An =AA A A … A sebanyak n faktor.
Jika A suatu matriks mn maka transpose matriks A ditulis At
atau A’ didefinisikan sebagai matriks nxm dengan kolom ke-i
diperoleh dari baris ke-i dalam A, untuk i=1,2, …, m.
Contoh:
 4 2
 4  5 3


t
A   5 1 A 

2
1
0


 3 0



Berdasarkan pengertian transpose dapat dibuktikan sifat
berikut:
Jika ordo matriks-matriks berikut memenuhi syarat agar
operasinya terdefinisi maka:
(At)t = A
2. (A+B)t = At + Bt
3. (kA)t = k(At)
4. (AB)t = Bt . At
Contoh:
 4 2
 3 5
 4  1
3 0
t
t
A 
dan B 
 A 
dan B 




  1 3
 0 1
2 3 
5 1 
1.

t

t

  4 2  3 5   12 22  12  3
t
 
( AB )  








1
3
0
1

3

2
22

2

 
 



 4  1 3 0  7  1
A B 





2
3
5
1
21
3

 
 

3 0  4  1 12  3
t t
B A 





5
1
2
3
22

2


 

t



Jadi (AB)t = Bt . At

t







Matriks nol
adalah matriks yang semua elemennya nol.
Contoh:
 0 0
0


0

Matriks satuan / Identitas
adalah matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu,
sedangkan elemen lainnya nol. Matriks identitas dinyatakan dengan I.
Contoh:
1
0

0

0
1
0

0
0
1

Matriks diagonal
adalah matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utamanya
adalah nol, sedangkan elemen diagonal utamanya tidak semua nol.
Contoh:
1
0

 0

0
2
0

0 
0 
 4







Matriks segitiga atas
adalah matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utama nol,
sedangkan yang lain tidak semua nol.
Contoh:
1
0

 0

3

2
0

5
7 
 1

1
3

5

0
2
8

0
0 
 1

Matriks segitiga bawah
adalah matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utama nol,
sedangkan yang lain tidak semua nol.
Contoh:
Matriks simetri
adalah matriks persegi yang berlaku A = At.
Contoh:

1
2

 3

2
4
5

3 
5 
 2



Matriks Eselon
adalah matriks yang memenuhi sifat-sifat berikut:

Jika ada baris nol maka letaknya di bawah.
2. Jika suatu baris tak nol maka elemen tak nol pertama adalah satu.
Satu ini disebut satu utama / satu pemuka / leading entry.
3. Satu utama pada baris yang lebih awal terletak pada kolom yang lebih awal pula.
Contoh:
 1 2 3 0
0 1 2 3
0 1 0 1
A 0 0 1 1

B 
 0 0 1 3
0 0 0 1


0
0
0
0


 Matriks Eselon Tereduksi
1.

adalah matriks eselon yang pada setiap kolom yang memuat satu utama maka
elemen lainnya nol.
Contoh:

1
0
B 
0

0

0
1
0
0

0
0
1
0

0
1
3

0



Misalkan pada suatu matriks dilakukan operasi-operasi sebagai
berikut:
1. Saling menukar dua baris. (misalnya menukar baris ke-i dengan baris ke-j).
2. Mengalikan sutu baris dengan bilangan real tak nol. (Misalnya mengalikan

baris ke-i dengan k, k ≠ 0).
3. Menambahkan suatu baris dengan kelipatan baris lain (Misalnya baris ke-i
ditambah k kali baris ke-j)
Setiap operasi di atas disebut: OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) dan
berturut-turut dinyatakan dengan:
1. Rij
2. Ri(k) atau k. Ri
3. Rij(k) atau Ri + k.Rj

Contoh:
5
 2  1 3 1 3 5
1 3
1 3 5
1 0 2
1 3 5 R12  2  1 3 R21(  2 ) 0  7  7 R2   17  0 1 1 R12 (  3) 0 1 1

 











Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan satu kali atau
beberap kali OBE, maka dikatakan A ekuivalen baris B di
tulis A B.
Jika matriks B diperoleh dari matriks A melalui suatu OBE
maka dari B dapat diperoleh kembali matriks A melalui OBE
sejenis.





Misalkan:
 A Rij B  B Rij A

 
AR B  B R
A
 


AR B  B R A
 
Jika A, B, dan C tiga matriks berordo sama maka


i(k)

i(1/k)



ij(k)

ij(-k)

1. Jika A  B maka B  A (sifat simetri)
2. Jika A  B dan B  C maka A  C (sifat transitif)





Matriks elementer adalah matriks identitas yang dikenai satu
kali OBE.
 1 0 0
I 3 0 1 0
0 0 1

1 0 0
E23 0 0 1
0 1 0

Jika E suatu matriks elementer berordo mm, dan A suatu
matriks berordo mn maka EA hasilnya akan sama dengan
matriks yang diperoleh dari A dengan melakukan operasi baris
elementer yang sesuai.

 3  2  3  2 
Contoh:
Diketahui : A 0 4  R23 1 7 

 

1 7  0 4 
1
E23 0
0
1
EA 0
0

0 0
0 1
1 0
0 0
0 1
1 0

 3  2  3  2
 0 4   1 7 

 

1 7  0 4 



Definisi:
matriks persegi A disebut invers B jika AB = BA = I.
A disebut invers B dan B disebut invers A.
invers A di tulis A-1.

Invers matriks elementer merupakan matriks elementer juga.
 (Iij)-1 = Iij
 (Ii(k))-1 = Ii(1/k)
 (Iij(k))-1 = Iij(-k)  Mengapa ???



Contoh:

1 0 0
E23 0 0 1
0 1 0
1 0
E23 E23 0 0
0 1
1
I12 (  2 ) I12 ( 2) 0
0

1 0 0
I 0 1 0
0 0 1
0   1 0 0  1 0 0
1 0 0 1 0 1 0
0 0 1 0 0 0 1
 2 0 1 2 0   1 0 0 
1 0 0 1 0 0 1 0
0 1 0 0 1 0 0 1



Perhatikan sekarang

 2 3 dengan menggunakan
A 

3
4



beberapa kali OBE akan kita ubah metriks tersebut menjadi matriks
eseleon baris tereduksi.

 2 3  3 4
 1 1
1 1
1 0
 3 4 R12  2 3 R12(  1)  2 3 R21(  2 ) 0 1 R12(  1) 0 1

 








E12(  1) E21(  2) E12(  1) E12 A I

E 

E21(  2) E12(  1) E12   E12(  1) E21(  2) E12(  1) E12  A  E12(  1) E21(  2) E12(  1) E12  I
              
1

1

12 (  1)

I

A  E12(  1) E21(  2) E12(  1) E12 

1

A 1  E12(  1) E21(  2) E12(  1) E12  I



Contoh:

 2 3 1 0  3 4 0
R12 


 3 4 0 1  2 3 1
1 1  1 1 
1
R12(  1) 


 0 1 3  2
0

1 1  1 1
1
R12(  1) 
R21(  2 )


0
 2 3 1 0
0 4 3 
1 3  2

Banyaknya permutasi dari n elemen yang berlainan ialah n!, ditulis Pn =
n!
Contoh:
untuk n=3, misalnya {1, 2, 3} permutasinya P3 = 3! = 321 = 6; yaitu:
(1, 2, 3)(2, 1, 3)(3, 1, 2)
(1, 3, 2)(2, 3, 1)(3, 2, 1)
 Suatu inversi terjadi jika dalam suatu permutasi tercatat bilangan yang
lebih besar mendahului yang lebih kecil.
Contoh:


 1 2 3 4 5 6 inversinya 0, karena tidak ada bilangan yang lebih besar menadhului

yang lebih kecil.
 1 3 2 inversinya 1; yaitu 3 mendahului 2.
 6 5 4 3 2 1 inversinya 15 (selidiki sendiri!)




Permutasi genap  permutasi yang banyak inversinya genap.
Permutasi ganjil  permutasi yang banyak inversinya ganjil.
Permutasi

Banyaknya inversi

Klasifikasi

(1, 2, 3)

0

Genap

(1, 3, 2)

1

Ganjil

(2, 1, 3)

1

Ganjil

(2, 3, 1)

2

Genap

(3, 1, 2)

2

Genap

(3, 2, 1)

3

Ganjil



Perkalian elementer dari Ann ialah hasil kali n elemen dari A yang tidak
sebaris dan tidak sekolom.
Contoh:
 a11 a12 a13 

A  a21
 a31

a22
a32

a23 
a33 



Yaitu:



Perkalian elementer bertanda dari Ann adalah perkalian elementer dari A
dikalikan (-1) berpangkat jumlah inversinya.
Contoh: di atas



a11a22 a33
a12 a23 a31

a11 a23 a32
a13 a22 a31

a12 a21a33
a13 a21a32

 a11 a22 a33  a11 a23 a32  a12 a21a33
 a12 a23 a31  a13 a22 a31  a13a21a32




Determinan matriks Ann ditulis det A atau |A| didefinisikan sebagai
jumlah semua perkalian elementer bertanda dari A.
Contoh:

 a11
A  a21
 a31

 a11
A 
 a21

a12
a22
a32

a12 
a22 

a13 
a23 
a33 

A a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32  a13a22 a31
 a12 a21a33  a11a23a32

A a11a22  a12 a21

 a11
A  a21
 a31

a12
a22
a32

a13 
a23 
a33 

A Dapat dihitung dengan cara sebagai berikut:

a11



a12

a13 a11 a12

a21 a22
a31


a23 a21 a22

a13 a11
a23 a21

a12
a22

a13 a11
a23 a21

a32

a33 a31 a32

a33 a31

a32

a33 a31



+

+

+







+

+

+




Determinan yang terjadi jika baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan disebut
MINOR unsur aij; ditulis Mij
Contoh:

3
1 2
1 2
A  4  7 6 
M 23 
9  10  1
5 9
 5 9  1
 Kofaktor elemen aij ditulis Kij=(-1)(i+j)Mij


M 23

maka K23=(-1)2+3M23 = 1
1 2

9  10  1
5 9

Determinan matrik A dapat Juga
dihitung dengan :


i 1

A ( 1)



i 2

aM
i1

i1

 ( 1)



i n

a M
i2

i2

 ....  ( 1)

a M
in

(diuraikan atas baris ke i)
Atau

A a1 j K 1 j  a 2 j K 2 j  ....  a nj K nj

(diuraikan atas kolom ke j)

in

Contoh

3
1 2
4  7 6 
:

 5 9  1

3
1 2
4  7 6 


 5 9  1

3
1 2
4  7 6 


 5 9  1






Tuliskan sifat-sifat determinan beserta contohnya.
Jangan lupa tuliskan referensi yang Anda pakai.
Tugas ditulis tangan dengan rapi dalam kertas folio.
Dikumpulkan satu minggu setelah tugas ini diberikan.



Jika A adalah sebarang matriks n × n maka matriks kofaktor A adalah
matriks yang berbentuk

 K11 K12  K1n 
K

K

K
21
22
2
n

K ( A) 
 




K
K

K
n2
nn 
 n1
 Transpose matriks kofaktor A disebut matriks adjoin A dan dinyatakan
dengan adj(A)
 K11
K
adj ( A)  12
 

 K1n

K 21  K n1 
K 22  K n 2 



K 2 n  K nn 



Contoh:

 3 2  1
A 1 6
3 
 2  4 0 

K11 

6

3

4 0

12

3 1
K 32 
 10
1 3

Carilah K(A) = …? dan adj(A) = …?

K 21 

2

1

4

0

 12
K ( A)  4
 K 31

4

K 23 

K12 K13 
K 22 16 
 10 K 33 

3

2

2 4

16




Invers matriks A dihitung menggunakan matriks adjoint adalah sebagai
berikut.
1 2 3
Contoh:
A  2 5 3 A 1 ... ?
1 0 8

Menggunakan Operasi Baris Elementer:
1 2 3 1 0 0
1 2
1 0 9 5  2 0 R13( 9)
3 1 0 0
R
R

 21(  2 ) 
 12(  2 ) 

2
5
3
0
1
0
0
1

3

2
1
0
0
1

3

2
1
0

R

R

 R23(  3)
1 0 8 0 0 1 31(  1) 0  2 5  1 0 1 32(3) 0 0  1  5 2 1 R3(  1)
1 0 0  40 16 9 


0 1 0 13  5  3
0 0 1 5
 2  1

Jadi

  40 16 9 
A 1  13  5  3
 5
 2  1



Menggunakan matriks adjoint

1 2 3
 40  13  5
 40  16  9
A  2 5 3 Jadi K ( A)   16 5
2  dan adj ( A)   13 5
3 
1 0 8
  9
  5
3
1 
2
1 
1 2 31 2
A  2 5 3 2 5 40  6  0  15  0  32  1
1 0 81 0

 40  16  9   40 16 9 
1
1 
1
A  adj( A)    13 5
3   13  5  3
A
1
  5
2
1   5
 2  1

Bentuk umum :

dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi,
i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui.
Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.

SPL

Mempunyai penyelesaian
disebut KONSISTEN
Tidak mempunyai penyelesaian
disebut TIDAK KONSISTEN

TUNGGAL
BANYAK



SPL 2 persamaan 2 variabel:



Masing-masing pers berupa garis lurus.
Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis
ini.

kedua garis berhimpitan
kedua garis sejajar kedua garis berpotongan

SPL

BENTUK MATRIKS

STRATEGI MENYELESAIKAN SPL:
mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempuny
penyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk ya
lebih sederhana.

SPL
1. Mengalikan suatu
persamaan
dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua
persamaan sebarang.
3. Menambahkan kelipatan
suatu
persamaan ke persamaan
lainnya.

MATRIKS
1. Mengalikan suatu baris
dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua baris
sebarang.
3. Menambahkan kelipatan
suatu
baris ke baris lainnya.

Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (O

SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk sede
hana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu ba

DIKETAHUI

…………(i)
…………(ii)
…………(iii)

kalikan pers (i)
dengan (-2), kemudian tambahkan ke
pers (ii).

kalikan baris (i)
dengan (-2), lalu
tambahkan ke
baris (ii).

kalikan pers (i)
dengan (-3), kemudian tambahkan ke
pers (iii).

kalikan baris (i)
dengan (-3), lalu
tambahkan ke
baris (iii).

kalikan pers (ii)
dengan (1/2).

kalikan baris (ii)
dengan (1/2).

kalikan pers (ii)
dengan (1/2).

kalikan baris (ii)
dengan (1/2).

kalikan pers (ii)
dengan (-3), lalu
tambahkan ke pers
(iii).

kalikan brs (ii)
dengan (-3),
lalu
tambahkan ke
brs (iii).

kalikan pers (iii)
dengan (-2).

kalikan brs (iii)
dengan (-2).

kalikan pers (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke pers
(i).

kalikan brs (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke
brs (i).

kalikan pers (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke pers
(i).

kalikan pers (iii)
dengan (-11/2), lalu
tambahkan ke pers
(i) dan kalikan pers
(ii) dg (7/2), lalu
tambahkan ke pers
(ii)

kalikan brs (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke
brs (i).
kalikan brs (iii)
dengan (-11/2), lalu
tambahkan ke brs (i)
dan kalikan brs (ii)
dg (7/2), lalu
tambahkan ke brs (ii)

Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapa
kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasi
matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan
METODA ELIMINASI GAUSS.
KERJAKAN EXERCISE SET 1.1

Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:

maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.
Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi.
Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb:
1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen
tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading
1.
2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian
bawah.
3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada
leading
1 baris berikut.
4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya

Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3)
disebut
bentuk echelon-baris.
CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:

CONTOH bentuk echelon-baris:

dimana lambang ∗dapat diisi bilananga real sebarang.

dimana lambang ∗dapat diisi bilangan real sebarang.

Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah
mengubah
matriks ke dalam bentuk echelon-baris
tereduksi.
CONTOH: Diberikan SPL berikut.

Bentuk matriks SPL ini adalah:

-2B1 + B2B2

5B2+B3  B3
B4 B4+4B21 3 - 2 0 2

0 0
0 0 - 1 - 2 0 - 3 - 1


0 0 0 0 0 0 0 


0
0
4
8
0
18
6



B3 ⇄
B4

B3B3/3
-3B3+B2B2
2B2+B1B1

Akhirnya diperoleh:

Akhirnya, dengan mengambil x2:= r, x4:= s dan x5:= t maka diper
penyelesaian:

dimana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai
berhingga banyak penyelesaian.

Misalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut:
Bentuk ini ekuivalen dengan:

LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x6. Diperoleh:

LANGKAH 2: mulai dari baris paling bawah subtitusi ke atas,
diperoleh

LANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh:

LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi
maka peker-jaan substitusi selesai. Akhirnya dengan mengikuti
langkah pada metoda Gauss-Jordan sebelumnya diperoleh:

Mengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kem
menggunakan substitusi mundur.
CONTOH: Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian
PENYELESAIAN: Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut:

Dengan menggunakan OBE diperoleh bentuk echelon-baris berikut:

Dokumen yang terkait

Anal isi s K or e sp on d e n si S e d e r h an a d an B e r gan d a P ad a B e n c an a Ala m K li m at ologi s d i P u lau Jaw a

0 27 14

Anal isi s L e ve l Pe r tanyaan p ad a S oal Ce r ita d alam B u k u T e k s M at e m at ik a Pe n u n jang S MK Pr ogr a m Keahl ian T e k n ologi , Kese h at an , d an Pe r tani an Kelas X T e r b itan E r lan gga B e r d asarkan T ak s on om i S OL O

2 99 16

i PERENCANAAN ULANG BETON BERTULANG PADA BANGUNAN ATAS THE MALIOBORO HARITAGE HILL YOGYAKARTA DENGAN MENGGUNAKAN SISTEM RANGKA PEMIKUL MOMEN TERHADAP KETAHANAN GEMPA BERDASARKAN SNI 1726:2012

1 19 24

i PESAN DAKWAH ISLAM DALAM SINETRON KOMEDI (Analisis Isi Pada Sinetron Preman Pensiun 2 Karya Aris Nugraha di RCTI Episode 1-20)

5 43 55

i SKRIPSI AKTIVITAS HUMAS DALAM MENJALIN HUBUNGAN DENGAN MEDIA MASSA (Studi pada Perum Bulog Divre NTB Bulan November 2014)

8 126 17

i PESAN SOSIAL DALAM PORTAL BERITA (Analisis Isi Dalam MediaMahasiswa.com Periode Januari-Maret 2015)

0 36 22

I M P L E M E N T A S I P R O G R A M P E N Y A L U R A N B E R A S U N T U K K E L U A R G A M I S K I N ( R A S K I N ) D A L A M U P A Y A M E N I N G K A T K A N K E S E J A H T E R A A N M A S Y A R A K A T M I S K I N ( S t u d i D e s k r i p t i f

0 15 18

i PELAKSANAAN PEMOTONGAN PAJAK PENGHASILAN PASAL 4 AYAT 2 ATAS BAGI HASIL TABUNGAN PADA PT. BANK SYARIAH MANDIRI CABANG JEMBER

0 22 15

Penggunaan bahan ajar berbasis pendekatan kontekstual untuk meningkatkan kemampuan pemecahan masalah matematik peserta didik pada materi aljabar di MTsN Tangerang II Pamulang

0 25 307

Peran qaidah fiqhiyyah terhadap kebijakan pemerintah dalam penetapan 1 (satu) ramadhan dan i (satu) syawal di indonesia

1 28 114