Pembentukan Ring Faktor Pada Ring Deret Pangkat Teritlak Miring Ahmad Faisol

• | ( ) +Artin dan narrow .

  ( )( ) [6]. ( ) dikatakan Artin jika setiap barisan turun tegas dari anggota-anggotaS berhingga, dikatakan narrow jika setiap himpunan bagianS yang terurut trivial berhingga. Jika

  dan ( ) *( ) ( )

  ( ) ( )

  ( )( ) , ∑ ( ) ( ( )) ( ) ( )

  ( ) ( )

  Dengan operasi penjumlahan biasa dan operasi pergandaan yang didefiniskan sebagai berikut:

  , yaitu ( ). Dibentuk himpunan A, yaitu himpunan semua pemetaan dengan ( )

  , melambangkan image dari s atas

  Misalkan R ring dengan elemen satuan, ( )monoid terurut tegas, dan ( )homomorfisma monoid. Untuk sebarang

  narrow ,maka sebarang himpunan bagian X S juga Artin dan narrow [6].

  ( ) Artin dan

  ( ) dikatakan monoid terurut tegas jika urutannya compatible tegas, yaitu

  

Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013

Pembentukan Ring Faktor Pada Ring Deret Pangkat Teritlak

Miring

  ( )( , dan S dikatakan terurut trivial[1]. Himpunan tak kosong S dengan operasi biner yang assosiatif dan mempunyai elemen identitasdisebut monoid [3]. Himpunan

  Himpunan S yang dilengkapi dengan suatu urutan parsial ”≤” disebut himpunan terurut dan dinotasikan dengan ( ).Urutan “≤” dikatakan urutan trivial jika

  Misalkan S himpunan tak kosong, relasi biner “≤” pada S disebut relasi urutan parsial jika memenuhi sifat refleksif, anti simetris, dan transitif.

  PENDAHULUAN

  

Kata Kunci: Ring Deret Pangkat Teritlak Miring (RDPTM), Ideal RDPTM,Ring Faktor,

Isomorfima Ring.

  

( ⁄)[, -].

  ⁄ , yaitu ,, -- ,, -- ⁄

  ,, -- ⁄ dengan I[[S, ]] adalah ideal di RDPTM R[[S,]]. Selanjutnya

ditunjukkan juga bahwa ring faktor pada RDPTM isomorfik dengan RDPTM atas ring

faktor

  

Email : faisol_mathunila@yahoo.co.id

Abstrak.Misalkan R ring dengan elemen satuan,(S,  ,≤) monoid terurut tegas, dan  :

S End(R) homomorfisma monoid. Himpunan semua fungsi dari S ke R dengan support

Artin dan narrow yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan pergandaan,

merupakan suatu ring yang disebut Ring Deret Pangkat Teritlak Miring (RDPTM) dan

dinotasikan dengan R[[S, ,≤]] atauR[[S,]]. Jika I ideal dari R, maka dapat dibentuk himpunan ⁄ yang merupakan ring yang disebut dengan ring faktor. Dalam tulisan ini

dibahas tentang pembentukan ring faktor pada RDPTM, yaitu ring faktor

,, --

  

Ahmad Faisol

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung

Jl. Prof. Soemantri Brojonegoro No. 1 Bandar Lampung

  ( )| +, himpunan Amerupakan suatu ring yang disebut Ring Deret Pangkat

  ⁄ , yaitu ,, --

  ( ⁄),, --, denganI ideal ring R, ( )monoid terurut tegas,

  ( ) dan ( ⁄ ) homomorfisma monoid.

METODE PENELITIAN

  Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Langkah-langkah yang digunakan adalah sebagai berikut.Mendefinisikan idealI[[S, ]] dari RDPTM R[[S, ]].

  Membentuk ring faktor dari R[[S, ]] oleh

  I [[S, ]], yaitu ring

  ,, -- ,, --

  ⁄ . Menyelidiki apakah berlaku ,, --

  ,, -- ⁄ ( ⁄),, --.

  ( ) merupakan ideal dari R dan ( ) merupakan subring di T. Sehingga berlaku

  

Ahmad Faisol: Pembentukan Ring Faktor Pada Ring Deret Pangkat Teritlak Miring

  ⁄ yang juga merupakan ring yang disebut dengan ring faktor dari R oleh I. Jika adalah homomorfisma ring, maka

  ,, -- atau R[[S]] [6]. Jika I ideal dari ring R, maka dapat dibentuk himpunan

  penjumlahan dan pergandaan yang sama pada ring monoid R [S]. RDPT dinotasikan dengan

  narrow , yang dilengkapi dengan operasi

  Sedangkan RDPT merupakan generalisasi dari ring deret pangkat formal R[[X]] dan ring monoid R[S], yaitu himpunan semua fungsi dari monoid terurut tegas S ke ring komutatif dengan elemen satuan R dengan ( ) * | ( ) + Artin dan

  ]] didefinisikan sebagai { dan { . RDPTM merupakan generalisasi dari Ring Deret Pangkat Teritlak (RDPT).

  e s R[[S,

  Teritlak Miring (RDPTM), dandinotasikan Misalkan r R. Pemetaaan c r ,

  ,, -- ⁄

HASIL DAN PEMBAHASAN

  .Karena RDPTM merupakan generalisasi dari RDPT, maka pada penelitian ini akan diselidiki apakah ring faktor pada RDPTM isomorfik dengan RDPTM atas ring faktor

  Jika I ideal dari ring R, maka [, -] { [, -]| ( ) }merupak an ideal dari ring

  ( ) ⁄

  [, -].

  ( ) ( ) ( )( ) untuk setiap . Dengan kata lain terbukti

  ( ) ( ) untuk setiap . Karena I ideal R, maka berakibat

  [, -]. Jelas bahwa

  Untuk sebarang [, -], akan ditunjukkan

  Bukti :

  [, -].

  Lemma 1 [2].

  ,, -- ⁄

  Pada bagian ini dibahas tentang ideal RDPTM dan pembentukan ring faktor pada RDPTM serta pembuktian isomorfis antara ring faktor pada RDPTM dengan RDPTM atas ring faktor.

  ( ). Persamaan ini dikenal sebagai Teorema Homomorfisma Ring 1 [1].

  Jika I ideal dari ring R, maka [, -] * ,, --| ( )

• merupakan ideal dari RDPTR[[S]][6], dan juga berlaku

  ,, -- ,, --

  ⁄ ( ⁄),, -- [5]. Jika I ideal dari ring R, maka

  [, -] * ,, --| ( ) + merupakan ideal dari ring R[[S,]] [2]. Sehingga dapat dibentuk ring faktor dari

  R [[S,

  ]] oleh I[[S,]], yaitu ring ,, --

  

Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013

  ,, -- ⁄

  ( ) ( ), karena jika( ) Artin dan

  narrow , maka sebarang himpunan bagian X S juga Artin dan narrow [6].

  Ambil sebarang ( ), maka

  ( )( ) . Sehingga ( ( )) , yang berakibat ( ) . Dengan kata lain diperoleh

  ( ). Jadi terbukti ( ) ( ), dengan kata lain terbukti

  ( ) Artin dan narrowatau ( ⁄),, --.

  Teorema 3.

  Diberikan RDPTM ,, -- dan

  ( ⁄),, --. Misalkan I ideal dari ring R dan ⁄ homomorfisma proyeksi natural. Jika untuk setiap

  , maka ,, --

  ( ⁄),, --

  narrow . Karena

  Bukti :

  Bentuk pemetaan ,, --

  ( ⁄),, -- dengan definisi ( ) .Akan ditunjukkan well-defined.

  Ambil sebarang ,, -- dengan

  . Sehingga diperoleh , dengan kata lain ( ) ( ). Jadi terbukti well-defined. Akan ditunjukkan merupakan homomorfisma ring.Ambil sebarang

  ,, -- dan , akan ditunjukkan ( ) ( ) ( ).

  ( ( ))( ) ( ( ))( ) ( )( ) ( ( ) ) ( ( ) )

  ( )( ) ( )( ) ( )( )

  ( ( ) ( ))( ) Jadi terbukti

  ( ) ( ) ( ).Selanjutnya, akan ditunjukkan ( ) ( ) ( ). ( ( ))( ) ( ( ))( ) ( )( ) ( ∑ ( ) ( ( ))

  ( ) ( )

  ,, --, maka jelas ( ) Artin dan narrow. Sehingga cukup menunjukkan

  Akan ditunjukkan ( ) Artin dan

  Untuk sebarang dan [, -], akan ditunjukkan [, -].

  ̅ ̅ ̅̅̅̅

  Jelas bahwa ( ) untuk setiap

  . Karena I ideal R, maka untuk sebarang berlaku ( )

  ( )( ) dan ( ) ( )( ) untuk setiap . Dengan kata lain terbukti

  [, -]. Jadi terbukti bahwa jika I ideal dari ring

  R , maka

  [, -] { [, -]| ( ) }merupak an ideal dari RDPTM

  [, -]. Dengan definisi ideal pada Lemma 1, maka dapat dibentuk ring faktor pada

  RDPTM, yaitu himpunan ,, --

  ,, -- ⁄ terhadap operasi penjumlahan

  ̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅ dan operasi pergandaan

  untuk setiap ̅ ̅

  Bukti :

  ,, -- ,, --

  ⁄ . Jika diberikan ring faktor

  ⁄ , monoid terurut tegas ( ), dan homomorfisma monoid

  ( ⁄)

  ,

  maka dapat dibentuk RDPTM ( ⁄),, --.

  Lemma 2.

  Diberikan RDPTM ,, -- dan

  ( ⁄),, --. Misalkan I ideal dari ring R dan ⁄ homomorfisma proyeksi natural. Untuk sebarang

  ,, -- dapat dibentuk pemetaan ⁄ dengan

  ( ⁄),, --.

  )

  ( ), maka ( ) . Dengan kata lain ( ( )) untuk setiap

  ( ( )) . Selanjutnya diambil suatu ( ( )), jelas jika ( ) , maka

  , akibatnya ( ) untuk setiap . Jadi terbukti [, -], atau

  ( ) [, -].Jadi terbukti [, -] ( ).Dari (i), (ii), (iii), dan (iv), berdasarkan Teorema Isomorfisma Ring 1, diperoleh ,, --

  

Ahmad Faisol: Pembentukan Ring Faktor Pada Ring Deret Pangkat Teritlak Miring

  ,, -- ⁄ ( ⁄),, --.

  KESIMPULAN

  Dari hasil yang telah diperoleh, dapat disimpulkan bahwa pembentukkan ring faktor pada RDPTM dapat dilakukan dengan terlebih dahulu mendefinisikan ideal di RDPTM dan terbukti bahwa ring faktor pada RDPTM isomorfik dengan RDPTM atas ring faktor R oleh I.Untuk penelitian selanjutnya, dapat diselidiki tentang teorema isomorfisma ring 2 dan 3 pada RDPTM.

  ( ) * | ( ) +

  ,, --, yaitu ( ) Artin dan narrow .

  . Misalkan terdapat dengan ( ) , untuk setiap dan ( ( )). Akan ditunjukkan

  ⁄ ,, --, maka untuk setiap , ( ) ⁄. Karena homomorfisma proyeksi natural, maka

  Selanjutnya, akan ditunjukkan ( ) [, -]. Ambil sebarang

  ( ) . Ambil Sebarang

  Dengan kata lain akan ditunjukkan surjektif, yaitu untuk setiap ( ⁄),, --, terdapat ,, -- sedemikian sehingga

  ( ) ( ) ( ). Akan ditunjukkan ( ⁄)[, -] ( ).

  (( )( ))( ) ( ( ) ( ))( ) Jadi terbukti

  ( ) ( )

  ∑ ( )( ) (( )( ))

  ( ) ( )

  ∑ ( ( )) ( ( ( )))

  ( ) ( )

  ∑ ( ( ) ( ( )))

• | +
• | ( ) +

DAFTAR PUSTAKA

  ( ) untuk setiap [, -] [, -]. Jadi terbukti ( ), atau [, -] ( )

  ( ( )) . Akibatnya ( ( )) ( )( ) ( ( ))( ) , dengan kata lain

  ( ) untuk setiap . Karena ⁄ homomorfisma proyeksi natural, maka

  [, -] ( ). Ambil sebarang [, -], maka

  ,, --dan( ( ))( ) ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) untuk setiap . Jadi terbukti surjektif.

  ( ) Artin dan narrow, maka terbukti ( ) Artin dan narrow, dengan kata lain terbukti

  ( ) Karena

  Adkins, W.A and Weintraub,S.H.(1992).Algebra, An

  Aproach via Module Theory . Springer- Verlag.

  Faisol, A. (2010). Ideal Ring Deret Pangkat Teritlak Miring. Prosiding

  Seminar Nasional Sains MIPA dan Aplikasinya 2010 .

  Howie, J.M.(1976).An Introduction to Semigroup Theory.Academic Press Inc., London.

  Mazurek, R. and Ziembowski, M.(2007).

  Uniserial Rings of Skew Generalized Power Series.Journal of Algebra. Vol.318, 737-764.

  Akan ditunjukkan [, -] ( ). Pertama akan ditunjukkan

  

Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013

  Minqing Xiao and Lin Xin.(2003). Ideal Ribenboim, P.(1990).Generalized Power Series Rings. In Lattice, Semigroups and Idempotents of the Rings of

  and Universal Algebra , Plenum Press,

  Generalized Power Series. Vietnam New York , 271-277.

  Journal of Mathematics , 31(3): 313- 323.