Scrambling Index dari Graf Ring Star dan Variasinya

SCRAMBLING INDEX DARI GRAF RING-STAR DAN VARIASINYA
SKRIPSI FITRIANA 100803027
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Universitas Sumatera Utara

SCRAMBLING INDEX DARI GRAF RING STAR DAN VARIASINYA
SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat
mencapai gelar Sarjana Sains
FITRIANA 100803027
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Universitas Sumatera Utara

PERSETUJUAN

Judul

: Scrambling Index dari Graf Ring Star dan Variasinya

Kategori

: Skripsi

Nama

: Fitriana

Nomor Induk Mahasiswa : 100803027

Program Studi

: Sarjana (S1) Matematika

Departemen

: Matematika

Fakultas

: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Medan, Oktober 2014

Komisi Pembimbing : Pembimbing 2

Pembimbing 1

Dr. Mardiningsih, M.Si NIP.19630405 198811 2 001

Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP.19640109 198803 1 004

Diketahui oleh : Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. 19620901 198803 1 002

i
Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN SCRAMBLING INDEX DARI GRAF RING STAR DAN VARIASINYA
SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Oktober 2014 FITRIANA 100803027
ii
Universitas Sumatera Utara

PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat dan ridho-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini yang berjudul ”SCRAMBLING INDEX DARI GRAF RING STAR DAN VARIASINYA” . Shalawat dan salam dipersembahkan kepada Rasulullah Muhammad SAW, semoga keberkahan selalu tercurah kepada beliau, keluarga, sahabat dan para pengikutnya.
Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis banyak mendapatkan bantuan, motivasi, do’a dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU Medan.
2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing I dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku Dosen Pembimbing II, yang telah banyak membantu penulis dan memberikan dukungan baik berupa nasihat, motivasi maupun ilmu pengetahuan kepada penulis dalam menyelesaikan penelitian ini.
3. Bapak Dr. Suwarno Ariswoyo, M.Si, selaku Dosen Pembanding I, dan Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, selaku Dosen Pembanding II, yang telah memberikan nasehat, kritik dan saran yang membangun selama penelitian.
4. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara, Medan.
5. Ibunda Demsi Marpaung dan Ayahanda Parwono serta adinda Dwi Indah Noviana dan Riski Ramadhan yang dengan sabar membimbing, memotivasi, mend’oakan, mengingatkan dan memberikan dukungan moril maupun materil selama penulisan skripsi ini.
iii
Universitas Sumatera Utara

Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada teman-teman (Ayu, Ibah, Dewi, Husna, Lani, Rika dan Tria) yang senantiasa saling menyemangati dan saling memotivasi dalam menyelesaikan skripsi ini, semoga Allah meridhoi semua usaha yang dilakukan. Terima kasih kepada rekan-rekan Komutatif 2010, Murni 2010, Al FALAK, IM3, HMM, dan lainnya yang telah banyak memberikan inspirasi dan pengalaman yang berharga dan berguna untuk bekal hidup di masa yang akan datang, hanya Tuhan yang dapat membalasnya.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini, untuk itu saran dan kritik yang membangun dari pembaca sangat diharapkan. Penulis menyampaikan terima kasih atas perhatiannya, semoga tulisan ini dapat bermanfaat.
Medan, Oktober 2014
FITRIANA

iv
Universitas Sumatera Utara

SCRAMBLING INDEX DARI GRAF RING STAR DAN VARIASINYA ABSTRAK
Sebuah graf terhubung G dikatakan primitif bila terdapat bilangan bulat positif k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v terdapat jalan yang menghubungkan u dan v dengan panjang k. Scrambling index dari sebuah graf primitf G, k(G), adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda terdapat sebuah titik w dengan sifat bahwa ada jalan yang menghubungkan u dan w dengan panjang k. Untuk sebuah s-ring star R dengan panjang lingkaran ganjil s diperlihatkan bahwa k(R) = (s + 1)/2. Dua variasi graf ring star yang lainnya adalah graf s-wheel (W ) yang dan graf s-steering ship (S) dengan nilai scrambling index masing-masing graf adalah k(W ) = 1 untuk graf s-wheel dan k(S) = 2 untuk graf s-steering ship. Kata kunci: terhubung, graf primitif, ring star, scrambling index.
v
Universitas Sumatera Utara

SCRAMBLING INDEX OF RING STAR GRAPH AND ITS VARIATION ABSTRACT
A connected graph G is called primitive provided that there is a positive integer k such that for each pair of vertices u dan v in G there is a walk of length k connecting u and v. A scrambling index of a primitive graph G, k(G), is the smallest positive integer k such that for each pair of distinct vertices u and v there is a vertex w with the property that there is a walk connecting u and v and a walk connecting v and w of length k. For a s-ring star R with cycle of odd length s we show that k(R) = (s + 1)/2. Two others variation of ring star graph is s-wheel (W ) graphand s-steering ship (S), we show that k(W ) = 1 for s-wheel graph and k(S) = 2 for s-steering ship graph. Keywords: connected, primitive graph, ring star, scrambling index.
vi
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Graf 2.2 Matriks Ketetanggaan (Adjacency) 2.3 Graf Terhubung 2.4 Primitifitas suatu Graf 2.5 Matriks Tak Negatif dan Eksponen dari Graf
2.5.1 Matriks Tak Negatif 2.5.2 Eksponen dari Graf 2.6 Scrambling Index 2.6.1 Scrambling Index Graf Primitif 2.6.2 Scrambling Index dari Lingkaran Ganjil

Halaman

i ii iii v vi vii ix
1
1 4 5 5
6
6 7 9 11 12 12 14 15 15 17

vii
Universitas Sumatera Utara

2.6.3 Graf dengan Scrambling Index 1 BAB 3 METODE PENELITIAN
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Scrambling Index dari Graf Ring Star 4.2 Scrambling Index dari Graf Wheel 4.3 Scrambling Index dari Graf Steering Ship
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan 5.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA

18 20
21 21 22 24 25 25 26 27

viii
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR GAMBAR

Nomor Gambar

Judul

Halaman

1.1 Bentuk umum graf primitif s-ring star (R)

3

1.2 Bentuk umum graf primitif s-wheel (W )

4

1.3 Bentuk umum graf primitif s-steering ship (S)

4

2.1 Sebuah graf

6

2.2 Graf 4-wheel (W)

8

2.3 Contoh graf terhubung dan graf tidak terhubung

10

2.4 Contoh graf primitif

12

4.1 Lintasan terpendek yang menghubungkan vs+1 dan v2s

21

4.2 Setiap titik di W berada pada sebuah segitiga

23

4.3 u, v pada 2 segitiga berbeda terhubung dengan panjang jalan = 2

23

ix
Universitas Sumatera Utara

SCRAMBLING INDEX DARI GRAF RING STAR DAN VARIASINYA ABSTRAK
Sebuah graf terhubung G dikatakan primitif bila terdapat bilangan bulat positif k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v terdapat jalan yang menghubungkan u dan v dengan panjang k. Scrambling index dari sebuah graf primitf G, k(G), adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda terdapat sebuah titik w dengan sifat bahwa ada jalan yang menghubungkan u dan w dengan panjang k. Untuk sebuah s-ring star R dengan panjang lingkaran ganjil s diperlihatkan bahwa k(R) = (s + 1)/2. Dua variasi graf ring star yang lainnya adalah graf s-wheel (W ) yang dan graf s-steering ship (S) dengan nilai scrambling index masing-masing graf adalah k(W ) = 1 untuk graf s-wheel dan k(S) = 2 untuk graf s-steering ship. Kata kunci: terhubung, graf primitif, ring star, scrambling index.
v
Universitas Sumatera Utara

SCRAMBLING INDEX OF RING STAR GRAPH AND ITS VARIATION ABSTRACT
A connected graph G is called primitive provided that there is a positive integer k such that for each pair of vertices u dan v in G there is a walk of length k connecting u and v. A scrambling index of a primitive graph G, k(G), is the smallest positive integer k such that for each pair of distinct vertices u and v there is a vertex w with the property that there is a walk connecting u and v and a walk connecting v and w of length k. For a s-ring star R with cycle of odd length s we show that k(R) = (s + 1)/2. Two others variation of ring star graph is s-wheel (W ) graphand s-steering ship (S), we show that k(W ) = 1 for s-wheel graph and k(S) = 2 for s-steering ship graph. Keywords: connected, primitive graph, ring star, scrambling index.
vi
Universitas Sumatera Utara

BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf adalah cabang kajian matematika yang mempelajari sifat-sifat graf. Secara sederhana, suatu graf adalah himpunan benda-benda yang disebut titik yang terhubung oleh sisi. Biasanya graf digambarkan sebagai kumpulan titiktitik yang dihubungkan oleh garis-garis (melambangkan sisi). Suatu sisi dapat menghubungkan suatu titik dengan titik yang sama. Sisi yang demikian disebut loop.
Andaikan G adalah sebuah graf. Sebuah jalan dengan panjang t yang menghubungkan titik u dan v di G merupakan sebuah barisan t buah sisi dalam bentuk
{u = u0, u1}, {u1, u2}, {u2, u3}, ..., {ut−1, ut = v}
yang dapat dinotasikan dengan u = v0 ↔ v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ vt−1 ↔ vt = v. Lebih sederhananya, sebuah jalan dengan panjang t yang menghubungkan titik u dan v dinotasikan dengan u ←t→ v. Sebuah jalan dengan u = v dikatakan terbuka dan sebuah jalan dengan u = v dikatakan tertutup. Sebuah jalan adakalanya memuat sisi yang berulang. Sebuah jalan tanpa perulangan sisi disebut sebagai lintasan. Panjang lintasan adalah jumlah sisi pada lintasan tersebut. Jarak dari u dan v, yaitu d(u, v) merupakan panjang dari lintasan terpendek yang menghubungkan u dan v. Sebuah lintasan dikatakan tertutup apabila u = v. Sebuah lingkaran adalah suatu lintasan tertutup.
Sebuah graf G dikatakan terhubung apabila untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat jalan yang menghubungkan u dan v. Sebuah graf terhubung G dikatakan primitif apabila terdapat bilangan bulat positif k sedemikian sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat jalan sepanjang k dari titik u ke titik v di G. Bilangan bulat positif k yang terkecil disebut dengan eksponen dari G dan dinotasikan dengan exp(G). Sebuah graf G juga dikatakan primitif jika dan hanya jika terhubung dan mengandung lingkaran dengan panjang ganjil.
1
Universitas Sumatera Utara

2

Penelitian mengenai eksponen telah banyak dilakukan diantaranya Fuyi et al. (1999) yang membuktikan bahwa setiap graf primitif ganjil harus memuat 2 titik yang saling lepas dengan lingkaran ganjil, serta menggolongkan keluarga dari graf primitif ganjil yang eksponennya mencapai batas atas.

Akelbek dan Kirkland (2009) pertama kali memperkenalkan scrambling in-

dex dengan mendefinisikan scrambling index dari graf primitif G, dinotasikan

dengan k(G) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap dua

titik u dan v yang berbeda di G, terdapat sebuah titik w dengan sifat terdapat u ↔k w dan v ↔k w. Untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda, scrambling

index lokal dari u dan v adalah bilangan bulat positif ku,v(G) yang didefinisikan

sebagai

ku,v (G)

=

min{k
w∈V

:

u

↔k

w

dan

v

↔k

w}

Dari definisi scrambling index k(G) dan scrambling index lokal ku,v(G) diperoleh hubungan k(G) ≥ ku,v(G). Karena G adalah graf terhubung, maka untuk setiap bilangan bulat l ≥ ku,v(G) dapat ditemukan sebuah titik w′ sehingga terdapat u ↔l w′ dan v ↔l w′. Hal ini mengakibatkan nilai dari k(G) yang
juga disebut dengan scrambling index global adalah maksimum dari nilai-nilai
scrambling index lokal ku,v(G) yang didefinisikan sebagai

k(G) = mu=avx{ku,v(G)}

Scrambling index dari sebuah graf primitif G dapat diselesaikan menggunakan matriks ketetanggaan dari G yaitu matriks A(G)n×n = (aij), dimana aij = 1 jika vi adjacent terhadap vj dan aij = 0 untuk lainnya. Karena aij = aji maka A adalah matriks simetris. Scrambling index dari A adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian sehingga untuk setiap dua baris dari Ak memiliki paling sedikit satu entri positif pada kolom yang sama, dinotasikan dengan k(A).
Pada awalnya, penelitian mengenai scrambling index dilakukan pada kelas digraf primitif. Akelbek dan Kirkland (2009a) memperlihatkan tentang batas atas pada scrambling index dari digraf primitif D dengan n titik dan s lilitan. Lebih lanjut Akelbek dan Kirkland (2009b) juga memperlihatkan tentang karakteristik dari semua digraf primitif sehingga scrambling index sama dengan batas atas pada scrambling index digraf primitif D.

Universitas Sumatera Utara

3

Chen dan Liu (2010) memperlihatkan hubungan antara scrambling index dan eksponen dari graf primitif, jika G adalah graf primitif dengan order n ≥ 2 dan u, v adalah pasangan titik dari G adalah

ku,v(G) ≤

expG(u, v) 2

dan k(G) =

exp(G) 2

dengan ⌈a⌉ adalah integer terkecil ≥ a.

Chen dan Liu juga mendiskusikan tentang karakteristik graf primitif yang scrambling index sama dengan nilai maksimum dari scrambling index graf primitif G. Selanjutnya, Liu dan Huang (2010) memberikan batas atas untuk scrambling index dari graf primitif dengan lingkaran sepanjang s yaitu

k(G) ≤ (s − 1)/2 + (n − s)

Batas ini dicapai untuk graf primitif G dengan lingkaran ganjil Cs sepanjang s dengan maxv∈V{d(v, Cs)} = n − s.
Gao dan Shao (2013) melakukan penelitian tentang scrambling index dari graf primitif berbentuk lingkaran atas n titik ganjil Cs : v1 ↔ v2 ↔ v3 ↔ · · · ↔ vs ↔ v1, yaitu k(Cn) = (n − 1)/2. Penelitian ini akan secara khusus membahas mengenai scrambling index dari kelas graf primitif ring star dan 2 buah variasinya yaitu graf wheel dan steering ship, dengan definisi sebagai berikut:

1. Graf s-Ring star (R) terdiri dari sebuah lingkaran dengan panjang s ≥ 3 dimana s adalah ganjil bersama s buah sisi yang menghubungkan masingmasing titik pada lingkaran dengan sebuah titik lain di luar lingkaran.

Gambar 1.1 : Bentuk umum graf primitif s-ring star (R)
Universitas Sumatera Utara

4 2. Graf s-Wheel (W ) terdiri dari satu buah lingkaran dengan panjang s ≥ 2
dan s buah sisi yang menghubungkan masing-masing titik pada lingkaran dengan satu buah titik di dalam lingkaran.
Gambar 1.2 : Bentuk umum graf primitif s-wheel (W ) 3. Graf s-Steering Ship (S) terdiri dari satu buah lingkaran dengan panjang
s ≥ 2 dan 1 buah titik di dalam lingkaran yang menghubungkan dirinya dengan semua titik pada lingkaran serta s buah sisi yang menghubungkan masing-masing titik pada lingkaran dengan 1 buah titik lain di luar lingkaran.
Gambar 1.3 : Bentuk umum graf primitif s-steering ship (S)
1.2 Perumusan Masalah Penelitian ini membahas mengenai graf primitif ring star dan dua variasi lainnya yaitu graf primitif wheel dan graf primitif steering ship. Andaikan terdapat graf s-ring star (R), graf s-Wheel (W ), dan graf s-Steering Ship (S) apakah bentuk umum dari nilai scrambling index pada graf-graf tersebut? Karena syarat dari scrambling index adalah graf primitif yang harus memuat lingkaran ganjil, maka untuk kasus s-ring star (R) s ≥ 3 dan s adalah ganjil.
Universitas Sumatera Utara

5 1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah mendapatkan pola atau bentuk umum nilai scrambling index dari kelas graf primitif s-ring star (R), s-wheel (W ) dan ssteering ship (S). 1.4 Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan dapat memberikan teori-teori baru tentang scrambling index dari kelas graf primitif, terutama kelas graf ring star, sehingga dapat menjadi referensi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Universitas Sumatera Utara

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar yang berkaitan dengan permasalahan, seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini.
2.1 Graf Graf G adalah pasangan (V (G), E(G)) dengan V (G) adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik, dan E(G) adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurut dari titik-titik yang berbeda di V (G) yang disebut sisi (Abdusakir et al.,2009). Titik disajikan dalam bentuk noktah atau lingkaran kecil dan sisi disajikan dalam bentuk garis atau kurva yang memasangkan dua titik. Titik pada graf dapat dinomori dengan huruf, seperti a, b, c, · · · , u, v, · · · , dengan bilangan asli, 1, 2, 3, · · · atau gabungan keduanya. Sedangkan sisi yang menghubungkan titik u dengan titik v dinyatakan dengan pasangan (u, v) atau dinyatakan dengan lambang e1, e2, · · · . Jadi, jika e adalah sisi yang menghubungkan titik u dan titik v, maka e dapat ditulis sebagai e = (u, v), u dan v disebut sebagai titik ujung dari sisi e. Sisi-sisi yang memiliki titik ujung sama disebut sisi ganda dan suatu sisi yang menghubungkan sebuah titik ke dirinya sendiri disebut loop. Cara yang paling mudah dalam menyajikan graf adalah dengan menggunakan gambar atau grafis, dengan bentuk inilah sifat-sifat graf dapat dikenali secara detail. Contoh 2.1 Berikut merupakan contoh representasi grafis dari sebuah graf
Gambar 2.1 : Sebuah graf
6
Universitas Sumatera Utara

7
Andaikan G adalah sebuah graf. Misalkan u dan v adalah titik di G. Sebuah jalan dengan panjang m yang menghubungkan titik u dan v di G merupakan sebuah barisan m sisi dalam bentuk {u = vv, u1}, {v1, v2}, ..., {vm−1, vm = v}, juga dapat dinotasikan dengan u = v0 ↔ v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ vm−1 ↔ vm = v. Untuk lebih sederhananya, sebuah jalan dengan panjang m yang menghubungkan titik u dan v dinotasikan dengan u ←t→ v. Sebuah jalan dengan u = v dikatakan terbuka dan sebuah jalan dengan u = v dikatakan tertutup. Sebuah jalan memungkinkan terdapat sisi yang berulang. Sebuah jalan tanpa perulangan sisi disebut sebagai lintasan. Lebih lanjut dalam sebuah lintasan sangat memungkinkan juga terdapat penggunaan titik secara berulang. Sebuah lintasan tanpa pengulangan titik, kecuali mungkin titik-titik ujungnya, disebut sebagai sebuah lintasan sederhana. Panjang lintasan adalah jumlah sisi pada lintasan tersebut. Sebuah lintasan dikatakan terbuka apabila u = v dan dikatakan tertutup (cycle) apabila u = v. Sebuah lingkaran adalah suatu lintasan tertutup. Jarak dari u dan v, yaitu d(u, v) merupakan panjang dari lintasan terpendek yang menghubungkan u dan v.
Teorema 2.1 Andaikan G adalah sebuah graf. Setiap jalan yang menghubungkan titik u dan titik v di G memuat lintasan yang menghubungkan titik u dan titik v.
Bukti. Andaikan W : u = v0 ↔ v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ vm = v adalah sebuah jalan yang menghubungkan titik u dan titik v. Jika semua titik v1, v2, · · · vt−1 adalah berbeda, maka W adalah sebuah lintasan yang menghubungkan u dan v. Jika tidak, maka terdapat bilangan i dan j dengan i ≤ j sehingga vi = vj. Buang jalan vi ↔ vi+1 ↔ · · · ↔ vj−1 sehingga dihasilkan sebuah jalan W ′ yang menghubungkan u dengan v dan lebih pendek dari jalan W . Jika W ′ memuat titik tengah yang berulang, maka ulangi proses di atas sehingga pada akhirnya ditemukan sebuah jalan W ′′ yang tidak memuat titik tengah berulang. jalan W ′′ adalah sebuah lintasan yang menghubungkan titik u dengan titik v.
2.2 Matriks Ketetanggaan (Adjacency) Merepresentasikan graf secara grafis merupakan cara yang mudah untuk menjelaskan suatu graf, tetapi memiliki kelemahan ketika akan mempelajari graf melalui hitungan matematis atau ketika mengolah data graf menggunakan aplikasi komputer. Merepresentasikan graf dalam bentuk matriks akan memberikan
Universitas Sumatera Utara

8

kemudahan untuk menyelesaikan permasalahan yang melibatkan graf dengan bantuan komputer.

Matriks ketetanggaan dari graf G, dinotasikan dengan A(G), adalah matriks (n × n) dengan unsur pada baris ke-i dan kolom ke-j bernilai 1 jika titik vi terhubung langsung dengan titik vj serta bernilai 0 jika titik vi tidak terhubung langsung dengan titik vj.



1, aij =

jika vi ke vj ∈ E(G)

0, jika vi ke vj ∈/ E(G)

Oleh definisi matriks ketetanggaan, diperoleh aij = aji untuk semua 1 ≤ i, j ≤ n. Akibatnya, matriks ketetanggaan A(G) dari G adalah matriks simetris.

Contoh 2.2 Berikut adalah sebuah graf

Gambar 2.2 : Graf 4-wheel (W) Matriks ketetanggaan dari graf pada gambar 2.2 adalah

0 1 0 1 1

 

1

0

1

0

1

 

 A(G) =  0 1 0 1 1 


 1 0 1 0 1 

11110

Universitas Sumatera Utara

9
2.3 Graf Terhubung Titik u dan v di G dikatakan terhubung jika terdapat sebuah jalan di G yang menghubungkan titik u dengan titik v. Sebuah titik dalam sebuah graf adalah terhubung dengan dirinya sendiri. Sehingga relasi 2 titik terhubung adalah refleksif. Jika u dan v adalah 2 titik yang terhubung maka terdapat jalan yang menghubungkan u dengan v, tetapi dengan bergerak mundur diperoleh sebuah jalan yang menghubungkan v dengan u. Sehingga v terhubung dengan u. Jadi relasi 2 titik terhubung adalah relasi simetrik. Selanjutnya jika u dan v adalah terhubung dan titik v dan w adalah terhubung, maka terdapat jalan yang menghubungkan u dengan v dan jalan yang menghubungkan v dengan u. Hal ini berakibat bahwa jalan yang menghubungkan u dengan v, kemudian dilanjutkan dengan jalan yang menghubungkan v dengan w adalah sebuah jalan yang menghubungkan u dengan w. Sehingga titik u terhubung dengan titik w. Jadi relasi 2 titik terhubung adalah transitif. Dapat disimpulkan bahwa relasi 2 titik terhubung adalah relasi ekivalensi.
Kelas ekivalensi dari relasi 2 titik terhubung disebut sebagai komponen terhubung dari graf G. Sebuah graf G dikatakan terhubung jika G mempunyai tepat satu komponen terhubung, artinya sebuah graf dikatakan terhubung jika untuk setiap pasangan titik u dan v terdapat sebuah jalan yang menghubungkan titik u dengan titik v. Berikut diberikan sebuah cara untuk mendeteksi keterhubungan dari sebuah graf.
Teorema 2.2 Andaikan G adalah sebuah graf atas n titik dengan matriks ketetanggaan A. Graf G adalah terhubung jika dan hanya jika matriks A + A2 + · · · + An−1 mempunyai entri yang semuanya positif.
Bukti. Andaikan G adalah sebuah graf terhubung dan misalkan B = A + A2 + · · · + An−1. Teorema 2.1 menjamin bahwa untuk setiap pasangan titik i dan j terdapat sebuah lintasan sederhana yang menghubungkan titik i dengan titik j. Karena G mempunyai n titik dan pada lintasan sederhana tidak terdapat titik berulang kecuali i = j, jika i = j terdapat lintasan sederhana dengan panjang kurang dari n yang menghubungkan i dengan j. Hal ini berarti untuk setiap pasangan titik i dan j yang berbeda, terdapat sebuah bilangan bulat positif k dengan 1 ≤ k ≤ n − 1 sehingga entri a(ijk) ≥ 0. Sehingga semua entri selain entri diagonal dari matriks B adalah positif. JIka i = j, maka terdapat sebuah
Universitas Sumatera Utara

10 lingkaran dengan panjang 2 yang memuat titik i, sehingga entri a(ii2) ≥ 0 untuk semua i = 1, 2, · · · , n. Jadi entri diagonal dari matriks B adalah positif. Dapat disimpulkan bahwa semua entri dari matriks B = A + A2 + · · · + An−1 adalah positif.
Selanjutnya, misalkan setiap entri dari matriks A + A2 + · · · + An−1 adalah positif. Akibatnya untuk setiap pasangan titik i dan j terdapat sebuah bilangan positif k dengan 1 ≤ k ≤ n − 1 sehingga a(ijk) ≥ 0. Hal ini berarti untuk setiap pasangan titik i dan j di G terdapat sebuah jalan dengan panjang k yang menghubungkan i dan j. Sehingga oleh definisi G adalah sebuah graf terhubung. Contoh 2.3 Berikut contoh graf terhubung dan tidak terhubung
Gambar 2.3 : Contoh graf terhubung dan graf tidak terhubung
Gambar 2.3(a) menunjukkan graf terhubung karena terdapat jalan dari setiap pasangan titik di G dan gambar 2.3(b) menunjukkan graf yang tidak terhubung karena tidak terdapat jalan yang menghubungkan titik v5 dengan titik lainnya.
Proposisi-proposisi berikut menjelaskan beberapa sifat-sifat jalan pada sebuah graf terhubung. Proposisi 2.3 Misalkan G merupakan sebuah graf terhubung dengan u, v ∈ G. Maka, setiap jalan u ←m→ v dapat diperpanjang menjadi jalan u ←m+→2t v untuk suatu bilangan bulat positif t. Bukti. Ambil u dan v merupakan titik di G dan misalkan W : u = v0 ↔ v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ vm−1 ↔ vm = v merupakan jalan u ←m→ v di G. Maka jalan W ′ yang dimulai dari u berjalan ke v sepanjang jalan W dan kemudian berpindah t kali mengelilingi lingkaran v ↔ vt−1 ↔ v merupakan sebuah jalan u ←m+→2t v.
Universitas Sumatera Utara

11
Proposisi 2.4 Misalkan G merupakan sebuah graf terhubung dengan u, v, w adalah titik yang berbeda di G dan m adalah sebuah bilangan positif. Terdapat u ←m→ w dan v ←m→ w jika dan hanya jika terdapat u ←2m→ v di G. Bukti. Andaikan u dan v adalah dua titik berbeda di G sehingga terdapat u ←m→ w dan v ←m→ w untuk suatu titik w di G. Maka u ←m→ w yang dilanjutkan dengan jalan w ←m→ v adalah sebuah u ←2m→ v. Sebaliknya, asumsikan bahwa
W : u = v0 ↔ v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ v2m−1 ↔ v2m = v
merupakan u ←2m→ v di G. Jika w = vm, maka terdapat u ←m→ w dan v ←m→ w di G.
2.4 Primitifitas suatu Graf Sebuah graf terhubung G dikatakan primitif, jika terdapat bilangan bulat positif k sedemikian hingga untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat jalan u ←k→ v.
Teorema 2.5 Andaikan G adalah suatu graf, G dikatakan primitif jika dan hanya jika terhubung dan mengandung lingkaran dengan panjang ganjil.
Bukti. Andaikan G adalah suatu graf dan G adalah primitif, maka terdapat bilangan bulat positif k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan titik v di G terdapat u ←k→ v. Akibatnya, G adalah terhubung. Untuk setiap pasangan titik u dan titik v di G terdapat jalan dengan panjang m untuk semua m ≥ k. Misalkan m adalah ganjil. Untuk setiap titik u dan titik v di G dapat dibentuk jalan dengan panjang ganjil.
Andaikan u ←→ u adalah jalan yang menghubungkan titik u ke dirinya sendiri. Misalkan puv adalah lintasan yang menghubungkan titik u ke titik v. Jalan u ←→ v dapat dibentuk dari titik u ke titik v melalui lintasan puv dan kembali ke titik u melalui lintasan puv yang sama. Misalkan l(wuu) adalah panjang jalan dari titik u ke titik u. l(wuu) adalah genap, agar wuu mempunyai panjang ganjil maka wuu harus melewati 1 lingkaran ganjil disebarang titik, misalkan titik x. Jalan wuu yang terdiri dari lintasan pux, lintasan pxx, dan lintasan pxu adalah suatu jalan wuu dengan panjang ganjil. Sehingga untuk setiap titik u dan v di G haruslah mempunyai lingkaran ganjil.
Universitas Sumatera Utara

Contoh 2.4 Berikut contoh graf primitif

12

Gambar 2.4 : Contoh graf primitif

Pada Gambar 2.4, graf tersebut merupakan graf primitif karena memuat lingkaran dengan panjang ganjil 3 yaitu v1 ↔ v5 ↔ v2 ↔ v1.

2.5 Matriks Tak Negatif dan Eksponen dari Graf 2.5.1 Matriks Tak Negatif
Matriks tak negatif A merupakan sebuah matriks yang setiap entri aij dari A adalah bilangan bulat tak negatif. Jika setiap entri aij dari matriks A adalah bilangan bulat positif, maka matriks tersebut disebut matriks positif. Contoh matriks tak negatif dan matriks positif dapat dilihat pada 2 buah matriks berikut.

1 2 0

4 2 6

A =  4 0 1 , matriks tak negatif; B =  8 4 4 , matriks positif.





110

871

Secara umum, sebuah matriks ketetanggaan A dikatakan primitif jika terdapat sebuah bilangan bulat positif k sedemikian sehingga Ak adalah sebuah matriks positif. Matrik ketetanggaan dari graf pada gambar 2.4 adalah sebagai berikut

0 1 0 1 1

 

1

0

1

0

1

 

 A(G) =  0 1 0 1 1 


 1 0 1 0 0 

11100

Universitas Sumatera Utara

13
Matriks ketetanggaan dikatakan primitif jika semua entri akij dari matriks Ak bernilai positif. Perhatikan matriks berikut
0 1 0 1 1 1 0 1 0 1  a. Untuk k = 1; diperoleh A1 = 0 1 0 1 1   1 0 1 0 0 
11100
Bukan merupakan matriks positif karena terdapat 11 entri bernilai 0 yang bukan merupakan bilangan bulat positif.
3 1 3 0 1 1 3 1 2 2  b. Untuk k = 2; diperoleh A2 = 3 1 3 0 1   0 2 0 2 2 
12123
Bukan merupakan matriks positif karena terdapat 4 entri bernilai 0 yang bukan merupakan bilangan bulat positif.
2 7 2 6 7 7 4 7 2 5  c. Untuk k = 3; diperoleh A3 = 2 7 2 6 7   6 2 6 0 2 
75724
Bukan merupakan matriks positif karena terdapat 1 entri bernilai 0 yang bukan merupakan bilangan bulat positif.
20 11 20 4 11 11 19 11 14 18  d. Untuk k = 4; diperoleh A4 = 20 11 20 4 11    4 14 4 12 14 
11 18 11 14 19 Karena seluruh entri aij ≥ 0, maka A4 merupakan matriks positif, sehingga A adalah matriks primitif.
Universitas Sumatera Utara

14

2.5.2 Eksponen dari Graf Eksponen dari sebuah graf G merupakan bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di G terdapat jalan dari u ke v dengan panjang k dan dinotasikan dengan exp(G). Eksponen lokal u dan v, dinotasikan expG(u, v), merupakan bilangan bulat terkecil k sehingga u ←m→ v untuk semua m ≥ k, sehingga
exp(G) = maxu,v∈V (G){expG(u, v)}

Teorema 2.6 Andaikan G adalah sebuah graf dan A = (aij) adalah sebuah matriks ketetanggaan dari G. Misalkan akij adalah elemen (i, j) dari matriks Ak, maka akij menyatakan banyaknya jalan berbeda dengan panjang k yang menghubungkan titik i dengan titik j di G.

Bukti. Pembuktian dilakukan dengan induksi matematika. Untuk k = 1, entri
ai1j = aij dari A menyatakan banyaknya jalan dengan panjang 1 yang menghubungkan titik i dengan titik j. Asumsikan bahwa entri akij dari Ak menyatakan banyaknya jalan dengan panjang k yang menghubungkan titik i dengan titik j. Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa a(ijk+1) adalah banyaknya jalan dari i ke j dengan panjang k + 1 di G dengan k ≥ 1.

Setiap jalan dari titik i ke j di G dengan panjang k + 1 yang terdiri dari
jalan i ke l dengan panjang k untuk l = 1, 2, · · · , n, dan dilanjutkan dengan sisi dari titik l ke titik j, sehingga aiklalj menyatakan jalan dengan panjang k + 1 dari titik i ke titik j di G untuk k = 1, 2, · · · , n. Jika tidak terdapat jalan yang panjangnya k dari titik i ke titik j di G, maka a(ijk) = 0 sehingga a(ijk)aij = 0. Hal ini berakibat tidak terdapat jalan yang panjangnya k + 1 dari titik i ke titik
j yang melalui titik l di G sehingga diperoleh banyaknya jalan dengan panjang
k + 1 dari titik i ke titik j di G adalah

n

a(i1k)a1j + a(i2k)a2j + ... + a(ink)anj =

akilalj

i=1

karena

Ak+1 = AkA

maka

n

a(ijk) =

aiklalj

i=1

Universitas Sumatera Utara

15
Sehingga a(ijk+1)adalah menyatakan banyaknya jalan dari titik i ke titik j yang panjangnya k + 1 di G.
Contoh matriks untuk graf pada Gambar 2.4, nilai k = 6 yang diperoleh adalah jalan dengan panjang terkecil dari setiap pasang titik yang ada di G, maka eksponen dari graf pada Gambar 2.4 adalah exp(A)=exp (G(A))=4.

2.6 Scrambling Index 2.6.1 Scrambling Index Graf Primitif
Sebuah graf dikatakan primitif jika dan hanya jika terhubung dan mengandung lingkaran dengan panjang ganjil. Menurut Alkelbek dan Kirkland (2009a), untuk titik u, v dan w dari graf G, jika {u, w}, {v, w} ∈ E(G), maka titik w dikatakan sebagai tetangga persekutuan luar bersama (common out-neighbour) dari titik u dan v. Scrambling index dari graf primitif G adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasang dua titik u dan v yang berbeda di G, terdapat sebuah titik w dengan sifat terdapat u ↔k w dan v ↔k w, yang dapat juga dikatakan sebagai bilangan bulat terkecil k sehingga setiap pasang titik dari G mempunyai tetangga persekutuan luar bersama di Gk. Scrambling index dari G akan dinotasikan sebagai k(G). Untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda, scrambling index lokal dari u dan v adalah bilangan bulat positif ku,v(G) yang didefinisikan sebagai

ku,v (G)

=

min{k
w∈V

:

u

↔k

w

dan

v

↔k

w}

Dari definisi scrambling index k(G) dan scrambling index lokal ku,v(G) diperoleh hubungan k(G) ≥ ku,v(G). Karena G adalah graf terhubung, maka untuk setiap bilangan bulat l ≥ ku,v(G) dapat ditemukan sebuah titik w′ sehingga terdapat u ↔l w′ dan v ↔l w′. Hal ini mengakibatkan nilai dari k(G) yang juga disebut dengan scrambling index global adalah maksimum dari nilai-nilai scrambling index lokal ku,v(G) yang didefinisikan sebagai berikut:
k(G) = max{ku,v(G)}
u=v

Universitas Sumatera Utara

16

Berdasarkan definisi, scrambling index lokal dari graf pada Gambar 2.4 sebagai berikut, kv1,v2(G) =min{2, 2, 2, 3, 1} = 1 kv1,v3(G) =min{2, 1, 2, 1, 1} = 1 kv1,v4(G) =min{3, 2, 3, 4, 2} = 2 kv1,v5(G) =min{2, 1, 2, 3, 2} = 1 kv2,v3(G) =min{2, 2, 2, 3, 1} = 1 kv2,v4(G) =min{1, 2, 1, 2, 2} = 1 kv2,v5(G) =min{1, 2, 1, 2, 2} = 1 kv3,v4(G) =min{3, 2, 4, 3, 2} = 2 kv3,v5(G) =min{2, 1, 2, 3, 2} = 1 kv4,v5(G) =min{1, 2, 1, 2, 2} = 1 Dari definisi diperoleh
k(G) = max {ku,v(G)}
u,v∈V (G)
= max {1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1}
u,v∈V (G)
=2
Sehingga scrambling index dari graf diatas k(G) = 2.
Scrambling index dari suatu graf dapat diperoleh dari matriks ketetanggaannya. Scrambling index dari matriks primitif A adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian sehingga untuk setiap dua baris dari Ak memiliki paling sedikit satu entri positif pada kolom yang sama, dan dinotasikan oleh k(A). Scrambling index dari matriks primitif A juga dapat didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil k sedemikian sehingga Ak(AT )k seluruh entrinya bernilai positif. Perhatikan contoh matriks dari graf primitif pada Gambar 2.4.

1. Untuk k = 1, diperoleh

0 1 0 1 1

 

1

0

1

0

1

 

 A1 =  0 1 0 1 1 


 1 0 1 0 0 

11100

Universitas Sumatera Utara

17

A tidak memiliki scrambling index 1, karena pada baris ketiga dan keempat tidak memiliki entri positif di kolom yang sama.

2. Untuk k = 2, diperoleh

3 1 3 0 1

 

1

3

1

2

2

 

 A2 =  3 1 3 0 1 


 0 2 0 2 2 

12123

karena setiap dua baris dari Ak dengan k = 2 memiliki paling sedikit satu entri positif pada kolom yang sama, maka k(A)=2.

Chen dan Liu (2010) memperlihatkan hubungan antara scrambling index dan eksponen dari graf primitif, jika G adalah graf primitif dengan order n ≥ 2 dan u, v adalah pasangan titik dari G

ku,v(G) ≤

expG(u, v) 2

dan

k(G) =

exp(G) 2

dimana ⌈a⌉ adalah integer terkecil ≥ a.

Graf pada Gambar 2.4 memiliki exp(G) = 4, maka nilai scrambling indexnya adalah

k(G) =

exp(G) 2

=

4 2

=2

2.6.2 Scrambling Index dari Lingkaran Ganjil Graf berbentuk cycle (s-graf cycle) dengan titik sebanyak s dengan s ≥ 3 disebut graf cycle dan ditulis Cs. Graf cycle yang banyak titiknya ganjil disebut cycle ganjil dan cycle yang banyak titiknya genap disebut cycle genap. Graf cycle

Universitas Sumatera Utara

18
sering disebut sebagai graf lingkaran karena gambarnya dapat dibentuk menjadi lingkaran. Gao dan Shao (2013) memberikan teori mengenai scrambling index pada lingkaran dengan panjang s adalah ganjil,
Cs : v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ vs − 1 ↔ vs ↔ v1
Proposisi 2.7 Andaikan Cs adalah sebuah lingkaran dengan panjang ganjil s ≥ 3, maka k(Cs) = (s − 1)/2.
Bukti. Jalan yang menghubungkan titik v1 dengan vs dengan panjang genap terpendek adalah
v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ vs−1 ↔ vs dengan panjang s − 1. Oleh proposisi 2.4 terdapat titik w ∈ Cs sehingga ada jalan v1 (s←−1→)/2 w dan vs (s←−1→)/2 w. Sehingga kv1,vs(Cs) = (s − 1)/2, Akibatnya k(Cs) ≥ (s − 1)/2.
Selanjutnya diperlihatkan bahwa k(Cs) ≤ (s−1)/2. Pertama, diperlihatkan bahwa untuk setiap dua titik berbeda vi dan vj di Cs terdapat jalan yang menghubungkan vi dan vj dengan panjang genap m ≤ (s−1). Jika d(vi, vj) adalah genap, maka terdapat jalan dari vi ke vj dengan panjang genap m = d(vi, vj) ≤ s − 1. Jika d(vi, vj) adalah ganjil, maka terdapat jalan yang menghubungkan u dan v dengan panjang genap m = s − d(vi, vj) ≤ s − 1. Proposisi 2.3 menjamin bahwa untuk setiap dua titik vi dan vj yang berbeda terdapat vi ←(s−→1) vj. Oleh proposisi 2.4, untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda terdapat titik w di Cs sehingga ada jalan vi (s←−1→)/2 w dan vj (s←−1→)/2 w. Sehingga k(Cs) ≤ (s − 1)/2, Karena terpenuhi k(Cs) ≥ (s − 1)/2 dan k(Cs) ≤ (s − 1)/2, maka k(Cs) = (s − 1)/2.
2.6.3 Graf dengan Scrambling Index 1 Walni (inpress) memberikan syarat perlu dan cukup untuk graf dengan scrambling index 1.
Proposisi 2.8 Andaikan G adalah sebuah graf primitif dengan n ≥ 3 titik dan tanpa loop. Scrambling index k(G) = 1 jika dan hanya jika memenuhi dua kondisi
Universitas Sumatera Utara

berikut.

19

1. Setiap titik dari graf G berada pada sebuah segitiga.
2. Untuk titik u dan v yang terletak pada dua segitiga berbeda, terdapat jalan dengan panjang 2 yang menghubungkan u dan v.

Bukti. Andaikan k(G) = 1, dan misalkan u adalah sebarang titik di G. Karena G terhubung, maka terdapat sebuah titik v di G sehingga {u, v} adalah sebuah sisi di G. Karena k(G) = 1, terdapat sebuah titik w sehingga {u, w} dan {v, w} masing-masing adalah sebuah sisi dari graf G. Akibatnya, sisi {u, v}, {u, w} dan {v, w} membentuk sebuah segitiga yang memuat u. Jadi setiap titik di G terletak pada sebuah segitiga. Andaikan x dan y adalah dua titik di graf G yang terletak pada sebuah segitiga berbeda. Karena k(G) = 1, maka terdapat sebuah titik z di G sehingga {x, z} dan {y, z} masing-masing adalah sebuah sisi pada graf G. Akibatnya jalan x ↔ z ↔ y adalah sebuah jalan yang menghubungkan x dan y dengan panjang 2.
Sekarang misalkan G adalah primitif dan memenuhi kondisi (1) dan kondisi (2) pada proposisi 2.8. Untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda diperlihatkan bahwa ku,v(G) = 1. Jika u dan v terletak pada sebuah segitiga, maka terdapat titik w pada segitiga sehingga ada jalan u ←1→ w dan v ←1→ w. Jadi ku,v(G) = 1. Jika u dan v berada pada dua segitiga yang berbeda, maka kondisi (2) menjamin bahwa terdapat jalan dengan panjang 2 yang menghubungkan u dan v. Hal ini berakibat terdapat titik w di graf G sehingga ada u ↔1 w dan v ↔1 w. Jadi ku,v(G) = 1. Oleh definisi k(G) = mu=avx{ku,v(G)} = 1.

Universitas Sumatera Utara

BAB 3 METODE PENELITIAN
Permasalahan pada penelitian ini diselesaikan dengan mengikuti langkah-langkah sebagai berikut: langkah awal adalah melakukan simulasi untuk mendapatkan pola dan sifat-sifat scrambling index dari graf primitif ring star, wheel, dan steeringship. Kemudian berdasarkan pola atau bentuk umum scrambling index yang diperoleh dari simulasi dibentuk teori.
1. Algoritma untuk scrambling index Andaikan A adalah matrik adjacency dari graf primitif, scrambling index dari graf primitif dapat dihitung dengan algoritma berikut ini.
Algoritma 3.1 Scrambling Index Graf Primitif Input : Matrik adjacency A Output : Scrambling Index k
k=1; B=A; while (B not scrambling) k=k+1
B=B^k end
2. Scrambling index dari graf ring star, wheel dan steering-ship dapat diperlihatkan dengan memperhatikan jalan dengan panjang minimum terbesar yang menghubungkan setiap pasangan titik u, v ∈ G dengan titik-titik yang terdapat dalam graf itu sendiri.
20
Universitas Sumatera Utara

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Scrambling Index dari Graf Ring Star Bagian ini membahas mengenai scrambling index dari sebuah s-ring star primitif (R), yakni sebuah graf terhubung yang terdiri dari sebuah lingkaran
Cs : v1 ↔ v2 ↔ v3 ↔ · · · ↔ vs ↔ v1 dengan panjang s ≥ 3 dan s buah sisi dalam bentuk {vs+i, v2s} dengan i = 1, 2, · · · , s. karena ring star adalah graf primitif maka s haruslah ganjil. Teorema 4.1 Untuk s-ring star (R) dengan s ≥ 3 adalah ganjil, maka k(R) = (s + 1)/2. Bukti Untuk s adalah ganjil akan diperlihatkan k(R) ≥ (s + 1)/2. Karena d(vs+1, v2s) = 3, maka lintasan terpendek dengan panjang genap yang menghubungkan vs+1 dan v2s adalah lintasan vs+1 ↔ v1 ↔ v2 ↔ v3 ↔ · · · ↔ vs ↔ v2s dengan panjang s + 1.
Gambar 4.1 : Lintasan terpendek yang menghubungkan vs+1 dan v2s Proposisi 2.4 mengakibatkan kvs+1, v2s(R) = (s + 1)/2. Akibatnya k(R) ≥ (s + 1)/2.
Selanjutnya diperlihatkan bahwa k(R) ≤ (s + 1)/2. Untuk setiap titik u dan v yang berbeda terdapat jalan u ↔m v dengan panjang genap m ≤ s + 1.
21
Universitas Sumatera Utara

22
Untuk setiap pasang titik u dan v yang berbeda d(u, v) ≤ (s−1)/2+2. Jika d(u, v) adalah genap, maka terdapat jalan u ↔m v dengan panjang m = d(u, v) ≤ (s + 1). Untuk d(u, v) adalah ganjil, maka bukti dibagi menjadi tiga kasus:
1. Bila u = vi dan v = vj keduanya berada pada lingkaran Cs, maka proposisi 2.7 menjamin ada jalan u ←s−→1 v.
2. Bila u ∈ Cs dan v ∈/ Cs, maka u = vi dan v = vj +s untuk suatu 1 ≤ i, j ≤ s. Karena d(u, v) = 1 + d(vi, vj), akibatnya terdapat u ↔m v dengan panjang genap m = 1 + s − d(vi, vj) ≤ s + 1.
3. Bila u, v ∈/ Cs, maka u = vi+s dan v = vj+s untuk suatu 1 ≤ i, j ≤ s. Karena d(u, v) = d(vi, vj) + 2, akibatnya terdapat u ↔m v dengan panjang genap m = 2 + s − d(vi, vj) < s + 1, karena d(vi, vj) ≥ 1. Sehingga untuk setiap titik u dan v di M , terdapat jalan yang menghubungkan u dan v dengan panjang genap m ≤ (s + 1). Proposisi 2.3 menjamin terdapat jalan u ←m→ v dengan panjang m = s + 1. Proposisi 2.4 menjamin terdapat titik w di M sehingga ada jalan u (s←+1→)/2 w dan v (s←+1→)/2 w. Jadi k(R) ≤ (s+1)/2. Karena k(R) ≥ (s + 1)/2 dan k(R) ≤ (s + 1)/2 terpenuhi, maka k(R) = (s + 1)/2.
4.2 Scrambling Index dari Graf Wheel Bagian ini membahas mengenai scrambling index dari sebuah graf primitif Wheel W yang terdiri dari satu buah lingkaran
Cs : v1 ↔ v2 ↔ v3 ↔ · · · ↔ vs ↔ v1
dengan panjang s ≥ 2 dan 1 buah titik dalam lingkaran vs+1 yang terhubung dengan seluruh titik pada Cs. Teorema 4.2 Untuk s-wheel W dengan s ≥ 2, maka k(W ) = 1. Bukti. Andaikan graf W adalah graf Wheel dengan s ≥ 2 akan dibuktikan memenuhi syarat perlu dan cukup dari graf dengan scrambling index 1.
Universitas Sumatera Utara

23 Graf (W ) harus memenuhi 2 kondisi dari proposisi 2.8 yaitu 1. Setiap titik dari Graf W berada pada sebuah segitiga. Andaikan u = vi dan v = vj untuk suatu 1 ≤ i, j ≤ s + 1 dan {u, v} adalah sebarang sisi di G, maka terdapat sebarang titik w sehingga {u, w} dan {v, w} masing-masing adalah sebuah sisi dari graf W . Akibatnya, sisi {u, v}, {u, w} dan {v, w} membentuk sebuah segitiga yang memuat u. karena sisi {u, v} dan titik w adalah sebarang di G maka setiap titik di graf W terletak pada sebuah segitiga.
Gambar 4.2 : Setiap titik di W berada pada sebuah segitiga 2. Untuk setiap 2 titik u dan v yang terletak pada 2 segitiga berbeda, terdapat
jalan dengan panjang 2 yang menghubungkan u dan v. Andaikan u = vi dan v = vj untuk suatu 1 ≤ i, j ≤ s, terdapat titik w yaitu titik vs+1 yang terhubung dengan semua titik yang ada pada lingkaran, sehingga untuk u dan v yang terletak pada 2 segitiga yang berbeda terdapat sebuah titik yang menghubungkan u dan v yaitu titik vs+1 sehingga u ↔ w ↔ v adalah jalan dengan panjang 2.
Gambar 4.3 : u, v pada 2 segitiga berbeda terhubung dengan panjang jalan = 2 Maka terbukti bahwa scrambling index dari graf Wheel (W ) dengan s ≥ 2 adalah 1 atau k(W ) = 1.
Universitas Sumatera Utara

24
4.3 Scrambling Index dari Graf Steering Ship Bagian ini membahas mengenai scrambling index dari sebuah graf primitif Steering Ship S yang terdiri dari 1 buah lingkaran
Cs : v1 ↔ v2 ↔ v3 ↔ · · · ↔ vs ↔ v1
dengan panjang s ≥ 2 dan s buah sisi dalam bentuk {vs+i, v2s} dimana i = 1, 2, · · · , s serta 1 buah titik v2s+1 yang terhubung dengan seluruh titik pada Cs. Teorema 4.3 Untuk s-Steering Ship S dengan s ≥ 2, maka k(S) = 2. Bukti. Untuk s ≥ 2 akan diperlihatkan k(S) ≥ 2. Andaikan u, v ∈/ Cs, di mana u = vi+s dan v = vj+s untuk suatu 1 ≤ i, j ≤ s. Karena d(u, v) = d(vi, vj) + 2, akibatnya terdapat jalan dengan panjang m = 2 + s − d(vi, vj) ≥ 4. Sehingga untuk setiap titik u dan v di S, terdapat jalan yang menghubungkan u dan v dengan panjang m ≥ 4. Proposisi 2.3 menjamin terdapat u ←m→ v dengan panjang m = 4. Proposisi 2.4 menjamin terdapat titik w di Cs sehingga ada u ←2→ w dan v ←2→ w. Jadi k(S) ≥ 2.
Selanjutnya, akan diperlihatkan k(S) ≤ 2. Hal ini dibagi menjadi tiga kasus:
1. Pertama, untuk u, v ∈ Cs, setiap titik dari u, v ∈ Cs terletak pada sebuah segitiga dan terdapat titik w = v2s+1 yang menghubungkan u, v ∈ Cs dengan panjang m = 2, maka proposisi 2.8 menjamin terdapat u ←2→ v.
2. Kedua, untuk u = v2s+1 dan v ∈ Cs, Karena d(u, v) = 1, akibatnya terdapat u ↔m v dengan panjang m = d(u, v) ≤ 4.
3. Ketiga, untuk u = v2s+1 dan v ∈/ Cs, Karena d(u, v) = 2, akibatnya terdapat u ↔m v dengan panjang m = d(u, v) ≤ 4. Proposisi 2.3 menjamin terdapat u ←m→ v dengan panjang m=4. Proposisi 2.4 menjamin terdapat titik w di S sehingga ada jalan u ←2→ w dan v ←2→ w. Akibatnya, k(S) ≤ 2. Karena k(S) ≥ 2 dan k(S) ≤ 2 terpenuhi, maka k(S) = 2.
Universitas Sumatera Utara

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan Pada penelitian ini memperlihatkan scrambling index dari graf ring star dan variasinya. Hasil-hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut:
1. Andaikan terdapat graf primitif Ring Star (R) yang terdiri atas 1 buah lingkaran Cs : v1 ↔ v2 ↔ v3 ↔ · · · ↔ vs ↔ v1 dengan panjang s ≥ 3 dan s buah sisi dalam bentuk {vs+i, v2s} dengan i = 1, 2, · · · , s, maka scrambling index dari graf Ring Star (R) adalah
k(R) = (s + 1)/2 dengan s ≥ 3 dan s adalah ganjil.
2. Andaikan terdapat graf primitif Wheel (W ) yang terdiri dari 1 buah lingkaran Cs : v1 ↔ v2 ↔ v3 ↔ · · · ↔ vs ↔ v1 dengan panjang s ≥ 2 dan 1 buah titik dalam lingkaran vs+1 yang terhubung dengan seluruh titik pada Cs, maka scrambling index dari graf Wheel (W ) adalah
k(W ) = 1 dengan s ≥ 2.
3. Andaikan terdapat graf primitif Steering Ship (S) yang terdiri dari satu buah lingkaran Cs : v1 ↔ v2 ↔ v3 ↔ · · · ↔ vs ↔ v1 dengan panjang s ≥ 2 dan s buah sisi dalam bentuk {vs+i, v2s} dengan i = 1, 2, · · · , s serta 1 buah titik v2s+1 yang terhubung dengan seluruh titik pada Cs, maka scrambling index dari graf steering ship (S) adalah
k(S) = 2 dengan s ≥ 2.
25
Universitas Sumatera Utara

26 5.2 Saran Penelitian ini hanya membicarakan mencari nilai scrambling index untuk graf ring star dan variasinya (graf wheel dan graf steering ship. Diperlukan penelitian lebih lanjut untuk mendapatkan bentuk umum nilai scrambling index untuk variasi graf lainnya.
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR PUSTAKA Akelbek, M. dan Kirkland, S. 2009a. Coefficients of ergodicity and the scrambling
index. Linear Algebra and its Applications, Volume 430, Issue 4, 1111-1130. Akelbek, M. dan Kirkland, S. 2009b. Primitive digraphs with the largest scram-
bling index. Linear Algebra and its Applications, Volume 430, Issue 4, 10991110. Azizah, N.N., Nofandika, F.F., Abdusakir. 2009. Teori Graf. UIN-Malang Press. Malang. Chen, S. dan Liu, B. 2010. The scrambling index of symmetric primitive matrices. Linear Algebra Appl, 433, 1110-1126. Fuyi, W. Maoquan, C. dan Jianzhong, W. 1999. On Odd primitive graphs. Australasian Journal of Combinatorics , 19, 11-15. Kim B.M. Song B.C. dan Huang, W. (2006). Nonnegative primitive matrices with exponents 2. Linear Algebra Appl, 407, 162-168. Kim B.M. Song B.C. dan Huang, W. (2007). Primitive graphs with given exponentsand minimum number of edges. Linear Algebra Appl, 420, 648-662. Walni, N.V. 2014. Graf Jarang dengan Scrambling Index 1. [Skripsi]. Medan: Universitas Sumatera Utara, Program Sarjana. [In Press]
27
Universitas Sumatera Utara