HIMPUNAN MATEMATIKA Program Studi Agrote

HIMPUNAN
MATEMATIKA
Program Studi Agroteknologi
Universitas Gunadarma

Ruang Lingkup








Pengertian Himpunan
Notasi Himpunan
Cara menyatakan Himpunan

Macam Himpunan
Diagram Venn
Operasi Himpunan dan Sifat-sifatnya

Pengertian Himpunan
Himpunan : Suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek.

• Secara umum himpunan dilambangkan  A, B, C, ...... Z

• Obyek dilambangkan  a, b, c, ..... z
- A

∩

∩

- p A  p anggota A

B  A himpunan bagian dari B

-

∩

- A = B  himpunan A sama dengan B
∩

• Notasi :

=  ingkaran

Penyajian Himpunan


Penyajian Himpunan
cara daftar  A = {1,2,3,4,5}
berarti: himpunan A beranggotakan bilanganbilangan bulat positif 1,2,3,4, dan 5.
cara kaidah  A = {x; 0 < x < 6}
berarti: himpunan A beranggotakan obyek x,
dimana x adalah bilangan-bilangan bulat
positif yang lebih besar dari nol tetapi lebih
kecil dari enam.

Himpunan semesta (universal set)




Notasi: U atau S
Untuk membatasi himpunan yang dibicarakan
Setiap himpunan yang dibicarakan selalu ada dalam
himpunan semesta

Contoh:
Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5}
A dan B adalah himpunan bagian dari U, dengan
A = {1, 3, 5} dan B = {2, 3, 4}

Himpunan Bagian (Subset)

 Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan
B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan
elemen dari B.

 Diagram Venn:
U

A

B

NOTASI :

 himpunanbagian
 Superset, sumber himpunan

 himpunanbagian sejati

P  1,2,3,5
A  3,1

B  1

C  1,2

D  1,2,3

E  1,3,5,2

F  

AP
PA
BA

E P
D B

F A

Himpunan kosong (null set)
Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
Notasi :  atau {{ }}
Contoh

(i) Himpunan bilangan genap yang ganjil
(ii) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
(iii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
(iv) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0

Himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}
Himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}}
{} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan

kosong.

Operasi Himpunan


Irisan (Intersection)

A ∩ B = {x; x Є A dan x Є B}


Gabungan (Union)

A U B = {x; x Є A atau x Є B}



Selisih
A - B = A|B {x; x Є A tetapi x Є B}



Pelengkap (Complement)
Ā = {x; x Є U tetapi x Є A} = U – A



Beda setangkup (symmetric difference)

Diagram Venn
Contoh
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8},
A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

U

A
1
3

B
2
5

7
8
6

4

Diagram Venn

Gabungan ( A U B )

Irisan

Lanjutan ........
• Selisih ( A – B = A|B )

• Pelengkap / complement ( Ā )

Operasi Terhadap Himpunan
1. Irisan (intersection)
 Notasi : A  B = { x  x  A dan x  B }

Contoh
(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A  B = {4, 10}
(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A  B = . Artinya: A // B

2. Gabungan (union)
 Notasi : A  B = { x  x  A atau x  B }

Contoh
(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A  B =
{ 2, 5, 7, 8, 22 }
(ii) A   = A

3. Komplemen (complement)
 Notasi : A = { x  x  U, x  A }

Contoh
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
(i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8}
(ii) jika A = { x | x/2  P, x < 9 }, maka A = { 1, 3, 5, 7, 9 }

4. Selisih (difference)
Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘– ‘.
Misalkan A dan B adalah himpunan, maka selisih A dan B
dinotasikan oleh
A – B = { x | x A dan x B } = A ∩ B

Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 3, 5, 7},

maka A – B = { 1, 4, 6, 8, 9 } dan B – A = ∅

5. Beda setangkup (symmetric difference)
Beda setangkup antara dua buah himpunan
dinotasikan oleh tanda ‘ ⊕ ‘.
Misalkan A dan B adalah himpunan, maka
A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A)
Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan
B = { 1, 2, 3, 4, 5 },
maka A ⊕ B = { 1, 4, 7 }
Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A ⊕ B = B ⊕ A (hukum komutatif)
(b) (A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C ) (hukum asosiatif)

Hukum Aljabar Himpunan
Kaidah Idempoten
a. A U A = A
b. A ∩ A = A
Kaidah Asosiatif
a. ( A U B ) U C = A U ( B U C )
Kaidah Komutatif
a. A U B = B U A

b. ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

b. A ∩ B = B ∩ A

Kaidah Distributif
a. A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A U C )
(A∩C)

b. A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U

Lanjutan ............
Kaidah Identitas
a. A U Ø = A

b. A ∩ Ø = Ø

c. A U U = U

d. A ∩ U = A

Kaidah Kelengkapan
a. A U Ā = U

b. A ∩ Ā= Ø

c. ( Ā ) = A

d. U = Ø

Ø=U

Kaidah De Morgan
a. (A U B)= A ∩ B

b. (A ∩ B) = A U B

PEMBUKTIAN KESAMAAN 2 HIMPUNAN
1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn
Contoh 22. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa
A  (B  C) = (A  B)  (A  C) dengan diagram Venn.
Bukti:

A  (B  C)

(A  B)  (A  C)

Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.
Terbukti bahwa A  (B  C) = (A  B)  (A  C).

LANJUTAN...
2. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.
Contoh
Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa
(A  B)  (A  B ) = A

Bukti:
(A  B)  (A  B ) = A  (B  B )
=AU
=A

(Hukum distributif)
(Hukum komplemen)
(Hukum identitas)

LANJUTAN...

Contoh
Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A  (B – A) = A  B
Bukti:
A  (B – A) = A  (B  A )
= (A  B)  (A  A )
= (A  B)  U
=AB

(Definisi operasi selisih)
(Hukum distributif)
(Hukum komplemen)
(Hukum identitas)

Latihan
1)

Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan
himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A
serta B jika :
U = {1,2,3,4,5,6,7,8 }

A = {2,3,5,7}
B = {1,3,4,7,8 }
Kemudian selesaikan :

(a) A – B
(b) B – A

(c) A ∩ B
(d) A U B

(e) Ā ∩ B
(f) Ā U B

(g) A ⊕ B

Latihan
2. Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa
(i) A  ( A  B) = A  B dan
(ii) A  ( A  B) = A  B

3.

S

P

Q

-3

4

-1

5

1

3

2
10

0

-2

8

6
R

P  Q  R 

Sebutkan seluruh anggota himpunan di bawah ini:

S=…
Q=…

R’=…

P Q
PR
P Q  R

R Q  P

9

P  Q   R
P  Q  R 

7

FINISH