perlakuan sebanyak 2
k
. Dalam percoban faktorial 2
k
diasumsikan bahwa semua faktor yang terlibat adalah tetap dan pengamatan yang diambil berdistribusi
normal.
A. Rancangan Percobaan Faktorial 2
2
Bentuk rancangan faktorial 2
k
yang paling sederhana adalah rancangan percobaan faktorial 2
2
, karena dalam rancangan tersebut hanya melibatkan 2 faktor dan masing-masing faktor mempunyai dua taraf. Misal dalam suatu
percobaan yang melibatkan 2 buah faktor yaitu A dan B. Faktor A mendapat perlakuan a
1
dan, a
2
sedangkan faktor B mendapat perlakuan b
1
dan b
2
, sehingga
terdapat 4 buah kombinasi perlakuan yaitu a
1
b
1
, a
1
b
2
,a
2
b
1
dan a
2
b
2
. Dan untuk setiap kombinasi perlakuan mendapat replikasi sebanyak n kali.
Taraf dalam rancangan percobaan faktorial akan dibedakan menjadi taraf rendah dan tinggi. Taraf rendah low level akan dinotasi dengan - dan taraf tinggi
high level yang dinotasikan dengan +. Indeks 1 menyatakan taraf rendah dan
indeks 2 menyatakan taraf tinggi. Huruf kapital dalam rancangan percobaan faktorial menyatakan efek
utama faktor sedangkan huruf kecil menyatakan kombinasi perlakuan. Keberadaan suatu huruf menyatakan faktor yang bersangkutan berada pada taraf
yang tinggi dalam amatan tersebut. Sedangkan ketidakberadaan huruf menyatakan bahwa faktor yang bersangkutan berada pada taraf rendah. Jika semua faktor pada
taraf yang rendah maka dinyatakan dengan notasi 1. Misal kombinasi perlakuan a
menyatakan jumlah pengamatan dengan taraf faktor A lebih tinggi dari taraf PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
faktor B, b menyatakan jumlah pengamatan dengan taraf faktor B lebih tinggi dari taraf faktor A, ab menyatakan jumlah pengamatan kedua faktor pada taraf yang
tinggi. Secara umum pengamatan percobaan faktorial 2
2
dengan n replikasi dapat dinyatakan dalam Tabel 3.1
Tabel 3.1 : Percobaan faktorial 2
2
A Faktor
a
1
a
2
b
1
1 a B
b
2
b ab
Selain itu dalam rancangan percobaan sering terdapat istilah efek utama dan efek sederhana. Efek sederhana adalah perbedaan pengamatan pada taraf
tinggi dan taraf rendah dari suatu faktor, sedangkan efek utama adalah rata-rata dari efek sederhana.
Efek sederhana dari faktor A terhadap
b
1
adalah a-1n sedang efek sederahana faktor A pada
b
2
adalah ab-bn. Efek sederhana faktor B pada
a
1
adalah b-1n sedangkan pada
a
2
adalah ab-an. Karena efek utama adalah rata-rata dari efek sederhana maka efek utama faktor A
dan efek utama faktor B adalah: 1
2 1
1 2
1 −
− +
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ − +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− =
b a
ab n
n a
n b
ab A
3.1
1 2
1 1
2 1
− −
+ =
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
= a
b ab
n n
b n
a ab
B 3.2
sedangkan untuk interkasi AB merupakan rata-rata selisih dari efek sederhana faktor A pada taraf b
1
dengan taraf b
2
atau selisih dari efek sederhana faktor B pada taraf a
1
dengan taraf a
2
sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
{ }
b a
ab n
a b
ab n
AB −
− +
= −
− −
= 1
2 1
1 2
1
3.3 Persamaan 3.1, 3.2 dan 3.3 dapat dinyatakan dengan menghitung selisih rata-
rata hasil pengamatan suatu faktor pada kedua taraf. Sehingga untuk efek utama faktor A dan faktor B adalah
− +
− =
A A
X X
A
1 2
1 2
1 2
− −
+ =
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ +
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
= b
a ab
n n
b n
a ab
3.4
− +
− =
B B
X X
B
1 2
1 2
1 2
− −
+ =
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ +
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
= a
b ab
n n
a n
b ab
3.5
dengan
−
A
X : Rata-rata pengamatan faktor A pada taraf
a
1
+
A
X : Rata-rata pengamatan faktor A pada taraf
a
2
−
B
X : Rata-rata pengamatan faktor B pada taraf
b
1
+
B
X : Rata-rata pengamatan faktor B pada taraf
a
2
sedangkan untuk interaksi AB merupakan rata-rata dari selisih ab dan 1 dengan a dan b sehingga:
b a
ab n
n a
b n
ab AB
− −
+ =
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ +
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
= 1
2 1
2 2
1 3.6
Kontras merupakan kombinasi linear dari total perlakuan, sehingga dalam percobaan faktorial terdapat kontras dengan derajat bebas tunggal untuk rata-rata
setiap faktornya. Sehingga Koefisien kontras selalu benilai +1 atau –1. Sebuah tabel tanda plus + dan minus dapat digunakan untuk menentukan tanda setiap
kombinasi perlakuan sebuah kontras. Tabel 3.2 menunjukan tanda kontras untuk percobaan faktorial 2
2
. Pada bagian baris menyatakan kombinasi perlakuan dan untuk bagian kolom menyatakan efek utama dengan ditambah kolom identitas
yang diberi lambang I. Kolom indentitas selalu berisikan tanda +, dan untuk kolom faktor diisi sesuai dengan apakah faktor tersebut berada pada taraf tinggi
atau rendah dalam kombinasi perlakuan yang bersesuaian, misal pada kombinasi 1 faktor A berada pada taraf yang rendah maka pada kolom A diisi tanda -,
pada kombinasi a faktor A berada pada taraf tinggi maka pada kolom A berisi tanda + dan seterusnya. Sedangkan interaksi antar perlakuan merupakan hasil
perkalian tanda dari faktor penyusunnya.
Tabel 3.2: Tanda kontras pada percobaan faktorial 2
2
efek kombinasi
perlakuan I A B
AB 1 +
- -
+ a
+ + - -
b + -
+ - ab
+ + + +
Sebuah kontras dapat dibentuk dengan menggunakan tabel kontras yaitu dengan cara mengalikan tanda dalam kolom I dengan kombinasi perlakuan yang
ada dalam baris kemudian jumlahkan. Dengan menggunakan persamaan 2.1 dan koefisien kontras dalam Tabel 3.2 maka kontras untuk faktor A Q
A
, kontras untuk faktor B Q
B
, dan kontras untuk interaksi faktor A dan BQ
AB
dapat dinyatakan:
1 1
1 1
1 1
− −
+ =
+ −
+ +
− =
b a
ab ab
b a
Q
A
3.7 1
1 1
1 1
1 −
− +
= +
+ −
+ −
= a
b ab
ab b
a Q
B
3.8 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
b a
ab ab
b a
Q
AB
− −
+ =
+ −
+ −
+ =
1 1
1 1
1 1
3.9 Dari persamaan 3.7, 3.8 dan 3.9, kontras A merupakan jumlah kombinasi
perlakuan faktor A pada taraf tinggi dikurangi taraf rendah, kontras B merupakan jumlah kombinasi perlakuan faktor B pada taraf tinggi dikurangi taraf rendah
sedangkan kontras AB merupakan selisih dari diagonal dalam Tabel 3.1. Sehingga kontras merupakan total jumlah pengamatan setiap kombinasi
perlakuan. Sedangkan untuk jumlah kuadrat JK A, B dan AB, dapat mengunakan
persamaan 2.2. Persamaan tersebut memperlihatkan hubungan antara sebuah kontras dengan jumlah kuadrat koefisiennya. Sehingga jumlah kuadrat A, B dan
AB adalah
n b
a ab
n Q
JK
A A
4 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
− −
+ =
+ −
+ +
− =
3.10
n a
b ab
n Q
JK
B B
4 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
− −
+ =
+ +
− +
− =
3.11
n b
a ab
n Q
JK
AB AB
4 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
− −
+ =
+ −
+ −
=
3.12 Rancangan percobaan faktorial 2
2
mempunyai Model persamaan linear sebagai berikut:
k ij
ij j
i ijk
X
ε τβ
β τ
μ
+ +
+ +
=
dengan: μ
: Rata-rata total pengamatan τ
i
: Pengaruh perlakuan faktor A taraf ke-i, i=1,2 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
β
j
: Pengaruh perlakuan faktor B taraf ke-j, j=1,2 τβ
ij
: Pengaruh perlakuan kombinasi faktorA dan B pada taraf ke-i dan ke-j
ε
ijk
: error dengan i=1,2; j=1,2 dan k=1,2,3,…,n Sehingga jumlah kuadrat total JK
T
adalah
n X
X JK
i j
n k
ijk T
4
2 2
1 2
1 1
2 Κ
− =
∑∑∑
= =
=
3.13 Secara simbolis jumlah kuadrat total JK
T
dalam persamaan 3.9 dapat ditulis JK
T
= JK
A
+JK
B
+JK
B
AB
+JK
E
3.14 JK
E
=JK
T
-JK
A
-JK
B
-JK
B
AB
3.15
Faktor A,B dan kombinasi AB mempunyai derajat bebas sebanyak 1 sedangkan untuk error mempunyai derajat bebas sebanyak 4n-1 dan untuk total
pengamatan mempunyai derajat bebas 4n-1. Maka rata-rata kuadrat RJK dari masing-masing efek kombinasi perlakuan adalah jumlah kuadrat pada masing-
masing efek perlakuan dibagi dengan derajat bebasnya.
A A
A
JK JK
RJK =
= 1
3.16
B B
JK JK
RJK =
= 1
B
3.17
AB AB
AB
JK JK
RJK =
= 1
3.18
1 4
− =
n JK
RJK
E E
3.19 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Setelah mencari nilai RJK untuk setiap faktor dan kombinasinya maka dapat ditentukan uji statistik untuk faktor A dan B serta kombinasi AB yaitu:
E A
A
RJK RJK
F =
3.20
E B
B
RJK RJK
F =
3.21
E AB
AB
RJK RJK
F =
3.22
Contoh 3.1
Suatu percobaan kimia akan meneliti pengaruh konsentrasi reaktan dan jenis katalis terhadap perubahan hasil suatu proses kimia, sehingga akan diperoleh hasil
maksimum. Konsentrasi reaktan yang diteliti terdiri dari 2 perlakuan yaitu pada konsentrasi 15 dan 25 sedang untuk jenis katalis ada 2 macam yaitu jenis 1
dan 2. Untuk setiap kombinasi perlakuan akan mendapat replikasi sebanyak tiga kali. Hasil perubahan proses kimia tersebut tampak seperti dalam Tabel 3.3
Tabel 3.3 : Data untuk Contoh 3.1
Konsentrasi reaktan Faktor
15 25
1 28 25 27 36 32 32
Jenis Katalis
2 18 19 23 31 30 29
Dari percobaan kimia tersebut apakah akan terjadi perbedaan rata-rata dari setiap kombinasi perlakuan, sehingga dapat ditentukan kombinasi perlakuan mana yang
mempunyai pengaruh terhadap percobaan kimia tersebut.
Jawab:
Percobaan dalam contoh 3.1 termasuk dalam percobaan faktorial 2
2
, karena setiap faktornya mempunyai dua buah taraf. Misalkan faktor A adalah jenis reaktan
dengan taraf a
1
adalah 15 dan a
2
adalah 25 sedang faktor B adalah jenis katalis dengan jenis 1 sebagai taraf b
1
dan jenis 2 sebagai taraf b
2
. Tabel 3.3 dapat diringkas seperti Tabel 3.4
Tabel 3.4 : Ringkasan dari data Tabel 3.3
A Faktor
a
1
a
2
b
1
80 100
B b
2
60 90
Dengan mengunakan persamaan 3.1, 3.2, 3.3 maka nilai estimasi untuk efek utama A, B dan kombinasi AB adalah
67 ,
1 6
10 3
2 60
100 80
90 1
2 1
00 ,
5 6
30 3
2 80
100 60
90 1
2 1
33 ,
8 6
50 3
2 80
60 100
90 1
2 1
= =
⋅ −
− +
= −
− +
= −
= −
= ⋅
− −
+ =
− −
+ =
= =
⋅ −
− +
= −
− +
=
b a
ab n
AB a
b ab
n B
b a
ab n
A
Sebelum mencari Jumlah kuadrat JK terlebih dahulu menentukan Kontras dari seriap perlakuan dengan mengunakan persamaan 3.7 , 3.8 dan 3.9
10 60
100 80
90 30
80 100
60 90
50 80
60 100
90 =
− −
+ =
− =
− −
+ =
= −
− +
=
AB B
A
kontras kontras
kontras
setelah kontras ditentukan maka dilanjutkan dengan menentukan Jumlah Kuadrat dengan mengunakan persamaan 3.10, 3.11 dan 3.12.
33 ,
8 12
100 4
3 10
4 00
, 75
12 900
4 3
30 4
333 ,
208 12
2500 4
3 50
4
2 2
2 2
2 2
= =
= =
= =
− =
= =
= =
=
n kontras
JK n
kontras JK
n kontras
JK
AB AB
B B
A A
Dengan mengunakan persamaan 3.13 maka akan diperoleh JK
T
n X
X JK
i j
n k
ijk T
4
2 2
1 2
1 1
2 Κ
− =
∑∑∑
= =
=
323 9097
9398 12
108900 9398
3 4
29 27
25 28
29 27
25 28
2 2
2 2
2
= −
= −
= ⋅
+ +
+ +
− +
+ +
+ =
Κ Κ
dan dengan persamaan 3.15 maka akan diperoleh
34 ,
31 33
, 8
75 33
, 208
323 =
− −
− =
− −
− =
E AB
B A
T E
JK JK
JK JK
JK JK
Dari semua proses perhitungan diatas, maka dapat dibentuk tabel Analisis Variansi. Seperti tampak dalam Tabel 3.5
Tabel 3.5 : Analisis variansi untuk contoh 3.1
Sumber variansi
Jumlah KuadratJK
Derajat bebas
Rata-rata jumlah
kuadratRJK
error efek
MS MS
F =
A 208.33 1
208,33 53,15
B 75.00 1
75,00 19,13
AB 8.33 1
8,33 2,13
Error 31.34 8
3,92 Total 323.00
11
Dari Tabel 3.5 maka faktor A dan B berpengaruh secara signifikan terhadap perubahan hasil reaksi kimia. Karena nilai F
lebih besar dari F
tabel
=5.32. Dan nilai estimasi untuk A = 8.33 dan B = -5.00 sedangkan kombinasi jenis reaktan
dan katalis AB tidak berpengaruh terhadap perubahan hasil percobaan. Dari analisis variansi diatas maka dapat ditentukan model matematika untuk percobaan
tersebut
2 1
2 1
5 .
2 165
. 4
5 .
27 ˆ
2 5
2 33
. 8
5 .
27 ˆ
X X
Y X
X Y
− +
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
Dengan 27.5 adalah rata-rata pengamatan, X
1
adalah jenis reaktan dan X
2
adalah jenis katalis. Nilai X
1
dan X
2
adalah 1 atau –1 sesuai taraf dalam kombinasi perlakuan.
Dengan mengunakan model tersebut maka akan didapat nilai dugaan untuk setiap kombinasi perlakuan. Adapun nilai dugaan setiap perlakuan sebagai berikut:
165 .
29 1
5 .
2 1
165 .
4 5
. 27
ˆ 835
. 20
1 5
. 2
1 165
. 4
5 .
27 ˆ
165 .
34 1
5 .
2 1
165 .
4 5
. 27
ˆ 835
. 25
1 5
. 2
1 165
. 4
5 .
27 ˆ
5 .
2 165
. 4
5 .
27 ˆ
1 2
1
= −
+ =
= −
− +
= =
− −
+ =
= −
− −
+ =
− +
=
X Y
Y Y
Y X
X Y
ab b
a
nilai error e untuk kombinasi perlakuan 1 disetiap replikasinya adalah sebagai berikut:
165 .
1 835
. 25
27 835
. 835
. 25
25 165
. 2
835 .
25 28
3 2
1
= −
= −
= −
= =
− =
e e
e
nilai error e untuk kombinasi perlakuan a disetiap replikasinya adalah sebagai berikut:
165 .
2 165
. 34
32 165
. 2
165 .
34 .
32 835
. 1
165 .
34 36
6 5
4
− =
− =
− =
− =
= −
=
e e
e PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
nilai error e untuk kombinasi perlakuan b disetiap replikasinya adalah sebagai berikut:
165 .
2 835
. 20
23 835
. 1
835 .
20 19
835 .
2 835
. 20
18
9 8
7
= −
= −
= −
= −
= −
= e
e e
nilai error e untuk kombinasi perlakuan ab disetiap replikasinya adalah sebagai berikut:
165 .
165 .
29 29
835 .
165 .
29 30
835 .
1 165
. 29
31
12 11
10
− =
− =
= −
= =
− =
e e
e
Dari nilai error yang didapat maka kombinasi perlakuan a yaitu kombinasi perlakuan dengan faktor jenis reaktan pada taraf tinggi dan jenis reaktan pada
taraf rendah menghasilkan nilai error yang kecil sehingga kombinasi tersebut dapat menghasilkan hasil reaksi yang maksimum.
Hasil perhitungan percobaan diatas dapat dilakukan dengan mengunakan program Minitab 14 Lampiran 4
B. Rancangan Percobaan Faktorial 2
