RUMUSAN MASALAH PEMBATASAN MASALAH MANFAAT PENULISAN TUJUAN PENULISAN METODE PENULISAN Distribusi Normal, distribusi Khi-kuadrat dan distribusi-F

maka dapat dilakukan percobaan dengan mengamati sebagian dari jumlah amatan faktorial lengkap. Penyelesaian rancangan percobaan faktorial dengan mengamati sebagian dari rancangan faktorial lengkap disebut dengan perulangan fraksional. Rancangan yang terbentuk dari perulangan fraksional sering dikenal dengan rancangan fraksional.

B. RUMUSAN MASALAH

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah: 1. Apa yang dimaksud dengan rancangan percobaan. 2. Apa yang dimaksud rancangan percobaan faktorial 2 k . 3. Bagaimana menyelesaikan dan menganalisa rancangan percobaan faktorial dengan pembauran. k 2 4. Bagaimana menyelesaikan dan menganalisa rancangan percobaan faktorial dengan perulangan fraksional.

C. PEMBATASAN MASALAH

Penulisan skripsi ini tidak membahas semua teori yang berhubungan dengan skripsi ini. Tetapi dibatasi pada beberapa hal yaitu: 1. Teorema ketunggalan tidak dibuktikan, karena diluar jangkauan skripsi ini. 2. Pembahasan tentang rancangan faktorial 2 k hanya dibatasi pada pembauran dan perulangan fraksional dengan jumlah amatan sama. 3. Penambahan titik tengah, rancangan Plackett-Burman dan rancangan resolusi tidak dibahas.

D. MANFAAT PENULISAN

Manfaat penulisan adalah untuk mempelajari tentang pembauran dan pengulangan fraksional dalam rancangan percobaan faktorial k 2 .

E. TUJUAN PENULISAN

Tujuan yang ingin dicapai adalah memahami teknik dalam rancangan percobaan khususnya rancangan percobaan faktorial 2 k dengan pembauran dan perulangan fraksional.

F. METODE PENULISAN

Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah studi pustaka yaitu dengan membaca buku-buku yang berkaitan dengan rancangan percobaan faktorial.

G. SISTEMATIKA PENULISAN

Sebagai gambaran tentang hal apa saja yang dibahas dalam penulisan ini , berikut adalah sistematika pembahasan yang ada dalam skripsi ini. Bab I membahas tentang gambaran umum skripsi ini yang terdiri dari latar belakang masalah, rumusan masalah, pembatasan masalah, manfaat penulisan, tujuan penulisan, dan metode penulisan. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Bab II akan membahas tentang distribusi normal, Khi-kuadrat dan distibusi -F, Analisis variansi, rancangan percobaan, serta tentang kontras. Pada bab III berisi tentang rancangan percobaan faktorial 2 2 ,2 3 , 2 k dan algoritma Yate’s yang akan digunakan untuk menghitung jumlah kuadrat dan estimasi efek dalam rancangan faktorial 2 k . Bab IV berisi tentang pembauran rancangan faktorial 2 k dalam 2 blok dan dalam p blok serta perulangan fraksional dalam rancangan faktorial 2 k . Dan untuk bab V berisi tentang kesimpulan.

BAB II LANDASAN TEORI

Dalam bab ini akan membahas materi yang berhubungan dengan pembauran dan perulangan fraksional rancangan percobaan faktorial 2 k .

A. Distribusi Normal, distribusi Khi-kuadrat dan distribusi-F

Subbab ini akan membahas distribusi normal, distribusi Khi-kuadrat dan distribusi-F karena dalam pembahasan selanjutnya ketiga distribusi tersebut sangat diperlukan. Definisi 2.1 Sebuah variabel random X dikatakan berdistribusi normal jika fungsi densitasnya di berikan sebagai berikut: 2 2 1 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = σ μ π σ x e x f untuk - ∞x∞ dengan parameter μ dan σ berada dalam interval -∞μ∞ dan σ 0. Teorema 2.1 Jika X variabel random yang berdistribusi normal maka rata-rata dan variansi variabel random X adalah EX = μ dan VX =σ 2 . Bukti: Rata-rata distribusi normal dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI [ ] ∫ ∫ ∞ ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ∞ ∞ − = = dx e x dx x f x X E x 2 2 1 2 . σ μ π σ misal σ μ − = x y maka [ ] dy e y dy e y X E y y 2 2 2 1 2 1 2 2 − ∞ ∞ − − ∞ ∞ − ∫ ∫ + = + = π μ σ σ π σ μ σ μ μ π μ π σ = ⋅ + = + = − ∞ ∞ − ∞ ∞ − − ∫ ∫ 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 dy e dy ye y y sedangkan variansi dari distribusi normal adalah [ ] ∫ ∫ ∞ ∞ − − − ∞ ∞ − − = − = − = dx e x dx x f x X E X V x 2 2 2 1 2 2 2 2 . σ μ π σ μ μ μ misal σ μ − = x y maka [ ] dy e y X V y σ π σ σ 2 2 1 2 2 − ∞ ∞ − ∫ = dy e y y 2 2 1 2 2 2 − ∞ ∞ − ∫ = π σ 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 σ σ π π σ = + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ∫ ∞ ∞ − − ∞ ∞ − − dy e e y y y Jadi fungsi distribusi normal mempunyai dua parameter yaitu μ dan σ 2 , dengan μ adalah rata-rata dan σ 2 adalah variansi. ฀ Teorema 2.2 Jika X variabel random yang berdistribusi normal maka fungsi pembangkit momennya adalah: 2 2 2 1 t t X e t m σ μ + = Bukti: Misalkan X berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi σ 2 maka mempunyai fungsi pembangkit momen: [ ] tx X e E t m = dx e e dx x f e x tx tx 2 2 2 1 2 1 . σ μ π σ − − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∫ ∫ = = dx e dx e t t t x t x x x tx 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 σ σ μσ σ μ σ μ σ μ μ σ π σ π σ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + + − − ∞ ∞ − + − − ∞ ∞ − ∫ ∫ = = dx e e dx e e t x t t t x t x t t 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 σ σ μ σ σ μσ σ σ μ σ μ σ σ μσ π σ π σ + − − ∞ ∞ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + − − ∞ ∞ − + ∫ ∫ = = 2 2 2 1 t t e σ μ + = . ฀ Teorema 2.3 Jika X 1 , X 2 , X 3 , …,X n suatu sampel random berukuran n dari suatu distribusi normal yang mempunyai rata-rata μ dan variansi σ 2 maka: ∑ = = n i i X n X 1 1 berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi n 2 σ Bukti: Karena X 1 , X 2 , X 3 , …,X n adalah sampel random dari populasi normal dengan rata- rata μ dan variansi σ 2 dan X i adalah variabel random saling bebas yang berdistribusi normal dengan EX = μ dan VX =σ 2 , i = 1,2,3,…,n Selanjutnya n n i i X n X n X n X n X n X 1 1 1 1 1 3 2 1 1 + + + + = = ∑ = Κ Sehingga X berdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi sebagai berikut : ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + + + = n X n X n X n X n E X E 1 1 1 1 3 2 1 Κ μ μ μ μ μ = + + + + = n n n n 1 1 1 1 Κ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + + + = n X n X n X n X n V X V 1 1 1 1 3 2 1 Κ n n n n n n n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 σ σ σ σ σ σ = ⋅ = + + + + = Κ Dari Teorema 2.3 diatas maka dapat disimpulkan bahwa rata-rata distribusi sampel X sama dengan rata-rata dari variabel random X i dan variansi distribusi sampel X sama dengan variansi X i di bagi ukuran sampel n. Berdasarkan Teorema 2.3 X berdistribusi normal dengan rata-rata μ μ = X dan variansi X = n 2 σ maka: n X X Z X X σ μ σ μ − = − = berdisrribusi normal standart. Teorema 2.4 Teorema ketunggalan Misalkan X dan Y dua variabel random, dengan fungsi pembangkit momen m X t dan m Y t. Jika m X t = m Y t untuk semua nilai t, maka X adan Y mempunyai distribusi probabilitas yang sama. Teorema 2.4 dalam Skripsi ini tidak dibuktikan. Definisi 2.2 Fungsi gamma didefinisikan dengan untuk semua k 0 ∫ ∞ − − = Γ 1 dt e t k t k Definisi 2.3 Suatu variabel random X mempunyai fungsi densitas 2 1 2 2 2 2 1 x r r X e x r x f − − Γ = , x ∈ [0,∞ dikatakan mempunyai distribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas r. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Teorema 2.5 Jika X variabel random berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas r maka mempunyai fungsi pembangkit momen: 2 2 1 1 r X t t m ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = Bukti: Fungsi pembangkit momen distribusi Khi-kuadrat akan ditunjukkan seperti di bawah ini: dx x f e t m tx X ⋅ = ∫ ∞ dx e x r e t m x r tx X r 2 1 1 2 2 2 2 1 − − ∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ = ∫ misalkan 1 2 − = r a maka dx e x a e t m x a a tx X 2 1 2 1 1 − + ∞ + Γ = ∫ ∫ ∞ − − + + Γ = 2 2 1 1 2 1 dx e a x t x a a misalkan maka 2 1 t x y − = t dy a e t y t m a y a X 2 1 2 1 2 1 1 2 − ⋅ + Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ ∞ + − 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 + ∞ + − + ∞ + − − = + Γ − = + Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ ∫ a a y a a a y a a t dy a e y t dy a e y t t untuk 2 1 t maka diperoleh fungsi pembangkit momen dari distribusi Khi- kuadrat yaitu 2 2 1 1 r X t t m − = 2 2 1 1 r t ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = . ฀ Teorema 2.6 Jika X i berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi σ 2 maka 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = σ μ i i X Z berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas 1. Bukti: Misal fungsi distribusi [ ] [ ] dz z f w Z w P w Z P w F w w W ∫ − = ≤ ≤ − = ≤ = 2 dengan transformasi y z = sehingga y dy dz 2 = maka , 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 ≥ = = = ∫ ∫ ∫ − − w dy e y y dy e dz z f w F w y w y w W π π karena fw=F ’ W w maka 2 1 2 1 2 1 w e w w f − − = π berdasarkan Definisi 2.2 maka Z i 2 berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas 1.  Teorema 2.7 Jika variabel random X 1 .X 2 ,…,X k berdistribusi normal dan saling bebas dengan rata-rata μ dan variansi σ 2 maka 2 1 ∑ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = k i i X U σ μ berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas k. Bukti: Jika σ μ − = i i X Z maka Z i berdistribusi normal standar. Maka fungsi pembangkit momen dari U ditentukan sebagai berikut [ ] tu U e E t m = [ ] ∏ ∏ = = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∑ = = k i tz k i tz z t i i k i i e E e E e E 1 1 2 2 1 2 dengan [ ] dz e e e E i i i z tz tz 2 2 2 2 1 2 1 − ∞ ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ π dz e i z t 2 2 1 2 1 2 1 − − ∞ ∞ − ∫ = π untuk 2 1 t maka [ ] 2 i tz e E t dz e t t i z t 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 − = − − = − − ∞ ∞ − ∫ π PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Karena dz e t i z t 2 2 1 2 1 2 2 1 − − ∞ ∞ − ∫ − π menunjukkan luas daerah di bawah kurva normal dengan variansi ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − t 2 1 1 . Maka [ ] ∏ ∏ = = − = k i k i tz t e E i 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 k t ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas k. Sehingga 2 1 ∑ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = k i i X U σ μ berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas k.  Teorema 2.8 Jika X merupakan rata-rata dari X 1 , X 2 , X 3 , …,Xn adalah sampel random berukuran n yang mempunyai rata-rata μ dan variansi n 2 σ maka: n X U 2 2 σ μ − = berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat bebas 1. Bukti: Menurut Teorema 2.3 X berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi n 2 σ , maka n X Z σ μ − = berdistribusi normal standart, sehingga Fungsi Pembangkit momen dari U dapat ditentukan sebagai berikut: [ ] tu U e E t m = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∑ = = k i z t e E 1 2 dengan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI [ ] dz e e e E z tz tz 2 2 2 2 1 2 1 − ∞ ∞ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∫ π dz e Z t 2 2 1 2 1 2 1 − − ∞ ∞ − ∫ = π untuk 2 1 t maka [ ] 2 tz e E t dz e t t z t 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 − = − − = − − ∞ ∞ − ∫ π = 2 1 2 1 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − t maka menurut Teorema 2.5 maka n X U 2 2 σ μ − = berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas 1.  Teorema 2.9 Andaikan X 1 , X 2 , X 3 ,…, X n adalah sampel random yang saling bebas dan berukuran n dari suatu distribusi normal yang mempunyai rata-rata μ dan variansi σ 2 maka ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = σ μ i i X Z adalah sampel random yang saling bebas dan berdistribusi normal dan ∑ ∑ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = n i i n i X Z i 1 2 1 2 σ μ berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas n. Bukti: Karena X 1 , X 2 , X 3 ,…,X n adalah sampel random yang saling bebas dan berukuran n dari distribusi normal yang mempunyai rata-rata μ dan variansi σ 2 maka ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = σ μ i i X Z berdistribusi normal standar. Sampel Z i saling bebas sehingga PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI menurut Teorema 2.6 maka ∑ ∑ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = n i i n i X Z i 1 2 1 2 σ μ berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas n.  Teorema 2.10 Jika X 1 , X 2 ,…, X n merupakan sampel dari distribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi σ 2 maka: 2 2 2 1 σ S n Z i − = berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas n-1. Bukti: Dengan menambah dan mengurangi rata-rata sampel X maka: [ ] 2 1 1 2 ∑ ∑ = = − + − = − n i i n i i X X X X μ μ ∑ ∑ ∑ = = = − − + − + − = n i i n i n i i X X X X X X 1 1 1 2 2 2 μ μ karena ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − − ∑ ∑ ∑ = = = n i n i i n i i X X X X X X 1 1 1 2 2 μ μ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = ∑ ∑ = = n i n i i i X n X X n X X X 1 1 2 μ μ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = n i n i i i n i n i i i n X n X n X n X X X 1 1 1 1 2 μ μ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2 1 1 1 1 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = n i n i i i n i i n i i X X X X X X μ μ maka 2 1 2 2 1 μ μ − + − = − ∑ ∑ = = X n X X X n i i n i i Dan n X X X X i n i i n i i 2 2 2 1 2 2 1 2 σ μ σ σ μ − + − = − ∑ ∑ = = n X S n i 2 2 2 2 1 σ μ σ − + − = Karena X i berdistribusi normal dengan μ dan variansi σ 2 n berdasarkan Teorema 2.8 maka n X i 2 2 σ μ − berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas 1 dan berdasarkan Teorema 2.9 maka 2 1 2 σ μ ∑ = − n i i X berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas n, maka 2 2 1 σ S n − berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas n- 1 .  Salah satu distribusi yang terpenting dalam statistika ialah distribusi-F. Statistik F didefinisikan sebagai dua variabel random Khi-kuadrat yang saling bebas dan masing-masing dibagi dengan derajat bebasnya. Jadi dapat ditulis: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI v Y u X F = dengan X dan Y merupakan variabel random yang masing-masing berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas u dan v. Teorema 2.11 Jika X dan Y variabel random yang saling bebas dan masing-masing berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas u dan v. Maka distribusi variabel random v Y u X F = mempunyai fungsi densitas probabilitas ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≤ = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Γ , , 2 1 2 2 1 2 2 f f f f v u u u f v u v v u f v u v u F Dan variabel random F berdistribusi-F dengan derajat bebas u dan v. Bukti: Diketahui X dan Y berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas u dan v maka ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ = − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ , , 2 2 1 2 1 2 2 x x e x u x f x u u X ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ = − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ , , 2 2 1 2 1 2 2 y y e y v y f y v v Y Sehingga distribusi peluang gabungan variabel random X dan Y adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2 1 2 2 2 1 2 2 , 2 2 1 2 2 1 , y v v x u u Y X e y v e x u y x f − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ = 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 y x v u v u e y x v u Misalkan z=y dan pandang transformasi ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = y z f h v y u x : uy xv y v u x f v y u x = ⋅ = = fy v u x = karena z = y maka fz v u x = Dan transformasinya menjadi ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = y z fz v u x h : dari fungsi- fungsi tersebut menghasilkan z v u fz v u f f x = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ z f f y f v u fz v u z z x = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ 1 = ∂ ∂ = ∂ ∂ z z z y Jacobian Jx,y diperoleh dengan determinan dari z y f y z x f x y x J ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = , PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI z v u f v u z v u ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 sehingga z v u J = Transformasi ini satu-satu memetakan titik { } ∞ ∞ v u v u , , ke himpunan { ∞ ∞ z f z f , , } maka diperoleh distribusi gabungan F dan Z : J z f f z f Z F , , , = λ z v u e z v u fz v u z fz v u v v u u ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 2 2 1 2 2 2 2 z v u e z v u z f v u z f z fz v u v v u u u u ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − + − − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 , λ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − + + − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 f v u z v u v u u u f v u z v u v u u u e z v u f v u z v u e z v u f v u Maka ∫ ∞ = , dz z f f f F λ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI dz e z v u f v u f v u z v u v u u u ∫ ∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 ∫ ∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 dz e z v u f v u f v u z v u v u u u Untuk menentukan f F f dimisalkan : ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 1 2 f v u z t sehingga 1 1 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = f v u t z dan dt f v u dz 1 1 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = .Maka diperoleh dt f v u e f v u t v u f v u f f t v u v u u u F 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 − ∞ − − + − + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ − − + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ ∫ 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 v u t v u v u v u v f v u v u dt e t f v u f v u − − ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 u u u u u v u f v u v u f v u Jadi terbukti bahwa . ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Γ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − , , 1 2 2 2 2 1 2 2 f f f v u v u v u f v u f f v u u u F ฀ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Derajat bebas yang berkaitan dengan variabel random Khi-kuadrat pada pembilang F selalu ditulis lebih dahulu kemudian diikuti oleh derajat bebas yang berkaitan dengan variabel random Khi-kuadrat yang muncul pada penyebut. Jadi kurva distribusi –F tidak hanya bergantung pada kedua parameter u dan v, tetapi juga pada urutan penulisannya. Begitu pula jika kedua bilangan ini ditentukan maka kurvanya menjadi tertentu. Teorema 2.12 Jika S 1 2 dan S 2 2 variansi sampel random yang saling bebas berukuran n 1 dan n 2 yang diambil dari dua populasi berdistribusi normal maka: 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 S S S S F σ σ σ σ = = berdistribusi- F dengan derajat bebas u=n 1 -1 dan v=n 2 -1. Bukti: Misalkan sampel random berukuran n 1 dan n 2 diambil dari populasi random, masing-masing dengan variansi dan . Mengunakan Teorema 2.10 maka diperoleh: 2 1 σ 2 2 σ 2 1 2 1 1 2 1 1 σ S n Z − = dan 2 2 2 2 2 2 2 1 σ S n Z − = menyatakan dua variabel random yang berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas u=n 1 -1 dan v=n 2 -1. Karena kedua sampel diambil secara random maka variabel random tersebut saling bebas. Jika dan maka dengan mengunakan Teorema 2.9 diperoleh: X Z = 2 1 Y Z = 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 S S S S n S n n S n v Z u Z v Y u X F σ σ σ σ σ σ = = − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = = = dan variabel random F berdistribusi-F dengan derajat bebas u=n 1 -1 dan v=n 2 -1.  B. Analisis Variansi Misalkan sampel random berukuran n diambil dari k populasi, ke-k populasi ini diklasifikasikan menurut perlakuan atau kelompok yang berbeda. Diasumsikan bahwa k populasi itu berdistribusi normal dengan rata-rata μ 1 , μ 2, μ 3,…, μ k dan variansi σ 2 yang sama. Sehingga uji hipotesisnya adalah: H o : μ 1 = μ 2 = μ 3 =…= μ k H 1 : sekurang-kurangnya dua nilai rata-rata tidak sama. Misalkan X ij adalah sampel ke-j dari populasi ke-i, maka data- data dari n pengamatan dari k populasi dapat di tuliskan sebagai berikut: Tabel 2.1 : k sampel random Populasi Sampel 1 2 … i … k Total Pengamatan 1 2 : n X 11 X 21 … X i1 … X k1 X 12 X 22 … X i2 … X k2 : : … : … : X 1n X 2n … X in … X kn X .1 X .2 : X .n Total Populasi ke X 1 . X 2 . … X i. … X k. X.. Rata-rata Populasi ke ⋅ 1 X ⋅ 2 X … ⋅i X … ⋅ k X ⋅⋅ X PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Dengan: X i,j : Sampel ke–i dari populasi ke-j, dengan i = 1, 2, 3,…,k dan j =1, 2, 3,…,n . i X = Jumlah total polulasi ke-i .. X = Jumlah total semua nk pengamatan . i X = Rata-rata pengamatan pada polulasi ke-i .. X = Rata-rata semua nk pengamatan Setiap pengamatan dapat ditulis dengan bentuk linear: ij i ij X ε μ + = 2.1 dengan : X ij : besarnya pengamatan ke-i, perlakuan ke-j. μ i : parameter rata-rata. ε ij : eror yang berdistribusi N0, σ 2 i : 1,2, 3,…, k dan j : 1, 2, …, n Bentuk lain dari persamaan 2.1 diperoleh dengan mensubtitusikan i i τ μ μ + = kedalam persamaan 2.1 dengan μ adalah rata-rata dari μ i dan: k k i i ∑ = = 1 μ μ Sehingga persamaan 2.1 dapat ditulis: ij i ij X ε τ μ + + = 2.2 dengan: 1 1 = − = ∑ ∑ = = k i i k i i μ μ τ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI i τ disebut sebagai efek atau pengaruh perlakuan ke-i. Sehingga hipotesis nol yang menyatakan bahwa semua nilai rata-rata ke-k populasi sama melawan hipotesis alternatifnya yang menyatakan bahwa sekurang- kurangnya ada dua rata-rata tidak sama. Dapat dinyatakan sebagai berikut: : 2 1 = = = = k o H τ τ τ Λ H 1 : sekurang-kurangnya satu i τ tidak sama dengan nol. Sehingga Uji yang akan digunakan berdasarkan pada perbandingan dua nilai dugaan bebas dari kesamaan variansi populasi σ 2 . Kedua nilai dugaan tersebut diperoleh dengan menguraikan total variansi menjadi dua komponen. Teorema 2.11 ∑∑ ∑ ∑∑ = = = ⋅⋅ = = − + − = − k i n j i ij k i i k i n j ij X X X X n X X 1 1 2 . 1 2 . 1 1 2 .. Bukti : [ ] 2 1 1 . . 2 1 1 ∑∑ ∑∑ = = ⋅⋅ = = ⋅⋅ − + − = − k i n j i ij i k i n j ij X X X X X X [ ] ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = ⋅⋅ ⋅⋅ = = ⋅⋅ ⋅⋅ − + − − + − = − + − − + − = k i n j k i n j k i n j i ij i ij i i k i n j i ij i ij i i X X X X X X X X X X X X X X X X 1 1 1 1 1 1 2 . . . 2 . 1 1 2 . . . 2 . 2 2 Suku pertama persamaan diatas dapat ditulis menjadi ∑ = ⋅⋅ − k i i X X n 1 2 . karena suku pertama persamaan diatas tidak menpunyai subkrip j. Kemudian penjumlahan suku kedua persamaan diatas akan menghasilkan: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ∑∑ ∑ ∑ = = = = ⋅⋅ ⋅⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = − − k i n j k i n j i ij i i ij i X X X X X X X X 1 1 1 1 . . . . 2 2 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = ⋅⋅ = = = ⋅⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = k i n j n j i ij i k i n j n j i ij i X n X X X X X X X 1 1 1 . . 1 1 1 . . 2 2 ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = ⋅⋅ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = k i n j n j n j ij ij i n X n X X X 1 1 1 1 . 2 2 1 1 . = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ∑ ∑ = = ⋅⋅ k i n j i X X Jadi terbukti ∑∑ ∑ ∑∑ = = = ⋅⋅ = = − + − = − k i n j i ij k i i k i n j ij X X X X n X X 1 1 2 . 1 2 . 1 1 2 .. . ฀ Agar memudahkan penggunaannya maka suku-suku dalam Teorema 2.11 maka dinotasikan dengan: ∑∑ = = − k i n j ij X X 1 1 2 .. = jumlah kuadrat total JK T 2.4 ∑ = ⋅⋅ − k i i X X n 1 2 . = jumlah kuadrat perlakuan JK P 2.5 ∑∑ = = − k i n j i ij X X 1 1 2 . = jumlah kuadrat eror JK E 2.6 sehingga jumlah kuadrat dalam Teorema 2.11 dapat dilambangkan dengan persamaan: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI JK T = JK P + JK E 2.7 Salah satu nilai dugaan bagi σ 2 yang didasarkan pada k-1 derajat bebas adalah: 1 1 1 2 .. . 2 1 − − = − = ∑ = k X X k JK S k i i P 2.8 . i X : rata- rata sampel dari populasi ke-i .. X : rata- rata total pengamatan 2 1 S : variansi antar kelompok between- group variance Bila H o benar, S 1 2 merupakan penduga tak bias bagi σ 2 . Jika H 1 benar maka JK P cenderung menghasilkan nilai yang lebih besar, artinya S 1 2 menduga lebih dari σ 2 . Nilai dugaan bagi σ 2 yang lain berdasarkan pada kn-1 adalah: 1 1 1 1 2 . 2 2 − − = − = ∑∑ = = n k X X n k JK S k i n j i ij E 2.9 Nilai menduga σ 2 2 S 2 berdasarkan eror yaitu selisih antara setiap pengamatan dengan rata-rata dari kelompokperlakuan masing-masing. Nilai dugaan bersifat takbias, baik untuk hipotesis benar atau salah. 2 2 S Apabila hipotesis nol benar, maka penduga tak bias bagi σ 2 adalah: 1 2 − = kn JK S T 2.10 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Teorema 2.11 tidak hanya menguraikan Jumlah Kuadrat Total, tetapi juga jumlah total derajat bebasnya: nk-1 = k-1 +kn-1 2.11 Statistik uji untuk menguji H o = τ 1 = τ 2 =…= τ k =0 adalah perbandingan dan . 2 1 S 2 2 S 2 2 2 1 S S f = 2.12 Bila hipotesis nol benar, maka Persamaan 2.12 merupakan variabel random F yang mempunyai distribusi-F dengan derajat bebas k-1 dan kn-1. Jika H o salah maka menduga lebih dari σ 2 1 S 2 sehingga diperoleh uji variansi satu arah dengan daerah kritis yang seluruhnya terletak di ujung kanan fungsi distribusinya. Dan hipotesis nol ditolak pada taraf signifikan a bila: [ 1 , 1 ] − − n k k f f α 2.13 Untuk perhitungan Jumlah Kuadrat dapat diperoleh dengan memperluas dan menyederhanakan definisi JK P dan JK T dalam Teorema 2.11.Sehingga menghasilkan: kn X X JK k i n j ij T 2 .. 1 1 2 − = ∑∑ = = 2.14 kn X n X JK k i i P 2 .. 1 2 . − = ∑ = 2.15 P T E JK JK JK − = 2.16 Perhitungan analisis variansi dapat dituliskan sebagai berikut: Tabel 2.2 : Tabel analisis variansi satu arah Sumber Variansi Jumlah Kuadrat Derajat bebas Rata-rata jumlah kuadrat f hitung Antar perlakuan ∑ = ⋅⋅ − k i i X X n 1 2 . k-1 1 2 1 − = k JK S P 2 2 2 1 S S f = Eror ∑∑ = = − k i n j i ij X X 1 1 2 . kn-1 1 2 2 − = n k JK S E Total ∑∑ = = − k i n j i ij X X 1 1 2 . nk-1 Contoh 2.1 Sebuah pabrik tas menggunakan kertas sebagai bahan pelapis tas yang akan diproduksinya. Sehingga perlu diteliti kekuatan daya renggang kertas tersebut. Diduga kekuatan daya renggang kertas adalah fungsi konsentrasi kekerasan kayu dalam bubur kertas. Maka dilakukan penelitian dengan mengunakan lima konsentrasi kekerasan kayu yang berbeda dalam bubur kertas. Konsentrasi kekerasan kayu yang digunakan adalah 5, 10, 15, 20 dan 25. Dalam Penelitian tersebut diambil 25 pengamatan secara random pada masing-masing konsentrasi. Maka diperoleh hasil pengamatan sebagai berikut: Tabel 2.3: Data Contoh 2.1 Pengamatan Konsentrasi kekerasan kayu 1 2 3 4 5 Total pengamatan X i. 5 10 15 20 25 7 12 14 19 7 7 17 18 25 10 15 12 18 22 11 11 18 19 19 15 9 18 19 23 11 49 77 88 108 54 376= X .. Jawab: Akan dibandingkan pengaruh beberapa konsentrasi kekerasan kayu terhadap daya renggang produksi tas. Hipotesis nol menyatakan bahwa rata-rata daya renggang kelima perlakuan sama sedangkan untuk hipotesis alternatifnya menyatakan bahwa rata-rata daya renggang kelima perlakuan tidak sama. Sehingga hipotesis tersebut ditulis: a. H o : μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 = μ 5 H 1 : sekurang-kurangnya dua nilai rata-rata tidak sama. b. Jumlah kuadratnya adalah: 76 . 475 25 376 5 54 77 49 5 . 5 5 96 . 636 25 376 11 15 7 7 5 . 5 2 2 2 2 2 .. 5 1 2 . 2 2 2 2 2 2 .. 5 1 5 1 2 = − + + + = − = = − + + + + = − = ∑ ∑∑ = = = Κ Κ X X JK X X JK i i P i j ij T 20 . 161 76 . 475 96 . 636 = − = − = P T E JK JK JK sehingga 99 . 118 4 96 . 475 1 2 1 = = − = k JK S P 06 . 8 20 20 . 161 1 2 2 = = − = n k JK S E 763 . 14 06 . 8 99 . 118 2 2 2 1 = = = S S f . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Tabel 2.4:Analisis variansi contoh 2.1 Sumber Variansi Jumlah Kuadrat Derajat bebas Rata-rata jumlah kuadrat f hitung Antar perlakuan JK P = 475.76 4 99 . 118 2 1 = S f =14.76 Eror JK E =161.20 20 06 . 8 2 2 = S Total JK T =636.96 24 c. Statistik uji F akan memiliki distribusi-F dengan derajat bebas pembilang 5-1= 4 dan derajat bebas penyebut 25-5 =20. Maka dari tabel nilai F 0.01;4:20 =4.33. Sehingga daerah penerimaan Ho adalah [0: 4.43 dan daerah penolakannya adalah [4.43: ∼. d. Karena maka hipotesis nol di tolak. Jadi ada perbedaan rata-rata daya renggang diantara kelima perlakuan tersebut. Sehingga disimpulkan bahwa konsentrasi kekerasan kayu dalam bubur kertas secara berarti mempengaruhi kekuatan daya renggang kertas. 43 . 4 76 . 14 ≥ = f

C. Kontras