Matematika Kelas XI - IPS SMA
236
Gedung A dan B adalah dua gedung yang berhadapan pada masing-masing tepi suatu danau yang lurus dengan lebar 3 km. Gedung + terletak di tepi danau di mana gedung B
berada, dan jauhnya 6 km dari B. Suatu perusahaan telekomunikasi akan memasang kabel telepon dari A ke +. Jika biaya pemasangan kabel per kilometer di bawah air adalah 25 lebih
mahal dari pada pemasangan kabel di daratan, bagaimanakah cara pemasangan kabel yang termurah untuk perusahaan tersebut? Ilustrasi posisi dari gedung A, B, dan + diberikan oleh
gambar berikut.
Gambar 6.1
Pemecahan dari masalah ini erat hubungannya dengan pengoptimuman fungsi. Sebelum menyelesaikan masalah ini secara khusus, sebaiknya Anda harus sudah menguasai bab
sebelumnya, terutama fungsi, limit fungsi, dan turunan. Dengan telah menguasai konsep-konsep ini, secara khusus permasalahan yang kita hadapi di depan dapat kita selesaikan.
6.1 Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Gambar 6.2 memberikan sketsa grafik fungsi B pada interval
1 6
[ ,
] N N
. Grafik itu memperlihatkan bahwa jika titik bergerak sepanjang kurva dari A ke B, maka nilai fungsi
bertambah seiring bertambahnya absis; dan juga jika titik bergerak sepanjang kurva B ke +, maka nilai fungsi berkurang seiring bertambahnya absis. Dalam hal ini kita katakan
bahwa B naik pada interval
1 2
[ ,
] N N
, dan turun pada
2 3
[ ,
] N N
. Definisi formalnya kita berikan berikut.
Pengantar
B +
A 3
Di unduh dari : Bukupaket.com
237
BAB VI ~ Nilai Ekstrim .ungsi an Teknik Membuat GraBik .ungsi Gambar 6.2
Definisi 6.1 1. Fungsi B dikatakan naik pada interval I , jika untuk sembarang
, 1
2
x x I
∈
dengan
1 2
x x
, maka:
1 2
f x f x
2. Fungsi B dikatakan turun pada interval I, jika untuk sembarang
, 1
2
x x I
∈
dengan
1 2
x x
, maka:
1 2
f x f x
.
Pada ilustrasi Gambar 6.2, fungsi B naik pada interval tertutup: [N
1
, N
2
] , [N
3
, N
4
] , dan [N
5
, N
6
] .
Fungsi B turun pada interval tertutup: [N
2
, N
3
] dan [N
4
, N
5
] .
Hubungannya dengan turunan, kita mempunyai sifat berikut ini. Teorema 6.1
Misalkan B fungsi yang mempunyai turunan pada interval tertutup [a, b]. 1.
Jika
f x
untuk setiap N di dalam a, b, maka B naik pada [a, b]. 2.
Jika
f x
untuk setiap N di dalam a, b, maka B turun pada [a, b].
B ,
E .
+ A
N
1
N
2
N
3
N
4
N
5
N
6
O
N
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kelas XI - IPS SMA
238
Contoh 6.1.1 Diberikan
BN = N
3
6N
2
+ 9N +1 Tentukan pada interval mana B naik atau turun.
Penyelesaian: Kita mempunyai
2
3 12
9 B N
N N
= −
+
Dengan mengambil
B N =
, kita memperoleh:
2
3 12
9 N
N −
+ =
⇔
3N 3N 1 = 0
⇔
N = 3 atau N = 1
Tabel 6.1
Dari Tabel 6.1 kita simpulkan bahwa B naik untuk N 1 atau N 3, dan turun untuk 1 N 3.
Gambar 6.3 Grafik Fungsi
3 2
6 9
1 O
N N
N =
− +
+
W Contoh 6.1.2
Diberikan
2
4 , untuk 3
8 , untuk
3 N
N B N
N N
⎧ − ⎪
= ⎨ −
≥ ⎪⎩
. Tentukan pada interval mana B naik atau turun.
Penyelesaian: Fungsi B tidak mempunyai turunan di N = 3 mengapa?, dan
2 , untuk 3
1 , untuk 3
N N
B N N
⎧ = ⎨
− ⎩
Interval Kesimpulan
f x ′
N 1 1 N 3
3 N +
+
B naik B turun
B naik
O 8
6 4
2 1 2 3 4 5
N O = N
3
6N
2
+ 9N + 1
Di unduh dari : Bukupaket.com
239
BAB VI ~ Nilai Ekstrim .ungsi an Teknik Membuat GraBik .ungsi
Dengan mengambil
f x
=
, maka: 2N = 0
⇔
N = 0
Tabel 6.2
Tabel 6.2 menyatakan bahwa B naik pada interval 0 N 3, dan turun pada N 0 atau N 3.
Gambar 6.4
W
1. Untuk setiap fungsi yang diberikan, tentukan interval di mana fungsi itu naik atau turun.
a. BN = N
2
4N 3 d.
BN = N
3
3N
2
9N b. BN = N
2
3N + 2 e.
BN =
1 4
N
4
N
3
+ N
2
c. BN = N
3
9N
2
+ 15N 5f. BN = 3N
4
4N
3
12N
2
+ 5 2.
Untuk setiap fungsi yang diberikan, tentukan interval di mana fungsi itu naik atau turun. a.
1 2
2 B N
N N
= +
d. BN = 1 N
2
1 + N
3
b.
2 2
N B N
N +
= −
e.
2
1 B N
N N =
+
c.
5 B N
N N
= −
f. BN = 2 3N 4
23
Interval Kesimpulan
f x ′
N 0 N 3
3 N
+
B turun B naik
B turun
Latihan 6.1
5 4
3 2
1
-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 N
-4 O
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kelas XI - IPS SMA
240
3. Diketahui fungsi produksi suatu perusahaan adalah:
2 3
1 3
2 5 2 + N
N N
N = +
− +
a. Tentukan fungsi produksi marginal. b. Tentukan interval di mana fungsi produksi naik dan di mana turun.
4. Diketahui fungsi produksi suatu perusahaan adalah:
2 3
1500 4 ,25
,0002 + N
N N
N =
+ −
+
a. Tentukan fungsi produksi marginal. b. Tentukan pada tingkat produksi berapakah fungsi produksi marginal mulai naik.
5. Diketahui fungsi produksi suatu perusahaan adalah:
2 3
900 6 ,3
,001 + N
N N
N =
+ −
+
a. Tentukan fungsi produksi marginal. b. Tentukan pada tingkat produksi berapakah fungsi produksi marginal mulai naik.
6.2 Nilai Ekstrim
