Matematika Kelas XI - IPS SMA
204
Sebuah perusahaan tekstil memperkirakan bahwa biaya produksi dalam jutaan rupiah untuk kain tertentu adalah:
2 3
450 36 0,001
C x x x
x =
+ −
+
Setelah melakukan survei, perusahaan menetapkan bahwa untuk x yard, harga jual kain tersebut adalah:
60 0,01 p x
x =
−
juta rupiah untuk tiap yard. Pertanyaannya, berapakah tingkat produksi perusahaan tersebut untuk memperoleh
keuntungan maksimum? Pemecahan dari masalah ini erat hubungannya dengan
konsep turunan fungsi. Turunan adalah bahasan awal sebelum orang berbicara tentang kalkulus diferensial, yang
merupakan pembahasan lanjutan secara mendalam dari limit. Oleh karena itu, sebelum menyelesaikan masalah ini secara khusus, sebaiknya Anda
harus sudah menguasai bab sebelumnya terutama fungsi dan limit fungsi. Dengan telah menguasai konsep-konsep ini, secara khusus permasalahan yang kita hadapi
di atas dapat kita selesaikan.
5.1 Turunan Fungsi
Pada subbab 4.3 kita telah pelajari bahwa laju perubahan nilai fungsi
y f x
=
terhadap peubah bebas x pada saat x = c, yang secara geometri ditafsirkan sebagai kemiringan garis singgung pada kurva
y f x
=
di
, P c f c
adalah: Laju perubahan sesaat
lim lim
x h
y f c h
f c x
h
Δ → →
Δ + −
= =
Δ
Faktanya, limit bentuk ini muncul secara meluas dalam bidang kimia, fisika, rekayasa, biologi, dan ekonomi. Mengingat begitu bermanfaatnya, kita beri nama dan notasi khusus
bentuk limit ini.
Definisi 5.1 Turunan fungsi f di bilangan c, dinotasikan dengan
f c
, didefinisikan: sebagai
lim
h
f c h
f c f c
h
→
+ −
=
5.1 jika limit ini ada. Notasi fc dibaca f aksen c.
Gambar 5.1 Perusahaan tekstil
Sumber: www.sifab.eu
Pengantar
Di unduh dari : Bukupaket.com
205
BAB V ~ Turunan
Jika kita tuliskan x = c + h, maka h = x c dan
h →
setara dengan
x c
→
. Oleh karena itu, definisi di atas akan setara dengan:
lim
x c
f x f c
f c x c
→
− =
−
5.2 jika limit ini ada. Derivatif adalah sebutan lain untuk turunan.
Contoh 5.1.1 Carilah turunan fungsi
2
3 5 2
f x x
x =
− +
di bilangan c. Penyelesaian:
Dari Definisi 5.1, kita mempunyai:
f c lim
h
f c h f c
h
→
+ − =
2 2
[3 5
2] [3 5
2] lim
h
c h c h
c c
h
→
+ −
+ + − −
+ =
2 2
2
3 6
3 5
5 2 3
5 2]
lim
h
c ch
h c
h c
c h
→
+ +
− −
+ − +
− =
2
6 3
5 lim
h
ch h
h h
→
+ −
= lim 6
3 5
h
c h
→
= +
− 6
5 c
= −
Jadi, turunan fungsi
2
3 5 2
f x x
x =
− +
di bilangan c adalah
6 5
f c c
= −
. W
Dalam Definisi 5.1 kita memandang turunan suatu fungsi f di bilangan tetap c. Selanjutnya, jika kita biarkan bilangan c berubah-ubah menjadi peubah x, maka kita
peroleh:
lim
h
f x h f x
f x h
→
+ − =
asalkan limit ini ada. Dalam hal ini kita dapat menganggap
f
sebagai fungsi baru, yang disebut turunan dari f.
Contoh 5.1.2 Tentukan turunan dari:
a. f x = 5x 2 b. gx = 3x
2
+ 8 c.
1 , k x
x x
= ≠
Penyelesaian: a. Untuk fx = 5x 2,
f x h f x
h +
−
=
5 2 5
2 x h
x h
+ − − −
=
5 5 2 5 2 x
h x
h +
+ − −
=
5h h
= 5
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kelas XI - IPS SMA
206
Jadi,
lim
h
f x h f x
f x h
→
+ −
=
=
lim 5
h →
= 5 b. Untuk gx = 3x
2
+ 8,
g x h g x
h +
−
=
2 2
[3 8] [3
8] x h
x h
+ + −
+
=
2
6 3
xh h
h +
= 6x + 3h Jadi,
lim
h
g x h g x
g x h
→
+ − =
=
lim 6 3
h
x h
→
+
= 6x c. Untuk
1 ,
k x x
x =
≠
,
k x h k x
h + −
=
1 1
x h x
h −
+
=
x x h
hx x h − +
+
=
1 x x h
− +
Jadi,
lim
h
k x h k x
k x h
→
+ − =
=
2
1 1
lim
h
x x h x
→
− −
= +
W Contoh 5.1.3
Untuk fungsi fx = 3x
2
+ 8, carilah turunan f di 2 dengan tiga cara: a. gantikan x dengan 2 dalam
f x
, b. gunakan rumus 5.1,
c. gunakan rumus 5.2. Penyelesaian:
a. Dari Contoh 5.1.2 b, diperoleh
6 f
x x
=
. Oleh karena itu,
2 12 f
=
b. Dengan rumus 5.1,
2 2
2 lim
h
f h
f f
h
→
+ −
=
2 2
[32 8] [2
8] lim
h
h h
→
+ + −
+ =
=
lim12 3 12
h
h
→
+ =
. c. Dengan rumus 5.2,
2 2
2
2 3
8 3 2 8
3 4
2 2
2 f x
f x
x x
x x
− + − ⋅
+ −
= =
− −
−
= 3x + 2 Jadi,
2
2 2 lim
2
x
f x f
f x
→
− =
−
=
2
lim 3 2 12
x
x
→
+ =
W Penggunaan notasi
f
untuk turunan fungsi f diperkenalkan oleh Josep Louis Lagrange 1736 1813, seorang matematikawan Perancis. Notasi ini menekankan fungsi
f
diturunkan dari fungsi f dan nilainya di x adalah
f x
.
Di unduh dari : Bukupaket.com
207
BAB V ~ Turunan
Jika titik x, y terletak pada grafik fungsi f, yaitu x memenuhi persamaan y = fx, maka notasi
f
dapat digantikan dengan
y
atau
dy dx
. Notasi ini diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Jerman bernama Gottfried Wilhelm Leibniz 1646 1716.
Dua notasi lain untuk turunan suatu fungsi f adalah:
[ ] d
f x dx
dan
[ ]
x
D f x
Contoh 5.1.4 Jika diketahui
2 3
x y
x −
= +
, tentukan
dy dx
. Penyelesaian:
Dalam hal ini, y = fx dengan
2 3
x f x
x −
= +
,
2 2
3 3
x h x
f x h f x
x h x
h h
− − −
− + −
+ + +
= 2
3 3
2 3
3 x h
x x h
x h
x h x
− − +
− + + −
= + +
+
2 2
6 3
6 2
3 3
x xh h x
x xh h x
h x h
x − −
− −
− − − +
− =
+ + +
5 3
3 h
h x h
x −
= + +
+ 5
3 3
x h x
− =
+ + +
Jadi,
2
5 5
lim lim
3 3
3
h
dy f x h
f x dx
h x h
x x
h
→
+ −
− −
= =
= + +
+ +
→
W Contoh 5.1.5 Pengayaan
Diketahui
1 3
f x x
=
. a. Tentukan
f x
. b. Tunjukkan bahwa f tidak mempunyai turunan di x = 0.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kelas XI - IPS SMA
208
Penyelesaian: a. Kita rasionalkan pembilangnya, untuk
x ≠
,
1 1
3 3
f x h f x
x h x
h h
+ −
+ −
=
1 1
2 1
1 2
3 3
3 3
3 3
2 1
1 2
3 3
3 3
[ ][
] [
] x h
x x h
x h x
x h x h
x h x
x +
− +
+ +
+ =
+ +
+ +
2 1
1 2
3 3
3 3
[ ]
x h x
h x h x h
x x
+ − =
+ +
+ +
2 1
1 2
3 3
3 3
1 x h
x h x
x =
+ +
+ +
Jadi,
f x
=
2 1
1 2
2 3
3 3
3 3
1 1
lim 3
h
x h x h
x x
x
→
= +
+ +
+
b. Dari definisi turunan di x = 0,
1 1
3 3
2 3
1 0 lim
lim lim
h h
h
f h
f h
f h
h h
→ →
→
+ − −
= =
=
tidak ada Jadi, f tidak mempunyai turunan di x = 0.
W Contoh 5.1.6 Pengayaan
Diketahui
f x x
=
. a. Tunjukkan bahwa f tidak mempunyai turunan di x = 0.
b. Gambarkan grafik f. Penyelesaian:
a. Dengan rumus 5.2,
0 lim lim
x x
f x f
x f
x x
→ →
− =
= −
Tetapi untuk
x
,
lim lim
1
x x
x x
x x
+ +
→ →
= =
sedangkan untuk
x
,
lim lim
1
x x
x x
x x
−
→ − →
− =
= −
Karena limit kanan tidak sama dengan limit kiri, maka kita simpulkan bahwa
f
tidak ada. Namun demikian, fungsi f kontinu di x = 0, karena
lim 0
x
f x f
→
= =
.
Di unduh dari : Bukupaket.com
209
BAB V ~ Turunan
b. Grafik y = f x
Gambar 5.2 Grafik Fungsi y x
=
W Secara umum, jika fungsi mempunyai grafik di titik c bersifat patah lancip, maka
di titik tersebut f tidak mempunyai turunan. Lihat Gambar 5.2 di titik x = 0. Dari Contoh 5.1.5 dan 5.1.6, dapat kita simpulkan bahwa tidak semua fungsi mempunyai turunan.
W
1. Tentukan
f c
untuk setiap fungsi yang diberikan. a.
2
1 3
f x x
x = + −
c.
2 3
x f x
x =
−
e.
2 1
f x x
= +
b.
3
3 f x
x x
= +
d.
2
4 x
f x x
= −
f.
3 2
f x x
= −
2. Setiap limit menyatakan turunan suatu fungsi f di suatu bilangan c. Nyatakan f dan c untuk
setiap kasus.
a.
1 1
lim
h
h h
→
+ −
c.
8 1
1 lim
1
x
x x
→
− −
e.
2 2
1 1
lim
h
x h x h
h
→
− +
+
b.
3
2 8
lim
h
h h
→
+ −
d.
2 2
3 12
lim 2
x
x x
→
− −
f.
5 1
lim
x x
x
→
−
Latihan 5.1
y 5
4 3
2 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
= y
x
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kelas XI - IPS SMA
210
3. Carilah turunan dari setiap fungsi yang diberikan, dan nyatakan daerah asal fungsi dan
daerah asal turunannya. a.
5 8 f x
x =
−
d.
1 1
x f x
x −
= +
b.
3 2
5 f x
x x
x =
− +
e.
3 4
3 x
f x x
− =
−
c.
f x x
x = +
f.
1 3 f x
x =
+
4. Tentukan
dy dx
dari setiap persamaan yang diberikan. a.
2
4 3
y x
x =
+
c.
2 7 y
x =
−
b.
2 3
y x
= −
d.
1 1
y x
= −
5.2 Teorema Turunan Fungsi Aljabar
