Sehingga, persamaan 1 ditransformasikan kedalam permasalahan program linier: Maksimumkan
=
1 1
+
2 2
+ ⋯ +
+
+1
Kendala
1 1
+ ⋯ +
1 1
+
2 2
+ ⋯ +
+
+1
= 1
1
0, … ,
0, …. 2
Dengan diasumsikan variabel =
1
1 1
+
2 2
+ ⋯+
+
+1
= untuk
i=1,…,k, persamaan 2 dapat di reduksi menjadi:
Maksimumkan =
1 1
+
2 2
+ ⋯ +
+
+1
Kendala
1 1
+ ⋯ +
1 1
+
2 2
+ ⋯ +
+
+1
= 1
1
0, … ,
0, …. 3
Borza, 2012
3.3 Program Linier Pecahan Dengan Fungsi Tujuan Berkoefisien Interval
Pada beberapa masalah aplikasi program linier, koefisien pada model seringkali tidak bisa ditentukan secara tepat. Jadi dalam kasus seperti itu, jauh
lebih baik untuk memilih koefisien sebagai interval bukan merupakan angka tetap. Sebagai contoh salah satu dari situasi ini terjadi ketika koefisien bilangan fuzzy.
Dalam kasus ini jika pengambil keputusan menetapkan α-tingkat kepuasan, maka bilangan fuzzy diubah menjadi interval. Oleh karena itu, dalam berbagai situasi
seperti itu untuk menyelesaikan permasalahan dalam bentuk pemrograman matematika dengan koefisien interval. Salah satu metode dalam menyelesaikan
masalah PL ini adalah dengan menggunakan pendekatan interval, dimana koefisien tak tentu tersebut diubah menjadi bentuk interval. Bentuk PL ini
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
dinamakan Linier Programming with Interval Coefficient LPIC. Koefisien berbentuk interval menandakan perluasan toleransi atau daerah dimana
parameter konstanta bisa diterima dan memenuhi model LPIC. Farida, 2011
Sehingga permasalahan optimasi program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval merupakan kombinasi persoalan program linier
pecahan dengan program linier dengan koefisen interval. Sehingga persamaan persoalan tersebut dapat dituliskan menjadi:
Maksimumkan Z =
[
1, 1
]
1
+[
2, 2
]
2
+ ⋯+[
,
] +[
+1, +1
] [
1, 1
]
1
+[
2
,
2
]
2
+ ⋯+[
,
] +[
+1, +1
]
k= 1,2,3,…m dan j= 1,2,3,…n Kendala
1 1
+ ⋯ +
1
0, … ,
… 4 Untuk menyelesaikan permasalahan ini diasumsikan bahwa
[
1, 1
]
1
+ [
2
,
2
]
2
+ ⋯ + [
,
] + [
+1, +1
] 0 untuk semua
�
=
1
, … , ∈
�, dimana X adalah daerah feasible kompak, Untuk menyelesaikan persamaan 4, diasumsikan variabel
t =
1 [
1, 1
]
1
+[
2
,
2
]
2
+ ⋯+[
,
] +[
+1, +1
]
sehingga diperoleh: Maksimumkan
= [
1, 1
]
1
+ [
2, 2
]
2
+ ⋯ + [
,
] + [
+1, +1
] Kendala
1 1
+ ⋯ +
t [c
1,
d
1
]
1
+ [c
2
, d
2
]
2
+ ⋯ + [c
k,
d
k
] + [c
k+1,
d
k+1
] = 1
1
0, … ,
0, … 5
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
Dengan diasumsikan variabel =
1 [
1, 1
]
1
+[
2
,
2
]
2
+ ⋯+[
,
] +[
+1, +1
]
= untuk
i=1,…,k, persamaan 5 dapat di reduksi menjadi: Maksimumkan
= [
1, 1
]
1
+ [
2, 2
]
2
+ ⋯ + [
,
] +
[
+1, +1
] Kendala
1 1
+ ⋯ +
t [
1, 1
]
1
+ [
2
,
2
]
2
+. . . +[
,
] + [
+1, +1
] = 1
1
0, … ,
0, … 6
Kombinasi linier dari masing-masing daerah interval mengikuti persamaan: Maksimum
= [
1 1
+ 1 −
1 1
]
1
+ [
2 2
+ 1 −
2 2
]
2
+ ⋯ +
[ + 1
−
1
] + [
+1 +1
+ 1 −
+1 +1
] Kendala
1 1
+ ⋯ +
− [
1 1
+ 1 −
1 1
]
1
+ [
2 2
+ 1 −
2 2
]
2
+ ⋯ + [
+ 1
− ] + [
+1 +1
+ 1 −
+1 +1
] = 1
1
0, … ,
0, 0, 0
1 , … , 0
1, untuk i=1,…,k+1
…7 Dari persamaan 7. Pada fungsi kendala dapat di reduksi menjadi:
[
1 1
+ 1 −
1 1
]
1
+ ⋯ + [
+ 1 − ] + [
+1 +1
+ 1 −
+1 +1
] = 1 [
1 1 1
+
1 1
−
1 1 1
+ ⋯ +
1
+ −
+
+1 +1
+
+1
−
+1 +1
] = 1
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
[
1 1 1
−
1 1 1
] +…+ [
1
− ] + [
+1 +1
−
+1 +1
] +
1 1
+ ⋯ +
+
+1
= 1 [
1 1 1
−
1
+ ⋯ + − +
+1 +1
−
+1
] +
1 1
+ ⋯
+ +
+1
= 1 … 8
Karena, 0 untuk = 1,
… , , 0, 0
β
i
1, − 0 untuk = 1, … , +
1 Oleh karena itu persamaan 8 dapat ditulis:
1 1 + [
1 1 1
−
1
+ ⋯ + − +
+1 +1
−
+1
] 1 +
1 1
−
1
+ ⋯ + − +
+1
−
+1
]
…9 Dengan mengkombinasikan persamaan 8 dan 9 menghasilkan:
1
1 1
+ ⋯ +
+
+1
1 +
1 1
−
1
+ ⋯ + − +
+1
−
+1
… 10 Yang selanjutnya direduksi menjadi:
1 1
+ ⋯ +
+
+1
1 …11
Dan
1 1
+ ⋯ +
+
+1
1 …12
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
Oleh karena itu, dengan menggunakan persamaan 11 dan 12, persamaan 7 ditransformasikan kedalam persamaan berikut:
Maksimumkan = [
1 1
+ 1 −
1 1
]
1
+ [
2 2
+ 1 −
2 2
]
2
+ ⋯ +
[ + 1
−
1
] + [
+1 +1
+ 1 −
+1 +1
] Kendala
c
1 1
+ ⋯ + c
k
+ c
k+1
1 d
1 1
+ ⋯ + d
k
+ d
k+1
1
1 1
+ ⋯ +
−
1
0, … ,
0, 0, 0
α
i
1 untuk i=1,…,k+1
… 13 Jika
1
, … , , menjadi titik daerah feasible dari persamaan 13,
dengan 1,
− 0 untuk i=1,…,k+1, maka fungsi objektif dalam persamaan 13 dapat ditulis sebagai:
1 1 1
−
1
+ ⋯ + − +
+1 +1
−
+1
] +b
1 1
+ ⋯ +
b
k
+ b
k+1 1
1
−
1
+ ⋯ + − +
+1
−
+1
] +b
1 1
+ ⋯ + b
k
+ b
k+1
= a
1 1
+ ⋯ + a
k
+ a
k+1
Persamaan diatas membuktikan bahwa
1
,
2
, … ,
+1
merupakan batas bawah dari koefisien interval pada fungsi tujuan. Maka worst optimum pada
persamaan fungsi tujuan adalah Z= a
1 1
+ ⋯ + a
k
+ a
k+1
Sehingga bentuk transformasi optimasi program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval adalah
Maksimumkan Z=
1 1
+ ⋯ +
+
+1
Kendala
1 1
+ ⋯ +
+
+1
1
1 1
+ ⋯ +
+
+1
1
1 1
+ ⋯ +
−
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
1
0, … ,
0, 0, untuk
k=1,…,m Sedangkan untuk memperoleh best optimum maka diambil batas atas dari
koefisien interval pada fungsi tujuan. Sehingga bentuk transformasi optimasi program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval adalah
Maksimumkan Z=
1 1
+ ⋯ +
+
+1
Kendala
1 1
+ ⋯ +
+
+1
1
1 1
+ ⋯ +
+
+1
1
1 1
+ ⋯ +
−
1
0, … ,
0, 0, untuk
k=1,…,m
Berikut akan dibuktikan bahwa Program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval dibawah ini sama dengan metode Charnes-Cooper.
Maksimumkan Z=
[
1, 1
]
1
+[
2, 2
]
2
+ ⋯+[
,
] +[
+1, +1
] [
1, 1
]
1
+[
2
,
2
]
2
+ ⋯+[
,
] +[
+1, +1
]
Kendala
1 1
+ ⋯ +
1
0, … ,
k= 1,2,…,m dan j= 1,2,…,n
Bukti:
Karena koefisien interval pada pembilang fungsi tujuan memiliki nilai yang sama. Nilai koefisien fungsi tujuan pada best optimum dan worst optimum adalah sama.
Maka persoalan optimasi program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval diatas dapat ditransformasikan menjadi:
Maksimumkan Z=
1 1
+ ⋯ +
+
+1
Kendala
1 1
+ ⋯ +
+
+1
1
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
1 1
+ ⋯ +
+
+1
1
1 1
+ ⋯ +
−
1
0, … ,
0, 0, untuk
k=1,…m Karena koefisien ruas kiri persamaan pertama dan kedua pada fungsi kendala
sama, Maka persamaan pertama dan kedua dikombinasikan, sehingga diperoleh persamaan program liniernya menjadi:
Maksimumkan Z=
1 1
+ ⋯ +
+
+1
Kendala
1 1
+ ⋯ +
+
+1
= 1
1 1
+ ⋯ +
−
1
0, … ,
0, 0, untuk = 1,
… , Sehingga terbukti bahwa optimasi program linier pecahan dengan fungsi tujuan
berkoefisien interval sesuai dengan bentuk transformasi yang diperkenalkan oleh Charnes dan Cooper. Borza, 2012
Kasus 1
PT Sayang Anak memproduksi dua jenis mainan yang terbuat dari kayu yang berupa boneka dan kereta api. Boneka dijual dengan harga Rp 27.000 -
35.000 lusin yang setiap lusinnya memerlukan biaya material sebesar Rp 10.000- 14.000 serta biaya tenaga kerja sebesar Rp 14.000-16.000. Kereta api yang dijual
seharga Rp 21.000 -30.000 lusin memerlukan biaya material sebesar Rp 9.000- 12.000 dan biaya tenaga kerja Rp 10.000-13.000. Apabila perusahan dikenai pajak
pembuatan sekitar Rp 5000-8000. Untuk membuat boneka dan kereta api ini diperlukan dua kelompok tenaga kerja, yaitu tukang kayu dan tukang poles. Setiap
lusin boneka memerlukan 2 jam pemolesan dan 1 jam pekerjaan kayu, sedangkan setiap lusin kereta api memerlukan 1 jam pemolesan dan 1 jam pekerjaan kayu.
Meskipun pada setiap minggunya perusahaan ini dapat memenuhi seluruh material yang diperlukan, jam kerja yang tersedia hanya 100 jam untuk pemolesan
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
dan 80 jam untuk pekerjaan kayu. Dari pengamatan pasar selama ini dapat dikatakan bahwa kebutuhan akan kereta api tidak terbatas, tetapi untuk boneka
tidak lebih dari 40 lusin yang terjual setiap minggunya. Bagaimanakah formulasi dari persoalan di atas untuk mengetahui berapa lusin jenis mainan masing-masing
yang harus
dibuat setiap
minggu dengan
mengoptimalkan efisiensi
keuntunganpendapatan ? dikutip dari Bu’ulolo, 2005; dengan modifikasi
Solusi: Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan merupakan fungsi dari variabel keputusan yang akan dimaksimumkan untuk pendapatan atau keuntungan atau diminimumkan untuk
ongkos. Pada persoalan ini akan dimaksimumkan pendapatanminggu –
ongkos materialminggu – ongkos tenaga kerjaminggu.
Pendapatan dan ongkos-ongkos ini dapat diekspresikan dengan menggunakan variabel keputusan x
1
dan x
2
sebagai berikut : Pendapatan minggu
= [27, 35] x
1
+ [21, 30] x
2
Ongkos materialminggu = [10, 14] x
1
+ [9, 12] x
2
Ongkos tenaga kerjaminggu = [14,16] x
1
+ [10,13] x
2
Pajak = [5, 8]
Sehingga yang akan dimaksimumkan adalah : Pendapatan
= [27, 35] x
1
+ [21, 30] x
2
Biaya = [10+14, 14+16] x
1
+ [9+10, 12+13] x
2
+ [5, 8] =[24, 30] x
1
+ [19, 25] x
2
+ [5, 8] Fungsi biaya dapat disimbolkan dengan gx. Sehingga untuk menyatakan
persamaan fungsi biaya dapat ditulis:
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
gx = [24, 30] x
1
+ [19, 25] x
2
+ [5, 8] Keuntungan
= Pendapatan – Biaya
= [3, 5] x
1
+ [2, 5] x
2
+ [-8, -5] dimana fungsi keuntungan disimbolkan dengan fungsi fx. Sehingga untuk
menyatakan persamaan fungsi tujuan dari keuntungan dapat ditulis: Untuk menyatakan nilai fungsi tujuan akan digunakan variabel Z dan dapat
ditulis: Maksimumkan fx = Z = [3, 5] x
1
+ [2, 5] x
2
+ [-8, -5] Sehingga persamaan fungsi tujuan diatas merupakan bentuk fungsi tujuan model
LPIC
Pembatas
Pembatas merupakan kendala yang dihadapi sehingga kita tidak bisa menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang. Pada persoalan di atas ada 3
pembatas yang dihadapi yaitu : Pembatas 1 : Setiap minggu tidak lebih dari 100 jam waktu pemolesan yang
dapat digunakan. Pembatas 2 : Setiap minggu tidak lebih dari 80 jam waktu pengerjaan kayu yang
dapat digunakan. Pembatas 3 : Karena permintaan yang tebatas, maka tidak lebih dari 40 lusin
boneka yang dapat dibuat setiap minggu. Jumlah material yang dapat digunakan diasumsikan tidak terbatas sehingga tidak ada pembatas untuk hal ini.
Dengan menggunakan simbol matematik dapat ditulis : Pembatas 1 : 2x
1
+ x
2
100 Pembatas 2 : x
1
+ x
2
80 Pembatas 3 : x
1
40
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
Pembatas Tanda
Pembatas tanda adalah yang menjelaskan apakah variabel keputusannya diasumsikan hanya berharga nonnegatif atau variabel keputusan boleh berharga
positif, boleh juga negatif. Pada contoh diatas kedua variabel keputusan harus berharga nonnegatif sehingga harus dinyatakan bahwa : x
1
0 dan x
2
0 Dengan demikian, formulasi lengkap dari persoalan PT Sayang Anak adalah :
Maksimumkan Z = [3, 5] x
1
+ [2, 5] x
2
+ [-8, -5] Kendala
2 x
1
+ x
2
100 x
1
+ x
2
80 x
1
40 x
1
0 , x
2
0 Setelah dicapai solusi optimum untuk x
1
= 20, dan x
2
= 60 dan Z= [172, 395]. Sehingga keuntungan maksimum yang diperoleh PT Sayang Anak diantara Rp
172.000 hingga Rp 395.000 dengan modal investasi sebesar 1.625.000 hingga Rp 2.108.000. Sehingga efisiensi dari keuntungan dan biaya PT Sayang Anak adalah
172.0001.625.000= 0.1058 pada worst optimum. Sedangkan efisiensi pada best optimum diperoleh sebesar 395.0002.108.000= 0.1873.
Dengan menggunakan optimasi program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval dapat meningkatkan rasio dari efisiensi keuntungan dan
biaya.
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
Maka bentuk persamaan optimasi program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval adalah
Maksimumkan Z= =
[3, 5]
1
+ [2,5]
2
+ [ −5, −8]
[24,30]
1
+ [19,25]
2
+[5, 8]
Kendala 2 x
1
+ x
2
100 x
1
+ x
2
80 x
1
40 x
1
0 , x
2
0 Transformasi optimasi program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien
interval-nya menjadi: Maksimumkan
Z= [3, 5]
1
+ [2, 5]
2
+ [ −8, −5]
Kendala 24
1
+ 19
2
+ 5 1
34
1
+ 25
2
+ 8 1
2
1
+
2
− 100 0
1
+
2
− 80 0
1
− 40 0
1
0,
2
0,
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
Sehingga bentuk persamaan program linier untuk memperoleh efisiensi best optimum-nya adalah
Maksimumkan Z= 5
1
+ 5
2
-5t Kendala
24
1
+ 19
2
+ 5 1
34
1
+ 25
2
+ 8 1
2
1
+
2
− 100 0
1
+
2
− 80 0
1
− 40 0
1
0,
2
0, Dari perhitungan program linier diatas maka diperoleh nilai rasio efisiensi best
optimum dari keuntungan dan biaya dengan solusi
1
= 0,
2
= 0.0525, = 0.0007 dan = 0.259. Efisiensinya meningkat dari 0.1873 menjadi 0.259.
Dengan memproduksi mainan kereta api sebanyak x
2=
2
=
0.0525 0.0007
= 75 biaya modal sebesar Rp 1.883.000 dan keuntungan sebesar Rp 367.000.
Sedangkan untuk worst optimum-nya maka bentuk transformasi optimasi program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval adalah
Maksimumkan Z= 3
1
+ 2
2
+ -8t Kendala
24
1
+ 19
2
+ 5 1
34
1
+ 25
2
+ 8 1
2
1
+
2
− 100 0
1
+
2
− 80 0
1
− 40 0
1
0,
2
0,
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
Dari persamaan program linier diatas maka diperoleh rasio tertinggi worst optimum untuk efisiensi keuntungan dan biaya dengan solusi
1
= 0.0415,
2
= 0, = 0.001 dan = 0.1161. Meningkat dari 0.1058 menjadi 0.1161. Dengan
memproduksi mainan boneka sebanyak x
1=
1
=
0.0415 0.001
= 41 ,
dengan biaya
modal sebesar Rp 992.000 dan keuntungan sebesar Rp 115.000.
Kasus 2
Tentukan solusi dar optimasi program linier pecahan dibawah ini Maksimumkan
Z = =
[1.5
,
3]
1
+ 3,4
2
+[5, 6] 0.5,2.5
1
+ 1.5,3
2
+[2,4]
Kendala −2
1
+
2
3 2
1
+ 3
2
10
1
−
2
4
1
0,
2
Ditransformasikan kedalam bentuk transformasi optimasi program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval menjadi:
Maksimumkan Z=
[1.5, 3] u
1
+ [3, 4] u
2
+ [5, 6]t Kendala:
0.5
1
+ 1.5
2
+ 2 1
2.5
1
+ 3
2
+ 4 1
−2
1
+
2
− 3 0 2
1
+ 3
2
− 10 0
1
−
1
− 4 0
1
0,
2
0,
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
Untuk memperoleh best optimum dari program linier yang memiliki fungsi tujuan yang berbentuk LPIC. Maka diambil batas atas dari koefisien interval pada fungsi
tujuan sehingga persamaan program liniernya menjadi: Maksimumkan
Z= 3
1
+ 4
2
+ 6 Kendala
0.5
1
+ 1.5
2
+ 2 1
2.5
1
+ 3
2
+ 4 1
−2
1
+
2
− 3 0 2
1
+ 3
2
− 10 0
1
−
1
− 4 0
1
0,
2
0,
Dari persamaan program linier diatas maka diperoleh solusi
1
= 1,
2
= 0, = 0.25 dan = 4.5. Nilai optimal dari fungsi tujuan adalah 4.5 dengan nilai pada
titik x
1
=
1
=
1 0.25
= 4 sedangakan pada titik x
2
adalah 0. Sedangkan untuk menentukan nilai worst optimum diambil nilai batas bawah dari
koefisien interval. Sehingga persamaan program liniernya menjadi: Maksimukan
Z= 3
1
+ 4
2
+ 6 Kendala
0.5
1
+ 1.5
2
+ 2 1
2.5
1
+ 3
2
+ 4 1
−2
1
+
2
− 3 0 2
1
+ 3
2
− 10 0
1
−
1
− 4 0
1
0,
2
0,
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
Dari persamaan diatas maka diperoleh untuk nilai worst optimum pada fungsi tujuan adalah dengan solusi
1
= 1,
2
= 0, = 0.25 dan = 2.75. Nilai optimal dari fungsi tujuan adalah 2.75 dengan nilai pada titik x
1
=
1
=
1 0.25
= 4 sedangakan pada titik x
2
adalah 0. Dari contoh kasus diatas dapat dilihat bahwa optimasi program linier pecahan
dengan fungsi tujuan berkoefisien interval menghasilkan nilai optimal yang lebih baik dibandingkan penyelesaian dengan metode optimasi program linier biasa.
Hal ini disebabkankan oleh faktor koefisien yang berada dalam interval, sehingga pemilihan nilai terbaik lebih fleksibel.
Dengan demikian nilai optimum yang dihasilkan dari suatu nilai dalam interval dapat memberikan hasil yang lebih baik daripada nilai optimum yang dihasilkan
dari satu koefisien tertentu. Hal ini meningkatkan efisiensi biaya pada masalah optimasi biaya produksi.
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan