2.3 Program Linier Pecahan PLP
Bidang dari Program Linier Pecahan PLP secara luas dikembangkan oleh seorang matematisi Hungaria B.Martos dan asosiasinya di tahun 1960an dengan
memusatkan pada masalah optimisasi. Beberapa metode penyelesaian masalah ini Charnes dan Cooper 1962 telah menyarankan metode mereka dengan
bergantung pada transformasi ini PLP kepada ekivalen program linier. Bentuk umum dari masalah PLP dapat dibuat sbb :
Maksimumkan Z =
�
+
�
+
Kendala
x
dimana ∈ � , x merupakan vektor dari variabel keputusan, , ∈ �
dan b adalah koefisien vektor yang diketahui, ∈ �
adalah matriks yang diketahui dan
, ∈ � adalah konstanta. Kendala permasalahan dibatasi wilayah
feasible |
�
+ , yaitu wilayah yang penyebut adalah positif. Atau,
penyebut dari fungsi tujuan harus negatif di daerah feasible secara keseluruhan. Charnes Cooper ,1962
2.3 Program linier Optimasi.
Optimasi adalah sarana untuk mengekspresikan model matematika yang bertujuan memecahkan masalah dengan cara terbaik. Untuk tujuan bisnis, hal ini
berarti memaksimalkan keuntungan dan efisiensi serta meminimalkan kerugian, biaya atau resiko. Hal ini juga berarti merancang sesuatu untuk meminimalisasi
bahan baku atau memaksimalisasi keuntungan. Adapun keinginan untuk memecahkan masalah dengan model optimasi secara umum sudah digunakan pada
banyak aplikasi.
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
Program Linier.
Program linier merupakan model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal.
Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukannya, di mana masing-
masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas. Secara sederhana, dapat diambil contoh bagian produksi suatu perusahaan yang
dihadapkan pada masalah penentuan tingkat produksi masing-masing jenis produk dengan memperhatikan batasan faktor-faktor produksi: mesin, tenaga kerja, bahan
mentah, dan sebagainya untuk memperoleh tingkat keuntungan maksimal atau biaya yang minimal.
Pada masa modern sekarang, program linier masih menjadi pilihan dalam upaya untuk memperoleh tingkat keuntungan maksimal atau biaya yang minimal.
Dalam memecahkan masalah di atas, Program linier menggunakan model matematis. Sebutan “linier” berarti bahwa semua fungsi matematis yang disajikan
dalam model ini haruslah fungsi-fungsi linier. Dalam Program linier dikenal dua macam fungsi, yaitu fungsi tujuan objective function dan fungsi-fungsi batasan
constraint function. Fungsi tujuan adalah fungsi yang menggambarkan tujuansasaran di dalam permasalahan program linier yang berkaitan dengan
pengaturan secara optimal sumber daya-sumber daya, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal. Pada umumnya nilai yang akan
dioptimalkan dinyatakan sebagai Z. Fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan
secara optimal ke berbagai kegiatan. Agar dapat menyusun dan merumuskan suatu persoalan atau permasalahan
yang dihadapi ke dalam model program linier, maka ada lima syarat yang harus dipenuhi:
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
1. Tujuan
Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang
disebut fungsi tujuan. 2.
Alternatif perbandingan Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan;
misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah.
3. Sumber daya
Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas 4.
Perumusan kuantitatif Fungsi tujuan dan kendala harus dapat dirumuskan secara kuantitatif
dalam apa yang disebut model matematika. 5.
Keterkaitan peubah Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus
memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan.
Model Dasar
Model dasar program linier dapat dirumuskan sebagai berikut: Carilah nilai-nilai
j
x x
x ,
, ,
2 1
yang dapat menghasilkan berbagai kombinasi optimum maksimum atau minimum dari:
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
.
2 2
1 1
tujuan fungsi
x c
x c
x c
Z
j j
2.1
Dengan syarat bahwa fungsi tujuan tersebut memenuhi kendala-kendala atau syarat-syarat ikatan sebagai berikut:
1 1
2 12
1 11
b atau
x a
x a
x a
j j
2 2
2 22
1 21
b atau
x a
x a
x a
j j
i j
ij m
i
b atau
x a
x a
x a
2 2
1 1
2.2 dan bahwa:
,
j
x
untuk
n j
,..., 2
, 1
da i = , ,…,
2.3 Keterangan:
j
c
Parameter yang dijadikan kriteria optimisasi, atau koefisien peubah pengambilan keputusan dalam fungsi tujuan.
j
x
Peubah pengambilan keputusan atau kegiatan yang ingin dicari; yang
tidak diketahui.
ij
a
Koefisien teknologi peubah pengambilan keputusan kegiatan yang bersangkutan dalam kendala ke-i.
i
b
Sumber daya yang terbatas, yang membatasi kegiatan atau usaha yang
bersangkutan; disebut pula konstanta atau “nilai sebelah kanan” dari kendala ke-i.
Z
Nilai skalar kriteria pengambilan keputusan; suatu fungsi tujuan.
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
Asumsi – asumsi program linier
1. Linieritas
Asumsi ini menginginkan agar perbandingan antara input yang satu dengan input lainnya, atau untuk suatu input dengan output besarnya tetap dan
terlepas tidak tergantung pada tingkat produksi. 2.
Proposionalitas Asumsi ini menyatakan bahwa jika peubah pengambilan keputusan,
j
x
berubah maka dampak perubahannya akan menyebar dalm proposi yang sama terhadap fungsi tujuan,
j j
x c
, dan juga pada kendalanya,
j ij
x a
. 3.
Aditivitas Asumsi ini menyatakan bahwa nilai parameter suatu kriteria optimisasi
koefisien peubah pengambilan keputusan dalam fungsi tujuan merupakan jumlah dari nilai individu-individu
j
c
dalam model PL tersebut. 4.
Divisibilitas Asumsi ini menyatakan bahwa peubah-peubah pengambilan keputusan
j
X
, jika diperlukan dapat dibagi ke dalam pecahan-pecahan. 5.
Deterministik Asumsi ini menghendaki agar semua parameter dalam PL yaitu nilai
– nilai
j
c
,
ij
a
, dan
i
b
tetap dan dikehendaki atau ditentukan secara pasti.
Metode Simpleks
Apabila suatu masalah Linier Programming hanya mengandung dua kegiatan variabel-variabel keputusan saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik.
Bila terdapat lebih dari dua variabel maka metode grafik tidak dapat digunakan
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
lagi, sehingga diperlukan metode simpleks. Metode ini lazim dipakai untuk menentukan kombinasi dari tiga variabel atau lebih.
Masalah Program linier yang melibatkan banyak variabel keputusan dapat dengan cepat dipecahkan dengan bantuan komputer. Bila variabel keputusan yang
dikandung tidak terlalu banyak, masalah tersebut dapat diselesaikan dengan suatu algoritma yang biasanya sering disebut metode tabel simpleks. Disebut demikian
karena kombinasi variabel keputusan yang optimal dicari dengan menggunakan tabel-tabel.
Tabel 2.1 Bentuk tabel simpleks
j
c
1
c
k
c
n
c
Variabel Basis
Harga Basis
1 B
x
Br
x
n
x
Jawab Basis
1 B
x
1 B
c
11
a
k
a
1
n
a
1 1
b
Br
x
Br
c
1 r
a
rk
a
rn
a
r
b
Bm
x
Bm
c
1 m
a
mk
a
mn
a
m
b
j j
c Z
imbalan
j j
c Z
k k
c Z
n n
c Z
b
c
B
Sebelum menyelesaikan suatu tabel simpleks terlebih dahulu menginisialisasikan dan merumuskan suatu persoalan keputusan kedalam model matematik persamaan
linier, caranya sebagai berikut: 1. Konversikan semua ketidaksamaan menjadi persamaan.
Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan penyelesaian pada daerah kelayakan feasible maka model program linier diubah menjadi suatu model yang
sama dengan menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan artificial
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
variabel pada tiap batasan constraint serta memberi harga nol kepada setiap koefisien C nya. Batasan dapat di modifikasi sebagai berikut:
a. Untuk batasan bernotasi
dapat dimodifikasikan kepada bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack ke dalam nya.
b. Untuk batasan bernotasi
atau
diselesaikan dengan menambahkan variabel surplus dan variabel buatan. Dengan penambahan variabel
buatan ini akan merusak sistem batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan besar M sebagai harga dari variabel buatan
tersebut dalam fungsi tujuan. Jika persoalan maksimal maka dibuat –M
sebagai harga, dan jika persoalan minimal dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara pendekatan ini dikenal dengan metode M besar
Big M method. Penambahan variabel slack dan variabel buatan artificial variabel pada tiap
batasan constrain untuk persoalan maksimal dapat dirumuskan sebagai berikut: Maksimalkan:
m m
i i
j n
j j
B M
x c
Z
1 1
1
2.4
Dengan batasan :
1 1
, ,
2 ,
1 ,
m i
b x
x a
i i
j n
j ij
untuk batasan bernotasi
2.5
2 1
1 1
, ,
1 ,
m m
m i
b B
x a
i i
j n
j ij
untuk batasan bernotasi = 2.6
m m
m i
b B
x x
a
i i
i j
n j
ij
, 1
,
2 1
1
untuk batasan bernotasi
2.7
j
x
,
i
x
,
i
B
,
i
b
untuk semua harga i dan j
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
n j
x
j
, ,
1 ,
;
m i
b x
i i
, ,
1 ,
;
m m
i b
B
i i
, ,
1 ,
1
2. Menyusun persamaan – persamaan di dalam tabel awal simpleks.
Tabel 2.2 Bentuk tabel awal simpleks sebelum pivoting
j
c
1
c
r
c
m
c
j
c
k
c
Variabel Basis
Harga Basis
1 B
x
Br
x
Bm
x
j
x
k
x
Jawab Basis
1 B
x
1 B
c
1
j
a
1
k
a
1 1
b
Br
x
Br
c
1
rj
a
rk
a
r
b
Bm
x
Bm
c
1
mj
a
mk
a
m
b
imbalan c
z
j j
j j
c z
k k
c z
b
c
B
Langkah – langkah yang digunakan untuk menyelesaikan suatu tabel
simpleks adalah sebagai berikut:
Langkah 1 : Mengecek nilai optimal imbalan.
Untuk persoalan maksimal :
k k
c z
= minimal
} :
{ R
j c
z
j j
. Jika
k k
c z
maka selesai, berarti jawab atau solusi sudah optimal. Untuk persoalan minimal :
k k
c z
= maksimal
} :
{ R
j c
z
j j
. Jika
k k
c z
maka selesai, berarti jawab atau solusi sudah optimal. Harga
– harga imbalan
j j
c z
dapat diperoleh dengan rumus :
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
j ij
m j
Bi j
j
c a
c c
z
1
2.8
Untuk :
j
c
Harga dari semua variabel dalam
z
.
ij
a
Koefisien dari semua variabel dalam sistem batasan.
Bi
c
Harga dari variabel.
Langkah 2 : Menentukan variabel yang akan masuk dalam basis.
Untuk persoalan maksimal jika terdapat beberapa
j j
c z
maka kolom yang menjadi kolom pivot adalah kolom dengan
j j
c z
terkecil, dan variabel yang sehubungan dengan kolom pivot adalah variabel yang masuk
kedalam basis. Untuk persoalan minimal jika terdapat beberapa
j j
c z
maka kolom yang menjadi kolom pivot adalah kolom dengan
j j
c z
terbesar, dan variabel yang sehubungan dengan kolom pivot adalah variabel yang masuk ke
dalam basis.
Langkah 3
: Menentukan variabel yang akan keluar dari basis. Menetapkan
variabel yang
keluar dari
basis yaitu
:
imum
m i
rk r
a b
min
1
0 :
ik ik
a a
b
Variabel yang sehubungan dengan baris pivot yang demikian adalah variabel yang keluar dari basis.
Langkah 4 : Menyusun tabel simpleks baru.
Untuk menyusun tabel simpleks yang baru, maka harus mencari koefisien elemen pivot dari tabel simpleks sebelumnya. Koefisien elemen pivot
dapat dicari dengan menghubungkan kolom pivot dengan baris pivot sedemikian rupa sehingga titik potong kedua pivot ini menunjukkan koefisien, yang disebut
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
elemen pivot, Koefisien – koefisien baris pivot baru dapat dicari dengan
menggunakan rumus sebagai berikut :
rk rj
a a
2.9
Untuk menghitung nilai baris baru lainnya dilakukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut :
ik rk
rj ij
a a
a a
2.10
Langkah 5 : Mengecek nilai optimal imbalan dari tabel simpleks yang baru.
Jika imbalan sudah optimal maka tafsirkan hasil penyelesaian, jika belum optimal maka kembali kepada langkah 2.
Tabel 2.3 Bentuk tabel simpleks sesudah pivoting
j
c
1
c
r
c
m
c
j
c
k
c
Variabel Basis
Harga Basis
1 B
x
Br
x
Bm
x
j
x
k
x
Jawab Basis
1 B
x
1 B
c
1
rk rj
a a
k rk
rj j
a a
a a
1 1
r rk
k
b a
a b
1 1
Br
x
Br
c
rk
a 1
rk rj
a a
1
rk r
a b
Bm
x
Bm
c
rk mk
a a
1
mk rk
rj mj
a a
a a
r k
mk m
b a
a b
1
imbalan
c z
j j
rk k
k
a z
c
k k
rk rj
j j
c z
y y
c z
rk r
k k
B
a b
c z
b c
8QLYHUVLWDV6 XPDWHUD8WDUD
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1 Hubungan Program Linier Pecahan dengan Program Linier
Kategori