2-Eksponen 2-Digraph Dengan Loop
2-EKSPONEN DARI 2-DIGRAPH DENGAN LOOP
SKRIPSI
RICHARD ALBERT NASUTION
010803013
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2007
Universitas Sumatera Utara
2-EKSPONEN DARI 2-DIGRAPH DENGAN LOOP
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana
Sains
RICHARD ALBERT NASUTION
010803013
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2007
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
:
:
:
:
:
:
:
2-EKSPONEN 2-DIGRAPH DENGAN LOOP
SKRIPSI
RICHARD ALBERT NASUTION
010803013
SARJANA (S1) MATEMATIKA
MATEMATIKA
MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA
Medan, September 2007
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2
Pembimbing 1
Dra. Mardiningsih, M.Si
NIP.131803344
Dr. Saib Suwilo, MSc.
NIP. 131796149
Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Dr. Saib Suwilo, MSc
NIP. 131796149
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
2-DIGRAPH DENGAN LOOP
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
September 2007
RICHARD ALBERT NASUTION
010803013
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Setinggi puji dan sedalam syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT yang
telah memberikan berkat dan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ” 2-EKSPONEN DARI 2-DIGRAPH DENGAN LOOP ” ini
dengan baik. Skripsi ini sebagai salah satu mata kuliah wajib yang harus diselesaikan
oleh seluruh mahasiswa Fakultas MIPA Departemen Matematika.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Eddy Marlianto, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Sumatera Utara. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, dan Bapak Henry Rani
S, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika di FMIPA USU Medan.
Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku dosen pembimbing I dan Dra. Mardiningsih,
M.Si selaku dosen pembimbing II yang telah memberi dukungan moral, motivasi dan
ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan penelitian ini. Seluruh Staf Pengajar dan Staf Administrasi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. Ibunda Ruminah tercinta yang selalu memberikan dukungan moril dan materiel serta doa yang tiada hentinya kepada
penulis serta kepada Adinda Sudarno Hariadi tercinta yang telah memberikan dorongan semangat kepada penulis.
Tak lupa, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada para teman dan
seniorku di Lab. Ekstension, yaitu b’Toni, b’Indra, Didi, Salman, Santri, Radhi,
Andika yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi ini, dukungan dan motivasi
dalam pengerjaan skripsi ini. Juga buat seniorku di stambuk ’00 serta seluruh rekanrekan ’01. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas jasa-jasa mereka yang telah
diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu
penulis meminta saran dan kritik yang membangun dari pembaca sekalian.
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga tulisan
ini berguna bagi yang membutuhkan.
iii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Pada 2-digraph D, 2-eksponen didefinisikan sebagai bilangan bulat terkecil pada h + k
sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan
panjang h+ k yang terdiri dari h arc merah dan k arc biru. 2-eksponen dari 2-digraph
D dinotasikan oleh exp2 (D). Shader dan Suwilo memperlihatkan 2-eksponen dari 2digraph primitif terletak pada interval ((n3 − 5n2 )/2, (3n3 + 2n2 − 2n)/2). Tulisan
ini akan memberikan bentuk umum dari 2-digraph dengan 2-eksponen tepat 2n, 2n −
1, dan 2n − 2
iv
Universitas Sumatera Utara
2-DIGRAPH WITH LOOPS
ABSTRACT
On 2-digraph D, 2-exponent being defined as smallest integer h +k therefore for every
pairs of vertex u and v in D there is walk from u to v with legth h + k consist of h
red arc and b blue arc. 2-exponent from 2-digraph D denoted by exp2 (D)
Shader and suwilo show that 2-exponent from primitive 2-digraph lying on ((n3 −
5n2 )/2, (3n3 +2n2 −2n)) interval. This paper will give the general form of 2-digraphwith
2-exponent exactly 2n,2n-1,2n-2
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
iv
ABSTRACT
v
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR GAMBAR
viii
BAB
1. PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1
Latar Belakang Penelitian
Perumusan Masalah
Tinjauan pustaka
Tujuan penelitian
Manfaat penelitian
Metode penelitian
1
3
3
4
4
5
2. 2-DIGRAPH PRIMITIF
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
6
Notasi
Matriks Adjacency
Primitifitas Dari 2-Digraph Terhubung Kuat
Matriks tak negatif & Eksponen 2-digraph
Beberapa fakta tentang 2-digraph dengan loop
6
12
14
19
25
3. 2-DIGRAPH DENGAN LOOP
27
4. KESIMPULAN
34
4.1. Kesimpulan
34
vi
Universitas Sumatera Utara
4.2. Saran
35
DAFTAR PUSTAKA
36
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
2.1
Representasi grafis dari Digraph
7
2.2
Digraph dengan path, walk, cycle dan loop
8
2.3
Representasi grafis dari 2-Digraph
10
2.4
2-Digraph dengan path, walk, cycle dan loop
11
2.5
Digraph dengan 4 vertex, 6 arc
12
2.6
2-Digraph dengan 4 vertex, 3 arc merah, dan 4 arc biru
13
2.7
(a) digraph terhubung kuat ;(b) digraph tidak terhubung kuat
15
2.8
digraph terhubung kuat
16
2.9
(a) 2-digraph terhubung kuat ;(b) 2-digraph tidak terhubung kuat
17
2.10 2-digraph primitif
19
2.11 Representasi digraph 3 vertex dan 7 arc
21
2.12 Representasi 2-digraph dengan 3 vertex, 3 arc biru dan 3 arc merah
23
4.1
Representasi 2-digraph dengan 2-eksponen 2n
35
4.2
Representasi 2-digraph dengan 2-eksponen 2n-1
35
viii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Pada 2-digraph D, 2-eksponen didefinisikan sebagai bilangan bulat terkecil pada h + k
sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan
panjang h+ k yang terdiri dari h arc merah dan k arc biru. 2-eksponen dari 2-digraph
D dinotasikan oleh exp2 (D). Shader dan Suwilo memperlihatkan 2-eksponen dari 2digraph primitif terletak pada interval ((n3 − 5n2 )/2, (3n3 + 2n2 − 2n)/2). Tulisan
ini akan memberikan bentuk umum dari 2-digraph dengan 2-eksponen tepat 2n, 2n −
1, dan 2n − 2
iv
Universitas Sumatera Utara
2-DIGRAPH WITH LOOPS
ABSTRACT
On 2-digraph D, 2-exponent being defined as smallest integer h +k therefore for every
pairs of vertex u and v in D there is walk from u to v with legth h + k consist of h
red arc and b blue arc. 2-exponent from 2-digraph D denoted by exp2 (D)
Shader and suwilo show that 2-exponent from primitive 2-digraph lying on ((n3 −
5n2 )/2, (3n3 +2n2 −2n)) interval. This paper will give the general form of 2-digraphwith
2-exponent exactly 2n,2n-1,2n-2
v
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar atau melihat sistem jalan
satu arah, arus listrik, jaringan kerja dll. Biasanya hal-hal tersebut diatas direpresentasikan secara grafik dengan titik dan garis berarah, hubungan garis dan titik yang
demikian diamati oleh suatu objek di matematika yang disebut dengan digraph.
Suatu digraph terdiri dari titik-titik yang dihubungkan oleh garis berarah.
Secara formal, digraph adalah objek yang terdiri dari dua himpunan yaitu :
1. Himpunan hingga yang tak kosong V , dimana unsurnya disebut vertex dari
digraph D
2. Himpunan E yang merupakan himpunan bagian dari pasangan berurut V XV ,
unsurnya disebut arc dari digraph D
vertex dalam digraph direpresentasikan oleh titik atau lingkaran kecil dan arc direpresentasikan oleh garis berarah dari suatu vertex ke vertex lainnya.
Suatu walk dari vertex u ke vertex v yang panjangnya m adalah suatu barisan
arc dalam bentuk
(u = v0, v1), (v1, v2 ), . . . , (vm−1 , vm = v)
Universitas Sumatera Utara
2
walk diatas dapat direpresentasikan sebagai
u = v0 → v1 → v2 → . . . → vm−1 → vm = v
Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat bila untuk setiap pasangan vertex u dan
v di D terdapat walk dari u ke v. Digraph D dikatakan ministrong jika penghilangan
satu arc dari D mengakibatkan D tidak terhubung kuat. Suatu digraph terhubung
kuat D dikatakan primitif bila terdapat bilangan bulat k sehingga untuk setiap
pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang tepat k.
Bilangan bulat k terkecil yang demikian disebut disebut sebagai eksponen dari D
dan dinotasikan oleh exp(D).
Studi tentang eksponen digraph primitif diprakarsai oleh Wielandt[5] yang
2
menyatakan bahwa untuk digraph primitif dengan n vertex, exp(D) ≤ (n − 1) + 1.
Holladay dan varga [4] memperlihatkan bahwa ila D adalah digraph primitif dengan
q loop maka exp(D) ≤ 2n − q − 1. Selanjutnya, Liu dan Shao [1] memberikan syarat
perlu dan bagi digraph terhubung kuat D dengan n vertex dan q loop yang mempunyai
exp(D) = 2n − q − 1, sejalan itu dengan itu Dalimunthe dan Suwilo[10] memberikan
syarat cukup untuk digraph agar mempunyai eksponen tepat exp(D) = 2n − q − 1.
Pada tahun 1997, fornasini dan Valcher[3] memperkenalkan konsep 2-digraph yakni
digraph dimana setiap arcnya diwarnai dengan merah atau biru. Sejalan dengan itu
Shader dan Suwilo[2] memperkenalkan konsep 2-eksponen dari 2-digraph. Shader
dan Suwilo mendefinisikan 2-eksponen dari 2-digraph sebagai bilangan bulat terkecil
h + k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke
v dengan panjang h + k dan terdiri dari h arc merah dan k arc biru. Shader dan
Suwilo memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph D dengan n vertex, maka 2-eksponen
terbesar terletak pada interval [(n3 − 5n2 )/, (3n3 + 2n2 − 2n)/2]. Lebih lanjut Suwilo
Universitas Sumatera Utara
3
secara eksplisit memberikan formula bagi 2-eksponen dari 2-digraph yang terdiri dari
cycle (lihat[8]), dan memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph yang asymetric maka
2 ≤ exp2(D) ≤ 4 (lihat[9]). Sejalan dengan hasil dari Holladay dan Varga[4] perlu
ditentukan 2-eksponen dari 2-digraph dengan loop.
1.2 Perumusan Masalah
Bula D adalah suatu 2-digraph primitif atas n vertex dan m ≥ 2 loop. Dapatkah ditemukan batas atas yang cukup ”baik” bagi 2-digraph dengan m ≥ 2 loop.
1.3 Tinjauan pustaka
Shader dan Suwilo [2] memperlihatkan bahwa 2-eksponen terbesar dari 2digraph primitif terletak di interval [(n3 − 5n2 )/2, (3n3 + 2n2 − 2n)/2]. Batas bawah
pada interval tersebut ditemukan dengan menggunakan 2-digraph yang terdiri dari
dua cycle dan batas atas ditemukan secara teoritis. Sehingga masih terdapat gap antara batas empiris dan batas teoritis. Suwilo[8] memberikan formula bagi 2-eksponen
dari 2-digraph, yang terdiri atas cycle, dan memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph
yang asymetric maka 2 ≤ exp2 (D) ≤ 4.
Andaikan D adalah 2-digraph primitif yang terdiri dari dua cycle γ1 dan γ2
dengan panjang masing-masing ℓ(γ1 ) dan ℓ(γ2 ). Untuk sebarang pasangan vertex u
dan v, misalkan puv adalah sebuah path terpendek dari u ke v dan definisikan
ℓ′r = lim {b(γ2 )r(puv ) − r(γ2 )b(puv )}
u,v∈V
ℓ′b = lim {r(γ1 )b(puv ) − b(γ1 )r(puv )}
u,v∈V
Suwilo[8] menyatakan bila D adalah 2-digraph primitif yang terdiri dari dua cycle
Universitas Sumatera Utara
4
dengan sedikitnya terdapat satu arc untuk setiap warna, maka.
exp2 (D) = ℓ(γ1 )ℓ′r + ℓ(γ2 )ℓ′b
Lee dan yang [7] secara khusus mendiskusikan 2-eksponen dari satu klas 2-digraph
ministrong yang terdiri dari cycle 1 → 2 → · · · → n − 3 → n − 2 → 1 dan path
n − 3 → n − 1 → n → 1 Andaikan D adalah digraph ministrong dengan banyak
vertex n ≥ 5 yang terdiri dari cycle 1 → 2 · · · → n − 3 → n − 2 → 1 dan path
n − 3 → n − 1 → n → 1. Warnai paling sedikit satu arc untuk setiap warna, maka
2-eksponen dari 2-digraph terletak pada interval :
2n2 − 8n + 7 ≤ exp2(D) ≤ 2n2 − 5n + 3
1.4 Tujuan penelitian
Menentukan 2-eksponen bagi 2-digraph yang terdiri dari sebuah cycle dengan
2 loop.
1.5 Manfaat penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur dibidang 2-eksponen
dari 2-digraph
Universitas Sumatera Utara
5
1.6 Metode penelitian
Metodologi penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan dengan langkah
- langkah sebagai berikut :
1. Menggunakan Software sederhana untuk mendukung pengerjaan pengamatan.
2. Mencari kelas-kelas dari 2-digraph kemudian membandingkannya
3. Mencari bentuk umum dari masing-masing 2-eksponen dari 2-digraph
4. Menentukan batas atas dan batas bawah dari 2-digraph
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
iv
ABSTRACT
v
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR GAMBAR
viii
BAB
1. PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1
Latar Belakang Penelitian
Perumusan Masalah
Tinjauan pustaka
Tujuan penelitian
Manfaat penelitian
Metode penelitian
1
3
3
4
4
5
2. 2-DIGRAPH PRIMITIF
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
6
Notasi
Matriks Adjacency
Primitifitas Dari 2-Digraph Terhubung Kuat
Matriks tak negatif & Eksponen 2-digraph
Beberapa fakta tentang 2-digraph dengan loop
6
12
14
19
25
3. 2-DIGRAPH DENGAN LOOP
27
4. KESIMPULAN
34
4.1. Kesimpulan
34
vi
Universitas Sumatera Utara
4.2. Saran
35
DAFTAR PUSTAKA
36
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
2.1
Representasi grafis dari Digraph
7
2.2
Digraph dengan path, walk, cycle dan loop
8
2.3
Representasi grafis dari 2-Digraph
10
2.4
2-Digraph dengan path, walk, cycle dan loop
11
2.5
Digraph dengan 4 vertex, 6 arc
12
2.6
2-Digraph dengan 4 vertex, 3 arc merah, dan 4 arc biru
13
2.7
(a) digraph terhubung kuat ;(b) digraph tidak terhubung kuat
15
2.8
digraph terhubung kuat
16
2.9
(a) 2-digraph terhubung kuat ;(b) 2-digraph tidak terhubung kuat
17
2.10 2-digraph primitif
19
2.11 Representasi digraph 3 vertex dan 7 arc
21
2.12 Representasi 2-digraph dengan 3 vertex, 3 arc biru dan 3 arc merah
23
4.1
Representasi 2-digraph dengan 2-eksponen 2n
35
4.2
Representasi 2-digraph dengan 2-eksponen 2n-1
35
viii
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar atau melihat sistem jalan
satu arah, arus listrik, jaringan kerja dll. Biasanya hal-hal tersebut diatas direpresentasikan secara grafik dengan titik dan garis berarah, hubungan garis dan titik yang
demikian diamati oleh suatu objek di matematika yang disebut dengan digraph.
Suatu digraph terdiri dari titik-titik yang dihubungkan oleh garis berarah.
Secara formal, digraph adalah objek yang terdiri dari dua himpunan yaitu :
1. Himpunan hingga yang tak kosong V , dimana unsurnya disebut vertex dari
digraph D
2. Himpunan E yang merupakan himpunan bagian dari pasangan berurut V XV ,
unsurnya disebut arc dari digraph D
vertex dalam digraph direpresentasikan oleh titik atau lingkaran kecil dan arc direpresentasikan oleh garis berarah dari suatu vertex ke vertex lainnya.
Suatu walk dari vertex u ke vertex v yang panjangnya m adalah suatu barisan
arc dalam bentuk
(u = v0, v1), (v1, v2 ), . . . , (vm−1 , vm = v)
Universitas Sumatera Utara
2
walk diatas dapat direpresentasikan sebagai
u = v0 → v1 → v2 → . . . → vm−1 → vm = v
Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat bila untuk setiap pasangan vertex u dan
v di D terdapat walk dari u ke v. Digraph D dikatakan ministrong jika penghilangan
satu arc dari D mengakibatkan D tidak terhubung kuat. Suatu digraph terhubung
kuat D dikatakan primitif bila terdapat bilangan bulat k sehingga untuk setiap
pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang tepat k.
Bilangan bulat k terkecil yang demikian disebut disebut sebagai eksponen dari D
dan dinotasikan oleh exp(D).
Studi tentang eksponen digraph primitif diprakarsai oleh Wielandt[5] yang
2
menyatakan bahwa untuk digraph primitif dengan n vertex, exp(D) ≤ (n − 1) + 1.
Holladay dan varga [4] memperlihatkan bahwa ila D adalah digraph primitif dengan
q loop maka exp(D) ≤ 2n − q − 1. Selanjutnya, Liu dan Shao [1] memberikan syarat
perlu dan bagi digraph terhubung kuat D dengan n vertex dan q loop yang mempunyai
exp(D) = 2n − q − 1, sejalan itu dengan itu Dalimunthe dan Suwilo[10] memberikan
syarat cukup untuk digraph agar mempunyai eksponen tepat exp(D) = 2n − q − 1.
Pada tahun 1997, fornasini dan Valcher[3] memperkenalkan konsep 2-digraph yakni
digraph dimana setiap arcnya diwarnai dengan merah atau biru. Sejalan dengan itu
Shader dan Suwilo[2] memperkenalkan konsep 2-eksponen dari 2-digraph. Shader
dan Suwilo mendefinisikan 2-eksponen dari 2-digraph sebagai bilangan bulat terkecil
h + k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke
v dengan panjang h + k dan terdiri dari h arc merah dan k arc biru. Shader dan
Suwilo memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph D dengan n vertex, maka 2-eksponen
terbesar terletak pada interval [(n3 − 5n2 )/, (3n3 + 2n2 − 2n)/2]. Lebih lanjut Suwilo
Universitas Sumatera Utara
3
secara eksplisit memberikan formula bagi 2-eksponen dari 2-digraph yang terdiri dari
cycle (lihat[8]), dan memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph yang asymetric maka
2 ≤ exp2(D) ≤ 4 (lihat[9]). Sejalan dengan hasil dari Holladay dan Varga[4] perlu
ditentukan 2-eksponen dari 2-digraph dengan loop.
1.2 Perumusan Masalah
Bula D adalah suatu 2-digraph primitif atas n vertex dan m ≥ 2 loop. Dapatkah ditemukan batas atas yang cukup ”baik” bagi 2-digraph dengan m ≥ 2 loop.
1.3 Tinjauan pustaka
Shader dan Suwilo [2] memperlihatkan bahwa 2-eksponen terbesar dari 2digraph primitif terletak di interval [(n3 − 5n2 )/2, (3n3 + 2n2 − 2n)/2]. Batas bawah
pada interval tersebut ditemukan dengan menggunakan 2-digraph yang terdiri dari
dua cycle dan batas atas ditemukan secara teoritis. Sehingga masih terdapat gap antara batas empiris dan batas teoritis. Suwilo[8] memberikan formula bagi 2-eksponen
dari 2-digraph, yang terdiri atas cycle, dan memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph
yang asymetric maka 2 ≤ exp2 (D) ≤ 4.
Andaikan D adalah 2-digraph primitif yang terdiri dari dua cycle γ1 dan γ2
dengan panjang masing-masing ℓ(γ1 ) dan ℓ(γ2 ). Untuk sebarang pasangan vertex u
dan v, misalkan puv adalah sebuah path terpendek dari u ke v dan definisikan
ℓ′r = lim {b(γ2 )r(puv ) − r(γ2 )b(puv )}
u,v∈V
ℓ′b = lim {r(γ1 )b(puv ) − b(γ1 )r(puv )}
u,v∈V
Suwilo[8] menyatakan bila D adalah 2-digraph primitif yang terdiri dari dua cycle
Universitas Sumatera Utara
4
dengan sedikitnya terdapat satu arc untuk setiap warna, maka.
exp2 (D) = ℓ(γ1 )ℓ′r + ℓ(γ2 )ℓ′b
Lee dan yang [7] secara khusus mendiskusikan 2-eksponen dari satu klas 2-digraph
ministrong yang terdiri dari cycle 1 → 2 → · · · → n − 3 → n − 2 → 1 dan path
n − 3 → n − 1 → n → 1 Andaikan D adalah digraph ministrong dengan banyak
vertex n ≥ 5 yang terdiri dari cycle 1 → 2 · · · → n − 3 → n − 2 → 1 dan path
n − 3 → n − 1 → n → 1. Warnai paling sedikit satu arc untuk setiap warna, maka
2-eksponen dari 2-digraph terletak pada interval :
2n2 − 8n + 7 ≤ exp2(D) ≤ 2n2 − 5n + 3
1.4 Tujuan penelitian
Menentukan 2-eksponen bagi 2-digraph yang terdiri dari sebuah cycle dengan
2 loop.
1.5 Manfaat penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur dibidang 2-eksponen
dari 2-digraph
Universitas Sumatera Utara
5
1.6 Metode penelitian
Metodologi penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan dengan langkah
- langkah sebagai berikut :
1. Menggunakan Software sederhana untuk mendukung pengerjaan pengamatan.
2. Mencari kelas-kelas dari 2-digraph kemudian membandingkannya
3. Mencari bentuk umum dari masing-masing 2-eksponen dari 2-digraph
4. Menentukan batas atas dan batas bawah dari 2-digraph
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
2-DIGRAPH PRIMITIF
Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan beberapa definisi
sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar ini berkaitan dengan masalah
yang dibahas dalam tulisan ini seperti digraph, 2-digraph, terhubung kuat, 2-digraph
primitif, dan 2-eksponen dari 2-digraph.
2.1 Notasi
Pada bagian ini akan dibahas beberapa notasi digraph yang akan dipergunakan
dalam pembahasan 2-digraph.
2.1.1 Digraph.
Secara sederhana graph adalah kumpulan titik atau lingkaran kecil yang dihubungkan oleh garis tak berarah, jika garis penghubung diberi arah, maka graph
yang demikian disebut dengan digraph (directed graph).
Andaikan V adalah suatu himpunan objek berhingga yang tak kosong, sebuah
digraph adalah suatu objek yang dibentuk oleh himpunan V yang unsurnya disebut
vertex dari digraph D, dan himpunan A ⊆ V × V yang unsurnya disebut dengan arc
dari D. Jika diberikan a, b ∈ V dengan (a, b) ∈ A, maka terdapat arc dari vertex a
ke vertex b di digraph D. Vertex a disebut sebagai vertex awal dan vertex b disebut
sebagai vertex akhir.
Universitas Sumatera Utara
7
Contoh 2.1.1 Himpunan vertex V = {1, 2, 3, 4, 5} bersama dengan himpunan arc
merah A = {(1, 2), (1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3)} adalah suatu digraph dengan 5 vertex dan 7 arc.
Suatu digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara setiap vertex
direpresentasikan sebagai sebuah titik dan setiap arc (u, v) direpresentasikan sebagai
garis berarah dari titik u ke v.
Representasi dari digraph yang diberikan pada contoh 2.1.1 diatas diberikan
pada gambar berikut.
Contoh 2.1.2 Representasi Grafis dari digraph
Gambar 2.1 : Representasi grafis dari Digraph
Diberikan D adalah digraph, u dan v adalah vertex di digraph D. Sebuah
walk dengan panjang m dari u ke v didefinisikan sebagai barisan arc dan dituliskan
sebagai berikut.
(v0, v1), (v1, v2), . . . , (vm−1,m)
w
→ v dan
untuk m > 0, v0 = u dan vm = v. Sebuah walk juga biasa dinotasikan u −
panjangnya dinotasikan dengan ℓ(w). Sebuah path didefinisikan sebagai sebuah walk
yang vertexnya tidak boleh berulang kecuali mungkin vertex awal dan akhir. Sebuah
Universitas Sumatera Utara
8
cycle didefinisikan sebagai sebuah path tertutup, dan sebuah loop didefinisikan sebagai sebuah cycle dengan panjang satu. Berikut ini akan diberikan representasi dari
digraph untuk menjelaskan beberapa definisi diatas.
Contoh 2.1.3 Diberikan digraph di bawah ini
Gambar 2.2 : Digraph dengan path, walk, cycle dan loop
Digraph pada gambar 2.2 diatas memiliki walk, path, cycle dan loop sebagai
berikut :
• 1 → 3 → 2 adalah sebuah path terbuka.
• 1 → 3 → 4 → 1 adalah sebuah path tertutup atau disebut cycle
• 1 → 3 → 2 → 5 → 3 → 4 adalah sebuah walk tetapi bukan path karena ada
perulangan vertex.
• 3 → 4 → 1 → 3 → 2 → 5 → 3 adalah sebuah walk tertutup dari 3 ke 3 tetapi
bukan cycle.
• 2 → 2 adalah sebuah loop
2.1.2 2-digraph.
Sekarang akan dibahas notasi - notasi digraph yang dijelaskan diatas dan dituliskan kedalam notasi 2-digraph. Andaikan V adalah suatu himpunan objek berhingga
Universitas Sumatera Utara
9
tak kosong, sebuah 2 − digraph D adalah suatu objek yang dibentuk oleh himpunan
V yang unsurnya disebut vertex dari D, bersama dengan himpunan A ⊆ V × V yang
disebut arc merah dan himpunan B ⊆ V × V yang disebut arc biru dari D. Jika
diberikan a, b, c, d ∈ V dengan a, b ∈ A dan c, d ∈ B maka terdapat arc merah dari
vertex a ke vertex b dan terdapat arc biru dari vertex c ke vertex d. Vertex a dan
c disebut vertex awal dan vertex b dan d disebut vertex akhir. Berikut ini diberikan
sebuah contoh 2-digraph
Contoh 2.1.4 Himpunan vertex V = {1, 2, 3, 4, 5} bersama dengan himpunan arc
merah A = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 1)} dan arc biru B = {(5, 2), (5, 3), (4, 5)} adalah
suatu 2-digraph dengan 5 vertex, 4 arc merah dan 3 arc biru.
Suatu 2-digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara sebagai
berikut:
• Setiap vertex direpresentasikan sebagai suatu titik.
• Setiap arc merah (a, b) direpresentasikan sebagai garis berarah tak putus dari
titik a ke b.
• Setiap arc biru (c, d) direpresentasikan sebagai garis berarah putus-putus dari
titik c ke d
Berikut ini akan diberikan contoh representasi 2-digraph pada Contoh 2.1.3
diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
Universitas Sumatera Utara
10
Contoh 2.1.5 Representasi Grafis dari 2-digraph
Gambar 2.3 : Representasi grafis dari 2-Digraph
Suatu (h, k) − walk dalam 2 − digraph adalah sebuah walk yang memuat
sebanyak h arc merah dan k arc biru.
Dari definisi yang diberikan diatas, suatu (h, k) − walk dari u ke v disebut
sebagai uv − walk, untuk sebuah walk w, r(w) dan b(w) adalah notasi jumlah dari
r(w)
arc merah dan arc biru. Vektor
disebut komposisi dari w
b(w)
Suatu path adalah suatu walk dengan semua vertex berbeda kecuali mungkin
vertex awal dan vertex akhir. Suatu cycle adalah suatu path tertutup dan loop adalah
0
1
suatu cycle dengan komposisi 1 atau 0 . Berikut ini akan diberikan representasi
grafis dari sebuah 2-digraph seperti yang diperlihatkan pada contoh 2.1.6 berikut ini.
Universitas Sumatera Utara
11
Contoh 2.1.6 Diberikan 2-digraph di bawah ini
Gambar 2.4 : 2-Digraph dengan path, walk, cycle dan loop
2-Digraph pada gambar 4 di atas memiliki path, walk, cycle dan loop sebagai
berikut :
1
→3−
→ 2 adalah sebuah path terbuka dari 1 ke 2 dengan komposisi 1 .
• 1−
b
r
b
b
r
• 1 −
→ 3 −
→ 4 −
→ 1 adalah sebuah path tertutup atau cycle dari 1 ke 1 dengan
1
komposisi 2 .
b
r
r
b
b
2
→3−
→2−
→5−
→3−
→ 4 adalah walk dari 1 ke 4 dengan komposisi 3 , tetapi
• 1−
bukan suatu path karena path adalah walk tanpa melalui lebih dari satu vertex
kecuali mungkin vertex awal dan akhir.
b
r
b
r
r
b
→4−
→1−
→3−
→2−
→5−
→ 3 adalah sebuah walk tertutup dari 3 ke 3 dengan
• 3−
3
komposisi 3 , tetapi bukan cycle.
r
1
→ 2 adalah sebuah loop dari 4 ke 4 dengan komposisi 0 .
• 2−
0
• 1−
→ 1 adalah sebuah loop dari 4 ke 4 dengan komposisi 1 .
b
Universitas Sumatera Utara
12
Sebuah digraph atau 2-digraph dapat direpresentasikan kedalam sebuah matriks, berikut ini diberikan hubungan antara digraph dan 2-digraph dengan matriks.
2.2 Matriks Adjacency
Pada subbab ini akan dibahas hubungan antara digraph, 2-digraph dengan
matriks. Sebuah digraph D dan 2-digraph D dengan n vertex dapat dinyatakan oleh
matriks, yang entri dari matriks tersebut adalah bilangan 1 atau 0, matriks yang
demikian disebut sebagai matriks adjacency.
2.2.1 Matriks Adjacency dari digraph.
Sebuah representasi grafis dari digraph D dapat dituliskan adjacency sebagai
berikut.
aij =
1, jika terdapat arc dari i ke j
0, jika sebaliknya
Berikut ini diberikan contoh matriks adjacency dari sebuah representasi digraph.
Contoh 2.2.1 Representasi dari sebuah digraph
Gambar 2.5 : Digraph dengan 4 vertex, 6 arc
Universitas Sumatera Utara
13
Dari representasi digraph diatas didapat matriks adjacency sebagai berikut.
1 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1
1 0 0 0
Berikut ini akan diberikan sebuah matriks adjacency dari 2-digraph.
2.2.2 Matriks Adjacency 2-digraph.
Pada 2-digraph matriks adjacency dari sebuah representasi grafis dapat dinyatakan sebagai berikut. Matriks adjacency merah, R = [rij ] pada D adalah matriks
n × n dengan
1, jika terdapat arc merah
rij =
0, jika sebaliknya
matriks adjacency biru B = [bij ] pada D adalah matriks n × n, dengan
1, jika terdapat arc biru
bij =
0, jika sebaliknya
Berikut ini akan diberikan sebuah 2-digraph dan direpresentasikan kedalam
matriks adjacency nya
Contoh 2.2.2 Representasi dari sebuah 2-digraph
Gambar 2.6 : 2-Digraph dengan 4 vertex, 3 arc merah, dan 4 arc biru
Universitas Sumatera Utara
14
Dari representasi 2-digraph diatas, dapat dibuat sebuah matriks adjacency
sebagai berikut.
1 0
0 0
R = 0 0
1 0
0 1
0 1
B = 0 0
0 0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0. Adalah matriks adjacency merah
0
0
1
1. Adalah matriks adjacency biru
0
Berikut ini akan dibahas mengenai digraph dan 2-digraph terhubung kuat dan
keterhubungan dengan digraph dan 2-digraph primitif.
2.3 Primitifitas Dari 2-Digraph Terhubung Kuat
Pada bagian ini akan dibahas tentang digraph dan 2-digraph terhubung kuat
dan keterhubungan dengan primitifitas.
2.3.1 Digraph primitif.
Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat strongly connected jika untuk setiap
walk berarah dari vertex u dan v dan walk berarah dari vertex v ke u. Berikut ini
diberikan contoh digraph terhubung kuat dan digraph yang tidak terhubung kuat.
Universitas Sumatera Utara
15
Contoh 2.3.1 Representasi dari 2 buah digraph.
Gambar 2.7 : (a) digraph terhubung kuat ;(b) digraph tidak terhubung kuat
Pada gambar2.7 diatas menunjukkan bahwa (a) adalah terhubung kuat karena
terdapat walk dari satu vertex ke vertex lainnya, sedangkan (b) tidak terhubung kuat
karena tidak terdapat walk dari 1 ke 2.
Suatu digraph terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat
positif k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat uv-walk yang
panjangnya k.
Lemma 2.3.1 Andaikan D adalah digraph terhubung kuat maka setiap vertex v di
D terletak pada cycle.
bukti : Ambil sebarang vertex v di D dan sebarang arc dari vertex u ke v di D.
karena D terhubung kuat, maka terdapat path dari v ke n, akibatnya diperoleh suatu
path tertutup di D yang dibentuk oleh arc dari vertex v ke u di D. Oleh definisi,
path tertutup adalah suatu cycledari sebarang vertex di D, maka setiap vertex v di
D terletak pada suatu cycle.
Andaikan himpunan C = {c1, c2 , . . . , ct } adalah himpunan semua cycle di D.
Misalkan M adalah suatu matriks baris dengan kolom ke-i untuk i = 1, 2, . . . , t dari
Universitas Sumatera Utara
16
M adalah panjang cycle ci (ℓ(ci )) misalkan < M > sebagai subgrup dari grup bilangan
bulat Z yang dibangun oleh kolom-kolom dari M yakni
< M > = {z1ℓ(c1 ) + z2ℓ(c2 ) + . . . + ztℓ(ct ) : zi ∈ Z, i = 1, 2, 3, . . . , t}
Andaikan D adalah digraph imprimitif dengan indeks imprimitifitas k, dan k =
gcd(ℓ(c1 ), ℓ(c2 ), · · · , ℓ(ct ). Kemudian suatu digraph dikatakan primitif jika k = 1
dan imprimitf jika k 6= 1
Berikut ini diberikan representasi grafis digaph yang terhubung kuat dan primitif.
Contoh 2.3.2 Representasi dari digraph tehubung kuat
Gambar 2.8 : digraph terhubung kuat
Pada gambar 2.8 diatas, D adalah digraph terhubung kuat dengan dua cycle
yaitu 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 1 dengan panjang 5 dan cycle 1 → 3 → 4 → 5 → 1
dengan panjang 4. Oleh definisi diatas, maka pembagi persekutuan terbesar dari
cycle dengan panjang 5 dan 4 adalah 1 sehingga D adalah primitif.
Universitas Sumatera Utara
17
2.3.2 2-digraph primitif.
Suatu 2-digraph D dikatakan terhubung kuat strongly connected jika untuk
setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk berarah dari vertex u ke v dan walk
berarah dari vertex v ke u, dengan mengabaikan komposisi arc yang ada. Berikut ini
diberikan contoh 2-digraph yang terhubung kuat dan 2-digraph yang tidak terhubung
kuat.
Contoh 2.3.3 Representasi dari 2 buah 2-digraph.
Gambar 2.9 : (a) 2-digraph terhubung kuat ;(b) 2-digraph tidak terhubung kuat
Pada gambar di atas menunjukkan bahwa (a) adalah 2-digraph terhubung kuat
karena terdapat walk dari satu vertex ke vertex lainnya. Sedangkan (b) adalah 2digraph tidak terhubung kuat, karena tidak terdapat walk dari 1 ke 2.
Lemma 2.3.2 Andaikan D adalah suatu 2-digraph terhubung kuat maka setiap vertex
terletak pada cycle.
Bukti. Ambil sebarang vertex v di D dan sebarang arc dari vertex u ke vertex v di
D Karena terhubung kuat, maka terdapat path dari vertex v ke u dan dari vertex
u ke v, akibatnya diperoleh suatu path tertutup di D, yang dibentuk oleh arc dari
Universitas Sumatera Utara
18
vertex u ke v dan path dari vertex v ke u di D. Oleh definisi vertex v terletak pada
suatu cycle.
Suatu 2-digraph terhubung kuat D dikatakan primitif jika terdapat bilangan
bulat tak negatif h dan k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat
(h, k) − walk dari u ke v.
Andaikan komponen C = {γ1 , γ2 , · · · , γc } adalah himpunan semua cycle di D
r(γ1 ) r(γ2 ) · · · r(γc )
untuk kolom j pada
adalah matrik dengan c kolom. M =
b(γ1) b(γ2) · · · b(γc )
M adalah komposisi dari cycle γj kita definisikan sebagai < M > subgroup dari grup
bilangan bulat Z2 dibangun oleh kolom dari M.
Proposisi 2.3.1 Andaikan D adalah 2-digraph terhubung kuat, dan misalkan u dan
v adalah vertex di D dan misalkan w1 dan w2 adalah walk dari u ke v di D. maka
r(w1 )
r(w2)
−
∈< M >
b(w1)
b(w2)
Bukti: Karena D adalah 2-digraph terhubung kuat, maka terdapat walk wvu dari
w
wvu
1
v −−→ u dan
v ke u. Misalkan w1′ adalah walk tertutup yang dibentuk oleh u −→
w
wvu
2
v −−→ u. Karena untuk
misalkan w2′ adalah walk tertutup yang dibentuk oleh u −→
r(w2′ )
r(w1′ )
setiap walk tertutup dapat dikomposisi menjadi cycle, b(w′ ) , b(w′ ) ∈< M >
1
2
′
′
r(w1 )
r(w2 )
r(w1 )
r(w2 )
sehingga
−
=
−
∈< M >.
b(w1)
b(w2)
b(w1′ )
b(w2′ )
Diberikan D adalah sebuah 2-digraph dan z adalah vertex di D. Dua vertex
u dan v di D dikatakan equivalent, di u ∼2 v, bila terdapat sebuah walk wzu dari
z ke u dan sebuah walk wzv dari z ke v dengan komposisi yang sama. Dalam kasus
vertex equivalent, definisi dari equivalent vertex adalah vertex di D yang dipilih
secara bebas. Lebih lanjut, hal itu ditunjukkan oleh hubungan ∼2 adalah hubungan
equivalent dengan himpunan dari vertex di D dan partisi dari himpunan vertex di D
Universitas Sumatera Utara
19
kedalam kelas equivalent. Bilangan dari kelas equivalent k2 dari D disebut dengan
index imprimitivity dari D. Sebuah 2-digraph terhubung kuat dikatakan primitif
bila k2 = 1 dan imprimitif bila sebaliknya. Berikut ini kita berikan sebuah contoh
2-digraph primitif.
Contoh 2.3.2 Representasi 2-digraph primitif
Gambar 2.10 : 2-digraph primitif
b
Perhatikan gambar diatas, kita mulai dengan arc nomor 2. Walk 2 −
→ 3 dan
b
→ 1, adalah walk dari 2 ke 3 dan dari 2 ke 1 dengan komposisi yang sama. Sehingga
2−
b
r
b
b
b
r
→1 −
→2 →
− 3 dan 2 −
→3 −
→1 −
→ 2 adalah walk dari 2 ke 3 dan
3 ∼2 1. Walk 2 −
dari 2 ke 2. Sehingga 3 ∼2 2. Dengan sifat transitif kita peroleh 1 ∼2 2 akibatnya, D
adalah primitif. Berikut ini akan diperlihatkan hubungan antara entri matriks hasil
representasi dengan eksponen dari 2-digraph.
2.4 Matriks tak negatif & Eksponen 2-digraph
Pada subbab ini akan dibahas pengertian matriks tak negatif dan keterhubungannya dengan 2-digraph.
2.4.1 Matriks tak negatif.
Sebuah matriks dikatakan sebagai matriks tak negatif bila untuk setiap entri
matriksnya aij adalah bilangan tak negatif, sebuah matriks dikatakan sebagai matriks
positif bila untuk setiap entri matriksnya aij adalah bilangan positif. Berikut ini
Universitas Sumatera Utara
20
diberikan
"
0
0
1
contoh dari matriks tak negatif
#
"
1 0
1
0 1 , matriks tak negatif; 2
0 0
1
dan matriks positif.
#
2 1
1 1 , matriks positif
1 2
Selanjutnya akan dilihat pengertian dari eksponen dari 2-digraph dan hubungannya
dengan matriks tak negatif.
2.4.2 Eksponen digraph.
Pada digraph, eksponen dari digraph D didefinisikan sebagai bilangan bulat
terkecil k, sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v terdapat walk berarah dari
u ke v yang panjangnya k. Eksponen dari digraph D dinotasikan dengan exp(D).
Proposisi 2.4.1 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D. Entri
Akij dari Ak menyatakan banyaknya walk dari vertex vi ke vj yang panjangnya k di
digraph D
Bukti: Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D, maka setiap
entri (i, j) dari A menyatakan arc dari vertex vi ke vj di digraph D. Hal ini berakibat
untuk k = 1, maka setiap entri a1ij dari A1 menyatakan banyaknya walk dari vertex
vi ke vj yang panjangnya satu
(k)
Asumsikan setiap entri ai,j dari Ak menyatakan banyaknya walk dari vertex vi
(k+1)
ke vj yang panjangnya k di D, untuk k ≥ 1. Berikut ini diperlihatkan aij
adalah
banyaknya walk dari vertex vi ke vj yang panjangnya k + 1 di D, untuk k ≥ 1.
Perhatikan setiap walk dari vertex vi ke vj di D dengan panjang k + 1 yang
terdiri dari walk dari vi ke vl dengan panjang k untuk l = 1, 2, . . . , n. dan dilanjutkan
(k)
dengan arc dari vertex vi ke vj . Sehingga ail alj adalah menyatakan walk yang panjangnya k + 1 dari vertex vi ke vj di D untuk k = 1, 2, . . . , n. Jika tidak terdapat
Universitas Sumatera Utara
21
(k)
(k)
walk yang panjangnya k dari vertex vi ke vj di D, maka ail = 0 sehingga ail alj = 0.
Hal ini berarti tidak terdapat walk yang panjangnya k + 1 dari vertex vi ke vj yang
melalui vertex vl di D. Sehingga diperoleh banyaknya walk yang panjangnya k + 1
dari vertex vi ke vj di D adalah.
(k)
ai1 a1j
+
(k)
ai2 a2j
+ ··· +
(k)
ain anj
=
n
X
(k)
ail alj
l=1
Karena
Ak+1 = Ak A
maka
(k)
aij =
n
X
(k)
ail alj
l=1
hal ini berakibat
(k+1)
aij
adalah benar menyatakan banyaknya walk dari vertex vi ke
vj yang panjangnya k + 1 di D.
Berikut ini diberikan contoh representasi grafis digraph yang akan dicari eksponennya dengan menggunakan proposisi 2.4.1 diatas.
Contoh 2.4.1 representasi digraph dengan 3 vertex dan 5 arc.
Gambar 2.11 : Representasi digraph 3 vertex dan 7 arc
Dari representasi
"
# grafis digraph diatas didapat matriks adjacency A sebagai
0 1 0
berikut. A = 0 1 1 , dari teorema diatas untuk mencari banyak walk dari vertex
1 0 1
Universitas Sumatera Utara
22
(k)
vi ke vj dengan panjang k adalah entri dari matriks Aij dari Ak . Dengan demikian
nilai k adalah eksponen dari digraph, bila matriks Ak adalah matriks positif. Perhatikan matriks Ak untuk k :
#
0 1 0
a. k = 1; A = 0 1 1
1 0 1
bukan eksponen dari digraph pada contoh 2.4.1 diatas, karena tidak terdapat
"
walk dengan panjang satu, dari 1 ke 1, dari 1 ke 3, dari 2 ke 1 dan dari 3 ke 2
"
#
0 1 1
b. k = 2 ; A2 = 1 1 2
1 1 1
bukan eksponen dari digraph contoh 2.4.1 diatas, karena tidak terdapat walk
dengan panjang dua, dari 1 ke 1.
#
"
1 1 2
c. k = 3; A3 = 2 2 3
1 2 2
Eksponen dari digraph pada contoh 2.4.1 diatas adalah 3, karena terdapat walk
dengan panjang tiga dari tiap pasangan vertex pada digraph D.
2.4.3 2-eksponen dari 2-digraph.
Pada 2-digraph D, eksponen didefisikan sebagai bilangan bulat terkecil h + k
sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan
panjang h + k yang terdiri dari h arc merah dan k arc biru. Eksponen dari 2-digraph
D dinotasikan oleh exp2 (D).
Lemma 2.4.1 Jika (R, B) adalah matriks adjacency dari 2-digraph D. Maka entri
(i, j) dari (R, B)(h,k) adalah jumlah (h, k)-walk dari 2-digraph D
Bukti . Akan dibuktikan dengan induksi pada (h+k) dan (h+k+1), jika h = 0 maka
k = 1 atau jika h = 1 maka k = 0. Jika h = 0 maka entri (i, j) dari (R, B)(0,1) = B
Universitas Sumatera Utara
23
0
adalah walk dengan komposisi 1 di 2-digraph D. Dengan cara yang sama, jika
k = 0 maka (R, B)(1,0) = A adalah walk dengan entri (i, j) menyatakan walk dengan
1
komposisi 0 di 2-digraph D.
Andaikan lemma 2.4.1 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif h′ dan
k ′ dengan h′ + k ′ ≤ h + k akan diperlihatkan untuk h + k + 1 adalah benar, dengan
catatan sebagai berikut.
(R, B)(h+1,k) = R(R, B)(h,k) + B(R, B)(h+1,k−1)
dengan induksi entri (i, j) pada R(R, B)(h,k) adalah walk dari i ke j diikuti dengan sebuah arc merah dan diikuti oleh sebuah (h, k)-walk dari entri (i, j) pada
B(R, B)(h+1,k−1) adalah jumlah walk dari i ke j yang dimulai dengan sebuah arc
biru dan dikuti oleh sebuah (h + 1, k − 1)-walk sedemikian hingga entri (i, j) dari
(R, B)(h+1,k) adalah jumlah (h + 1, k)-walk dari i ke j
Berikut ini diberikan representasi grafis 2-digraph yang akan dicari eksponennya.
Contoh 2.4.2 Representasi 2-digraph dengan 3 vertex, 3 arc biru dan 3 arc merah
Gambar 2.12 : Representasi 2-digraph dengan 3 vertex, 3 arc biru dan 3 arc merah
Universitas Sumatera Utara
24
Dari representasi 2-digraph diatas didapat matriks adjacency sebagai berikut.
#
"
0 1 0
Matriks adjacency merah R = 0 0 0
1 1 0
dan
#
"
0 0 1
Matriks adjacency biru B = 1 0 1
0 0 0
Dari contoh 2.4.2 kita cari eksponennya, yaitu dengan melihat penjumlahan h arc
biru dan k arc merahnya, dengan cara sebagai berikut:
a. untuk h + k = 1
1. (R, B)(1,0)
2. (R, B)(0,1)
0
=R= 0
1
"
0
=B = 1
0
"
1 0
0 0
1 0
#
0 1
0 1
0 0
#
b. untuk h + k = 2
1. (R, B)(2,0)
2. (R, B)(1,1)
3. (R, B)(0,2)
"
#
0 0 0
= RR = 0 0 0
0 1 0
#
"
2 1 1
= RB + BR = 1 2 0
1 0 2
#
"
0 0 0
= BB = 0 0 1
0 0 0
c. untuk h + k = 3
1. (R, B)(3,0)
2. (R, B)(2,1)
3. (R, B)(1,2)
"
#
0 0 0
= RR2 = 0 0 0
0 0 0
1
(1,1)
2
= R(R, B)
+ BR = 0
3
"
2
= RB 2 + B(R, B)(1,1) = 3
0
"
#
3 0
1 0
3 1
#
0 3
1 3
0 1
Universitas Sumatera Utara
25
4. (R, B)(0,3)
"
#
0 0 0
= BB 2 = 0 0 0
0 0 0
d. untuk h + k = 4
1. (R, B)(4,0)
2. (R, B)(3,1)
3. (R, B)(2,2)
"
#
0 0 0
= RR3 = 0 0 0
0 0 0
#
0 1 0
= R(R, B)(2,1) + BR3 = 0 0 0
1 4 0
#
"
6 4 4
= R(R, B)(1,2) + B(R, B)(2,1) = 4 6 1
5 1 4
"
2
Untuk h + k = 4 dengan komposisi arc 2 , 2 arc merah dan 2 arc biru, terdapat walk
dari tiap pasangan vertex u dan v di 2-digraph D sehingga 2-digraph pada contoh
2
2.4.2 diatas memiliki eksponen 4 dengan komposisi arc 2 , 2 arc merah dan 2 arc
biru.
2.5 Beberapa fakta tentang 2-digraph dengan loop
Dalam subbab ini akan diperlihatkan batas atas dan batas bawah dari eksponen
2-digraph exp2 (D) dengan dua buah loop, satu dari masing-masing warna.
Teorema 2.5.1 Jika D adalah 2-digraph dengan n ≥ 2 vertex yang memuat sebuah
loop merah dan sebuah loop biru, maka exp2(D) ≤ 3n − 3
Bukti. Diberikan i dan j vertex di 2-digraph D yang saling berhubungan di D,
terdapat loop merah dan loop biru di 2-digraph D. Untuk setiap pasangan vertex
pui
pij
pjv
−
→ v, adalah walk dari u ke v.
u dan v di D, selanjutnya walk wuv , u −→ i −→ j −
Untuk pui adalah path dari u ke i, pij adalah path dari i ke j dan pjv adalah path
Universitas Sumatera Utara
26
dari j ke v. Diberikan
lr = max{r(pui )} dan lb = max{b(pui )}
u∈V
u∈V
lr′ = max{r(pjp )} dan lb′ = max{b(pjv )}
v∈V
v∈V
maka untuk setiap pasangan vertex u dan v adalah walk wuv dari u ke v dengan
r(wuv )
lr + r(pij ) + lr′
≤
lb + b(pij ) + lb′
b(wuv )
adalah kejadian loop merah dan loop biru, karena walk wuv adalah kejadian loop
merah dan loop biru, walk wuv adalah sebuah walk dari u ke v dengan komposisi
lr + r(pij ) + lr′
disekitar loop merah dan loop biru adalah bilangan hasil perkalian,
lb + b(pij ) + lb′
sedemikian hingga
lr + lb , lr′ + lb′ , r(pij ) + b(pij ) ≤ n − 1
akibatnya exp2(D) ≤ 3n − 3
Teorema 2.5.2 Jika 2-digraph D terhubung kuat dengan n vertex, sebuah loop merah
dan sebuah loop biru pada vertex yang sama maka exp2 (D) ≤ 2n − 2.
Bukti. Andaikan kedua loop berada pada vertex s, untuk 1 ≤ s ≤ n, dari setiap
pasangan vertex i dan j di 2-digraph D, didapat Pis adalah path dari i ke s dan Psj
adalah path dari s ke j, jika :
lr = max{r(pui )} dan lb = max{b(pui )}
i
i
lr′ = max{r(pjp )} dan lb′ = max{b(pjv )}
j
j
untuk setiap pasangan vertex i dan j di D didapat walk dari i ke j dimulai dari
vertex i, kemudian melalui path Pis sampai di vertex s kemudian diikuti path Psj
lr + lr′
r(wij )
≤ l + l′ karena walk wij melalui kedua loop,
sampai ke vertex j maka :
b(wij )
b
b
maka terdapat sebuah (lr + lr′ , lb + lb′ )-walk dari i ke j, sehingga exp2 (D) ≤ 2n − 2
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
2-DIGRAPH DENGAN LOOP
Pada sebuah digraph dengan n vertex terdapat pernyataan bahwa eksponen
dari digraph yang demikian dinyatakan oleh exp(D) ≤ 2n − p − 1, untuk p adalah
jumlah loop. Pada bab ini diberikan hasil utama tulisan ini, yakni 2-digraph dengan
sebuah cycle dan minimal sebuah loop dari masing-masing warna. Pada bab ini juga
akan diberikan batas atas dan bentuk umum eksponen 2-digraph dengan sebuah cycle
dan minimal sebuah loop dari masing-masing warna.
Diberikan D adalah 2-digraph terhubung kuat yang memiliki sebuah cycle dan
minimal sebuah loop dari masing-masing warna. Pada bagian ini diberikan syarat
agar 2-digraph yang memiliki eksponen tepat 2n-2.
Corollary 3.0.1 Jika D adalah 2-digraph terhubung kuat memiliki n vertex, sebuah
cycle dan sebuah loop untuk masing-masing warna, terletak pada vertex yang sama
maka exp2(D) = 2n − 2
Bukti. Dari corollary 3.1.1 didapat 2-digraph seperti berikut.
1−
→2−
→ ··· −
→s−
→ ··· −
→ (n − 1) −
→n−
→1
adalah sebuah cycle γ dengan n vertex. Andaikan h dan k adalah bilangan bulat
tak negatif, sehingga untuk setiap pasangan vertex i dan j di 2-digraph D terdapat
(h, k)-walk dari i ke j.
Universitas Sumatera Utara
28
h
Karena k -walk dari u ke u dengan panjang n, maka perlu mendapatkan
sebuah (h, k)-walk, w2,n walk dari 2 ke n dengan panjang minimal n + 1. Jika walk
w2,n tidak melalui cycle γ, maka
r(γ)
r(Pn,2 )
h
1
0
k = b(γ) − b(Pn,2 ) + c 1 + d 0
dengan c dan d adalah bilangan bulat tak negatif dan c + d > 2, dengan cara yang
sama walk ws+1,s−1 dari vertex s + 1 ke vertex s − 1 tidak melalui cycle γ, akibatnya
h
r(γ)
r(Ps−1,s+1 )
k = b(γ) − b(Ps−1,s+1 )
karena w2,n dan ws+1,s−1 tidak melalui cycle γ maka
r(γ)
r(Ps−1,s+1 )
r(γ)
r(Pn,2 )
0
1
−
=
−
+c 1 +d 0
b(γ)
b(γ)
b(Ps−1,s+1 )
b(Pn,2 )
r(Ps−1,s+1 )
r(Pn,2 )
0
1
−
= −c 1 − d 0 ,
b(Ps−1,s+1 )
b(Pn,2 )
2
−d
Karena r(ps−1,s+1 ) − r(pn,2 ) ≤ 2 dan b(ps−1,s+1 ) − b(pn,2 ) ≤ 2 akibatnya 2 ≥ −c ,
atau c + d > −4, kontradiksi dengan c + d > 2. Sehingga w2,n atau ws+1,s−1 harus
melalui cycle γ. Karena path p2,n dan path ps+1,s−1 mempunyai panjang n − 2,
T r(γ)
dan p2,n harus melalui cycle γ maka h + k ≥ 1
+ n − 2 = 2n − 2 sehingga
b(γ)
exp2 (D) ≥ 2n − 2. Dari teorema 2.5.2 didapat h + k ≤ 2n − 2 sedemikian hingga
h + k = 2n − 2. Akibatnya exp2(D) = 2n − 2
Corollary 3.1.1 menyatakan bahwa bila 2-digraph memiliki sebuah loop dari
masing-masing warna terletak pada vertex yang sama, maka eksponennya exp2(D) =
2n − 2. Berikut ini diberikan corollary yang menyatakan eksponen exp2 (D) = 2n − 1
Corollary 3.0.2 Diberikan 2-digraph D dengan n vertex terhubung kuat dan memiliki sebuah cycle, sebuah loop dari masing-masing warna dan minimal sebuah arc
Universitas Sumatera Utara
29
2
dari tiap warna, Pn,2 adalah sebuah path dengan komposisi 0 , dan ps−1,s+1 adalah
1
path dengan komposisi 1 . Jika loopnya terletak pada vertex 1 dan vertex s maka
exp2 (D) = 2n − 1.
Bukti. Dengan tidak mengurangi keumuman, didapat 2-digraph sebagai berikut
m
m
b
m
→2−
→ ··· −
→ (s − 1) −
→s−
→ (s + 1) −
→ ··· −
→n−
→1
1−
2
adalah sebuah cycle γ dan Pn,2 adalah sebuah path dengan komposisi 0 , ps−1,s+1
1
adalah sebuah path dengan komposisi 1 ,(s, s) adalah sebuah loop merah, dan (1, 1)
adalah sebuah biru. Andaikan h dan k adalah bilangan bulat tak negatif, sehingga
untuk setiap pasangan vertex i dan j di 2-digraph D terdapat (h, k)-walk dari i ke j.
Selanjutnya sebuah (h, k)-walk, w2,n walk dari 2 ke n dengan panjang minimal
n + 1. Jika walk w2,n tidak melalui cycle γ, maka
r(γ)
r(Pn,2 )
h
1
k = b(γ) − b(Pn,2 ) + c 0
dengan c adalah bilangan bulat dan c > 2 dengan cara yang sama, karena ws+1,s−1
walk dari vertex s + 1 ke vertex s − 1 tidak melalui cycle γ, maka
h
r(γ)
r(Ps−1,s+1 )
0
k = b(γ) − b(Ps−1,s+1 ) + d 1 ,
dengan d adalah bilangan bulat dan d ≥ 2. Bila w2,n dan ws+1,s−1 tidak melalui cycle
γ maka
r(Pn,2 )
1
r(γ)
0
r(Ps−1,s+1 )
r(γ)
−
+c 0
+d 1 =
−
b(γ)
b(Pn,2 )
b(Ps−1,s+1 )
b(γ)
r(Ps−1,s+1 )
1
0
r(Pn,2 )
b(Ps−1,s+1 ) − b(Pn,2 ) = −c 0 + d 1 ,
Universitas Sumatera Utara
30
−c
2
2 ≥ d , akibatnya d < 2, kontradiksi dengan d > 2. Sehingga w2,n atau ws+1,s−1
2r(γ) − 2
harus melalui cycle γ. Walk w2,n dengan komposisi
dan walk ws+1,s−1
2b(γ)
2r(γ) − 1
dengan komposisi
, dari komposisi kedua walk diatas didapat h ≥ 2r(γ)−1
2b(γ) − 1
dan k ≥ 2b(γ) akibatnya h+k ≥ 2r(γ)−1+2b(γ) = 2n−1 sehingga exp2 (D) ≥ 2n−1
Untuk menunjukkan exp2 (D) ≤ 2n − 1, maka harus ditunjukkan untuk setiap
vertex i dan j di 2-digraph D terdapat walk wi,j , dengan komposisi
2r(γ) − 1
r(wi,j )
=
2b(γ)
b(wi,j
Untuk menunjukkan komposisi walk diatas, dapat dilakukan dengan membagi dalam
empat kasus. Untuk :
a) Terdapat dua buah loop diantara vertex i dan j
Dengan tidak mengurangi keumuman pembuktian, didapat 2 − digraph sebagai
m
m
m
b
→1−
→ ··· −
→s−
→ ··· −
→ j adalah sebuah path. Karena D
berikut, i −
→ ··· −
adalah 2-digraph terhubung kuat, maka untuk setiap i dan j di 2-digraph D
h
r(pi,j )
0
+ (2r(γ) − 1) − b(pi,j ) 1 + 2b(γ) −
terdapat walk wi,j dengan k =
b(pi,j )
1
r(pi,j ) 0 sehingga h + k = 2n − 1.
b) Terdapat sebuah loop merah diantara vertex i dan j
m
b
→s→
− s+1 → ··· −
→j
Didapat 2 − digraph sebagai berikut. i −
→ ··· −
→ s−1 −
adalah sebuah path. Karena D adalah 2-digraph terhubung kuat, maka untuk
setiap i dan j di 2-digraph D terdapat (h, k)-walk. dengan
r(pj,i )
1
0
r(pi,j )
h
r(pi,j )
k = b(pi,j ) + b(pj,i ) +(r(γ)−r(pi,j )−1) 0 +(b(γ)−b(pi,j )) 1 + b(pi,j )
sehingga h + k = 2n − 1
Universitas Sumatera Utara
31
c) Terdapat sebuah loop biru diantara vertex i dan j
m
m
Didapat 2-digraph sebagai berikut. i −
→ ·
SKRIPSI
RICHARD ALBERT NASUTION
010803013
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2007
Universitas Sumatera Utara
2-EKSPONEN DARI 2-DIGRAPH DENGAN LOOP
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana
Sains
RICHARD ALBERT NASUTION
010803013
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2007
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
:
:
:
:
:
:
:
2-EKSPONEN 2-DIGRAPH DENGAN LOOP
SKRIPSI
RICHARD ALBERT NASUTION
010803013
SARJANA (S1) MATEMATIKA
MATEMATIKA
MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA
Medan, September 2007
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2
Pembimbing 1
Dra. Mardiningsih, M.Si
NIP.131803344
Dr. Saib Suwilo, MSc.
NIP. 131796149
Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Dr. Saib Suwilo, MSc
NIP. 131796149
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
2-DIGRAPH DENGAN LOOP
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
September 2007
RICHARD ALBERT NASUTION
010803013
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Setinggi puji dan sedalam syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT yang
telah memberikan berkat dan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ” 2-EKSPONEN DARI 2-DIGRAPH DENGAN LOOP ” ini
dengan baik. Skripsi ini sebagai salah satu mata kuliah wajib yang harus diselesaikan
oleh seluruh mahasiswa Fakultas MIPA Departemen Matematika.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Eddy Marlianto, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Sumatera Utara. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, dan Bapak Henry Rani
S, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika di FMIPA USU Medan.
Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku dosen pembimbing I dan Dra. Mardiningsih,
M.Si selaku dosen pembimbing II yang telah memberi dukungan moral, motivasi dan
ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan penelitian ini. Seluruh Staf Pengajar dan Staf Administrasi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. Ibunda Ruminah tercinta yang selalu memberikan dukungan moril dan materiel serta doa yang tiada hentinya kepada
penulis serta kepada Adinda Sudarno Hariadi tercinta yang telah memberikan dorongan semangat kepada penulis.
Tak lupa, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada para teman dan
seniorku di Lab. Ekstension, yaitu b’Toni, b’Indra, Didi, Salman, Santri, Radhi,
Andika yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi ini, dukungan dan motivasi
dalam pengerjaan skripsi ini. Juga buat seniorku di stambuk ’00 serta seluruh rekanrekan ’01. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas jasa-jasa mereka yang telah
diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu
penulis meminta saran dan kritik yang membangun dari pembaca sekalian.
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga tulisan
ini berguna bagi yang membutuhkan.
iii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Pada 2-digraph D, 2-eksponen didefinisikan sebagai bilangan bulat terkecil pada h + k
sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan
panjang h+ k yang terdiri dari h arc merah dan k arc biru. 2-eksponen dari 2-digraph
D dinotasikan oleh exp2 (D). Shader dan Suwilo memperlihatkan 2-eksponen dari 2digraph primitif terletak pada interval ((n3 − 5n2 )/2, (3n3 + 2n2 − 2n)/2). Tulisan
ini akan memberikan bentuk umum dari 2-digraph dengan 2-eksponen tepat 2n, 2n −
1, dan 2n − 2
iv
Universitas Sumatera Utara
2-DIGRAPH WITH LOOPS
ABSTRACT
On 2-digraph D, 2-exponent being defined as smallest integer h +k therefore for every
pairs of vertex u and v in D there is walk from u to v with legth h + k consist of h
red arc and b blue arc. 2-exponent from 2-digraph D denoted by exp2 (D)
Shader and suwilo show that 2-exponent from primitive 2-digraph lying on ((n3 −
5n2 )/2, (3n3 +2n2 −2n)) interval. This paper will give the general form of 2-digraphwith
2-exponent exactly 2n,2n-1,2n-2
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
iv
ABSTRACT
v
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR GAMBAR
viii
BAB
1. PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1
Latar Belakang Penelitian
Perumusan Masalah
Tinjauan pustaka
Tujuan penelitian
Manfaat penelitian
Metode penelitian
1
3
3
4
4
5
2. 2-DIGRAPH PRIMITIF
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
6
Notasi
Matriks Adjacency
Primitifitas Dari 2-Digraph Terhubung Kuat
Matriks tak negatif & Eksponen 2-digraph
Beberapa fakta tentang 2-digraph dengan loop
6
12
14
19
25
3. 2-DIGRAPH DENGAN LOOP
27
4. KESIMPULAN
34
4.1. Kesimpulan
34
vi
Universitas Sumatera Utara
4.2. Saran
35
DAFTAR PUSTAKA
36
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
2.1
Representasi grafis dari Digraph
7
2.2
Digraph dengan path, walk, cycle dan loop
8
2.3
Representasi grafis dari 2-Digraph
10
2.4
2-Digraph dengan path, walk, cycle dan loop
11
2.5
Digraph dengan 4 vertex, 6 arc
12
2.6
2-Digraph dengan 4 vertex, 3 arc merah, dan 4 arc biru
13
2.7
(a) digraph terhubung kuat ;(b) digraph tidak terhubung kuat
15
2.8
digraph terhubung kuat
16
2.9
(a) 2-digraph terhubung kuat ;(b) 2-digraph tidak terhubung kuat
17
2.10 2-digraph primitif
19
2.11 Representasi digraph 3 vertex dan 7 arc
21
2.12 Representasi 2-digraph dengan 3 vertex, 3 arc biru dan 3 arc merah
23
4.1
Representasi 2-digraph dengan 2-eksponen 2n
35
4.2
Representasi 2-digraph dengan 2-eksponen 2n-1
35
viii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Pada 2-digraph D, 2-eksponen didefinisikan sebagai bilangan bulat terkecil pada h + k
sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan
panjang h+ k yang terdiri dari h arc merah dan k arc biru. 2-eksponen dari 2-digraph
D dinotasikan oleh exp2 (D). Shader dan Suwilo memperlihatkan 2-eksponen dari 2digraph primitif terletak pada interval ((n3 − 5n2 )/2, (3n3 + 2n2 − 2n)/2). Tulisan
ini akan memberikan bentuk umum dari 2-digraph dengan 2-eksponen tepat 2n, 2n −
1, dan 2n − 2
iv
Universitas Sumatera Utara
2-DIGRAPH WITH LOOPS
ABSTRACT
On 2-digraph D, 2-exponent being defined as smallest integer h +k therefore for every
pairs of vertex u and v in D there is walk from u to v with legth h + k consist of h
red arc and b blue arc. 2-exponent from 2-digraph D denoted by exp2 (D)
Shader and suwilo show that 2-exponent from primitive 2-digraph lying on ((n3 −
5n2 )/2, (3n3 +2n2 −2n)) interval. This paper will give the general form of 2-digraphwith
2-exponent exactly 2n,2n-1,2n-2
v
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar atau melihat sistem jalan
satu arah, arus listrik, jaringan kerja dll. Biasanya hal-hal tersebut diatas direpresentasikan secara grafik dengan titik dan garis berarah, hubungan garis dan titik yang
demikian diamati oleh suatu objek di matematika yang disebut dengan digraph.
Suatu digraph terdiri dari titik-titik yang dihubungkan oleh garis berarah.
Secara formal, digraph adalah objek yang terdiri dari dua himpunan yaitu :
1. Himpunan hingga yang tak kosong V , dimana unsurnya disebut vertex dari
digraph D
2. Himpunan E yang merupakan himpunan bagian dari pasangan berurut V XV ,
unsurnya disebut arc dari digraph D
vertex dalam digraph direpresentasikan oleh titik atau lingkaran kecil dan arc direpresentasikan oleh garis berarah dari suatu vertex ke vertex lainnya.
Suatu walk dari vertex u ke vertex v yang panjangnya m adalah suatu barisan
arc dalam bentuk
(u = v0, v1), (v1, v2 ), . . . , (vm−1 , vm = v)
Universitas Sumatera Utara
2
walk diatas dapat direpresentasikan sebagai
u = v0 → v1 → v2 → . . . → vm−1 → vm = v
Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat bila untuk setiap pasangan vertex u dan
v di D terdapat walk dari u ke v. Digraph D dikatakan ministrong jika penghilangan
satu arc dari D mengakibatkan D tidak terhubung kuat. Suatu digraph terhubung
kuat D dikatakan primitif bila terdapat bilangan bulat k sehingga untuk setiap
pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang tepat k.
Bilangan bulat k terkecil yang demikian disebut disebut sebagai eksponen dari D
dan dinotasikan oleh exp(D).
Studi tentang eksponen digraph primitif diprakarsai oleh Wielandt[5] yang
2
menyatakan bahwa untuk digraph primitif dengan n vertex, exp(D) ≤ (n − 1) + 1.
Holladay dan varga [4] memperlihatkan bahwa ila D adalah digraph primitif dengan
q loop maka exp(D) ≤ 2n − q − 1. Selanjutnya, Liu dan Shao [1] memberikan syarat
perlu dan bagi digraph terhubung kuat D dengan n vertex dan q loop yang mempunyai
exp(D) = 2n − q − 1, sejalan itu dengan itu Dalimunthe dan Suwilo[10] memberikan
syarat cukup untuk digraph agar mempunyai eksponen tepat exp(D) = 2n − q − 1.
Pada tahun 1997, fornasini dan Valcher[3] memperkenalkan konsep 2-digraph yakni
digraph dimana setiap arcnya diwarnai dengan merah atau biru. Sejalan dengan itu
Shader dan Suwilo[2] memperkenalkan konsep 2-eksponen dari 2-digraph. Shader
dan Suwilo mendefinisikan 2-eksponen dari 2-digraph sebagai bilangan bulat terkecil
h + k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke
v dengan panjang h + k dan terdiri dari h arc merah dan k arc biru. Shader dan
Suwilo memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph D dengan n vertex, maka 2-eksponen
terbesar terletak pada interval [(n3 − 5n2 )/, (3n3 + 2n2 − 2n)/2]. Lebih lanjut Suwilo
Universitas Sumatera Utara
3
secara eksplisit memberikan formula bagi 2-eksponen dari 2-digraph yang terdiri dari
cycle (lihat[8]), dan memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph yang asymetric maka
2 ≤ exp2(D) ≤ 4 (lihat[9]). Sejalan dengan hasil dari Holladay dan Varga[4] perlu
ditentukan 2-eksponen dari 2-digraph dengan loop.
1.2 Perumusan Masalah
Bula D adalah suatu 2-digraph primitif atas n vertex dan m ≥ 2 loop. Dapatkah ditemukan batas atas yang cukup ”baik” bagi 2-digraph dengan m ≥ 2 loop.
1.3 Tinjauan pustaka
Shader dan Suwilo [2] memperlihatkan bahwa 2-eksponen terbesar dari 2digraph primitif terletak di interval [(n3 − 5n2 )/2, (3n3 + 2n2 − 2n)/2]. Batas bawah
pada interval tersebut ditemukan dengan menggunakan 2-digraph yang terdiri dari
dua cycle dan batas atas ditemukan secara teoritis. Sehingga masih terdapat gap antara batas empiris dan batas teoritis. Suwilo[8] memberikan formula bagi 2-eksponen
dari 2-digraph, yang terdiri atas cycle, dan memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph
yang asymetric maka 2 ≤ exp2 (D) ≤ 4.
Andaikan D adalah 2-digraph primitif yang terdiri dari dua cycle γ1 dan γ2
dengan panjang masing-masing ℓ(γ1 ) dan ℓ(γ2 ). Untuk sebarang pasangan vertex u
dan v, misalkan puv adalah sebuah path terpendek dari u ke v dan definisikan
ℓ′r = lim {b(γ2 )r(puv ) − r(γ2 )b(puv )}
u,v∈V
ℓ′b = lim {r(γ1 )b(puv ) − b(γ1 )r(puv )}
u,v∈V
Suwilo[8] menyatakan bila D adalah 2-digraph primitif yang terdiri dari dua cycle
Universitas Sumatera Utara
4
dengan sedikitnya terdapat satu arc untuk setiap warna, maka.
exp2 (D) = ℓ(γ1 )ℓ′r + ℓ(γ2 )ℓ′b
Lee dan yang [7] secara khusus mendiskusikan 2-eksponen dari satu klas 2-digraph
ministrong yang terdiri dari cycle 1 → 2 → · · · → n − 3 → n − 2 → 1 dan path
n − 3 → n − 1 → n → 1 Andaikan D adalah digraph ministrong dengan banyak
vertex n ≥ 5 yang terdiri dari cycle 1 → 2 · · · → n − 3 → n − 2 → 1 dan path
n − 3 → n − 1 → n → 1. Warnai paling sedikit satu arc untuk setiap warna, maka
2-eksponen dari 2-digraph terletak pada interval :
2n2 − 8n + 7 ≤ exp2(D) ≤ 2n2 − 5n + 3
1.4 Tujuan penelitian
Menentukan 2-eksponen bagi 2-digraph yang terdiri dari sebuah cycle dengan
2 loop.
1.5 Manfaat penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur dibidang 2-eksponen
dari 2-digraph
Universitas Sumatera Utara
5
1.6 Metode penelitian
Metodologi penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan dengan langkah
- langkah sebagai berikut :
1. Menggunakan Software sederhana untuk mendukung pengerjaan pengamatan.
2. Mencari kelas-kelas dari 2-digraph kemudian membandingkannya
3. Mencari bentuk umum dari masing-masing 2-eksponen dari 2-digraph
4. Menentukan batas atas dan batas bawah dari 2-digraph
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
iv
ABSTRACT
v
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR GAMBAR
viii
BAB
1. PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1
Latar Belakang Penelitian
Perumusan Masalah
Tinjauan pustaka
Tujuan penelitian
Manfaat penelitian
Metode penelitian
1
3
3
4
4
5
2. 2-DIGRAPH PRIMITIF
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
6
Notasi
Matriks Adjacency
Primitifitas Dari 2-Digraph Terhubung Kuat
Matriks tak negatif & Eksponen 2-digraph
Beberapa fakta tentang 2-digraph dengan loop
6
12
14
19
25
3. 2-DIGRAPH DENGAN LOOP
27
4. KESIMPULAN
34
4.1. Kesimpulan
34
vi
Universitas Sumatera Utara
4.2. Saran
35
DAFTAR PUSTAKA
36
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
2.1
Representasi grafis dari Digraph
7
2.2
Digraph dengan path, walk, cycle dan loop
8
2.3
Representasi grafis dari 2-Digraph
10
2.4
2-Digraph dengan path, walk, cycle dan loop
11
2.5
Digraph dengan 4 vertex, 6 arc
12
2.6
2-Digraph dengan 4 vertex, 3 arc merah, dan 4 arc biru
13
2.7
(a) digraph terhubung kuat ;(b) digraph tidak terhubung kuat
15
2.8
digraph terhubung kuat
16
2.9
(a) 2-digraph terhubung kuat ;(b) 2-digraph tidak terhubung kuat
17
2.10 2-digraph primitif
19
2.11 Representasi digraph 3 vertex dan 7 arc
21
2.12 Representasi 2-digraph dengan 3 vertex, 3 arc biru dan 3 arc merah
23
4.1
Representasi 2-digraph dengan 2-eksponen 2n
35
4.2
Representasi 2-digraph dengan 2-eksponen 2n-1
35
viii
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar atau melihat sistem jalan
satu arah, arus listrik, jaringan kerja dll. Biasanya hal-hal tersebut diatas direpresentasikan secara grafik dengan titik dan garis berarah, hubungan garis dan titik yang
demikian diamati oleh suatu objek di matematika yang disebut dengan digraph.
Suatu digraph terdiri dari titik-titik yang dihubungkan oleh garis berarah.
Secara formal, digraph adalah objek yang terdiri dari dua himpunan yaitu :
1. Himpunan hingga yang tak kosong V , dimana unsurnya disebut vertex dari
digraph D
2. Himpunan E yang merupakan himpunan bagian dari pasangan berurut V XV ,
unsurnya disebut arc dari digraph D
vertex dalam digraph direpresentasikan oleh titik atau lingkaran kecil dan arc direpresentasikan oleh garis berarah dari suatu vertex ke vertex lainnya.
Suatu walk dari vertex u ke vertex v yang panjangnya m adalah suatu barisan
arc dalam bentuk
(u = v0, v1), (v1, v2 ), . . . , (vm−1 , vm = v)
Universitas Sumatera Utara
2
walk diatas dapat direpresentasikan sebagai
u = v0 → v1 → v2 → . . . → vm−1 → vm = v
Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat bila untuk setiap pasangan vertex u dan
v di D terdapat walk dari u ke v. Digraph D dikatakan ministrong jika penghilangan
satu arc dari D mengakibatkan D tidak terhubung kuat. Suatu digraph terhubung
kuat D dikatakan primitif bila terdapat bilangan bulat k sehingga untuk setiap
pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang tepat k.
Bilangan bulat k terkecil yang demikian disebut disebut sebagai eksponen dari D
dan dinotasikan oleh exp(D).
Studi tentang eksponen digraph primitif diprakarsai oleh Wielandt[5] yang
2
menyatakan bahwa untuk digraph primitif dengan n vertex, exp(D) ≤ (n − 1) + 1.
Holladay dan varga [4] memperlihatkan bahwa ila D adalah digraph primitif dengan
q loop maka exp(D) ≤ 2n − q − 1. Selanjutnya, Liu dan Shao [1] memberikan syarat
perlu dan bagi digraph terhubung kuat D dengan n vertex dan q loop yang mempunyai
exp(D) = 2n − q − 1, sejalan itu dengan itu Dalimunthe dan Suwilo[10] memberikan
syarat cukup untuk digraph agar mempunyai eksponen tepat exp(D) = 2n − q − 1.
Pada tahun 1997, fornasini dan Valcher[3] memperkenalkan konsep 2-digraph yakni
digraph dimana setiap arcnya diwarnai dengan merah atau biru. Sejalan dengan itu
Shader dan Suwilo[2] memperkenalkan konsep 2-eksponen dari 2-digraph. Shader
dan Suwilo mendefinisikan 2-eksponen dari 2-digraph sebagai bilangan bulat terkecil
h + k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke
v dengan panjang h + k dan terdiri dari h arc merah dan k arc biru. Shader dan
Suwilo memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph D dengan n vertex, maka 2-eksponen
terbesar terletak pada interval [(n3 − 5n2 )/, (3n3 + 2n2 − 2n)/2]. Lebih lanjut Suwilo
Universitas Sumatera Utara
3
secara eksplisit memberikan formula bagi 2-eksponen dari 2-digraph yang terdiri dari
cycle (lihat[8]), dan memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph yang asymetric maka
2 ≤ exp2(D) ≤ 4 (lihat[9]). Sejalan dengan hasil dari Holladay dan Varga[4] perlu
ditentukan 2-eksponen dari 2-digraph dengan loop.
1.2 Perumusan Masalah
Bula D adalah suatu 2-digraph primitif atas n vertex dan m ≥ 2 loop. Dapatkah ditemukan batas atas yang cukup ”baik” bagi 2-digraph dengan m ≥ 2 loop.
1.3 Tinjauan pustaka
Shader dan Suwilo [2] memperlihatkan bahwa 2-eksponen terbesar dari 2digraph primitif terletak di interval [(n3 − 5n2 )/2, (3n3 + 2n2 − 2n)/2]. Batas bawah
pada interval tersebut ditemukan dengan menggunakan 2-digraph yang terdiri dari
dua cycle dan batas atas ditemukan secara teoritis. Sehingga masih terdapat gap antara batas empiris dan batas teoritis. Suwilo[8] memberikan formula bagi 2-eksponen
dari 2-digraph, yang terdiri atas cycle, dan memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph
yang asymetric maka 2 ≤ exp2 (D) ≤ 4.
Andaikan D adalah 2-digraph primitif yang terdiri dari dua cycle γ1 dan γ2
dengan panjang masing-masing ℓ(γ1 ) dan ℓ(γ2 ). Untuk sebarang pasangan vertex u
dan v, misalkan puv adalah sebuah path terpendek dari u ke v dan definisikan
ℓ′r = lim {b(γ2 )r(puv ) − r(γ2 )b(puv )}
u,v∈V
ℓ′b = lim {r(γ1 )b(puv ) − b(γ1 )r(puv )}
u,v∈V
Suwilo[8] menyatakan bila D adalah 2-digraph primitif yang terdiri dari dua cycle
Universitas Sumatera Utara
4
dengan sedikitnya terdapat satu arc untuk setiap warna, maka.
exp2 (D) = ℓ(γ1 )ℓ′r + ℓ(γ2 )ℓ′b
Lee dan yang [7] secara khusus mendiskusikan 2-eksponen dari satu klas 2-digraph
ministrong yang terdiri dari cycle 1 → 2 → · · · → n − 3 → n − 2 → 1 dan path
n − 3 → n − 1 → n → 1 Andaikan D adalah digraph ministrong dengan banyak
vertex n ≥ 5 yang terdiri dari cycle 1 → 2 · · · → n − 3 → n − 2 → 1 dan path
n − 3 → n − 1 → n → 1. Warnai paling sedikit satu arc untuk setiap warna, maka
2-eksponen dari 2-digraph terletak pada interval :
2n2 − 8n + 7 ≤ exp2(D) ≤ 2n2 − 5n + 3
1.4 Tujuan penelitian
Menentukan 2-eksponen bagi 2-digraph yang terdiri dari sebuah cycle dengan
2 loop.
1.5 Manfaat penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur dibidang 2-eksponen
dari 2-digraph
Universitas Sumatera Utara
5
1.6 Metode penelitian
Metodologi penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan dengan langkah
- langkah sebagai berikut :
1. Menggunakan Software sederhana untuk mendukung pengerjaan pengamatan.
2. Mencari kelas-kelas dari 2-digraph kemudian membandingkannya
3. Mencari bentuk umum dari masing-masing 2-eksponen dari 2-digraph
4. Menentukan batas atas dan batas bawah dari 2-digraph
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
2-DIGRAPH PRIMITIF
Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan beberapa definisi
sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar ini berkaitan dengan masalah
yang dibahas dalam tulisan ini seperti digraph, 2-digraph, terhubung kuat, 2-digraph
primitif, dan 2-eksponen dari 2-digraph.
2.1 Notasi
Pada bagian ini akan dibahas beberapa notasi digraph yang akan dipergunakan
dalam pembahasan 2-digraph.
2.1.1 Digraph.
Secara sederhana graph adalah kumpulan titik atau lingkaran kecil yang dihubungkan oleh garis tak berarah, jika garis penghubung diberi arah, maka graph
yang demikian disebut dengan digraph (directed graph).
Andaikan V adalah suatu himpunan objek berhingga yang tak kosong, sebuah
digraph adalah suatu objek yang dibentuk oleh himpunan V yang unsurnya disebut
vertex dari digraph D, dan himpunan A ⊆ V × V yang unsurnya disebut dengan arc
dari D. Jika diberikan a, b ∈ V dengan (a, b) ∈ A, maka terdapat arc dari vertex a
ke vertex b di digraph D. Vertex a disebut sebagai vertex awal dan vertex b disebut
sebagai vertex akhir.
Universitas Sumatera Utara
7
Contoh 2.1.1 Himpunan vertex V = {1, 2, 3, 4, 5} bersama dengan himpunan arc
merah A = {(1, 2), (1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3)} adalah suatu digraph dengan 5 vertex dan 7 arc.
Suatu digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara setiap vertex
direpresentasikan sebagai sebuah titik dan setiap arc (u, v) direpresentasikan sebagai
garis berarah dari titik u ke v.
Representasi dari digraph yang diberikan pada contoh 2.1.1 diatas diberikan
pada gambar berikut.
Contoh 2.1.2 Representasi Grafis dari digraph
Gambar 2.1 : Representasi grafis dari Digraph
Diberikan D adalah digraph, u dan v adalah vertex di digraph D. Sebuah
walk dengan panjang m dari u ke v didefinisikan sebagai barisan arc dan dituliskan
sebagai berikut.
(v0, v1), (v1, v2), . . . , (vm−1,m)
w
→ v dan
untuk m > 0, v0 = u dan vm = v. Sebuah walk juga biasa dinotasikan u −
panjangnya dinotasikan dengan ℓ(w). Sebuah path didefinisikan sebagai sebuah walk
yang vertexnya tidak boleh berulang kecuali mungkin vertex awal dan akhir. Sebuah
Universitas Sumatera Utara
8
cycle didefinisikan sebagai sebuah path tertutup, dan sebuah loop didefinisikan sebagai sebuah cycle dengan panjang satu. Berikut ini akan diberikan representasi dari
digraph untuk menjelaskan beberapa definisi diatas.
Contoh 2.1.3 Diberikan digraph di bawah ini
Gambar 2.2 : Digraph dengan path, walk, cycle dan loop
Digraph pada gambar 2.2 diatas memiliki walk, path, cycle dan loop sebagai
berikut :
• 1 → 3 → 2 adalah sebuah path terbuka.
• 1 → 3 → 4 → 1 adalah sebuah path tertutup atau disebut cycle
• 1 → 3 → 2 → 5 → 3 → 4 adalah sebuah walk tetapi bukan path karena ada
perulangan vertex.
• 3 → 4 → 1 → 3 → 2 → 5 → 3 adalah sebuah walk tertutup dari 3 ke 3 tetapi
bukan cycle.
• 2 → 2 adalah sebuah loop
2.1.2 2-digraph.
Sekarang akan dibahas notasi - notasi digraph yang dijelaskan diatas dan dituliskan kedalam notasi 2-digraph. Andaikan V adalah suatu himpunan objek berhingga
Universitas Sumatera Utara
9
tak kosong, sebuah 2 − digraph D adalah suatu objek yang dibentuk oleh himpunan
V yang unsurnya disebut vertex dari D, bersama dengan himpunan A ⊆ V × V yang
disebut arc merah dan himpunan B ⊆ V × V yang disebut arc biru dari D. Jika
diberikan a, b, c, d ∈ V dengan a, b ∈ A dan c, d ∈ B maka terdapat arc merah dari
vertex a ke vertex b dan terdapat arc biru dari vertex c ke vertex d. Vertex a dan
c disebut vertex awal dan vertex b dan d disebut vertex akhir. Berikut ini diberikan
sebuah contoh 2-digraph
Contoh 2.1.4 Himpunan vertex V = {1, 2, 3, 4, 5} bersama dengan himpunan arc
merah A = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 1)} dan arc biru B = {(5, 2), (5, 3), (4, 5)} adalah
suatu 2-digraph dengan 5 vertex, 4 arc merah dan 3 arc biru.
Suatu 2-digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara sebagai
berikut:
• Setiap vertex direpresentasikan sebagai suatu titik.
• Setiap arc merah (a, b) direpresentasikan sebagai garis berarah tak putus dari
titik a ke b.
• Setiap arc biru (c, d) direpresentasikan sebagai garis berarah putus-putus dari
titik c ke d
Berikut ini akan diberikan contoh representasi 2-digraph pada Contoh 2.1.3
diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
Universitas Sumatera Utara
10
Contoh 2.1.5 Representasi Grafis dari 2-digraph
Gambar 2.3 : Representasi grafis dari 2-Digraph
Suatu (h, k) − walk dalam 2 − digraph adalah sebuah walk yang memuat
sebanyak h arc merah dan k arc biru.
Dari definisi yang diberikan diatas, suatu (h, k) − walk dari u ke v disebut
sebagai uv − walk, untuk sebuah walk w, r(w) dan b(w) adalah notasi jumlah dari
r(w)
arc merah dan arc biru. Vektor
disebut komposisi dari w
b(w)
Suatu path adalah suatu walk dengan semua vertex berbeda kecuali mungkin
vertex awal dan vertex akhir. Suatu cycle adalah suatu path tertutup dan loop adalah
0
1
suatu cycle dengan komposisi 1 atau 0 . Berikut ini akan diberikan representasi
grafis dari sebuah 2-digraph seperti yang diperlihatkan pada contoh 2.1.6 berikut ini.
Universitas Sumatera Utara
11
Contoh 2.1.6 Diberikan 2-digraph di bawah ini
Gambar 2.4 : 2-Digraph dengan path, walk, cycle dan loop
2-Digraph pada gambar 4 di atas memiliki path, walk, cycle dan loop sebagai
berikut :
1
→3−
→ 2 adalah sebuah path terbuka dari 1 ke 2 dengan komposisi 1 .
• 1−
b
r
b
b
r
• 1 −
→ 3 −
→ 4 −
→ 1 adalah sebuah path tertutup atau cycle dari 1 ke 1 dengan
1
komposisi 2 .
b
r
r
b
b
2
→3−
→2−
→5−
→3−
→ 4 adalah walk dari 1 ke 4 dengan komposisi 3 , tetapi
• 1−
bukan suatu path karena path adalah walk tanpa melalui lebih dari satu vertex
kecuali mungkin vertex awal dan akhir.
b
r
b
r
r
b
→4−
→1−
→3−
→2−
→5−
→ 3 adalah sebuah walk tertutup dari 3 ke 3 dengan
• 3−
3
komposisi 3 , tetapi bukan cycle.
r
1
→ 2 adalah sebuah loop dari 4 ke 4 dengan komposisi 0 .
• 2−
0
• 1−
→ 1 adalah sebuah loop dari 4 ke 4 dengan komposisi 1 .
b
Universitas Sumatera Utara
12
Sebuah digraph atau 2-digraph dapat direpresentasikan kedalam sebuah matriks, berikut ini diberikan hubungan antara digraph dan 2-digraph dengan matriks.
2.2 Matriks Adjacency
Pada subbab ini akan dibahas hubungan antara digraph, 2-digraph dengan
matriks. Sebuah digraph D dan 2-digraph D dengan n vertex dapat dinyatakan oleh
matriks, yang entri dari matriks tersebut adalah bilangan 1 atau 0, matriks yang
demikian disebut sebagai matriks adjacency.
2.2.1 Matriks Adjacency dari digraph.
Sebuah representasi grafis dari digraph D dapat dituliskan adjacency sebagai
berikut.
aij =
1, jika terdapat arc dari i ke j
0, jika sebaliknya
Berikut ini diberikan contoh matriks adjacency dari sebuah representasi digraph.
Contoh 2.2.1 Representasi dari sebuah digraph
Gambar 2.5 : Digraph dengan 4 vertex, 6 arc
Universitas Sumatera Utara
13
Dari representasi digraph diatas didapat matriks adjacency sebagai berikut.
1 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1
1 0 0 0
Berikut ini akan diberikan sebuah matriks adjacency dari 2-digraph.
2.2.2 Matriks Adjacency 2-digraph.
Pada 2-digraph matriks adjacency dari sebuah representasi grafis dapat dinyatakan sebagai berikut. Matriks adjacency merah, R = [rij ] pada D adalah matriks
n × n dengan
1, jika terdapat arc merah
rij =
0, jika sebaliknya
matriks adjacency biru B = [bij ] pada D adalah matriks n × n, dengan
1, jika terdapat arc biru
bij =
0, jika sebaliknya
Berikut ini akan diberikan sebuah 2-digraph dan direpresentasikan kedalam
matriks adjacency nya
Contoh 2.2.2 Representasi dari sebuah 2-digraph
Gambar 2.6 : 2-Digraph dengan 4 vertex, 3 arc merah, dan 4 arc biru
Universitas Sumatera Utara
14
Dari representasi 2-digraph diatas, dapat dibuat sebuah matriks adjacency
sebagai berikut.
1 0
0 0
R = 0 0
1 0
0 1
0 1
B = 0 0
0 0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0. Adalah matriks adjacency merah
0
0
1
1. Adalah matriks adjacency biru
0
Berikut ini akan dibahas mengenai digraph dan 2-digraph terhubung kuat dan
keterhubungan dengan digraph dan 2-digraph primitif.
2.3 Primitifitas Dari 2-Digraph Terhubung Kuat
Pada bagian ini akan dibahas tentang digraph dan 2-digraph terhubung kuat
dan keterhubungan dengan primitifitas.
2.3.1 Digraph primitif.
Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat strongly connected jika untuk setiap
walk berarah dari vertex u dan v dan walk berarah dari vertex v ke u. Berikut ini
diberikan contoh digraph terhubung kuat dan digraph yang tidak terhubung kuat.
Universitas Sumatera Utara
15
Contoh 2.3.1 Representasi dari 2 buah digraph.
Gambar 2.7 : (a) digraph terhubung kuat ;(b) digraph tidak terhubung kuat
Pada gambar2.7 diatas menunjukkan bahwa (a) adalah terhubung kuat karena
terdapat walk dari satu vertex ke vertex lainnya, sedangkan (b) tidak terhubung kuat
karena tidak terdapat walk dari 1 ke 2.
Suatu digraph terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat
positif k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat uv-walk yang
panjangnya k.
Lemma 2.3.1 Andaikan D adalah digraph terhubung kuat maka setiap vertex v di
D terletak pada cycle.
bukti : Ambil sebarang vertex v di D dan sebarang arc dari vertex u ke v di D.
karena D terhubung kuat, maka terdapat path dari v ke n, akibatnya diperoleh suatu
path tertutup di D yang dibentuk oleh arc dari vertex v ke u di D. Oleh definisi,
path tertutup adalah suatu cycledari sebarang vertex di D, maka setiap vertex v di
D terletak pada suatu cycle.
Andaikan himpunan C = {c1, c2 , . . . , ct } adalah himpunan semua cycle di D.
Misalkan M adalah suatu matriks baris dengan kolom ke-i untuk i = 1, 2, . . . , t dari
Universitas Sumatera Utara
16
M adalah panjang cycle ci (ℓ(ci )) misalkan < M > sebagai subgrup dari grup bilangan
bulat Z yang dibangun oleh kolom-kolom dari M yakni
< M > = {z1ℓ(c1 ) + z2ℓ(c2 ) + . . . + ztℓ(ct ) : zi ∈ Z, i = 1, 2, 3, . . . , t}
Andaikan D adalah digraph imprimitif dengan indeks imprimitifitas k, dan k =
gcd(ℓ(c1 ), ℓ(c2 ), · · · , ℓ(ct ). Kemudian suatu digraph dikatakan primitif jika k = 1
dan imprimitf jika k 6= 1
Berikut ini diberikan representasi grafis digaph yang terhubung kuat dan primitif.
Contoh 2.3.2 Representasi dari digraph tehubung kuat
Gambar 2.8 : digraph terhubung kuat
Pada gambar 2.8 diatas, D adalah digraph terhubung kuat dengan dua cycle
yaitu 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 1 dengan panjang 5 dan cycle 1 → 3 → 4 → 5 → 1
dengan panjang 4. Oleh definisi diatas, maka pembagi persekutuan terbesar dari
cycle dengan panjang 5 dan 4 adalah 1 sehingga D adalah primitif.
Universitas Sumatera Utara
17
2.3.2 2-digraph primitif.
Suatu 2-digraph D dikatakan terhubung kuat strongly connected jika untuk
setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk berarah dari vertex u ke v dan walk
berarah dari vertex v ke u, dengan mengabaikan komposisi arc yang ada. Berikut ini
diberikan contoh 2-digraph yang terhubung kuat dan 2-digraph yang tidak terhubung
kuat.
Contoh 2.3.3 Representasi dari 2 buah 2-digraph.
Gambar 2.9 : (a) 2-digraph terhubung kuat ;(b) 2-digraph tidak terhubung kuat
Pada gambar di atas menunjukkan bahwa (a) adalah 2-digraph terhubung kuat
karena terdapat walk dari satu vertex ke vertex lainnya. Sedangkan (b) adalah 2digraph tidak terhubung kuat, karena tidak terdapat walk dari 1 ke 2.
Lemma 2.3.2 Andaikan D adalah suatu 2-digraph terhubung kuat maka setiap vertex
terletak pada cycle.
Bukti. Ambil sebarang vertex v di D dan sebarang arc dari vertex u ke vertex v di
D Karena terhubung kuat, maka terdapat path dari vertex v ke u dan dari vertex
u ke v, akibatnya diperoleh suatu path tertutup di D, yang dibentuk oleh arc dari
Universitas Sumatera Utara
18
vertex u ke v dan path dari vertex v ke u di D. Oleh definisi vertex v terletak pada
suatu cycle.
Suatu 2-digraph terhubung kuat D dikatakan primitif jika terdapat bilangan
bulat tak negatif h dan k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat
(h, k) − walk dari u ke v.
Andaikan komponen C = {γ1 , γ2 , · · · , γc } adalah himpunan semua cycle di D
r(γ1 ) r(γ2 ) · · · r(γc )
untuk kolom j pada
adalah matrik dengan c kolom. M =
b(γ1) b(γ2) · · · b(γc )
M adalah komposisi dari cycle γj kita definisikan sebagai < M > subgroup dari grup
bilangan bulat Z2 dibangun oleh kolom dari M.
Proposisi 2.3.1 Andaikan D adalah 2-digraph terhubung kuat, dan misalkan u dan
v adalah vertex di D dan misalkan w1 dan w2 adalah walk dari u ke v di D. maka
r(w1 )
r(w2)
−
∈< M >
b(w1)
b(w2)
Bukti: Karena D adalah 2-digraph terhubung kuat, maka terdapat walk wvu dari
w
wvu
1
v −−→ u dan
v ke u. Misalkan w1′ adalah walk tertutup yang dibentuk oleh u −→
w
wvu
2
v −−→ u. Karena untuk
misalkan w2′ adalah walk tertutup yang dibentuk oleh u −→
r(w2′ )
r(w1′ )
setiap walk tertutup dapat dikomposisi menjadi cycle, b(w′ ) , b(w′ ) ∈< M >
1
2
′
′
r(w1 )
r(w2 )
r(w1 )
r(w2 )
sehingga
−
=
−
∈< M >.
b(w1)
b(w2)
b(w1′ )
b(w2′ )
Diberikan D adalah sebuah 2-digraph dan z adalah vertex di D. Dua vertex
u dan v di D dikatakan equivalent, di u ∼2 v, bila terdapat sebuah walk wzu dari
z ke u dan sebuah walk wzv dari z ke v dengan komposisi yang sama. Dalam kasus
vertex equivalent, definisi dari equivalent vertex adalah vertex di D yang dipilih
secara bebas. Lebih lanjut, hal itu ditunjukkan oleh hubungan ∼2 adalah hubungan
equivalent dengan himpunan dari vertex di D dan partisi dari himpunan vertex di D
Universitas Sumatera Utara
19
kedalam kelas equivalent. Bilangan dari kelas equivalent k2 dari D disebut dengan
index imprimitivity dari D. Sebuah 2-digraph terhubung kuat dikatakan primitif
bila k2 = 1 dan imprimitif bila sebaliknya. Berikut ini kita berikan sebuah contoh
2-digraph primitif.
Contoh 2.3.2 Representasi 2-digraph primitif
Gambar 2.10 : 2-digraph primitif
b
Perhatikan gambar diatas, kita mulai dengan arc nomor 2. Walk 2 −
→ 3 dan
b
→ 1, adalah walk dari 2 ke 3 dan dari 2 ke 1 dengan komposisi yang sama. Sehingga
2−
b
r
b
b
b
r
→1 −
→2 →
− 3 dan 2 −
→3 −
→1 −
→ 2 adalah walk dari 2 ke 3 dan
3 ∼2 1. Walk 2 −
dari 2 ke 2. Sehingga 3 ∼2 2. Dengan sifat transitif kita peroleh 1 ∼2 2 akibatnya, D
adalah primitif. Berikut ini akan diperlihatkan hubungan antara entri matriks hasil
representasi dengan eksponen dari 2-digraph.
2.4 Matriks tak negatif & Eksponen 2-digraph
Pada subbab ini akan dibahas pengertian matriks tak negatif dan keterhubungannya dengan 2-digraph.
2.4.1 Matriks tak negatif.
Sebuah matriks dikatakan sebagai matriks tak negatif bila untuk setiap entri
matriksnya aij adalah bilangan tak negatif, sebuah matriks dikatakan sebagai matriks
positif bila untuk setiap entri matriksnya aij adalah bilangan positif. Berikut ini
Universitas Sumatera Utara
20
diberikan
"
0
0
1
contoh dari matriks tak negatif
#
"
1 0
1
0 1 , matriks tak negatif; 2
0 0
1
dan matriks positif.
#
2 1
1 1 , matriks positif
1 2
Selanjutnya akan dilihat pengertian dari eksponen dari 2-digraph dan hubungannya
dengan matriks tak negatif.
2.4.2 Eksponen digraph.
Pada digraph, eksponen dari digraph D didefinisikan sebagai bilangan bulat
terkecil k, sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v terdapat walk berarah dari
u ke v yang panjangnya k. Eksponen dari digraph D dinotasikan dengan exp(D).
Proposisi 2.4.1 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D. Entri
Akij dari Ak menyatakan banyaknya walk dari vertex vi ke vj yang panjangnya k di
digraph D
Bukti: Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D, maka setiap
entri (i, j) dari A menyatakan arc dari vertex vi ke vj di digraph D. Hal ini berakibat
untuk k = 1, maka setiap entri a1ij dari A1 menyatakan banyaknya walk dari vertex
vi ke vj yang panjangnya satu
(k)
Asumsikan setiap entri ai,j dari Ak menyatakan banyaknya walk dari vertex vi
(k+1)
ke vj yang panjangnya k di D, untuk k ≥ 1. Berikut ini diperlihatkan aij
adalah
banyaknya walk dari vertex vi ke vj yang panjangnya k + 1 di D, untuk k ≥ 1.
Perhatikan setiap walk dari vertex vi ke vj di D dengan panjang k + 1 yang
terdiri dari walk dari vi ke vl dengan panjang k untuk l = 1, 2, . . . , n. dan dilanjutkan
(k)
dengan arc dari vertex vi ke vj . Sehingga ail alj adalah menyatakan walk yang panjangnya k + 1 dari vertex vi ke vj di D untuk k = 1, 2, . . . , n. Jika tidak terdapat
Universitas Sumatera Utara
21
(k)
(k)
walk yang panjangnya k dari vertex vi ke vj di D, maka ail = 0 sehingga ail alj = 0.
Hal ini berarti tidak terdapat walk yang panjangnya k + 1 dari vertex vi ke vj yang
melalui vertex vl di D. Sehingga diperoleh banyaknya walk yang panjangnya k + 1
dari vertex vi ke vj di D adalah.
(k)
ai1 a1j
+
(k)
ai2 a2j
+ ··· +
(k)
ain anj
=
n
X
(k)
ail alj
l=1
Karena
Ak+1 = Ak A
maka
(k)
aij =
n
X
(k)
ail alj
l=1
hal ini berakibat
(k+1)
aij
adalah benar menyatakan banyaknya walk dari vertex vi ke
vj yang panjangnya k + 1 di D.
Berikut ini diberikan contoh representasi grafis digraph yang akan dicari eksponennya dengan menggunakan proposisi 2.4.1 diatas.
Contoh 2.4.1 representasi digraph dengan 3 vertex dan 5 arc.
Gambar 2.11 : Representasi digraph 3 vertex dan 7 arc
Dari representasi
"
# grafis digraph diatas didapat matriks adjacency A sebagai
0 1 0
berikut. A = 0 1 1 , dari teorema diatas untuk mencari banyak walk dari vertex
1 0 1
Universitas Sumatera Utara
22
(k)
vi ke vj dengan panjang k adalah entri dari matriks Aij dari Ak . Dengan demikian
nilai k adalah eksponen dari digraph, bila matriks Ak adalah matriks positif. Perhatikan matriks Ak untuk k :
#
0 1 0
a. k = 1; A = 0 1 1
1 0 1
bukan eksponen dari digraph pada contoh 2.4.1 diatas, karena tidak terdapat
"
walk dengan panjang satu, dari 1 ke 1, dari 1 ke 3, dari 2 ke 1 dan dari 3 ke 2
"
#
0 1 1
b. k = 2 ; A2 = 1 1 2
1 1 1
bukan eksponen dari digraph contoh 2.4.1 diatas, karena tidak terdapat walk
dengan panjang dua, dari 1 ke 1.
#
"
1 1 2
c. k = 3; A3 = 2 2 3
1 2 2
Eksponen dari digraph pada contoh 2.4.1 diatas adalah 3, karena terdapat walk
dengan panjang tiga dari tiap pasangan vertex pada digraph D.
2.4.3 2-eksponen dari 2-digraph.
Pada 2-digraph D, eksponen didefisikan sebagai bilangan bulat terkecil h + k
sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan
panjang h + k yang terdiri dari h arc merah dan k arc biru. Eksponen dari 2-digraph
D dinotasikan oleh exp2 (D).
Lemma 2.4.1 Jika (R, B) adalah matriks adjacency dari 2-digraph D. Maka entri
(i, j) dari (R, B)(h,k) adalah jumlah (h, k)-walk dari 2-digraph D
Bukti . Akan dibuktikan dengan induksi pada (h+k) dan (h+k+1), jika h = 0 maka
k = 1 atau jika h = 1 maka k = 0. Jika h = 0 maka entri (i, j) dari (R, B)(0,1) = B
Universitas Sumatera Utara
23
0
adalah walk dengan komposisi 1 di 2-digraph D. Dengan cara yang sama, jika
k = 0 maka (R, B)(1,0) = A adalah walk dengan entri (i, j) menyatakan walk dengan
1
komposisi 0 di 2-digraph D.
Andaikan lemma 2.4.1 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif h′ dan
k ′ dengan h′ + k ′ ≤ h + k akan diperlihatkan untuk h + k + 1 adalah benar, dengan
catatan sebagai berikut.
(R, B)(h+1,k) = R(R, B)(h,k) + B(R, B)(h+1,k−1)
dengan induksi entri (i, j) pada R(R, B)(h,k) adalah walk dari i ke j diikuti dengan sebuah arc merah dan diikuti oleh sebuah (h, k)-walk dari entri (i, j) pada
B(R, B)(h+1,k−1) adalah jumlah walk dari i ke j yang dimulai dengan sebuah arc
biru dan dikuti oleh sebuah (h + 1, k − 1)-walk sedemikian hingga entri (i, j) dari
(R, B)(h+1,k) adalah jumlah (h + 1, k)-walk dari i ke j
Berikut ini diberikan representasi grafis 2-digraph yang akan dicari eksponennya.
Contoh 2.4.2 Representasi 2-digraph dengan 3 vertex, 3 arc biru dan 3 arc merah
Gambar 2.12 : Representasi 2-digraph dengan 3 vertex, 3 arc biru dan 3 arc merah
Universitas Sumatera Utara
24
Dari representasi 2-digraph diatas didapat matriks adjacency sebagai berikut.
#
"
0 1 0
Matriks adjacency merah R = 0 0 0
1 1 0
dan
#
"
0 0 1
Matriks adjacency biru B = 1 0 1
0 0 0
Dari contoh 2.4.2 kita cari eksponennya, yaitu dengan melihat penjumlahan h arc
biru dan k arc merahnya, dengan cara sebagai berikut:
a. untuk h + k = 1
1. (R, B)(1,0)
2. (R, B)(0,1)
0
=R= 0
1
"
0
=B = 1
0
"
1 0
0 0
1 0
#
0 1
0 1
0 0
#
b. untuk h + k = 2
1. (R, B)(2,0)
2. (R, B)(1,1)
3. (R, B)(0,2)
"
#
0 0 0
= RR = 0 0 0
0 1 0
#
"
2 1 1
= RB + BR = 1 2 0
1 0 2
#
"
0 0 0
= BB = 0 0 1
0 0 0
c. untuk h + k = 3
1. (R, B)(3,0)
2. (R, B)(2,1)
3. (R, B)(1,2)
"
#
0 0 0
= RR2 = 0 0 0
0 0 0
1
(1,1)
2
= R(R, B)
+ BR = 0
3
"
2
= RB 2 + B(R, B)(1,1) = 3
0
"
#
3 0
1 0
3 1
#
0 3
1 3
0 1
Universitas Sumatera Utara
25
4. (R, B)(0,3)
"
#
0 0 0
= BB 2 = 0 0 0
0 0 0
d. untuk h + k = 4
1. (R, B)(4,0)
2. (R, B)(3,1)
3. (R, B)(2,2)
"
#
0 0 0
= RR3 = 0 0 0
0 0 0
#
0 1 0
= R(R, B)(2,1) + BR3 = 0 0 0
1 4 0
#
"
6 4 4
= R(R, B)(1,2) + B(R, B)(2,1) = 4 6 1
5 1 4
"
2
Untuk h + k = 4 dengan komposisi arc 2 , 2 arc merah dan 2 arc biru, terdapat walk
dari tiap pasangan vertex u dan v di 2-digraph D sehingga 2-digraph pada contoh
2
2.4.2 diatas memiliki eksponen 4 dengan komposisi arc 2 , 2 arc merah dan 2 arc
biru.
2.5 Beberapa fakta tentang 2-digraph dengan loop
Dalam subbab ini akan diperlihatkan batas atas dan batas bawah dari eksponen
2-digraph exp2 (D) dengan dua buah loop, satu dari masing-masing warna.
Teorema 2.5.1 Jika D adalah 2-digraph dengan n ≥ 2 vertex yang memuat sebuah
loop merah dan sebuah loop biru, maka exp2(D) ≤ 3n − 3
Bukti. Diberikan i dan j vertex di 2-digraph D yang saling berhubungan di D,
terdapat loop merah dan loop biru di 2-digraph D. Untuk setiap pasangan vertex
pui
pij
pjv
−
→ v, adalah walk dari u ke v.
u dan v di D, selanjutnya walk wuv , u −→ i −→ j −
Untuk pui adalah path dari u ke i, pij adalah path dari i ke j dan pjv adalah path
Universitas Sumatera Utara
26
dari j ke v. Diberikan
lr = max{r(pui )} dan lb = max{b(pui )}
u∈V
u∈V
lr′ = max{r(pjp )} dan lb′ = max{b(pjv )}
v∈V
v∈V
maka untuk setiap pasangan vertex u dan v adalah walk wuv dari u ke v dengan
r(wuv )
lr + r(pij ) + lr′
≤
lb + b(pij ) + lb′
b(wuv )
adalah kejadian loop merah dan loop biru, karena walk wuv adalah kejadian loop
merah dan loop biru, walk wuv adalah sebuah walk dari u ke v dengan komposisi
lr + r(pij ) + lr′
disekitar loop merah dan loop biru adalah bilangan hasil perkalian,
lb + b(pij ) + lb′
sedemikian hingga
lr + lb , lr′ + lb′ , r(pij ) + b(pij ) ≤ n − 1
akibatnya exp2(D) ≤ 3n − 3
Teorema 2.5.2 Jika 2-digraph D terhubung kuat dengan n vertex, sebuah loop merah
dan sebuah loop biru pada vertex yang sama maka exp2 (D) ≤ 2n − 2.
Bukti. Andaikan kedua loop berada pada vertex s, untuk 1 ≤ s ≤ n, dari setiap
pasangan vertex i dan j di 2-digraph D, didapat Pis adalah path dari i ke s dan Psj
adalah path dari s ke j, jika :
lr = max{r(pui )} dan lb = max{b(pui )}
i
i
lr′ = max{r(pjp )} dan lb′ = max{b(pjv )}
j
j
untuk setiap pasangan vertex i dan j di D didapat walk dari i ke j dimulai dari
vertex i, kemudian melalui path Pis sampai di vertex s kemudian diikuti path Psj
lr + lr′
r(wij )
≤ l + l′ karena walk wij melalui kedua loop,
sampai ke vertex j maka :
b(wij )
b
b
maka terdapat sebuah (lr + lr′ , lb + lb′ )-walk dari i ke j, sehingga exp2 (D) ≤ 2n − 2
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
2-DIGRAPH DENGAN LOOP
Pada sebuah digraph dengan n vertex terdapat pernyataan bahwa eksponen
dari digraph yang demikian dinyatakan oleh exp(D) ≤ 2n − p − 1, untuk p adalah
jumlah loop. Pada bab ini diberikan hasil utama tulisan ini, yakni 2-digraph dengan
sebuah cycle dan minimal sebuah loop dari masing-masing warna. Pada bab ini juga
akan diberikan batas atas dan bentuk umum eksponen 2-digraph dengan sebuah cycle
dan minimal sebuah loop dari masing-masing warna.
Diberikan D adalah 2-digraph terhubung kuat yang memiliki sebuah cycle dan
minimal sebuah loop dari masing-masing warna. Pada bagian ini diberikan syarat
agar 2-digraph yang memiliki eksponen tepat 2n-2.
Corollary 3.0.1 Jika D adalah 2-digraph terhubung kuat memiliki n vertex, sebuah
cycle dan sebuah loop untuk masing-masing warna, terletak pada vertex yang sama
maka exp2(D) = 2n − 2
Bukti. Dari corollary 3.1.1 didapat 2-digraph seperti berikut.
1−
→2−
→ ··· −
→s−
→ ··· −
→ (n − 1) −
→n−
→1
adalah sebuah cycle γ dengan n vertex. Andaikan h dan k adalah bilangan bulat
tak negatif, sehingga untuk setiap pasangan vertex i dan j di 2-digraph D terdapat
(h, k)-walk dari i ke j.
Universitas Sumatera Utara
28
h
Karena k -walk dari u ke u dengan panjang n, maka perlu mendapatkan
sebuah (h, k)-walk, w2,n walk dari 2 ke n dengan panjang minimal n + 1. Jika walk
w2,n tidak melalui cycle γ, maka
r(γ)
r(Pn,2 )
h
1
0
k = b(γ) − b(Pn,2 ) + c 1 + d 0
dengan c dan d adalah bilangan bulat tak negatif dan c + d > 2, dengan cara yang
sama walk ws+1,s−1 dari vertex s + 1 ke vertex s − 1 tidak melalui cycle γ, akibatnya
h
r(γ)
r(Ps−1,s+1 )
k = b(γ) − b(Ps−1,s+1 )
karena w2,n dan ws+1,s−1 tidak melalui cycle γ maka
r(γ)
r(Ps−1,s+1 )
r(γ)
r(Pn,2 )
0
1
−
=
−
+c 1 +d 0
b(γ)
b(γ)
b(Ps−1,s+1 )
b(Pn,2 )
r(Ps−1,s+1 )
r(Pn,2 )
0
1
−
= −c 1 − d 0 ,
b(Ps−1,s+1 )
b(Pn,2 )
2
−d
Karena r(ps−1,s+1 ) − r(pn,2 ) ≤ 2 dan b(ps−1,s+1 ) − b(pn,2 ) ≤ 2 akibatnya 2 ≥ −c ,
atau c + d > −4, kontradiksi dengan c + d > 2. Sehingga w2,n atau ws+1,s−1 harus
melalui cycle γ. Karena path p2,n dan path ps+1,s−1 mempunyai panjang n − 2,
T r(γ)
dan p2,n harus melalui cycle γ maka h + k ≥ 1
+ n − 2 = 2n − 2 sehingga
b(γ)
exp2 (D) ≥ 2n − 2. Dari teorema 2.5.2 didapat h + k ≤ 2n − 2 sedemikian hingga
h + k = 2n − 2. Akibatnya exp2(D) = 2n − 2
Corollary 3.1.1 menyatakan bahwa bila 2-digraph memiliki sebuah loop dari
masing-masing warna terletak pada vertex yang sama, maka eksponennya exp2(D) =
2n − 2. Berikut ini diberikan corollary yang menyatakan eksponen exp2 (D) = 2n − 1
Corollary 3.0.2 Diberikan 2-digraph D dengan n vertex terhubung kuat dan memiliki sebuah cycle, sebuah loop dari masing-masing warna dan minimal sebuah arc
Universitas Sumatera Utara
29
2
dari tiap warna, Pn,2 adalah sebuah path dengan komposisi 0 , dan ps−1,s+1 adalah
1
path dengan komposisi 1 . Jika loopnya terletak pada vertex 1 dan vertex s maka
exp2 (D) = 2n − 1.
Bukti. Dengan tidak mengurangi keumuman, didapat 2-digraph sebagai berikut
m
m
b
m
→2−
→ ··· −
→ (s − 1) −
→s−
→ (s + 1) −
→ ··· −
→n−
→1
1−
2
adalah sebuah cycle γ dan Pn,2 adalah sebuah path dengan komposisi 0 , ps−1,s+1
1
adalah sebuah path dengan komposisi 1 ,(s, s) adalah sebuah loop merah, dan (1, 1)
adalah sebuah biru. Andaikan h dan k adalah bilangan bulat tak negatif, sehingga
untuk setiap pasangan vertex i dan j di 2-digraph D terdapat (h, k)-walk dari i ke j.
Selanjutnya sebuah (h, k)-walk, w2,n walk dari 2 ke n dengan panjang minimal
n + 1. Jika walk w2,n tidak melalui cycle γ, maka
r(γ)
r(Pn,2 )
h
1
k = b(γ) − b(Pn,2 ) + c 0
dengan c adalah bilangan bulat dan c > 2 dengan cara yang sama, karena ws+1,s−1
walk dari vertex s + 1 ke vertex s − 1 tidak melalui cycle γ, maka
h
r(γ)
r(Ps−1,s+1 )
0
k = b(γ) − b(Ps−1,s+1 ) + d 1 ,
dengan d adalah bilangan bulat dan d ≥ 2. Bila w2,n dan ws+1,s−1 tidak melalui cycle
γ maka
r(Pn,2 )
1
r(γ)
0
r(Ps−1,s+1 )
r(γ)
−
+c 0
+d 1 =
−
b(γ)
b(Pn,2 )
b(Ps−1,s+1 )
b(γ)
r(Ps−1,s+1 )
1
0
r(Pn,2 )
b(Ps−1,s+1 ) − b(Pn,2 ) = −c 0 + d 1 ,
Universitas Sumatera Utara
30
−c
2
2 ≥ d , akibatnya d < 2, kontradiksi dengan d > 2. Sehingga w2,n atau ws+1,s−1
2r(γ) − 2
harus melalui cycle γ. Walk w2,n dengan komposisi
dan walk ws+1,s−1
2b(γ)
2r(γ) − 1
dengan komposisi
, dari komposisi kedua walk diatas didapat h ≥ 2r(γ)−1
2b(γ) − 1
dan k ≥ 2b(γ) akibatnya h+k ≥ 2r(γ)−1+2b(γ) = 2n−1 sehingga exp2 (D) ≥ 2n−1
Untuk menunjukkan exp2 (D) ≤ 2n − 1, maka harus ditunjukkan untuk setiap
vertex i dan j di 2-digraph D terdapat walk wi,j , dengan komposisi
2r(γ) − 1
r(wi,j )
=
2b(γ)
b(wi,j
Untuk menunjukkan komposisi walk diatas, dapat dilakukan dengan membagi dalam
empat kasus. Untuk :
a) Terdapat dua buah loop diantara vertex i dan j
Dengan tidak mengurangi keumuman pembuktian, didapat 2 − digraph sebagai
m
m
m
b
→1−
→ ··· −
→s−
→ ··· −
→ j adalah sebuah path. Karena D
berikut, i −
→ ··· −
adalah 2-digraph terhubung kuat, maka untuk setiap i dan j di 2-digraph D
h
r(pi,j )
0
+ (2r(γ) − 1) − b(pi,j ) 1 + 2b(γ) −
terdapat walk wi,j dengan k =
b(pi,j )
1
r(pi,j ) 0 sehingga h + k = 2n − 1.
b) Terdapat sebuah loop merah diantara vertex i dan j
m
b
→s→
− s+1 → ··· −
→j
Didapat 2 − digraph sebagai berikut. i −
→ ··· −
→ s−1 −
adalah sebuah path. Karena D adalah 2-digraph terhubung kuat, maka untuk
setiap i dan j di 2-digraph D terdapat (h, k)-walk. dengan
r(pj,i )
1
0
r(pi,j )
h
r(pi,j )
k = b(pi,j ) + b(pj,i ) +(r(γ)−r(pi,j )−1) 0 +(b(γ)−b(pi,j )) 1 + b(pi,j )
sehingga h + k = 2n − 1
Universitas Sumatera Utara
31
c) Terdapat sebuah loop biru diantara vertex i dan j
m
m
Didapat 2-digraph sebagai berikut. i −
→ ·