Eksponen Titik Dari Sebuah Kelas Digraph Dwiwarna Dengan Satu Loop

  BAB 1 PENDAHULUAN

  1.1 Latar Belakang Penelitian Studi mengenai eksponen dari sebuah digraph menjadi pembahasan yang lebih seder- hana setelah Wielandt (Schneider, H. 2002) mengemukakan sebuah gagasan mengenai eksponen dari suatu matriks tak negatif A. Matriks tak negatif A adalah sebuah ma- triks orde n yang setiap entri a ij = 0 atau entri a ij > 0. Matriks A disebut primitif _k jika untuk sembarang bilangan bulat positif k, A adalah positif, yaitu semua entri _k dari matriks A bernilai positif. Bilangan bulat positif terkecil k yang demikian adalah eksponen dari matriks A dan dinotasikan dengan exp(A).

  Persoalan mengenai eksponen dari sebuah digraph D biasanya diselesaikan menggunakan matriks D(A), yakni sebuah matriks tak negatif A yang bersesuaian dengan digraph D. Matriks D(A) adalah sebuah matriks orde n dengan entri a ij akan bernilai 1 jika terdapat arc dari titik v i ke titik v j pada digraph D, dan entri a ij akan bernilai 0 jika tidak terdapat arc dari titik v i ke titik v j pada digraph D. Eksponen dari digraph D sama dengan eksponen dari matrik tak negatif A yang bersesuaian den- gan digraph tersebut. Matriks yang bersesuaian dengan digraph D kemudian disebut dengan matriks adjacency.

  Sebuah digraph D disebut primitif jika terdapat bilangan bulat positif k se- hingga untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang k, nilai terkecil k yang demikian disebut dengan eksponen digraph D, dinotasikan oleh exp(D) (Brualdi dan Ryser, 1991). Wielandt kemudian menyatakan bahwa eksponen

  2

  − digraph primitif D atas n titik adalah exp(D) = n 2n + 2. Studi tentang eksponen digraph primitif yang memuat loop pertama sekali dilakukan oleh Holladay dan Varga

  (1958). Holladay dan Varga memperlihatkan jika D digraph primitif atas n titik dan memuat q loop maka exp(D) ≤ 2n − q − 1.

  Berdasarkan gagasan yang dikemukakan oleh wielandt mengenai eksponen di- graph, Brualdi dan Liu (1990) kemudian mendefinisikan konsep eksponen lokal digraph primitif sebagai berikut. Misalkan D adalah digraph primitif dan v adalah titik di

  D. Eksponen dari sebuah titik v merupakan bilangan bulat positif terkecil t sehingga terdapat walk dengan panjang t dari titik v ke semua titik yang ada di D. Eksponen dari suatu titik v dinotasikan dengan exp (v). Misalkan v , v , ..., v n adalah titik di D _D

  1

  2

  yang diurutkan sehingga exp (v _{D D D} 1 ) ≤ exp (v 2 ) ≤ · · · ≤ exp (v n ). Untuk 1 ≤ k ≤ n, exp (v k ) adalah generalisasi eksponen titik ke-k dari digraph primitif D. _D Pada tahun 1997 Fonarsini dan Valcher mendefinisikan suatu digraph dwiwarna

  (2)

  D sebagai digraph yang setiap arcnya diwarnai dengan warna merah atau warna

  (2)

  biru. Sebuah digraph dwiwarna D disebut terhubung kuat jika untuk setiap pasang

  (2)

  titik u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke u. Sebuah di-

  (2)

  graph dwiwarna terhubung kuat D disebut primitif jika terdapat bilangan bulat

  (2)

  tak negatif g dan h sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat suatu (g, h)-walk dari u ke v. Bilangan bulat positif g + h terkecil atas semua bilangan bulat

  (2)

  tak negatif g dan h yang demikian disebut eksponen dari D dan dinotasikan dengan

  (2) exp(D ) (Shader dan Suwilo, 2003).

  (2)

  Konsep eksponen dari digraph dwiwarna primitif D yang dikemukakan oleh

  (2)

  Shader dan Suwilo (2003) didasari karena digraph dwiwarna D atas n titik dapat dinyatakan dalam bentuk matriks adjacency R dan matriks adjacency B orde n. Ma- triks Adjacency R adalah sebuah matriks yang setiap entri r ij bernilai 1 jika terdapat

  (2)

  arc merah dari titik v i ke titik v j pada D , dan bernilai 0 jika tidak terdapat arc

  (2)

  merah dari titik v i ke titik v j pada D . Hal yang demikian berlaku juga terhadap matriks adjacency B, entri b ij bernilai 1 jika terdapat arc biru dari titik v i ke titik

  (2)

  v j pada D , dan bernilai 0 jika tidak terdapat arc biru dari titik v i ke titik v j pada

  (2)

  D . Sehingga permasalahan mengenai eksponen dari sebuah digraph dwiwarna sama saja dengan permasalahan memangkatkan matriks tak negatif (R, B) orde n sejumlah (g, h) kali hingga matriks tersebut menjadi matriks positif. Memangkatkan matriks (R, B) sejumlah (g, h) kali adalah permasalahan kombinatorial, dimana memilih g dan

  (g,h)

  h agar (R, B) positif. Hal tersebut dapat dilakukan dengan operasi (g, h)-matriks Hurwitz P roduct R dan B yang dapat didefinisikan secara rekurensif seperti berikut.

  (g,h) (g−1,h) (g,h−1)

  (R, B) = R(R, B) + B(R, B) bilangan positif terkecil dari g + h yang demikian sehingga entri-entri matriks (R, B)

  (2) positif, adalah eksponen dari digraph dwiwarna D .

  Gao and Shao (2009) mendefinisikan konsep eksponen lokal dari digraph dwi-

  (2) (2)

  warna primitif D sebagai berikut. Untuk sembarang titik v k di D , k = 1, 2, ..., n, ₍₂₎ eksponen titik v k , dinotasikan dengan exp (v k ), adalah bilangan bulat positif terke- _D

  (2)

  cil p + p sehingga untuk setiap titik v di D terdapat sebuah (p , p )-walk dari v k

  1

  2 ₂

  1

  2 ₂

  ke v. Untuk kemudahan, titik v

  1 ,v 2 ,...,v n dilabel sehingga exp (v _{D D} 1 ) ≤ exp (v 2 ) ≤

  · · · ≤ _{2 2} exp (v n ). Untuk 1 ≤ k ≤ n, exp (v k ) adalah generalisasi eksponen titik ke-k _{D D}

  (2) dari digraph dwiwarna D .

  1.2 Masalah Penelitian

  (2)

  Andaikan S adalah digraph dwiwarna primitif atas n ≥ 3 titik yang terdiri dari

  2

  sebuah cycle dengan panjang n dan sebuah loop di titik v . Untuk setiap titik v k ,

  1 (2) ₍₂₎

  k = 1, 2, ..., n di S , berapakah besaran nilai dari exp (v k ) ?

2 S

  ₂

  1.3 Tinjaun Pustaka Penelitian tentang eksponen digraph dwiwarna pertama sekali dilakukan oleh Shader dan Suwilo (2003). Shader dan Suwilo memperlihatkan bahwa eksponen terbesar

  (2)

  3

  2

  − digraph dwiwarna primitif D atas n titik terletak pada interval [(n 5n )/2,

  3

  2

  − (3n + 2n 2n)/2]. Kemudian pada tahun 2009 Gao dan Shao mendiskusikan ekspo- nen titik digraph dwiwarna tipe Wielandt, yakni suatu digraph Hamiltonian atas cycle

  1

  → → · · · → → → v v n v v dan arc v v dengan panjang cycle n dan n − 1. Gao

  2

  1 1 n−1 (2)

  dan Shao memperlihatkan jika digraph dwiwarna Wielandt W hanya memuat satu

  2

  → ₍₂₎ − arc biru di v a v , a = 2, 3, ..., n − 1, maka exp (v k ) = n 2n + k − a + 1. Jika

  a−1 W (2)

  2

  → → − ₍₂₎ W memuat dua arc biru di v v dan v v n maka exp (v k ) = n 2n + k

  1 n−1

  1 W _{(2) −}

  2 atau exp (v k ) = n 2n + k + 1. _W

  Berdasarkan generalisasi eksponen digraph dwiwarna yang dikemukakan oleh Shader dan Suwilo (2003) serta konsep eksponen lokal digraph dwiwarna yang dike- mukakan oleh Gao dan Shao (2009), banyak peneliti membicarakan eksponen titik dari beberapa kelas digraph dwiwarna primitif yang memuat dua cycle. Seperti Suwilo (2011) yang mendiskusikan eksponen titik digraph dwiwarna primitif ekstremal min-

  (2) (2)

  istrong D atas n titik dengan panjang cycle n − 1 dan n − 2. Jika D memuat

  (2)

  2

  2

  − − tepat satu arc biru, maka eksponen titik D berada pada [n 5n + 8, n 3n + 1]

  (2) (2)

  dan jika D memuat tepat dua arc biru, maka eksponen titik D berada pada

  2

  2

  − − [n 4n + 4, n n]. Suwilo dan Syafrianty (2012) mendiskusikan eksponen titik di-

  (2)

  graph dwiwarna primitif D atas n = 2m titik, m ≥ 5 yang memuat dua cycle dengan

  3

  2

  3

  2

  − − panjang n−1 dan n−3 berada pada interval [(n 5n +4n+4)/4, (n 5n +10n+4)/4]. Syahmarani dan Suwilo (2012) juga mendiskusikan eksponen titik digraph dwiwarna

  2

  → → · · · → → → Hamiltonian L yang terdiri dari cycle v v n v v dan arc v v _n

  1

  2

  1 1 n−2

  atas n titik ganjil dengan panjang cycle n − 2 dan n. Syahmarani dan Suwilo mem-

  (2)

  3

  2

  − perlihatkan jika exp(L n ) = (n 2n + 1)/2 maka eksponen titik digraph tersebut

  (2)

  3

  2

  3

  2

  − − − _n berada pada interval [(n 2n 3n + 4)/4, (n 2n + 3n + 6)/4] dan jika exp(L ) =

  (2)

  2

  2

  2

  − _n − − 2n 6n + 2, maka eksponen titik L berada pada interval [n 4n + 5, n 2n − 1].

  Semua hasil yang dikemukan oleh periset diatas adalah digraph dwiwarna prim- itif dengan panjang cycle lebih besar dari satu. Dengan demikian penelitian ini akan

  (2)

  menentukan generalisasi eksponen titik dari sebuah digraph dwiwarna primitif S ,

  2

  yakni sebuah digraph yang terdiri dari sebuah cycle dengan panjang n dan cycle lain- nya dengan panjang satu atau dikenal dengan istilah loop.

  1.4 Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk memperoleh generalisasi eksponen titik dari sebuah

  (2) kelas digraph dwiwarna primitif S atas n ≥ 3 titik dengan satu loop di titik v .

  1

  2

  1.5 Manfaat Penelitian Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur dibidang eksponen titik di- graph dwiwarna primitif yang memuat loop.