2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan
2-EKSPONEN DIGRAPH DWIWARNA ASIMETRIK DENGAN
DUA CYCLE YANG BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
INDRA SYAHPUTRA
040803003
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2009
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
2-EKSPONEN DIGRAPH DWIWARNA ASIMETRIK DENGAN
DUA CYCLE YANG BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana
Sains
INDRA SYAHPUTRA
040803003
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2009
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
i
PERSETUJUAN
Judul
: 2-EKSPONEN
DIGRAPH
DWIWARNA
ASIMETRIK DENGAN DUA CYCLE YANG
BERSINGGUNGAN
Kategori
: SKRIPSI
Nama
: INDRA SYAHPUTRA
Nomor Induk Mahasiswa : 040803003
Program Studi
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
: MATEMATIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA
Medan, Februari 2009
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2
Pembimbing 1
Dra. Mardiningsih, M.Si
NIP.131803344
Dr. Saib Suwilo, MSc.
NIP. 131796149
Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Dr. Saib Suwilo, MSc
NIP. 131796149
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
ii
PERNYATAAN
2-EKSPONEN DIGRAPH DWIWARNA ASIMETRIK DENGAN DUA CYCLE
YANG BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Februari 2009
INDRA SYAHPUTRA
040803003
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
iii
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan berkat dan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang
berjudul ” 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan” ini dengan baik. Skripsi ini sebagai salah satu mata
kuliah wajib yang harus diselesaikan oleh seluruh mahasiswa Fakultas MIPA Departemen Matematika.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Dr. Eddy Marlianto, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
2. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, dan Bapak Henry Rani S, M.Si selaku Ketua
dan Sekretaris Departemen Matematika di FMIPA USU Medan.
3. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku dosen pembimbing I dan Dra. Mardiningsih, M.Si selaku dosen pembimbing II yang telah memberi dukungan
moral, motivasi dan ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan
penelitian ini.
4. Seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
5. Ayahanda Surajiman dan Ibunda Masitah yang selalu memberikan dukungan moril dan materiel serta doa yang tiada hentinya kepada penulis serta
keluarga besar ayah dan ibu khususnya kepada bu idah dan tulang ucok
yang telah banyak membantu penulis dari awal kuliah hingga selesai. Dan
terima kasih juga untuk adik-adikku heri, yanti, nisa, dan irna yang telah
memberikan dukungan moril yang sangat berarti bagi penulis.
Tak lupa, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada para senior dan
juniorku di departemen matematika yang telah membantu dalam penyelesaian
skripsi ini, serta seluruh rekan-rekan math’04 seperjuangan yakni deni, darto, igun,
hemi, ija, serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas jasa-jasa mereka yang telah diberikan
kepada penulis.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu
penulis meminta saran dan kritik yang membangun dari pembaca sekalian.
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga
tulisan ini berguna bagi yang membutuhkan.
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
iv
ABSTRAK
Andaikan D adalah digraph-dwiwarna asimetrik atas n = 2m, m ≥ 4 verteks
dengan dua cycle yang memiliki satu verteks persekutuan dengan panjang masingmasing cycle m dan m + 1. Karena D adalah asimetrik maka ada dua cycle yang
panjangnya m dinotasikan dengan γ1 dan γ2 dan dua cycle yang panjang m + 1
dinotasikan dengan γ3 dan γ4 serta memiliki cycle-cycle dengan panjang 2. Bila γ1
dan γ3 masing-masing memiliki tepat satu arc biru, penelitian ini memperlihatkan
bahwa dengan menggunakan submatriks ordo 2 × 2 dengan determinan 1 dari cycle
matriks di D maka diperoleh exp2 (D) ≤ 21 (2n2 − n − 6). Tetapi berdasarkan data
empiris memperlihatkan bahwa 2-eksponen dari D dapat diperoleh menggunakan
(h, k)-walk dengan h arc merah sama dengan k arc biru. Dengan menggunakan
fakta ini maka exp2 (D) ≤ 21 (n2 + 2n).
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
v
2-EXPONENTS OF TWO-COLORED DIGRAPHS WITH TWO
CYCLES WHICH HAVE A COMMON VERTEX
ABSTRACT
Let D be a asymmetric two-colored digraph on n = 2m, m ≥ 4 vertices which
have a common vertex and the length of each cycles is m and m + 1. Since D is
asymmetric, there exists two cycles of length m are denoted by γ1 and γ2 and two
cycles of length m + 1 are denoted by γ3 and γ4 and also has cycles of length 2.
If γ1 dan γ3 have each exactly one blue arc, This research will show that usedly a
2 by 2 submatrix with determinant 1 of cycle matrix in D then obtained exp2 (D) ≤
1
(2n2 − n − 6). On emprical data show that the 2-exponents of D can be achieved
2
using (h, k)-walks with h = k. Using this fact we show that exp2 (D) ≤ 12 (n2 +2n).
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
iv
ABSTRACT
v
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR GAMBAR
vii
BAB
1. PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
Latar Belakang Penelitian
Masalah Penelitian
Tinjauan Pustaka
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
Metodologi Penelitian
2. LANDASAN TEORI
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
Primitifitas dari Digraph Terhubung Kuat
Primitifitas dari Digraph-dwiwarna Terhubung Kuat
Matriks Adjancency
Eksponen Digraph
2-Eksponen dari Digraph-dwiwarna
Beberapa Fakta Tentang Digraph-Dwiwarna Asimetrik Yang
Memuat Cycle Primitif
1
1
2
3
5
5
5
7
7
11
14
16
19
24
3. HASIL UTAMA
27
4. KESIMPULAN DAN SARAN
34
4.1. Kesimpulan
4.2. Saran
DAFTAR PUSTAKA
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
34
35
36
vii
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
2.1
Digraph dengan 5 verteks dan 6 arc
8
2.2
(a) Digraph terhubung kuat ; (b) Digraph tidak terhubung kuat
9
2.3
Digraph simetrik yang terdiri dari 6 verteks dan 12 arc
10
2.4
Digraph primitif dengan 3 verteks dan 4 arc
10
2.5
Digraph-dwiwarna dengan 3 verteks dan 4 arc
12
2.6
2-Digraph asimetrik yang terdiri dari 6 verteks dan 12 arc
13
2.7
(a) 2-Digraph terhubung kuat ; (b)2-Digraph tidak terhubung kuat 13
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian
Digraph merupakan salah satu disiplin ilmu matematika. Suatu digraph
terdiri dari titik-titik yang dihubungkan oleh garis berarah. Titik-titik tersebut
disebut verteks dari digraph dan garis berarah yang menghubungkan titik-titik
tersebut disebut arc dari digraph. Suatu digraph dikatakan terhubung kuat bila
untuk setiap pasangan verteks u dan v terdapat walk dari u ke v dan walk dari
v ke u. Suatu digraph D adalah primitif jika dan hanya jika terdapat bilangan
bulat positif k sehingga untuk setiap pasangan verteks u dan v terdapat walk dari
u ke v dengan panjang k. Bilangan bulat terkecil dari k yang demikian disebut
eksponen dari digraph yang dinotasikan exp(D).
Penelitian digraph sampai saat ini masih difokuskan pada digraph-dwiwarna.
Digraph-dwiwarna, disingkat 2-digraph adalah digraph yang arc-arcnya terdiri dari
dua warna, warna arc yang dipakai di sini adalah warna merah dan biru(Fornasini
dan Valcher, 1997). Suatu digraph-dwiwarna D adalah 2-primitif bila terdapat
bilangan bulat tak negatif h dan k sehingga untuk setiap pasangan verteks u
dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang h + k dan terdiri dari
h arc berwarna merah dan k arc berwarna biru. Bilangan bulat positif terkecil
h + k diantara semua bilangan bulat tak negatif h dan k yang demikian disebut
2-eksponen digraph dwiwarna D yang dinotasikan exp2 (D).
Riset tentang 2-eksponen dari digraph-dwiwarna dimulai oleh Shader dan
Suwilo (2003). Mereka memperlihatkan bahwa bila D adalah digraph-dwiwarna
2-primitif atas n verteks, maka 2-eksponen terbesar dari D terletak pada interval
[ 21 (n3 − 5n2 ), 32 n3 + n2 − n]. Sejak itu riset tentang 2-eksponen digraph-dwiwarna
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
2
mulai berkembang (lihat Lee dan Yang 2005, Gao dan Shao 2005, Suwilo 2005,
Shader dan Suwilo 2006).
Selanjutnya, riset pada 2-eksponen digraph-dwiwarna berkembang pada kelas digraph-dwiwarna asimetrik. Riset pada kelas digraph-dwiwarna asimetrik
telah dilakukan oleh Suwilo (2005) yang menentukan 2-eksponen dari digraph
dwiwarna komplit asimetrik. Pada tahun 2008, suwilo memperlihatkan bahwa
bila D adalah digraph-dwiwarna yang berbentuk lollipops dan asimetrik maka
exp2 (D) ≤ (s2 − 1)/2 + (s + 1)(n − s). Sehingga seperti riset yang dilakukan Goa
dan Shao (2005), Shader dan Suwilo (2006), dan Suwilo (2008) maka penelitian untuk 2-eksponen dari digraph-dwiwarna asimetrik yang terdiri dari dua cycle perlu
dilakukan. Andaikan D adalah digraph-dwiwarna asimetrik dengan dua cycle yang
bersinggungan (memiliki satu verteks persekutuan). Karena D adalah asimetrik
r(γ2 )
r(γ1 )
,
,
maka komposisi cycle-cycle dari digraph-dwiwarna tersebut adalah
b(γ1 )
b(γ2 )
1
r(γ4 )
r(γ3 )
,
, yang mana γ1 dimulai dari vm → v1 → v2 → v3 →
, dan
1
b(γ4 )
b(γ3 )
... → vm−1 → vm , γ2 dimulai dari vm → vm−1 → ... → v2 → v1 → vm , γ3 dimulai dari vm → vm+1 → vm+2 → ... → vn−1 → vn → vm , dan γ4 dimulai dari
vm → vn → vn−1 → vn−2 → ... → vm+1 → vm . Penelitian ini difokuskan untuk
mencari batas atas 2-eksponen dari digraph-dwiwarna D tersebut.
1.2 Masalah Penelitian
Masalah dalam penelitian ini adalah :
Bila digraph-dwiwarna D adalah digraph-dwiwarna asimetrik atas n = 2m, m ≥ 4
verteks dengan dua cycle yang memiliki satu verteks persekutuan dengan panjang
masing-masing cycle m dan m + 1, γ1 dan γ3 masing-masing memiliki tepat satu
arc biru. Fungsi F (n) manakah yang memenuhi sifat exp2 (D) ≤ F (n). F (n) yang
dimaksudkan pada penelitian merupakan fungsi dengan peubah bebas n dengan n
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
3
adalah banyak verteks yang dikandung oleh digraph-dwiwarna D.
1.3 Tinjauan Pustaka
Istilah-istilah baku digraph diambil dari (Brualdi dan Ryser, 1991) dan untuk
digraph-dwiwarna diambil dari (Shader dan Suwilo, 2003). Suatu digraph adalah
suatu himpunan tak kosong V = {v0 , v1 , ..., vn } yang elemen-elemennya disebut
verteks dan himpunan garis-garis berarah E yang elemen-elemennya disebut arc.
Suatu walk dengan panjang t dari sebuah digraph D yang menghubungkan verteks
u dan verteks v adalah suatu barisan arc di D dalam bentuk
u = v0 → v1 → v2 → · · · → vt−1 → vt = v.
Suatu walk dikatakan terbuka jika u 6= v dan tertutup jika u = v. Suatu path
adalah suatu walk tanpa perulangan verteks. Suatu uv-path tertutup disebut
cycle. Suatu digraph dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap pasangan dari
verteks u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan terdapat walk dari v ke u.
Pada tahun 1997, Fornasini dan Valcher melakukan riset tentang digraph
dwiwarna. Suatu digraph-dwiwarna D, disingkat 2-digraph D adalah suatu digraph D yang arc-arcnya terdiri dari dua warna, warna arc yang dipakai di sini
adalah warna merah dan biru. Suatu digraph D dikatakan simetrik bila arc dari
u ke v ada di D dan arc dari v ke u ada di D. Suatu digraph-dwiwarna dikatakan
asimetrik bila digraph-dwiwarna tersebut simetrik dan arc dari verteks u ke v
diwarnai merah jika dan hanya jika arc dari verteks v ke u di warnai biru atau
sebaliknya.
Suatu (h, k)-walk dari u ke v pada suatu 2-digraph D adalah suatu uv-walk
yang terdiri dari h arc berwarna merah dan k arc berwarna biru. Banyaknya arc
berwarna merah pada walk wuv dinotasikan r(wuv ) dan banyak arc berwarna biru
r(wuv )
disebut sebagai komposisi dari
pada walk wuv dinotasikan b(wuv ). Vektor
b(wuv )
walk wuv . Andaikan 2-digraph terhubung kuat dan misalkan {γ1 , γ2 , ..., γt } adalah
himpunan semua cycle yang berada di D. Misalkan M adalah cycle matriks dari
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
4
D yang kolom-kolomnya disusun dari cycle-cycle di D dan banyak baris diperoleh
dari banyak warna di D sehingga
r(γ1 ) r(γ2 ) · · · r(γt )
M=
b(γ1 ) b(γ2 ) . . . b(γt )
Sebuah 2-digraph D dikatakan 2-primitif jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat tak negatif h dan k sehingga untuk setiap pasangan dua verteks u dan v
di D terdapat (h, k)-walk dari u ke v dan dari v ke u. Suatu 2-digraph D dikatakan
2-primitif jika dan hanya jika content dari M yaitu pembagi persekutuan terbesar dari determinan submatriks-submatriks 2 × 2 dari M adalah 1 (Fornasini dan
Valcher, 1997).
Riset tentang 2-eksponen dari 2-digraph 2-primitif pertama kali dilakukan
oleh Shader dan Suwilo (2003). Mereka membuktikan bahwa 2-eksponen terbesar
dari digraph dwiwarna 2-primitif atas n verteks berada dalam interval [ 12 (n3 −
5n2 ), 32 n3 +n2 −n)]. Kemudian beberapa peneliti memfokuskan untuk menentukan
2-eksponen dari 2-digraph yang terdiri dari dua cycle dengan beberapa verteks
persekutuan. Pada tahun 2005, Lee dan Yang memperlihatkan bahwa 2-eksponen
dari ministrong 2-digraph dengan n − 3 verteks persekutuan berada dalam interval
[2n2 − 8n + 7, 2n2 − 5n + 3]. Di tahun 2006, Suwilo memperbaiki batas 2-eksponen
dari ministrong 2-digraph yang dibuat Lee dan Yang (2005) sehingga berada dalam
interval [2n2 − 8n + 7, 2n2 − 7n + 6]. Gao dan Shao (2005) juga memperlihatkan
bahwa 2-eksponen dari 2-digraph atas n + s, s ≥ 0, m ≥ s + 1 verteks yang terdiri
dari dua cycle yang memiliki n − m verteks persekutuan berada dalam interval
[2n2 − 3n + 1, 2n2 − 2n + 2sn − s] dan exp2 (D) = 2n2 − 4n + 1 .
Sekarang beberapa periset memfokuskan pada digraph dwiwarna asimetrik.
Suwilo (2005) memperlihatkan bahwa digraph dwiwarna komplit asimetrik atas
n verteks, 2-eksponennya berada dalam interval [2, 4] dan membuktikan untuk
setiap bilangan bulat k, 2 6 k 6 4, ada suatu digraph dwiwarna komplit asimetrik
yang 2-eksponennya tepat k. Suatu digraph dikatakan komplit jika untuk setiap
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
5
verteks u dan v yang berbeda arc (u, v) dan arc (v, u) berada di D. Dan suatu
digraph-dwiwarna komplit asimetrik adalah digraph-dwiwarna komplit sedemikian
hingga arc dari verteks u ke v diwarnai merah jika dan hanya jika arc dari verteks
v ke u di warnai biru atau sebaliknya. Pada tahun 2008, Suwilo memperlihatkan
bahwa bila D adalah digraph-dwiwarna yang berbentuk lollipops dan asimetrik
maka batas atas 2-eksponen D adalah exp2 (D) ≤ (s2 − 1)/2 + (s + 1)(n − s).
1.4 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mencari batas atas F (n) dari 2-eksponen
digraph-dwiwarna asimetrik D atas n = 2m, m ≥ 4 verteks dengan dua cycle
yang memiliki satu verteks persekutuan dengan panjang masing-masing cycle m
dan m + 1, γ1 dan γ3 masing-masing memiliki tepat satu arc biru sehingga diperoleh exp2 (D) ≤ F (n). F (n) yang dimaksudkan pada penelitian merupakan fungsi
dengan peubah bebas n dengan n adalah banyak verteks yang dikandung oleh
digraph-dwiwarna asimetrik D.
1.5 Manfaat Penelitian
Penelitian ini memberikan teori baru tentang 2-eksponen digraph-dwiwarna
asimetrik dengan dua cycle yang bersinggungan.
1.6 Metodologi Penelitian
Penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan. Untuk mencari batas atas
2-eksponen dari digraph-dwiwarna asimetrik atas n = 2m, m ≥ 4 verteks dengan
dua cycle yang memiliki satu verteks persekutuan yang panjang masing-masing
cycle m dan m+1, γ1 dan γ3 masing-masing memiliki tepat satu arc biru dilakukan
dengan pendekatan sebagai berikut :
1. Permasalahan pada masalah penelitian diselesaikan dengan menggunakan
teknik yang dikembangkan oleh Shader dan Suwilo (2003), yakni dengan
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
6
persamaan
h
k
=
r(puv )
b(puv )
+ Mx
dengan M adalah cycle matriks berordo 2 × t yang kolom-kolomnya berben
1
q
s
, dan x adalah vektor yang komponen-komponennya bilan,
,
tuk
1
s
q
gan bulat tak negatif dan memperhatikan beberapa hal berikut ini :
a. Faktanya bahwa dalam digraph-dwiwarna asimetrik D atas n = 2m,
m ≥ 4 verteks dengan dua cycle yang memiliki satu verteks persekutuan yang panjang masing-masing cycle m dan m + 1, γ1 dan γ3 masingmasing memiliki tepat satu arc biru terdapat submatrik dari cycle matrik M di digraph-dwiwarna asimetrik tersebut yang memiliki determinan 1. Sehingga, (h, k)-walk untuk setiap pasangan verteks u dan v di
D dapat diperoleh dari path dari u ke v dan komposisi cycle-cycle di
submatriks tersebut.
b. Shader dan Suwilo (2006) memberikan suatu pendefenisian untuk digunakan dalam menentukan 2-eksponen digraph dwiwarna yang terdiri
dari dua cycle, yaitu:
′
ℓr = max {b(γ2 )r(puv ) − r(γ2 )b(puv )},
u,v∈V
′
ℓb = max {r(γ1 )b(puv ) − b(γ1 )r(puv )}.
u,v∈V
dengan V adalah himpunan verteks di D.
2. Berdasarkan data empiris hasil simulasi memperlihatkan bahwa 2-eksponen
dari digraph-dwiwarna asimetrik atas n = 2m, m ≥ 4 verteks dengan dua
cycle bersinggungan yang panjang masing-masing cycle m dan m + 1, γ1
dan γ3 masing-masing memiliki tepat satu arc biru, dapat diperoleh menggunakan (h, k)-walk dengan h arc merah sama dengan k arc biru. Dengan
menggunakan teknik yang digunakan pada pembuktian menentukan batas
atas 2-eksponen dari (n, s)-lollipop dwiwarna primitif asimetrik didapatkan
2-eksponen dari digraph-dwiwarna asimetrik tersebut yang lebih baik.
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
BAB 2
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dipaparkan mengenai materi-materi yang berhubungan
dan mendukung dalam penelitian 2-eksponen digraph-dwiwarna asimetrik dengan
dua cycle yang bersinggungan. Materi tersebut mencakup pengertian dari digraph,
digraph-dwiwarna dan digraph-dwiwarna asimetrik, contoh digraph-dwiwarna dan
digraph-dwiwarna asimetrik, pengertian 2-eksponen dari digraph dwiwarna, faktafakta tentang 2-eksponen digraph-dwiwarna asimetrik 2-primitif. Dengan demikian,
akan mempermudah dalam hal pembahasan hasil utama pada bab berikutnya.
2.1 Primitifitas dari Digraph Terhubung Kuat
Pada bagian ini akan dijelaskan tentang pengertian digraph, digraph terhubung kuat dan digraph terhubung kuat yang 2-primitif.
2.1.1 Digraph.
Suatu graph berarah D atau yang disingkat digraph D adalah sebuah objek matematika yang terdiri dari suatu himpunan tak kosong V = {v0 , v1 , v2 , · ·
·, vn } dengan elemen-elemennya disebut verteks dan himpunan garis berarah yang
menghubungkan verteks-verteks tersebut dengan elemen-elemennya disebut arc.
Suatu arc yang menghubungkan verteks u ke verteks v di digraph D dinotasikan
dengan (u, v). u disebut verteks awal dan v disebut verteks akhir.
Suatu digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara setiap verteks
direpresentasikan sebagai sebuah titik dan setiap arc (u, v) direpresentasikan sebagai garis lurus berarah atau kurva berarah dari titik u ke v.
Contoh 2.1 Andaikan digraph D merupakan himpunan verteks V ={v0 , v1 , v2 , v3 , v4 }
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
8
dan himpunan arc
E = {(v0 , v1 ), (v1 , v2 ), (v2 , v3 ), (v3 , v4 ), (v1 , v4 ), (v4 , v0 )}.
Representasi grafis dari digraph D diperlihatkan oleh Gambar 2.1
vt 1
vt 0
R
6
tv2
v4 t
I
t
v3
Gambar 2.1 : Digraph dengan 5 verteks dan 6 arc
Suatu walk dari u ke v dengan panjang t adalah barisan arc dalam bentuk
u = v0 → v1 → v2 → · · · → vt−1 → vt = v.
atau
(u = v0 , v1 ), (v1 , v2 ), · · ·, (vt−1 , vt = v).
Suatu walk dari u ke v dinotasikan dengan uv-walk atau wuv . Suatu walk dikatakan
terbuka jika u 6= v dan tertutup bila sebaliknya. Suatu uv-path adalah suatu uvwalk tanpa perulangan verteks kecuali mungkin u = v. Suatu uv-path tertutup
disebut cycle.
Berdasarkan Gambar 2.1 di atas, berikut ini akan diperlihatkan contoh dari
walk, path, dan cycle :
a. Barisan v0 → v1 → v2 → v3 → v4 → v0 → v1 adalah suatu walk terbuka
tetapi bukan path karena ada verteks yang berulang.
b. Barisan v0 → v1 → v2 → v3 adalah suatu path karena tidak ada verteks
yang berulang.
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
9
c. Barisan v0 → v1 → v4 → v0 adalah sebuah cycle.
Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat (strongly connected ) jika untuk
setiap pasangan verteks u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke
u. Berikut ini diberikan contoh dari digraph terhubung kuat dan tidak terhubung
kuat.
vt 2v1 t
6
t
v8@
@
vt 3
@
@
R
@
@tv4
?
tv5
@
I
@t
v7
t
(a)
vt 2
v1 t
6
t
v8 @
@
@
I
@t
v6
v7
vt 3
@
@
R
@
@tv4
?
tv5
t
(b)
v6
Gambar 2.2 : (a) Digraph terhubung kuat ; (b) Digraph tidak terhubung kuat
Lemma berikut ini akan menjamin bahwa setiap verteks di digraph D terletak
pada suatu cycle bila digraph D terhubung kuat.
Lemma 2.1 Andaikan D adalah suatu digraph terhubung kuat, maka setiap verteks
di D terletak pada suatu cycle.
Bukti. Ambil sebarang verteks u dan sebarang arc dari verteks u ke verteks v di
D. Karena D terhubung kuat, maka terdapat path dari verteks u ke v dan dari
verteks v ke u, yang berakibat diperoleh suatu path tertutup di D yang dibentuk
oleh arc dari verteks u ke v dan path dari verteks v ke u di D. Oleh definisi, path
tertutup adalah suatu cycle dan u sebarang verteks di D, maka setiap verteks u
di D terletak pada suatu cycle.
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
10
Suatu digraph D dikatakan simetrik bila arc dari u ke v ada di D dan arc
dari v ke u ada di D. Berikut ini akan diberikan satu contoh digraph simetrik :
vt 2
R
I
R
t
v1 t
I
v6
t v4
v3
t
@
@
R
@
I @t v 5
Gambar 2.3 : Digraph simetrik yang terdiri dari 6 verteks dan 12 arc
2.1.2 Digraph Primitif.
Suatu digraph terhubung kuat(strongly connected ) D dikatakan primitif bila
terdapat suatu bilangan bulat positif k sehingga untuk setiap pasangan verteks
u dan v di D terdapat uv-walk dan vu-walk yang panjangnya k. Bilangan bulat
positif k terkecil yang demikian disebut sebagai eksponen dari D dan dinotasikan
dengan exp(D). Suatu digraph terhubung kuat D adalah primitif jika dan hanya
jika pembagi persekutuan terbesar (greatest common divisor atau disingkat gcd)
dari panjang-panjang cycle di D adalah 1 (Brualdi dan Ryser, 1991).
Andaikan himpunan C = {γ1 ,γ2 ,...,γt } adalah himpunan semua cycle di D.
Maka panjang dari cycle-cycle yang ada digraph D dinotasikan dengan ℓ(γi ) dimana i = 1, 2, · · ·, t. Berikut ini diberikan contoh dari digraph primitif
v1 t
vt 2
@
@ I
@
@
R
@
@t v 3
Gambar 2.4 : Digraph primitif dengan 3 verteks dan 4 arc
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
11
Dari Gambar 2.4 diperoleh dua cycle. Cycle pertama γ1 diperoleh dari v1 →
v2 → v3 → v1 dengan panjang ℓ(γ1 ) = 3 dan cycle kedua γ2 diperoleh dari v2 →
v3 → v2 dengan panjang ℓ(γ2 ) = 2 sehingga gcd(3, 2) = 1. Jadi digraph D tersebut
adalah primitif.
2.2 Primitifitas dari Digraph-dwiwarna Terhubung Kuat
Pada bagian ini akan dijelaskan tentang pengertian digraph-dwiwarna, digraphdwiwarna terhubung kuat dan digraph-dwiwarna terhubung kuat yang primitif.
2.2.1 Digraph-dwiwarna.
Suatu digraph-dwiwarna D, disingkat 2-digraph D adalah digraph D yang
arc-arcnya terdiri dari dua warna, warna arc yang dipakai di sini adalah warna
merah atau biru.
Suatu 2-digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara sebagai
berikut :
1. setiap verteks direpresentasikan sebagai suatu titik.
2. setiap arc merah dalam digraph dwiwarna direpresentasikan sebagai garis
berarah tak putus
3. setiap arc biru dalam digraph dwiwarna direpresentasikan sebagai garis
putus-putus berarah.
Contoh 2.2 Himpunan verteks V = {v1 , v2 , v3 , v4 } bersama dengan himpunan
arc merah R = {(v1 , v2 ), (v3 , v1 ), (v3 , v2 )} dan arc biru B = {(v2 , v3 )} adalah suatu
digraph dwiwarna dengan 3 verteks, 3 arc merah dan 1 arc biru.
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
12
Representasi grafis dari digraph-dwiwarna dari Contoh 2.2 adalah sebagai berikut:
vt 2
@
@ I
R
@
@
v1 t
@tv3
Gambar 2.5 : Digraph-dwiwarna dengan 3 verteks dan 4 arc
Suatu (h, k)-walk dari u ke v pada suatu 2-digraph D adalah suatu uv-walk
yang terdiri dari h arc berwarna merah dan k arc berwarna biru. Banyaknya
arc berwarna merah pada walk wuv dinotasikan dengan r(wuv ) dan banyak arc
r(wuv )
disebut komposisi dari
berwarna biru dinotasikan dengan b(wuv ). Vektor
b(wuv )
walk wuv . Suatu uv-path adalah suatu uv-walk tanpa perulangan verteks kecuali mungkin u = v. Banyaknya arc berwarna merah pada path puv dinotasikan
dengan r(puv ) dan banyak arc berwarna biru dinotasikan dengan b(puv ). Vektor
r(puv )
disebut komposisi dari path puv . Suatu uv-path tertutup disebut cycle.
b(puv )
Dari Gambar 2.5 dapat ditemukan beberapa walk, path, dan cycle, antara
lain :
3
1. Barisan v1 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v1 −
→ v2 adalah suatu walk dengan komposisi
1
1
r
b
2. Barisan v1 −
→ v2 −
→ v3 adalah sebuah path dengan komposisi
1
2
r
b
r
3. Barisan v1 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v1 adalah sebuah cycle dengan komposisi
1
r
b
r
r
Suatu digraph-dwiwarna dikatakan asimetrik jika digraph tersebut simetrik
dan arc dari verteks u ke v diwarnai merah jika dan hanya jika arc dari verteks
v ke u di warnai biru atau sebaliknya. Berikut ini diberikan sebuah contoh dari
digraph-dwiwarna asimetrik.
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
13
vt 2
v1 t
@
@
@
I
R
t v4
@R
@
@
I v3
@
@t
@
@
@
@
I
R
@
@
@t
@t v 5
v6
Gambar 2.6 : 2-Digraph asimetrik yang terdiri dari 6 verteks dan 12 arc
2.2.2 Digraph-dwiwarna 2-Primitif.
Suatu digraph-dwiwarna dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika
digraphnya terhubung kuat. Berikut ini diberikan contoh dari digraph-dwiwarna
terhubung kuat dan tidak terhubung kuat.
vt 3
vt 2v1 t
vt 2 -
@
R
@
@
@tv4
6
t
v8@
@
@
I
@t
?
tv5
v7
(a)
t
v6
v1 t
6
t
v8 @
@
@
I
@t
v7
vt 3
@
@
R
@
@tv4
?
tv5
(b)
t
v6
Gambar 2.7 : (a) 2-Digraph terhubung kuat ; (b)2-Digraph tidak terhubung kuat
Sebuah digraph-dwiwarna D dikatakan 2-primitif jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat tak negatif h dan k sehingga untuk setiap pasangan dua verteks
u dan v di D terdapat (h, k)-walk dari u ke v dan dari v ke u. Andaikan D adalah
digraph-dwiwarna terhubung kuat dan andaikan C = {γ1 , γ2 , · · ·, γt } merupakan
himpunan semua cycle di D. Misalkan M adalah cycle matriks dari D yang kolomkolomnya disusun dari cycle-cycle di D dan banyak baris diperoleh dari banyak
warna arc di D sehingga
r(γ1 ) r(γ2 ) ... r(γt )
.
M=
b(γ1 ) b(γ2 ) ... b(γt )
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
14
Suatu digraph-dwiwarna D dikatakan primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan submatriks-submatriks 2 × 2 dari cycle matriks M
di D adalah 1 (Fornasini dan Valcher, 1997).
Contoh 2.3 Dari Gambar 2.5 dapat diperoleh cycle matriks dari digraph-dwiwarna
tersebut, yaitu :
2 1
M=
1 1
karena det(M )=1 maka digraph-dwiwarna tersebut 2-primitif.
2.3 Matriks Adjancency
Pada subbab ini akan dibahas hubungan antara digraph, digraph-dwiwarna
dengan matriks tak negatif.
2.3.1 Matriks tak negatif.
Suatu matriks bujursangkar A ordo n, A = (aij ) dikatakan sebagai matriks
tak negatif jika aij ≥ 0 untuk setiap i, j = 1, 2, ..., n dan dinotasikan dengan A
≥ 0. Apabila aij > 0 untuk setiap i, j = 1, 2, ..., n maka matriks A tersebut
dikatakan matriks positif.
Contoh 2.4 Matriks tak negatif dan matriks positif.
0 2
adalah matriks tak negatif.
Matriks A =
0 5
1 2
adalah matriks positif.
Matriks B =
3 1
2.3.2 Matriks Adjancency dari Digraph.
Andaikan V = {v1 , v2 , ..., vn−1 , vn } merupakan himpunan verteks di digraph
D atas n verteks. Sebuah digraph D atas n verteks dapat dituliskan ke dalam
matriks adjacency. Matriks adjacency adalah sebuah matriks bujursangkar A ordo
n, A=(aij ) dengan entri aij sebagai
1, jika (vi , vj ) merupakan arc di D
aij =
0, jika sebaliknya.
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
15
dimana i, j = 1, 2, 3, ..., n.
Berikut ini akan diberikan contoh matriks adjacency dari sebuah representasi digraph.
Contoh 2.5 Dari Gambar 2.1 dapat diperoleh
0 1 0 0
0 0 1 0
A=
0 0 0 1
0 0 0 0
1 0 0 0
2.3.3
matriks adjacencynya yaitu :
0
1
0
1
0
Matriks Adjacency Digraph-dwiwarna.
Andaikan D adalah sebuah digraph-dwiwarna atas n verteks. Misalkan V =
{v1 , v2 , ..., vn−1 , vn } merupakan himpunan verteks di digraph dwiwarna D. Matriks
adjacency merah dari D adalah sebuah matriks bujursangkar R ordo n, R = (rij )
dengan entri rij sebagai
1 , jika (vi , vj ) adalah arc merah di D
rij =
0 , jika sebaliknya.
dimana i, j = 1, 2, 3, ..., n.
Matriks adjacency biru dari D adalah sebuah matriks bujursangkar B ordo n,
B = (bij ) dengan entri bij sebagai
1 , jika (vi , vj ) adalah arc biru di D
bij =
0 , jika sebaliknya.
dimana i, j = 1, 2, 3, ..., n.
Berikut ini akan diberikan sebuah digraph-dwiwarna yang direpresentasikan ke
dalam matriks adjacency.
Contoh 2.6 Dari Gambar 2.5 dapat diperoleh matriks adjacencynya yaitu :
0 1 0
Matriks R = 0 0 0 adalah matriks adjacency merah ;
1 1 0
0 0 0
Matriks B = 0 0 1 adalah matriks adjacency biru.
0 0 0
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
16
Untuk sebarang matriks tak negatif R dan B dan bilangan bulat tak negatif h
dan k, suatu (h, k)-Hurwitz product dari R dan B dapat didefinisikan secara rekursif sebagai berikut. Definisikan (R, B)(h,0) = Rh , (R, B)(0,k) = B k dan (R, B)(h,k) =
R(R, B)(h−1,k) + B(R, B)(h,k−1) untuk h, k ≥ 1. Sebagai contoh, (R, B)(4,0) = R4 ,
(R, B)(0,5) = B 5 dan (R, B)(2,2) = R2 B 2 +RBRB+RB 2 R+BR2 B+BRBR+B 2 R2 .
2.4 Eksponen Digraph
Pada bagian digraph primitif, sudah dijelaskan bahwa suatu digraph D terhubung kuat dikatakan primitif bila terdapat suatu bilangan bulat positif k sehingga untuk setiap pasangan verteks u dan v di D terdapat uv-walk dan vu-walk
yang panjangnya k. Bilangan bulat terkecil dari semua k tersebut dikatakan sebagai eksponen digraph D. Eksponen dari digraph D dinotasikan dengan exp(D).
Contoh 2.7 Dari Gambar 2.4 akan diperlihatkan eksponen dari digraph tersebut
adalah 5 :
1. Walk dengan panjang 1, yaitu :
v1 → v2
v2 → v3
v3 → v2
v3 → v1
Karena tidak ada walk dengan panjang 1 dari v1 ke v1 maka walk dengan
panjang 1 bukan eksponen dari digraph tersebut.
2. Walk dengan panjang 2, yaitu :
v1 → v2 → v3
v3 → v1 → v2
v2 → v3 → v1
v2 → v3 → v2
v3 → v2 → v3
Karena tidak ada walk dengan panjang 2 dari v1 ke v1 maka walk dengan
panjang 2 bukan eksponen dari digraph tersebut.
3. Walk dengan panjang 3, yaitu :
v1 → v2 → v3 → v1
v2 → v3 → v1 → v2
v3 → v2 → v3 → v2
v1 → v2 → v3 → v2
v2 → v3 → v2 → v3
v3 → v1 → v2 → v3
v3 → v2 → v3 → v1
Karena tidak ada walk dengan panjang 3 dari v1 ke v3 maka walk dengan
panjang 3 bukan eksponen dari digraph tersebut.
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
17
4. Walk dengan panjang 4, yaitu :
v1
v2
v2
v3
→ v2
→ v3
→ v3
→ v1
→ v3
→ v2
→ v1
→ v2
→ v1
→ v3
→ v2
→ v3
→ v2
→ v1
→ v3
→ v2
v1
v2
v3
v3
→ v2
→ v3
→ v1
→ v2
→ v3
→ v2
→ v2
→ v3
→ v2
→ v3
→ v3
→ v2
→ v3
→ v2
→ v1
→ v3
Karena tidak ada walk dengan panjang 4 dari v1 ke v1 maka walk dengan
panjang 4 bukan eksponen dari digraph tersebut.
5. Walk dengan panjang 5, yaitu :
v1
v1
v1
v3
v3
→ v2
→ v2
→ v2
→ v1
→ v2
→ v3
→ v3
→ v3
→ v2
→ v3
→ v2
→ v2
→ v1
→ v3
→ v2
→ v3
→ v3
→ v2
→ v1
→ v3
→ v1
→ v2
→ v3
→ v2
→ v1
v2
v2
v2
v3
→ v3
→ v3
→ v3
→ v1
→ v2
→ v1
→ v1
→ v2
→ v3
→ v2
→ v2
→ v3
→ v2
→ v3
→ v3
→ v2
→ v3
→ v2
→ v1
→ v3
Karena walk dengan panjang 5 merupakan panjang terkecil yang dapat diperoleh untuk setiap pasangan verteks u dan v di digraph tersebut maka eksponen dari digraph tersebut adalah 5.
Pada tahun 1991, Brualdi dan Ryser menyatakan bahwa entri (i, j) dari Ak
merupakan banyaknya walk dari verteks vi ke vj yang panjangnya k di digraph D.
Proposisi 2.2 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D. Entri
(i, j) dari Ak menyatakan banyaknya walk dari verteks vi ke vj yang panjangnya
k di D.
Bukti Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D, maka setiap
entri (i, j) dari A menyatakan arc dari verteks vi ke vj di digraph D. Hal ini
berakibat untuk k = 1, maka setiap entri a1ij dari A1 menyatakan banyaknya walk
dari verteks vi ke vj yang panjangnya satu.
Asumsikan setiap entri akij dari Ak menyatakan banyaknya walk dari verteks
vi ke verteks vj yang panjangnya k di D, untuk k ≥ 1 adalah benar. Berikut ini
diperlihatkan ak+1
adalah banyaknya walk dari vi ke vj yang panjangnya k + 1 di
ij
D, untuk k ≥ 1 adalah benar.
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
18
Asumsikan entri (i, j) dari Ak+1 adalah banyaknya walk dari vi ke vj yang
panjangnya k + 1 di D, untuk k ≥ 1. Misalkan entri (i, j) dari Ak+1 dinotasikan
ak+1
ij . Perhatikan setiap walk dari verteks vi ke verteks vj di D dengan panjang
k + 1 yang terdiri dari walk vi ke vℓ dengan panjang k untuk ℓ = 1, 2, ..., n dan
dilanjutkan dengan arc dari verteks vℓ ke vj , sehingga akiℓ aℓj adalah walk yang
panjangnya k+1 dari verteks vi ke vj di D untuk k = 1, 2, ..., n. Sehingga diperoleh
banyaknya walk yang panjangnya k + 1 dari verteks vi ke verteks vj di D adalah :
aki1 a1j
+
aki2 a2j
+ .... +
akin anj
=
n
X
akiℓ aℓj
ℓ=1
karena
Ak+1 = Ak A
maka
ak+1
ij
=
n
X
akiℓ aℓj
ℓ=1
Hal ini berakibat
ak+1
ij
adalah benar menyatakan banyaknya walk dari verteks vi
ke vj yang panjangnya k + 1 di D. Jadi, entri (i, j) dari Ak adalah banyaknya walk
yang panjangnya k dari vi ke vj .
Berikut ini diberikan suatu contoh representasi grafis digraph yang akan
dicari eksponennya dengan menggunakan Proposisi. 2.2 diatas.
Contoh 2.8 Dari Gambar 2.4 dapat diperoleh matriks adjacencynya sebagai
berikut:
0 1 0
A = 0 0 1
1 1 0
Dari Proposisi 2.4 untuk mencari banyak walk dari verteks vi ke vj dengan panjang k adalah entri (i, j) dari Ak . Dengan demikian nilai k terkecil yang
menghasilkan matriks positif adalah eksponen dari digraph. Perhatikan matriks
Ak :
0 1 0
1. Untuk k = 1; diperoleh A = 0 0 1, maka bukan merupakan eksponen
1 1 0
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
19
dari digraph karena tidak terdapat walk dengan panjang satu dari v1 ke v1 ,
dari v1 ke v3 , dari v2 ke v1 , dari v2 ke v2 , dan dari v3 ke v3 .
0 0 1
2. Untuk k = 2; diperoleh A2 = 1 1 0, maka bukan merupakan eksponen
0 1 1
dari digraph karena tidak terdapat walk dengan panjang dua dari v1 ke v1 ,
dari v1 ke v2 , dari v2 ke v3 , dan dari v3 ke v1 .
1 1 0
3. Untuk k = 3; diperoleh A3 = 0 1 1, maka bukan merupakan eksponen
1 1 1
dari digraph karena tidak terdapat walk dengan panjang tiga dari v1 ke v3 ,
dan dari v2 ke v1 .
0 1 1
4. Untuk k = 4; diperoleh A4 = 1 1 1, maka bukan merupakan eksponen
1 2 1
dari digraph karena tidak terdapat walk dengan panjang empat dari v1 ke
v1 .
1 1 1
5. Untuk k = 5; diperoleh A5 = 1 2 1, karena untuk setiap pasangan
1 2 2
verteks di digraph tersebut terdapat walk dengan panjang lima maka eksponen dari digraph digraph tersebut adalah 5.
2.5 2-Eksponen dari Digraph-dwiwarna
Pada bagian digraph-dwiwarna 2-primitif, sudah dijelaskan bahwa suatu digraph dwiwarna D terhubung kuat dikatakan 2-primitif jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat tak negatif h dan k sehingga untuk setiap pasangan dua verteks
u dan v di D terdapat (h, k)-walk dari u ke v dan dari v ke u. Bilangan bulat
positif terkecil dari semua h + k dikatakan sebagai 2-eksponen digraph-dwiwarna
D. 2-Eksponen dari digraph D dinotasikan dengan exp2 (D).
Contoh 2.9 Dari Gambar 2.5 dapat diperoleh bahwa untuk setiap pasang verteks
u dan v dalam digraph-dwiwarna tersebut terdapat walk terpendek yang panjangnya sama yaitu:
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
20
r
b
r
b
r
b
r
b
r
r
b
r
b
r
r
b
r
b
r
b
r
b
r
r
b
r
b
r
r
b
r
r
b
r
b
b
r
r
b
r
r
b
r
b
r
b
r
b
r
r
b
r
b
r
b
r
r
r
b
r
b
r
b
v1 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v1
v2 −
→ v3 −
→ v1 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v1
v1 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2
v2 −
→ v3 −
→ v1 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2
v1 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v1 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3
v2 −
→ v3 −
→ v1 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v1 −
→ v2 −
→ v3
v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v1
v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2
v3 −
→ v1 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3
Contoh 2.10 menjamin bahwa untuk setiap pasangan verteks u dan v di digraphdwiwarna tersebut, walk terpendek yang dapat diperoleh digraph dwiwarna terse
4
sehingga 2-eksponen dari digraph-dwiwarna
but adalah 7 dengan komposisi
3
4
tersebut adalah 7 dengan komposisi
. Berikut ini akan ditunjukkan hubungan
3
2-eksponen digraph-dwiwarna dengan matrik tak negatif.
Lemma 2.3 Andaikan D adalah sebuah digraph-dwiwarna atas n verteks dan misalkan R dan B masing-masing adalah matriks adjacency merah dan biru dari digraph dwiwarna D. Maka entri (i, j) dari (R, B)(h,k) adalah banyaknya (h, k)-walk
dari verteks vi ke verteks vj .
Bukti. Akan dibuktikan dengan induksi pada (h + k) dan (h + k + 1), jika h = 0
maka k = 1 atau jika h = 1 maka k = 0. jika h = 0 maka entri (i, j) dari
0
di digraph-dwiwarna D. Den(R, B)(0,1) = B adalah walk dengan komposisi
1
gan cara yang sama, jika k = 0 maka (R, B)(1,0) = R adalah walk dengan entri
1
(i, j) menyatakan walk dengan komposisi
di digraph-dwiwarna D.
0
′
Andaikan Lemma 2.3 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif h dan
′
′
′
k dengan h + k ≤ h + k akan diperlihatkan untuk h + k + 1 adalah benar dengan
catatan sebagai berikut.
(R, B)(h+1,k) = R(R, B)(h,k) + B(R, B)(h+1,k−1)
Oleh hipotesis induksi, entri(i, j) pada R(R, B)(h,k) adalah walk dari vi ke vj
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
21
yang dimulai dengan arc merah dan diikuti oleh (h, k)-walk, dan entri (i, j) pada
B(R, B)(h+1,k−1) adalah walk dari vi ke vj yang dimulai dengan arc biru dan diikuti
oleh (h + 1, k − 1) − walk sedemikian hingga entri (i, j) dari (R, B)(h+1,k) adalah
jumlah (h + 1, k)-walk dari vi ke vj . Jadi, entri (i, j) dari (R, B)(h,k) adalah jumlah
(h, k)-walk dari verteks vi ke verteks vj .
Berikut ini diberikan representasi grafis digraph-dwiwarna yang akan diberikan
2-eksponennya.
Contoh 2.10 Dari Gambar 2.5 dapat diperoleh matriks adjacencynya sebagai
berikut:
0
Matriks R = 0
1
0
Matriks B = 0
0
1 0
0 0 adalah matriks adjacency merah.
1 0
0 0
0 1 adalah matriks adjacency biru.
0 0
Dari Contoh 2.10 kita cari 2-eksponennya, yaitu dengan melihat penjumlahan
h arc biru dan k arc merahnya, dengan cara sebagai berikut:
a. Untuk h + k = 1
0 1 0
1. (R, B)(1,0) = R = 0 0 0, bukan merupakan 2-eksponen dari digraph1 1 0
dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk dengan panjang 1 dengan
1
dari v1 ke v1 , v1 ke v3 , v2 ke v1 , v2 ke v2 , v2 ke v3 , dan v3
komposisi
0
ke v3 .
0 0 0
2. (R, B)(0,1) = B =0 0 1, bukan merupakan 2-eksponen dari digraph0 0 0
dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk dengan panjang 1 dengan
0
dari v1 ke v1 , v1 ke v2 , v1 ke v3 , v2 ke v1 , v2 ke v2 , v3 ke
komposisi
1
v1 , v3 ke v2 , dan v3 ke v3 .
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
22
b. Untuk h + k = 2
0 0 0
1. (R, B)(2,0) = R2 = 0 0 0, bukan merupakan 2-eksponen dari di0 1 0
graph dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk dengan panjang 2
2
dari v1 ke v1 , v1 ke v2 , v1 ke v3 , v2 ke v1 , v2 ke
dengan komposisi
0
v2 , v2 ke v3 , v3 ke v1 dan v3 ke v3 .
0 0 1
2. (R, B)(1,1) = RB+BR = 1 1 0, bukan merupakan 2-eksponen dari
0 0 1
digraph-dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk dengan panjang
1
dari v1 ke v1 , v1 ke v2 , v2 ke v3 , v3 ke v1 , dan
2 dengan komposisi
1
v3 ke v2 .
0 0 0
3. (R, B)(0,2) = B 2 = 0 0 0, bukan merupakan 2-eksponen dari di0 0 0
graph dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk dengan panjang 2
0
dari v1 ke v1 , v1 ke v2 , v1 ke v3 , v2 ke v1 , v2 ke
dengan komposisi
2
v2 , v2 ke v3 , v3 ke v1 , v3 ke v2 , dan v3 ke v3 .
c. Untuk h + k = 3
0 0 0
1. (R, B)(3,0) = R3 = 0 0 0, bukan merupakan 2-eksponen dari di0 0 0
graph dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk dengan panjang 3
3
dengan komposisi
dari v1 ke v1 , v1 ke v2 , v1 ke v3 , v2 ke v1 , v2 ke
0
v2 , v2 ke v3 , v3 ke v1 , v3 ke v2 , dan v3 ke v3 .
1 1 0
2. (R, B)(2,1) = R(R, B)(1,1) +B(R, B)(2,0) = 0 1 0, bukan merupakan
1 1 1
2-eksponen dari digraph-dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk
2
dengan panjang 3 dengan komposisi
dari v1 ke v3 , v2 ke v1 , dan v2
1
ke v3 .
0 0 0
3. (R, B)(1,2) = R(R, B)(0,2) +B(R, B)(1,1) = 0 0 1, bukan merupakan
0 0 0
2-eksponen dari digraph-dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
23
1
dari v1 ke v1 , v1 ke v2 , v1 ke
dengan panjang 3 dengan komposisi
2
v3 , v2 ke v1 , v2 ke v2 , v3 ke v1 , v3 ke v2 , dan v3 ke v3 .
0 0 0
4. (R, B)(0,3) = B 3 = 0 0 0, bukan merupakan 2-eksponen dari di0 0 0
graph dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk dengan panjang 3
0
dari v1 ke v1 , v1 ke v2 , v1 ke v3 , v2 ke v1 , v2 ke
dengan komposisi
3
v2 , v2 ke v3 , v3 ke v1 , v3 ke v2 , dan v3 ke v3 .
d. Lakukan dengan cara yang sama sampai dengan h + k = 7
0 0 0
1. (R, B)(7,0) = R7 = 0 0 0, bukan merupakan 2-eksponen dari di0 0 0
graph dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk dengan panjang 7
7
dari v1 ke v1 , v1 ke v2 , v1 ke v3 , v2 ke v1 , v2 ke
dengan komposisi
0
v2 , v2 ke v3 , v3 ke v1 , v3 ke v2 , dan v3 ke v3 .
0 0 0
2. (R, B)(6,1) = R(R, B)(5,1) +B(R, B)(6,0) = 0 0 0, bukan merupakan
0 0 0
2-eksponen dari digraph dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk
6
dari v1 ke v1 , v1 ke v2 , v1 ke
dengan panjang 7 dengan komposisi
1
v3 , v2 ke v1 , v2 ke v2 , v2 ke v3 , v3 ke v1 , v3 ke v2 , dan v3 ke v3 .
0 1 0
3. (R, B)(5,2) = R(R, B)(4,2) +B(R, B)(5,1) = 0 0 0, bukan merupakan
1 3 0
2-eksponen dari digraph dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk
5
dari v1 ke v1 , v1 ke v3 , v2 ke
dengan panjang 7 dengan komposisi
2
v1 , v2 ke v2 , v2 ke v3 , v3 ke v1 , v3 ke v2 , dan v3 ke v3 .
1 1 2
4. (R, B)(4,3) = R(R, B)(3,2) + B(R, B)(4,2) = 2 3 1, karena untuk
1 1 3
setiap pasangan verteks u dan v di digraph tersebut terdapat walk den
4
maka 2-eksponen dari digraphgan panjang 7 dengan komposisi
3
4
.
dwiwarna tersebut adalah 7 dengan komposisi
3
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
24
2.6 Beberapa Fakta Tentang Digraph-Dwiwarna Asimetrik Yang Memuat Cycle Primitif
Asumsikan bahwa h dan k adalah bilangan bulat tak negatif sedemikian
hingga diantara pasangan verteks u ke v ada sebuah (h, k)-walk dari u ke v.
Lemma 2.4 Andaikan D adalah digraph-dwiwarna yang terdiri dari dua cycle
yang memiliki paling sedikit satu arc pada masing-masing warna. Misalkan s dan
s
h
. Maka
= M
t merupakan bilangan bulat tak negatif sedemikian hingga
t
k
r(puv )
s
, untuk beberapa path puv dari u ke v.
≥ M −1
b(puv )
t
Bukti. Karena ada suatu (h, k)-walk dari u ke v, sehingga (h, k)-walk merupakan
komposisi path puv dari u ke v dan cycle - cycle di D,
x1
h
r(puv )
=M
+
k
b(puv )
x2
untuk beberapa x1 , x2 ≥ 0 dan beberapa path puv dari u ke v.
s
h
maka
=M
Karena
t
k
0
x
s
−1 r(puv )
= 1 ≥
−M
t
0
x2
b(puv )
s
−1 r(puv )
≥M
jadi,
b(puv )
t
Shader dan Suwilo (2006) memberikan suatu pendefenisian untuk digunakan
dalam menentukan 2-eksponen digraph dwiwarna yang terdiri dari dua cycle, yaitu:
Andaikan D adalah suatu digraph-dwiwarna primitif yang terdiri dari dua cycle
r(γ1 ) r(γ2 )
. Karena D adalah 2-primitif, tanpa
γ1 dan γ2 dan misalkan M =
b(γ1 ) b(γ2 )
menghilangkan keumumannya asumsikan det(M ) = 1. Untuk setiap pasangan
verteks u dan v, andaikan puv adalah path terpendek dari u ke v, didefenisikan
′
ℓr = max {b(γ2 )r(puv ) − r(γ2 )b(puv )}
u,v∈V
′
ℓb = max {r(γ1 )b(puv ) − b(γ1 )r(puv )}
u,v∈V
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
(2.11)
(2.12)
25
dengan V adalah himpunan verteks di D.
Pada tahun 2008, Suwilo memperlihatkan bahwa bila D adalah digraph dwiwarna yang berbentuk lollipops dan asimetrik maka batas atas 2-eksponen D
adalah exp2 (D) ≤ (s2 − 1)/2 + (s + 1)(n − s).
Teorema 2.5 Andaikan D adalah (n, s)-lollipop dwiwarna primitif asimetrik dengan s ≥ 3. Maka exp(D) ≤ (s2 − 1)/2 + (s + 1)(n − s).
Bukti. Andaikan cycle matrik di D adalah C dengan C = {γ1 , γ2 }. Karena D
adalah asimetrik cukup ditunjukkan bahwa untuk setiap verteks u dan v di D ada
sebuah (e, e)-walk dengan e = (s2 − 1)/4 + (s + 1)(n − s)/2. Karena D asimetrik,
untuk setiap verteks u di D ada (1, 1)-walk dari u ke dirinya sendiri. Andaikan
u dan v merupakan dua verteks yang berbeda di D dan andaikan puv merupakan
path terpendek dari u ke v. Jika r(puv ) = b(puv ), maka bukti selesai. Jadi kita
asumsikan bahwa r(puv ) 6= b(puv ) dan tanpa menghilangkan keumumannya anggap
bahwa r(puv ) > b(puv ). Pembuktian ini akan kita tunjukkan atas 2 kasus, yaitu :
Kasus 1. Path puv mempunyai verteks sekutu dengan C.
Sebuah (e, e)-walk dari verteks u ke v dibentuk dengan cara sebagai berikut. Walk
dimulai di verteks u, kemudian ikuti path puv menuju ke verteks v, lalu mengelilingi
γ1 sebanyak r(puv ) − b(puv ) kali dan kembali ke v sehingga terbentuk (e, e)-walk.
Komposisi dari walk wuv tersebut adalah
(s − 1)/2
r(puv )
r(wuv )
.
+ (r(puv ) − b(puv ))
=
(s + 1)/2
b(puv )
b(wuv )
b(puv ) + (r(puv ) − b(puv ))(s + 1)/2
r(wuv )
=
b(puv ) + r(puv )
− b(puv ))(s+ 1)/2
b(wuv )
(s + 1)/2
.
≤ (r(puv ) + b(puv ))
(s + 1)/2
Karena (r(puv ) + b(puv )) ≤ (s + 1)/2 + (n − s), maka
2
(s − 1)/2 + (s + 1)(n − s)/2
(s + 1)/2
r(wuv )
.
=
≤ ((s − 1)/2 + (n − s))
(s2 − 1)/2 + (s + 1)(n − s)/2
(s + 1)/2
b(wuv )
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
26
Kasus 2. Semua path puv tidak mempunyai verteks sekutu dengan cycle C.
Sebuah (e, e)-walk dari verteks u ke v dibentuk dengan cara sebagai berikut. Walk
dimulai di verteks u, kemudian ikuti path pus menuju ke verteks s, lalu mengelilingi
γ1 sebanyak r(puv ) − b(puv ) kali dan kembali ke s, dan akhirnya ikuti path psv ke
verteks v sehingga terb
DUA CYCLE YANG BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
INDRA SYAHPUTRA
040803003
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2009
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
2-EKSPONEN DIGRAPH DWIWARNA ASIMETRIK DENGAN
DUA CYCLE YANG BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana
Sains
INDRA SYAHPUTRA
040803003
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2009
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
i
PERSETUJUAN
Judul
: 2-EKSPONEN
DIGRAPH
DWIWARNA
ASIMETRIK DENGAN DUA CYCLE YANG
BERSINGGUNGAN
Kategori
: SKRIPSI
Nama
: INDRA SYAHPUTRA
Nomor Induk Mahasiswa : 040803003
Program Studi
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
: MATEMATIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA
Medan, Februari 2009
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2
Pembimbing 1
Dra. Mardiningsih, M.Si
NIP.131803344
Dr. Saib Suwilo, MSc.
NIP. 131796149
Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Dr. Saib Suwilo, MSc
NIP. 131796149
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
ii
PERNYATAAN
2-EKSPONEN DIGRAPH DWIWARNA ASIMETRIK DENGAN DUA CYCLE
YANG BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Februari 2009
INDRA SYAHPUTRA
040803003
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
iii
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan berkat dan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang
berjudul ” 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan” ini dengan baik. Skripsi ini sebagai salah satu mata
kuliah wajib yang harus diselesaikan oleh seluruh mahasiswa Fakultas MIPA Departemen Matematika.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Dr. Eddy Marlianto, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
2. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, dan Bapak Henry Rani S, M.Si selaku Ketua
dan Sekretaris Departemen Matematika di FMIPA USU Medan.
3. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku dosen pembimbing I dan Dra. Mardiningsih, M.Si selaku dosen pembimbing II yang telah memberi dukungan
moral, motivasi dan ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan
penelitian ini.
4. Seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
5. Ayahanda Surajiman dan Ibunda Masitah yang selalu memberikan dukungan moril dan materiel serta doa yang tiada hentinya kepada penulis serta
keluarga besar ayah dan ibu khususnya kepada bu idah dan tulang ucok
yang telah banyak membantu penulis dari awal kuliah hingga selesai. Dan
terima kasih juga untuk adik-adikku heri, yanti, nisa, dan irna yang telah
memberikan dukungan moril yang sangat berarti bagi penulis.
Tak lupa, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada para senior dan
juniorku di departemen matematika yang telah membantu dalam penyelesaian
skripsi ini, serta seluruh rekan-rekan math’04 seperjuangan yakni deni, darto, igun,
hemi, ija, serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas jasa-jasa mereka yang telah diberikan
kepada penulis.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu
penulis meminta saran dan kritik yang membangun dari pembaca sekalian.
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga
tulisan ini berguna bagi yang membutuhkan.
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
iv
ABSTRAK
Andaikan D adalah digraph-dwiwarna asimetrik atas n = 2m, m ≥ 4 verteks
dengan dua cycle yang memiliki satu verteks persekutuan dengan panjang masingmasing cycle m dan m + 1. Karena D adalah asimetrik maka ada dua cycle yang
panjangnya m dinotasikan dengan γ1 dan γ2 dan dua cycle yang panjang m + 1
dinotasikan dengan γ3 dan γ4 serta memiliki cycle-cycle dengan panjang 2. Bila γ1
dan γ3 masing-masing memiliki tepat satu arc biru, penelitian ini memperlihatkan
bahwa dengan menggunakan submatriks ordo 2 × 2 dengan determinan 1 dari cycle
matriks di D maka diperoleh exp2 (D) ≤ 21 (2n2 − n − 6). Tetapi berdasarkan data
empiris memperlihatkan bahwa 2-eksponen dari D dapat diperoleh menggunakan
(h, k)-walk dengan h arc merah sama dengan k arc biru. Dengan menggunakan
fakta ini maka exp2 (D) ≤ 21 (n2 + 2n).
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
v
2-EXPONENTS OF TWO-COLORED DIGRAPHS WITH TWO
CYCLES WHICH HAVE A COMMON VERTEX
ABSTRACT
Let D be a asymmetric two-colored digraph on n = 2m, m ≥ 4 vertices which
have a common vertex and the length of each cycles is m and m + 1. Since D is
asymmetric, there exists two cycles of length m are denoted by γ1 and γ2 and two
cycles of length m + 1 are denoted by γ3 and γ4 and also has cycles of length 2.
If γ1 dan γ3 have each exactly one blue arc, This research will show that usedly a
2 by 2 submatrix with determinant 1 of cycle matrix in D then obtained exp2 (D) ≤
1
(2n2 − n − 6). On emprical data show that the 2-exponents of D can be achieved
2
using (h, k)-walks with h = k. Using this fact we show that exp2 (D) ≤ 12 (n2 +2n).
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
iv
ABSTRACT
v
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR GAMBAR
vii
BAB
1. PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
Latar Belakang Penelitian
Masalah Penelitian
Tinjauan Pustaka
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
Metodologi Penelitian
2. LANDASAN TEORI
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
Primitifitas dari Digraph Terhubung Kuat
Primitifitas dari Digraph-dwiwarna Terhubung Kuat
Matriks Adjancency
Eksponen Digraph
2-Eksponen dari Digraph-dwiwarna
Beberapa Fakta Tentang Digraph-Dwiwarna Asimetrik Yang
Memuat Cycle Primitif
1
1
2
3
5
5
5
7
7
11
14
16
19
24
3. HASIL UTAMA
27
4. KESIMPULAN DAN SARAN
34
4.1. Kesimpulan
4.2. Saran
DAFTAR PUSTAKA
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
34
35
36
vii
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
2.1
Digraph dengan 5 verteks dan 6 arc
8
2.2
(a) Digraph terhubung kuat ; (b) Digraph tidak terhubung kuat
9
2.3
Digraph simetrik yang terdiri dari 6 verteks dan 12 arc
10
2.4
Digraph primitif dengan 3 verteks dan 4 arc
10
2.5
Digraph-dwiwarna dengan 3 verteks dan 4 arc
12
2.6
2-Digraph asimetrik yang terdiri dari 6 verteks dan 12 arc
13
2.7
(a) 2-Digraph terhubung kuat ; (b)2-Digraph tidak terhubung kuat 13
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian
Digraph merupakan salah satu disiplin ilmu matematika. Suatu digraph
terdiri dari titik-titik yang dihubungkan oleh garis berarah. Titik-titik tersebut
disebut verteks dari digraph dan garis berarah yang menghubungkan titik-titik
tersebut disebut arc dari digraph. Suatu digraph dikatakan terhubung kuat bila
untuk setiap pasangan verteks u dan v terdapat walk dari u ke v dan walk dari
v ke u. Suatu digraph D adalah primitif jika dan hanya jika terdapat bilangan
bulat positif k sehingga untuk setiap pasangan verteks u dan v terdapat walk dari
u ke v dengan panjang k. Bilangan bulat terkecil dari k yang demikian disebut
eksponen dari digraph yang dinotasikan exp(D).
Penelitian digraph sampai saat ini masih difokuskan pada digraph-dwiwarna.
Digraph-dwiwarna, disingkat 2-digraph adalah digraph yang arc-arcnya terdiri dari
dua warna, warna arc yang dipakai di sini adalah warna merah dan biru(Fornasini
dan Valcher, 1997). Suatu digraph-dwiwarna D adalah 2-primitif bila terdapat
bilangan bulat tak negatif h dan k sehingga untuk setiap pasangan verteks u
dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang h + k dan terdiri dari
h arc berwarna merah dan k arc berwarna biru. Bilangan bulat positif terkecil
h + k diantara semua bilangan bulat tak negatif h dan k yang demikian disebut
2-eksponen digraph dwiwarna D yang dinotasikan exp2 (D).
Riset tentang 2-eksponen dari digraph-dwiwarna dimulai oleh Shader dan
Suwilo (2003). Mereka memperlihatkan bahwa bila D adalah digraph-dwiwarna
2-primitif atas n verteks, maka 2-eksponen terbesar dari D terletak pada interval
[ 21 (n3 − 5n2 ), 32 n3 + n2 − n]. Sejak itu riset tentang 2-eksponen digraph-dwiwarna
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
2
mulai berkembang (lihat Lee dan Yang 2005, Gao dan Shao 2005, Suwilo 2005,
Shader dan Suwilo 2006).
Selanjutnya, riset pada 2-eksponen digraph-dwiwarna berkembang pada kelas digraph-dwiwarna asimetrik. Riset pada kelas digraph-dwiwarna asimetrik
telah dilakukan oleh Suwilo (2005) yang menentukan 2-eksponen dari digraph
dwiwarna komplit asimetrik. Pada tahun 2008, suwilo memperlihatkan bahwa
bila D adalah digraph-dwiwarna yang berbentuk lollipops dan asimetrik maka
exp2 (D) ≤ (s2 − 1)/2 + (s + 1)(n − s). Sehingga seperti riset yang dilakukan Goa
dan Shao (2005), Shader dan Suwilo (2006), dan Suwilo (2008) maka penelitian untuk 2-eksponen dari digraph-dwiwarna asimetrik yang terdiri dari dua cycle perlu
dilakukan. Andaikan D adalah digraph-dwiwarna asimetrik dengan dua cycle yang
bersinggungan (memiliki satu verteks persekutuan). Karena D adalah asimetrik
r(γ2 )
r(γ1 )
,
,
maka komposisi cycle-cycle dari digraph-dwiwarna tersebut adalah
b(γ1 )
b(γ2 )
1
r(γ4 )
r(γ3 )
,
, yang mana γ1 dimulai dari vm → v1 → v2 → v3 →
, dan
1
b(γ4 )
b(γ3 )
... → vm−1 → vm , γ2 dimulai dari vm → vm−1 → ... → v2 → v1 → vm , γ3 dimulai dari vm → vm+1 → vm+2 → ... → vn−1 → vn → vm , dan γ4 dimulai dari
vm → vn → vn−1 → vn−2 → ... → vm+1 → vm . Penelitian ini difokuskan untuk
mencari batas atas 2-eksponen dari digraph-dwiwarna D tersebut.
1.2 Masalah Penelitian
Masalah dalam penelitian ini adalah :
Bila digraph-dwiwarna D adalah digraph-dwiwarna asimetrik atas n = 2m, m ≥ 4
verteks dengan dua cycle yang memiliki satu verteks persekutuan dengan panjang
masing-masing cycle m dan m + 1, γ1 dan γ3 masing-masing memiliki tepat satu
arc biru. Fungsi F (n) manakah yang memenuhi sifat exp2 (D) ≤ F (n). F (n) yang
dimaksudkan pada penelitian merupakan fungsi dengan peubah bebas n dengan n
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
3
adalah banyak verteks yang dikandung oleh digraph-dwiwarna D.
1.3 Tinjauan Pustaka
Istilah-istilah baku digraph diambil dari (Brualdi dan Ryser, 1991) dan untuk
digraph-dwiwarna diambil dari (Shader dan Suwilo, 2003). Suatu digraph adalah
suatu himpunan tak kosong V = {v0 , v1 , ..., vn } yang elemen-elemennya disebut
verteks dan himpunan garis-garis berarah E yang elemen-elemennya disebut arc.
Suatu walk dengan panjang t dari sebuah digraph D yang menghubungkan verteks
u dan verteks v adalah suatu barisan arc di D dalam bentuk
u = v0 → v1 → v2 → · · · → vt−1 → vt = v.
Suatu walk dikatakan terbuka jika u 6= v dan tertutup jika u = v. Suatu path
adalah suatu walk tanpa perulangan verteks. Suatu uv-path tertutup disebut
cycle. Suatu digraph dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap pasangan dari
verteks u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan terdapat walk dari v ke u.
Pada tahun 1997, Fornasini dan Valcher melakukan riset tentang digraph
dwiwarna. Suatu digraph-dwiwarna D, disingkat 2-digraph D adalah suatu digraph D yang arc-arcnya terdiri dari dua warna, warna arc yang dipakai di sini
adalah warna merah dan biru. Suatu digraph D dikatakan simetrik bila arc dari
u ke v ada di D dan arc dari v ke u ada di D. Suatu digraph-dwiwarna dikatakan
asimetrik bila digraph-dwiwarna tersebut simetrik dan arc dari verteks u ke v
diwarnai merah jika dan hanya jika arc dari verteks v ke u di warnai biru atau
sebaliknya.
Suatu (h, k)-walk dari u ke v pada suatu 2-digraph D adalah suatu uv-walk
yang terdiri dari h arc berwarna merah dan k arc berwarna biru. Banyaknya arc
berwarna merah pada walk wuv dinotasikan r(wuv ) dan banyak arc berwarna biru
r(wuv )
disebut sebagai komposisi dari
pada walk wuv dinotasikan b(wuv ). Vektor
b(wuv )
walk wuv . Andaikan 2-digraph terhubung kuat dan misalkan {γ1 , γ2 , ..., γt } adalah
himpunan semua cycle yang berada di D. Misalkan M adalah cycle matriks dari
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
4
D yang kolom-kolomnya disusun dari cycle-cycle di D dan banyak baris diperoleh
dari banyak warna di D sehingga
r(γ1 ) r(γ2 ) · · · r(γt )
M=
b(γ1 ) b(γ2 ) . . . b(γt )
Sebuah 2-digraph D dikatakan 2-primitif jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat tak negatif h dan k sehingga untuk setiap pasangan dua verteks u dan v
di D terdapat (h, k)-walk dari u ke v dan dari v ke u. Suatu 2-digraph D dikatakan
2-primitif jika dan hanya jika content dari M yaitu pembagi persekutuan terbesar dari determinan submatriks-submatriks 2 × 2 dari M adalah 1 (Fornasini dan
Valcher, 1997).
Riset tentang 2-eksponen dari 2-digraph 2-primitif pertama kali dilakukan
oleh Shader dan Suwilo (2003). Mereka membuktikan bahwa 2-eksponen terbesar
dari digraph dwiwarna 2-primitif atas n verteks berada dalam interval [ 12 (n3 −
5n2 ), 32 n3 +n2 −n)]. Kemudian beberapa peneliti memfokuskan untuk menentukan
2-eksponen dari 2-digraph yang terdiri dari dua cycle dengan beberapa verteks
persekutuan. Pada tahun 2005, Lee dan Yang memperlihatkan bahwa 2-eksponen
dari ministrong 2-digraph dengan n − 3 verteks persekutuan berada dalam interval
[2n2 − 8n + 7, 2n2 − 5n + 3]. Di tahun 2006, Suwilo memperbaiki batas 2-eksponen
dari ministrong 2-digraph yang dibuat Lee dan Yang (2005) sehingga berada dalam
interval [2n2 − 8n + 7, 2n2 − 7n + 6]. Gao dan Shao (2005) juga memperlihatkan
bahwa 2-eksponen dari 2-digraph atas n + s, s ≥ 0, m ≥ s + 1 verteks yang terdiri
dari dua cycle yang memiliki n − m verteks persekutuan berada dalam interval
[2n2 − 3n + 1, 2n2 − 2n + 2sn − s] dan exp2 (D) = 2n2 − 4n + 1 .
Sekarang beberapa periset memfokuskan pada digraph dwiwarna asimetrik.
Suwilo (2005) memperlihatkan bahwa digraph dwiwarna komplit asimetrik atas
n verteks, 2-eksponennya berada dalam interval [2, 4] dan membuktikan untuk
setiap bilangan bulat k, 2 6 k 6 4, ada suatu digraph dwiwarna komplit asimetrik
yang 2-eksponennya tepat k. Suatu digraph dikatakan komplit jika untuk setiap
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
5
verteks u dan v yang berbeda arc (u, v) dan arc (v, u) berada di D. Dan suatu
digraph-dwiwarna komplit asimetrik adalah digraph-dwiwarna komplit sedemikian
hingga arc dari verteks u ke v diwarnai merah jika dan hanya jika arc dari verteks
v ke u di warnai biru atau sebaliknya. Pada tahun 2008, Suwilo memperlihatkan
bahwa bila D adalah digraph-dwiwarna yang berbentuk lollipops dan asimetrik
maka batas atas 2-eksponen D adalah exp2 (D) ≤ (s2 − 1)/2 + (s + 1)(n − s).
1.4 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mencari batas atas F (n) dari 2-eksponen
digraph-dwiwarna asimetrik D atas n = 2m, m ≥ 4 verteks dengan dua cycle
yang memiliki satu verteks persekutuan dengan panjang masing-masing cycle m
dan m + 1, γ1 dan γ3 masing-masing memiliki tepat satu arc biru sehingga diperoleh exp2 (D) ≤ F (n). F (n) yang dimaksudkan pada penelitian merupakan fungsi
dengan peubah bebas n dengan n adalah banyak verteks yang dikandung oleh
digraph-dwiwarna asimetrik D.
1.5 Manfaat Penelitian
Penelitian ini memberikan teori baru tentang 2-eksponen digraph-dwiwarna
asimetrik dengan dua cycle yang bersinggungan.
1.6 Metodologi Penelitian
Penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan. Untuk mencari batas atas
2-eksponen dari digraph-dwiwarna asimetrik atas n = 2m, m ≥ 4 verteks dengan
dua cycle yang memiliki satu verteks persekutuan yang panjang masing-masing
cycle m dan m+1, γ1 dan γ3 masing-masing memiliki tepat satu arc biru dilakukan
dengan pendekatan sebagai berikut :
1. Permasalahan pada masalah penelitian diselesaikan dengan menggunakan
teknik yang dikembangkan oleh Shader dan Suwilo (2003), yakni dengan
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
6
persamaan
h
k
=
r(puv )
b(puv )
+ Mx
dengan M adalah cycle matriks berordo 2 × t yang kolom-kolomnya berben
1
q
s
, dan x adalah vektor yang komponen-komponennya bilan,
,
tuk
1
s
q
gan bulat tak negatif dan memperhatikan beberapa hal berikut ini :
a. Faktanya bahwa dalam digraph-dwiwarna asimetrik D atas n = 2m,
m ≥ 4 verteks dengan dua cycle yang memiliki satu verteks persekutuan yang panjang masing-masing cycle m dan m + 1, γ1 dan γ3 masingmasing memiliki tepat satu arc biru terdapat submatrik dari cycle matrik M di digraph-dwiwarna asimetrik tersebut yang memiliki determinan 1. Sehingga, (h, k)-walk untuk setiap pasangan verteks u dan v di
D dapat diperoleh dari path dari u ke v dan komposisi cycle-cycle di
submatriks tersebut.
b. Shader dan Suwilo (2006) memberikan suatu pendefenisian untuk digunakan dalam menentukan 2-eksponen digraph dwiwarna yang terdiri
dari dua cycle, yaitu:
′
ℓr = max {b(γ2 )r(puv ) − r(γ2 )b(puv )},
u,v∈V
′
ℓb = max {r(γ1 )b(puv ) − b(γ1 )r(puv )}.
u,v∈V
dengan V adalah himpunan verteks di D.
2. Berdasarkan data empiris hasil simulasi memperlihatkan bahwa 2-eksponen
dari digraph-dwiwarna asimetrik atas n = 2m, m ≥ 4 verteks dengan dua
cycle bersinggungan yang panjang masing-masing cycle m dan m + 1, γ1
dan γ3 masing-masing memiliki tepat satu arc biru, dapat diperoleh menggunakan (h, k)-walk dengan h arc merah sama dengan k arc biru. Dengan
menggunakan teknik yang digunakan pada pembuktian menentukan batas
atas 2-eksponen dari (n, s)-lollipop dwiwarna primitif asimetrik didapatkan
2-eksponen dari digraph-dwiwarna asimetrik tersebut yang lebih baik.
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
BAB 2
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dipaparkan mengenai materi-materi yang berhubungan
dan mendukung dalam penelitian 2-eksponen digraph-dwiwarna asimetrik dengan
dua cycle yang bersinggungan. Materi tersebut mencakup pengertian dari digraph,
digraph-dwiwarna dan digraph-dwiwarna asimetrik, contoh digraph-dwiwarna dan
digraph-dwiwarna asimetrik, pengertian 2-eksponen dari digraph dwiwarna, faktafakta tentang 2-eksponen digraph-dwiwarna asimetrik 2-primitif. Dengan demikian,
akan mempermudah dalam hal pembahasan hasil utama pada bab berikutnya.
2.1 Primitifitas dari Digraph Terhubung Kuat
Pada bagian ini akan dijelaskan tentang pengertian digraph, digraph terhubung kuat dan digraph terhubung kuat yang 2-primitif.
2.1.1 Digraph.
Suatu graph berarah D atau yang disingkat digraph D adalah sebuah objek matematika yang terdiri dari suatu himpunan tak kosong V = {v0 , v1 , v2 , · ·
·, vn } dengan elemen-elemennya disebut verteks dan himpunan garis berarah yang
menghubungkan verteks-verteks tersebut dengan elemen-elemennya disebut arc.
Suatu arc yang menghubungkan verteks u ke verteks v di digraph D dinotasikan
dengan (u, v). u disebut verteks awal dan v disebut verteks akhir.
Suatu digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara setiap verteks
direpresentasikan sebagai sebuah titik dan setiap arc (u, v) direpresentasikan sebagai garis lurus berarah atau kurva berarah dari titik u ke v.
Contoh 2.1 Andaikan digraph D merupakan himpunan verteks V ={v0 , v1 , v2 , v3 , v4 }
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
8
dan himpunan arc
E = {(v0 , v1 ), (v1 , v2 ), (v2 , v3 ), (v3 , v4 ), (v1 , v4 ), (v4 , v0 )}.
Representasi grafis dari digraph D diperlihatkan oleh Gambar 2.1
vt 1
vt 0
R
6
tv2
v4 t
I
t
v3
Gambar 2.1 : Digraph dengan 5 verteks dan 6 arc
Suatu walk dari u ke v dengan panjang t adalah barisan arc dalam bentuk
u = v0 → v1 → v2 → · · · → vt−1 → vt = v.
atau
(u = v0 , v1 ), (v1 , v2 ), · · ·, (vt−1 , vt = v).
Suatu walk dari u ke v dinotasikan dengan uv-walk atau wuv . Suatu walk dikatakan
terbuka jika u 6= v dan tertutup bila sebaliknya. Suatu uv-path adalah suatu uvwalk tanpa perulangan verteks kecuali mungkin u = v. Suatu uv-path tertutup
disebut cycle.
Berdasarkan Gambar 2.1 di atas, berikut ini akan diperlihatkan contoh dari
walk, path, dan cycle :
a. Barisan v0 → v1 → v2 → v3 → v4 → v0 → v1 adalah suatu walk terbuka
tetapi bukan path karena ada verteks yang berulang.
b. Barisan v0 → v1 → v2 → v3 adalah suatu path karena tidak ada verteks
yang berulang.
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
9
c. Barisan v0 → v1 → v4 → v0 adalah sebuah cycle.
Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat (strongly connected ) jika untuk
setiap pasangan verteks u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke
u. Berikut ini diberikan contoh dari digraph terhubung kuat dan tidak terhubung
kuat.
vt 2v1 t
6
t
v8@
@
vt 3
@
@
R
@
@tv4
?
tv5
@
I
@t
v7
t
(a)
vt 2
v1 t
6
t
v8 @
@
@
I
@t
v6
v7
vt 3
@
@
R
@
@tv4
?
tv5
t
(b)
v6
Gambar 2.2 : (a) Digraph terhubung kuat ; (b) Digraph tidak terhubung kuat
Lemma berikut ini akan menjamin bahwa setiap verteks di digraph D terletak
pada suatu cycle bila digraph D terhubung kuat.
Lemma 2.1 Andaikan D adalah suatu digraph terhubung kuat, maka setiap verteks
di D terletak pada suatu cycle.
Bukti. Ambil sebarang verteks u dan sebarang arc dari verteks u ke verteks v di
D. Karena D terhubung kuat, maka terdapat path dari verteks u ke v dan dari
verteks v ke u, yang berakibat diperoleh suatu path tertutup di D yang dibentuk
oleh arc dari verteks u ke v dan path dari verteks v ke u di D. Oleh definisi, path
tertutup adalah suatu cycle dan u sebarang verteks di D, maka setiap verteks u
di D terletak pada suatu cycle.
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
10
Suatu digraph D dikatakan simetrik bila arc dari u ke v ada di D dan arc
dari v ke u ada di D. Berikut ini akan diberikan satu contoh digraph simetrik :
vt 2
R
I
R
t
v1 t
I
v6
t v4
v3
t
@
@
R
@
I @t v 5
Gambar 2.3 : Digraph simetrik yang terdiri dari 6 verteks dan 12 arc
2.1.2 Digraph Primitif.
Suatu digraph terhubung kuat(strongly connected ) D dikatakan primitif bila
terdapat suatu bilangan bulat positif k sehingga untuk setiap pasangan verteks
u dan v di D terdapat uv-walk dan vu-walk yang panjangnya k. Bilangan bulat
positif k terkecil yang demikian disebut sebagai eksponen dari D dan dinotasikan
dengan exp(D). Suatu digraph terhubung kuat D adalah primitif jika dan hanya
jika pembagi persekutuan terbesar (greatest common divisor atau disingkat gcd)
dari panjang-panjang cycle di D adalah 1 (Brualdi dan Ryser, 1991).
Andaikan himpunan C = {γ1 ,γ2 ,...,γt } adalah himpunan semua cycle di D.
Maka panjang dari cycle-cycle yang ada digraph D dinotasikan dengan ℓ(γi ) dimana i = 1, 2, · · ·, t. Berikut ini diberikan contoh dari digraph primitif
v1 t
vt 2
@
@ I
@
@
R
@
@t v 3
Gambar 2.4 : Digraph primitif dengan 3 verteks dan 4 arc
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
11
Dari Gambar 2.4 diperoleh dua cycle. Cycle pertama γ1 diperoleh dari v1 →
v2 → v3 → v1 dengan panjang ℓ(γ1 ) = 3 dan cycle kedua γ2 diperoleh dari v2 →
v3 → v2 dengan panjang ℓ(γ2 ) = 2 sehingga gcd(3, 2) = 1. Jadi digraph D tersebut
adalah primitif.
2.2 Primitifitas dari Digraph-dwiwarna Terhubung Kuat
Pada bagian ini akan dijelaskan tentang pengertian digraph-dwiwarna, digraphdwiwarna terhubung kuat dan digraph-dwiwarna terhubung kuat yang primitif.
2.2.1 Digraph-dwiwarna.
Suatu digraph-dwiwarna D, disingkat 2-digraph D adalah digraph D yang
arc-arcnya terdiri dari dua warna, warna arc yang dipakai di sini adalah warna
merah atau biru.
Suatu 2-digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara sebagai
berikut :
1. setiap verteks direpresentasikan sebagai suatu titik.
2. setiap arc merah dalam digraph dwiwarna direpresentasikan sebagai garis
berarah tak putus
3. setiap arc biru dalam digraph dwiwarna direpresentasikan sebagai garis
putus-putus berarah.
Contoh 2.2 Himpunan verteks V = {v1 , v2 , v3 , v4 } bersama dengan himpunan
arc merah R = {(v1 , v2 ), (v3 , v1 ), (v3 , v2 )} dan arc biru B = {(v2 , v3 )} adalah suatu
digraph dwiwarna dengan 3 verteks, 3 arc merah dan 1 arc biru.
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
12
Representasi grafis dari digraph-dwiwarna dari Contoh 2.2 adalah sebagai berikut:
vt 2
@
@ I
R
@
@
v1 t
@tv3
Gambar 2.5 : Digraph-dwiwarna dengan 3 verteks dan 4 arc
Suatu (h, k)-walk dari u ke v pada suatu 2-digraph D adalah suatu uv-walk
yang terdiri dari h arc berwarna merah dan k arc berwarna biru. Banyaknya
arc berwarna merah pada walk wuv dinotasikan dengan r(wuv ) dan banyak arc
r(wuv )
disebut komposisi dari
berwarna biru dinotasikan dengan b(wuv ). Vektor
b(wuv )
walk wuv . Suatu uv-path adalah suatu uv-walk tanpa perulangan verteks kecuali mungkin u = v. Banyaknya arc berwarna merah pada path puv dinotasikan
dengan r(puv ) dan banyak arc berwarna biru dinotasikan dengan b(puv ). Vektor
r(puv )
disebut komposisi dari path puv . Suatu uv-path tertutup disebut cycle.
b(puv )
Dari Gambar 2.5 dapat ditemukan beberapa walk, path, dan cycle, antara
lain :
3
1. Barisan v1 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v1 −
→ v2 adalah suatu walk dengan komposisi
1
1
r
b
2. Barisan v1 −
→ v2 −
→ v3 adalah sebuah path dengan komposisi
1
2
r
b
r
3. Barisan v1 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v1 adalah sebuah cycle dengan komposisi
1
r
b
r
r
Suatu digraph-dwiwarna dikatakan asimetrik jika digraph tersebut simetrik
dan arc dari verteks u ke v diwarnai merah jika dan hanya jika arc dari verteks
v ke u di warnai biru atau sebaliknya. Berikut ini diberikan sebuah contoh dari
digraph-dwiwarna asimetrik.
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
13
vt 2
v1 t
@
@
@
I
R
t v4
@R
@
@
I v3
@
@t
@
@
@
@
I
R
@
@
@t
@t v 5
v6
Gambar 2.6 : 2-Digraph asimetrik yang terdiri dari 6 verteks dan 12 arc
2.2.2 Digraph-dwiwarna 2-Primitif.
Suatu digraph-dwiwarna dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika
digraphnya terhubung kuat. Berikut ini diberikan contoh dari digraph-dwiwarna
terhubung kuat dan tidak terhubung kuat.
vt 3
vt 2v1 t
vt 2 -
@
R
@
@
@tv4
6
t
v8@
@
@
I
@t
?
tv5
v7
(a)
t
v6
v1 t
6
t
v8 @
@
@
I
@t
v7
vt 3
@
@
R
@
@tv4
?
tv5
(b)
t
v6
Gambar 2.7 : (a) 2-Digraph terhubung kuat ; (b)2-Digraph tidak terhubung kuat
Sebuah digraph-dwiwarna D dikatakan 2-primitif jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat tak negatif h dan k sehingga untuk setiap pasangan dua verteks
u dan v di D terdapat (h, k)-walk dari u ke v dan dari v ke u. Andaikan D adalah
digraph-dwiwarna terhubung kuat dan andaikan C = {γ1 , γ2 , · · ·, γt } merupakan
himpunan semua cycle di D. Misalkan M adalah cycle matriks dari D yang kolomkolomnya disusun dari cycle-cycle di D dan banyak baris diperoleh dari banyak
warna arc di D sehingga
r(γ1 ) r(γ2 ) ... r(γt )
.
M=
b(γ1 ) b(γ2 ) ... b(γt )
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
14
Suatu digraph-dwiwarna D dikatakan primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan submatriks-submatriks 2 × 2 dari cycle matriks M
di D adalah 1 (Fornasini dan Valcher, 1997).
Contoh 2.3 Dari Gambar 2.5 dapat diperoleh cycle matriks dari digraph-dwiwarna
tersebut, yaitu :
2 1
M=
1 1
karena det(M )=1 maka digraph-dwiwarna tersebut 2-primitif.
2.3 Matriks Adjancency
Pada subbab ini akan dibahas hubungan antara digraph, digraph-dwiwarna
dengan matriks tak negatif.
2.3.1 Matriks tak negatif.
Suatu matriks bujursangkar A ordo n, A = (aij ) dikatakan sebagai matriks
tak negatif jika aij ≥ 0 untuk setiap i, j = 1, 2, ..., n dan dinotasikan dengan A
≥ 0. Apabila aij > 0 untuk setiap i, j = 1, 2, ..., n maka matriks A tersebut
dikatakan matriks positif.
Contoh 2.4 Matriks tak negatif dan matriks positif.
0 2
adalah matriks tak negatif.
Matriks A =
0 5
1 2
adalah matriks positif.
Matriks B =
3 1
2.3.2 Matriks Adjancency dari Digraph.
Andaikan V = {v1 , v2 , ..., vn−1 , vn } merupakan himpunan verteks di digraph
D atas n verteks. Sebuah digraph D atas n verteks dapat dituliskan ke dalam
matriks adjacency. Matriks adjacency adalah sebuah matriks bujursangkar A ordo
n, A=(aij ) dengan entri aij sebagai
1, jika (vi , vj ) merupakan arc di D
aij =
0, jika sebaliknya.
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
15
dimana i, j = 1, 2, 3, ..., n.
Berikut ini akan diberikan contoh matriks adjacency dari sebuah representasi digraph.
Contoh 2.5 Dari Gambar 2.1 dapat diperoleh
0 1 0 0
0 0 1 0
A=
0 0 0 1
0 0 0 0
1 0 0 0
2.3.3
matriks adjacencynya yaitu :
0
1
0
1
0
Matriks Adjacency Digraph-dwiwarna.
Andaikan D adalah sebuah digraph-dwiwarna atas n verteks. Misalkan V =
{v1 , v2 , ..., vn−1 , vn } merupakan himpunan verteks di digraph dwiwarna D. Matriks
adjacency merah dari D adalah sebuah matriks bujursangkar R ordo n, R = (rij )
dengan entri rij sebagai
1 , jika (vi , vj ) adalah arc merah di D
rij =
0 , jika sebaliknya.
dimana i, j = 1, 2, 3, ..., n.
Matriks adjacency biru dari D adalah sebuah matriks bujursangkar B ordo n,
B = (bij ) dengan entri bij sebagai
1 , jika (vi , vj ) adalah arc biru di D
bij =
0 , jika sebaliknya.
dimana i, j = 1, 2, 3, ..., n.
Berikut ini akan diberikan sebuah digraph-dwiwarna yang direpresentasikan ke
dalam matriks adjacency.
Contoh 2.6 Dari Gambar 2.5 dapat diperoleh matriks adjacencynya yaitu :
0 1 0
Matriks R = 0 0 0 adalah matriks adjacency merah ;
1 1 0
0 0 0
Matriks B = 0 0 1 adalah matriks adjacency biru.
0 0 0
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
16
Untuk sebarang matriks tak negatif R dan B dan bilangan bulat tak negatif h
dan k, suatu (h, k)-Hurwitz product dari R dan B dapat didefinisikan secara rekursif sebagai berikut. Definisikan (R, B)(h,0) = Rh , (R, B)(0,k) = B k dan (R, B)(h,k) =
R(R, B)(h−1,k) + B(R, B)(h,k−1) untuk h, k ≥ 1. Sebagai contoh, (R, B)(4,0) = R4 ,
(R, B)(0,5) = B 5 dan (R, B)(2,2) = R2 B 2 +RBRB+RB 2 R+BR2 B+BRBR+B 2 R2 .
2.4 Eksponen Digraph
Pada bagian digraph primitif, sudah dijelaskan bahwa suatu digraph D terhubung kuat dikatakan primitif bila terdapat suatu bilangan bulat positif k sehingga untuk setiap pasangan verteks u dan v di D terdapat uv-walk dan vu-walk
yang panjangnya k. Bilangan bulat terkecil dari semua k tersebut dikatakan sebagai eksponen digraph D. Eksponen dari digraph D dinotasikan dengan exp(D).
Contoh 2.7 Dari Gambar 2.4 akan diperlihatkan eksponen dari digraph tersebut
adalah 5 :
1. Walk dengan panjang 1, yaitu :
v1 → v2
v2 → v3
v3 → v2
v3 → v1
Karena tidak ada walk dengan panjang 1 dari v1 ke v1 maka walk dengan
panjang 1 bukan eksponen dari digraph tersebut.
2. Walk dengan panjang 2, yaitu :
v1 → v2 → v3
v3 → v1 → v2
v2 → v3 → v1
v2 → v3 → v2
v3 → v2 → v3
Karena tidak ada walk dengan panjang 2 dari v1 ke v1 maka walk dengan
panjang 2 bukan eksponen dari digraph tersebut.
3. Walk dengan panjang 3, yaitu :
v1 → v2 → v3 → v1
v2 → v3 → v1 → v2
v3 → v2 → v3 → v2
v1 → v2 → v3 → v2
v2 → v3 → v2 → v3
v3 → v1 → v2 → v3
v3 → v2 → v3 → v1
Karena tidak ada walk dengan panjang 3 dari v1 ke v3 maka walk dengan
panjang 3 bukan eksponen dari digraph tersebut.
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
17
4. Walk dengan panjang 4, yaitu :
v1
v2
v2
v3
→ v2
→ v3
→ v3
→ v1
→ v3
→ v2
→ v1
→ v2
→ v1
→ v3
→ v2
→ v3
→ v2
→ v1
→ v3
→ v2
v1
v2
v3
v3
→ v2
→ v3
→ v1
→ v2
→ v3
→ v2
→ v2
→ v3
→ v2
→ v3
→ v3
→ v2
→ v3
→ v2
→ v1
→ v3
Karena tidak ada walk dengan panjang 4 dari v1 ke v1 maka walk dengan
panjang 4 bukan eksponen dari digraph tersebut.
5. Walk dengan panjang 5, yaitu :
v1
v1
v1
v3
v3
→ v2
→ v2
→ v2
→ v1
→ v2
→ v3
→ v3
→ v3
→ v2
→ v3
→ v2
→ v2
→ v1
→ v3
→ v2
→ v3
→ v3
→ v2
→ v1
→ v3
→ v1
→ v2
→ v3
→ v2
→ v1
v2
v2
v2
v3
→ v3
→ v3
→ v3
→ v1
→ v2
→ v1
→ v1
→ v2
→ v3
→ v2
→ v2
→ v3
→ v2
→ v3
→ v3
→ v2
→ v3
→ v2
→ v1
→ v3
Karena walk dengan panjang 5 merupakan panjang terkecil yang dapat diperoleh untuk setiap pasangan verteks u dan v di digraph tersebut maka eksponen dari digraph tersebut adalah 5.
Pada tahun 1991, Brualdi dan Ryser menyatakan bahwa entri (i, j) dari Ak
merupakan banyaknya walk dari verteks vi ke vj yang panjangnya k di digraph D.
Proposisi 2.2 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D. Entri
(i, j) dari Ak menyatakan banyaknya walk dari verteks vi ke vj yang panjangnya
k di D.
Bukti Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D, maka setiap
entri (i, j) dari A menyatakan arc dari verteks vi ke vj di digraph D. Hal ini
berakibat untuk k = 1, maka setiap entri a1ij dari A1 menyatakan banyaknya walk
dari verteks vi ke vj yang panjangnya satu.
Asumsikan setiap entri akij dari Ak menyatakan banyaknya walk dari verteks
vi ke verteks vj yang panjangnya k di D, untuk k ≥ 1 adalah benar. Berikut ini
diperlihatkan ak+1
adalah banyaknya walk dari vi ke vj yang panjangnya k + 1 di
ij
D, untuk k ≥ 1 adalah benar.
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
18
Asumsikan entri (i, j) dari Ak+1 adalah banyaknya walk dari vi ke vj yang
panjangnya k + 1 di D, untuk k ≥ 1. Misalkan entri (i, j) dari Ak+1 dinotasikan
ak+1
ij . Perhatikan setiap walk dari verteks vi ke verteks vj di D dengan panjang
k + 1 yang terdiri dari walk vi ke vℓ dengan panjang k untuk ℓ = 1, 2, ..., n dan
dilanjutkan dengan arc dari verteks vℓ ke vj , sehingga akiℓ aℓj adalah walk yang
panjangnya k+1 dari verteks vi ke vj di D untuk k = 1, 2, ..., n. Sehingga diperoleh
banyaknya walk yang panjangnya k + 1 dari verteks vi ke verteks vj di D adalah :
aki1 a1j
+
aki2 a2j
+ .... +
akin anj
=
n
X
akiℓ aℓj
ℓ=1
karena
Ak+1 = Ak A
maka
ak+1
ij
=
n
X
akiℓ aℓj
ℓ=1
Hal ini berakibat
ak+1
ij
adalah benar menyatakan banyaknya walk dari verteks vi
ke vj yang panjangnya k + 1 di D. Jadi, entri (i, j) dari Ak adalah banyaknya walk
yang panjangnya k dari vi ke vj .
Berikut ini diberikan suatu contoh representasi grafis digraph yang akan
dicari eksponennya dengan menggunakan Proposisi. 2.2 diatas.
Contoh 2.8 Dari Gambar 2.4 dapat diperoleh matriks adjacencynya sebagai
berikut:
0 1 0
A = 0 0 1
1 1 0
Dari Proposisi 2.4 untuk mencari banyak walk dari verteks vi ke vj dengan panjang k adalah entri (i, j) dari Ak . Dengan demikian nilai k terkecil yang
menghasilkan matriks positif adalah eksponen dari digraph. Perhatikan matriks
Ak :
0 1 0
1. Untuk k = 1; diperoleh A = 0 0 1, maka bukan merupakan eksponen
1 1 0
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
19
dari digraph karena tidak terdapat walk dengan panjang satu dari v1 ke v1 ,
dari v1 ke v3 , dari v2 ke v1 , dari v2 ke v2 , dan dari v3 ke v3 .
0 0 1
2. Untuk k = 2; diperoleh A2 = 1 1 0, maka bukan merupakan eksponen
0 1 1
dari digraph karena tidak terdapat walk dengan panjang dua dari v1 ke v1 ,
dari v1 ke v2 , dari v2 ke v3 , dan dari v3 ke v1 .
1 1 0
3. Untuk k = 3; diperoleh A3 = 0 1 1, maka bukan merupakan eksponen
1 1 1
dari digraph karena tidak terdapat walk dengan panjang tiga dari v1 ke v3 ,
dan dari v2 ke v1 .
0 1 1
4. Untuk k = 4; diperoleh A4 = 1 1 1, maka bukan merupakan eksponen
1 2 1
dari digraph karena tidak terdapat walk dengan panjang empat dari v1 ke
v1 .
1 1 1
5. Untuk k = 5; diperoleh A5 = 1 2 1, karena untuk setiap pasangan
1 2 2
verteks di digraph tersebut terdapat walk dengan panjang lima maka eksponen dari digraph digraph tersebut adalah 5.
2.5 2-Eksponen dari Digraph-dwiwarna
Pada bagian digraph-dwiwarna 2-primitif, sudah dijelaskan bahwa suatu digraph dwiwarna D terhubung kuat dikatakan 2-primitif jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat tak negatif h dan k sehingga untuk setiap pasangan dua verteks
u dan v di D terdapat (h, k)-walk dari u ke v dan dari v ke u. Bilangan bulat
positif terkecil dari semua h + k dikatakan sebagai 2-eksponen digraph-dwiwarna
D. 2-Eksponen dari digraph D dinotasikan dengan exp2 (D).
Contoh 2.9 Dari Gambar 2.5 dapat diperoleh bahwa untuk setiap pasang verteks
u dan v dalam digraph-dwiwarna tersebut terdapat walk terpendek yang panjangnya sama yaitu:
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
20
r
b
r
b
r
b
r
b
r
r
b
r
b
r
r
b
r
b
r
b
r
b
r
r
b
r
b
r
r
b
r
r
b
r
b
b
r
r
b
r
r
b
r
b
r
b
r
b
r
r
b
r
b
r
b
r
r
r
b
r
b
r
b
v1 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v1
v2 −
→ v3 −
→ v1 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v1
v1 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2
v2 −
→ v3 −
→ v1 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2
v1 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v1 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3
v2 −
→ v3 −
→ v1 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v1 −
→ v2 −
→ v3
v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v1
v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2
v3 −
→ v1 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v2 −
→ v3
Contoh 2.10 menjamin bahwa untuk setiap pasangan verteks u dan v di digraphdwiwarna tersebut, walk terpendek yang dapat diperoleh digraph dwiwarna terse
4
sehingga 2-eksponen dari digraph-dwiwarna
but adalah 7 dengan komposisi
3
4
tersebut adalah 7 dengan komposisi
. Berikut ini akan ditunjukkan hubungan
3
2-eksponen digraph-dwiwarna dengan matrik tak negatif.
Lemma 2.3 Andaikan D adalah sebuah digraph-dwiwarna atas n verteks dan misalkan R dan B masing-masing adalah matriks adjacency merah dan biru dari digraph dwiwarna D. Maka entri (i, j) dari (R, B)(h,k) adalah banyaknya (h, k)-walk
dari verteks vi ke verteks vj .
Bukti. Akan dibuktikan dengan induksi pada (h + k) dan (h + k + 1), jika h = 0
maka k = 1 atau jika h = 1 maka k = 0. jika h = 0 maka entri (i, j) dari
0
di digraph-dwiwarna D. Den(R, B)(0,1) = B adalah walk dengan komposisi
1
gan cara yang sama, jika k = 0 maka (R, B)(1,0) = R adalah walk dengan entri
1
(i, j) menyatakan walk dengan komposisi
di digraph-dwiwarna D.
0
′
Andaikan Lemma 2.3 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif h dan
′
′
′
k dengan h + k ≤ h + k akan diperlihatkan untuk h + k + 1 adalah benar dengan
catatan sebagai berikut.
(R, B)(h+1,k) = R(R, B)(h,k) + B(R, B)(h+1,k−1)
Oleh hipotesis induksi, entri(i, j) pada R(R, B)(h,k) adalah walk dari vi ke vj
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
21
yang dimulai dengan arc merah dan diikuti oleh (h, k)-walk, dan entri (i, j) pada
B(R, B)(h+1,k−1) adalah walk dari vi ke vj yang dimulai dengan arc biru dan diikuti
oleh (h + 1, k − 1) − walk sedemikian hingga entri (i, j) dari (R, B)(h+1,k) adalah
jumlah (h + 1, k)-walk dari vi ke vj . Jadi, entri (i, j) dari (R, B)(h,k) adalah jumlah
(h, k)-walk dari verteks vi ke verteks vj .
Berikut ini diberikan representasi grafis digraph-dwiwarna yang akan diberikan
2-eksponennya.
Contoh 2.10 Dari Gambar 2.5 dapat diperoleh matriks adjacencynya sebagai
berikut:
0
Matriks R = 0
1
0
Matriks B = 0
0
1 0
0 0 adalah matriks adjacency merah.
1 0
0 0
0 1 adalah matriks adjacency biru.
0 0
Dari Contoh 2.10 kita cari 2-eksponennya, yaitu dengan melihat penjumlahan
h arc biru dan k arc merahnya, dengan cara sebagai berikut:
a. Untuk h + k = 1
0 1 0
1. (R, B)(1,0) = R = 0 0 0, bukan merupakan 2-eksponen dari digraph1 1 0
dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk dengan panjang 1 dengan
1
dari v1 ke v1 , v1 ke v3 , v2 ke v1 , v2 ke v2 , v2 ke v3 , dan v3
komposisi
0
ke v3 .
0 0 0
2. (R, B)(0,1) = B =0 0 1, bukan merupakan 2-eksponen dari digraph0 0 0
dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk dengan panjang 1 dengan
0
dari v1 ke v1 , v1 ke v2 , v1 ke v3 , v2 ke v1 , v2 ke v2 , v3 ke
komposisi
1
v1 , v3 ke v2 , dan v3 ke v3 .
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
22
b. Untuk h + k = 2
0 0 0
1. (R, B)(2,0) = R2 = 0 0 0, bukan merupakan 2-eksponen dari di0 1 0
graph dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk dengan panjang 2
2
dari v1 ke v1 , v1 ke v2 , v1 ke v3 , v2 ke v1 , v2 ke
dengan komposisi
0
v2 , v2 ke v3 , v3 ke v1 dan v3 ke v3 .
0 0 1
2. (R, B)(1,1) = RB+BR = 1 1 0, bukan merupakan 2-eksponen dari
0 0 1
digraph-dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk dengan panjang
1
dari v1 ke v1 , v1 ke v2 , v2 ke v3 , v3 ke v1 , dan
2 dengan komposisi
1
v3 ke v2 .
0 0 0
3. (R, B)(0,2) = B 2 = 0 0 0, bukan merupakan 2-eksponen dari di0 0 0
graph dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk dengan panjang 2
0
dari v1 ke v1 , v1 ke v2 , v1 ke v3 , v2 ke v1 , v2 ke
dengan komposisi
2
v2 , v2 ke v3 , v3 ke v1 , v3 ke v2 , dan v3 ke v3 .
c. Untuk h + k = 3
0 0 0
1. (R, B)(3,0) = R3 = 0 0 0, bukan merupakan 2-eksponen dari di0 0 0
graph dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk dengan panjang 3
3
dengan komposisi
dari v1 ke v1 , v1 ke v2 , v1 ke v3 , v2 ke v1 , v2 ke
0
v2 , v2 ke v3 , v3 ke v1 , v3 ke v2 , dan v3 ke v3 .
1 1 0
2. (R, B)(2,1) = R(R, B)(1,1) +B(R, B)(2,0) = 0 1 0, bukan merupakan
1 1 1
2-eksponen dari digraph-dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk
2
dengan panjang 3 dengan komposisi
dari v1 ke v3 , v2 ke v1 , dan v2
1
ke v3 .
0 0 0
3. (R, B)(1,2) = R(R, B)(0,2) +B(R, B)(1,1) = 0 0 1, bukan merupakan
0 0 0
2-eksponen dari digraph-dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
23
1
dari v1 ke v1 , v1 ke v2 , v1 ke
dengan panjang 3 dengan komposisi
2
v3 , v2 ke v1 , v2 ke v2 , v3 ke v1 , v3 ke v2 , dan v3 ke v3 .
0 0 0
4. (R, B)(0,3) = B 3 = 0 0 0, bukan merupakan 2-eksponen dari di0 0 0
graph dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk dengan panjang 3
0
dari v1 ke v1 , v1 ke v2 , v1 ke v3 , v2 ke v1 , v2 ke
dengan komposisi
3
v2 , v2 ke v3 , v3 ke v1 , v3 ke v2 , dan v3 ke v3 .
d. Lakukan dengan cara yang sama sampai dengan h + k = 7
0 0 0
1. (R, B)(7,0) = R7 = 0 0 0, bukan merupakan 2-eksponen dari di0 0 0
graph dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk dengan panjang 7
7
dari v1 ke v1 , v1 ke v2 , v1 ke v3 , v2 ke v1 , v2 ke
dengan komposisi
0
v2 , v2 ke v3 , v3 ke v1 , v3 ke v2 , dan v3 ke v3 .
0 0 0
2. (R, B)(6,1) = R(R, B)(5,1) +B(R, B)(6,0) = 0 0 0, bukan merupakan
0 0 0
2-eksponen dari digraph dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk
6
dari v1 ke v1 , v1 ke v2 , v1 ke
dengan panjang 7 dengan komposisi
1
v3 , v2 ke v1 , v2 ke v2 , v2 ke v3 , v3 ke v1 , v3 ke v2 , dan v3 ke v3 .
0 1 0
3. (R, B)(5,2) = R(R, B)(4,2) +B(R, B)(5,1) = 0 0 0, bukan merupakan
1 3 0
2-eksponen dari digraph dwiwarna tersebut karena tidak terdapat walk
5
dari v1 ke v1 , v1 ke v3 , v2 ke
dengan panjang 7 dengan komposisi
2
v1 , v2 ke v2 , v2 ke v3 , v3 ke v1 , v3 ke v2 , dan v3 ke v3 .
1 1 2
4. (R, B)(4,3) = R(R, B)(3,2) + B(R, B)(4,2) = 2 3 1, karena untuk
1 1 3
setiap pasangan verteks u dan v di digraph tersebut terdapat walk den
4
maka 2-eksponen dari digraphgan panjang 7 dengan komposisi
3
4
.
dwiwarna tersebut adalah 7 dengan komposisi
3
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
24
2.6 Beberapa Fakta Tentang Digraph-Dwiwarna Asimetrik Yang Memuat Cycle Primitif
Asumsikan bahwa h dan k adalah bilangan bulat tak negatif sedemikian
hingga diantara pasangan verteks u ke v ada sebuah (h, k)-walk dari u ke v.
Lemma 2.4 Andaikan D adalah digraph-dwiwarna yang terdiri dari dua cycle
yang memiliki paling sedikit satu arc pada masing-masing warna. Misalkan s dan
s
h
. Maka
= M
t merupakan bilangan bulat tak negatif sedemikian hingga
t
k
r(puv )
s
, untuk beberapa path puv dari u ke v.
≥ M −1
b(puv )
t
Bukti. Karena ada suatu (h, k)-walk dari u ke v, sehingga (h, k)-walk merupakan
komposisi path puv dari u ke v dan cycle - cycle di D,
x1
h
r(puv )
=M
+
k
b(puv )
x2
untuk beberapa x1 , x2 ≥ 0 dan beberapa path puv dari u ke v.
s
h
maka
=M
Karena
t
k
0
x
s
−1 r(puv )
= 1 ≥
−M
t
0
x2
b(puv )
s
−1 r(puv )
≥M
jadi,
b(puv )
t
Shader dan Suwilo (2006) memberikan suatu pendefenisian untuk digunakan
dalam menentukan 2-eksponen digraph dwiwarna yang terdiri dari dua cycle, yaitu:
Andaikan D adalah suatu digraph-dwiwarna primitif yang terdiri dari dua cycle
r(γ1 ) r(γ2 )
. Karena D adalah 2-primitif, tanpa
γ1 dan γ2 dan misalkan M =
b(γ1 ) b(γ2 )
menghilangkan keumumannya asumsikan det(M ) = 1. Untuk setiap pasangan
verteks u dan v, andaikan puv adalah path terpendek dari u ke v, didefenisikan
′
ℓr = max {b(γ2 )r(puv ) − r(γ2 )b(puv )}
u,v∈V
′
ℓb = max {r(γ1 )b(puv ) − b(γ1 )r(puv )}
u,v∈V
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
(2.11)
(2.12)
25
dengan V adalah himpunan verteks di D.
Pada tahun 2008, Suwilo memperlihatkan bahwa bila D adalah digraph dwiwarna yang berbentuk lollipops dan asimetrik maka batas atas 2-eksponen D
adalah exp2 (D) ≤ (s2 − 1)/2 + (s + 1)(n − s).
Teorema 2.5 Andaikan D adalah (n, s)-lollipop dwiwarna primitif asimetrik dengan s ≥ 3. Maka exp(D) ≤ (s2 − 1)/2 + (s + 1)(n − s).
Bukti. Andaikan cycle matrik di D adalah C dengan C = {γ1 , γ2 }. Karena D
adalah asimetrik cukup ditunjukkan bahwa untuk setiap verteks u dan v di D ada
sebuah (e, e)-walk dengan e = (s2 − 1)/4 + (s + 1)(n − s)/2. Karena D asimetrik,
untuk setiap verteks u di D ada (1, 1)-walk dari u ke dirinya sendiri. Andaikan
u dan v merupakan dua verteks yang berbeda di D dan andaikan puv merupakan
path terpendek dari u ke v. Jika r(puv ) = b(puv ), maka bukti selesai. Jadi kita
asumsikan bahwa r(puv ) 6= b(puv ) dan tanpa menghilangkan keumumannya anggap
bahwa r(puv ) > b(puv ). Pembuktian ini akan kita tunjukkan atas 2 kasus, yaitu :
Kasus 1. Path puv mempunyai verteks sekutu dengan C.
Sebuah (e, e)-walk dari verteks u ke v dibentuk dengan cara sebagai berikut. Walk
dimulai di verteks u, kemudian ikuti path puv menuju ke verteks v, lalu mengelilingi
γ1 sebanyak r(puv ) − b(puv ) kali dan kembali ke v sehingga terbentuk (e, e)-walk.
Komposisi dari walk wuv tersebut adalah
(s − 1)/2
r(puv )
r(wuv )
.
+ (r(puv ) − b(puv ))
=
(s + 1)/2
b(puv )
b(wuv )
b(puv ) + (r(puv ) − b(puv ))(s + 1)/2
r(wuv )
=
b(puv ) + r(puv )
− b(puv ))(s+ 1)/2
b(wuv )
(s + 1)/2
.
≤ (r(puv ) + b(puv ))
(s + 1)/2
Karena (r(puv ) + b(puv )) ≤ (s + 1)/2 + (n − s), maka
2
(s − 1)/2 + (s + 1)(n − s)/2
(s + 1)/2
r(wuv )
.
=
≤ ((s − 1)/2 + (n − s))
(s2 − 1)/2 + (s + 1)(n − s)/2
(s + 1)/2
b(wuv )
Indra Syahputra : 2-Eksponen Digraph Dwiwarna Asimetrik Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
26
Kasus 2. Semua path puv tidak mempunyai verteks sekutu dengan cycle C.
Sebuah (e, e)-walk dari verteks u ke v dibentuk dengan cara sebagai berikut. Walk
dimulai di verteks u, kemudian ikuti path pus menuju ke verteks s, lalu mengelilingi
γ1 sebanyak r(puv ) − b(puv ) kali dan kembali ke s, dan akhirnya ikuti path psv ke
verteks v sehingga terb