Eksponen Verteks Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan
EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA
CYCLE YANG BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
TAUFIK ZUHRI
050803037
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011
Universitas Sumatera Utara
EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA
CYCLE YANG BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana
Sains
TAUFIK ZUHRI
050803037
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011
Universitas Sumatera Utara
i
PERSETUJUAN
Judul
: EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWIWARNA DENGAN DUA CYCLE YANG
BERSINGGUNGAN
Kategori
: SKRIPSI
Nama
: TAUFIK ZUHRI
Nomor Induk Mahasiswa
: 050803037
Program Studi
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
: MATEMATIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA
Medan, Mei 2011
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2
Pembimbing 1
Drs. Pangeran Sianipar, M.S.
Dr. Saib Suwilo, M.Sc.
NIP. 19470208 197403 1 001
NIP. 19640109 198803 1 004
Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
Universitas Sumatera Utara
ii
PERNYATAAN
EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA CYCLE
YANG SALING BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Mei 2011
TAUFIK ZUHRI
050803037
Universitas Sumatera Utara
iii
PENGHARGAAN
Dengan puji dan syukur kepada Allah SWT, karena berkat dan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ” EKSPONEN
VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA CYCLE YANG
SALING BERSINGGUNGAN” ini dengan baik.
Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis banyak sekali menerima bantuan dan
masukan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima
kasih sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku dosen pembimbing I, Drs. Pangeran
Sianipar, M.S selaku dosen pembimbing II, Dra. Mardiningsih, M.Si dan
Drs. Ujian Sinulingga, M.Si yang telah memberi dukungan moral, motivasi
dan ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan penelitian ini.
2. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. dan Dra. Mardiningsih, M.Si., selaku Ketua
dan Sekretraris Departemen Matematika di FMIPA USU Medan.
4. Seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
5. Ayahanda Gusron Ainuddin Hasibuan dan Ibunda Meriati Lubis tercinta,
abanganda Ardinal Sakti serta adik-adikku Faisal Hamdi, Kholyda Hafni,
Zulfadli, dan Indra Gusti yang selalu memberikan dukungan moril dan materiel maupun doa yang tiada hentinya kepada penulis.
Tidak lupa kiranya penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Astri
Syafrianti, Firdaus Safran, Kiki Winarti, Fitri, bang Deni Ramadani, bang Ramidin,
bang Darto Siregar, M. Haikal Lubis, Novi Yuanda Lubis, Ibnu Haris Lubis (Loebsy
Community), Aghni Syahmarani yang telah menjadi sahabat dekat penulis selama
menimbah ilmu di USU. Kepada guru-guru dan kawan-kawan sewaktu duduk di
bangku SD, SMP, dan SMA, juga tidak lupa kiranya penulis mengucapkan terima
kasih atas didikan dan persahabatan selama ini.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu
penulis meminta saran dan kritik yang membangun dari pembaca sekalian.
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga
tulisan ini berguna bagi yang membutuhkan.
Medan,
Penulis,
Mei 2011
TAUFIK
ZUHRI
Universitas
Sumatera Utara
iv
ABSTRAK
Andaikan D(2) adalah suatu digraph dwi-warna yang primitif atas n = 2m − 2,
m ≥ 3 verteks dengan dua buah cycle yang saling bersinggungan di satu verteks
dengan panjang cycle masing-masing adalah m dan m − 1. Tulisan ini akan
memperlihatkan pola eksponen verteks dari digraph dwi-warna D(2) , sehingga
expD(2) (vk ) = 21 (n2 − 2) + ⌊ k2 ⌋.
Universitas Sumatera Utara
v
VERTEX EXPONENT OF TWO-COLORED DIGRAPHS WITH
TWO CYCLES WHOSE HAVE A COMMON VERTEX
ABSTRACT
Let D(2) be a primitive two-colored digraph on n = 2m − 2, m ≥ 3 vertices whose
two cycles which has a common vertex and the lenght of each cycle is m and
m − 1. This paper will give the formula of vertex exponent of 2-digraph D(2) such
that expD(2) (vk ) = 12 (n2 − 2) + ⌊ k2 ⌋.
Universitas Sumatera Utara
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
iv
ABSTRACT
v
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR GAMBAR
vii
BAB
1. PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1
Latar Belakang Penelitian
Perumusan Masalah
Tinjauan Pustaka
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
Metodologi Penelitian
1
2
2
6
6
6
2. LANDASAN TEORI
8
2.1. Digraph
2.2. Digraph Dwi-Warna
8
18
3. EKSPONEN VERTEKS 2-DIGRAPH DENGAN DUA CYCLE
YANG BERSINGGUNGAN
33
4. KESIMPULAN DAN RISET LANJUTAN
36
4.1. Kesimpulan
4.2. Riset Lanjutan
DAFTAR PUSTAKA
36
37
38
Universitas Sumatera Utara
vii
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
2.1
Digraph dengan 6 verteks dan 8 arc
9
2.2
Digraph dengan 5 verteks dan 7 arc
10
2.3
(a) Digraph terhubung kuat
2.4
Digraph primitif
11
2.5
Digraph dengan 4 verteks dan 5 arc
16
2.6
Sebuah 2-Digraph yang terdiri dari 5 verteks dan 7 arc
19
2.7
(a) 2-Digraph terhubung kuat
kuat
21
(b) Digraph tidak terhubung kuat 11
(b) 2-Digraph tidak terhubung
2.8
Sebuah 2-Digraph yang terdiri dari 4 verteks dan 5 arc
23
2.9
Sebuah 2-Digraph dengan 3 verteks dan 4 arc
27
2.10 Sebuah 2-Digraph dengan dua cycle
32
Universitas Sumatera Utara
iv
ABSTRAK
Andaikan D(2) adalah suatu digraph dwi-warna yang primitif atas n = 2m − 2,
m ≥ 3 verteks dengan dua buah cycle yang saling bersinggungan di satu verteks
dengan panjang cycle masing-masing adalah m dan m − 1. Tulisan ini akan
memperlihatkan pola eksponen verteks dari digraph dwi-warna D(2) , sehingga
expD(2) (vk ) = 21 (n2 − 2) + ⌊ k2 ⌋.
Universitas Sumatera Utara
v
VERTEX EXPONENT OF TWO-COLORED DIGRAPHS WITH
TWO CYCLES WHOSE HAVE A COMMON VERTEX
ABSTRACT
Let D(2) be a primitive two-colored digraph on n = 2m − 2, m ≥ 3 vertices whose
two cycles which has a common vertex and the lenght of each cycle is m and
m − 1. This paper will give the formula of vertex exponent of 2-digraph D(2) such
that expD(2) (vk ) = 12 (n2 − 2) + ⌊ k2 ⌋.
Universitas Sumatera Utara
EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA
CYCLE YANG BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
TAUFIK ZUHRI
050803037
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011
Universitas Sumatera Utara
EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA
CYCLE YANG BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana
Sains
TAUFIK ZUHRI
050803037
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011
Universitas Sumatera Utara
i
PERSETUJUAN
Judul
: EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWIWARNA DENGAN DUA CYCLE YANG
BERSINGGUNGAN
Kategori
: SKRIPSI
Nama
: TAUFIK ZUHRI
Nomor Induk Mahasiswa
: 050803037
Program Studi
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
: MATEMATIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA
Medan, Mei 2011
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2
Pembimbing 1
Drs. Pangeran Sianipar, M.S.
Dr. Saib Suwilo, M.Sc.
NIP. 19470208 197403 1 001
NIP. 19640109 198803 1 004
Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
Universitas Sumatera Utara
ii
PERNYATAAN
EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA CYCLE
YANG SALING BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Mei 2011
TAUFIK ZUHRI
050803037
Universitas Sumatera Utara
iii
PENGHARGAAN
Dengan puji dan syukur kepada Allah SWT, karena berkat dan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ” EKSPONEN
VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA CYCLE YANG
SALING BERSINGGUNGAN” ini dengan baik.
Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis banyak sekali menerima bantuan dan
masukan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima
kasih sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku dosen pembimbing I, Drs. Pangeran
Sianipar, M.S selaku dosen pembimbing II, Dra. Mardiningsih, M.Si dan
Drs. Ujian Sinulingga, M.Si yang telah memberi dukungan moral, motivasi
dan ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan penelitian ini.
2. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. dan Dra. Mardiningsih, M.Si., selaku Ketua
dan Sekretraris Departemen Matematika di FMIPA USU Medan.
4. Seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
5. Ayahanda Gusron Ainuddin Hasibuan dan Ibunda Meriati Lubis tercinta,
abanganda Ardinal Sakti serta adik-adikku Faisal Hamdi, Kholyda Hafni,
Zulfadli, dan Indra Gusti yang selalu memberikan dukungan moril dan materiel maupun doa yang tiada hentinya kepada penulis.
Tidak lupa kiranya penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Astri
Syafrianti, Firdaus Safran, Kiki Winarti, Fitri, bang Deni Ramadani, bang Ramidin,
bang Darto Siregar, M. Haikal Lubis, Novi Yuanda Lubis, Ibnu Haris Lubis (Loebsy
Community), Aghni Syahmarani yang telah menjadi sahabat dekat penulis selama
menimbah ilmu di USU. Kepada guru-guru dan kawan-kawan sewaktu duduk di
bangku SD, SMP, dan SMA, juga tidak lupa kiranya penulis mengucapkan terima
kasih atas didikan dan persahabatan selama ini.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu
penulis meminta saran dan kritik yang membangun dari pembaca sekalian.
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga
tulisan ini berguna bagi yang membutuhkan.
Medan,
Penulis,
Mei 2011
TAUFIK
ZUHRI
Universitas
Sumatera Utara
iv
ABSTRAK
Andaikan D(2) adalah suatu digraph dwi-warna yang primitif atas n = 2m − 2,
m ≥ 3 verteks dengan dua buah cycle yang saling bersinggungan di satu verteks
dengan panjang cycle masing-masing adalah m dan m − 1. Tulisan ini akan
memperlihatkan pola eksponen verteks dari digraph dwi-warna D(2) , sehingga
expD(2) (vk ) = 21 (n2 − 2) + ⌊ k2 ⌋.
Universitas Sumatera Utara
v
VERTEX EXPONENT OF TWO-COLORED DIGRAPHS WITH
TWO CYCLES WHOSE HAVE A COMMON VERTEX
ABSTRACT
Let D(2) be a primitive two-colored digraph on n = 2m − 2, m ≥ 3 vertices whose
two cycles which has a common vertex and the lenght of each cycle is m and
m − 1. This paper will give the formula of vertex exponent of 2-digraph D(2) such
that expD(2) (vk ) = 12 (n2 − 2) + ⌊ k2 ⌋.
Universitas Sumatera Utara
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
iv
ABSTRACT
v
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR GAMBAR
vii
BAB
1. PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1
Latar Belakang Penelitian
Perumusan Masalah
Tinjauan Pustaka
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
Metodologi Penelitian
1
2
2
6
6
6
2. LANDASAN TEORI
8
2.1. Digraph
2.2. Digraph Dwi-Warna
8
18
3. EKSPONEN VERTEKS 2-DIGRAPH DENGAN DUA CYCLE
YANG BERSINGGUNGAN
33
4. KESIMPULAN DAN RISET LANJUTAN
36
4.1. Kesimpulan
4.2. Riset Lanjutan
DAFTAR PUSTAKA
36
37
38
Universitas Sumatera Utara
vii
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
2.1
Digraph dengan 6 verteks dan 8 arc
9
2.2
Digraph dengan 5 verteks dan 7 arc
10
2.3
(a) Digraph terhubung kuat
2.4
Digraph primitif
11
2.5
Digraph dengan 4 verteks dan 5 arc
16
2.6
Sebuah 2-Digraph yang terdiri dari 5 verteks dan 7 arc
19
2.7
(a) 2-Digraph terhubung kuat
kuat
21
(b) Digraph tidak terhubung kuat 11
(b) 2-Digraph tidak terhubung
2.8
Sebuah 2-Digraph yang terdiri dari 4 verteks dan 5 arc
23
2.9
Sebuah 2-Digraph dengan 3 verteks dan 4 arc
27
2.10 Sebuah 2-Digraph dengan dua cycle
32
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar seperti definisi dan beberapa
teorema sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar ini berkaitan dengan
masalah yang dibahas dalam tulisan ini seperti digraph, keterhubungan suatu
digraph, eksponen digraph, 2-digraph, dan eksponen dari 2-digraph.
2.1 Digraph
Secara sederhana graph adalah kumpulan titik atau lingkaran kecil yang dihubungkan oleh garis tak berarah.
Jika garis penghubung diberi arah, maka graph
demikian dinamakan digraph (directed graph).
2.1.1 Definisi.
Suatu digraph D adalah suatu objek Matematika yang terdiri dari dua himpunan
yaitu :
1. Himpunan berhingga tak kosong V = {v0, v1, · · · , vn }. Unsur dari V disebut
verteks dari Digraph D.
2. Himpunan A yang merupakan himpunan bagian dari pasangan tak berurutan
V × V dengan verteks-verteksnya tidak harus berbeda, dan unsur-unsurnya
disebut arc dari digraph D.
Suatu α(u, v) adalah arc yang dibentuk dari verteks u ke verteks v. Suatu
arc (u, v) dapat juga dinotasikan dengan u → v.
Contoh 2.1 Himpunan verteks V = {v1, v2, v3, v4, v5 , v6} bersama dengan himpunan arc A = {(v1, v2 ), (v2, v3), (v2, v4), (v3, v4), (v4, v5), (v5 , v2), (v6, v1), (v6, v5)}
adalah suatu digraph dengan 6 verteks dan 8 arc.
Universitas Sumatera Utara
9
Suatu digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara setiap verteks
direpresentasikan sebagai sebuah titik dan setiap arc (u, v) direpresentasikan garis
berarah dari titik u ke v.
Contoh 2.2 Representasi grafis dari digraph pada Contoh 2.1
v1 ✈
✻
v6 ✈
✲
✠
✲
v✈2
✲
❄
✻
✈
v
✈3
✛
v5
✈
v4
Gambar 2.1 : Digraph dengan 6 verteks dan 8 arc
Andaikan D adalah suatu digraph dan misalkan u dan v adalah verteks di
digraph D. Suatu walk dengan panjang m dari u ke v didefinisikan sebagai barisan
arc dan dituliskan sebagai
v0 → v1 → v2 → · · · → vm−1 → vm
dengan m > 0, v0 = u, dan vm = v. Suatu walk dikatakan terbuka jika u 6=
v dan dikatakan tertutup jika sebaliknya. Suatu path adalah suatu walk tanpa
perulangan verteks kecuali mungkin verteks awal dan verteks akhir. Suatu path
yang memiliki v0 = vm disebut cycle.
Digraph pada Gambar 2.1 di atas memiliki walk, path, dan cycle sebagai
berikut :
a. Barisan arc v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v2 → v6 adalah suatu walk terbuka
tetapi bukan path karena ada verteks yang berulang.
b. Barisan arc v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v6 disebut path karena tidak ada
verteks yang berulang.
c. Barisan arc v2 → v3 → v4 → v5 disebut cycle.
Universitas Sumatera Utara
10
2.1.2 Matriks Adjacency Digraph.
Keterhubungan sebuah digraph D dengan n verteks dapat dinyatakan ke dalam
bentuk matriks ordo n × n yang entri dari matriks tersebut adalah bilangan 1 atau
0. Matriks yang demikian disebut sebagai matriks adjacency.
Untuk setiap digraph D dengan m verteks dapat dituliskan suatu (0,1)matriks A(D)=[aij ] sebagai berikut
1, jika terdapat arc dari vi ke vj
ai,j =
0, jika sebaliknya.
untuk i, j = 1, 2, · · · , m
Berikut ini diberikan contoh matriks adjacency dari sebuah digraph yang
direpresentasikan secara grafis.
Contoh 2.3 Representasi dari sebuah digraph
v1 ✈
✻
✈
v5
✲
✠
✲
v✈2
❅
❅
❘
❅
❅
❅
❅✈v3
✻
✒
✈
v4
Gambar 2.2 : Digraph dengan 5 verteks dan 7 arc
Dari representasi digraph diatas diperoleh matriks adjacency sebagai berikut
0 1 0 0 0
0 0 1 0 1
A(D) = 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 0 1 0
Universitas Sumatera Utara
11
2.1.3 Digraph Primitif.
Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap
pasangan verteks u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan sebaliknya. Berikut
contoh digraph terhubung kuat dan tidak terhubung kuat.
Contoh 2.4 Representasi dari digraph yang terhubung kuat dan tidak terhubung
kuat.
v2
t
t
❅
❘
❅
❅
❅tv4
✠
t
v1 t✒
❅
❅
■
❅
❅t
v6
v2
v3
✲
✛
t
v1 t✒
❅
❘
❅
❅
❅t
v6
v5
Gambar 2.3 : (a) Digraph terhubung kuat
✲
✛
v3
t
❅
❘
❅
❅
❅tv4
✠
t
v5
(b) Digraph tidak terhubung kuat
Pada Gambar 2.3, ditunjukkan bahwa (a) adalah suatu digraph terhubung
kuat karena terdapat walk dari satu verteks ke verteks lainnya, dan (b) adalah
suatu digraph tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v6 ke v1.
Suatu digraph terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat
positif k sedemikian hingga untuk setiap pasangan verteks u dan v di D terdapat
walk dari u ke v dengan panjang k. Berikut ini diberikan representasi grafis digraph
yang terhubung kuat dan primitif.
Contoh 2.5 Digraph terhubung kuat di bawah ini adalah primitif.
v1
tv2
✚
✚
✚
✚
❄
❃
✻ ✚✚
✚
✚
✛
t
t
t
v4
✲
v3
Gambar 2.4 : Digraph primitif
Pada Gambar 2.4 di atas, D adalah digraph terhubung kuat dengan dua cycle
Universitas
v2 → v3 Sumatera
→ v4 → vUtara
yaitu : v1 → v2 → v3 → v4 → v1 dengan panjang 4 dan cycle
2
12
dengan panjang 3. Brualdi dan Ryser menjamin bahwa suatu digraph D adalah
primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari panjang-panjang
cycle di D adalah 1.
Lemma berikut ini akan menjamin bahwa setiap verteks di digraph D terletak
pada suatu cycle bila digraph D terhubung kuat.
Lemma 2.1 Andaikan D adalah digraph terhubung kuat maka setiap verteks v di
D terletak pada cycle.
Bukti: Ambil sebarang verteks v di D. Karena D terhubung kuat, maka ada
suatu arc dari verteks v ke verteks u. Karena D terhubung kuat, maka terdapat
path dari verteks u ke v yang berakibat akan diperoleh suatu path tertutup di
D yang dibentuk oleh arc dari verteks u ke v dan path dari verteks v ke u di D.
Oleh definisi, path tertutup adalah suatu cycle dan v sebarang verteks di D, maka
setiap verteks v di D terletak pada suatu cycle.
2.1.4 Eksponen Digraph.
Pada bahasan sebelumnya, telah dijelaskan bahwa suatu digraph terhubung kuat
dikatakan primitif bila terdapat bilangan bulat positif k sedemikian hingga untuk
setiap pasangan verteks u dan v di D terdapat suatu walk dari verteks u ke verteks
v dan sebaliknya dengan panjang k. Bilangan bulat terkecil dari semua k tersebut
dikatakan sebagai eksponen digraph D, dan dinotasikan exp(D). Berikut ini akan
dijelaskan hubungan antara matriks adjecency dari sebuah digraph primitif dan
eksponen dari digraph tersebut.
Pada tahun 2005, Zaini dan Suwilo menyatakan bahwa verteks vi ke vj di Ak
memiliki walk dengan panjang k.
Proposisi 2.2 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D. Entri
akij dari Ak menyatakan banyaknya walk dari vi ke vj yang panjangnya k di D.
Universitas Sumatera Utara
13
Bukti: Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D, maka setiap
entri (i, j) dari A menyatakan arc dari vi ke vj di digraph D. Hal ini berakibat
untuk k = 1, maka setiap entri a1ij dari A1 menyatakan banyaknya walk dari vi ke
vj yang panjangnya satu.
(k)
Asumsikan setiap entri aij dan Ak menyatakan banyaknya walk dari vi dan
(k+1)
vj yang panjangnya k di D, untuk k ≥ 1. Berikut ini diperlihatkan aij
adalah
banyaknya walk dari vi ke vj yang panjangnya k + 1 di D, untuk k ≥ 1.
Perhatikan setiap walk dari vi ke vj di D dengan panjang k + 1 yang terdiri
dari walk dari vi ke vj dengan panjang k untuk l = 1, 2, . . . , n dan dilanjutkan
(k)
dengan arc dari vi ke vj . Sehingga ail alj adalah menyatakan walk yang panjangnya
k + 1 dari vi ke vj di D, untuk k = 1, 2, . . . , n. Jika tidak terdapat walk yang
(k)
(k)
panjang k dari vi ke vj di D, maka ail = 0 sehingga ail alj = 0. Hal ini berarti
tidak terdapat walk dengan panjang k+1 dari vi ke vj yang melalui vl di D sehingga
diperoleh banyaknya walk yang panjangnya k + 1 dari vi ke vj di D adalah
(k)
(k)
(k)
ai1 a1j + ai2 a2j + · · · + ain anj =
n
X
(k)
ail alj
i=1
karena
Ak+1 = Ak A
maka
(k)
aij
=
n
X
(k)
ail alj
i=1
(k+1)
Hal ini berakibat aij
adalah benar menyatakan banyaknya walk dari vi ke
vj yang panjangnya k + 1 di D. Jadi, elemen (i, j) dari Ak adalah banyaknya walk
yang panjangnya k dari vi ke vj .
Berikut ini adalah matriks adjecency dari digraph yang diberikan pada Gambar 2.4 dan selanjutnya akan dicari eksponennya dengan menggunakan Proposisi
2.2 pada halaman sebelumnya.
Universitas Sumatera Utara
14
Dari representasi
grafis
pada Gambar 2.4 diperoleh matriks adjacency sebagai
0 1 0 0
0 0 1 0
, dengan Proposisi 2.2 untuk mencari banyak walk dari
berikut A =
0 0 0 1
1 1 0 0
verteks vi ke vj dengan panjang k adalah entri dari matriks akij dari Ak dengan
demikian nilai k adalah eksponen dari digraph. Perhatikan matriks Ak .
a.
b.
c.
d.
e.
0 1 0 0
0 0 1 0
, maka bukan merupakan ekspoUntuk k = 1 ; diperoleh A =
0
0
0
1
1 1 0 0
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 1 dari v1 ke v1.
0 0 1 0
0 0 0 1
, maka bukan merupakan ekspo
Untuk k = 2 ; diperoleh A =
1 1 0 0
0 1 1 0
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 2 dari v1 ke v1.
0 0 0 1
1 1 0 0
, maka bukan merupakan ekspoUntuk k = 3 ; diperoleh A =
0 1 1 0
0 0 1 1
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 3 dari v1 ke v1.
1 1 0 0
0 1 1 0
, maka bukan merupakan ekspoUntuk k = 4 ; diperoleh A =
0
0
1
1
1 1 0 1
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 4 dari v1 ke v3.
0 1 1 0
0 0 1 1
, maka bukan merupakan ekspoUntuk k = 5 ; diperoleh A =
1 1 0 1
1 2 1 0
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 5 dari v1 ke v1.
Universitas Sumatera Utara
15
f.
g.
h.
i.
i.
0 0 1 1
1 1 0 1
, maka bukan merupakan ekspoUntuk k = 6 ; diperoleh A =
1 2 1 0
0 1 2 1
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 6 dari v1 ke v1.
1 1 0 1
1 2 1 0
, maka bukan merupakan ekspoUntuk k = 7 ; diperoleh A =
0
1
2
1
1 1 1 2
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 7 dari v1 ke v3.
1 2 1 0
0 1 2 1
, maka bukan merupakan ekspoUntuk k = 8 ; diperoleh A =
1 1 1 2
2 3 1 1
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 8 dari v1 ke v4.
0 1 2 1
1 1 1 2
, maka bukan merupakan ekspoUntuk k = 9 ; diperoleh A =
2
3
1
1
1 3 3 1
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 9 dari v1 ke v1.
1 1 1 2
2 3 1 1
, karena terdapat walk dengan
Untuk k = 10 ; diperoleh A =
1 3 3 1
1 2 3 3
panjang 10 dari tiap pasangan verteks di D, maka eksponen dari digraph
pada Gambar 2.4 adalah 10.
2.1.5 Eksponen verteks digraph.
Misalkan D adalah sebuah digraph primitif dengan himpunan verteks V (D) =
{v1, v2, · · · , vn }. Untuk suatu vk ∈ V (D) dan X ⊆ V (D), eksponen verteks
expD (vk ) adalah bilangan bulat positif terkecil m sedemikian hingga terdapat
walk dengan panjang m dari vk ke setiap verteks di D, dan eksponen himpunan
expD (X) adalah bilangan bulat positif terkecil p sehingga untuk setiap verteks
Universitas Sumatera Utara
16
vj di D terdapat sebuah walk dari paling sedikit satu verteks di X ke vj dengan
panjang p.
Misalkan D adalah digraph primitif dengan orde n. Jika verteks-verteks di
D adalah v1, v2 , · · · , vn sedemikian hingga
expD (v1 ) ≤ expD (v2 ) ≤ · · · ≤ expD (vn )
maka expD (vk ) adalah tipe pertama eksponen ke-k dari D yang digeneralisasikan.
Berikut ini diberikan contoh representasi grafis digraph yang akan dicari
eksponen verteksnya dengan menggunakan Proposisi 2.2.
Contoh 2.6 Digraph primitif dengan dua cycle
✲
✛
v1 t
t
✛
tv3
v4
❘
✒
t
v2
Gambar 2.5 : Digraph dengan 4 verteks dan 5 arc
Dari representasigrafis pada Gambar 2.5 di atas diperoleh matriks adjacency
0 1 1 0
0 0 1 0
, dengan Proposisi 2.2 dapat dicari eksponen
sebagai berikut A =
0 0 0 1
1 0 0 0
verteks dari masing-masing verteks di D, yaitu dengan melihat entri matriks akij
dari Ak , dimana entri pada baris ke-i positif untuk suatu bilangan bulat k.
0 1 1 0
0 0 1 0
, tidak ada baris yang seluruh
a. Untuk k = 1 ; diperoleh A =
0
0
0
1
1 0 0 0
entrinya bernilai positif.
Universitas Sumatera Utara
17
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
0 0 1 1
0 0 0 1
, tidak ada baris yang seluruh
Untuk k = 2 ; diperoleh A =
1 0 0 0
0 1 1 0
entrinya bernilai positif.
1 0 0 1
1 0 0 0
, tidak ada baris yang seluruh
Untuk k = 3 ; diperoleh A =
0
1
1
0
0 0 1 1
entrinya bernilai positif.
1 1 1 0
0 1 1 0
, tidak ada baris yang seluruh
Untuk k = 4 ; diperoleh A =
0 0 1 1
1 0 0 1
entrinya bernilai positif.
0 1 2 1
0 0 1 1
, tidak ada baris yang seluruh
Untuk k = 5 ; diperoleh A =
1
0
0
1
1 1 1 0
entrinya bernilai positif.
1 0 1 2
1 0 0 1
, tidak ada baris yang seluruh
Untuk k = 6 ; diperoleh A =
1 1 1 0
0 1 2 1
entrinya bernilai positif.
2 1 1 1
1 1 1 0
Untuk k = 7 ; diperoleh A =
0 1 2 1, pada baris ke-1 seluruh entrinya
1 0 1 2
positif, maka exp(v1) = 7
1 2 3 1
0 1 2 1
, pada baris ke-4 seluruh entrinya
Untuk k = 8 ; diperoleh A =
1 0 1 2
2 1 1 1
positif, maka exp(v4) = 8
Universitas Sumatera Utara
18
1 1 3 3
1 0 1 2
, pada baris ke-3 seluruh entrinya
i. Untuk k = 9 ; diperoleh A =
2 1 1 1
1 2 3 1
positif, maka exp(v3) = 9
3 1 2 3
2 1 1 1
, pada baris ke-2 seluruh entrinya
j. Untuk k = 10 ; diperoleh A =
1 2 3 1
1 3 3 3
positif, maka exp(v2) = 10
Karena ketiga verteks tersebut masing-masing telah memperoleh eksponen
verteks, maka operasi selesai. Diperolehlah kesimpulan bahwa exp(v1 ) = 7, exp(v2) =
10, exp(v3) = 9, dan exp(v4 ) = 8.
2.2 Digraph Dwi-Warna
Suatu digraph dwi-warna D(2) (atau 2-digraph) adalah suatu digraph D yang
setiap arcnya diwarnai merah atau biru tetapi tidak keduanya.
2.2.1 Definisi.
Suatu digraph dwi-warna D(2) adalah suatu objek yang terdiri dari himpunan V =
{v0, v1, · · · , vn } yang unsur-unsurnya disebut verteks dari D(2) , bersama dengan
himpunan R ⊆ V × V yang unsur-unsurnya disebut arc merah dan himpunan
B ⊆ V × V yang unsur-unsurnya disebut arc biru dari D(2) . Suatu arc merah
r
→ v dan suatu arc biru (u, v) dinotasikan dengan
(u, v) dinotasikan dengan u −
b
→ v.
u−
Suatu digraph dwi-warna dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara
sebagai berikut:
1. Setiap verteks direpresentasikan sebagai suatu titik.
2. Setiap arc merah direpresentasikan sebagai garis atau kurva berarah tak
putus.
Universitas Sumatera Utara
19
3. Setiap arc biru direpresentasikan sebagai garis atau kurva berarah putusputus.
Suatu (h, k)-walk dalam digraph dwi-warna D(2) adalah sebuah walk yang
terdiri dari h arc merah dan k arc biru. Untuk sebuah walk w di D(2) notasi r(w)
menyatakan banyak arc merah dan b(w) menyatakan banyak arc biru. Panjang suatu walk w adalah banyak arc merah dan arc biru yang membentuk walk tersebut,
i
h
disebut komposisi dari w.
dinotasikan ℓ(w) = r(w) + b(w). Vektor r(w)
b(w)
Suatu path adalah suatu walk dengan verteks berbeda kecuali mungkin
verteks awal dan verteks akhir. Suatu cycle adalah suatu path tertutup. Berikut
ini diberikan contoh representasi grafis 2-digraph.
Contoh 2.7 Himpunan verteks V = {1, 2, 3, 4, 5} bersama dengan himpunan
arc merah R = {(1, 2), (2, 3), (2, 5), (4, 2), (4, 3)} dan arc biru B = {(1, 5), (5, 4)}
adalah suatu digraph dwi-warna dengan 5 verteks, 5 arc merah dan 2 arc biru. Representasi grafis dari digraph dwi-warna dari Contoh 2.2.1 adalah sebagai berikut:
v1
v2
✲
t
✻
✠
t
✲
v5
t
❅
❅
❘
❅
❅
❅
❅tv3
✻
✒
t
v4
Gambar 2.6 : Sebuah 2-Digraph yang terdiri dari 5 verteks dan 7 arc
Dari Contoh 2.7 di atas dapat ditemukan beberapa walk, path, dan cycle,
yaitu:
r
r
b
r
r
a. Walk v1 −
→ v2 −
→ v5 −
→ v4 −
→ v2 −
→ v3 dengan komposisi
r
r
b
r
→ v2 −
→ v5 −
→ v4 −
→ v3 dengan komposisi
b. Path v1 −
" #
3
" #
4
1
1 Universitas Sumatera Utara
20
r
b
r
→ v5 −
→ v4 −
→ v2 dengan komposisi
c. Cycle v2 −
" #
2
1
2.2.2 Matriks Adjacency Digraph Dwi-Warna.
Pada digraph dwi-warna D(2) atas n verteks, untuk menentukan (0, 1)-matriks
adalah sebagai berikut.
Matriks adjacency merah, R = [rij ] pada D(2) adalah matriks n × n dengan
1, jika terdapat arc merah
ri,j =
0, jika sebaliknya
Matriks adjacency biru B = [bij ] pada D(2) adalah matriks n × n dengan
1, jika terdapat arc biru
bi,j =
0, jika sebaliknya
Berikut ini akan diberikan sebuah digraph dwi-warna dan direpresentasikan
ke dalam matriks adjacency-nya.
Contoh 2.8 Dari Gambar 2.6 dapat kita peroleh matriks adjacency-nya yaitu:
0 1 0 0 0
0 0 1 0 1
R = 0 0 0 0 0 adalah matriks adjacency merah ;
0 1 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
B = 0 0 0 0 0 adalah matriks adjacency biru.
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
Andaikan R dan B adalah matriks berordo m × m. Untuk bilangan bulat
tak negatif h dan k didefinisikan (h, k)-Hurwitz Product, (R, B)(h,k) , dari R
dan B adalah jumlah keseluruhan matriks dari hasil perkalian
R sebanyak
h kali
Universitas
Sumatera
Utara
21
dan B kali sebanyak k kali. Sebagai contoh, (R, B)(0,1) = B dan (R, B)(2,2) =
R2 B 2 + RBRB + RB 2 R + BRBR + BR2 B + B 2R2 .
2.2.3 Digraph Dwi-Warna Primitif.
Suatu digraph dwi-warna D(2) dikatakan terhubung kuat strongly connected jika
untuk setiap pasangan verteks u dan v di D(2) terdapat walk dari u ke v dan sebaliknya, tanpa memperhitungkan komposisi yang ada. Berikut ini akan diberikan
contoh digraph dwi-warna yang terhubung kuat dan yang tidak terhubung kuat.
Contoh 2.9 Representasi dari digraph dwi-warna yang terhubung kuat dan tidak
terhubung kuat
v2
t
v3
✲
v1 t✒
❅
❅
■
❅
❅t
✛
v6
t
❅
❘
❅
❅
❅tv4
✠
t
v5
Gambar 2.7 : (a) 2-Digraph terhubung kuat
v2
t
v3
✲
v1 t✒
❅
❘
❅
❅
❅t
v6
✛
t
❅
❘
❅
❅
❅tv4
✠
t
v5
(b) 2-Digraph tidak terhubung kuat
Pada Gambar 2.7 ditunjukkan bahwa (a) adalah 2-digraph terhubung kuat
karena terdapat walk dari satu verteks ke verteks lainnya. Sedangkan (b) adalah
2-digraph tidak terhubung kuat, karena tidak terdapat walk dari v6 ke v1 .
Sebuah digraph dwi-warna terhubung kuat D(2) dikatakan 2-primitif jika
dan hanya jika terdapat bilangan bulat tak negatif h dan k sehingga untuk setiap
pasangan dua verteks u dan v di D(2) terdapat (h, k)T -walk dari u ke v dan dari
v ke u. Andaikan D(2) adalah digraph dwi-warna terhubung kuat dan andaikan
C = {γ1 , γ2 , . . . , γt } merupakan himpunan semua cycle di D(2) . Matriks cycle D(2)
adalah matriks berordo 2 × t
M =
#
"
r(γ1 ) r(γ2 ) ... r(γt )
b(γ1) b(γ2 ) ... b(γt )
Sumatera Utara
dimana kolom ke-t dari M merupakan komposisi dari cycleUniversitas
γt dan 2 menyatakan
22
banyak warna yang di pakai. Suatu digraph dwi-warna D(2) dikatakan primitif
jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari minor-minor 2×2 dari M
adalah 1 (Fornasini dan Valcher, 1997).
2.2.4 Eksponen Digraph Dwi-Warna.
Pada bagian digraph dwi-warna primitif, dijelaskan bahwa suatu digraph dwiwarna D(2) terhubung kuat dikatakan 2-primitif jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat tak negatif h dan k sedemikian hingga untuk setiap pasangan verteks
u dan v di D(2) terdapat (h, k)-walk dari u ke v dan sebaliknya. Bilangan bulat
positif terkecil dari semua h + k dikatakan sebagai 2-eksponen digraph dwi-warna
D(2) .
Lemma 2.3 Andaikan D(2) adalah sebuah digraph dwi-warna atas n verteks dan
misalkan R dan B masing-masing adalah matriks adjacency merah dan biru dari
digraph dwi-warna D(2) . Maka elemen (i, j) dari (R, B)(h,k) adalah banyaknya
(h, k)T -walk dari verteks vi ke verteks vj .
Bukti. Akan dibuktikan dengan induksi pada (h + k) dan (h + k + 1), jika h = 0
maka k = 1 atau jika h = 1 maka k = 0. jika" h#= 0 maka elemen (i, j) dari
0
di digraph dwi-warna D(2) .
(R, B)(0,1) = B adalah walk dengan komposisi
1
(1,0)
Dengan cara yang sama, jika k = 0 maka (R, B)
" # = R adalah walk dengan
1
elemen (i, j) menyatakan walk dengan komposisi
di digraph dwi-warna D(2) .
0
′
Andaikan Lemma 2.3 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif h dan
′
′
′
k dengan h + k ≤ h + k akan diperlihatkan untuk h + k + 1 adalah benar dengan
catatan sebagai berikut.
(R, B)(h+1,k) = R(R, B)(h,k) + B(R, B)(h+1,k−1)
Oleh hipotesis induksi, elemen (i, j) pada R(R, B)(h,k) adalah walk dari vi ke vj
yang dimulai dengan arc merah dan diikuti oleh (h, k)T -walk, dan elemen (i, j)
Universitas
Sumatera
Utara
dengan arc
biru dan
pada B(R, B)(h+1,k−1) adalah walk dari vi ke vj yang dimulai
23
diikuti oleh (h + 1, k − 1)-walk sedemikian hingga elemen (i, j) dari (R, B)(h+1,k)
adalah jumlah (h + 1, k)-walk dari vi ke vj . Jadi, elemen (i, j) dari (R, B)(h,k)
adalah jumlah (h, k)T -walk dari verteks vi ke verteks vj .
Berikut ini diberikan representasi grafis 2-digraph yang selanjutnya akan dicari eksponennya.
Contoh 2.10 Digraph dwi-warna terhubung kuat di bawah ini adalah primitif.
v2
t
✡❏
✡ ❏
✡
❏
✡
❏
❏
❫
✡
❏
✡
✣
✡
❏
✡
❏
✡
❏
❏t
✛
v1 ✡
t
✲
t v4
v3
✛
Gambar 2.8 : Sebuah 2-Digraph yang terdiri dari 4 verteks dan 5 arc
Dari representasi grafis 2-digraph di atas, dapat dibuat dua buah matriks
adjacency sebagi berikut
0 1 0 0
0 0 1 0
adalah matriks adjacency merah pada Gambar
1. Matriks R =
0 0 0 0
0 0 1 0
2.8
0 0 0 0
0 0 0 0
adalah matriks adjacency biru pada Gambar 2.8
2. Matriks B =
1
0
0
1
0 0 0 0
Dari Lemma 2.3, entri (i, j) dari (R, B)(h,k) adalah banyaknya (h, k)-walk
dari 2-digraph, maka h + k terkecil adalah eksponen dari 2-digraph. Selanjutnya
Sumatera Utara
k:
akan diperlihatkan matriks (R, B)(h,k) untuk beberapa h + Universitas
24
1. Untuk h + k = 2, maka diperoleh ;
0
0
a. (R, B)(2,0) = R(R, B)(1,0) =
0
0
0
0
b. (R, B)(0,2) = B(R, B)(0,1) =
0
0 1 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
(1,1)
(0,1)
(1,0)
c. (R, B)
= R(R, B)
+ B(R, B)
=
0 0 0 0
0 0 0 0
Untuk h + k = 2, maka bukan merupakan 2-eksponen dari 2-digraph pada
Gambar 2.8 karena untuk setiap komposisi dari (R, B)(h,k) memuat (h, k)walk dengan panjang tidak sama dengan 2.
2. Untuk h + k = 3, maka diperoleh ;
0 0 0 0
0 0 0 0
(3,0)
(2,0)
= R(R, B)
=
a. (R, B)
0 0 0 0
0
0
0
b. (R, B)(0,3) = B(R, B)(0,2) =
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
(1,2)
(0,2)
(1,1)
c. (R, B)
= R(R, B)
+ B(R, B)
=
1 0 0 1
0
0
0
d. (R, B)(2,1) = R(R, B)(1,1) + B(R, B)(2,0) =
1
0 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 1
Sumatera Utara
0 0 Universitas
0 0
25
Untuk h + k = 3, maka bukan merupakan 2-eksponen dari 2-digraph pada
Gambar 2.8 karena untuk setiap komposisi dari (R, B)(h,k) memuat (h, k)walk dengan panjang tidak sama dengan 3.
Selanjutnya
10. Untuk h + k = 10, maka diperoleh ;
0
0
a. (R, B)(10,0) = R(R, B)(9,0) =
0
0
0
0
b. (R, B)(0,10) = B(R, B)(0,9) =
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(9,1)
(8,1)
(9,0)
c. (R, B)
= R(R, B)
+ B(R, B)
=
0 0 0 0
0
0
0
d. (R, B)(1,9) = R(R, B)(0,9) + B(R, B)(1,8) =
0
0
0
0
e. (R, B)(8,2) = R(R, B)(7,2) + B(R, B)(8,1) =
0
0
0
0
f. (R, B)(2,8) = R(R, B)(1,8) + B(R, B)(2,7) =
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Universitas Sumatera Utara
26
3 1 1 3
3 3 4 3
(6,4)
(5,4)
(6,3)
g. (R, B)
= R(R, B)
+ B(R, B)
=
1 2 6 1
3 3 4 3
Karena untuk setiap pasangan verteks u dan v di 2-digraph D(2) terdapat
walk dengan panjang 10 dengan 6 arc merah dan 4 arc biru, maka eksponen
dari 2-digraph D(2) adalah 10.
2.2.5 Eksponen Verteks Digraph Dwi-Warna Primitif.
Misalkan D(2) adalah sebuah digraph primitif dwi-warna dengan himpunan verteks
V (D(2) ) = (v1 , v2, · · · , vn ). Untuk suatu vk ∈ V (D(2) ) dan X ⊆ V (D(2) ), eksponen
verteks expD(2) (vk ) adalah bilangan bulat positif terkecil m1 + m2 sedemikian
hingga terdapat (m1, m2 )-walk dari vk ke setiap verteks di D(2) , dan eksponen
himpunan expD(2) (X) adalah bilangan bulat positif terkecil p1 + p2 sehingga untuk
setiap verteks vj di D(2) terdapat sebuah (p1 , p2 )-walk dari paling sedikit satu
verteks di X ke vj .
Misalkan D(2) adalah digraph primitif dwi-warna dengan orde n. Jika verteksverteks di D(2) adalah (v1, v2, · · · , vn ) sedemikian hingga
expD(2) (v1) ≤ expD(2) (v2) ≤ · · · ≤ expD(2) (vn )
maka expD(2) (vk ) adalah tipe pertama eksponen ke-k dari D yang digeneralisasikan.
Untuk mencari eksponen verteks dari suatu digraph dwi-warna primitif D(2) ,
dimana terdiri atas r arc berwarna merah dan b arc berwarna biru, maka akan
dilakukan operasi (h, k)-matriks Hurwitz product R dan B yang dapat didefinisikan
secara rekurensif. Untuk suatu bilangan bulat tak negatif terkecil h dan k, dan i
adalah verteks di D(2) , maka untuk baris ke-i dari matriks tersebut yang seluruh
entrinya bernilai positif, eksponen verteksnya adalah h + k.
Berikut ini diberikan representasi grafis dari digraph dwi-warna primitif yang
akan diberikan eksponen verteksnya.
Universitas Sumatera Utara
27
Contoh 2.11 Diberikan 2-digraph di bawah ini
vs2
✒
v1 s
❅
❅
❅
❘
❅
❅
❅
❅
✛
❅sv3
✲
Gambar 2.9 : Sebuah 2-Digraph dengan 3 verteks dan 4 arc
Contoh 2.12 Dari gambar 2.9 tersebut dapat kita peroleh matriks adjacency-nya
yaitu:
0 1 1
adalah matriks adjacency merah;
R=
0
0
1
0 0 0
0 0 0
adalah matriks adjacency biru.
B=
0
0
0
1 0 0
Selanjutnya dari Contoh 2.12 di atas dapat dicari eksponen verteks dari
masing-masing verteks di D(2) , yaitu dengan melihat penjumlahan h arc merah
dan k arc biru pada matriks (R, B)(h,k) dimana entri pada baris ke-i positif untuk
suatu bilangan bulat tak negatif terkecil h dan k.
a. untuk h + k = 1
0 1 1
= R = 0 0 1
1. (R, B)
, tidak ada baris yang seluruh entrinya
0 0 0
bernilai positif.
0 0 0
, tidak ada baris yang seluruh entrinya
2. (R, B)(0,1) = B =
0
0
0
1 0 0
bernilai positif.
(1,0)
b. untuk h + k = 2
Universitas Sumatera Utara
28
0 0 1
= R = 0 0 0
1. (R, B)
, tidak ada baris yang seluruh entrinya
0 0 0
bernilai positif.
0 0 0
, tidak ada baris yang seluruh entrinya
2. (R, B)(0,2) = B 2 =
0
0
0
0 0 0
bernilai positif.
1 0 0
, tidak ada baris yang seluruh
3. (R, B)(1,1) = RB + BR =
1
0
0
0 1 1
entrinya bernilai positif.
(2,0)
2
c. untuk h + k = 3
0 0 0
1. (R, B)
= R = 0 0 0
, tidak ada baris yang seluruh entrinya
0 0 0
bernilai positif.
0 0 0
2. (R, B)(0,3) = B 3 =
0 0 0, tidak ada baris yang seluruh entrinya
0 0 0
bernilai positif.
1 1 1
, pada baris ke-1,
3. (R, B)(2,1) = R(R, B)(1,1) + B(R, B)(2,0) =
0
1
1
0 0 1
seluruh entrinya bernilai
" # positif. Maka expD(2) (v1 ) = 3 dengan kompo2
sisi walknya adalah
.
1
0 0 0
, tidak ada baris
4. (R, B)(1,2) = R(R, B)(0,2) + B(R, B)(1,1) =
0
0
0
1 0 0
yang seluruh entrinya bernilai positif.
(3,0)
3
d. untuk h + k = 4
0 0 0
= R = 0 0 0
1. (R, B)
, tidak ada baris yang seluruh entrinya
0 0 0
Universitas Sumatera Utara
bernilai positif.
(4,0)
4
29
0 0 0
= B = 0 0 0
2. (R, B)
, tidak ada baris yang seluruh entrinya
0 0 0
bernilai positif.
0 1 2
, tidak ada baris
3. (R, B)(3,1) = R(R, B)(2,1) + B(R, B)(3,0) =
0
0
1
0 0 0
yang seluruh entrinya bernilai positif.
1 0 0
, pada baris ke-3,
4. (R, B)(2,2) = R(R, B)(1,2) + B(R, B)(2,1) =
1
0
0
1 1 1
seluruh entrinya bernilai
" # positif. Maka expD(2) (v3 ) = 4 dengan kompo2
sisi walknya adalah
.
2
0 0 0
, tidak ada baris
5. (R, B)(1,3) = R(R, B)(0,3) + B(R, B)(1,2) =
0
0
0
0 0 0
yang seluruh entrinya bernilai positif.
(0,4)
4
d. untuk h + k = 5
0 0 0
, tidak ada baris yang seluruh entrinya
1. (R, B)(5,0) = R5 =
0
0
0
0 0 0
bernilai positif.
0 0 1
, tidak ada baris
2. (R, B)(4,1) = R(R, B)(3,1) + B(R, B)(4,0) =
0
0
0
0 0 0
yang seluruh entrinya bernilai positif.
2 1 1
(3,2)
(2,2)
(3,1)
3. (R, B)
= R(R, B)
+ B(R, B)
= 1 1 1
, pada baris 1
0 1 2
dan 2, seluruh entrinya bernilai
" # positif. Maka expD(2) (v1) = 5 dengan
3
komposisi walknya adalah
.
2
Dari operasi di atas diperoleh kesimpulan bahwa expD(2) (v1) = 5, expD(2) (v2 ) = 4,
dan expD(2) (v3 ) = 3.
Universitas Sumatera Utara
30
2.2.6 Batas Eksponen Verteks.
Pada bagian ini akan dijelaskan cara membentuk batas atas dan batas bawah
eksponen verteks dari digraph dwi-warna primitif.
Proposisi 2.4 Jika D(2) adalah digraph dwi-warna primitif dan vk adalah verteks
di D(2) . Jika untuk beberapa bilangan bulat tak negatif s dan t dan beberapa path
Pk,i dari vk ke vi , i = 1, 2, · · · , n sistem persamaan
# " #
"
s
r(Pk,i )
=
Mx +
t
b(Pk,i )
memiliki solusi bilangan bulat tak negatif, sehingga γD(2) (vk ) ≤ s + t.
Bukti : Jika M adalah sebuah matriks cycle 2×t di D(2) . Untuk setiap verteks vi,
i = 1, 2, · · · , n di D(2) diklaim bahwa terdapat (s, t)-walk dari vk ke vi . Karena x =
(x1, x2 , · · · , xt)t adalah vektor bilangan bulat tak negatif, walk yang berawal dari
vk , menuju vi melalui path pk,i dan mengelilingi cycle γj sebanyak xj kali untuk
j = 1, 2, · · · , t adalah sebuah (s, t)-walk dari vk ke vi . Oleh definisi eksponen
verteks kita peroleh bahwa γD(2) (vk ) ≤ s + t.
Proposisi 2.5 Andaikan D(2) adalah 2-digraph primitif atas n verteks, dan jika
v adalah verteks di D(2) dengan eksponen γD(2) . Untuk sembarang verteks vk ,
k = 1, 2, · · · , n di D(2) diperoleh bahwa γD(2) (vk ) ≤ γD(2) (v) + d(vk , v).
Bukti : Andaikan pk,v adalah (r(pk,v ), b(pk,v ))-path dari vk ke v dengan panjang
d(vk , v). Karena eksponen verteks v adalah γD(2) (v), terdapat (s, t)-walk dengan
panjang γD(2) (v) = s + t dari v ke setiap verteks vj , j = 1, 2, · · · , n. Ini menunjukkan bahwa untuk setiap verteks vk di D(2) terdapat sebuah (s + r(pk,v ), t +
b(pk,v ))-walk dari verteks vk ke setiap verteks vj , j = 1, 2, · · · , n, dikatakan dengan walk yang berawal dari vk , menuju ke v melewati (r(pk,v ), b(pk,v ))-path dan
menuju ke vj melewati sebuah (s, t)-walk dari v ke vj . Oleh karena itu, γD(2) (vk ) ≤
γD(2) (v) + d(vk , v).
Universitas Sumatera Utara
31
sebuah 2-digraph
primitif terdiri atas 2 cyLemma 2.6 Andaikan D(2) adalah
#
"
r(γ1 ) r(γ2 )
. Andaikan vk adalah sembarang
cle dengan matriks cycle M =
b(γ1 ) b(γ2)
verteks di D(2) dan misalkan
" # terdapat
" #sebuah (s, t)-walk dari vk ke setiap verteks
s
u
vi di D(2) dengan M =
=M
untuk bilangan bulat tak negatif u dan v,
t
v
#
"
" #
)
r(p
u
ki
untuk beberapa path pki dari vk ke vi .
maka
≥ M −1
b(pki )
v
Bukti : Andaikan pki adalah path dari vk ke vi . Karena setiap walk dapat
didekomposisikan ke dalam bentuk cycle dan path, diperoleh
" #
"
#
s
r(pki )
= Mx +
t
b(pki )
untuk beberapa bilangan bulat tak negatif vektor x. Karena D(2) adalah primitif,
maka
" # M adalah
" # matriks yang dapat diinverskan. Mengingat bahwa
s
u
=M
, diperoleh
t
v
# " # "
#
"
" #
u
b(γ2 )r(pki ) − r(γ2 )r(pki )
r(pki )
u
−1
=
−
≥0
x=
−M
v
b(pki )
r(γ1 )b(pki ) − b(γ1 )r(pki )
v
Oleh karena itu Lemma memenuhi.
Akibat 2.7 Andaikan D(2) adalah digraph dwi-warna dengan dua cycle γ1 dan
γ2 . Andaikan vk di D(2) dan andaikan pk,i dan pk,j adalah path dari vk ke vi dan
path dari vk ke vj dengan i 6= j. Jika u0 = b(γ2 )r(pk,i ) − r(γ2 )b(pk,i ) ≥ 0 dan v0 =
r(γ1 )b(pk,j )−b(γ1)r(pk,j ) ≥ 0, maka γD(2) (vk ) ≥ (r(γ1 )+b(γ1 ))u0 +(r(γ2 )+b(γ2 ))v0.
Bukti : Diasumsikan
bahwa
" #
" #eksponen vk dapat diperoleh dengan sebuah (s, t)s
u
walk. Karena
=M
untuk beberapa bilangan bulat tak negatif u dan
t
v
v. Oleh Lemma 3.3 diperoleh
#
" # "
u
b(γ2 )r(pki ) − r(γ2 )r(pki )
≥
r(γ1 )b(pki ) − b(γ1 )r(pki )
v
Universitas Sumatera Utara
32
untuk sembarang path pk,i dari verteks vk ke verteks vi, i = 1, 2, · · · , n. Oleh
karena itu
"
s
t
#
=M
"
u
v
#
≥M
"
u0
v0
#
Ini menunjukkan bahwa γD(2) (vk ) ≥ (r(γ1 )+b(γ1))u0 +(r(γ2 )+b(γ2))v0 = ℓ(γ1 )u0 +
ℓ(γ2 )v0 .
2.2.7 Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Bersinggungan.
Andaikan D(2) adalah 2-digraph atas n verteks v1, v2, · · · , vn yang terdiri dari dua
n+2
dan
cycle yaitu γ1 : v1 → vn → vn−2 → · · · → v2 → v1 dengan ℓ(γ1 ) =
2
n
γ2 : v1 → vn−1 → vn−3 → · · · → v3 → v1 dengan ℓ(γ2 ) = . Digraph dwi-warna
2
(2)
D dikatakan primitif jika dan hanya jika
#
# "
"
n
n−2
r(γ1 ) r(γ2 )
(2)
2
= 2
M(D ) =
1 1
b(γ1 ) b(γ2 )
Deni Ramadani(2009) memberikan batas untuk eksponen digraph dwi-warna D(2) ,
1
1
yaitu (n2 + n) ≤ exp(D(2) ) ≤ (2n2 + n − 2). Pada penelitiannya Deni Ramadani
2
2
1
(2)
menyimpulkan bahwa D memiliki eksponen tepat (2n2 + n − 2) jika dan hanya
2
(2)
jika D memuat path merah dengan panjang n − 1 dan path biru dengan panjang
2. Jika v1 adalah verteks persekutuan antara γ1 dan γ2 , maka path biru yang
dimaksud adalah v3 → v1 → vn .
Berikut ini merupakan representasi grafis dari 2-digraph atas n verteks de1
ngan expD(2) = (2n2 + n − 2)
2
Contoh 2.13 Digraph dwi-warna dengan dua cycle yang bersinggungan
v4
t
✁✁
✁
✁✕
v6 ✁t
❑
❆r
rr
❆
❑❆t
vn−2
✲
✛
v2
v
n−1
t
t
✲
❆
✁✁
❆❯
✁
❆ ✁✕
❆❆✁
❆t
✁
v❆
☛
✁ 1
❑
❆
✁
❆t
✛
t
vn
v3
vn−3
t
❄
r
r
r
❄
t
v5
Gambar 2.10 : Sebuah 2-Digraph dengan dua cycle
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
EKSPONEN VERTEKS 2-DIGRAPH DENGAN DUA CYCLE
YANG BERSINGGUNGAN
Pada bab ini akan diperlihatkan hasil utama dari penelitian ini. Adapun hasil
utama dari tulisan ini yaitu pola eksponen verteks dari 2-digraph dengan dua
cycle yang bersinggungan.
Andaikan D(2) adalah 2-digraph primitif atas n verteks v1, v2, · · · , vn yang
terdiri dari dua cycle yaitu γ1 : v1 → vn → vn−2 → · · · → v2 → v1 dengan
n
n+2
dan γ2 : v1 → vn−1 → vn−3 → · · · → v3 → v1 dengan ℓ(γ2 ) = .
ℓ(γ1 ) =
2
2
(2)
(2)
Karena D primitif, maka matriks cycle D mempunyai bentuk
#
# "
"
n
n−2
)
r(γ
)
r(γ
1
2
2
= 2
M(D(2) ) =
1 1
b(γ1 ) b(γ2 )
Teorema 3.1 Andaikan D(2) adalah 2-digraph primitif atas n verteks dengan eks1
(2n2
2
+ n − 2). Jika vk , k = 1, 2, · · · , n adalah verteks di D(2) maka
k
n2 − 2
+ ⌊ ⌋.
γD(2) (vk ) =
2
2
ponen
Bukti : Pembuktian dilakukan dengan cara memperlihatkan batas bawah terlebih
dahulu, yaitu akan ditunjukkan dengan menggunakan Akibat 2.7. Oleh karena itu
adalah perlu didefinisikan terlebih dahulu nilai u0 dan v0. Nilai u0 dan v0 dapat
diperoleh dari path tunggal yang menghubungkan vk dengan vn dan path yang
menghubungkan vk dengan v3 . Pembuktian dibagi ke dalam dua kasus, yaitu
kasus saat k ganjil dan saat k genap.
a. Kasus 1 Untuk kasus k ganjil, akan diperlihatkan bahwa γD(2) (vk ) ≥
n2 −3+k
.
2
Kasus ini dibagi menjadi dua subkasus, yaitu ketika k = 1 dan k = 2m − 1,
m = 2, 3, · · · , n2 .
Universitas Sumatera Utara
34
(i) Untuk k = 1 akan diperlihatkan γD(2) (v1) ≥
n2 −2
.
2
Mengingat terdapat
( n−2
, 0)-path dari v1 ke v3, diperoleh u0 = b(γ2 )r(p1,3 ) − r(γ2 )b(p1,3) =
2
(1)( n−2
) − ( n−2
)(0) =
2
2
n−2
,
2
dan terdapat (0, 1)-path dari v1 ke vn , dipe-
roleh v0 = r(γ1 )b(p1,n )−b(γ1)r(p1,n ) = ( n2 )(1)−(1)(0) = n2 . Oleh Akibat
2.7 diperoleh
"
s
t
#
"
≥
n
2
n−2
2
1
1
#"
n−2
2
n
2
#
=
"
n2 −2n
2
n−1
#
n2 −2
.
2
Oleh karena itu γD(2) (v1) ≥
(ii) Untuk k = 2m − 1, m = 2, 3, · · · , n2 . Mengingat terdapat ( k−3
, 0)-path
2
)−
dari vk ke v3, diperoleh u0 = b(γ2)r(pk,3 ) − r(γ2 )b(pk,3 ) = (1)( k−3
2
)(0) =
( n−2
2
v0 =
k−3
,
2
2n−k+3
.
2
"
dan terdapat ( k−3
, 2)-path dari vk ke vn , diperoleh
2
Oleh Akibat 2.7 diperoleh
s
t
#
≥
"
n
2
n−2
2
1
1
#"
k−3
2
2n+3−k
2
#
=
"
n2 −2n+k−3
2
n
#
n2 −3+k
.
2
Oleh karena itu γD(2) (vk ) ≥
b. Kasus 2 Untuk k = 2m, m = 1, 2, · · · , n2 akan diperlihatkan bahwa γD(2) (vk ) ≥
n2 −2+k
.
2
Mengingat terdapat ( k2 , 1)-path dari vk ke vn , diperoleh v0 = r(γ1 )(pk,n )−
b(γ1)r(pk
CYCLE YANG BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
TAUFIK ZUHRI
050803037
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011
Universitas Sumatera Utara
EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA
CYCLE YANG BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana
Sains
TAUFIK ZUHRI
050803037
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011
Universitas Sumatera Utara
i
PERSETUJUAN
Judul
: EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWIWARNA DENGAN DUA CYCLE YANG
BERSINGGUNGAN
Kategori
: SKRIPSI
Nama
: TAUFIK ZUHRI
Nomor Induk Mahasiswa
: 050803037
Program Studi
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
: MATEMATIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA
Medan, Mei 2011
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2
Pembimbing 1
Drs. Pangeran Sianipar, M.S.
Dr. Saib Suwilo, M.Sc.
NIP. 19470208 197403 1 001
NIP. 19640109 198803 1 004
Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
Universitas Sumatera Utara
ii
PERNYATAAN
EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA CYCLE
YANG SALING BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Mei 2011
TAUFIK ZUHRI
050803037
Universitas Sumatera Utara
iii
PENGHARGAAN
Dengan puji dan syukur kepada Allah SWT, karena berkat dan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ” EKSPONEN
VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA CYCLE YANG
SALING BERSINGGUNGAN” ini dengan baik.
Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis banyak sekali menerima bantuan dan
masukan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima
kasih sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku dosen pembimbing I, Drs. Pangeran
Sianipar, M.S selaku dosen pembimbing II, Dra. Mardiningsih, M.Si dan
Drs. Ujian Sinulingga, M.Si yang telah memberi dukungan moral, motivasi
dan ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan penelitian ini.
2. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. dan Dra. Mardiningsih, M.Si., selaku Ketua
dan Sekretraris Departemen Matematika di FMIPA USU Medan.
4. Seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
5. Ayahanda Gusron Ainuddin Hasibuan dan Ibunda Meriati Lubis tercinta,
abanganda Ardinal Sakti serta adik-adikku Faisal Hamdi, Kholyda Hafni,
Zulfadli, dan Indra Gusti yang selalu memberikan dukungan moril dan materiel maupun doa yang tiada hentinya kepada penulis.
Tidak lupa kiranya penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Astri
Syafrianti, Firdaus Safran, Kiki Winarti, Fitri, bang Deni Ramadani, bang Ramidin,
bang Darto Siregar, M. Haikal Lubis, Novi Yuanda Lubis, Ibnu Haris Lubis (Loebsy
Community), Aghni Syahmarani yang telah menjadi sahabat dekat penulis selama
menimbah ilmu di USU. Kepada guru-guru dan kawan-kawan sewaktu duduk di
bangku SD, SMP, dan SMA, juga tidak lupa kiranya penulis mengucapkan terima
kasih atas didikan dan persahabatan selama ini.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu
penulis meminta saran dan kritik yang membangun dari pembaca sekalian.
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga
tulisan ini berguna bagi yang membutuhkan.
Medan,
Penulis,
Mei 2011
TAUFIK
ZUHRI
Universitas
Sumatera Utara
iv
ABSTRAK
Andaikan D(2) adalah suatu digraph dwi-warna yang primitif atas n = 2m − 2,
m ≥ 3 verteks dengan dua buah cycle yang saling bersinggungan di satu verteks
dengan panjang cycle masing-masing adalah m dan m − 1. Tulisan ini akan
memperlihatkan pola eksponen verteks dari digraph dwi-warna D(2) , sehingga
expD(2) (vk ) = 21 (n2 − 2) + ⌊ k2 ⌋.
Universitas Sumatera Utara
v
VERTEX EXPONENT OF TWO-COLORED DIGRAPHS WITH
TWO CYCLES WHOSE HAVE A COMMON VERTEX
ABSTRACT
Let D(2) be a primitive two-colored digraph on n = 2m − 2, m ≥ 3 vertices whose
two cycles which has a common vertex and the lenght of each cycle is m and
m − 1. This paper will give the formula of vertex exponent of 2-digraph D(2) such
that expD(2) (vk ) = 12 (n2 − 2) + ⌊ k2 ⌋.
Universitas Sumatera Utara
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
iv
ABSTRACT
v
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR GAMBAR
vii
BAB
1. PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1
Latar Belakang Penelitian
Perumusan Masalah
Tinjauan Pustaka
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
Metodologi Penelitian
1
2
2
6
6
6
2. LANDASAN TEORI
8
2.1. Digraph
2.2. Digraph Dwi-Warna
8
18
3. EKSPONEN VERTEKS 2-DIGRAPH DENGAN DUA CYCLE
YANG BERSINGGUNGAN
33
4. KESIMPULAN DAN RISET LANJUTAN
36
4.1. Kesimpulan
4.2. Riset Lanjutan
DAFTAR PUSTAKA
36
37
38
Universitas Sumatera Utara
vii
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
2.1
Digraph dengan 6 verteks dan 8 arc
9
2.2
Digraph dengan 5 verteks dan 7 arc
10
2.3
(a) Digraph terhubung kuat
2.4
Digraph primitif
11
2.5
Digraph dengan 4 verteks dan 5 arc
16
2.6
Sebuah 2-Digraph yang terdiri dari 5 verteks dan 7 arc
19
2.7
(a) 2-Digraph terhubung kuat
kuat
21
(b) Digraph tidak terhubung kuat 11
(b) 2-Digraph tidak terhubung
2.8
Sebuah 2-Digraph yang terdiri dari 4 verteks dan 5 arc
23
2.9
Sebuah 2-Digraph dengan 3 verteks dan 4 arc
27
2.10 Sebuah 2-Digraph dengan dua cycle
32
Universitas Sumatera Utara
iv
ABSTRAK
Andaikan D(2) adalah suatu digraph dwi-warna yang primitif atas n = 2m − 2,
m ≥ 3 verteks dengan dua buah cycle yang saling bersinggungan di satu verteks
dengan panjang cycle masing-masing adalah m dan m − 1. Tulisan ini akan
memperlihatkan pola eksponen verteks dari digraph dwi-warna D(2) , sehingga
expD(2) (vk ) = 21 (n2 − 2) + ⌊ k2 ⌋.
Universitas Sumatera Utara
v
VERTEX EXPONENT OF TWO-COLORED DIGRAPHS WITH
TWO CYCLES WHOSE HAVE A COMMON VERTEX
ABSTRACT
Let D(2) be a primitive two-colored digraph on n = 2m − 2, m ≥ 3 vertices whose
two cycles which has a common vertex and the lenght of each cycle is m and
m − 1. This paper will give the formula of vertex exponent of 2-digraph D(2) such
that expD(2) (vk ) = 12 (n2 − 2) + ⌊ k2 ⌋.
Universitas Sumatera Utara
EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA
CYCLE YANG BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
TAUFIK ZUHRI
050803037
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011
Universitas Sumatera Utara
EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA
CYCLE YANG BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana
Sains
TAUFIK ZUHRI
050803037
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011
Universitas Sumatera Utara
i
PERSETUJUAN
Judul
: EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWIWARNA DENGAN DUA CYCLE YANG
BERSINGGUNGAN
Kategori
: SKRIPSI
Nama
: TAUFIK ZUHRI
Nomor Induk Mahasiswa
: 050803037
Program Studi
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
: MATEMATIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA
Medan, Mei 2011
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2
Pembimbing 1
Drs. Pangeran Sianipar, M.S.
Dr. Saib Suwilo, M.Sc.
NIP. 19470208 197403 1 001
NIP. 19640109 198803 1 004
Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
Universitas Sumatera Utara
ii
PERNYATAAN
EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA CYCLE
YANG SALING BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Mei 2011
TAUFIK ZUHRI
050803037
Universitas Sumatera Utara
iii
PENGHARGAAN
Dengan puji dan syukur kepada Allah SWT, karena berkat dan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ” EKSPONEN
VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA CYCLE YANG
SALING BERSINGGUNGAN” ini dengan baik.
Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis banyak sekali menerima bantuan dan
masukan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima
kasih sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku dosen pembimbing I, Drs. Pangeran
Sianipar, M.S selaku dosen pembimbing II, Dra. Mardiningsih, M.Si dan
Drs. Ujian Sinulingga, M.Si yang telah memberi dukungan moral, motivasi
dan ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan penelitian ini.
2. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. dan Dra. Mardiningsih, M.Si., selaku Ketua
dan Sekretraris Departemen Matematika di FMIPA USU Medan.
4. Seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
5. Ayahanda Gusron Ainuddin Hasibuan dan Ibunda Meriati Lubis tercinta,
abanganda Ardinal Sakti serta adik-adikku Faisal Hamdi, Kholyda Hafni,
Zulfadli, dan Indra Gusti yang selalu memberikan dukungan moril dan materiel maupun doa yang tiada hentinya kepada penulis.
Tidak lupa kiranya penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Astri
Syafrianti, Firdaus Safran, Kiki Winarti, Fitri, bang Deni Ramadani, bang Ramidin,
bang Darto Siregar, M. Haikal Lubis, Novi Yuanda Lubis, Ibnu Haris Lubis (Loebsy
Community), Aghni Syahmarani yang telah menjadi sahabat dekat penulis selama
menimbah ilmu di USU. Kepada guru-guru dan kawan-kawan sewaktu duduk di
bangku SD, SMP, dan SMA, juga tidak lupa kiranya penulis mengucapkan terima
kasih atas didikan dan persahabatan selama ini.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu
penulis meminta saran dan kritik yang membangun dari pembaca sekalian.
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga
tulisan ini berguna bagi yang membutuhkan.
Medan,
Penulis,
Mei 2011
TAUFIK
ZUHRI
Universitas
Sumatera Utara
iv
ABSTRAK
Andaikan D(2) adalah suatu digraph dwi-warna yang primitif atas n = 2m − 2,
m ≥ 3 verteks dengan dua buah cycle yang saling bersinggungan di satu verteks
dengan panjang cycle masing-masing adalah m dan m − 1. Tulisan ini akan
memperlihatkan pola eksponen verteks dari digraph dwi-warna D(2) , sehingga
expD(2) (vk ) = 21 (n2 − 2) + ⌊ k2 ⌋.
Universitas Sumatera Utara
v
VERTEX EXPONENT OF TWO-COLORED DIGRAPHS WITH
TWO CYCLES WHOSE HAVE A COMMON VERTEX
ABSTRACT
Let D(2) be a primitive two-colored digraph on n = 2m − 2, m ≥ 3 vertices whose
two cycles which has a common vertex and the lenght of each cycle is m and
m − 1. This paper will give the formula of vertex exponent of 2-digraph D(2) such
that expD(2) (vk ) = 12 (n2 − 2) + ⌊ k2 ⌋.
Universitas Sumatera Utara
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
iv
ABSTRACT
v
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR GAMBAR
vii
BAB
1. PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1
Latar Belakang Penelitian
Perumusan Masalah
Tinjauan Pustaka
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
Metodologi Penelitian
1
2
2
6
6
6
2. LANDASAN TEORI
8
2.1. Digraph
2.2. Digraph Dwi-Warna
8
18
3. EKSPONEN VERTEKS 2-DIGRAPH DENGAN DUA CYCLE
YANG BERSINGGUNGAN
33
4. KESIMPULAN DAN RISET LANJUTAN
36
4.1. Kesimpulan
4.2. Riset Lanjutan
DAFTAR PUSTAKA
36
37
38
Universitas Sumatera Utara
vii
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
2.1
Digraph dengan 6 verteks dan 8 arc
9
2.2
Digraph dengan 5 verteks dan 7 arc
10
2.3
(a) Digraph terhubung kuat
2.4
Digraph primitif
11
2.5
Digraph dengan 4 verteks dan 5 arc
16
2.6
Sebuah 2-Digraph yang terdiri dari 5 verteks dan 7 arc
19
2.7
(a) 2-Digraph terhubung kuat
kuat
21
(b) Digraph tidak terhubung kuat 11
(b) 2-Digraph tidak terhubung
2.8
Sebuah 2-Digraph yang terdiri dari 4 verteks dan 5 arc
23
2.9
Sebuah 2-Digraph dengan 3 verteks dan 4 arc
27
2.10 Sebuah 2-Digraph dengan dua cycle
32
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar seperti definisi dan beberapa
teorema sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar ini berkaitan dengan
masalah yang dibahas dalam tulisan ini seperti digraph, keterhubungan suatu
digraph, eksponen digraph, 2-digraph, dan eksponen dari 2-digraph.
2.1 Digraph
Secara sederhana graph adalah kumpulan titik atau lingkaran kecil yang dihubungkan oleh garis tak berarah.
Jika garis penghubung diberi arah, maka graph
demikian dinamakan digraph (directed graph).
2.1.1 Definisi.
Suatu digraph D adalah suatu objek Matematika yang terdiri dari dua himpunan
yaitu :
1. Himpunan berhingga tak kosong V = {v0, v1, · · · , vn }. Unsur dari V disebut
verteks dari Digraph D.
2. Himpunan A yang merupakan himpunan bagian dari pasangan tak berurutan
V × V dengan verteks-verteksnya tidak harus berbeda, dan unsur-unsurnya
disebut arc dari digraph D.
Suatu α(u, v) adalah arc yang dibentuk dari verteks u ke verteks v. Suatu
arc (u, v) dapat juga dinotasikan dengan u → v.
Contoh 2.1 Himpunan verteks V = {v1, v2, v3, v4, v5 , v6} bersama dengan himpunan arc A = {(v1, v2 ), (v2, v3), (v2, v4), (v3, v4), (v4, v5), (v5 , v2), (v6, v1), (v6, v5)}
adalah suatu digraph dengan 6 verteks dan 8 arc.
Universitas Sumatera Utara
9
Suatu digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara setiap verteks
direpresentasikan sebagai sebuah titik dan setiap arc (u, v) direpresentasikan garis
berarah dari titik u ke v.
Contoh 2.2 Representasi grafis dari digraph pada Contoh 2.1
v1 ✈
✻
v6 ✈
✲
✠
✲
v✈2
✲
❄
✻
✈
v
✈3
✛
v5
✈
v4
Gambar 2.1 : Digraph dengan 6 verteks dan 8 arc
Andaikan D adalah suatu digraph dan misalkan u dan v adalah verteks di
digraph D. Suatu walk dengan panjang m dari u ke v didefinisikan sebagai barisan
arc dan dituliskan sebagai
v0 → v1 → v2 → · · · → vm−1 → vm
dengan m > 0, v0 = u, dan vm = v. Suatu walk dikatakan terbuka jika u 6=
v dan dikatakan tertutup jika sebaliknya. Suatu path adalah suatu walk tanpa
perulangan verteks kecuali mungkin verteks awal dan verteks akhir. Suatu path
yang memiliki v0 = vm disebut cycle.
Digraph pada Gambar 2.1 di atas memiliki walk, path, dan cycle sebagai
berikut :
a. Barisan arc v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v2 → v6 adalah suatu walk terbuka
tetapi bukan path karena ada verteks yang berulang.
b. Barisan arc v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v6 disebut path karena tidak ada
verteks yang berulang.
c. Barisan arc v2 → v3 → v4 → v5 disebut cycle.
Universitas Sumatera Utara
10
2.1.2 Matriks Adjacency Digraph.
Keterhubungan sebuah digraph D dengan n verteks dapat dinyatakan ke dalam
bentuk matriks ordo n × n yang entri dari matriks tersebut adalah bilangan 1 atau
0. Matriks yang demikian disebut sebagai matriks adjacency.
Untuk setiap digraph D dengan m verteks dapat dituliskan suatu (0,1)matriks A(D)=[aij ] sebagai berikut
1, jika terdapat arc dari vi ke vj
ai,j =
0, jika sebaliknya.
untuk i, j = 1, 2, · · · , m
Berikut ini diberikan contoh matriks adjacency dari sebuah digraph yang
direpresentasikan secara grafis.
Contoh 2.3 Representasi dari sebuah digraph
v1 ✈
✻
✈
v5
✲
✠
✲
v✈2
❅
❅
❘
❅
❅
❅
❅✈v3
✻
✒
✈
v4
Gambar 2.2 : Digraph dengan 5 verteks dan 7 arc
Dari representasi digraph diatas diperoleh matriks adjacency sebagai berikut
0 1 0 0 0
0 0 1 0 1
A(D) = 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 0 1 0
Universitas Sumatera Utara
11
2.1.3 Digraph Primitif.
Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap
pasangan verteks u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan sebaliknya. Berikut
contoh digraph terhubung kuat dan tidak terhubung kuat.
Contoh 2.4 Representasi dari digraph yang terhubung kuat dan tidak terhubung
kuat.
v2
t
t
❅
❘
❅
❅
❅tv4
✠
t
v1 t✒
❅
❅
■
❅
❅t
v6
v2
v3
✲
✛
t
v1 t✒
❅
❘
❅
❅
❅t
v6
v5
Gambar 2.3 : (a) Digraph terhubung kuat
✲
✛
v3
t
❅
❘
❅
❅
❅tv4
✠
t
v5
(b) Digraph tidak terhubung kuat
Pada Gambar 2.3, ditunjukkan bahwa (a) adalah suatu digraph terhubung
kuat karena terdapat walk dari satu verteks ke verteks lainnya, dan (b) adalah
suatu digraph tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v6 ke v1.
Suatu digraph terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat
positif k sedemikian hingga untuk setiap pasangan verteks u dan v di D terdapat
walk dari u ke v dengan panjang k. Berikut ini diberikan representasi grafis digraph
yang terhubung kuat dan primitif.
Contoh 2.5 Digraph terhubung kuat di bawah ini adalah primitif.
v1
tv2
✚
✚
✚
✚
❄
❃
✻ ✚✚
✚
✚
✛
t
t
t
v4
✲
v3
Gambar 2.4 : Digraph primitif
Pada Gambar 2.4 di atas, D adalah digraph terhubung kuat dengan dua cycle
Universitas
v2 → v3 Sumatera
→ v4 → vUtara
yaitu : v1 → v2 → v3 → v4 → v1 dengan panjang 4 dan cycle
2
12
dengan panjang 3. Brualdi dan Ryser menjamin bahwa suatu digraph D adalah
primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari panjang-panjang
cycle di D adalah 1.
Lemma berikut ini akan menjamin bahwa setiap verteks di digraph D terletak
pada suatu cycle bila digraph D terhubung kuat.
Lemma 2.1 Andaikan D adalah digraph terhubung kuat maka setiap verteks v di
D terletak pada cycle.
Bukti: Ambil sebarang verteks v di D. Karena D terhubung kuat, maka ada
suatu arc dari verteks v ke verteks u. Karena D terhubung kuat, maka terdapat
path dari verteks u ke v yang berakibat akan diperoleh suatu path tertutup di
D yang dibentuk oleh arc dari verteks u ke v dan path dari verteks v ke u di D.
Oleh definisi, path tertutup adalah suatu cycle dan v sebarang verteks di D, maka
setiap verteks v di D terletak pada suatu cycle.
2.1.4 Eksponen Digraph.
Pada bahasan sebelumnya, telah dijelaskan bahwa suatu digraph terhubung kuat
dikatakan primitif bila terdapat bilangan bulat positif k sedemikian hingga untuk
setiap pasangan verteks u dan v di D terdapat suatu walk dari verteks u ke verteks
v dan sebaliknya dengan panjang k. Bilangan bulat terkecil dari semua k tersebut
dikatakan sebagai eksponen digraph D, dan dinotasikan exp(D). Berikut ini akan
dijelaskan hubungan antara matriks adjecency dari sebuah digraph primitif dan
eksponen dari digraph tersebut.
Pada tahun 2005, Zaini dan Suwilo menyatakan bahwa verteks vi ke vj di Ak
memiliki walk dengan panjang k.
Proposisi 2.2 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D. Entri
akij dari Ak menyatakan banyaknya walk dari vi ke vj yang panjangnya k di D.
Universitas Sumatera Utara
13
Bukti: Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D, maka setiap
entri (i, j) dari A menyatakan arc dari vi ke vj di digraph D. Hal ini berakibat
untuk k = 1, maka setiap entri a1ij dari A1 menyatakan banyaknya walk dari vi ke
vj yang panjangnya satu.
(k)
Asumsikan setiap entri aij dan Ak menyatakan banyaknya walk dari vi dan
(k+1)
vj yang panjangnya k di D, untuk k ≥ 1. Berikut ini diperlihatkan aij
adalah
banyaknya walk dari vi ke vj yang panjangnya k + 1 di D, untuk k ≥ 1.
Perhatikan setiap walk dari vi ke vj di D dengan panjang k + 1 yang terdiri
dari walk dari vi ke vj dengan panjang k untuk l = 1, 2, . . . , n dan dilanjutkan
(k)
dengan arc dari vi ke vj . Sehingga ail alj adalah menyatakan walk yang panjangnya
k + 1 dari vi ke vj di D, untuk k = 1, 2, . . . , n. Jika tidak terdapat walk yang
(k)
(k)
panjang k dari vi ke vj di D, maka ail = 0 sehingga ail alj = 0. Hal ini berarti
tidak terdapat walk dengan panjang k+1 dari vi ke vj yang melalui vl di D sehingga
diperoleh banyaknya walk yang panjangnya k + 1 dari vi ke vj di D adalah
(k)
(k)
(k)
ai1 a1j + ai2 a2j + · · · + ain anj =
n
X
(k)
ail alj
i=1
karena
Ak+1 = Ak A
maka
(k)
aij
=
n
X
(k)
ail alj
i=1
(k+1)
Hal ini berakibat aij
adalah benar menyatakan banyaknya walk dari vi ke
vj yang panjangnya k + 1 di D. Jadi, elemen (i, j) dari Ak adalah banyaknya walk
yang panjangnya k dari vi ke vj .
Berikut ini adalah matriks adjecency dari digraph yang diberikan pada Gambar 2.4 dan selanjutnya akan dicari eksponennya dengan menggunakan Proposisi
2.2 pada halaman sebelumnya.
Universitas Sumatera Utara
14
Dari representasi
grafis
pada Gambar 2.4 diperoleh matriks adjacency sebagai
0 1 0 0
0 0 1 0
, dengan Proposisi 2.2 untuk mencari banyak walk dari
berikut A =
0 0 0 1
1 1 0 0
verteks vi ke vj dengan panjang k adalah entri dari matriks akij dari Ak dengan
demikian nilai k adalah eksponen dari digraph. Perhatikan matriks Ak .
a.
b.
c.
d.
e.
0 1 0 0
0 0 1 0
, maka bukan merupakan ekspoUntuk k = 1 ; diperoleh A =
0
0
0
1
1 1 0 0
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 1 dari v1 ke v1.
0 0 1 0
0 0 0 1
, maka bukan merupakan ekspo
Untuk k = 2 ; diperoleh A =
1 1 0 0
0 1 1 0
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 2 dari v1 ke v1.
0 0 0 1
1 1 0 0
, maka bukan merupakan ekspoUntuk k = 3 ; diperoleh A =
0 1 1 0
0 0 1 1
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 3 dari v1 ke v1.
1 1 0 0
0 1 1 0
, maka bukan merupakan ekspoUntuk k = 4 ; diperoleh A =
0
0
1
1
1 1 0 1
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 4 dari v1 ke v3.
0 1 1 0
0 0 1 1
, maka bukan merupakan ekspoUntuk k = 5 ; diperoleh A =
1 1 0 1
1 2 1 0
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 5 dari v1 ke v1.
Universitas Sumatera Utara
15
f.
g.
h.
i.
i.
0 0 1 1
1 1 0 1
, maka bukan merupakan ekspoUntuk k = 6 ; diperoleh A =
1 2 1 0
0 1 2 1
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 6 dari v1 ke v1.
1 1 0 1
1 2 1 0
, maka bukan merupakan ekspoUntuk k = 7 ; diperoleh A =
0
1
2
1
1 1 1 2
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 7 dari v1 ke v3.
1 2 1 0
0 1 2 1
, maka bukan merupakan ekspoUntuk k = 8 ; diperoleh A =
1 1 1 2
2 3 1 1
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 8 dari v1 ke v4.
0 1 2 1
1 1 1 2
, maka bukan merupakan ekspoUntuk k = 9 ; diperoleh A =
2
3
1
1
1 3 3 1
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 9 dari v1 ke v1.
1 1 1 2
2 3 1 1
, karena terdapat walk dengan
Untuk k = 10 ; diperoleh A =
1 3 3 1
1 2 3 3
panjang 10 dari tiap pasangan verteks di D, maka eksponen dari digraph
pada Gambar 2.4 adalah 10.
2.1.5 Eksponen verteks digraph.
Misalkan D adalah sebuah digraph primitif dengan himpunan verteks V (D) =
{v1, v2, · · · , vn }. Untuk suatu vk ∈ V (D) dan X ⊆ V (D), eksponen verteks
expD (vk ) adalah bilangan bulat positif terkecil m sedemikian hingga terdapat
walk dengan panjang m dari vk ke setiap verteks di D, dan eksponen himpunan
expD (X) adalah bilangan bulat positif terkecil p sehingga untuk setiap verteks
Universitas Sumatera Utara
16
vj di D terdapat sebuah walk dari paling sedikit satu verteks di X ke vj dengan
panjang p.
Misalkan D adalah digraph primitif dengan orde n. Jika verteks-verteks di
D adalah v1, v2 , · · · , vn sedemikian hingga
expD (v1 ) ≤ expD (v2 ) ≤ · · · ≤ expD (vn )
maka expD (vk ) adalah tipe pertama eksponen ke-k dari D yang digeneralisasikan.
Berikut ini diberikan contoh representasi grafis digraph yang akan dicari
eksponen verteksnya dengan menggunakan Proposisi 2.2.
Contoh 2.6 Digraph primitif dengan dua cycle
✲
✛
v1 t
t
✛
tv3
v4
❘
✒
t
v2
Gambar 2.5 : Digraph dengan 4 verteks dan 5 arc
Dari representasigrafis pada Gambar 2.5 di atas diperoleh matriks adjacency
0 1 1 0
0 0 1 0
, dengan Proposisi 2.2 dapat dicari eksponen
sebagai berikut A =
0 0 0 1
1 0 0 0
verteks dari masing-masing verteks di D, yaitu dengan melihat entri matriks akij
dari Ak , dimana entri pada baris ke-i positif untuk suatu bilangan bulat k.
0 1 1 0
0 0 1 0
, tidak ada baris yang seluruh
a. Untuk k = 1 ; diperoleh A =
0
0
0
1
1 0 0 0
entrinya bernilai positif.
Universitas Sumatera Utara
17
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
0 0 1 1
0 0 0 1
, tidak ada baris yang seluruh
Untuk k = 2 ; diperoleh A =
1 0 0 0
0 1 1 0
entrinya bernilai positif.
1 0 0 1
1 0 0 0
, tidak ada baris yang seluruh
Untuk k = 3 ; diperoleh A =
0
1
1
0
0 0 1 1
entrinya bernilai positif.
1 1 1 0
0 1 1 0
, tidak ada baris yang seluruh
Untuk k = 4 ; diperoleh A =
0 0 1 1
1 0 0 1
entrinya bernilai positif.
0 1 2 1
0 0 1 1
, tidak ada baris yang seluruh
Untuk k = 5 ; diperoleh A =
1
0
0
1
1 1 1 0
entrinya bernilai positif.
1 0 1 2
1 0 0 1
, tidak ada baris yang seluruh
Untuk k = 6 ; diperoleh A =
1 1 1 0
0 1 2 1
entrinya bernilai positif.
2 1 1 1
1 1 1 0
Untuk k = 7 ; diperoleh A =
0 1 2 1, pada baris ke-1 seluruh entrinya
1 0 1 2
positif, maka exp(v1) = 7
1 2 3 1
0 1 2 1
, pada baris ke-4 seluruh entrinya
Untuk k = 8 ; diperoleh A =
1 0 1 2
2 1 1 1
positif, maka exp(v4) = 8
Universitas Sumatera Utara
18
1 1 3 3
1 0 1 2
, pada baris ke-3 seluruh entrinya
i. Untuk k = 9 ; diperoleh A =
2 1 1 1
1 2 3 1
positif, maka exp(v3) = 9
3 1 2 3
2 1 1 1
, pada baris ke-2 seluruh entrinya
j. Untuk k = 10 ; diperoleh A =
1 2 3 1
1 3 3 3
positif, maka exp(v2) = 10
Karena ketiga verteks tersebut masing-masing telah memperoleh eksponen
verteks, maka operasi selesai. Diperolehlah kesimpulan bahwa exp(v1 ) = 7, exp(v2) =
10, exp(v3) = 9, dan exp(v4 ) = 8.
2.2 Digraph Dwi-Warna
Suatu digraph dwi-warna D(2) (atau 2-digraph) adalah suatu digraph D yang
setiap arcnya diwarnai merah atau biru tetapi tidak keduanya.
2.2.1 Definisi.
Suatu digraph dwi-warna D(2) adalah suatu objek yang terdiri dari himpunan V =
{v0, v1, · · · , vn } yang unsur-unsurnya disebut verteks dari D(2) , bersama dengan
himpunan R ⊆ V × V yang unsur-unsurnya disebut arc merah dan himpunan
B ⊆ V × V yang unsur-unsurnya disebut arc biru dari D(2) . Suatu arc merah
r
→ v dan suatu arc biru (u, v) dinotasikan dengan
(u, v) dinotasikan dengan u −
b
→ v.
u−
Suatu digraph dwi-warna dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara
sebagai berikut:
1. Setiap verteks direpresentasikan sebagai suatu titik.
2. Setiap arc merah direpresentasikan sebagai garis atau kurva berarah tak
putus.
Universitas Sumatera Utara
19
3. Setiap arc biru direpresentasikan sebagai garis atau kurva berarah putusputus.
Suatu (h, k)-walk dalam digraph dwi-warna D(2) adalah sebuah walk yang
terdiri dari h arc merah dan k arc biru. Untuk sebuah walk w di D(2) notasi r(w)
menyatakan banyak arc merah dan b(w) menyatakan banyak arc biru. Panjang suatu walk w adalah banyak arc merah dan arc biru yang membentuk walk tersebut,
i
h
disebut komposisi dari w.
dinotasikan ℓ(w) = r(w) + b(w). Vektor r(w)
b(w)
Suatu path adalah suatu walk dengan verteks berbeda kecuali mungkin
verteks awal dan verteks akhir. Suatu cycle adalah suatu path tertutup. Berikut
ini diberikan contoh representasi grafis 2-digraph.
Contoh 2.7 Himpunan verteks V = {1, 2, 3, 4, 5} bersama dengan himpunan
arc merah R = {(1, 2), (2, 3), (2, 5), (4, 2), (4, 3)} dan arc biru B = {(1, 5), (5, 4)}
adalah suatu digraph dwi-warna dengan 5 verteks, 5 arc merah dan 2 arc biru. Representasi grafis dari digraph dwi-warna dari Contoh 2.2.1 adalah sebagai berikut:
v1
v2
✲
t
✻
✠
t
✲
v5
t
❅
❅
❘
❅
❅
❅
❅tv3
✻
✒
t
v4
Gambar 2.6 : Sebuah 2-Digraph yang terdiri dari 5 verteks dan 7 arc
Dari Contoh 2.7 di atas dapat ditemukan beberapa walk, path, dan cycle,
yaitu:
r
r
b
r
r
a. Walk v1 −
→ v2 −
→ v5 −
→ v4 −
→ v2 −
→ v3 dengan komposisi
r
r
b
r
→ v2 −
→ v5 −
→ v4 −
→ v3 dengan komposisi
b. Path v1 −
" #
3
" #
4
1
1 Universitas Sumatera Utara
20
r
b
r
→ v5 −
→ v4 −
→ v2 dengan komposisi
c. Cycle v2 −
" #
2
1
2.2.2 Matriks Adjacency Digraph Dwi-Warna.
Pada digraph dwi-warna D(2) atas n verteks, untuk menentukan (0, 1)-matriks
adalah sebagai berikut.
Matriks adjacency merah, R = [rij ] pada D(2) adalah matriks n × n dengan
1, jika terdapat arc merah
ri,j =
0, jika sebaliknya
Matriks adjacency biru B = [bij ] pada D(2) adalah matriks n × n dengan
1, jika terdapat arc biru
bi,j =
0, jika sebaliknya
Berikut ini akan diberikan sebuah digraph dwi-warna dan direpresentasikan
ke dalam matriks adjacency-nya.
Contoh 2.8 Dari Gambar 2.6 dapat kita peroleh matriks adjacency-nya yaitu:
0 1 0 0 0
0 0 1 0 1
R = 0 0 0 0 0 adalah matriks adjacency merah ;
0 1 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
B = 0 0 0 0 0 adalah matriks adjacency biru.
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
Andaikan R dan B adalah matriks berordo m × m. Untuk bilangan bulat
tak negatif h dan k didefinisikan (h, k)-Hurwitz Product, (R, B)(h,k) , dari R
dan B adalah jumlah keseluruhan matriks dari hasil perkalian
R sebanyak
h kali
Universitas
Sumatera
Utara
21
dan B kali sebanyak k kali. Sebagai contoh, (R, B)(0,1) = B dan (R, B)(2,2) =
R2 B 2 + RBRB + RB 2 R + BRBR + BR2 B + B 2R2 .
2.2.3 Digraph Dwi-Warna Primitif.
Suatu digraph dwi-warna D(2) dikatakan terhubung kuat strongly connected jika
untuk setiap pasangan verteks u dan v di D(2) terdapat walk dari u ke v dan sebaliknya, tanpa memperhitungkan komposisi yang ada. Berikut ini akan diberikan
contoh digraph dwi-warna yang terhubung kuat dan yang tidak terhubung kuat.
Contoh 2.9 Representasi dari digraph dwi-warna yang terhubung kuat dan tidak
terhubung kuat
v2
t
v3
✲
v1 t✒
❅
❅
■
❅
❅t
✛
v6
t
❅
❘
❅
❅
❅tv4
✠
t
v5
Gambar 2.7 : (a) 2-Digraph terhubung kuat
v2
t
v3
✲
v1 t✒
❅
❘
❅
❅
❅t
v6
✛
t
❅
❘
❅
❅
❅tv4
✠
t
v5
(b) 2-Digraph tidak terhubung kuat
Pada Gambar 2.7 ditunjukkan bahwa (a) adalah 2-digraph terhubung kuat
karena terdapat walk dari satu verteks ke verteks lainnya. Sedangkan (b) adalah
2-digraph tidak terhubung kuat, karena tidak terdapat walk dari v6 ke v1 .
Sebuah digraph dwi-warna terhubung kuat D(2) dikatakan 2-primitif jika
dan hanya jika terdapat bilangan bulat tak negatif h dan k sehingga untuk setiap
pasangan dua verteks u dan v di D(2) terdapat (h, k)T -walk dari u ke v dan dari
v ke u. Andaikan D(2) adalah digraph dwi-warna terhubung kuat dan andaikan
C = {γ1 , γ2 , . . . , γt } merupakan himpunan semua cycle di D(2) . Matriks cycle D(2)
adalah matriks berordo 2 × t
M =
#
"
r(γ1 ) r(γ2 ) ... r(γt )
b(γ1) b(γ2 ) ... b(γt )
Sumatera Utara
dimana kolom ke-t dari M merupakan komposisi dari cycleUniversitas
γt dan 2 menyatakan
22
banyak warna yang di pakai. Suatu digraph dwi-warna D(2) dikatakan primitif
jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari minor-minor 2×2 dari M
adalah 1 (Fornasini dan Valcher, 1997).
2.2.4 Eksponen Digraph Dwi-Warna.
Pada bagian digraph dwi-warna primitif, dijelaskan bahwa suatu digraph dwiwarna D(2) terhubung kuat dikatakan 2-primitif jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat tak negatif h dan k sedemikian hingga untuk setiap pasangan verteks
u dan v di D(2) terdapat (h, k)-walk dari u ke v dan sebaliknya. Bilangan bulat
positif terkecil dari semua h + k dikatakan sebagai 2-eksponen digraph dwi-warna
D(2) .
Lemma 2.3 Andaikan D(2) adalah sebuah digraph dwi-warna atas n verteks dan
misalkan R dan B masing-masing adalah matriks adjacency merah dan biru dari
digraph dwi-warna D(2) . Maka elemen (i, j) dari (R, B)(h,k) adalah banyaknya
(h, k)T -walk dari verteks vi ke verteks vj .
Bukti. Akan dibuktikan dengan induksi pada (h + k) dan (h + k + 1), jika h = 0
maka k = 1 atau jika h = 1 maka k = 0. jika" h#= 0 maka elemen (i, j) dari
0
di digraph dwi-warna D(2) .
(R, B)(0,1) = B adalah walk dengan komposisi
1
(1,0)
Dengan cara yang sama, jika k = 0 maka (R, B)
" # = R adalah walk dengan
1
elemen (i, j) menyatakan walk dengan komposisi
di digraph dwi-warna D(2) .
0
′
Andaikan Lemma 2.3 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif h dan
′
′
′
k dengan h + k ≤ h + k akan diperlihatkan untuk h + k + 1 adalah benar dengan
catatan sebagai berikut.
(R, B)(h+1,k) = R(R, B)(h,k) + B(R, B)(h+1,k−1)
Oleh hipotesis induksi, elemen (i, j) pada R(R, B)(h,k) adalah walk dari vi ke vj
yang dimulai dengan arc merah dan diikuti oleh (h, k)T -walk, dan elemen (i, j)
Universitas
Sumatera
Utara
dengan arc
biru dan
pada B(R, B)(h+1,k−1) adalah walk dari vi ke vj yang dimulai
23
diikuti oleh (h + 1, k − 1)-walk sedemikian hingga elemen (i, j) dari (R, B)(h+1,k)
adalah jumlah (h + 1, k)-walk dari vi ke vj . Jadi, elemen (i, j) dari (R, B)(h,k)
adalah jumlah (h, k)T -walk dari verteks vi ke verteks vj .
Berikut ini diberikan representasi grafis 2-digraph yang selanjutnya akan dicari eksponennya.
Contoh 2.10 Digraph dwi-warna terhubung kuat di bawah ini adalah primitif.
v2
t
✡❏
✡ ❏
✡
❏
✡
❏
❏
❫
✡
❏
✡
✣
✡
❏
✡
❏
✡
❏
❏t
✛
v1 ✡
t
✲
t v4
v3
✛
Gambar 2.8 : Sebuah 2-Digraph yang terdiri dari 4 verteks dan 5 arc
Dari representasi grafis 2-digraph di atas, dapat dibuat dua buah matriks
adjacency sebagi berikut
0 1 0 0
0 0 1 0
adalah matriks adjacency merah pada Gambar
1. Matriks R =
0 0 0 0
0 0 1 0
2.8
0 0 0 0
0 0 0 0
adalah matriks adjacency biru pada Gambar 2.8
2. Matriks B =
1
0
0
1
0 0 0 0
Dari Lemma 2.3, entri (i, j) dari (R, B)(h,k) adalah banyaknya (h, k)-walk
dari 2-digraph, maka h + k terkecil adalah eksponen dari 2-digraph. Selanjutnya
Sumatera Utara
k:
akan diperlihatkan matriks (R, B)(h,k) untuk beberapa h + Universitas
24
1. Untuk h + k = 2, maka diperoleh ;
0
0
a. (R, B)(2,0) = R(R, B)(1,0) =
0
0
0
0
b. (R, B)(0,2) = B(R, B)(0,1) =
0
0 1 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
(1,1)
(0,1)
(1,0)
c. (R, B)
= R(R, B)
+ B(R, B)
=
0 0 0 0
0 0 0 0
Untuk h + k = 2, maka bukan merupakan 2-eksponen dari 2-digraph pada
Gambar 2.8 karena untuk setiap komposisi dari (R, B)(h,k) memuat (h, k)walk dengan panjang tidak sama dengan 2.
2. Untuk h + k = 3, maka diperoleh ;
0 0 0 0
0 0 0 0
(3,0)
(2,0)
= R(R, B)
=
a. (R, B)
0 0 0 0
0
0
0
b. (R, B)(0,3) = B(R, B)(0,2) =
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
(1,2)
(0,2)
(1,1)
c. (R, B)
= R(R, B)
+ B(R, B)
=
1 0 0 1
0
0
0
d. (R, B)(2,1) = R(R, B)(1,1) + B(R, B)(2,0) =
1
0 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 1
Sumatera Utara
0 0 Universitas
0 0
25
Untuk h + k = 3, maka bukan merupakan 2-eksponen dari 2-digraph pada
Gambar 2.8 karena untuk setiap komposisi dari (R, B)(h,k) memuat (h, k)walk dengan panjang tidak sama dengan 3.
Selanjutnya
10. Untuk h + k = 10, maka diperoleh ;
0
0
a. (R, B)(10,0) = R(R, B)(9,0) =
0
0
0
0
b. (R, B)(0,10) = B(R, B)(0,9) =
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(9,1)
(8,1)
(9,0)
c. (R, B)
= R(R, B)
+ B(R, B)
=
0 0 0 0
0
0
0
d. (R, B)(1,9) = R(R, B)(0,9) + B(R, B)(1,8) =
0
0
0
0
e. (R, B)(8,2) = R(R, B)(7,2) + B(R, B)(8,1) =
0
0
0
0
f. (R, B)(2,8) = R(R, B)(1,8) + B(R, B)(2,7) =
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Universitas Sumatera Utara
26
3 1 1 3
3 3 4 3
(6,4)
(5,4)
(6,3)
g. (R, B)
= R(R, B)
+ B(R, B)
=
1 2 6 1
3 3 4 3
Karena untuk setiap pasangan verteks u dan v di 2-digraph D(2) terdapat
walk dengan panjang 10 dengan 6 arc merah dan 4 arc biru, maka eksponen
dari 2-digraph D(2) adalah 10.
2.2.5 Eksponen Verteks Digraph Dwi-Warna Primitif.
Misalkan D(2) adalah sebuah digraph primitif dwi-warna dengan himpunan verteks
V (D(2) ) = (v1 , v2, · · · , vn ). Untuk suatu vk ∈ V (D(2) ) dan X ⊆ V (D(2) ), eksponen
verteks expD(2) (vk ) adalah bilangan bulat positif terkecil m1 + m2 sedemikian
hingga terdapat (m1, m2 )-walk dari vk ke setiap verteks di D(2) , dan eksponen
himpunan expD(2) (X) adalah bilangan bulat positif terkecil p1 + p2 sehingga untuk
setiap verteks vj di D(2) terdapat sebuah (p1 , p2 )-walk dari paling sedikit satu
verteks di X ke vj .
Misalkan D(2) adalah digraph primitif dwi-warna dengan orde n. Jika verteksverteks di D(2) adalah (v1, v2, · · · , vn ) sedemikian hingga
expD(2) (v1) ≤ expD(2) (v2) ≤ · · · ≤ expD(2) (vn )
maka expD(2) (vk ) adalah tipe pertama eksponen ke-k dari D yang digeneralisasikan.
Untuk mencari eksponen verteks dari suatu digraph dwi-warna primitif D(2) ,
dimana terdiri atas r arc berwarna merah dan b arc berwarna biru, maka akan
dilakukan operasi (h, k)-matriks Hurwitz product R dan B yang dapat didefinisikan
secara rekurensif. Untuk suatu bilangan bulat tak negatif terkecil h dan k, dan i
adalah verteks di D(2) , maka untuk baris ke-i dari matriks tersebut yang seluruh
entrinya bernilai positif, eksponen verteksnya adalah h + k.
Berikut ini diberikan representasi grafis dari digraph dwi-warna primitif yang
akan diberikan eksponen verteksnya.
Universitas Sumatera Utara
27
Contoh 2.11 Diberikan 2-digraph di bawah ini
vs2
✒
v1 s
❅
❅
❅
❘
❅
❅
❅
❅
✛
❅sv3
✲
Gambar 2.9 : Sebuah 2-Digraph dengan 3 verteks dan 4 arc
Contoh 2.12 Dari gambar 2.9 tersebut dapat kita peroleh matriks adjacency-nya
yaitu:
0 1 1
adalah matriks adjacency merah;
R=
0
0
1
0 0 0
0 0 0
adalah matriks adjacency biru.
B=
0
0
0
1 0 0
Selanjutnya dari Contoh 2.12 di atas dapat dicari eksponen verteks dari
masing-masing verteks di D(2) , yaitu dengan melihat penjumlahan h arc merah
dan k arc biru pada matriks (R, B)(h,k) dimana entri pada baris ke-i positif untuk
suatu bilangan bulat tak negatif terkecil h dan k.
a. untuk h + k = 1
0 1 1
= R = 0 0 1
1. (R, B)
, tidak ada baris yang seluruh entrinya
0 0 0
bernilai positif.
0 0 0
, tidak ada baris yang seluruh entrinya
2. (R, B)(0,1) = B =
0
0
0
1 0 0
bernilai positif.
(1,0)
b. untuk h + k = 2
Universitas Sumatera Utara
28
0 0 1
= R = 0 0 0
1. (R, B)
, tidak ada baris yang seluruh entrinya
0 0 0
bernilai positif.
0 0 0
, tidak ada baris yang seluruh entrinya
2. (R, B)(0,2) = B 2 =
0
0
0
0 0 0
bernilai positif.
1 0 0
, tidak ada baris yang seluruh
3. (R, B)(1,1) = RB + BR =
1
0
0
0 1 1
entrinya bernilai positif.
(2,0)
2
c. untuk h + k = 3
0 0 0
1. (R, B)
= R = 0 0 0
, tidak ada baris yang seluruh entrinya
0 0 0
bernilai positif.
0 0 0
2. (R, B)(0,3) = B 3 =
0 0 0, tidak ada baris yang seluruh entrinya
0 0 0
bernilai positif.
1 1 1
, pada baris ke-1,
3. (R, B)(2,1) = R(R, B)(1,1) + B(R, B)(2,0) =
0
1
1
0 0 1
seluruh entrinya bernilai
" # positif. Maka expD(2) (v1 ) = 3 dengan kompo2
sisi walknya adalah
.
1
0 0 0
, tidak ada baris
4. (R, B)(1,2) = R(R, B)(0,2) + B(R, B)(1,1) =
0
0
0
1 0 0
yang seluruh entrinya bernilai positif.
(3,0)
3
d. untuk h + k = 4
0 0 0
= R = 0 0 0
1. (R, B)
, tidak ada baris yang seluruh entrinya
0 0 0
Universitas Sumatera Utara
bernilai positif.
(4,0)
4
29
0 0 0
= B = 0 0 0
2. (R, B)
, tidak ada baris yang seluruh entrinya
0 0 0
bernilai positif.
0 1 2
, tidak ada baris
3. (R, B)(3,1) = R(R, B)(2,1) + B(R, B)(3,0) =
0
0
1
0 0 0
yang seluruh entrinya bernilai positif.
1 0 0
, pada baris ke-3,
4. (R, B)(2,2) = R(R, B)(1,2) + B(R, B)(2,1) =
1
0
0
1 1 1
seluruh entrinya bernilai
" # positif. Maka expD(2) (v3 ) = 4 dengan kompo2
sisi walknya adalah
.
2
0 0 0
, tidak ada baris
5. (R, B)(1,3) = R(R, B)(0,3) + B(R, B)(1,2) =
0
0
0
0 0 0
yang seluruh entrinya bernilai positif.
(0,4)
4
d. untuk h + k = 5
0 0 0
, tidak ada baris yang seluruh entrinya
1. (R, B)(5,0) = R5 =
0
0
0
0 0 0
bernilai positif.
0 0 1
, tidak ada baris
2. (R, B)(4,1) = R(R, B)(3,1) + B(R, B)(4,0) =
0
0
0
0 0 0
yang seluruh entrinya bernilai positif.
2 1 1
(3,2)
(2,2)
(3,1)
3. (R, B)
= R(R, B)
+ B(R, B)
= 1 1 1
, pada baris 1
0 1 2
dan 2, seluruh entrinya bernilai
" # positif. Maka expD(2) (v1) = 5 dengan
3
komposisi walknya adalah
.
2
Dari operasi di atas diperoleh kesimpulan bahwa expD(2) (v1) = 5, expD(2) (v2 ) = 4,
dan expD(2) (v3 ) = 3.
Universitas Sumatera Utara
30
2.2.6 Batas Eksponen Verteks.
Pada bagian ini akan dijelaskan cara membentuk batas atas dan batas bawah
eksponen verteks dari digraph dwi-warna primitif.
Proposisi 2.4 Jika D(2) adalah digraph dwi-warna primitif dan vk adalah verteks
di D(2) . Jika untuk beberapa bilangan bulat tak negatif s dan t dan beberapa path
Pk,i dari vk ke vi , i = 1, 2, · · · , n sistem persamaan
# " #
"
s
r(Pk,i )
=
Mx +
t
b(Pk,i )
memiliki solusi bilangan bulat tak negatif, sehingga γD(2) (vk ) ≤ s + t.
Bukti : Jika M adalah sebuah matriks cycle 2×t di D(2) . Untuk setiap verteks vi,
i = 1, 2, · · · , n di D(2) diklaim bahwa terdapat (s, t)-walk dari vk ke vi . Karena x =
(x1, x2 , · · · , xt)t adalah vektor bilangan bulat tak negatif, walk yang berawal dari
vk , menuju vi melalui path pk,i dan mengelilingi cycle γj sebanyak xj kali untuk
j = 1, 2, · · · , t adalah sebuah (s, t)-walk dari vk ke vi . Oleh definisi eksponen
verteks kita peroleh bahwa γD(2) (vk ) ≤ s + t.
Proposisi 2.5 Andaikan D(2) adalah 2-digraph primitif atas n verteks, dan jika
v adalah verteks di D(2) dengan eksponen γD(2) . Untuk sembarang verteks vk ,
k = 1, 2, · · · , n di D(2) diperoleh bahwa γD(2) (vk ) ≤ γD(2) (v) + d(vk , v).
Bukti : Andaikan pk,v adalah (r(pk,v ), b(pk,v ))-path dari vk ke v dengan panjang
d(vk , v). Karena eksponen verteks v adalah γD(2) (v), terdapat (s, t)-walk dengan
panjang γD(2) (v) = s + t dari v ke setiap verteks vj , j = 1, 2, · · · , n. Ini menunjukkan bahwa untuk setiap verteks vk di D(2) terdapat sebuah (s + r(pk,v ), t +
b(pk,v ))-walk dari verteks vk ke setiap verteks vj , j = 1, 2, · · · , n, dikatakan dengan walk yang berawal dari vk , menuju ke v melewati (r(pk,v ), b(pk,v ))-path dan
menuju ke vj melewati sebuah (s, t)-walk dari v ke vj . Oleh karena itu, γD(2) (vk ) ≤
γD(2) (v) + d(vk , v).
Universitas Sumatera Utara
31
sebuah 2-digraph
primitif terdiri atas 2 cyLemma 2.6 Andaikan D(2) adalah
#
"
r(γ1 ) r(γ2 )
. Andaikan vk adalah sembarang
cle dengan matriks cycle M =
b(γ1 ) b(γ2)
verteks di D(2) dan misalkan
" # terdapat
" #sebuah (s, t)-walk dari vk ke setiap verteks
s
u
vi di D(2) dengan M =
=M
untuk bilangan bulat tak negatif u dan v,
t
v
#
"
" #
)
r(p
u
ki
untuk beberapa path pki dari vk ke vi .
maka
≥ M −1
b(pki )
v
Bukti : Andaikan pki adalah path dari vk ke vi . Karena setiap walk dapat
didekomposisikan ke dalam bentuk cycle dan path, diperoleh
" #
"
#
s
r(pki )
= Mx +
t
b(pki )
untuk beberapa bilangan bulat tak negatif vektor x. Karena D(2) adalah primitif,
maka
" # M adalah
" # matriks yang dapat diinverskan. Mengingat bahwa
s
u
=M
, diperoleh
t
v
# " # "
#
"
" #
u
b(γ2 )r(pki ) − r(γ2 )r(pki )
r(pki )
u
−1
=
−
≥0
x=
−M
v
b(pki )
r(γ1 )b(pki ) − b(γ1 )r(pki )
v
Oleh karena itu Lemma memenuhi.
Akibat 2.7 Andaikan D(2) adalah digraph dwi-warna dengan dua cycle γ1 dan
γ2 . Andaikan vk di D(2) dan andaikan pk,i dan pk,j adalah path dari vk ke vi dan
path dari vk ke vj dengan i 6= j. Jika u0 = b(γ2 )r(pk,i ) − r(γ2 )b(pk,i ) ≥ 0 dan v0 =
r(γ1 )b(pk,j )−b(γ1)r(pk,j ) ≥ 0, maka γD(2) (vk ) ≥ (r(γ1 )+b(γ1 ))u0 +(r(γ2 )+b(γ2 ))v0.
Bukti : Diasumsikan
bahwa
" #
" #eksponen vk dapat diperoleh dengan sebuah (s, t)s
u
walk. Karena
=M
untuk beberapa bilangan bulat tak negatif u dan
t
v
v. Oleh Lemma 3.3 diperoleh
#
" # "
u
b(γ2 )r(pki ) − r(γ2 )r(pki )
≥
r(γ1 )b(pki ) − b(γ1 )r(pki )
v
Universitas Sumatera Utara
32
untuk sembarang path pk,i dari verteks vk ke verteks vi, i = 1, 2, · · · , n. Oleh
karena itu
"
s
t
#
=M
"
u
v
#
≥M
"
u0
v0
#
Ini menunjukkan bahwa γD(2) (vk ) ≥ (r(γ1 )+b(γ1))u0 +(r(γ2 )+b(γ2))v0 = ℓ(γ1 )u0 +
ℓ(γ2 )v0 .
2.2.7 Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Bersinggungan.
Andaikan D(2) adalah 2-digraph atas n verteks v1, v2, · · · , vn yang terdiri dari dua
n+2
dan
cycle yaitu γ1 : v1 → vn → vn−2 → · · · → v2 → v1 dengan ℓ(γ1 ) =
2
n
γ2 : v1 → vn−1 → vn−3 → · · · → v3 → v1 dengan ℓ(γ2 ) = . Digraph dwi-warna
2
(2)
D dikatakan primitif jika dan hanya jika
#
# "
"
n
n−2
r(γ1 ) r(γ2 )
(2)
2
= 2
M(D ) =
1 1
b(γ1 ) b(γ2 )
Deni Ramadani(2009) memberikan batas untuk eksponen digraph dwi-warna D(2) ,
1
1
yaitu (n2 + n) ≤ exp(D(2) ) ≤ (2n2 + n − 2). Pada penelitiannya Deni Ramadani
2
2
1
(2)
menyimpulkan bahwa D memiliki eksponen tepat (2n2 + n − 2) jika dan hanya
2
(2)
jika D memuat path merah dengan panjang n − 1 dan path biru dengan panjang
2. Jika v1 adalah verteks persekutuan antara γ1 dan γ2 , maka path biru yang
dimaksud adalah v3 → v1 → vn .
Berikut ini merupakan representasi grafis dari 2-digraph atas n verteks de1
ngan expD(2) = (2n2 + n − 2)
2
Contoh 2.13 Digraph dwi-warna dengan dua cycle yang bersinggungan
v4
t
✁✁
✁
✁✕
v6 ✁t
❑
❆r
rr
❆
❑❆t
vn−2
✲
✛
v2
v
n−1
t
t
✲
❆
✁✁
❆❯
✁
❆ ✁✕
❆❆✁
❆t
✁
v❆
☛
✁ 1
❑
❆
✁
❆t
✛
t
vn
v3
vn−3
t
❄
r
r
r
❄
t
v5
Gambar 2.10 : Sebuah 2-Digraph dengan dua cycle
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
EKSPONEN VERTEKS 2-DIGRAPH DENGAN DUA CYCLE
YANG BERSINGGUNGAN
Pada bab ini akan diperlihatkan hasil utama dari penelitian ini. Adapun hasil
utama dari tulisan ini yaitu pola eksponen verteks dari 2-digraph dengan dua
cycle yang bersinggungan.
Andaikan D(2) adalah 2-digraph primitif atas n verteks v1, v2, · · · , vn yang
terdiri dari dua cycle yaitu γ1 : v1 → vn → vn−2 → · · · → v2 → v1 dengan
n
n+2
dan γ2 : v1 → vn−1 → vn−3 → · · · → v3 → v1 dengan ℓ(γ2 ) = .
ℓ(γ1 ) =
2
2
(2)
(2)
Karena D primitif, maka matriks cycle D mempunyai bentuk
#
# "
"
n
n−2
)
r(γ
)
r(γ
1
2
2
= 2
M(D(2) ) =
1 1
b(γ1 ) b(γ2 )
Teorema 3.1 Andaikan D(2) adalah 2-digraph primitif atas n verteks dengan eks1
(2n2
2
+ n − 2). Jika vk , k = 1, 2, · · · , n adalah verteks di D(2) maka
k
n2 − 2
+ ⌊ ⌋.
γD(2) (vk ) =
2
2
ponen
Bukti : Pembuktian dilakukan dengan cara memperlihatkan batas bawah terlebih
dahulu, yaitu akan ditunjukkan dengan menggunakan Akibat 2.7. Oleh karena itu
adalah perlu didefinisikan terlebih dahulu nilai u0 dan v0. Nilai u0 dan v0 dapat
diperoleh dari path tunggal yang menghubungkan vk dengan vn dan path yang
menghubungkan vk dengan v3 . Pembuktian dibagi ke dalam dua kasus, yaitu
kasus saat k ganjil dan saat k genap.
a. Kasus 1 Untuk kasus k ganjil, akan diperlihatkan bahwa γD(2) (vk ) ≥
n2 −3+k
.
2
Kasus ini dibagi menjadi dua subkasus, yaitu ketika k = 1 dan k = 2m − 1,
m = 2, 3, · · · , n2 .
Universitas Sumatera Utara
34
(i) Untuk k = 1 akan diperlihatkan γD(2) (v1) ≥
n2 −2
.
2
Mengingat terdapat
( n−2
, 0)-path dari v1 ke v3, diperoleh u0 = b(γ2 )r(p1,3 ) − r(γ2 )b(p1,3) =
2
(1)( n−2
) − ( n−2
)(0) =
2
2
n−2
,
2
dan terdapat (0, 1)-path dari v1 ke vn , dipe-
roleh v0 = r(γ1 )b(p1,n )−b(γ1)r(p1,n ) = ( n2 )(1)−(1)(0) = n2 . Oleh Akibat
2.7 diperoleh
"
s
t
#
"
≥
n
2
n−2
2
1
1
#"
n−2
2
n
2
#
=
"
n2 −2n
2
n−1
#
n2 −2
.
2
Oleh karena itu γD(2) (v1) ≥
(ii) Untuk k = 2m − 1, m = 2, 3, · · · , n2 . Mengingat terdapat ( k−3
, 0)-path
2
)−
dari vk ke v3, diperoleh u0 = b(γ2)r(pk,3 ) − r(γ2 )b(pk,3 ) = (1)( k−3
2
)(0) =
( n−2
2
v0 =
k−3
,
2
2n−k+3
.
2
"
dan terdapat ( k−3
, 2)-path dari vk ke vn , diperoleh
2
Oleh Akibat 2.7 diperoleh
s
t
#
≥
"
n
2
n−2
2
1
1
#"
k−3
2
2n+3−k
2
#
=
"
n2 −2n+k−3
2
n
#
n2 −3+k
.
2
Oleh karena itu γD(2) (vk ) ≥
b. Kasus 2 Untuk k = 2m, m = 1, 2, · · · , n2 akan diperlihatkan bahwa γD(2) (vk ) ≥
n2 −2+k
.
2
Mengingat terdapat ( k2 , 1)-path dari vk ke vn , diperoleh v0 = r(γ1 )(pk,n )−
b(γ1)r(pk