Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan
EKSPONEN DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA CYCLE
YANG BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
Deni Ramadani Saragih
040803002
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2009
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
EKSPONEN DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA CYCLE
YANG BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana
Sains
DENI RAMADANI SARAGIH
040803002
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2009
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
i
PERSETUJUAN
Judul
: EKSPONEN DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA CYCLE YANG BERSINGGUNGAN
Kategori
: SKRIPSI
Nama
: DENI RAMADANI SARAGIH
Nomor Induk Mahasiswa
: 040803002
Program Studi
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
: MATEMATIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA
Medan, Febuari 2009
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2
Pembimbing 1
Dra. Mardiningsih, M.Si
Dr. Saib Suwilo, MSc.
NIP.131803344
NIP. 131796149
Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Dr. Saib Suwilo, MSc
NIP. 131796149
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
ii
PERNYATAAN
EKSPONEN DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA BUAH CYCLE YANG
BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Febuari 2009
DENI RAMADANI SARAGIH
040803002
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
iii
PENGHARGAAN
Setinggi puji dan sedalam syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT
yang telah memberikan berkat dan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ” EKSPONEN DIGRAPH DWI-WARNA
DENGAN DUA BUAH CYCLE YANG BERSINGGUNGAN ” ini dengan baik. Skripsi ini sebagai salah satu mata kuliah wajib yang harus diselesaikan
oleh seluruh mahasiswa Fakultas MIPA Departemen Matematika.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Dr. Eddy Marlianto, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
2. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, dan Bapak Henry Rani S, M.Si selaku Ketua
dan Sekretaris Departemen Matematika di FMIPA USU Medan.
3. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku dosen pembimbing I dan Dra. Mardiningsih, M.Si selaku dosen pembimbing II yang telah memberi dukungan
moral, motivasi dan ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan
penelitian ini.
4. Seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
5. Ayahanda Sarpanuddin Saragih dan Ibunda Sutini yang selalu memberikan
dukungan moril dan materiel serta doa yang tiada hentinya kepada penulis
serta kepada Abangda Sahdansyah Putra, S.Kom yang telah memberikan
dorongan semangat kepada penulis.
Tak lupa, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada para senior dan Juniordi di Lab. Ekstension, yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi ini,
Seluruh rekan-rekan ’04 khususnya Indra, Ramidin, Revin, Taufiq, Robby, Rajali,
Gunyanto dan Hemi serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satupersatu. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas jasa-jasa mereka yang telah
diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu
penulis meminta saran dan kritik yang membangun dari pembaca sekalian.
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga
tulisan ini berguna bagi yang membutuhkan.
Medan, Febuari 2009
Penulis,
DENI RAMADANI SARAGIH
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
iv
ABSTRAK
Andaikan D adalah suatu digraph dwi-warna yang primitif atas n ≥ 4 verteks
dengan dua buah cycle yang saling bersinggungan dengan panjang masing-masing
cycle adalah m dan m − 1 dengan m ≥ 3. Penelitian ini akan menentukan batas
atas dan bawah bagi exp2 (D), sehingga 21 (n2 + n) ≤ exp2 (D) ≤ 12 (2n2 + n − 2).
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
v
2-EKSPONENTS OF TWO COLORED DIGRAPHS WITH TWO
CYCLES WHOSE HAVE A COMMON VERTEX
ABSTRACT
Let D be a two-colored digraph whose two cycles are primitive on n ≥ 4 vertex
which have a common vertex and the length of each cycle is m and m − 1 with
m ≥ 3. This research will describe an upper bound and lowwer bound of exp2 (D)
such that 12 (n2 + n) ≤ exp2 (D) ≤ 12 (2n2 + n − 2).
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
iv
ABSTRACT
v
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR GAMBAR
vii
BAB
1. PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
Latar Belakang Penelitian
Masalah Penelitian
Tinjauan Pustaka
Tujuan Penelitian
Desain dan Metodologi Penelitian
2. 2-DIGRAPH PRIMITIF
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
1
1
2
2
4
4
6
Notasi
Matriks Adjancency
Primitifitas Dari 2-digraph Terhubung Kuat
Matriks tak negatif dan Eksponen 2-digraph
Formula 2-eksponen 2-digraph dengan dua cycle
6
10
13
16
22
3. EKSPONEN 2-DIGRAPH DENGAN DUA CYCLE YANG
BERSINGGUNGAN
25
4. KESIMPULAN DAN SARAN
34
4.1. Kesimpulan
4.2. Saran
DAFTAR PUSTAKA
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
34
35
36
vii
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
2.1
Digraph dengan 6 verteks dan 9 arc
7
2.2
Digraph dengan 5 verteks dan 7 arc
8
2.3
Representasi grafis dari 2-digraph.
9
2.4
2-Digraph dengan 9 verteks, 6 arc merah dan 4 arc biru.
10
2.5
Digraph dengan 4 verteks dan 4 arc.
11
2.6
Representasi dari sebuah 2-digraph.
12
2.7
Digraph primtif
14
2.8
Digraph dengan 3 verteks dan 5 arc.
17
2.9
2-Digraph dengan 4 verteks, 3 arc merah dan 2 arc biru
19
3.1
2-Digraph primitif dengan 5 arc merah dan 2 arc biru
31
3.2
2-Digraph primitif dengan 5 arc merah dan 2 arc biru
32
4.1
2-Digraph D yang memenuhi batas atas bagi exp2 D
34
4.2
2-Digraph D yang memenuhi batas bawah bagi exp2 D
35
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian
Fornasini dan Valcher memberikan konsep digraph dwi-warna, yakni suatu
digraph yang setiap arcnya diwarnai merah atau biru (Fornasini dan Valcher,
1997). Suatu digraph-dwiwarna D adalah primitif jika terdapat bilangan bulat
tak negatif h dan k sehingga untuk setiap pasangan verteks u dan v di D ada
suatu (h, k) walk dari u ke v dan dari v ke u. Eksponen dari digraph dwi-warna
yang dinotasikan dengan exp2 (D) adalah bilangan bulat positif h + k terkecil yang
terdiri dari h arc berwarna merah dan k arc berwarna biru. Riset tentang eksponen dari digraph dwiwarna dimulai oleh Shader dan Suwilo (2003). Mereka
memperlihatkan bahwa bila D adalah digraph dwi-warna atas n verteks, maka
eksponen terbesar dari D terletak pada interval [ 21 (n3 − 5n2 ), 12 (3n3 + 2n2 − 2n)].
Penelitian pada 2-eksponen dari digraph dwi-warna lebih banyak dilakukan
untuk mencari suatu digraph dwi-warna primitif atas n verteks dengan eksponen
lebih besar dari 21 (n3 − 5n2 ). Yakni dengan mencari 2-eksponen suatu digraph
dwi-warna yang terhubung kuat dan mempunyai arc sesedikit mungkin.
Beberapa peneliti memfokuskan pada digraph dwi-warna yang terdiri dari
dua cycle dengan beberapa verteks persekutuan. Lee dan Yang (2005) memberikan batas bagi 2-eksponen dari ministrong 2-digraph dengan n − 3 verteks
persekutuan, yakni bila D adalah ministrong digraph primitif maka 2n2 − 8n + 7 ≤
exp2 (D) ≤ 2n2 − 5n + 3. Shao dan Gao (2005) memberikan batas dan eksponen dari 2-digraph dengan n + s verteks dan n − m verteks persekutuan, yakni
andaikan D adalah 2-digraph atas n + s, s ≥ 0, m ≥ s + 1 verteks maka,
2n2 −3n+1 ≤ exp2 (D) ≤ 2n2 −2n+2sn−s dan exp2 (D) = 2n2 −4n+1. Shader dan
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
2
Suwilo mendiskusikan dua kelas ministrong 2-digraph. Yakni bila D adalah ministrong 2-digraph atas n = 2m, m ≥ 3 dan n = 2m + 1, m ≥ 4 verteks dengan n − 5
verteks persekutuan, maka 2n2 − 10n + 10 ≤ exp2 (D) ≤ 12 (2n3 − 5n2 + 7n − 2) dan
2n2 −14n+22 ≤ exp2 (D) ≤ 12 (n3 −8n2 +20n−15). Penelitian ini akan menentukan
2-eksponen serta batas atas dan batas bawah dari 2-eksponen digraph dwi-warna
primitif dengan dua cycle yang memiliki satu verteks persekutuan.
1.2 Masalah Penelitian
Andaikan D adalah suatu digraph dwi-warna primitif dengan dua buah cycle
yang saling bersinggungan dan panjang masing-masing cycle adalah m dan m − 1.
Masalah dari penelitian ini adalah
1. Untuk menentukan fungsi F (n) dan G(n), sehingga memenuhi sifat F (n) ≤
exp2 (D) ≤ G(n).
1.3 Tinjauan Pustaka
Suatu graph berarah yang selanjutnya dikatakan digraph adalah suatu himpunan tak kosong V = {v0 , v1 , ..., vm } yang elemen-elemen nya disebut verteks
dan himpunan garis-garis berarah A yang elemen elemennya disebut arc. Suatu
walk dengan panjang m dari sebuah digraph D yang menghubungkan verteks u
dan verteks v adalah suatu barisan arc di D dalam bentuk
u = v0 → v1 → v2 →, ..., → vm−1 → vm = v
dengan m > 0, v0 = u dan vm = v. Suatu walk dikatakan terbuka jika u 6= v
dan tertutup jika u = v. Suatu path adalah suatu walk tanpa perulangan verteks.
Suatu digraph dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap pasangan dari verteks
u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan terdapat walk dari v ke u. Suatu
digraph dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat positif k sehingga untuk
setiap pasangan verteks u dan v di D terdapat suatu walk yang panjang nya
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
3
k. Eksponen dari D dan dinotasikan dengan exp(D) adalah bilangan positif k
terkecil dari keseluruhan bilangan tak negatif k. Suatu digraph terhubung kuat
adalah primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari panjang
cycle-cycle di D adalah 1 (Brualdi dan Ryser, 1991).
Fornasini dan Valcher (1997) memberikan konsep digraph-dwiwarna yang
selanjutnya dikatakan 2-digraph, yakni suatu digraph yang setiap arcnya diwarnai
dengan warna merah atau biru, sehingga komponen terpenting dari suatu walk
tidak hanya panjangnya melainkan komposisinya, yakni banyaknya arc berwarna
merah dan arc berwarna biru pada walk tersebut. Suatu (h, k) -walk w pada
suatu 2-digraph D adalah suatu walk yang terdiri dari h arc berwarna merah dan
k arc berwarna biru. Banyaknya h arc berwarna merah dan k arc berwarna biru
pada suatu walk w dinotasikan dengan r(w) dan b(w). Suatu vektor (r(w), b(w))
dikatakan komposisi dari walk w. Suatu 2-digraph dikatakan terhubung kuat jika
digraph nya juga terhubung kuat.
Suatu 2-digraph dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif
h dan k sehingga untuk setiap pasangan verteks u dan v terdapat (h, k)-walk
dari u ke v. Bilangan bulat tak negatif h + k yang terkecil dari keseluruhan
bilangan tak negatif h dan k dikatakan sebagai 2-eksponen dari D yang dinotasikan
dengan exp2 (D). Andaikan D adalah 2-digraph dan misalkan {γ1 , γ2 , ..., γl } adalah
himpunan semua cycle yang berada di D.
" Suatu matriks cycle M
# dari D adalah
r(γ1 ) r(γ2 ) ... r(γl )
suatu matriks ber ordo 2 × t, yakni M =
. Dengan kolom
bγ1 ) b(γ2 ) ... r(γl )
ke-t dari M merupakan komposisi dari cycle γt dan 2 menyatakan banyaknya warna
yang dipakai. Suatu 2-digraph D dikatakan primitif jika pembagi persekutuan
terbesar dari minor-minor 2×2 dari M adalah 1 (Fornasini dan Valcher, 1997).
Suwilo dan Shader (2006) memberikan formula bagi 2-eksponen dari 2-digraph
yang terdiri atas dua cycle, yakni
′
′
exp2 (D) = ℓ(γ1 )ℓr + ℓ(γ2 )ℓb
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
(1.1)
4
Dengan ℓ(γ1 ) dan ℓ(γ2 ) adalah panjang masing-masing cycle di D dan
′
ℓr = max {b(γ2 )r(Puv )−r(γ2 )b(Puv )}.
(1.2)
u,v∈V
′
ℓb = max {r(γ1 )b(Puv )−b(γ1 )r(Puv )}.
(1.3)
u,v∈V
Selanjutnya dengan formula tersebut, Suwilo dan Shader (2006) memperbaiki
batas 2-eksponen dari ekstremal ministrong digraph yang diberikan oleh Lee dan
Yang menjadi 2n2 − 8n + 7 ≤ exp2 (D) ≤ 2n2 − 7n + 3.
1.4 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mencari batas bawah dan batas atas bagi
2-eksponen dari digraph-dwiwarna primitif dengan dua buah cycle yang saling
bersinggungan dan panjang masing-masing cycle adalah m dan m − 1. Yakni akan
ditentukan Fungsi F (n) dan G(n) sehingga F (n) ≤ exp2 (D) ≤ G(n).
1.5 Desain dan Metodologi Penelitian
Metode penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan. Untuk menentukan suatu fungsi F (n) dan G(n) sehingga F (n) ≤ exp2 (D) ≤ G(n). Penentuan
batas atas dan bawah dari digraph dwiwarna primitif dengan dua cycle yang bersinggungan dilakukan dengan menggunakan pendekatan berikut ini.
1. Dengan bantuan software two exp.
2. Dengan menggunakan formula yang diberikan Suwilo (Suwilo dan Shader,
′
′
2006), yakni exp2 (D) = ℓ(γ1 )ℓr + ℓ(γ2 )ℓb .
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
5
′
′
Pada penelitian ini b(γ1 ) = b(γ2 ) = 1. Sehingga ℓr dan ℓb dapat disederhanakan menjadi
′
ℓr = max {r(Puv )−r(γ2 )b(Puv )}
u,v∈V
′
ℓb = max {r(γ1 )b(Puv ) − r(Puv )}
u,v∈V
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
(1.4)
(1.5)
BAB 2
2-DIGRAPH PRIMITIF
Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan beberapa
defenisi sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar ini berkaitan dengan
masalah yang dibahas dalam tulisan ini seperti digraph, 2-digraph, terhubung kuat,
2-digraph primitif dan 2-eksponen dari 2-digraph.
2.1 Notasi
Pada subbab ini akan dibahas beberapa notasi digraph yang akan dipergunakan dalam pembahasan 2-digraph.
2.1.1 Digraph.
Suatu digraph terdiri dari titik-titik yang dihubungkan oleh garis berarah.
Secara formal, digraph adalah objek yang terdiri dari dua himpunan yaitu.
1. Himpunan berhingga tak kosong V = {v0 , v1 , ..., vm }. Unsur dari V disebut
verteks dari digraph D.
2. Himpunan A yang merupakan himpunan bagian dari pasangan berurut V ×V
dengan verteks-verteksnya tidak harus berbeda dan unsur-unsurnya disebut
arc dari digraph D.
Jika diberikan β = (u, v) adalah suatu arc di D, maka verteks u disebut
sebagai verteks awal dan verteks v disebut sebagai verteks akhir. Suatu arc (u, v)
dapat juga dinotasikan dengan u → v.
Contoh 2.1 Himpunan verteks V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 } bersama dengan himpunan arc A = {(v1 , v2 ), (v2 , v4 ), (v4 , v6 ), (v6 , v5 ), (v5 , v3 ), (v3 , v1 ), (v3 , v2 ), (v5 , v4 ), (v2 , v5 )}
adalah suatu digraph dengan 6 verteks dan 9 arc.
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
7
Suatu digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara setiap verteks
direpresentasikan sebagai sebuah titik dan setiap arc (u, v) direpresentasikan sebagai garis berarah dari titik u ke v.
Representasi dari digraph yang diberikan pada Contoh 2.1 diberikan pada
gambar berikut.
Contoh 2.2 Representasi Grafis dari digraph yang diberikan pada Contoh 2.1
vt 3
v1 t
?
@
@
R
@
@t
v2
-
vt 5
@
@
@
I
@t v6
?
t
v4
Gambar 2.1 : Digraph dengan 6 verteks dan 9 arc
Andaikan D adalah suatu digraph dan misalkan u dan v adalah verteks di
digraph D. Suatu walk dengan panjang m dari u ke v didefinisikan sebagai barisan
arc dan dituliskan sabagai
v0 → v1 → v2 → ... → vm−1 → vm
untuk m > 0, v0 = u dan vm = v. Suatu walk dikatakan terbuka jika u 6= v dan
tertutup jika u = v. Suatu path adalah suatu walk tanpa perulangan verteks dan
suatu cycle didefinisikan sebagai suatu path tertutup.
Berikut ini akan diberikan representasi dari digraph untuk menjelaskan beberapa definisi diatas.
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
8
Contoh 2.3 Diberikan digraph dibawah ini.
vt1 -
vt 2
S
J
J
v5 t S
Z
J
S
Z
^
w
? J
Z S
Z S
J
Z
} S
Jtv3
Z
ZS
S
Z
t
v4
Gambar 2.2 : Digraph dengan 5 verteks dan 7 arc
Digraph pada gambar 2.2 memiliki walk, path dan cycle sebagai berikut :
a. Barisan arc berikut ini v1 → v4 → v5 → v1 → v2 → v4 adalah sebuah walk
tetapi bukan path karena ada perulangan verteks.
b. Barisan arc berikut ini v2 → v3 → v4 adalah sebuah path terbuka.
c. Barisan arc berikut ini v1 → v4 → v5 → v1 adalah sebuah cycle.
2.1.2 2-Digraph.
Andaikan D adalah suatu digraph dengan m verteks v1 , v2 , ..., vm . Suatu
digraph dwi-warna atau 2-digraph adalah suatu digraph D yang setiap arcnya
diwarnai dengan dua warna, dalam hal ini merah atau biru. Suatu arc merah
r
(u, v) dinotasikan dengan u −
→ v dan suatu arc biru (u, v) dinotasikan dengan
b
u−
→ v.
Contoh 2.4 Himpunan verteks V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 , v7 , v8 } bersama dengan
himpunan arc merah R = {(v1 , v2 ), (v2 , v3 ), (v4 , v5 ), (v5 , v6 ), (v5 , v7 ), (v7 , v8 ), (v8 , v1 )}
dan arc biru B = {(v3 , v4 ), (v6 , v1 )} adalah suatu 2-digraph dengan 8 verteks, 7
arc merah dan 2 arc biru.
Suatu 2-digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara sebagai
berikut :
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
9
1. Setiap verteks direpresentasikan sebagai suatu titik.
2. Setiap arc merah direpresentasikan sebagai garis atau kurva berarah tak
putus.
3. Setiap arc biru direpresentasikan sebagai garis atau kurva berarah putusputus .
Berikut ini akan diberikan suatu contoh representasi 2-digraph pada Contoh
2.4 diperlihatkan pada gambar dibawah ini.
Contoh 2.5 : Representasi grafis dari 2-digraph pada Contoh 2.4.
vt 8
HHH
Y
HHv7
t
v1t vt 6
A
A 6
AKA
Atv5
v2 t
A
AAU
A
At t
v3
v4
Gambar 2.3 : Representasi grafis dari 2-digraph.
Suatu (h, k)-walk w pada 2-digraph D adalah suatu walk yang panjangnya
h + k, terdiri dari h arc merah dan k arc biru. Banyaknya dari arc merah dan arc
biru
" dari
# suatu walk w, masing-masing dinotasikan dengan r(w) dan b(w). Vektor
r(w)
disebut komposisi dari walk w.
b(w)
Suatu path adalah suatu walk dengan verteks berbeda kecuali mungkin verteks
awal dan verteks akhir. Suatu cycle adalah suatu path tertutup.
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
10
Contoh 2.6 Diberikan 2-digraph dibawah ini.
vt1
vt7 - vt8 v6
t J
J
J
J
]
J
Jt
vt2
J
J
J
^
J
vt9 - JJtv3
t
v5
v4
Gambar 2.4 : 2-Digraph dengan 9 verteks, 6 arc merah dan 4 arc biru.
2-Digraph pada Gambar 2.4 diatas memiliki path, walk dan cycle sebagai
berikut
b
r
r
b
→ v2 −
→ v3 −
→
v4 −
→ v5 adalah sebuah path terbuka
a. Barisan arc berikut ini v1 −
" #
2
dari v1 ke v5 dengan komposisi walk
.
2
b
r
r
b
r
r
b. Barisan arc berikut ini v1 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v4 −
→ v5 −
→ v6 −
→ v1 adalah sebuah
" #
4
path tertutup atau sebuah cycle dari v1 ke v1 dengan komposisi walk
.
2
r
b
r
r
b
r
b
b
c. Barisan arc berikut ini v3 −
→ v4 −
→ v5 −
→ v6 −
→ v7 −
→ v"8 −
→
→ v3 −
→ v4
# v9 −
4
adalah suatu walk dari v3 ke v4 dengan komposisi walk
.
4
Suatu digraph atau 2-digraph dapat di representasikan kedalam sebuah matriks, berikut ini akan diberikan hubungan antara digraph dan 2-digraph dengan
matriks.
2.2
Matriks Adjancency
Pada sub bab ini akan dibahas hubungan antara digraph, 2- digraph dengan
matriks. Suatu digraph D dan 2-digraph D dengan m verteks dapat dinyatakan
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
11
oleh (0,1)-matriks, yang entri dari matriks itu adalah bilangan 0 atau 1. Matriks
yang demikian disebut sebagai matriks adjacency.
2.2.1 Matriks Adjancency dari Digraph
Untuk setiap digraph D dengan m verteks dapat dituliskan suatu (0,1)matriks A(D) = (aij ) sebagai berikut.
1, jika terdapat arc dari vi ke vj di D
aij =
0, jika sebaliknya
Untuk i, j = 1, 2, ..., m
Matriks A(D) disebut sebagai matriks adjacency dari digraph D.
Berikut ini akan diberikan contoh matriks adjacency dari sebuah representasi
digraph.
Contoh 2.7 Jika diberikan representasi dari sebuah digraph seperti berikut ini.
tv2
Q
Q
Q
s
3
Q
Q
v1
Qtv
t
Q
3
Q
Q
+
Q
k
Q
Q
t
v4
Gambar 2.5 : Digraph dengan 4 verteks dan 4 arc.
Maka, dari representasi digraph pada Gambar 2.5 diatas diperoleh matriks adjacency sebagai berikut
0
0
0
1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
12
2.2.2 Matriks Adjacency 2-digraph
Pada 2-digraph D atas m verteks, untuk menentukan (0,1)-matriks adalah
sebagai berikut. Matriks adjacency merah, R = [rij ] pada D adalah matriks ber
ordo m × m dengan
1, jika terdapat arc merah dari vi ke vj di D
rij =
0, jika sebaliknya.
Matriks adjacency biru, B = [bij ] pada D adalah matriks ber ordo m × m dengan
1, jika terdapat arc biru dari vi ke vj di D
bij =
0, jika sebaliknya.
Berikut ini akan diberikan sebuah 2-digraph dan direpresentasikan kedalam
matriks adjacency.
Contoh 2.8 Bila representasi dari sebuah 2-digraph seperti berikut ini.
vt 2
J
J
^
J
Jt
v1 t
v3
-
tv4
Gambar 2.6 : Representasi dari sebuah 2-digraph.
Maka, representasi 2-digraph pada Gambar 2.6 diatas dapat dibuat kedalam
dua buah matriks adjacency sebagai berikut
0 1 0 0
0 0 0 0
adalah matriks adjacency merah. dan
Matriks adjacency ini, R =
1
0
0
0
0 0 1 0
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
13
0 0 0 0
0 0 1 0
matriks adjacency ini, B =
0 0 0 1
0 0 0 0
adalah matriks adjacency biru.
Berikut ini akan dibahas tentang digraph dan 2-digraph terhubung kuat dan
keterhubungan dengan digraph dan 2-digraph primitif.
2.3 Primitifitas Dari 2-digraph Terhubung Kuat
Pada bagian ini akan dibahas tentang digraph dan 2-digraph terhubung kuat
dan keterhubungan dengan primitifitas.
2.3.1 Digraph Primitif.
Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat, jika untuk setiap pasangan
verteks u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke u. Berikut ini
akan diberikan contoh digraph terhubung kuat dan digraph yang tidak terhubung
kuat.
Contoh 2.9 Digraph terhubung kuat dan tidak terhubung kuat
vt 4
HHH
YHtv
v5 t
3
?
v1 t
-
6
tv
2
vt 4
HHH
YHv
v5
t3
t
?
v1 t
(a)
6
tv
2
(b)
Gambar pada Contoh 2.9 menunjukkan bahwa (a) adalah terhubung kuat
karena terdapat walk dari suatu verteks ke verteks lainnya, sedangkan (b) tidak
terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v1 ke v2 .
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
14
Andaikan himpunan C = {γ1 ,γ2 ,...,γt } adalah himpunan semua cycle di D.
Maka panjang dari cycle - cycle pada digraph D dinotasikan dengan ℓ(γi ) dimana
i = 1, 2, · · ·, t.
Suatu digraph terhubung kuat D adalah primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari panjang-panjang cycle di D adalah 1 (Brualdi dan
Ryser, 1991). Berikut ini diberikan representasi grafis digraph yang terhubung
kuat dan primitif.
Contoh 2.10 Digraph yang terhubung kuat di bawah ini adalah primitif.
v5
vu4
H
HH
H
Y
HHuv
u
?
v1 u
-
3
6
uv2
Gambar 2.7 : Digraph primtif
Pada gambar 2.7 diatas, D adalah digraph terhubung kuat dengan dua cycle
yaitu, v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v1 dengan panjang 5 dan cycle v3 → v4 → v5 →
v3 dengan panjang 3. Oleh defenisi diatas, maka pembagi persekutuan terbesar
dari cycle dengan panjang 5 dan 4 adalah 1, maka D adalah primitif.
2.3.2 2-Digraph Primitif.
Suatu 2-digraph D dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap pasangan
verteks u dan v di D terdapat walk berarah dari verteks u ke v dan walk berarah
dari verteks v ke u, dengan mengabaikan komposisi arc yang ada.
Berikut ini diberikan Contoh 2-digraph yang terhubung kuat dan 2-digraph
yang tidak terhubung kuat.
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
15
Contoh 2.11 2-Digraph terhubung kuat dan tidak terhubung kuat
vt 4
H
HH
YHtv
v5 t
3
?
v1 t
6
tv
-
2
v5
vt 4
H
HH
YHv
t3
t
?
v1 t
(a1 )
6
tv
2
(a2 )
Gambar pada contoh 2.11 diatas menunjukkan bahwa (a1 ) adalah terhubung
kuat karena terdapat walk dari suatu verteks ke verteks lainnya, sedangkan (a2 )
tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v1 ke v2 .
Andaikan D adalah 2-digraph yang terhubung kuat dan andaikan C =
{γ1 , γ2 , · · ·, γt } merupakan himpunan semua cycle di D. Matriks cycle D adalah
matriks berordo 2 × t
M=
"
#
r(γ1 ) r(γ2 ) ... r(γt )
b(γ1 ) b(γ2 ) ... b(γt )
dimana kolom ke-t dari M merupakan komposisi dari cycle γt dan 2 menyatakan
banyak warna yang di pakai.
Suatu 2-digraph D terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan
bulat tak negatif h dan k sehingga untuk setiap pasangan verteks u dan v di D
terdapat (h, k) walk dari u ke v dan v ke u. Suatu 2-digraph D dikatakan primitif
jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan-determinan
submatriks ber ordo 2 × 2 dari M adalah 1 (Fornasini dan Valcher, 1997).
Contoh 2.12 Dari Gambar 2.6 diperoleh matriks cycle dari 2-digraph, yakni
#
"
2 1
M=
1 1
karena determinan-determinan submatriks ber ordo 2 × 2 dari M adalah 1 , berakibat pembagi persekutuan terbesar dari determinan-determinan submatriks ber
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
16
ordo 2 × 2 dari M adalah 1. Maka 2-digraph tersebut adalah primitif.
2.4 Matriks tak negatif dan Eksponen 2-digraph
Suatu matriks dikatakan sebagai matriks tak negatif bila untuk setiap entri matriksnya aij adalah bilangan tak negatif, sebuah matriks dikatakan sebagai
matriks positif bila untuk setiap entri matriksnya aij adalah bilangan positif.
Berikut ini akan diberikan contoh dari matriks tak negatif dan matriks positif.
Contoh 2.13 Matriks tak negatif dan matriks positif.
0 1 2
1 1 2
adalah matriks tak negatif dan matriks ini 1 1 1 adalah
Matriks ini
0
1
0
1 0 1
1 2 1
matriks positif.
Pada digraph D, eksponen dari suatu digraph D didefenisikan sebagai bilangan bulat terkecil k, sehingga untuk setiap pasangan verteks u dan v di D terdapat
walk berarah dari u ke v dengan panjang k. Eksponen dari digraph D dinotasikan
dengan exp(D).
Proposisi 2.1 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D. Entri
Akij dari Ak menyatakan banyaknya walk dari verteks vi ke vj yang panjangnya k
di D.
Bukti andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D, maka setiap
entri (i, j) dari A menyatakan arc dari verteks vi ke vj di digraph D. Hal ini
berakibat untuk k = 1, maka setiap entri a1ij dari A1 menyatakan banyaknya walk
dari verteks vi ke vj yang panjangnya satu.
Asumsikan setiap entri akij dari Ak menyatakan banyaknya walk dari verteks
vi ke verteks vj yang panjangnya k di D, untuk k ≥ 1. Berikut ini diperlihatkan
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
17
ak+1
adalah banyaknya walk dari vi ke vj yang panjangnya k + 1 di D, untuk k ≥ 1
ij
Perhatikan setiap walk dari verteks vi ke verteks vj di D dengan panjang
k + 1 yang terdiri dari walk vi ke vl dengan panjang k untuk l = 1, 2, ..., n dan
dilanjutkan dengan arc dari verteks vi ke vj . Sehingga akil alj adalah walk yang
panjangnya k + 1 dari verteks vi ke vj di D untuk k = 1, 2, ..., n. Jika terdapat
walk yang panjangnya k dari verteks vi ke verteks vj di D, maka akil = 0 sehingga
akil alj = 0. Hal ini berarti tidak terdapat walk yang panjangnya k + 1 dari verteks
vi ke vj yang melalui verteks vl di D. Sehingga diperoleh banyaknya walk yang
panjangnya k + 1 dari verteks vi ke verteks vj di D adalah.
aki1 a1j
+
aki2 a2j
+ .... +
akin anj
=
n
X
akil alj
l=1
Karena
Ak+1 = Ak A
maka
akij
=
n
X
akil alj
l=1
Hal ini berakibat
ak+1
ij
adalah benar menyatakan banyaknya walk dari verteks vi
ke vj yang panjangnya k + 1 di D.
Berikut ini diberikan contoh representasi grafis digraph yang akan dicari eksponennya dengan menggunakan Proposisi. 2.1 diatas.
Contoh 2.13 Representasi digraph dengan 3 verteks dan 5 arc.
vt2
J
J
J
^
J
J
Jtv
v1 t
3
M
Gambar 2.8 : Digraph dengan 3 verteks dan 5 arc.
Dari representasi grafis pada Gambar 2.8 diatas diperoleh matrks adjacency
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
18
1 1
sebagai berikut. A = 0 0
1 0
dari verteks vi ke vj dengan
0
1
, dari Proposisi 2.1 untuk mencari banyak walk
1
panjang k adalah entri dari matriks Akij dari Ak .
Dengan demikian nilai k adalah eksponen dari digraph. Perhatikan matriks Ak
untuk k :
1 1 0
a. Untuk k = 1; diperoleh A = 0 0 1
, maka bukan merupakan eksponen
1 0 1
dari digraph pada Contoh 2.4.2, karena tidak terdapat walk dengan panjang
1 dari v2 ke v1 , v1 ke v3 , v2 ke v2 dan dari v3 ke v2 .
1 1 0
, maka bukan merupakan eksponen
b. Untuk k = 2; diperoleh A2 =
1
0
1
2 1 1
dari digraph pada Contoh 2.4.2, karena tidak terdapat walk dengan panjang
dua dari v1 ke v3 dan v2 ke v2 .
1 1 1
c. Untuk k = 3; diperoleh A3 =
2 1 1, karena terdapat walk dengan
3 2 2
panjang 3 dari tiap pasangan verteks pada digraph D, maka eksponen dari
digraph pada Contoh 2.4.2 adalah 3.
Andaikan A dan B adalah suatu matriks tak negatif ber ordo m × m. Untuk
bilangan tak negatif h dan k di definisikan (h, k)-Hurwitz product, (A, B)(h,k) ,
dari A dan B adalah jumlah keseluruhan matriks dari hasil perkalian A sebanyak
h kali dan B sebanyak k kali. Sebagai contoh, (A, B)(1,0) = A dan (A, B)(2,2) =
A2 B 2 + ABAB + AB 2 A + BABA + B 2 A2 .
Lemma 2.2 jika (R, B) adalah matriks adjacency dari 2-digraph. Maka entri
(i, j) dari (R, B)(h,k) adalah jumlah (h, k)-walk dari 2-digraph.
Bukti. Akan dibuktikan dengan induksi pada (h + k) dan (h + k + 1), jika h = 0
maka k = 1 atau jika h = 1 maka k = 0. jika h = 0 maka entri (i, j) dari
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
19
(R, B)(0,1) = B adalah walk dengan komposisi
" #
0
di 2-digraph D. Dengan cara
1
= A adalah walk dengan entri (i, j) meny-
(1,0)
yang sama, jika k = 0 maka (R,"B)
#
1
atakan walk dengan komposisi
di 2-digraph D.
0
′
Andaikan lemma 2.5 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif h dan
′
′
′
k dengan h + k ≤ h + k akan diperlihatkan untuk h + k + 1 adalah benar dengan
catatan sebagai berikut.
(R, B)(h+1,k) = R(R, B)(h,k) + B(R, B)(h+1,k−1)
dengan induksi entri (i, j) pada R(R, B)h,k adalah walk dari i ke j diikuti dengan
sebuah arc merah dan diikuti oleh sebuah (h, k) − walk dari entri (i, j) pada
B(R, B)(h+1,k−1) adalah walk dari i ke j yang dimulai dengan sebuah arc biru
dan diikuti oleh sebuah (h + 1, k − 1) − walk sedemikian hingga entri (i, j) dari
(R, B)(h+1,k) adalah jumlah h + 1, k-walk dari i ke j.
Berikut ini diberikan representasi grafis 2-digraph yang akan diberikan eksponennya.
vt 2
J
J
J
^
J
J
Jt
v1
t
v3
-
tv4
Gambar 2.9 : 2-Digraph dengan 4 verteks, 3 arc merah dan 2 arc biru
Dari representasi 2-digraph diatas, dapat dibuat dua buah matriks adjacency
sebagai berikut
0
0
1. Matriks R =
0
0
2.9.
1 0 0
0 1 0
adalah matriks adjacency merah pada Gambar
0 0 0
0 1 0
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
20
0
0
2. Matriks B =
1
0
0 0 0
0 0 0
adalah matriks adjacency biru pada Gambar 2.9.
0 0 1
0 0 0
Dari Lemma 2.2, entri (i, j) dari (R, B)(h,k) adalah banyaknya (h, k)-walk
dari 2-digraph, maka h + k terkecil adalah eksponen dari 2-digraph. Selanjutnya
akan diperlihatkan matriks (R, B)(h,k) untuk beberapa h + k :
1. Untuk h + k = 2, maka diperoleh;
0 0 1
0 0 0
a. (R, B)(2,0) = R(R, B)(1,0) =
0 0 0
0 0 0
b. (R, B)(0,2)
0
0
= R(R, B)(0,1) =
0
0
0
0
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
(1,1)
(0,1)
(1,0)
.
c. (R, B)
= R(R, B)
+ R(R, B) =
0 0 0 0
0 0 0 0
Untuk h + k = 2, maka bukan merupakan 2-eksponen dari 2-digraph pada
Gambar 2.9 karena untuk setiap komposisi dari (R, B)(h,k) memuat (h, k)walk dengan panjang tidak sama dengan 2.
2. Untuk h + k = 3, maka diperoleh;
0 0 0
0 0 0
a. (R, B)(3,0) = R(R, B)(2,0) =
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
21
b. (R, B)(0,3)
0
0
= B(R, B)(0,2) =
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
(1,2)
(0,2)
(1,1)
.
c. (R, B)
= R(R, B)
+ B(R, B) =
1 0 0 1
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
(2,1)
(1,1)
(2,0)
.
d. (R, B)
= R(R, B)
+ B(R, B) =
1
0
0
1
0 0 0 0
Untuk h + k = 3, maka bukan merupakan 2-eksponen dari 2-digraph pada
Gambar 2.9 karena untuk setiap komposisi dari (R, B)(h,k) memuat (h, k)walk dengan panjang tidak sama dengan 3.
Selanjutnya untuk h + k = 10, maka diperoleh
a. (R, B)(10,0)
b. (R, B)(0,10)
c. (R, B)(9,1)
d. (R, B)(1,9)
0
0
= R10 =
0
0
0
0
= B 10 =
0
0
0 0 0
0 0 0
.
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
.
0 0 0
0 0 0
0
0
= R(R, B)(8,1) + B(R, B)(9,0) =
0
0
0
0
= R(R, B)(0,9) + B(R, B)(1,8) =
0
0
0 0 0
0 0 0
.
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
.
0 0 0
0 0 0
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
22
e. (R, B)(2,8)
f. (R, B)(8,2)
(3,7)
g. (R, B)
h. (R, B)(6,4)
0
0
= R(R, B)(1,8) + B(R, B)(2,7) =
0
0
0 0 0
0 0 0
.
0 0 0
0 0 0
0
0
= R(R, B)(7,2) + B(R, B)(8,1) =
0
0
0 0 0
0 0 0
.
0 0 0
0 0 0
(2,7)
= R(R, B)
(3,6)
+ B(R, B)
0
0 0
0
0 0 0 0
.
=
38
0
0
38
0 0 0 0
3
3
= R(R, B)(5,4) + B(R, B)(4,5) =
1
3
1 1 3
3 4 3
.
3 6 1
3 4 3
Karena untuk setiap pasangan verteks u dan v di 2-digraph D terdapat walk
dengan panjang 10 dengan 6 arc merah dan 4 arc biru, maka eksponen dari 2digraph D adalah 10.
2.5 Formula 2-eksponen 2-digraph dengan dua cycle
Misalkan D"adalah suatu# 2-digraph primitif dengan dua cycle γ1 dan γ2 dan
r(γ1 ) r(γ2 )
. Karena D adalah primitif maka det(M ) = 1.
misalkan M =
b(γ1 ) b(γ2 )
Untuk setiap pasangan verteks u dan v, andaikan puv adalah path terpendek dari
u ke v. Dan didefenisikan
′
ℓr = max {b(γ2 )r(puv )−r(γ2 )b(puv )}
u,v ∈ V
′
ℓb = max {r(γ1 )b(puv )−b(γ1 )r(puv )}
u,v ∈ V
dengan V adalah himpunan verteks di D
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
(2.1)
(2.2)
23
Teorema 2.3 Andaikan D adalah suatu 2-digraph primitif yang terhubung kuat
dengan dua cycle dengan paling sedikit satu arc pada masing-masing warna . Maka
′
′
exp2 (D) = ℓ(γ1 )ℓr + ℓ(γ2 )ℓb .
Bukti Misalkan M adalah matriks cycle di D.Asumsikan det(M)=1. Anggap
bahwa 2-eksponen D memuat (h, k)-walk. Akan ditunjukkan bahwa
" #
" ′#
h
ℓ
= M r′
ℓb
k
′
(2.3)
′
′
Persamaan (2.3) mengakibatkan bahwa (h+k) = r(γ1 )ℓr +r(γ2 )ℓb +b(γ1 )ℓr +
′
′
′
b(γ2 )ℓb . Oleh karena itu exp2 (D) = ℓ(γ1 )ℓr + ℓ(γ2 )ℓb .
Misalkan s dan t adalah bilangan non negatif sehingga
" #
" #
h
s
=M
.
k
t
(2.4)
Karena setiap (h, k) walk dari suatu verteks u ke verteks v dapat berbentuk
suatu perjalanan dari u ke v dengan mengelilingi cycle γ1 dan γ2 kemudian menuju
sebuah path puv dari u ke v maka,
" #
" # "
#
h
z1
r(puv )
=M
+
z2
k
b(puv )
(2.5)
untuk beberapa bilangan bulat tak negatif z1 dan z2 . Persamaan (2.4) dan
(2.3) mengakibatkan bahwa
"
# " #
" # " #
s
r(p
)
0
z1
uv
=
- M −1
≥
. Oleh karena itu,
t
b(puv )
0
z2
" #
"
# "
#
s
r(p
)
b(γ
)r(p
)
−
r(γ
)b(p
)
uv
2
uv
2
uv
≥ M −1
=
.
t
b(puv )
r(γ1 )r(puv ) − b(γ1 )r(puv )
(2.6)
Persamaan (2.6) mengakibatkan bahwa nilai s ≥ b(γ2 )r(puv )−r(γ2 )b(puv ) dan
t ≥ r(γ1 )r(puv )−b(γ1 )r(puv ) untuk beberapa path puv dari u ke v. Oleh persamaan
′
′
(3.1.1) dan (3.1.2), maka s ≥ ℓr dan t ≥ ℓb . Sehingga dapat disimpulkan bahwa
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
24
" #
h
k
≥
" ′#
ℓr
′
ℓb
′
′
dan exp2 (D) ≥ ℓ(γ1 )ℓr + ℓ(γ2 )ℓb .
′
′
Sekarang akan ditunjukkan bahwa exp2 (D) ≤ ℓ(γ1 )ℓr + ℓ(γ2 )ℓb . Untuk beberapa pasanga verteks u dan v, misalkan puv adalah path terpendek dari u ke v.
Anggap suatu sistem persamaan diophantine
" # "
#
" ′#
r(puv )
ℓ
z1
(2.7)
M
+
= M r′
ℓb
b(puv )
z2
" # " ′
#
z1
ℓr − [b(γ2 )r(puv ) − r(γ2 )b(puv )]
Maka solusi dari sistem (2.7) adalah
= ′
.
z2
ℓb − [r(γ1 )b(puv ) − b(γ1 )r(puv )]
′
Oleh persamaan (2.1) dan (2.2) diperoleh ℓr ≥ b(γ2 )r(puv ) − r(γ2 )b(puv ) dan
′
ℓb ≥ r(γ1 )b(puv ) − b(γ1 )r(puv ) untuk semua path terpendek puv , maka z1 ≥ 0
dan z2 ≥ 0. Oleh karena itu sistem (2.7) mempunyai solusi bilangan bulat tak
negatif.
Hal ini mengakibatkan bahwa untuk setiap pasangan verteks u dan v, ter′
′
dapat suatu uv − walk di D yang terdiri dari ℓr r(γ1 ) + ℓb r(γ2 ) arc merah dan
′
′
ℓr b(γ1 ) + ℓb b(γ2 ) arc biru. Yakni suatu walk yang berawal dari titik u, bergerak
mengelilingi z1 kali cycle γ1 dan z2 kali cycle γ2 , setelah kembeli ke u menuju path
′
′
puv dan berakhir pada path v. Oleh karena itu exp2 (D ≤ ℓ(γ1 )ℓr + ℓ(γ2 )ℓb . maka
′
′
dapat disimpulkan bahwa exp2 (D = ℓ(γ1 )ℓr + ℓ(γ2 )ℓb .
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
BAB 3
EKSPONEN 2-DIGRAPH DENGAN DUA CYCLE YANG
BERSINGGUNGAN
Andaikan D adalah suatu 2-digraph primitif dengan m ≥ 3 dan n = 2m − 2
verteks terdiri dari cycle 1 → 2 → 3 → ... → m − 1 → m dan cycle m →
m + 1 → m + 2 → ... → 2m − 2 → m. Andaikan γ1 dan γ2 adalah cycle-cycle di
D
" dengan pajang m
# dan m − 1. Maka matriks cycle D mempuyai bentuk M =
m−a m−1−b
untuk beberapa bilangan bulat a dan b sehingga 0 ≤ a ≤ m
a
b
dan 0 ≤ b ≤ m − 1. Karena D adalah primitif dan berapa banyak warna diantara
merah dan biru pada D dapat dipertukarkan, maka det(M ) = (b − a)m + a = ±1.
Untuk det(M ) = (b − a)m + a = 1 diperoleh a = 1 dan b = 1. Selanjutnya untuk
det(M ) = (b−a)m+a = −1 diperoleh
a = m−1
sehingga #
diperoleh
"
# dan b = m−2,
"
m−1 m−2
1
1
dua buah matriks cycle M =
atau M =
. Tanpa
1
1
m−1 m−2
"
#
m−1 m−2
menghilangkan keumumannya dapat diambil suatu matriks M =
.
1
1
Teorema 3.1 Andaikan D adalah
2-primitif #digraph atas n = 2m − 2, m ≥ 3
"
m−1 m−2
verteks, dengan matriks cycle
, maka 21 (n2 + n) ≤ exp2 (D) ≤
1
1
1
2
(2n + n − 2).
2
Bukti. Pertama sekali akan dibuktikan batas atas dari 2-eksponen D. Dari Teo′
′
rema 2.6 mengakibatkan bahwa batas atas akan tercapai apabila ℓr dan ℓb besar.
Hal ini terjadi ketika panjang path merah dan path biru pada digraph D adalah
2m − 3 dan 2. Oleh persamaan 2.1 dan 2.2 maka diperoleh suatu persamaan baru,
yakni
′
ℓr = max {r(puv )−(m−2)b(puv )}
u,v ∈ V
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
(3.1)
26
′
ℓb = max {(m−1)b(puv )−r(puv )}
(3.2)
u,v ∈ V
dengan V adalah himpunan verteks di D
′
Sehingga ℓr akan besar apabila D memuat path merah r(puv ) dari u ke v
′
dengan panjang (2m − 3) dan tidak memuat path biru b(puv ) dari u ke v, ℓb akan
besar apabila D memuat path biru b(puv ) dari u ke v dengan panjang 2 dan tidak
memuat path merah r(puv ) dari u ke v. Dari persamaan 3.1 dan 3.2 diperoleh
′
′
ℓr = (2m − 3) dan ℓb = (2m − 2). Sehingga diperoleh
′
′
Exp2 (D) = ℓ(γ1 )ℓr + ℓ(γ2 )ℓb = m(2m − 3) + (m − 1)(2m − 2) = 4m2 − 7m + 2 =
1
(2n2
2
+ n − 2).
Selanjutnya akan dibuktikan batas bawah dari 2-eksponen D. Batas bawah
′
′
bagi 2-eksponen D akan tercapai jika ℓr dan ℓb kecil. Hal ini terjadi apabila 2digraph D mempunyai dua buah path merah terpisah dengan panjang
m − 1 dan
"
#
m−1 m−2
m − 2. Andaikan path puv adalah path dari u ke v, karena M =
1
1
maka masing-masing cycle dari digraph(D) memuat sebuah arc biru. Hal ini
berakibat setiap path puv haruslah memuat paling banyak 2 buah arc biru, oleh
karena itu akan diperlihatkan kedalam dua kasus, yakni ketika path puv pada 2digraph D mempunyai dua arc biru dan path puv pada 2-digraph D mempunyai
sebuah arc biru.
Kasus 1. Path pada 2-digraph D mempunyai dua arc biru
Andaikan path x0 → x1 →, ..., → xm−2 → xm−1 dan path y0 → y1 →, ..., →
ym−3 → xm−2 masing-masing adalah suatu path merah dengan
panjang
m
"
#
" − 1 dan
#
m−1
m−2
m − 2, maka masing-masing path mempunyai komposisi
dan
,
0
0
′
sehingga diperoleh ℓr = (m − 1). Selanjutnya kita perhatikan suatu path dari
xm−1 ke x0"dan suatu
path
#
" dari#xm−2 ke x0 maka, masing-masing path memiliki
2
2
′
komposisi
dan
, dan diperoleh ℓb = (m), sehingga
m−1
m−2
′
′
Exp2 (D) = ℓ(γ1 )ℓr + ℓ(γ2 )ℓb = (m)(m − 1) + (m − 1)(m) = 2m2 − 2m = 21 (n2 + 2n).
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
27
Kasus 2. Path pada 2-digraph D mempunyai sebuah arc biru.
Andaikan path x0 → x1 →, ..., → xm−2 → xm−1 dan path y0 → y1 →, ..., →
ym−3 → xm−2 masing-masing adalah suatu path merah dengan panjang m − 1 dan
m − 2, maka path-path"ini harus
pada
# terletak
"
# masing-masing cycle γ1 dan γ2
m−1
m−2
′
dan mimiliki komposisi
dan
, sehingga diperoleh ℓr = (m − 1).
0
0
Selanjutnya kita perhatikan suatu path terpendek dari xm−1 ke x0 dan suatu path
" #
0
terpendek dari xm−2 ke x0 maka, masing-masing path memiliki komposisi
,
1
′
sehingga diperoleh ℓb = (m − 1) dan
′
′
Exp2 (D) = ℓ(γ1 )ℓr + ℓ(γ2 )ℓb = (m)(m − 1) + (m − 1)(m − 1) = 2m2 − 3m + 1 =
1
(n2
2
+ n).
Dari kasus 1 dan kasus 2 dapat disimpulkan batas bawah dari exp2 (D) ≥
1
(n2
2
+ n). Sehingga diperoleh pembuktian bahwa 12 (n2 + n) ≤ exp2 (D) ≤ 12 (2n2 +
n − 2).
Sekarang akan diperlihatkan karekteristik dari suatu 2-digraph sehingga mencapai batas bawah dan batas atas dari Theorema 3.1.
Akibat 3.2 Andaikan D adalah 2-digraph primitif dan M =
"
#
m−1 m−2
,
1
1
dengan m ≥ 3. Maka exp2 (D) = 4m2 − 7m + 2 jika dan hanya jika D mempunyai
path merah dengan panjang 2m − 2 dan path biru dengan panjang 2.
Bukti. Andaikan γ1 dan γ2 adalah masing-masing cycle dengan panjang m dan
m−1. Anggap D mempunyai path biru puv dari u ke v dengan panjang 2 dan path
merah dengan panjang 2m − 3. Maka path puv haruslah terletak di kedua cycle γ1
dan γ2 , yakni path puv adalah path m − 1 → m → m + 1 atau 2m − 2 → m → 1 .
Hal ini mengakibatkan path pvu adalah suatu path merah dengan panjang 2m − 3.
′
′
Sehingga diperoleh ℓr = 2m − 3 dan ℓb = 2m − 2. Oleh karena itu exp2 (D) =
4m2 − 7m + 2.
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
28
Sekarang asumsikan bahwa exp2 (D) = 4m2 −7m+2 maka, akan ditunjukkan
bahwa untuk setiap pasangan verteks u dan v di D terdapat suatu (4m2 − 11m +
7, 4m − 5) − walk dari u ke v. Hal ini berakibat terdapat suatu path puv dari u ke
v dan
bulat
"
# tak
" negatif z1 dan#z2 sehingga
" #bilangan
r(Puv )
4m2 − 11m + 7
z1
+
=
dan diperoleh
M
b(Puv )
4m − 5
z2
" # "
#
z1
(2m − 3) − [r(puv ) − (m − 2)b(puv )]
=
z2
(2m − 2) − [(m − 1)b(puv ) − r(puv )]
untuk beberapa path puv dari u ke v.
Karena path puv memuat paling banyak 2 buah arc biru, maka akan diperlihatkan kedalam 3 kasus yakni ketika path puv tidak memuat arc biru, memuat
sebuah arc biru dan memuat dua buah arc biru.
• Path puv tidak memuat arc biru
Andaikan path puv tidak memuat arc biru, maka diperoleh penyelesaian z1
dan
yakni
#
" #z2 , "
(2m − 3) − r(puv )
z1
=
, dengan r(puv ) = 1, 2, ..., 2m − 3
(2m − 2) + r(puv )
z2
maka sebuah walk dimulai pada u, mengelilingi ((2m − 3) − r(puv )) kali cycle γ1 ,
((2m − 2) + r(puv )) kali cycle γ2 , setelah kembali ke u menuju sebuah path puv ke
v. Mempunyai komposisi
"
#
"
# "
#
m−1
m−2
r(puv )
((2m − 3) − r(puv ))
+ ((2m − 2) + r(puv ))
+
1
1
0
"
#
4m2 − 11m + 7
=
.
4m − 5
• Path puv memuat sebuah arc biru
Andaikan path puv memuat sebuah arc biru, maka diperoleh penyelesaian z1
dan#z2 , "
yakni
"
#
z1
(3m − 5) − r(puv )
=
, dengan r(puv ) = 0, 1, 2, ..., 2m − 3
z2
(m − 1) + r(puv )
maka sebuah walk dimulai pada u, mengelilingi ((3m − 5) − r(puv )) kali cycle γ1 ,
((m − 1) + r(puv )) kali cycle γ2 , setelah kembali ke u menuju sebuah path puv ke
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
29
v. Mempunyai komposisi
# "
#
"
#
"
m−1
m−2
r(puv )
((3m − 5) − r(puv ))
+ ((m − 1) + r(puv ))
+
1
1
1
"
#
4m2 − 11m + 7
=
.
4m − 5
• Path puv memuat dua buah arc biru
Andaikan path puv memuat dua buah arc biru, maka diperoleh penyelesaian
z1 dan
"
# z"2 , yakni
#
z1
(4m − 7) − r(puv )
=
, dengan r(puv ) = 0, 1, 2, ..., 2m − 3
z2
r(puv )
maka sebuah walk dimulai pada u, mengelilingi ((4m − 7) − r(puv )) kali cycle γ1 ,
r(puv ) kali cycle γ2 , setelah kembali ke u menuju sebuah path Puv ke v. Mempunyai
komposisi
((4m − 7) − r(puv ))
"
=
"
#
m−1
1
+ r(puv )
"
#
m−2
1
+
"
#
r(puv )
2
#
4m2 − 11m + 7
.
4m − 5
Dari ke tiga kasus diatas menunjukkan bahwa exp2 (D) = 4m2 − 7m + 2 jika dan
hanya jika D memuat path biru dengan panjang 2 dan path merah dengan panjang
2m − 2.
Selanjutnya akan diberikan suatu karakteristik sehingga D memenuhi batas
bawah bagi exp2 (D).
Akibat 3.3 Andaikan D adalah 2-digraph primitif dengan matriks cycle
"
#
m−1 m−2
1
1
2
dengan m ≥ 3. Maka exp2 (D) = 2m − 3m + 1 jika dan hanya jika D mempunyai
dua path merah terpisah dengan panjang m − 1 dan m − 2 dan path pada 2-digraph
D memuat paling banyak sebuah arc biru.
Bukti. Anggap D adalah suatu 2-digraph dengan path pada D memuat paling
banyak sebuah arc biru. Andaikan (i, j) dan (m, n) adalah masing-masing sebuah
arc biru. Maka path pji dari j ke i dan path pmn dari m ke n adalah suatu path
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
,
30
merah terpisah dengan panjang m − 1 dan m − 2. Oleh karena itu diperoleh
′
′
ℓr = m − 1 dan ℓb = m − 1 sehingga exp2 (D) = 2m2 − 3m + 1.
Sekarang asumsikan bahwa exp2 (D) = 2m2 −3m+1 maka, akan ditunjukkan
bahwa untuk setiap pasangan verteks u dan v di D terdapat suatu (2m2 − 5m +
3, 2m − 2) − walk dari u ke v, berakibat terdapat suatu path puv dari u ke v dan
bilangan
tak#negatif
"
" z1 dan z2 sehingga
#
" # bulat
r(Puv )
2m2 − 5m + 3
z1
+
=
dan diperoleh
M
b(Puv )
2m − 2
z2
" # "
#
z1
(m − 1) − [r(puv ) − (m − 2)b(puv )]
=
z2
(m − 1) − [(m − 1)b(puv ) − r(puv )]
untuk beberapa path puv dari u ke v.
Karena path puv memuat paling banyak sebuah arc biru, maka kita akan
menganggap kedalam 2 kasus yakni ketika path (puv ) tidak memuat arc biru dan
memuat sebuah arc biru.
• Path (puv ) tidak memuat arc biru
Andaikan path (puv ) tidak memuat arc biru, maka diperoleh penyelesaian z1
dan
yakni
#
" #z2 , "
(m − 1) − r(puv )
z1
=
, dengan r(puv ) = 1, 2, ..., 2m − 3
(m − 1) + r(puv )
z2
maka sebuah walk dimulai pada u, mengelilingi ((m − 1) − r(puv )) kali cycle γ1 ,
((m − 1) + r(puv )) kali cycle γ2 , setelah kembali ke u menuju sebuah path puv ke
v. Mempunyai komposisi
#
# "
#
"
"
r(puv )
m−2
m−1
+
+ ((m − 1) + r(puv ))
((m − 1) − r(puv ))
0
1
1
"
#
2m2 − 5m + 3
=
.
2m − 2
• Path (puv ) memuat sebuah
YANG BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
Deni Ramadani Saragih
040803002
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2009
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
EKSPONEN DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA CYCLE
YANG BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana
Sains
DENI RAMADANI SARAGIH
040803002
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2009
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
i
PERSETUJUAN
Judul
: EKSPONEN DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA CYCLE YANG BERSINGGUNGAN
Kategori
: SKRIPSI
Nama
: DENI RAMADANI SARAGIH
Nomor Induk Mahasiswa
: 040803002
Program Studi
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
: MATEMATIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA
Medan, Febuari 2009
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2
Pembimbing 1
Dra. Mardiningsih, M.Si
Dr. Saib Suwilo, MSc.
NIP.131803344
NIP. 131796149
Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Dr. Saib Suwilo, MSc
NIP. 131796149
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
ii
PERNYATAAN
EKSPONEN DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA BUAH CYCLE YANG
BERSINGGUNGAN
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Febuari 2009
DENI RAMADANI SARAGIH
040803002
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
iii
PENGHARGAAN
Setinggi puji dan sedalam syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT
yang telah memberikan berkat dan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ” EKSPONEN DIGRAPH DWI-WARNA
DENGAN DUA BUAH CYCLE YANG BERSINGGUNGAN ” ini dengan baik. Skripsi ini sebagai salah satu mata kuliah wajib yang harus diselesaikan
oleh seluruh mahasiswa Fakultas MIPA Departemen Matematika.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Dr. Eddy Marlianto, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
2. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, dan Bapak Henry Rani S, M.Si selaku Ketua
dan Sekretaris Departemen Matematika di FMIPA USU Medan.
3. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku dosen pembimbing I dan Dra. Mardiningsih, M.Si selaku dosen pembimbing II yang telah memberi dukungan
moral, motivasi dan ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan
penelitian ini.
4. Seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
5. Ayahanda Sarpanuddin Saragih dan Ibunda Sutini yang selalu memberikan
dukungan moril dan materiel serta doa yang tiada hentinya kepada penulis
serta kepada Abangda Sahdansyah Putra, S.Kom yang telah memberikan
dorongan semangat kepada penulis.
Tak lupa, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada para senior dan Juniordi di Lab. Ekstension, yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi ini,
Seluruh rekan-rekan ’04 khususnya Indra, Ramidin, Revin, Taufiq, Robby, Rajali,
Gunyanto dan Hemi serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satupersatu. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas jasa-jasa mereka yang telah
diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu
penulis meminta saran dan kritik yang membangun dari pembaca sekalian.
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga
tulisan ini berguna bagi yang membutuhkan.
Medan, Febuari 2009
Penulis,
DENI RAMADANI SARAGIH
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
iv
ABSTRAK
Andaikan D adalah suatu digraph dwi-warna yang primitif atas n ≥ 4 verteks
dengan dua buah cycle yang saling bersinggungan dengan panjang masing-masing
cycle adalah m dan m − 1 dengan m ≥ 3. Penelitian ini akan menentukan batas
atas dan bawah bagi exp2 (D), sehingga 21 (n2 + n) ≤ exp2 (D) ≤ 12 (2n2 + n − 2).
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
v
2-EKSPONENTS OF TWO COLORED DIGRAPHS WITH TWO
CYCLES WHOSE HAVE A COMMON VERTEX
ABSTRACT
Let D be a two-colored digraph whose two cycles are primitive on n ≥ 4 vertex
which have a common vertex and the length of each cycle is m and m − 1 with
m ≥ 3. This research will describe an upper bound and lowwer bound of exp2 (D)
such that 12 (n2 + n) ≤ exp2 (D) ≤ 12 (2n2 + n − 2).
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
iv
ABSTRACT
v
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR GAMBAR
vii
BAB
1. PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
Latar Belakang Penelitian
Masalah Penelitian
Tinjauan Pustaka
Tujuan Penelitian
Desain dan Metodologi Penelitian
2. 2-DIGRAPH PRIMITIF
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
1
1
2
2
4
4
6
Notasi
Matriks Adjancency
Primitifitas Dari 2-digraph Terhubung Kuat
Matriks tak negatif dan Eksponen 2-digraph
Formula 2-eksponen 2-digraph dengan dua cycle
6
10
13
16
22
3. EKSPONEN 2-DIGRAPH DENGAN DUA CYCLE YANG
BERSINGGUNGAN
25
4. KESIMPULAN DAN SARAN
34
4.1. Kesimpulan
4.2. Saran
DAFTAR PUSTAKA
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
34
35
36
vii
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
2.1
Digraph dengan 6 verteks dan 9 arc
7
2.2
Digraph dengan 5 verteks dan 7 arc
8
2.3
Representasi grafis dari 2-digraph.
9
2.4
2-Digraph dengan 9 verteks, 6 arc merah dan 4 arc biru.
10
2.5
Digraph dengan 4 verteks dan 4 arc.
11
2.6
Representasi dari sebuah 2-digraph.
12
2.7
Digraph primtif
14
2.8
Digraph dengan 3 verteks dan 5 arc.
17
2.9
2-Digraph dengan 4 verteks, 3 arc merah dan 2 arc biru
19
3.1
2-Digraph primitif dengan 5 arc merah dan 2 arc biru
31
3.2
2-Digraph primitif dengan 5 arc merah dan 2 arc biru
32
4.1
2-Digraph D yang memenuhi batas atas bagi exp2 D
34
4.2
2-Digraph D yang memenuhi batas bawah bagi exp2 D
35
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian
Fornasini dan Valcher memberikan konsep digraph dwi-warna, yakni suatu
digraph yang setiap arcnya diwarnai merah atau biru (Fornasini dan Valcher,
1997). Suatu digraph-dwiwarna D adalah primitif jika terdapat bilangan bulat
tak negatif h dan k sehingga untuk setiap pasangan verteks u dan v di D ada
suatu (h, k) walk dari u ke v dan dari v ke u. Eksponen dari digraph dwi-warna
yang dinotasikan dengan exp2 (D) adalah bilangan bulat positif h + k terkecil yang
terdiri dari h arc berwarna merah dan k arc berwarna biru. Riset tentang eksponen dari digraph dwiwarna dimulai oleh Shader dan Suwilo (2003). Mereka
memperlihatkan bahwa bila D adalah digraph dwi-warna atas n verteks, maka
eksponen terbesar dari D terletak pada interval [ 21 (n3 − 5n2 ), 12 (3n3 + 2n2 − 2n)].
Penelitian pada 2-eksponen dari digraph dwi-warna lebih banyak dilakukan
untuk mencari suatu digraph dwi-warna primitif atas n verteks dengan eksponen
lebih besar dari 21 (n3 − 5n2 ). Yakni dengan mencari 2-eksponen suatu digraph
dwi-warna yang terhubung kuat dan mempunyai arc sesedikit mungkin.
Beberapa peneliti memfokuskan pada digraph dwi-warna yang terdiri dari
dua cycle dengan beberapa verteks persekutuan. Lee dan Yang (2005) memberikan batas bagi 2-eksponen dari ministrong 2-digraph dengan n − 3 verteks
persekutuan, yakni bila D adalah ministrong digraph primitif maka 2n2 − 8n + 7 ≤
exp2 (D) ≤ 2n2 − 5n + 3. Shao dan Gao (2005) memberikan batas dan eksponen dari 2-digraph dengan n + s verteks dan n − m verteks persekutuan, yakni
andaikan D adalah 2-digraph atas n + s, s ≥ 0, m ≥ s + 1 verteks maka,
2n2 −3n+1 ≤ exp2 (D) ≤ 2n2 −2n+2sn−s dan exp2 (D) = 2n2 −4n+1. Shader dan
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
2
Suwilo mendiskusikan dua kelas ministrong 2-digraph. Yakni bila D adalah ministrong 2-digraph atas n = 2m, m ≥ 3 dan n = 2m + 1, m ≥ 4 verteks dengan n − 5
verteks persekutuan, maka 2n2 − 10n + 10 ≤ exp2 (D) ≤ 12 (2n3 − 5n2 + 7n − 2) dan
2n2 −14n+22 ≤ exp2 (D) ≤ 12 (n3 −8n2 +20n−15). Penelitian ini akan menentukan
2-eksponen serta batas atas dan batas bawah dari 2-eksponen digraph dwi-warna
primitif dengan dua cycle yang memiliki satu verteks persekutuan.
1.2 Masalah Penelitian
Andaikan D adalah suatu digraph dwi-warna primitif dengan dua buah cycle
yang saling bersinggungan dan panjang masing-masing cycle adalah m dan m − 1.
Masalah dari penelitian ini adalah
1. Untuk menentukan fungsi F (n) dan G(n), sehingga memenuhi sifat F (n) ≤
exp2 (D) ≤ G(n).
1.3 Tinjauan Pustaka
Suatu graph berarah yang selanjutnya dikatakan digraph adalah suatu himpunan tak kosong V = {v0 , v1 , ..., vm } yang elemen-elemen nya disebut verteks
dan himpunan garis-garis berarah A yang elemen elemennya disebut arc. Suatu
walk dengan panjang m dari sebuah digraph D yang menghubungkan verteks u
dan verteks v adalah suatu barisan arc di D dalam bentuk
u = v0 → v1 → v2 →, ..., → vm−1 → vm = v
dengan m > 0, v0 = u dan vm = v. Suatu walk dikatakan terbuka jika u 6= v
dan tertutup jika u = v. Suatu path adalah suatu walk tanpa perulangan verteks.
Suatu digraph dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap pasangan dari verteks
u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan terdapat walk dari v ke u. Suatu
digraph dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat positif k sehingga untuk
setiap pasangan verteks u dan v di D terdapat suatu walk yang panjang nya
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
3
k. Eksponen dari D dan dinotasikan dengan exp(D) adalah bilangan positif k
terkecil dari keseluruhan bilangan tak negatif k. Suatu digraph terhubung kuat
adalah primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari panjang
cycle-cycle di D adalah 1 (Brualdi dan Ryser, 1991).
Fornasini dan Valcher (1997) memberikan konsep digraph-dwiwarna yang
selanjutnya dikatakan 2-digraph, yakni suatu digraph yang setiap arcnya diwarnai
dengan warna merah atau biru, sehingga komponen terpenting dari suatu walk
tidak hanya panjangnya melainkan komposisinya, yakni banyaknya arc berwarna
merah dan arc berwarna biru pada walk tersebut. Suatu (h, k) -walk w pada
suatu 2-digraph D adalah suatu walk yang terdiri dari h arc berwarna merah dan
k arc berwarna biru. Banyaknya h arc berwarna merah dan k arc berwarna biru
pada suatu walk w dinotasikan dengan r(w) dan b(w). Suatu vektor (r(w), b(w))
dikatakan komposisi dari walk w. Suatu 2-digraph dikatakan terhubung kuat jika
digraph nya juga terhubung kuat.
Suatu 2-digraph dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif
h dan k sehingga untuk setiap pasangan verteks u dan v terdapat (h, k)-walk
dari u ke v. Bilangan bulat tak negatif h + k yang terkecil dari keseluruhan
bilangan tak negatif h dan k dikatakan sebagai 2-eksponen dari D yang dinotasikan
dengan exp2 (D). Andaikan D adalah 2-digraph dan misalkan {γ1 , γ2 , ..., γl } adalah
himpunan semua cycle yang berada di D.
" Suatu matriks cycle M
# dari D adalah
r(γ1 ) r(γ2 ) ... r(γl )
suatu matriks ber ordo 2 × t, yakni M =
. Dengan kolom
bγ1 ) b(γ2 ) ... r(γl )
ke-t dari M merupakan komposisi dari cycle γt dan 2 menyatakan banyaknya warna
yang dipakai. Suatu 2-digraph D dikatakan primitif jika pembagi persekutuan
terbesar dari minor-minor 2×2 dari M adalah 1 (Fornasini dan Valcher, 1997).
Suwilo dan Shader (2006) memberikan formula bagi 2-eksponen dari 2-digraph
yang terdiri atas dua cycle, yakni
′
′
exp2 (D) = ℓ(γ1 )ℓr + ℓ(γ2 )ℓb
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
(1.1)
4
Dengan ℓ(γ1 ) dan ℓ(γ2 ) adalah panjang masing-masing cycle di D dan
′
ℓr = max {b(γ2 )r(Puv )−r(γ2 )b(Puv )}.
(1.2)
u,v∈V
′
ℓb = max {r(γ1 )b(Puv )−b(γ1 )r(Puv )}.
(1.3)
u,v∈V
Selanjutnya dengan formula tersebut, Suwilo dan Shader (2006) memperbaiki
batas 2-eksponen dari ekstremal ministrong digraph yang diberikan oleh Lee dan
Yang menjadi 2n2 − 8n + 7 ≤ exp2 (D) ≤ 2n2 − 7n + 3.
1.4 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mencari batas bawah dan batas atas bagi
2-eksponen dari digraph-dwiwarna primitif dengan dua buah cycle yang saling
bersinggungan dan panjang masing-masing cycle adalah m dan m − 1. Yakni akan
ditentukan Fungsi F (n) dan G(n) sehingga F (n) ≤ exp2 (D) ≤ G(n).
1.5 Desain dan Metodologi Penelitian
Metode penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan. Untuk menentukan suatu fungsi F (n) dan G(n) sehingga F (n) ≤ exp2 (D) ≤ G(n). Penentuan
batas atas dan bawah dari digraph dwiwarna primitif dengan dua cycle yang bersinggungan dilakukan dengan menggunakan pendekatan berikut ini.
1. Dengan bantuan software two exp.
2. Dengan menggunakan formula yang diberikan Suwilo (Suwilo dan Shader,
′
′
2006), yakni exp2 (D) = ℓ(γ1 )ℓr + ℓ(γ2 )ℓb .
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
5
′
′
Pada penelitian ini b(γ1 ) = b(γ2 ) = 1. Sehingga ℓr dan ℓb dapat disederhanakan menjadi
′
ℓr = max {r(Puv )−r(γ2 )b(Puv )}
u,v∈V
′
ℓb = max {r(γ1 )b(Puv ) − r(Puv )}
u,v∈V
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
(1.4)
(1.5)
BAB 2
2-DIGRAPH PRIMITIF
Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan beberapa
defenisi sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar ini berkaitan dengan
masalah yang dibahas dalam tulisan ini seperti digraph, 2-digraph, terhubung kuat,
2-digraph primitif dan 2-eksponen dari 2-digraph.
2.1 Notasi
Pada subbab ini akan dibahas beberapa notasi digraph yang akan dipergunakan dalam pembahasan 2-digraph.
2.1.1 Digraph.
Suatu digraph terdiri dari titik-titik yang dihubungkan oleh garis berarah.
Secara formal, digraph adalah objek yang terdiri dari dua himpunan yaitu.
1. Himpunan berhingga tak kosong V = {v0 , v1 , ..., vm }. Unsur dari V disebut
verteks dari digraph D.
2. Himpunan A yang merupakan himpunan bagian dari pasangan berurut V ×V
dengan verteks-verteksnya tidak harus berbeda dan unsur-unsurnya disebut
arc dari digraph D.
Jika diberikan β = (u, v) adalah suatu arc di D, maka verteks u disebut
sebagai verteks awal dan verteks v disebut sebagai verteks akhir. Suatu arc (u, v)
dapat juga dinotasikan dengan u → v.
Contoh 2.1 Himpunan verteks V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 } bersama dengan himpunan arc A = {(v1 , v2 ), (v2 , v4 ), (v4 , v6 ), (v6 , v5 ), (v5 , v3 ), (v3 , v1 ), (v3 , v2 ), (v5 , v4 ), (v2 , v5 )}
adalah suatu digraph dengan 6 verteks dan 9 arc.
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
7
Suatu digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara setiap verteks
direpresentasikan sebagai sebuah titik dan setiap arc (u, v) direpresentasikan sebagai garis berarah dari titik u ke v.
Representasi dari digraph yang diberikan pada Contoh 2.1 diberikan pada
gambar berikut.
Contoh 2.2 Representasi Grafis dari digraph yang diberikan pada Contoh 2.1
vt 3
v1 t
?
@
@
R
@
@t
v2
-
vt 5
@
@
@
I
@t v6
?
t
v4
Gambar 2.1 : Digraph dengan 6 verteks dan 9 arc
Andaikan D adalah suatu digraph dan misalkan u dan v adalah verteks di
digraph D. Suatu walk dengan panjang m dari u ke v didefinisikan sebagai barisan
arc dan dituliskan sabagai
v0 → v1 → v2 → ... → vm−1 → vm
untuk m > 0, v0 = u dan vm = v. Suatu walk dikatakan terbuka jika u 6= v dan
tertutup jika u = v. Suatu path adalah suatu walk tanpa perulangan verteks dan
suatu cycle didefinisikan sebagai suatu path tertutup.
Berikut ini akan diberikan representasi dari digraph untuk menjelaskan beberapa definisi diatas.
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
8
Contoh 2.3 Diberikan digraph dibawah ini.
vt1 -
vt 2
S
J
J
v5 t S
Z
J
S
Z
^
w
? J
Z S
Z S
J
Z
} S
Jtv3
Z
ZS
S
Z
t
v4
Gambar 2.2 : Digraph dengan 5 verteks dan 7 arc
Digraph pada gambar 2.2 memiliki walk, path dan cycle sebagai berikut :
a. Barisan arc berikut ini v1 → v4 → v5 → v1 → v2 → v4 adalah sebuah walk
tetapi bukan path karena ada perulangan verteks.
b. Barisan arc berikut ini v2 → v3 → v4 adalah sebuah path terbuka.
c. Barisan arc berikut ini v1 → v4 → v5 → v1 adalah sebuah cycle.
2.1.2 2-Digraph.
Andaikan D adalah suatu digraph dengan m verteks v1 , v2 , ..., vm . Suatu
digraph dwi-warna atau 2-digraph adalah suatu digraph D yang setiap arcnya
diwarnai dengan dua warna, dalam hal ini merah atau biru. Suatu arc merah
r
(u, v) dinotasikan dengan u −
→ v dan suatu arc biru (u, v) dinotasikan dengan
b
u−
→ v.
Contoh 2.4 Himpunan verteks V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 , v7 , v8 } bersama dengan
himpunan arc merah R = {(v1 , v2 ), (v2 , v3 ), (v4 , v5 ), (v5 , v6 ), (v5 , v7 ), (v7 , v8 ), (v8 , v1 )}
dan arc biru B = {(v3 , v4 ), (v6 , v1 )} adalah suatu 2-digraph dengan 8 verteks, 7
arc merah dan 2 arc biru.
Suatu 2-digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara sebagai
berikut :
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
9
1. Setiap verteks direpresentasikan sebagai suatu titik.
2. Setiap arc merah direpresentasikan sebagai garis atau kurva berarah tak
putus.
3. Setiap arc biru direpresentasikan sebagai garis atau kurva berarah putusputus .
Berikut ini akan diberikan suatu contoh representasi 2-digraph pada Contoh
2.4 diperlihatkan pada gambar dibawah ini.
Contoh 2.5 : Representasi grafis dari 2-digraph pada Contoh 2.4.
vt 8
HHH
Y
HHv7
t
v1t vt 6
A
A 6
AKA
Atv5
v2 t
A
AAU
A
At t
v3
v4
Gambar 2.3 : Representasi grafis dari 2-digraph.
Suatu (h, k)-walk w pada 2-digraph D adalah suatu walk yang panjangnya
h + k, terdiri dari h arc merah dan k arc biru. Banyaknya dari arc merah dan arc
biru
" dari
# suatu walk w, masing-masing dinotasikan dengan r(w) dan b(w). Vektor
r(w)
disebut komposisi dari walk w.
b(w)
Suatu path adalah suatu walk dengan verteks berbeda kecuali mungkin verteks
awal dan verteks akhir. Suatu cycle adalah suatu path tertutup.
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
10
Contoh 2.6 Diberikan 2-digraph dibawah ini.
vt1
vt7 - vt8 v6
t J
J
J
J
]
J
Jt
vt2
J
J
J
^
J
vt9 - JJtv3
t
v5
v4
Gambar 2.4 : 2-Digraph dengan 9 verteks, 6 arc merah dan 4 arc biru.
2-Digraph pada Gambar 2.4 diatas memiliki path, walk dan cycle sebagai
berikut
b
r
r
b
→ v2 −
→ v3 −
→
v4 −
→ v5 adalah sebuah path terbuka
a. Barisan arc berikut ini v1 −
" #
2
dari v1 ke v5 dengan komposisi walk
.
2
b
r
r
b
r
r
b. Barisan arc berikut ini v1 −
→ v2 −
→ v3 −
→ v4 −
→ v5 −
→ v6 −
→ v1 adalah sebuah
" #
4
path tertutup atau sebuah cycle dari v1 ke v1 dengan komposisi walk
.
2
r
b
r
r
b
r
b
b
c. Barisan arc berikut ini v3 −
→ v4 −
→ v5 −
→ v6 −
→ v7 −
→ v"8 −
→
→ v3 −
→ v4
# v9 −
4
adalah suatu walk dari v3 ke v4 dengan komposisi walk
.
4
Suatu digraph atau 2-digraph dapat di representasikan kedalam sebuah matriks, berikut ini akan diberikan hubungan antara digraph dan 2-digraph dengan
matriks.
2.2
Matriks Adjancency
Pada sub bab ini akan dibahas hubungan antara digraph, 2- digraph dengan
matriks. Suatu digraph D dan 2-digraph D dengan m verteks dapat dinyatakan
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
11
oleh (0,1)-matriks, yang entri dari matriks itu adalah bilangan 0 atau 1. Matriks
yang demikian disebut sebagai matriks adjacency.
2.2.1 Matriks Adjancency dari Digraph
Untuk setiap digraph D dengan m verteks dapat dituliskan suatu (0,1)matriks A(D) = (aij ) sebagai berikut.
1, jika terdapat arc dari vi ke vj di D
aij =
0, jika sebaliknya
Untuk i, j = 1, 2, ..., m
Matriks A(D) disebut sebagai matriks adjacency dari digraph D.
Berikut ini akan diberikan contoh matriks adjacency dari sebuah representasi
digraph.
Contoh 2.7 Jika diberikan representasi dari sebuah digraph seperti berikut ini.
tv2
Q
Q
Q
s
3
Q
Q
v1
Qtv
t
Q
3
Q
Q
+
Q
k
Q
Q
t
v4
Gambar 2.5 : Digraph dengan 4 verteks dan 4 arc.
Maka, dari representasi digraph pada Gambar 2.5 diatas diperoleh matriks adjacency sebagai berikut
0
0
0
1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
12
2.2.2 Matriks Adjacency 2-digraph
Pada 2-digraph D atas m verteks, untuk menentukan (0,1)-matriks adalah
sebagai berikut. Matriks adjacency merah, R = [rij ] pada D adalah matriks ber
ordo m × m dengan
1, jika terdapat arc merah dari vi ke vj di D
rij =
0, jika sebaliknya.
Matriks adjacency biru, B = [bij ] pada D adalah matriks ber ordo m × m dengan
1, jika terdapat arc biru dari vi ke vj di D
bij =
0, jika sebaliknya.
Berikut ini akan diberikan sebuah 2-digraph dan direpresentasikan kedalam
matriks adjacency.
Contoh 2.8 Bila representasi dari sebuah 2-digraph seperti berikut ini.
vt 2
J
J
^
J
Jt
v1 t
v3
-
tv4
Gambar 2.6 : Representasi dari sebuah 2-digraph.
Maka, representasi 2-digraph pada Gambar 2.6 diatas dapat dibuat kedalam
dua buah matriks adjacency sebagai berikut
0 1 0 0
0 0 0 0
adalah matriks adjacency merah. dan
Matriks adjacency ini, R =
1
0
0
0
0 0 1 0
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
13
0 0 0 0
0 0 1 0
matriks adjacency ini, B =
0 0 0 1
0 0 0 0
adalah matriks adjacency biru.
Berikut ini akan dibahas tentang digraph dan 2-digraph terhubung kuat dan
keterhubungan dengan digraph dan 2-digraph primitif.
2.3 Primitifitas Dari 2-digraph Terhubung Kuat
Pada bagian ini akan dibahas tentang digraph dan 2-digraph terhubung kuat
dan keterhubungan dengan primitifitas.
2.3.1 Digraph Primitif.
Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat, jika untuk setiap pasangan
verteks u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke u. Berikut ini
akan diberikan contoh digraph terhubung kuat dan digraph yang tidak terhubung
kuat.
Contoh 2.9 Digraph terhubung kuat dan tidak terhubung kuat
vt 4
HHH
YHtv
v5 t
3
?
v1 t
-
6
tv
2
vt 4
HHH
YHv
v5
t3
t
?
v1 t
(a)
6
tv
2
(b)
Gambar pada Contoh 2.9 menunjukkan bahwa (a) adalah terhubung kuat
karena terdapat walk dari suatu verteks ke verteks lainnya, sedangkan (b) tidak
terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v1 ke v2 .
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
14
Andaikan himpunan C = {γ1 ,γ2 ,...,γt } adalah himpunan semua cycle di D.
Maka panjang dari cycle - cycle pada digraph D dinotasikan dengan ℓ(γi ) dimana
i = 1, 2, · · ·, t.
Suatu digraph terhubung kuat D adalah primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari panjang-panjang cycle di D adalah 1 (Brualdi dan
Ryser, 1991). Berikut ini diberikan representasi grafis digraph yang terhubung
kuat dan primitif.
Contoh 2.10 Digraph yang terhubung kuat di bawah ini adalah primitif.
v5
vu4
H
HH
H
Y
HHuv
u
?
v1 u
-
3
6
uv2
Gambar 2.7 : Digraph primtif
Pada gambar 2.7 diatas, D adalah digraph terhubung kuat dengan dua cycle
yaitu, v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v1 dengan panjang 5 dan cycle v3 → v4 → v5 →
v3 dengan panjang 3. Oleh defenisi diatas, maka pembagi persekutuan terbesar
dari cycle dengan panjang 5 dan 4 adalah 1, maka D adalah primitif.
2.3.2 2-Digraph Primitif.
Suatu 2-digraph D dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap pasangan
verteks u dan v di D terdapat walk berarah dari verteks u ke v dan walk berarah
dari verteks v ke u, dengan mengabaikan komposisi arc yang ada.
Berikut ini diberikan Contoh 2-digraph yang terhubung kuat dan 2-digraph
yang tidak terhubung kuat.
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
15
Contoh 2.11 2-Digraph terhubung kuat dan tidak terhubung kuat
vt 4
H
HH
YHtv
v5 t
3
?
v1 t
6
tv
-
2
v5
vt 4
H
HH
YHv
t3
t
?
v1 t
(a1 )
6
tv
2
(a2 )
Gambar pada contoh 2.11 diatas menunjukkan bahwa (a1 ) adalah terhubung
kuat karena terdapat walk dari suatu verteks ke verteks lainnya, sedangkan (a2 )
tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v1 ke v2 .
Andaikan D adalah 2-digraph yang terhubung kuat dan andaikan C =
{γ1 , γ2 , · · ·, γt } merupakan himpunan semua cycle di D. Matriks cycle D adalah
matriks berordo 2 × t
M=
"
#
r(γ1 ) r(γ2 ) ... r(γt )
b(γ1 ) b(γ2 ) ... b(γt )
dimana kolom ke-t dari M merupakan komposisi dari cycle γt dan 2 menyatakan
banyak warna yang di pakai.
Suatu 2-digraph D terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan
bulat tak negatif h dan k sehingga untuk setiap pasangan verteks u dan v di D
terdapat (h, k) walk dari u ke v dan v ke u. Suatu 2-digraph D dikatakan primitif
jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan-determinan
submatriks ber ordo 2 × 2 dari M adalah 1 (Fornasini dan Valcher, 1997).
Contoh 2.12 Dari Gambar 2.6 diperoleh matriks cycle dari 2-digraph, yakni
#
"
2 1
M=
1 1
karena determinan-determinan submatriks ber ordo 2 × 2 dari M adalah 1 , berakibat pembagi persekutuan terbesar dari determinan-determinan submatriks ber
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
16
ordo 2 × 2 dari M adalah 1. Maka 2-digraph tersebut adalah primitif.
2.4 Matriks tak negatif dan Eksponen 2-digraph
Suatu matriks dikatakan sebagai matriks tak negatif bila untuk setiap entri matriksnya aij adalah bilangan tak negatif, sebuah matriks dikatakan sebagai
matriks positif bila untuk setiap entri matriksnya aij adalah bilangan positif.
Berikut ini akan diberikan contoh dari matriks tak negatif dan matriks positif.
Contoh 2.13 Matriks tak negatif dan matriks positif.
0 1 2
1 1 2
adalah matriks tak negatif dan matriks ini 1 1 1 adalah
Matriks ini
0
1
0
1 0 1
1 2 1
matriks positif.
Pada digraph D, eksponen dari suatu digraph D didefenisikan sebagai bilangan bulat terkecil k, sehingga untuk setiap pasangan verteks u dan v di D terdapat
walk berarah dari u ke v dengan panjang k. Eksponen dari digraph D dinotasikan
dengan exp(D).
Proposisi 2.1 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D. Entri
Akij dari Ak menyatakan banyaknya walk dari verteks vi ke vj yang panjangnya k
di D.
Bukti andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D, maka setiap
entri (i, j) dari A menyatakan arc dari verteks vi ke vj di digraph D. Hal ini
berakibat untuk k = 1, maka setiap entri a1ij dari A1 menyatakan banyaknya walk
dari verteks vi ke vj yang panjangnya satu.
Asumsikan setiap entri akij dari Ak menyatakan banyaknya walk dari verteks
vi ke verteks vj yang panjangnya k di D, untuk k ≥ 1. Berikut ini diperlihatkan
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
17
ak+1
adalah banyaknya walk dari vi ke vj yang panjangnya k + 1 di D, untuk k ≥ 1
ij
Perhatikan setiap walk dari verteks vi ke verteks vj di D dengan panjang
k + 1 yang terdiri dari walk vi ke vl dengan panjang k untuk l = 1, 2, ..., n dan
dilanjutkan dengan arc dari verteks vi ke vj . Sehingga akil alj adalah walk yang
panjangnya k + 1 dari verteks vi ke vj di D untuk k = 1, 2, ..., n. Jika terdapat
walk yang panjangnya k dari verteks vi ke verteks vj di D, maka akil = 0 sehingga
akil alj = 0. Hal ini berarti tidak terdapat walk yang panjangnya k + 1 dari verteks
vi ke vj yang melalui verteks vl di D. Sehingga diperoleh banyaknya walk yang
panjangnya k + 1 dari verteks vi ke verteks vj di D adalah.
aki1 a1j
+
aki2 a2j
+ .... +
akin anj
=
n
X
akil alj
l=1
Karena
Ak+1 = Ak A
maka
akij
=
n
X
akil alj
l=1
Hal ini berakibat
ak+1
ij
adalah benar menyatakan banyaknya walk dari verteks vi
ke vj yang panjangnya k + 1 di D.
Berikut ini diberikan contoh representasi grafis digraph yang akan dicari eksponennya dengan menggunakan Proposisi. 2.1 diatas.
Contoh 2.13 Representasi digraph dengan 3 verteks dan 5 arc.
vt2
J
J
J
^
J
J
Jtv
v1 t
3
M
Gambar 2.8 : Digraph dengan 3 verteks dan 5 arc.
Dari representasi grafis pada Gambar 2.8 diatas diperoleh matrks adjacency
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
18
1 1
sebagai berikut. A = 0 0
1 0
dari verteks vi ke vj dengan
0
1
, dari Proposisi 2.1 untuk mencari banyak walk
1
panjang k adalah entri dari matriks Akij dari Ak .
Dengan demikian nilai k adalah eksponen dari digraph. Perhatikan matriks Ak
untuk k :
1 1 0
a. Untuk k = 1; diperoleh A = 0 0 1
, maka bukan merupakan eksponen
1 0 1
dari digraph pada Contoh 2.4.2, karena tidak terdapat walk dengan panjang
1 dari v2 ke v1 , v1 ke v3 , v2 ke v2 dan dari v3 ke v2 .
1 1 0
, maka bukan merupakan eksponen
b. Untuk k = 2; diperoleh A2 =
1
0
1
2 1 1
dari digraph pada Contoh 2.4.2, karena tidak terdapat walk dengan panjang
dua dari v1 ke v3 dan v2 ke v2 .
1 1 1
c. Untuk k = 3; diperoleh A3 =
2 1 1, karena terdapat walk dengan
3 2 2
panjang 3 dari tiap pasangan verteks pada digraph D, maka eksponen dari
digraph pada Contoh 2.4.2 adalah 3.
Andaikan A dan B adalah suatu matriks tak negatif ber ordo m × m. Untuk
bilangan tak negatif h dan k di definisikan (h, k)-Hurwitz product, (A, B)(h,k) ,
dari A dan B adalah jumlah keseluruhan matriks dari hasil perkalian A sebanyak
h kali dan B sebanyak k kali. Sebagai contoh, (A, B)(1,0) = A dan (A, B)(2,2) =
A2 B 2 + ABAB + AB 2 A + BABA + B 2 A2 .
Lemma 2.2 jika (R, B) adalah matriks adjacency dari 2-digraph. Maka entri
(i, j) dari (R, B)(h,k) adalah jumlah (h, k)-walk dari 2-digraph.
Bukti. Akan dibuktikan dengan induksi pada (h + k) dan (h + k + 1), jika h = 0
maka k = 1 atau jika h = 1 maka k = 0. jika h = 0 maka entri (i, j) dari
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
19
(R, B)(0,1) = B adalah walk dengan komposisi
" #
0
di 2-digraph D. Dengan cara
1
= A adalah walk dengan entri (i, j) meny-
(1,0)
yang sama, jika k = 0 maka (R,"B)
#
1
atakan walk dengan komposisi
di 2-digraph D.
0
′
Andaikan lemma 2.5 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif h dan
′
′
′
k dengan h + k ≤ h + k akan diperlihatkan untuk h + k + 1 adalah benar dengan
catatan sebagai berikut.
(R, B)(h+1,k) = R(R, B)(h,k) + B(R, B)(h+1,k−1)
dengan induksi entri (i, j) pada R(R, B)h,k adalah walk dari i ke j diikuti dengan
sebuah arc merah dan diikuti oleh sebuah (h, k) − walk dari entri (i, j) pada
B(R, B)(h+1,k−1) adalah walk dari i ke j yang dimulai dengan sebuah arc biru
dan diikuti oleh sebuah (h + 1, k − 1) − walk sedemikian hingga entri (i, j) dari
(R, B)(h+1,k) adalah jumlah h + 1, k-walk dari i ke j.
Berikut ini diberikan representasi grafis 2-digraph yang akan diberikan eksponennya.
vt 2
J
J
J
^
J
J
Jt
v1
t
v3
-
tv4
Gambar 2.9 : 2-Digraph dengan 4 verteks, 3 arc merah dan 2 arc biru
Dari representasi 2-digraph diatas, dapat dibuat dua buah matriks adjacency
sebagai berikut
0
0
1. Matriks R =
0
0
2.9.
1 0 0
0 1 0
adalah matriks adjacency merah pada Gambar
0 0 0
0 1 0
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
20
0
0
2. Matriks B =
1
0
0 0 0
0 0 0
adalah matriks adjacency biru pada Gambar 2.9.
0 0 1
0 0 0
Dari Lemma 2.2, entri (i, j) dari (R, B)(h,k) adalah banyaknya (h, k)-walk
dari 2-digraph, maka h + k terkecil adalah eksponen dari 2-digraph. Selanjutnya
akan diperlihatkan matriks (R, B)(h,k) untuk beberapa h + k :
1. Untuk h + k = 2, maka diperoleh;
0 0 1
0 0 0
a. (R, B)(2,0) = R(R, B)(1,0) =
0 0 0
0 0 0
b. (R, B)(0,2)
0
0
= R(R, B)(0,1) =
0
0
0
0
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
(1,1)
(0,1)
(1,0)
.
c. (R, B)
= R(R, B)
+ R(R, B) =
0 0 0 0
0 0 0 0
Untuk h + k = 2, maka bukan merupakan 2-eksponen dari 2-digraph pada
Gambar 2.9 karena untuk setiap komposisi dari (R, B)(h,k) memuat (h, k)walk dengan panjang tidak sama dengan 2.
2. Untuk h + k = 3, maka diperoleh;
0 0 0
0 0 0
a. (R, B)(3,0) = R(R, B)(2,0) =
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
21
b. (R, B)(0,3)
0
0
= B(R, B)(0,2) =
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
(1,2)
(0,2)
(1,1)
.
c. (R, B)
= R(R, B)
+ B(R, B) =
1 0 0 1
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
(2,1)
(1,1)
(2,0)
.
d. (R, B)
= R(R, B)
+ B(R, B) =
1
0
0
1
0 0 0 0
Untuk h + k = 3, maka bukan merupakan 2-eksponen dari 2-digraph pada
Gambar 2.9 karena untuk setiap komposisi dari (R, B)(h,k) memuat (h, k)walk dengan panjang tidak sama dengan 3.
Selanjutnya untuk h + k = 10, maka diperoleh
a. (R, B)(10,0)
b. (R, B)(0,10)
c. (R, B)(9,1)
d. (R, B)(1,9)
0
0
= R10 =
0
0
0
0
= B 10 =
0
0
0 0 0
0 0 0
.
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
.
0 0 0
0 0 0
0
0
= R(R, B)(8,1) + B(R, B)(9,0) =
0
0
0
0
= R(R, B)(0,9) + B(R, B)(1,8) =
0
0
0 0 0
0 0 0
.
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
.
0 0 0
0 0 0
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
22
e. (R, B)(2,8)
f. (R, B)(8,2)
(3,7)
g. (R, B)
h. (R, B)(6,4)
0
0
= R(R, B)(1,8) + B(R, B)(2,7) =
0
0
0 0 0
0 0 0
.
0 0 0
0 0 0
0
0
= R(R, B)(7,2) + B(R, B)(8,1) =
0
0
0 0 0
0 0 0
.
0 0 0
0 0 0
(2,7)
= R(R, B)
(3,6)
+ B(R, B)
0
0 0
0
0 0 0 0
.
=
38
0
0
38
0 0 0 0
3
3
= R(R, B)(5,4) + B(R, B)(4,5) =
1
3
1 1 3
3 4 3
.
3 6 1
3 4 3
Karena untuk setiap pasangan verteks u dan v di 2-digraph D terdapat walk
dengan panjang 10 dengan 6 arc merah dan 4 arc biru, maka eksponen dari 2digraph D adalah 10.
2.5 Formula 2-eksponen 2-digraph dengan dua cycle
Misalkan D"adalah suatu# 2-digraph primitif dengan dua cycle γ1 dan γ2 dan
r(γ1 ) r(γ2 )
. Karena D adalah primitif maka det(M ) = 1.
misalkan M =
b(γ1 ) b(γ2 )
Untuk setiap pasangan verteks u dan v, andaikan puv adalah path terpendek dari
u ke v. Dan didefenisikan
′
ℓr = max {b(γ2 )r(puv )−r(γ2 )b(puv )}
u,v ∈ V
′
ℓb = max {r(γ1 )b(puv )−b(γ1 )r(puv )}
u,v ∈ V
dengan V adalah himpunan verteks di D
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
(2.1)
(2.2)
23
Teorema 2.3 Andaikan D adalah suatu 2-digraph primitif yang terhubung kuat
dengan dua cycle dengan paling sedikit satu arc pada masing-masing warna . Maka
′
′
exp2 (D) = ℓ(γ1 )ℓr + ℓ(γ2 )ℓb .
Bukti Misalkan M adalah matriks cycle di D.Asumsikan det(M)=1. Anggap
bahwa 2-eksponen D memuat (h, k)-walk. Akan ditunjukkan bahwa
" #
" ′#
h
ℓ
= M r′
ℓb
k
′
(2.3)
′
′
Persamaan (2.3) mengakibatkan bahwa (h+k) = r(γ1 )ℓr +r(γ2 )ℓb +b(γ1 )ℓr +
′
′
′
b(γ2 )ℓb . Oleh karena itu exp2 (D) = ℓ(γ1 )ℓr + ℓ(γ2 )ℓb .
Misalkan s dan t adalah bilangan non negatif sehingga
" #
" #
h
s
=M
.
k
t
(2.4)
Karena setiap (h, k) walk dari suatu verteks u ke verteks v dapat berbentuk
suatu perjalanan dari u ke v dengan mengelilingi cycle γ1 dan γ2 kemudian menuju
sebuah path puv dari u ke v maka,
" #
" # "
#
h
z1
r(puv )
=M
+
z2
k
b(puv )
(2.5)
untuk beberapa bilangan bulat tak negatif z1 dan z2 . Persamaan (2.4) dan
(2.3) mengakibatkan bahwa
"
# " #
" # " #
s
r(p
)
0
z1
uv
=
- M −1
≥
. Oleh karena itu,
t
b(puv )
0
z2
" #
"
# "
#
s
r(p
)
b(γ
)r(p
)
−
r(γ
)b(p
)
uv
2
uv
2
uv
≥ M −1
=
.
t
b(puv )
r(γ1 )r(puv ) − b(γ1 )r(puv )
(2.6)
Persamaan (2.6) mengakibatkan bahwa nilai s ≥ b(γ2 )r(puv )−r(γ2 )b(puv ) dan
t ≥ r(γ1 )r(puv )−b(γ1 )r(puv ) untuk beberapa path puv dari u ke v. Oleh persamaan
′
′
(3.1.1) dan (3.1.2), maka s ≥ ℓr dan t ≥ ℓb . Sehingga dapat disimpulkan bahwa
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
24
" #
h
k
≥
" ′#
ℓr
′
ℓb
′
′
dan exp2 (D) ≥ ℓ(γ1 )ℓr + ℓ(γ2 )ℓb .
′
′
Sekarang akan ditunjukkan bahwa exp2 (D) ≤ ℓ(γ1 )ℓr + ℓ(γ2 )ℓb . Untuk beberapa pasanga verteks u dan v, misalkan puv adalah path terpendek dari u ke v.
Anggap suatu sistem persamaan diophantine
" # "
#
" ′#
r(puv )
ℓ
z1
(2.7)
M
+
= M r′
ℓb
b(puv )
z2
" # " ′
#
z1
ℓr − [b(γ2 )r(puv ) − r(γ2 )b(puv )]
Maka solusi dari sistem (2.7) adalah
= ′
.
z2
ℓb − [r(γ1 )b(puv ) − b(γ1 )r(puv )]
′
Oleh persamaan (2.1) dan (2.2) diperoleh ℓr ≥ b(γ2 )r(puv ) − r(γ2 )b(puv ) dan
′
ℓb ≥ r(γ1 )b(puv ) − b(γ1 )r(puv ) untuk semua path terpendek puv , maka z1 ≥ 0
dan z2 ≥ 0. Oleh karena itu sistem (2.7) mempunyai solusi bilangan bulat tak
negatif.
Hal ini mengakibatkan bahwa untuk setiap pasangan verteks u dan v, ter′
′
dapat suatu uv − walk di D yang terdiri dari ℓr r(γ1 ) + ℓb r(γ2 ) arc merah dan
′
′
ℓr b(γ1 ) + ℓb b(γ2 ) arc biru. Yakni suatu walk yang berawal dari titik u, bergerak
mengelilingi z1 kali cycle γ1 dan z2 kali cycle γ2 , setelah kembeli ke u menuju path
′
′
puv dan berakhir pada path v. Oleh karena itu exp2 (D ≤ ℓ(γ1 )ℓr + ℓ(γ2 )ℓb . maka
′
′
dapat disimpulkan bahwa exp2 (D = ℓ(γ1 )ℓr + ℓ(γ2 )ℓb .
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
BAB 3
EKSPONEN 2-DIGRAPH DENGAN DUA CYCLE YANG
BERSINGGUNGAN
Andaikan D adalah suatu 2-digraph primitif dengan m ≥ 3 dan n = 2m − 2
verteks terdiri dari cycle 1 → 2 → 3 → ... → m − 1 → m dan cycle m →
m + 1 → m + 2 → ... → 2m − 2 → m. Andaikan γ1 dan γ2 adalah cycle-cycle di
D
" dengan pajang m
# dan m − 1. Maka matriks cycle D mempuyai bentuk M =
m−a m−1−b
untuk beberapa bilangan bulat a dan b sehingga 0 ≤ a ≤ m
a
b
dan 0 ≤ b ≤ m − 1. Karena D adalah primitif dan berapa banyak warna diantara
merah dan biru pada D dapat dipertukarkan, maka det(M ) = (b − a)m + a = ±1.
Untuk det(M ) = (b − a)m + a = 1 diperoleh a = 1 dan b = 1. Selanjutnya untuk
det(M ) = (b−a)m+a = −1 diperoleh
a = m−1
sehingga #
diperoleh
"
# dan b = m−2,
"
m−1 m−2
1
1
dua buah matriks cycle M =
atau M =
. Tanpa
1
1
m−1 m−2
"
#
m−1 m−2
menghilangkan keumumannya dapat diambil suatu matriks M =
.
1
1
Teorema 3.1 Andaikan D adalah
2-primitif #digraph atas n = 2m − 2, m ≥ 3
"
m−1 m−2
verteks, dengan matriks cycle
, maka 21 (n2 + n) ≤ exp2 (D) ≤
1
1
1
2
(2n + n − 2).
2
Bukti. Pertama sekali akan dibuktikan batas atas dari 2-eksponen D. Dari Teo′
′
rema 2.6 mengakibatkan bahwa batas atas akan tercapai apabila ℓr dan ℓb besar.
Hal ini terjadi ketika panjang path merah dan path biru pada digraph D adalah
2m − 3 dan 2. Oleh persamaan 2.1 dan 2.2 maka diperoleh suatu persamaan baru,
yakni
′
ℓr = max {r(puv )−(m−2)b(puv )}
u,v ∈ V
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
(3.1)
26
′
ℓb = max {(m−1)b(puv )−r(puv )}
(3.2)
u,v ∈ V
dengan V adalah himpunan verteks di D
′
Sehingga ℓr akan besar apabila D memuat path merah r(puv ) dari u ke v
′
dengan panjang (2m − 3) dan tidak memuat path biru b(puv ) dari u ke v, ℓb akan
besar apabila D memuat path biru b(puv ) dari u ke v dengan panjang 2 dan tidak
memuat path merah r(puv ) dari u ke v. Dari persamaan 3.1 dan 3.2 diperoleh
′
′
ℓr = (2m − 3) dan ℓb = (2m − 2). Sehingga diperoleh
′
′
Exp2 (D) = ℓ(γ1 )ℓr + ℓ(γ2 )ℓb = m(2m − 3) + (m − 1)(2m − 2) = 4m2 − 7m + 2 =
1
(2n2
2
+ n − 2).
Selanjutnya akan dibuktikan batas bawah dari 2-eksponen D. Batas bawah
′
′
bagi 2-eksponen D akan tercapai jika ℓr dan ℓb kecil. Hal ini terjadi apabila 2digraph D mempunyai dua buah path merah terpisah dengan panjang
m − 1 dan
"
#
m−1 m−2
m − 2. Andaikan path puv adalah path dari u ke v, karena M =
1
1
maka masing-masing cycle dari digraph(D) memuat sebuah arc biru. Hal ini
berakibat setiap path puv haruslah memuat paling banyak 2 buah arc biru, oleh
karena itu akan diperlihatkan kedalam dua kasus, yakni ketika path puv pada 2digraph D mempunyai dua arc biru dan path puv pada 2-digraph D mempunyai
sebuah arc biru.
Kasus 1. Path pada 2-digraph D mempunyai dua arc biru
Andaikan path x0 → x1 →, ..., → xm−2 → xm−1 dan path y0 → y1 →, ..., →
ym−3 → xm−2 masing-masing adalah suatu path merah dengan
panjang
m
"
#
" − 1 dan
#
m−1
m−2
m − 2, maka masing-masing path mempunyai komposisi
dan
,
0
0
′
sehingga diperoleh ℓr = (m − 1). Selanjutnya kita perhatikan suatu path dari
xm−1 ke x0"dan suatu
path
#
" dari#xm−2 ke x0 maka, masing-masing path memiliki
2
2
′
komposisi
dan
, dan diperoleh ℓb = (m), sehingga
m−1
m−2
′
′
Exp2 (D) = ℓ(γ1 )ℓr + ℓ(γ2 )ℓb = (m)(m − 1) + (m − 1)(m) = 2m2 − 2m = 21 (n2 + 2n).
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
27
Kasus 2. Path pada 2-digraph D mempunyai sebuah arc biru.
Andaikan path x0 → x1 →, ..., → xm−2 → xm−1 dan path y0 → y1 →, ..., →
ym−3 → xm−2 masing-masing adalah suatu path merah dengan panjang m − 1 dan
m − 2, maka path-path"ini harus
pada
# terletak
"
# masing-masing cycle γ1 dan γ2
m−1
m−2
′
dan mimiliki komposisi
dan
, sehingga diperoleh ℓr = (m − 1).
0
0
Selanjutnya kita perhatikan suatu path terpendek dari xm−1 ke x0 dan suatu path
" #
0
terpendek dari xm−2 ke x0 maka, masing-masing path memiliki komposisi
,
1
′
sehingga diperoleh ℓb = (m − 1) dan
′
′
Exp2 (D) = ℓ(γ1 )ℓr + ℓ(γ2 )ℓb = (m)(m − 1) + (m − 1)(m − 1) = 2m2 − 3m + 1 =
1
(n2
2
+ n).
Dari kasus 1 dan kasus 2 dapat disimpulkan batas bawah dari exp2 (D) ≥
1
(n2
2
+ n). Sehingga diperoleh pembuktian bahwa 12 (n2 + n) ≤ exp2 (D) ≤ 12 (2n2 +
n − 2).
Sekarang akan diperlihatkan karekteristik dari suatu 2-digraph sehingga mencapai batas bawah dan batas atas dari Theorema 3.1.
Akibat 3.2 Andaikan D adalah 2-digraph primitif dan M =
"
#
m−1 m−2
,
1
1
dengan m ≥ 3. Maka exp2 (D) = 4m2 − 7m + 2 jika dan hanya jika D mempunyai
path merah dengan panjang 2m − 2 dan path biru dengan panjang 2.
Bukti. Andaikan γ1 dan γ2 adalah masing-masing cycle dengan panjang m dan
m−1. Anggap D mempunyai path biru puv dari u ke v dengan panjang 2 dan path
merah dengan panjang 2m − 3. Maka path puv haruslah terletak di kedua cycle γ1
dan γ2 , yakni path puv adalah path m − 1 → m → m + 1 atau 2m − 2 → m → 1 .
Hal ini mengakibatkan path pvu adalah suatu path merah dengan panjang 2m − 3.
′
′
Sehingga diperoleh ℓr = 2m − 3 dan ℓb = 2m − 2. Oleh karena itu exp2 (D) =
4m2 − 7m + 2.
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
28
Sekarang asumsikan bahwa exp2 (D) = 4m2 −7m+2 maka, akan ditunjukkan
bahwa untuk setiap pasangan verteks u dan v di D terdapat suatu (4m2 − 11m +
7, 4m − 5) − walk dari u ke v. Hal ini berakibat terdapat suatu path puv dari u ke
v dan
bulat
"
# tak
" negatif z1 dan#z2 sehingga
" #bilangan
r(Puv )
4m2 − 11m + 7
z1
+
=
dan diperoleh
M
b(Puv )
4m − 5
z2
" # "
#
z1
(2m − 3) − [r(puv ) − (m − 2)b(puv )]
=
z2
(2m − 2) − [(m − 1)b(puv ) − r(puv )]
untuk beberapa path puv dari u ke v.
Karena path puv memuat paling banyak 2 buah arc biru, maka akan diperlihatkan kedalam 3 kasus yakni ketika path puv tidak memuat arc biru, memuat
sebuah arc biru dan memuat dua buah arc biru.
• Path puv tidak memuat arc biru
Andaikan path puv tidak memuat arc biru, maka diperoleh penyelesaian z1
dan
yakni
#
" #z2 , "
(2m − 3) − r(puv )
z1
=
, dengan r(puv ) = 1, 2, ..., 2m − 3
(2m − 2) + r(puv )
z2
maka sebuah walk dimulai pada u, mengelilingi ((2m − 3) − r(puv )) kali cycle γ1 ,
((2m − 2) + r(puv )) kali cycle γ2 , setelah kembali ke u menuju sebuah path puv ke
v. Mempunyai komposisi
"
#
"
# "
#
m−1
m−2
r(puv )
((2m − 3) − r(puv ))
+ ((2m − 2) + r(puv ))
+
1
1
0
"
#
4m2 − 11m + 7
=
.
4m − 5
• Path puv memuat sebuah arc biru
Andaikan path puv memuat sebuah arc biru, maka diperoleh penyelesaian z1
dan#z2 , "
yakni
"
#
z1
(3m − 5) − r(puv )
=
, dengan r(puv ) = 0, 1, 2, ..., 2m − 3
z2
(m − 1) + r(puv )
maka sebuah walk dimulai pada u, mengelilingi ((3m − 5) − r(puv )) kali cycle γ1 ,
((m − 1) + r(puv )) kali cycle γ2 , setelah kembali ke u menuju sebuah path puv ke
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
29
v. Mempunyai komposisi
# "
#
"
#
"
m−1
m−2
r(puv )
((3m − 5) − r(puv ))
+ ((m − 1) + r(puv ))
+
1
1
1
"
#
4m2 − 11m + 7
=
.
4m − 5
• Path puv memuat dua buah arc biru
Andaikan path puv memuat dua buah arc biru, maka diperoleh penyelesaian
z1 dan
"
# z"2 , yakni
#
z1
(4m − 7) − r(puv )
=
, dengan r(puv ) = 0, 1, 2, ..., 2m − 3
z2
r(puv )
maka sebuah walk dimulai pada u, mengelilingi ((4m − 7) − r(puv )) kali cycle γ1 ,
r(puv ) kali cycle γ2 , setelah kembali ke u menuju sebuah path Puv ke v. Mempunyai
komposisi
((4m − 7) − r(puv ))
"
=
"
#
m−1
1
+ r(puv )
"
#
m−2
1
+
"
#
r(puv )
2
#
4m2 − 11m + 7
.
4m − 5
Dari ke tiga kasus diatas menunjukkan bahwa exp2 (D) = 4m2 − 7m + 2 jika dan
hanya jika D memuat path biru dengan panjang 2 dan path merah dengan panjang
2m − 2.
Selanjutnya akan diberikan suatu karakteristik sehingga D memenuhi batas
bawah bagi exp2 (D).
Akibat 3.3 Andaikan D adalah 2-digraph primitif dengan matriks cycle
"
#
m−1 m−2
1
1
2
dengan m ≥ 3. Maka exp2 (D) = 2m − 3m + 1 jika dan hanya jika D mempunyai
dua path merah terpisah dengan panjang m − 1 dan m − 2 dan path pada 2-digraph
D memuat paling banyak sebuah arc biru.
Bukti. Anggap D adalah suatu 2-digraph dengan path pada D memuat paling
banyak sebuah arc biru. Andaikan (i, j) dan (m, n) adalah masing-masing sebuah
arc biru. Maka path pji dari j ke i dan path pmn dari m ke n adalah suatu path
Deni Ramadani Saragih : Eksponen Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan, 2009.
USU Repository © 2009
,
30
merah terpisah dengan panjang m − 1 dan m − 2. Oleh karena itu diperoleh
′
′
ℓr = m − 1 dan ℓb = m − 1 sehingga exp2 (D) = 2m2 − 3m + 1.
Sekarang asumsikan bahwa exp2 (D) = 2m2 −3m+1 maka, akan ditunjukkan
bahwa untuk setiap pasangan verteks u dan v di D terdapat suatu (2m2 − 5m +
3, 2m − 2) − walk dari u ke v, berakibat terdapat suatu path puv dari u ke v dan
bilangan
tak#negatif
"
" z1 dan z2 sehingga
#
" # bulat
r(Puv )
2m2 − 5m + 3
z1
+
=
dan diperoleh
M
b(Puv )
2m − 2
z2
" # "
#
z1
(m − 1) − [r(puv ) − (m − 2)b(puv )]
=
z2
(m − 1) − [(m − 1)b(puv ) − r(puv )]
untuk beberapa path puv dari u ke v.
Karena path puv memuat paling banyak sebuah arc biru, maka kita akan
menganggap kedalam 2 kasus yakni ketika path (puv ) tidak memuat arc biru dan
memuat sebuah arc biru.
• Path (puv ) tidak memuat arc biru
Andaikan path (puv ) tidak memuat arc biru, maka diperoleh penyelesaian z1
dan
yakni
#
" #z2 , "
(m − 1) − r(puv )
z1
=
, dengan r(puv ) = 1, 2, ..., 2m − 3
(m − 1) + r(puv )
z2
maka sebuah walk dimulai pada u, mengelilingi ((m − 1) − r(puv )) kali cycle γ1 ,
((m − 1) + r(puv )) kali cycle γ2 , setelah kembali ke u menuju sebuah path puv ke
v. Mempunyai komposisi
#
# "
#
"
"
r(puv )
m−2
m−1
+
+ ((m − 1) + r(puv ))
((m − 1) − r(puv ))
0
1
1
"
#
2m2 − 5m + 3
=
.
2m − 2
• Path (puv ) memuat sebuah