Eksponen Titik Dari Sebuah Kelas Digraph Dwiwarna Dengan Satu Loop

EKSPONEN TITIK DARI SEBUAH KELAS DIGRAPH DWIWARNA DENGAN SATU LOOP
SKRIPSI
SITI SAHARA 090803001
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara

EKSPONEN TITIK DARI SEBUAH KELAS DIGRAPH DWIWARNA DENGAN SATU LOOP
SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat mencapai gelar
Sarjana Sains
SITI SAHARA 090803001
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara

PERSETUJUAN

i

Judul

: EKSPONEN TITIK DARI SEBUAH KELAS DIGRAPH

DWIWARNA DENGAN SATU LOOP

Kategori

: SKRIPSI

Nama

: SITI SAHARA

Nomor Induk Mahasiswa : 090803001

Program Studi

: SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen

: MATEMATIKA

Fakultas

: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

(FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Medan, Juli 2013

Komisi Pembimbing : Pembimbing 2

Pembimbing 1

Dra. Mardiningsih, M.Si NIP.19630405 198811 2 001
Diketahui oleh : Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP.19640109 198803 1 004

Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. 19620901 198803 1 002

Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN

ii

EKSPONEN TITIK DARI SEBUAH KELAS DIGRAPH DWIWARNA DENGAN SATU LOOP

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2013
SITI SAHARA 090803001

Universitas Sumatera Utara

PENGHARGAAN

iii

Tak hingga puji serta syukur bagi Tuhan semesta alam, Allah SWT yang melimpahkan rahmat dan ridho-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ”EKSPONEN TITIK DARI SEBUAH KELAS DIGRAPH DWIWARNA DENGAN SATU LOOP” ini dengan baik. Shalawat beriring salam kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan para sahabat.
Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Ibunda Nuriah dan Ayahanda Sanudin, dua hamba ALLAH yang tercinta dan terkasih yang sudah bersedia menjadi malaikat pelindung selama perjalanan hidup penulis, kepada Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku dosen pembimbing I dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si selaku dosen pembimbing II yang telah banyak membantu dan memberi dukungan moril, ilmu pengetahuan, nasihat dan motivasi bagi penulis, kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku dosen penguji I dan Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku dosen penguji II yang telah banyak menyumbang masukan, saran, dan dukungan yang baik dalam menyelesaikan skripsi ini, kepada Bapak Prof. Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan FMIPA USU, Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika di FMIPA USU Medan serta Seluruh Staf Pengajar Depertemen Matematika FMIPA USU yang dengan ikhlas berbagi ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan. Semoga ALLAH SWT memuliakan dan meninggikan derajat mereka serta dinaungi dengan rahmat dan ridho-Nya.
Tak lupa penulis ucapkan terima kasih kepada Abangda dan Kakanda M.Musa, Robby Yanti Fitri, S.Pd, Nurniati, S.Pd, serta Adinda Nurdin, C.SE tersayang yang selalu memberikan doa, dukungan, dan semangat tiada henti kepada penulis, juga kepada keponakan penulis Riski Nazir, Hanapi, Kaylila, Arbi Irsyad dan Aisyah Tahrera yang menggoreskan warna indah dalam hari-hari penulis. Semoga Allah SWT selalu melimpahi rahmat dan barokah-Nya kepada mereka.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Misna, Yelli, Kak Titin, Tilla, Putri, Jundi, Bhakti, Lukas, Pancha, Vella, Zati, Fitri, Ade, Matematika 2009, IM3 dan rekan-rekan lainnya yang sudah berbagi asa, cita dan waktu. Semoga Allah SWT memberi balasan atas jasa-jasa mereka yang telah diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu saran dan kritik yang membangun dari pembaca sekalian sangat diperlukan. Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiaanya, semoga tulisan ini berguna bagi yang membutuhkan.
Medan, Juli 2013 Penulis SITI SAHARA

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK

iv

Sebuah digraph dwiwarna D(2) adalah primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif g dan h sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat (g, h)-walk dari u ke v. Bilangan bulat positif g+h terkecil dari semua bilangan bulat tak negatif g dan h yang demikian disebut eksponen dari digraph dwiwarna D(2) dan dinotasikan dengan expD(2) (v). Misalkan v adalah sebuah titik di D(2). Eksponen dari suatu titik v pada D(2) adalah bilangan bulat positif terkecil g + h sehingga untuk setiap titik u di D(2) terdapat (g, h)-walk dari titik v ke titik u, dinotasikan dengan expD(2) (v). Tulisan ini mendiskusikan eksponen titik dari sebuah kelas digraph dwiwarna primitif S2(2) atas n ≥ 3 titik yang terdiri dari sebuah n-cycle v1 → vn → vn−1 → · · · → v2 → v1 dan sebuah loop merah di titik v1. Diperlihatkan bahwa jika n-cycle pada S2(2) memuat tepat 1 arc biru dan n − 1 arc merah, maka eksponen titik dari digraph dwiwarna S2(2) berada pada interval [n − 2 + k, 2n − 3 + k] untuk semua k = 1, 2, ..., n
Kata kunci : Digraph dwiwarna, primitif, eksponen dan eksponen titik.

Universitas Sumatera Utara

v VERTEX EXPONENTS OF A CLASS OF TWO - COLORED DIGRAPHS WITH

ONE LOOP ABSTRACT A two-colored digraph D(2) is primitive provided there are nonnegative integer g and h such that for each pair of vertices u and v there exsist a (g, h)-walk from vertex u to vertex v. The smallest positive integer g + h taken over all such nonnegative integers g and h is the exponent of a two-colored digraph D(2), denoted by exp(D(2)). Let v be a vertex of D(2). The exponent of vertex v is the smallest positive integer g +h such that for every vertex u in D(2) there is an (g, h)-walk from v to u, denoted by expD(2)(v). This paper discuss vertex exponent of primitive two colored-digraph S2(2) on n ≥ 3 vertices consisting the cycle v1 → vn → vn−1 → · · · → v2 → v1 of length n and the red loop at v1. For such two-colored digraph, if n-cycle in S2(2) exactly has one blue arc and n−1 red arcs, its vertex exponents lie on [n−2+k, 2n−3+k] for all k = 1, 2, ..., n. Key words : Two-colored digraph, primitive, exponent and vertex exponent.
Universitas Sumatera Utara

vi

PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR

DAFTAR ISI

Halaman i ii
iii iv v vi vii

BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian 1.2 Masalah Penelitian 1.3 Tinjauan Pustaka 1.4 Tujuan Penelitian 1.5 Manfaat Penelitian
BAB 2 DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF
2.1 Definisi 2.2 Matriks Adjacency 2.3 Primitifitas Dari Digraph Dwiwarna Terhubung Kuat 2.4 Matriks Tak Negatif dan Eksponen Digraph Dwiwarna 2.5 Eksponen Titik Digraph dan Digraph Dwiwarna 2.6 Sistem Persamaan Diophantine 2.7 Formula Eksponen Titik Digraph Dwiwarna dengan Dua Cycle
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Komputasi Nilai Eksponen Titik 3.1 Pembuktian Nilai Eksponen Titik
BAB 4 EKSPONEN TITIK S2(2)
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan 5.2 Saran

DAFTAR PUSTAKA

1 3 3 5 5
6 9 11 14 21 24 25
30 30
32
47 48
49

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR GAMBAR

vii

Gambar
2.1 Digraph dengan 4 titik dan 7 arc 2.2 Digraph dwiwarna dengan 5 titik dan 7 arc 2.3 Digraph dengan 4 titik dan 7 arc 2.4 Digraph terhubung kuat dan tidak terhubung kuat 2.5 Digraph terhubung kuat dan primitif 2.6 Digraph dwiwarna terhubung kuat dan tidak terhubung kuat 2.7 Digraph dwiwarna terhubung kuat dan primitif 2.8 Digraph dengan 3 titik dan 6 arc 2.9 Digraph dwiwarna dengan 3 titik dan 4 arc 4.1 Digraph dwiwarna S(2) Tipe I 4.2 Digraph dwiwarna S(2) Tipe II 4.3 Digraph dwiwarna S(2) Tipe III

Halaman
7 8 10 12 12 13 14 16 18 33 33 34

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK

iv

Sebuah digraph dwiwarna D(2) adalah primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif g dan h sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat (g, h)-walk dari u ke v. Bilangan bulat positif g+h terkecil dari semua bilangan bulat tak negatif g dan h yang demikian disebut eksponen dari digraph dwiwarna D(2) dan dinotasikan dengan expD(2) (v). Misalkan v adalah sebuah titik di D(2). Eksponen dari suatu titik v pada D(2) adalah bilangan bulat positif terkecil g + h sehingga untuk setiap titik u di D(2) terdapat (g, h)-walk dari titik v ke titik u, dinotasikan dengan expD(2) (v). Tulisan ini mendiskusikan eksponen titik dari sebuah kelas digraph dwiwarna primitif S2(2) atas n ≥ 3 titik yang terdiri dari sebuah n-cycle v1 → vn → vn−1 → · · · → v2 → v1 dan sebuah loop merah di titik v1. Diperlihatkan bahwa jika n-cycle pada S2(2) memuat tepat 1 arc biru dan n − 1 arc merah, maka eksponen titik dari digraph dwiwarna S2(2) berada pada interval [n − 2 + k, 2n − 3 + k] untuk semua k = 1, 2, ..., n
Kata kunci : Digraph dwiwarna, primitif, eksponen dan eksponen titik.

Universitas Sumatera Utara

v VERTEX EXPONENTS OF A CLASS OF TWO - COLORED DIGRAPHS WITH
ONE LOOP ABSTRACT A two-colored digraph D(2) is primitive provided there are nonnegative integer g and h such that for each pair of vertices u and v there exsist a (g, h)-walk from vertex u to vertex v. The smallest positive integer g + h taken over all such nonnegative integers g and h is the exponent of a two-colored digraph D(2), denoted by exp(D(2)). Let v be a vertex of D(2). The exponent of vertex v is the smallest positive integer g +h such that for every vertex u in D(2) there is an (g, h)-walk from v to u, denoted by expD(2)(v). This paper discuss vertex exponent of primitive two colored-digraph S2(2) on n ≥ 3 vertices consisting the cycle v1 → vn → vn−1 → · · · → v2 → v1 of length n and the red loop at v1. For such two-colored digraph, if n-cycle in S2(2) exactly has one blue arc and n−1 red arcs, its vertex exponents lie on [n−2+k, 2n−3+k] for all k = 1, 2, ..., n. Key words : Two-colored digraph, primitive, exponent and vertex exponent.
Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian
Studi mengenai eksponen dari sebuah digraph menjadi pembahasan yang lebih sederhana setelah Wielandt (Schneider, H. 2002) mengemukakan sebuah gagasan mengenai eksponen dari suatu matriks tak negatif A. Matriks tak negatif A adalah sebuah matriks orde n yang setiap entri aij = 0 atau entri aij > 0. Matriks A disebut primitif jika untuk sembarang bilangan bulat positif k, Ak adalah positif, yaitu semua entri dari matriks Ak bernilai positif. Bilangan bulat positif terkecil k yang demikian adalah eksponen dari matriks A dan dinotasikan dengan exp(A).

Persoalan mengenai eksponen dari sebuah digraph D biasanya diselesaikan menggunakan matriks D(A), yakni sebuah matriks tak negatif A yang bersesuaian dengan digraph D. Matriks D(A) adalah sebuah matriks orde n dengan entri aij akan bernilai 1 jika terdapat arc dari titik vi ke titik vj pada digraph D, dan entri aij akan bernilai 0 jika tidak terdapat arc dari titik vi ke titik vj pada digraph D. Eksponen dari digraph D sama dengan eksponen dari matrik tak negatif A yang bersesuaian dengan digraph tersebut. Matriks yang bersesuaian dengan digraph D kemudian disebut dengan matriks adjacency.
Sebuah digraph D disebut primitif jika terdapat bilangan bulat positif k sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang k, nilai terkecil k yang demikian disebut dengan eksponen digraph D, dinotasikan oleh exp(D) (Brualdi dan Ryser, 1991). Wielandt kemudian menyatakan bahwa eksponen digraph primitif D atas n titik adalah exp(D) = n2 − 2n + 2. Studi tentang eksponen digraph primitif yang memuat loop pertama sekali dilakukan oleh Holladay dan Varga
1 Universitas Sumatera Utara

2
(1958). Holladay dan Varga memperlihatkan jika D digraph primitif atas n titik dan memuat q loop maka exp(D) ≤ 2n − q − 1.
Berdasarkan gagasan yang dikemukakan oleh wielandt mengenai eksponen digraph, Brualdi dan Liu (1990) kemudian mendefinisikan konsep eksponen lokal digraph primitif sebagai berikut. Misalkan D adalah digraph primitif dan v adalah titik di D. Eksponen dari sebuah titik v merupakan bilangan bulat positif terkecil t sehingga terdapat walk dengan panjang t dari titik v ke semua titik yang ada di D. Eksponen dari suatu titik v dinotasikan dengan expD(v). Misalkan v1, v2, ..., vn adalah titik di D yang diurutkan sehingga expD(v1) ≤ expD(v2) ≤ · · · ≤ expD(vn). Untuk 1 ≤ k ≤ n, expD(vk) adalah generalisasi eksponen titik ke-k dari digraph primitif D.
Pada tahun 1997 Fonarsini dan Valcher mendefinisikan suatu digraph dwiwarna D(2) sebagai digraph yang setiap arcnya diwarnai dengan warna merah atau warna biru. Sebuah digraph dwiwarna D(2) disebut terhubung kuat jika untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke u. Sebuah digraph dwiwarna terhubung kuat D(2) disebut primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif g dan h sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat suatu (g, h)-walk dari u ke v. Bilangan bulat positif g + h terkecil atas semua bilangan bulat tak negatif g dan h yang demikian disebut eksponen dari D(2) dan dinotasikan dengan exp(D(2)) (Shader dan Suwilo, 2003).
Konsep eksponen dari digraph dwiwarna primitif D(2) yang dikemukakan oleh Shader dan Suwilo (2003) didasari karena digraph dwiwarna D(2) atas n titik dapat dinyatakan dalam bentuk matriks adjacency R dan matriks adjacency B orde n. Matriks Adjacency R adalah sebuah matriks yang setiap entri rij bernilai 1 jika terdapat arc merah dari titik vi ke titik vj pada D(2), dan bernilai 0 jika tidak terdapat arc merah dari titik vi ke titik vj pada D(2). Hal yang demikian berlaku juga terhadap matriks adjacency B, entri bij bernilai 1 jika terdapat arc biru dari titik vi ke titik vj pada D(2), dan bernilai 0 jika tidak terdapat arc biru dari titik vi ke titik vj pada
Universitas Sumatera Utara

3
D(2). Sehingga permasalahan mengenai eksponen dari sebuah digraph dwiwarna sama saja dengan permasalahan memangkatkan matriks tak negatif (R, B) orde n sejumlah (g, h) kali hingga matriks tersebut menjadi matriks positif. Memangkatkan matriks (R, B) sejumlah (g, h) kali adalah permasalahan kombinatorial, dimana memilih g dan h agar (R, B)(g,h) positif. Hal tersebut dapat dilakukan dengan operasi (g, h)-matriks Hurwitz P roduct R dan B yang dapat didefinisikan secara rekurensif seperti berikut.
(R, B)(g,h) = R(R, B)(g−1,h) + B(R, B)(g,h−1)
bilangan positif terkecil dari g + h yang demikian sehingga entri-entri matriks (R, B) positif, adalah eksponen dari digraph dwiwarna D(2).
Gao and Shao (2009) mendefinisikan konsep eksponen lokal dari digraph dwiwarna primitif D(2) sebagai berikut. Untuk sembarang titik vk di D(2), k = 1, 2, ..., n, eksponen titik vk, dinotasikan dengan expD(2)(vk), adalah bilangan bulat positif terkecil p1 + p2 sehingga untuk setiap titik v di D(2) terdapat sebuah (p1, p2)-walk dari vk ke v. Untuk kemudahan, titik v1,v2,...,vn dilabel sehingga expD2 (v1) ≤ expD2 (v2) ≤ · · · ≤ expD2(vn). Untuk 1 ≤ k ≤ n, expD2(vk) adalah generalisasi eksponen titik ke-k dari digraph dwiwarna D(2).
1.2 Masalah Penelitian
Andaikan S2(2) adalah digraph dwiwarna primitif atas n ≥ 3 titik yang terdiri dari sebuah cycle dengan panjang n dan sebuah loop di titik v1. Untuk setiap titik vk, k = 1, 2, ..., n di S2(2), berapakah besaran nilai dari expS2(2) (vk) ?
1.3 Tinjaun Pustaka
Penelitian tentang eksponen digraph dwiwarna pertama sekali dilakukan oleh Shader dan Suwilo (2003). Shader dan Suwilo memperlihatkan bahwa eksponen terbesar digraph dwiwarna primitif D(2) atas n titik terletak pada interval [(n3 − 5n2)/2,

Universitas Sumatera Utara

4
(3n3 + 2n2 − 2n)/2]. Kemudian pada tahun 2009 Gao dan Shao mendiskusikan eksponen titik digraph dwiwarna tipe Wielandt, yakni suatu digraph Hamiltonian atas cycle v1 → vn → · · · → v2 → v1 dan arc v1 → vn−1 dengan panjang cycle n dan n − 1. Gao dan Shao memperlihatkan jika digraph dwiwarna Wielandt W (2) hanya memuat satu arc biru di va → va−1, a = 2, 3, ..., n − 1, maka expW (2)(vk) = n2 − 2n + k − a + 1. Jika W (2) memuat dua arc biru di v1 → vn−1 dan v1 → vn maka expW (2)(vk) = n2 − 2n + k atau expW (2)(vk) = n2 − 2n + k + 1.
Berdasarkan generalisasi eksponen digraph dwiwarna yang dikemukakan oleh Shader dan Suwilo (2003) serta konsep eksponen lokal digraph dwiwarna yang dikemukakan oleh Gao dan Shao (2009), banyak peneliti membicarakan eksponen titik dari beberapa kelas digraph dwiwarna primitif yang memuat dua cycle. Seperti Suwilo (2011) yang mendiskusikan eksponen titik digraph dwiwarna primitif ekstremal ministrong D(2) atas n titik dengan panjang cycle n − 1 dan n − 2. Jika D(2) memuat tepat satu arc biru, maka eksponen titik D(2) berada pada [n2 − 5n + 8, n2 − 3n + 1] dan jika D(2) memuat tepat dua arc biru, maka eksponen titik D(2) berada pada [n2 − 4n + 4, n2 − n]. Suwilo dan Syafrianty (2012) mendiskusikan eksponen titik digraph dwiwarna primitif D(2) atas n = 2m titik, m ≥ 5 yang memuat dua cycle dengan panjang n−1 dan n−3 berada pada interval [(n3−5n2+4n+4)/4, (n3−5n2+10n+4)/4]. Syahmarani dan Suwilo (2012) juga mendiskusikan eksponen titik digraph dwiwarna Hamiltonian L2n yang terdiri dari cycle v1 → vn → · · · → v2 → v1 dan arc v1 → vn−2 atas n titik ganjil dengan panjang cycle n − 2 dan n. Syahmarani dan Suwilo memperlihatkan jika exp(L(n2)) = (n3 − 2n2 + 1)/2 maka eksponen titik digraph tersebut berada pada interval [(n3 − 2n2 − 3n + 4)/4, (n3 − 2n2 + 3n + 6)/4] dan jika exp(L(n2)) = 2n2 − 6n + 2, maka eksponen titik Ln(2) berada pada interval [n2 − 4n + 5, n2 − 2n − 1].
Semua hasil yang dikemukan oleh periset diatas adalah digraph dwiwarna primitif dengan panjang cycle lebih besar dari satu. Dengan demikian penelitian ini akan menentukan generalisasi eksponen titik dari sebuah digraph dwiwarna primitif S2(2), yakni sebuah digraph yang terdiri dari sebuah cycle dengan panjang n dan cycle lain-
Universitas Sumatera Utara

nya dengan panjang satu atau dikenal dengan istilah loop.

5

1.4 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk memperoleh generalisasi eksponen titik dari sebuah kelas digraph dwiwarna primitif S2(2) atas n ≥ 3 titik dengan satu loop di titik v1.
1.5 Manfaat Penelitian

Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur dibidang eksponen titik digraph dwiwarna primitif yang memuat loop.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF
Pada bagian ini akan diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan definisi sebagai landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi digraph, digraph dwiwarna, terhubung kuat, primitifitas, eksponen dan eksponen titik digraph dwiwarna yang dirujuk dari Brualdi dan Ryser (1991).
2.1 Definisi
Pada sub-bab ini akan diberikan beberapa definisi tentang digraph dan digraph dwiwarna serta notasi-notasi yang akan dipergunakan dalam pembahasan selanjutnya.
2.1.1 Digraph
Secara sederhana graph adalah kumpulan titik atau lingkaran kecil yang dihubungkan oleh garis. Jika segmen garis tersebut diberi arah maka hal yang demikian disebut dengan digraph. Formalnya, digraph adalah objek yang terdiri dari dua himpunan yaitu :
1. Himpunan berhingga tak kosong V = {v0, v1, ..., vm} yang elemen-elemen dari himpunan V disebut verteks atau titik dari digraph D.
2. Himpunan E yakni himpunan bagian dari pasangan berurut V XV dengan semua titik tidak harus berbeda dan elemen-elemenya disebut arc dari digraph D. Jika diberikan α = (u, v) adalah suatu arc di D, maka titik u disebut sebagai
titik awal dan titik v sebagai titik akhir. Suatu arc (u, v) dapat juga digambarkan
6 Universitas Sumatera Utara

sebagai u→v yang menghubungkan titik u dan v.

7

Contoh 2.1.1 Himpunan titik V = {v1, v2, v3, v4} bersamaan dengan himpunan arc E = {v1→v4, v4→v4, v4→v1, v4→v3, v3→v2, v2→v1, v1→v1} adalah suatu digraph dengan 4 titik dan 7 arc, dinotasikan dengan D(4, 7). Representasi grafis digraph tersebut diperlihatkan seperti pada Gambar 2.1 berikut ini.

Gambar 2.1 Digraph dengan 4 titik dan 7 arc Andaikan D adalah sebuah digraph. Misalkan u dan v adalah titik di D. Suatu walk dengan panjang l dari u ke v adalah suatu barisan arc dalam bentuk

u = v0 → v1 → · · · → vl−1 → vl = v Dengan l > 0, v0 = u dan vl = v. Walk tersebut adalah tertutup jika u = v dan walk disebut terbuka jika u = v. Cycle adalah suatu path tertutup uv dan loop adalah sebuah cycle yang panjangnya satu. Dengan menggunakan digraph pada contoh 2.1.1 akan dijelaskan beberapa definisi diatas.
a. Barisan arc v1→v4→v1→v4→v3→v2→v1 adalah sebuah walk tetapi bukan path karena ada perulangan titik v1.
b. Barisan arc v1→v4→v3→v2 adalah sebuah path terbuka. c. Barisan arc v1→v4→v3→v2→v1 adalah sebuah path tertutup dan disebut juga
dengan cycle. d. Dan v1→v1 dan v4→v4 adalah loop.
Universitas Sumatera Utara

2.1.2 Digraph Dwiwarna

8

Andaikan D adalah sebuah digraph atas n titik v1, v2, ..., vn. Digraph dwiwarna adalah
sebuah digraph D yang setiap arcnya diwarnai dengan warna merah atau warna biru dan dinotasikan dengan D(2). Sebuah arc merah (u, v) dinotasikan dengan u →r v dan sebuah arc biru (u, v) dinotasikan dengan u →b v.

Contoh 2.1.2 Himpunan titik V = {v1, v2, v3, v4, v5} bersama dengan himpunan arc merah R = {(v3, v4) , (v4, v5) , (v5, v3), (v3, v3)} dan himpunan arc biru B = {(v5, v1), (v1, v2), (v2, v3)} adalah sebuah digraph dwiwarna D(2) dengan 5 titik, 4 arc merah dan 3 arc biru. Secara grafis, digraph dwiwarna D(2) dapat direpresentasikan dengan cara berikut
a. Setiap titik digambarkan dengan lingkaran kecil hitam.
b. Setiap arc merah (a, b) digambarkan dengan garis berarah tidak putus-putus dari titik a ke titik b.
c. Setiap arc biru (c, d) digambarkan dengan garis berarah putus-putus dari titik c ke titik d.
Dengan demikian contoh 2.1.2 dapat diperlihatkan pada gambar berikut.

Gambar 2.2 : Digraph dwiwarna 5 titik dan 7 arc Sebuah (g, h)-walk di digraph dwiwarna D(2) adalah walk yang terdiri dari garc merah dan h-arc biru. Andaikan w adalah sebuah walk. Banyaknya arc merah dan arc biru yang termuat di walk w dinotasikan dengan r(w) dan b(w) berturut-turut
Universitas Sumatera Utara

9



r(w)

dengan panjang walk w adalah l(w) = r(w) + b(w). Vektor 

 disebut sebagai

b(w)

komposisi dari walk w.

Sebuah path adalah sebuah walk dengan semua titik-titiknya berbeda. Cycle   10
adalah path tertutup dan loop adalah cycle dengan komposisi   atau  . 01
Berdasarakan definisi tersebut, dari Gambar 2.2 diperoleh
 a. v1 →b v2 →b v3 →r v3 →r v4 adalah sebuah walk dengan komposisi  2 .
2
 b. v1 →b v2 →b v3 →r v4 →r v5 adalah sebuah path terbuka dengan komposisi  2 .
2
 c. v5 →r v3 →r v4 →r v5 adalah sebuah cycle dengan komposisi  3 .
0
 d. v3 →r v3 adalah sebuah loop dengan komposisi  1 .
0
2.2 Matriks Adjacency

Sebuah digraph D atau digraph dwiwarna D(2) atas n titik dapat dinyatakan dalam (0, 1)-matriks, yaitu sebuah matriks dengan entri 0 atau 1. Matriks yang demikian dikenal dengan sebutan matriks adjacency.

2.2.1 Matriks Adjacency Digraph

Untuk digraph D atas n titik, matriks adjacency dari D adalah A(D) = [aij] dengan ketentuan berikut
1, jika terdapat arc dari vi ke vj di D aij =
0, jika sebaliknya

Universitas Sumatera Utara

Sebagai contoh perhatikan digraph D pada Gambar 2.3 berikut

10

Gambar 2.3 : Digraph dengan 4 titik dan 7 arc

matriks adjacency dari digraph pada Gambar 2.3 adalah sebagai berikut

1 1 0 0

 

0

0

1

0

 

A(D) = 



 

1

0

1

1

 



1000

2.2.2 Matriks Adjacency Digraph Dwiwarna

Pada digraph dwiwarna D(2), matriks adjacency dari D(2) terbagi atas dua buah matriks adjacency yakni, matriks adjacency untuk arc merah, R = [rij] dan matriks adjacency untuk arc biru, B = [bij] yang masing-masing orde n dengan ketentuan berikut

rij = 1, jika terdapat arc merah dari vi ke vj di D(2) 0, jika sebaliknya
dan bij = 1, jika terdapat arc biru dari vi ke vj di D(2) 0, jika sebaliknya

Dengan demikian, matriks adjacency dari Gambar 2.2 pada contoh 2.1.2 adalah sebagai berikut

Universitas Sumatera Utara

11

a. Arc merah dari D(2) pada contoh 2.1.2 adalah {v3 → v3, v3 → v4, v4 → v5, v5 → v3}. Sehingga matriks adjacency arc merah R = [rij] dari D(2) tersebut adalah

0 0 0 0 0

 

0

0

0

0

0

 



R

=

 

0

0

1

1

0

 



 

0

0

0

0

1

 



00100

b. Arc biru dari D(2) pada contoh 2.1.2 adalah {v5 → v1, v1 → v2, v2 → v3}. Sehingga matriks adjacency arc biru B = [bij] dari digraph dwiwarna D(2) tersebut adalah

0 1 0 0 0

 

0

0

1

0

0

 



B

=

 

0

0

0

0

0

 



 

0

0

0

0

0

 



10000

2.3 Primitifitas Dari Digraph Dwiwarna Terhubung Kuat

Pada bagian ini akan dibahas tentang digraph dan digraph dwiwarna terhubung kuat serta primitifitasnya.

2.3.1 Digraph Primitif

Sebuah digraph D disebut terhubung kuat jika untuk setiap pasang titik u dan v terdapat walk dari titik u ke v dan walk dari titik v ke u, sebaliknya digraph D disebut tidak terhubung kuat jika terdapat sembarang satu titik atau lebih sehingga tidak terdapat walk dari u ke v. Berikut ini diberikan contoh digraph terhubung kuat dan tidak terhubung kuat.

Universitas Sumatera Utara

12 Contoh 2.3.1 Representasi dari dua buah digraph terhubung kuat dan tidak terhubung kuat.
Gambar 2.4 : Digraph terhubung kuat dan tidak terhubung kuat Gambar 2.4 menunjukan bahwa (a) adalah terhubung kuat karena terdapat walk dari satu titik ke titik lainya, sedangkan (b) tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v1 ke v2 .
Misalkan himpunan C = {γ1, γ2, ..., γt} adalah himpunan semua cycle-cycle yang terdapat pada digrap D dengan panjang dari cycle-cycle tersebut dinotasikan dengan l(γi), i = 1, 2, ..., t. Digraph terhubung kuat D disebut primitif jika gcd(l(γi)) = 1, sebaliknya digraph D disebut tidak primitif jika gcd(l(γi)) = 1 (Brualdi dan Ryser, 1991). Berikut ini diberikan representasi grafis digraph yang terhubung kuat dan primitif. Contoh 2.3.2 Representasi dari digraph terhubung kuat atas 5 titik dan 6 arc.
Gambar 2.5 : Digraph terhubung kuat dan primitif
Universitas Sumatera Utara

13 Digraph D pada Gambar 2.5 adalah terhubung kuat yang terdiri dari dua cycle, yaitu cycle γ1 = v1 → v2 → v3 → v5 → v4 → v1 dengan l(γ1) = 5 dan cycle γ2 = v4 → v3 → v5 → v4 dengan panjang l(γ2) = 3. Sehingga gcd(l(γ1), l(γ2)) = gcd(5, 3) = 1. Karena gcd(l(γ1), l(γ2)) = 1, oleh definisi dapat disimpulkan bahwa digraph D adalah primitif.
2.3.2 Digraph Dwiwarna Primitif
Sebuah digraph dwiwarna D(2) adalah terhubung kuat jika untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat walk dari titik u ke titik v dan walk dari titik v ke titik u tanpa memperhatikan warna setiap arc yang dilalui. Perhatikan contoh digraph dwiwarna D(2) terhubung kuat dan digraph dwiwarna D(2) tidak terhubung kuat berikut
Contoh 2.3.3 Representasi dari digraph dwiwarna terhubung kuat
Gambar 2.6 : Digraph dwiwarna terhubung kuat dan tidak terhubung kuat Gambar 2.6 memperlihatkan bahwa (a) adalah digraph dwiwarna D(2) ter-
hubung kuat karena terdapat walk dari satu titik ke titik yang lain dan (b) adalah digraph dwiwarna D(2) yang tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v1 ke v2.
Sebuah digraph dwiwarna terhubung kuat D(2) disebut primitif jika terdapat bilangan tak negatif g dan h sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat (g, h)-walk dari u ke v. Andaikan C = {γ1, γ2, ..., γt} adalah himpunan semua cycle-cycle yang terdapat di D(2) dan didefinisikan M sebagai matriks cycle dari D(2)
Universitas Sumatera Utara

14

orde 2 × t dengan setiap kolom ke-i dari M merupakan komposisi dari cycle-cycle

γi, i = 1, 2, ..., t seperti berikut

r(γ1) r(γ2) · · · r(γt)

M=

.

b(γ1) b(γ2) · · · b(γt)

Sebuah digraph dwiwarna D(2) adalah primitif jika dan hanya jika pembagi perseku-

tuan terbesar dari determinan submatriks 2 × 2 dari M adalah ±1 (Fonarsini dan

Valcher, 1997).

Lemma 2.3.1 Andaikan D(2) adalah digraph dwiwarna terhubung kuat dengan paling sedikit satu arc setiap warna. Misalkan M adalah matriks cycle dari D(2). Digraph D(2) adalah primitif jika dan hanya jika content dari matriks M adalah 1.

Contoh 2.3.4 Representasi digraph dwiwarna terhubung kuat dan primitif

Gambar 2.7 : Digraph dwiwarna primitif.

Digraph dwiwarna D(2) pada Gambar 2.7 adalah terhubung kuat yang terdiri 
dari cycle v1 →b v5 →r v4 →r v3 →r v2 →r v1 dengan komposisi 4  dan loop v1 →r v1 1





dengan komposisi  1 , maka matriks cycle dari D(2) adalah M =  1

4  dengan

0 01

det (M) = 1. Oleh karena det (M) = 1, maka digraph dwiwarna terhubung kuat D(2)

adalah primitif.

2.4 Matriks Tak Negatif dan Eksponen Digraph Dwiwarna

Berikut ini akan dibahas pengertian matriks tak negatif dan hubungannya dengan
Universitas Sumatera Utara

Digraph dwiwarna D(2).

15

2.4.1 Matriks Tak Negatif

Matriks tak negatif A merupakan sebuah matriks yang setiap entri-entri aij dari A

adalah bilangan bulat tak negatif, sebaliknya jika setiap entri-entri aij dari matriks

A adalah bilangan bulat positif maka matriks tersebut disebut matriks positif. Per-

hatikan dua buah matriks berikut ini

 501

 11 2 1





N

=

 

3

1

7

, 

matriks

tak

negatif;

P

=

 

3

1

8

, 

matriks

positif.





020

1 41

2.4.2 Eksponen Digraph
Eksponen dari sebuah digraph D didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang k dan dinotasikan dengan exp(D).
Proposisi 2.4.1 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D. Entri akij dari Ak menyatakan banyak walk dari vi ke vj yang panjangnya k di digraph D.
Bukti. Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D, maka setiap entri (i, j) dari A menyatakan arc dari titik vi ke vj di digraph D. Ini mengakibatkan jika k = 1, maka setiap entri ai1j dari A1 menyatakan walk dari titik vi ke vj dengan panjang 1.
Andaikan setiap entri a(ijk) dari Ak menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke vj yang panjangnya k di D, untuk k ≥ 1. Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa a(ijk+1) adalah banyaknya walk dari vi ke vj dengan panjang k + 1 di D dengan k ≥ 1.

Universitas Sumatera Utara

16

Perhatikan setiap walk dari titik vi ke vj di D dengan panjang k+1 yang terdiri
dari walk vi ke vl dengan panjang k untuk l = 1, 2, ..., n, dan dilanjutkan dengan arc dari titik vi ke vj, sehingga a(ilk) aij menyatakan walk dengan panjang k + 1 dari titik vi ke vj di D untuk k = 1, 2, ..., n. Jika tidak terdapat walk yang panjangnya k dari titik vi ke vj di D, maka a(ilk) = 0 sehingga a(ilk) aij = 0. Hal ini berakibat tidak terdapat walk yang panjangnya k + 1 dari titik vi ke vj melalui titik vl di D sehingga diperoleh banyaknya walk yang panjangnya k + 1 dari titik vi ke vj di D adalah

n

a(i1k)a1j + a(i2k)a2j + ... + a(ink)anj =

akilalj

i=1

karena

Ak+1 = AkA

maka

n

a(ijk) =

akilalj

i=1

Sehingga a(ijk+1) adalah benar menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke titik vj

yang panjangnya k + 1 di D. Berikut ini diberikan contoh dari sebuah digraph yang

akan dicari eksponennya dengan menggunakan proposisi 2.4.1.

Contoh 2.4.1 Representasi digraph dengan 3 titik dan 6 arc.

Gambar 2.8 : Digraph dengan 3 titik dan 6 arc.

Matriks adjacency dari digraph pada Gambar 2.8 adalah sebagai berikut

1 1 0

A

=

 

0

1

1

 



101

Universitas Sumatera Utara

17

Berdasarkan proposisi 2.4.1, banyaknya walk dari titik vi ke titik vj dengan panjang k dinyatakan oleh entri aikj dari matriks Ak yang semuanya positif. Eksponen dari digraph D adalah bilangan positif terkecil k yang mengakibatkan matriks Ak

positif. Perhatikan matriks berikut.

1 1 0

a.

Untuk

k

=

1;

diperoleh

A1

=

 

0

1

1

 



101

Bukan eksponen dari digraph pada contoh 2.4.1, karena tidak terdapat walk

dengan panjang 1 dari titik 1 ke titik 3, titik 2 ke titik 1 dan titik 3 ke titik 2.

1 2 1

b.

Untuk

k = 2;

diperoleh A2

=

 

1

1

2

 



211

Karena terdapat walk dengan panjang 2 dari tiap pasang titik yang ada di D,

maka eksponen dari digraph pada contoh 2.4.1 adalah exp(D) = 2.

2.4.3 Eksponen Digraph Dwiwarna
Pada digraph dwiwarna D(2), eksponen dari D(2) didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil g + h dari semua bilangan bulat tak negatif g dan h yang ada sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat sebuah (g, h)-walk dari u ke v yang terdiri dari g-arc merah dan h-arc biru. Eksponen dari digraph dwiwarna D(2) dinotasikan oleh exp(D(2)).
Andaikan A dan B adalah matiks tak negatif orde m. Untuk bilangan tak negatif g dan h, didefinisikan (g, h)-Hurwitz product, (A, B)(g,h) dari A dan B adalah jumlah keseluruhan matriks dari hasil perkalian A sebanyak g kali dan B sebanyak h kali. Sebagai contoh, (A, B)(1,0) = A, (A, B)(0,1) = B, (A, B)(1,1) = AB +BA dan (A, B)(2,2) = A2B2 + ABAB + AB2A + BABA + B2A2.
Lemma 2.4.1 Jika (R,B) adalah matriks adjacency dari digraph dwiwarna D(2),
Universitas Sumatera Utara

18 maka entri (i, j) dari (R, B)(g,h) adalah jumlah (g, h)-walk dari titik u ke v di D(2).
Bukti. Lemma 2.4.1 akan dibuktikan dengan induksi pada (g + h) dan (g + h + 1), jika g = 0 maka h = 1 atau jika g = 1 maka h = 0. Jika g = 0 maka entri (i,j)
 dari (R, B)(0,1) = B adalah walk dengan komposisi  0  di D(2). Dengan cara yang
1 sama, jika h = 0 maka (R, B)(1,0) = R adalah walk dengan entri (i, j) menyatakan
 walk dengan komposisi  1  di D(2).
0 Anggap lemma 2.4.1 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif g′ dan h′ dengan g′ + h′ ≤ g + h, akan diperlihatkan untuk g + h + 1 juga benar dengan catatan sebagai berikut
(R, B)(g+1,h) = R(R, B)(g,h) + B(R, B)(g+1,h−1) dengan induksi matematika entri (i, j) pada R(R, B)(g,h) adalah walk dari vi ke vj yang dimulai dengan arc merah diikuti oleh sebuah (g, h)-walk dan entri (i, j) pada B(R, B)(g+1,h−1) adalah jumlah walk dari vi ke vj yang dimulai dengan sebuah arc biru dan diikuti oleh sebuah (g + 1, h − 1)-walk sedemikian sehingga entri (i, j) dari (R, B)(g+1,h) adalah jumlah (g + 1, h)-walk dari i ke j. Perhatikan contoh berikut.
Contoh 2.4.2 Reprensentasi D(2) dengan 3 titik, 3 arc merah dan 1 arc biru
Gambar 2.9 : Digraph dwiwarna dengan 3 titik dan 4 arc
Universitas Sumatera Utara

19

Matriks adjacency merah dan biru dari Gambar 2.9 adalah

1 0 0

0 0 1

R

=

 

1

0

0

 

dan

B

=

 

0

0

0

 





010

000

Berdasarkan Lemma 2.4.1, banyaknya walk dari titik i ke titik j dengan panjang g + h adalah entri (i, j) dari (R, B)(g,h) yang semuanya bernilai positif, dan (g + h) terkecil dari yang demikian adalah eksponen dari matriks (R, B)(g+h). Perhatikan matriks (R, B)(g,h) berikut

a. Untuk g + h = 1, maka

1 0 0

1.

(R,

B )(1,0)

=

R

=

 

1

0

0

 



010

0 0 1

2.

(R, B)(0,1) = B

=

 

0

0

0

 



000

b. Untuk g + h = 2, maka

1 0 0

1.

(R, B)(2,0) = R2

=

 

1

0

0

 



100

0 0 0

2.

(R,

B )(0,2)

=

B2

=

 

0

0

0

 



000

0 1 1

3.

(R,

B )(1,1)

=

RB

+

BR

=

 

0

0

1

 



000

c. Untuk g + h = 3, maka

1 0 0

1.

(R, B)(3,0) = R3

=

 

1

0

0

 



100

Universitas Sumatera Utara

0 0 0

2.

(R,

B )(0,3)

=

B3

=

 

0

0

0

 



000

0 0 0

3.

(R,

B )(1,2)

=

RB2

+

B(R,

B )(1,1)

=

 

0

0

0

 



000

1 1 1

4.

(R,

B )(2,1)

=

R(R,

B )(1,1)

+

BR2

=

 

0

1

1

 



001

d. Untuk g + h = 4, maka

1 0 0

1.

(R, B)(4,0) = R4

=

 

1

0

0

 



100

0 0 0

2.

(R,

B )(0,4)

=

B4

=

 

0

0

0

 



000

0 0 0

3.

(R,

B )(1,3)

=

RB3

+

B(R,

B )(1,2)

=

 

0

0

0

 



000

0 0 1

4.

(R,

B )(2,2)

=

R(R,

B )(1,2)

+

B(R,

B )(2,1)

=

 

0

0

0

 



000

2 1 1

5.

(R,

B )(3,1)

=

R(R,

B )(2,1)

+

BR3

=

 

1

1

1

 



011

d. Untuk g + h = 5, maka

1 0 0

1.

(R, B)(5,0) = R5

=

 

1

0

0

 



100

20

Universitas Sumatera Utara

3 1 1

2.

(R,

B )(4,1)

=

R(R,

B )(3,1)

+

BR4

=

 

2

1

1

 



111

21

Karena terdapat walk dengan panjang 5 dari tiap pasang titik pada digraph
dwiwarna D(2), maka eksponen dari digraph dwiwarna D(2) pada Gambar 2.9 adalah 
exp(D2) = 5, dengan komposisi  4  yang terdiri 4 arc merah dan 1 arc biru. 1
2.5 Eksponen Titik Digraph dan Digraph Dwiwarna

Pada sub-bab ini akan dibahas tentang definisi eksponen titik digraph D dan eksponen titik digraph dwiwarna D(2) serta contoh bagaimana menentukan eksponen titik dari digraph D dan digraph dwiwarna D(2).

2.5.1 Eksponen Titik Digraph

Misalkan D adalah sebuah digraph primitif atas n titik v1, v2, ..., vn. Untuk suatu vi di D, i = 1, 2, ..., n, eksponen titik vi yang dinotasikan dengan expD(vi) adalah bilangan bulat positif terkecil t sehingga terdapat walk dengan panjang t dari vi kesetiap titik di D, dan himpunan eksponen expD(X) adalah bilangan bulat positif terkecil p sehingga untuk setiap titik vj di D terdapat sebuah walk dari paling sedikit satu titik di X ke vj dengan panjang p.
Andaikan D adalah digraph primitif orde n. Jika titik-titik di D adalah (v1, v2, ..., vn) sedemikian hingga
expD(v1) ≤ expD(v2) ≤ · · · ≤ expD(vn)
maka expD(vk) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke-k dari D, dinotasikan expD(vk) (Brualdi dan Liu, 1990).

Universitas Sumatera Utara

22

Contoh 2.5.1 Berikut ini akan dicari eksponen titik dari tiap masing-masing titik

di digraph D pada Gambar 2.9 dengan asumsi bahwa digraph tersebut tidak diwar-

nai dengan merah dan biru. Matriks adjacency dari digraph yang demikian adalah 1 0 1

A

=

 

1

0

0

 



010

Berdasarkan Proposisi 2.4.1, eksponen titik dari D diperoleh dengan melihat

entri aij dari Ak, dengan entri pada baris ke-i harus bernilai positif. Perhatikan matriks Ak berikut

1 1 1

a.

Untuk

k

=

2,

A2

=

 

1

0

1 . Karena semua entri pada baris pertama dari



100

matriks A2 sudah bernilai positif, maka expD(v1) = 2.

2 1 1

b.

Untuk

k

=

3,

A3

=

 

1

1

1 . Karena semua entri pada baris kedua dari



101

matriks A3 sudah bernilai positif, maka expD(v2) = 3.

3 1 2

c.

Untuk

k

=

4,

A4

=

 

2

1

1 . Karena semua entri pada baris ketiga dari



111

matriks A4 sudah bernilai positif, maka expD(v3) = 4.

Dengan demikian eksponen titik digraph pada Gambar 2.9 tanpa diwarnai dengan warna merah dan biru sudah ditemukan yaitu, expD(v1) = 2, expD(v2) = 3, dan expD(v3) = 4.

2.5.2 Eksponen Titik Digraph Dwiwarna

Misalkan D(2) adalah digraph dwiwarna primitif dan V (D(2)) adalah himpunan semua titik yang ada di D(2) dengan V (D(2)) = {v1, v2, ..., vn}. Untuk suatu vi ∈ V (D(2)) dan X ⊆ V (D(2)), eksponen titik vi yang dinotasikan oleh expD(2)(vi), adalah bilangan bulat positif terkecil p1 + p2 sedemikian hingga terdapat sebuah (p1, p2)-walk dari vi ke
Universitas Sumatera Utara

23
setiap titik di D(2), dan himpunan eksponen expD(2)(X) adalah bilangan bulat positif terkecil m1 + m2 sehingga untuk setiap titik vj di D(2) terdapat sebuah (m1, m2)-walk dari paling sedikit satu titik di X ke vj.
Andaikan D(2) adalah digraph dwiwarna primitif orde n. Jika titik-titik di D(2) adalah (v1, v2, ..., vn) sedemikian hingga
expD(2) (v1) ≤ expD(2)(v2) ≤ · · · ≤ expD(2)(vk) maka expD(2) (vk) adalah tipe pertama generalisasi eksponen titik ke-k dari digraph dwiwarna D(2) (Gao dan Shao, 2009).

Untuk mencari eksponen titik digraph dwiwarna primitif D(2), akan dilakukan dengan operasi (g, h)-matriks Hurwitz Product R dan B yang dapat didefinisikan secara rekurensif. Untuk bilangan bulat tak negatif terkecil g dan h, jika k adalah adalah titik di D(2), maka semua entri pada baris ke-k dari matriks tersebut bernilai positif.

Contoh 2.5.2 Berikut ini akan dicari eksponen titik dari masing-masing titik di di-

graph dwiwarna D(2) pada Gambar 2.9, yaitu dengan melihat entri (i, j) dari (R, B)(g,h)

dimana semua entri pada baris ke-i harus bernilai positif. Menggunakan Contoh 2.4.2

telah diperoleh matriks-matriks (R, B)(g,h), perhatikan bahwa 1 1 1

a.

Untuk

g+h=3

pada

(R, B)(2,1) =

R(R, B)(1,1) + BR2

=

 

0

1

1 .



001

Karena semua entri pada baris pertama dari matriks (R, B)(2,1) sudah bernilai 
2 positif, maka expD(2)(v1) = 3 dengan komposisi   yang terdiri dari 2-arc
1

merah dan 1-arc biru.

2 1 1

b.

Untuk

g+g = 4

pada

(R, B)(3,1) = R(R, B)(2,1) + BR3

=

 

1

1

1 .



011

Karena semua entri pada baris kedua dari matriks (R, B)(3,1) sudah bernilai

Universitas Sumatera Utara

24

 3
positif, maka expD(2)(v2) = 4 dengan komposisi   yang terdiri dari 3-arc 1
merah dan 1-arc biru.

3 1 1

c.

Untuk

g+h=5

dari

(R, B)(4,1) = R(R, B)(3,1) + BR4

=

 

2

1

1 .



111

Karena semua entri pada baris ketiga dari matriks (R, B)(4,1) sudah bernilai 
4 positif, maka expD(2)(v3) = 5 dengan komposisi   yang terdiri dari 4-arc
1

merah dan 1-arc biru.

Dengan demikian sudah ditemukan eksponen titik dari digraph dwiwarna D(2) yaitu, expD(2) (v1) = 3, expD(2) (v2) = 4, dan expD(2)(v3) = 5.

2.6 Sistem Persamaan Diophantine

Persamaan diophantine adalah suatu persamaan dalam bentuk

a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b

(1)

dengan solusi dari persamaan tersebut adalah bilangan bulat untuk semua bilangan bulat a1, a2 ,..., an , b. Andaikan bahwa n ≥ 1 dan koefisien-koefisien a1 , a2 ,..., an tak semuanya nol.

Teorema 2.6.1 Persamaan (1) adalah punya solusi bulat jika dan hanya jika gcd(a1, a2, ..., an)|b.

Sistem persamaan diophantine adalah himpunan dari m persamaan diophantine dalam n variabel yang sama dengan m dan n adalah bilangan bulat positif seperti

Universitas Sumatera Utara

25

berikut

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 ...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

(2)

Sistem persamaan diophantine pada persamaan (2) dapat juga diekspresikan sebagai sebuah persamaan matriks Ax = b, dimana



a11 a12 · · · a1n





A

=

 





a21 ...

a22 ...

··· ...

a2n ...



 

,







am1 am2 · · · amn



x1





x

=

 





x2 ...



 

,







xn



b1





b

=

 





b2 ...



 

.







bm

Perhatikan bahwa kolom-kolom dari matriks A adalah koefisien-koefisien dari variabel x1, x2, ..., xn pada persamaan (2). Sistem persamaan diophantine Ax = b adalah punya solusi bilangan bulat jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan submatriks 2 × 2 dari A adalah ±1.

2.7 Formula Eksponen Titik Digraph Dwiwarna dengan Dua Cycle

Di bagian ini akan didiskusikan suatu cara untuk menentukan batas atas dan batas bawah eksponen titik digraph dwiwarna primitif. Suwilo (2011) menawarkan suatu teknik untuk menentukan batas atas dan batas bawah eksponen titik digraph dwiwarna primitif yang memuat dua cycle. Pertama sekali akan diberikan suatu teknik untuk menentukan batas bawah eksponen titik digraph dwiwarna primitif pada Lemma 2.6.1 berikut.

Lemma 2.7.1 Andaikan D(2) adalah digraph dwiwarna primitif yang memuat dua 
cycle dengan matrik cycle M =  r(γ1) b(γ2) . Misalkan vk adalah sembarang titik b(γ1) r(γ2)
Universitas Sumatera Utara

26

dari D(2) dan terdapat sebuah (g, h)-walk dari titik vk ke setiap titik vj di D(2) dengan

 







 g  = M  u , maka  u  ≥ M−1  r(pk,j)  untuk sembarang bilangan bulat

hv

v

b(pk,j )

tak negatif u, v dan untuk suatu path p(k,j) dari vk ke vj.

Bukti. Untuk sembarang j = 1, 2, ..., n, misalkan pk,j adalah path dari titik vk ke titik vj. Karena D(2) memuat dua cycle maka setiap walknya dapat didekomposisi

kedalam path dan cycle pada persamaan (3) berikut

   



 g  = M  x1  +  r(pk,j ) 

h x2 b(pk,j )

(3)

dengan x1, x2 ≥ 0. Karena D(2) primitif, maka M punya invers.  
gu   = M   dan persamaan (3) diperoleh persamaan berikut
hv

Menggunakan

   



M  u  = M  x1  +  r(pk,j ) 

v x2 b(pk,j )

   



M  x1  = M  u  −  r(pk,j ) 

x2 v b(pk,j )

   

 x1  =  u  − M −1  r(pk,j )  ≥ 0

x2 v

b(pk,j )

  
sehingga  u  ≥ M −1  r(pk,j)  dan Lemma (2.7.1) terbukti. v b(pk,j )

Berdasarkan informasi yang ada pada pembuktian Lemma (2.7.1), diperoleh teorema berikut ini.

Teorema 2.7.1 Andaikan D(2) adalah digraph dwiwarna primitif yang terdiri dari cycle γ1 dan γ2. Misalkan vk adalah titik di D(2). Untuk sembarang titik vi dan vj di D(2), definisikan u0 = b(γ2)r(pk,j ) − r(γ2)b(pk,j ) dan v0 = r(γ1)b(pk,j ) − b(γ1)r(pk,j ).
   Maka  g  ≥ M  u0 , sehingga expD(2) (vk) ≥ l(γ1)u0 + l(γ2)v0.
h v0
Universitas Sumatera Utara

27

 g
Bukti. Andaikan bahwa eksponen titik vk dicapai oleh (g, h)-walk dengan   = h
 u
M   dan diperoleh persamaan berikut v

  



 u  ≥ M −1  r(pk,j )  =  b(γ2)r(pk,j ) − r(γ2)b(pk,j) 

v

b(pk,j )

r(γ1)b(pk,j) − b(γ1)r(pk,j )

untuk sembarang path pk,j dari titik vk ke titik vj.

(4)

Jika untuk sembarang titik vj, j = 1, 2, ..., n diperoleh nilai b(γ2)r(pk,j) − r(γ2)b(pk,j) ≥ 0, maka definisikan

u0 = b(γ2)r(pk,j ) − r(γ2)b(pk,j ) ≥ 0

(5)

dan jika untuk sembarang titik vi, i = 1, 2, ..., n diperoleh nilai r(γ1)b(pk,i)−b(γ1)r(pk,i) ≥ 0, maka definisikan

v0 = r(γ1)b(pk,i) − b(γ1)r(pk,i) ≥ 0

(6)

sehingga u ≥ u0 dan v ≥ v0. Oleh Lemma (2.6.1) diperoleh
     g  = M  u  ≥ M  u0 
h v v0

(7)

sehingga expD(2)(vk) = g + h ≥ (r(γ1) + b(γ1))u0 + (r(γ2) + b(γ2))v0 = l(γ1)u0 + l(γ2)v0.

Proposisi 2.7.1 berikut ini diberikan untuk menentukan batas atas eksponen titik digraph dwiwarna primitif dari sebuah titik yang ditentukan, sebut titik tersebut v. Definisikan d(vk, v) sebagai jarak dari titik vk ke titik v, yakni panjang walk terpendek dari vk ke v.

Proposisi 2.7.1 Asumsikan D(2) adalah digraph dwiwarna primitif atas n titik. Misalkan v adalah sebuah titik di D(2) dengan expD(2) (v). Untuk sembarang titik vk, k =
Universitas Sumatera Utara

1, 2, ..., n di D(2), expD(2)(vk) ≤ expD(2)(v) + d(vk, v).

28

Bukti. Untuk setiap k = 1, 2, ..., n misalkan pk,v adalah (r(pk,v), b(pk,v))-path dari vk ke titik v dengan panjang d(vk, v). Karena eksponen titik v adalah expD(2)(v), maka terdapat (g, h)-walk dengan panjang expD(2) (v) = g + h dari v ke setiap titik vj, j = 1, 2, ..., n. Ini menunjukan bahwa setiap titik vk di D(2) terdapat suatu (g + r(pk,v ), h + b(pk,v))-walk dari titik vk ke setiap titik vj. Walk tersebut berawal dari vk menuju v melalui (r(pk,v), b(pk,v))-path dan kemudian menuju vj melalui suatu (g, h)-walk dari v ke vj. Oleh karena itu diperoleh expD(2)(vk) ≤ expD(2)(v) + d(vk, v)

Proposisi 2.7.2 berikut diberikan untuk menentukan batas atas eksponen titik digraph dwiwarna primitif yang memuat dua cycle.

Proposisi 2.7.2 Andaikan D(2) adalah digraph dwiwarna yang terdiri atas cycle γ1 dan γ