8
Soal-soal Selesaikan pertaksamaan :
1. 2x + 6 £ 5x -9
3.
5 1
8x – 3 x + 1 5.
5 9
x 2
6 ³
- ³
2. 2
1 + 5x
5 3
- 6x 4.
5 x
2 3
x 2
5 +
-
6.
6 1
7 x
2 3
5 1
-
1.3.4 Nilai mutlak
Nilai mutlak dari x dinyatakan dengan x dan didefinisikan sebagai :
î í
ì -
³ =
x jika
x x
jika x
x
Teorema-teorema Jika a dan b adalah bilangan ril, maka :
i a
x a
a x
- Û
ii a
x a
x Û
atau x -a iii
a x
a a
x £
£ -
Û £
iv a
x a
x ³
Û ³
atau x £ -a
v a
x a
x =
Û =
atau x = -a vi
b a
ab = . Bukti :
b a
b a
b a
ab ab
2 2
2 2
2
= =
= =
terbukti vii
b ,
b a
b a
¹ =
. Bukti : b
a b
a b
a b
a b
a
2 2
2 2
2
= =
= ú
û ù
ê ë
é =
terbukti viii
b a
b a
+ £
+ ketaksamaan segitiga
Bukti :
2 2
2 2
2 2
b a
b b
a 2
a b
ab 2
a b
a +
= +
+ £
+ +
= +
b a
b a
b a
b a
2 2
+ =
+ =
+ £
+ Telah diketahui bahwa :
b a
b a
2
+ =
+
. Jadi
b a
b a
+ £
+ terbukti
ix b
a b
a +
£ -
Bukti: b
a b
a b
a b
a +
= -
+ £
- +
= -
. Jadi b
a b
a +
£ -
terbukti x
b a
b a
- £
- Bukti :
b b
a b
b a
a +
- £
+ -
= Jika setiap suku dikurangi dengan b , maka
b a
b a
- £
- terbukti
Contoh 1.9 Selesaikan pertaksamaan
4 5
x £
- , gambarkan garis bilangan dan selangnya
Penyelesaian : 4
5 x
£ -
® -4 £ x-5 £ 4 lihat teorema iii
Dengan memperhatikan sifat pertaksamaan xvii halaman 6, maka kita dapatkan dua buah pertaksamaan, yaitu :
4 5
x -
³ -
dan
4 5
x £
-
. Selanjutnya kita selesaikan satu persatu persamaan tersebut.
x - 5 ³ -4
® x
³ 1 x – 5
£ 4 ®
x £ 9
Jadi himpunan penyelesaian pertakasamaan adalah :
{ }
9 x
1 x
£ £
9 [ ]
1 9 selang tertutup
Gambar 1.7
Contoh 1.10 Selesaikan pertaksamaan
3 7
x -
, gambarkan garis bilangan dan selangnya Penyelesaian :
3 7
x -
® -3 x – 7 3
lihat teorema iii Dengan memperhatikan sifat pertaksamaan xvii halaman 6, maka kita
dapatkan dua buah pertaksamaan, yaitu :
3 7
x -
-
dan
3 7
x -
. Selanjutnya kita selesaikan satu persatu persamaan tersebut.
3 7
x -
-
® 4
x
3 7
x -
®
10 x
Jadi himpunan penyelesaian pertakasamaan adalah :
{ }
10 x
atau 4
x x
4 10 selang terbuka
Gambar 1.8
Soal-soal Selesaikan pertaksamaan :
1. 2
8 x
+ 3.
12 x
6 5
+ 5.
6 3
5 x
4 -
2. 7
x 2
6 ³
- 4.
5 2
x 3
£ +
6.
3 4
x 6
7 £
+
1.3.5 Pertaksamaan linier dua peubah
Bentuk umum pertaksamaan linier dua peubah adalah : ax + by + c ? 0 ; konstanta-konstanta a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril dan a
¹
. Tanda ? adalah salah satu dari tanda , , £ atau ³ . Untuk membantu mahasiswa
dalam menggambarkan grafik pertaksamaan linier dua peubah, berikut diberikan prosedurnya.
1. Ganti tanda pertaksamaan dengan tanda sama dengan dan selanjutnya
gambarkan grafik persamaan linier yang dimaksud. Setelah digambar kita akan melihat bahwa grafik persamaan linier adalah garis yang membagi
bidang menjadi dua bagian. 2. Jika pada pertaksamaan menggunakan tanda £ atau ³ berarti garis tersebut
termasuk pada grafik yang akan digambarkan. Selanjutnya garis tersebut digambarkan secara penuh. Jika pertaksamaan menggunakan tanda atau
berarti garis tersebut tidak termasuk pada grafik yang akan digambarkan. Selanjutnya garis tersebut digambarkan putus-putus.
3. Pilih salah satu titik koordinat pada masing-masing bidang dan kemudian substitusikan pada pertaksamaan. Jika substitusi tersebut menghasilkan
pernyataan yang benar berarti bidang tempat kedudukan titik tersebut adalah bidang yang dimaksud. Sebaliknya jika substitusi menghasilkan
pernyataan yang salah maka bidang tempat kedudukan titik tersebut bukan
10 bidang yang dimaksud. Untuk keseragaman bidang yang memenuhi
pertaksamaan diarsir. Akan menjadi lebih sederhana jika kita memilih titik koordinat 0,0 asalkan titik koordinat tersebut tidak dilalui oleh garis.
Contoh 1.11 Gambarkan grafik pertaksamaan 3x – 2y
³ 8 Penyelesaian :
Langkah 1. Ganti tanda pertaksamaan menjadi tanda sama dengan
® 3x - 2y = 8 Langkah 2.
Gambarkan grafiknya.
y
x
Gambar 1.9 3. Memilih titik koordinat.
Pilih satu titik koordinat yaitu 0,0 dan substitusikan ke pertaksamaan. Ternyata substitusi ini menghasilkan pernyataan yang salah. Berarti bidang
tempat kedudukan titik koordinat tersebut bukan bidang yang dicari. Sehingga bidang disebelahnya merupakan bidang yang dicari. Selanjutnya
bidang tersebut diarsir.
y
x
Gambar 1.10
Contoh 1.12 Gambarkan grafik pertaksamaan 5x + 3y 6
Penyelesaian : Langkah 1.
Ganti tanda pertaksamaan menjadi tanda sama dengan
®
5x + 3y = 6 Langkah 2.
Gambarkan grafiknya.
11 y
x Gambar 1.11
Langkah 3 Memilih titik koordinat.
Pilih satu titik koordinat yaitu 0,0 dan substitusikan ke pertaksamaan. Ternyata substitusi ini menghasilkan pernyataan yang benar. Berarti bidang
tempat kedudukan titik koordinat tersebut merupakan bidang yang dicari. Sehingga bidang disebelahnya bukan bidang yang dicari. Selanjutnya arsir yang
dicari tersebut.
y
x
Gambar 1.12 Soal-soal
Gambarkan grafik dari pertaksamaan-pertaksamaan berikut 1. x + y 3
2. y + 2x 4 3. 4x – 5 y £ 6
4. 5y + 3x ³ 1
Sistem pertaksamaan linier
Dalam penerapannya sering terdapat lebih dari satu pertaksamaan yang harus diselesaikan secara serentak. Pertaksamaan-pertaksamaan tersebut dinamakan
“sistem pertaksamaan linier”. Dalam pembahasan sistem per- taksamaan linier kita hanya akan membahas sistem pertaksamaan linier yang mempunyai tidak
lebih dari peubah. Langkah-langkah penyelesaian sistem pertaksamaan linier.
1. Ganti semua tanda pertaksamaan menjadi tanda sama dengan. 2. Gambarkan grafiknya.
3. Periksa salah satu titik koordinat pada bidang. Jika menghasilkan pernyataan
yang benar, berarti bidang tersebut adalah bidang yang dicari.
Contoh 1.13 Gambarkan grafik sistem pertaksamaan 2y + 3x 5 dan x – y
3 -
³
Penyelesaian : Langkah 1.
2y + 3x = 5 x - y = -3
12 Langkah 2.
y
x Gambar 1.13
Langkah 3. Periksa koordinat 0,0. Setelah dilakukan substitusi harga x=0 dan y=0
kedalam sistem pertaksamaan ternyata menghasilkan pernyataan yang benar. Berarti bidang tempat kedudukan titik tersebut adalah bidang yang dicari.
Selanjutnya bidang tersebut diarsir.
y
x Gambar 1.14
Contoh 1.14 penerapan sistem pertaksamaan linier Sebuah pabrik kendaraan bermotor akan memproduksi dua jenis kendaraan
yaitu jenis diesel dan bensin. Biaya pembuatan jenis kendaraan diesel adalah Rp. 100 jutakendaraan, sedangkan untuk jenis kendaraan bensin adalah Rp.
80 juta kendaraan. Jika pabrik tersebut mempunyai kemampuan produksi 120 kendaraan setiap bulan dan dan untuk pembuatan kedua jenis kendaraan
tersebut tidak lebih dari Rp 10 milyar bulan, tentukan bentuk pertaksamaan dari persoalan diatas dan gambarkan grafiknya.
Penyelesaian:
Diesel juta rupiah
Bensin juta rupiah
Nilai batas juta rupiah
Biaya Rp. 100.000.000,00
Rp. 80.000.000,00 Rp.10 milyar Jumlah
x y
120 100 juta . x + 80 juta . y £ 10.000 juta atau :100 x + 80 y £ 10.000
x + y £ 120 x ³ 0 ; y ³ 0
13 y
120 x 0 100
Gambar 1.15 Soal-soal
Gambarkan grafik dari pertaksamaan linier berikut :
1.
î í
ì -
£ +
6 y
2 x
9 y
3 x
2.
î í
ì -
³ +
3 y
x 4
y 2
x
3. ï
î ï
í ì
³ ³
- £
+ x
4 y
2 x
4 y
x 3
4. ï
î ï
í ì
³ ³
£ +
£ +
y dan
x 6
y x
8 y
x 2
5. Sebuah industri komputer akan memproduksi sekurang-kurangnya 1000 buah komputer yang terdiri dari dua jenis yaitu jenis PC dan Laptop.
Diperkirakan biaya untuk memproduksi sebuah PC adalah Rp. 4.000.000,00 sedangkan untuk memproduksi Laptop adalah Rp. 6.000.000,00. Jika dana
yang tersedia untuk memproduksi kedua jenis komputer tersebut adalah Rp. 10 milyar rupiah tentukan sistem pertaksamaan linier dari persoalan diatas
dan gambarkan grafiknya .
1.3.7 Pertaksamaan kuadrat
