Metode Uji Titik Sudut
18
Mmt Aplikasi SMA 3 Bhs
b. Metode Garis Selidik ax + by = k
Menentukan nilai optimum suatu fungsi objektif dengan menggunakan uji titik sudut memerlukan perhitungan dan
waktu yang cukup lama. Untuk itu, sering digunakan metode yang lebih sederhana, yaitu metode garis selidik yang
berbentuk ax + by = k.
Misalkan terdapat suatu fungsi objektif z = ax + by, dengan a dan b bilangan real. Dengan mengambil beberapa
nilai k
i
untuk z, yaitu k
1
, k
2
, ..., k
n
, diperoleh n garis selidik yang memiliki persamaan sebagai berikut.
k
1
= ax + by k
2
= ax + by ...
k
n
= ax + by Garis-garis tersebut mempunyai gradien yang sama, yaitu
m = –
a b
. Dengan demikian, garis-garis tersebut merupakan garis-garis yang sejajar. Apabila digambarkan, sebagian dari
garis-garis tersebut terletak pada daerah penyelesaian pertidaksamaan linear daerah feasibel dan salah satu di
antaranya melalui titik optimum. Garis yang melalui titik optimum inilah yang menghasilkan nilai optimum bagi
fungsi objektif z = ax + by. Garis selidik yang berada paling kanan atau paling atas pada daerah penyelesaian
menunjukkan nilai maksimum, sedangkan garis selidik yang berada paling kiri atau paling bawah pada daerah
penyelesaian menunjukkan nilai minimum.
Contoh:
{
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas
Pada gambar di atas, daerah yang diwarnai
gelap memenuhi sis- tem pertidaksamaan
a. y 0, x 0,
3y 4x + 12,
x – 2y –4
b. x 0, 3y 4x + 12,
x – 2y –4
c. x 0, 2y – x 4,
3y 4x + 12
d. x 0, y 9,
3y 4x + 12,
2y – x 4
e. y 0, x 0,
2y – x 4,
3y 4x + 12
Soal SPMB, Kemam- puan Dasar, 2004
-3 -4
O 2
4
X Y
Eksplorasi
Tugas
Kerjakan di buku tugas
Buktikan bahwa n garis selidik dengan persamaan k
1
= ax + by k
2
= ax + by ....
k
n
= ax + by mempunyai gradien m = – a
b .
1. Tentukan nilai optimum bentuk objektif model matematika berikut.
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel: 2x + y 30
2x + 3y 50 x
, y 0, dengan x, y
D
C Fungsi objektif: memaksimumkan z = x + y
19
Program Linear
Gambar 1.10
Y
X O
20, 0 A
24, 0 C
0, 30
B 12, 12
0, 24
x + y = 24
3x + 2y = 60
Penyelesaian:
Terlebih dahulu kita buat garis x + y = k, dengan k
= 0, yaitu x + y = 0. Kemudian, kita buat garis-garis yang sejajar dengan garis x + y = 0,
yaitu dengan mengambil nilai k yang berbeda- beda, seperti pada gambar di samping.
Dari Gambar 1.9, tampak bahwa apabila nilai k makin besar, letak garis-garis x + y =
k
makin jauh dari titik O0, 0. Karena nilai k bersesuaian dengan nilai z, nilai z terbesar dan
2. Seperti soal nomor 2 halaman 16, tetapi
selesaikan dengan menggunakan metode garis selidik.
Penyelesaian:
Dari soal yang dimaksud, diperoleh model matematika
x + y 24 3x + 2y 60
x 0, y 0 Fungsi objektif:
meminimumkan z = 50.000x + 40.000y Dari informasi soal tersebut, diperoleh
himpunan penyelesaian yang dapat dilihat pada gambar di samping.
Terlebih dahulu dibuat garis 50.000x + 40.000y = k, dengan k berbeda-beda, seperti pada Gambar 1.10. Dari gambar itu, tampak bahwa makin kecil nilai k, makin
dekat ke titik O 0, 0. Karena nilai k bersesuaian dengan nilai z, maka nilai z terkecil minimum bersesuaian dengan garis terdekat dengan titik O 0, 0. Garis
terdekat yang dimaksud melalui titik A 12, 12. Jadi, nilai z minimum adalah z = 50.00012 + 40.00012 = 1.080.000.
Jadi, banyak kendaraan yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan minimum adalah 12 truk dan 12 pikap. Biaya minimumnya adalah Rp1.080.000,00.
Tampak bahwa dengan kedua cara, akan memberikan hasil yang sama.
Problem Solving
O Y
X C
0, 16 3
2 B
10, 10 0, 30
25, 0 A15, 0
2x + y = 30 2x + 3y = 50
Gambar 1.9
nilai z terkecil bersesuaian dengan garis terjauh dan garis terdekat dari titik O
0, 0. Nilai z maksimum diperoleh dari garis x + y = k yang melalui titik 10, 10, yaitu 10 + 10 = 20 dan nilai z minimum diperoleh dari garis x + y = k yang melalui
titik O0, 0, yaitu 0 + 0 = 0.
Suatu pabrik farmasi memproduksi dua jenis kapsul, yaitu jenis I dan jenis II. Setiap kapsul jenis I mengandung 6 mg vitamin A, 8 mg vitamin C, dan 1 mg vitamin E.
Setiap kapsul jenis II mengandung 8 mg vitamin A, 3 mg vitamin C, dan 4 mg vitamin E. Setiap hari, seorang pasien memerlukan tambahan vitamin selain berasal dari makanan
{