y 0, 16 Menyelesaikan Model Matematika dan Menafsirkannya
19
Program Linear
Gambar 1.10
Y
X O
20, 0 A
24, 0 C
0, 30
B 12, 12
0, 24
x + y = 24
3x + 2y = 60
Penyelesaian:
Terlebih dahulu kita buat garis x + y = k, dengan k
= 0, yaitu x + y = 0. Kemudian, kita buat garis-garis yang sejajar dengan garis x + y = 0,
yaitu dengan mengambil nilai k yang berbeda- beda, seperti pada gambar di samping.
Dari Gambar 1.9, tampak bahwa apabila nilai k makin besar, letak garis-garis x + y =
k
makin jauh dari titik O0, 0. Karena nilai k bersesuaian dengan nilai z, nilai z terbesar dan
2. Seperti soal nomor 2 halaman 16, tetapi
selesaikan dengan menggunakan metode garis selidik.
Penyelesaian:
Dari soal yang dimaksud, diperoleh model matematika
x + y 24 3x + 2y 60
x 0, y 0 Fungsi objektif:
meminimumkan z = 50.000x + 40.000y Dari informasi soal tersebut, diperoleh
himpunan penyelesaian yang dapat dilihat pada gambar di samping.
Terlebih dahulu dibuat garis 50.000x + 40.000y = k, dengan k berbeda-beda, seperti pada Gambar 1.10. Dari gambar itu, tampak bahwa makin kecil nilai k, makin
dekat ke titik O 0, 0. Karena nilai k bersesuaian dengan nilai z, maka nilai z terkecil minimum bersesuaian dengan garis terdekat dengan titik O 0, 0. Garis
terdekat yang dimaksud melalui titik A 12, 12. Jadi, nilai z minimum adalah z = 50.00012 + 40.00012 = 1.080.000.
Jadi, banyak kendaraan yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan minimum adalah 12 truk dan 12 pikap. Biaya minimumnya adalah Rp1.080.000,00.
Tampak bahwa dengan kedua cara, akan memberikan hasil yang sama.
Problem Solving
O Y
X C
0, 16 3
2 B
10, 10 0, 30
25, 0 A15, 0
2x + y = 30 2x + 3y = 50
Gambar 1.9
nilai z terkecil bersesuaian dengan garis terjauh dan garis terdekat dari titik O
0, 0. Nilai z maksimum diperoleh dari garis x + y = k yang melalui titik 10, 10, yaitu 10 + 10 = 20 dan nilai z minimum diperoleh dari garis x + y = k yang melalui
titik O0, 0, yaitu 0 + 0 = 0.
Suatu pabrik farmasi memproduksi dua jenis kapsul, yaitu jenis I dan jenis II. Setiap kapsul jenis I mengandung 6 mg vitamin A, 8 mg vitamin C, dan 1 mg vitamin E.
Setiap kapsul jenis II mengandung 8 mg vitamin A, 3 mg vitamin C, dan 4 mg vitamin E. Setiap hari, seorang pasien memerlukan tambahan vitamin selain berasal dari makanan
{
20
Mmt Aplikasi SMA 3 Bhs
Y
X
O x
+ 4y = 12 6x + 8y = 40
0, 5
12, 0 0, 3
3, 0 6 , 0
0, 8
2 3
1.000x + 1.500y = 12.000
D C
B A
8x + 3y =24
dan minuman sebanyak 40 mg vitamin A, 24 mg vitamin C, dan 12 mg vitamin E. Harga satu kapsul jenis I adalah Rp1.000,00 dan kapsul jenis II adalah Rp1.500,00.
Berapa banyak uang minimal yang harus disediakan pasien tersebut untuk memenuhi kebutuhan vitaminnya setiap hari.
Penyelesaian:
Misalkan banyaknya kapsul jenis I adalah x dan kapsul jenis II adalah y. Berdasarkan banyaknya kandungan vitamin yang diketahui, dapat dibuat tabel sebagai berikut.
Tabel 1.17 Kapsul Jenis I
Kapsul Jenis II Kebutuhan Minimum
mg mg
mg
Vitamin A 6x
8y 40
Vitamin C 8x
3y 24
Vitamin E x
4y 12
Model matematikanya adalah sebagai berikut. Sistem pertidaksamaan linear:
6x + 8y 40
8x + 3y 24
x + 4y
12 x
0, y 0 dengan x, y
D C
Fungsi objektif: memi- nimumkan
z = 1.000x + 1.500y
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear di
atas digam-barkan sebagai daerah yang tidak diarsir,
seperti pada gambar di samping.
Gambar 1.11
Titik B adalah perpotongan garis 8x + 3y = 24 dan 6x + 8y = 40. Koordinat titik B dapat ditentukan dengan metode eliminasi sebagai berikut.
8x + 3y = 24
×
8
A
64x + 24y = 192 6x + 8y = 40
×
3
A
18x + 24y = 120 46x
= 72
x = 1
13 23
8x + 3y = 24
×
3
A
24x + 9y = 72
6x + 8y = 40
×
4
A
24x + 32y = 160 –23y = –88
y =
3
19 23
{
Vitamin
–
–
21
Program Linear
Berarti, koordinat titik B adalah B
1 3
13 23
19 23
,
. Titik C adalah perpotongan garis 6x + 8y = 40 dan x + 4y = 12. Koordinat titik C
dapat ditentukan dengan metode eliminasi sebagai berikut. 6x + 8y = 40
×
1
A
6x + 8y = 40 x
+ 4y = 12
×
2
A
2x + 8y = 24 –––––––––– –
4x = 16
x = 4 6x + 8y = 40
×
1
A
6x + 8y = 40 x
+ 4y = 12
×
6
A
6x + 24y = 72 –––––––––––– –
–16y = –32
y = 2 Berarti, koordinat titik C adalah C4, 2.
Dari Gambar 1.11, nilai minimum dari fungsi objektif z = 1.000x + 1.500y dicapai pada titik C4, 2 sehingga nilai minimum dari z = 1.000x + 1.500y =
1.0004 + 1.5002 = 4.000 + 3.000 = 7.000.
Jadi, banyaknya uang minimum yang harus disediakan oleh pasien tersebut adalah Rp7.000,00 setiap hari dengan mengonsumsi 4 kapsul jenis I dan 2 kapsul jenis II.
Soal Terbuka
Kerjakan di buku tugas
Tentukan nilai maksimum fungsi sasaran z = 500x + 400y yang memenuhi sistem pertidaksamaan berikut.
2x + 3y 2.500
x + 7y
4.000 x
0, y 0
Jika koordinat titik optimum tidak bulat, sedangkan titik optimum yang diminta berupa bilangan bulat, perlu diselidiki titik-titik bulat
di sekitar titik optimum yang termasuk dalam daerah penyelesaian. Dalam setiap pengerjaan masalah optimasi, mengapa selalu
digunakan titik-titik sudut untuk menentukan nilai optimasi- nya maksimum atau minimumnya? Jelaskan menurut penda-
pat kalian.
Mengomunikasikan Gagasan
Diskusi