Perkalian Matriks Ordo m
55
Matriks
Penyelesaian:
a. A
×
B = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
6 5
2 1
3 2
2 1
4 3
1
B
×
C = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
5 7
3 4
1 1
1 2
3 2
2 1
A
×
C = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
1 2
1 2
1 1
1 2
4 3
1
b. A
×
B
×
C = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
11 16
3 4
5 7
3 4
4 3
1
A
×
B
×
C = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
11 16
3 4
1 1
1 2
6 5
2 1
Ternyata A
×
B
×
C = A
×
B
×
C. Berarti, perkalian matriks bersifat asosiatif. c.
A
×
B + C = µ
³
´´
¦ ¥
²² ¤
£ +
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
1 1
1 2
3 2
2 1
4 3
1
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
5 7
1 1
2 1
1 1
4 3
1
A
×
B + A
×
C = 1
2 5
6 2
1 2
1 £
¤ ²
¥ ¦
´ + £
¤ ²
¥ ¦
´
= £
¤ ²
¥ ¦
´ 1
1 7
5 Ternyata A
×
B + C = A
×
B + A
×
C berarti perkalian matriks bersifat distributif kanan. Dengan menggunakan contoh di atas, dapat ditunjukkan bahwa perkalian
matriks juga bersifat distributif kiri, yaitu A + B
×
C = A
×
C + B
×
C. 2.
Diketahui A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 4
7 5
4 dan O =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
. Tentukan OA dan AO.
OA =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 4
7 5
4
AO =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 4
7 5
4 Dengan demikian, OA = AO = O.
56
Mmt Aplikasi SMA 3 Bhs
3. Diketahui A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 2
1 3
dan B = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 3
1 2
4 .
Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini. a.
3AB b.
3AB c.
A 3B
Penyelesaian:
a. 3AB =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
µ
³
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
3 1
2 4
2 1
3 3
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
12 24
9 33
3 1
2 4
6 3
9
b. 3AB = 3
3 1
2 4
2 1
3 £
¤ ²
¥ ¦
´ £
¤ ²
¥ ¦
´
³
µ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 12
24 9
33 4
8 3
11 3
c. A3B =
µ
³
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
3 1
2 4
3 2
1 3
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
12 24
9 33
9 3
6 12
2 1
3 Dari hasil perkalian tersebut, tampak bahwa 3AB = 3AB = A3B. Apakah 3AB =
AB3? Apakah hal ini termasuk sifat asosiatif? Kemukakan alasanmu.
Berdasarkan contoh-contoh di atas dan pembahasan sebelumnya, untuk setiap matriks A, B, dan C yang dapat
dikalikan atau dijumlahkan, dengan k adalah suatu skalar anggota himpunan bilangan real, pada perkalian matriks berlaku sifat-
sifat berikut:
a. Tidak komutatif, yaitu A
×
B B
×
A b.
Asosiatif, yaitu A
×
B
×
C = A
×
B
×
C c.
Distributif kanan, yaitu A
×
B + C = A
×
B + A
×
C d.
Distributif kiri, A + B
×
C = A
×
C + B
×
C e.
Perkalian dengan skalar k, yaitu kA
×
B = kA
×
B. f.
Jika perkalian hanya memuat matriks-matriks persegi, terdapat unsur identitas, yaitu I sehingga AI = IA = A
g. Perkalian dengan matriks O, yaitu AO = OA = O.