Pengertian Dikalikan dari Kiri dan Dikalikan dari
56
Mmt Aplikasi SMA 3 Bhs
3. Diketahui A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 2
1 3
dan B = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 3
1 2
4 .
Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini. a.
3AB b.
3AB c.
A 3B
Penyelesaian:
a. 3AB =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
µ
³
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
3 1
2 4
2 1
3 3
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
12 24
9 33
3 1
2 4
6 3
9
b. 3AB = 3
3 1
2 4
2 1
3 £
¤ ²
¥ ¦
´ £
¤ ²
¥ ¦
´
³
µ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 12
24 9
33 4
8 3
11 3
c. A3B =
µ
³
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
3 1
2 4
3 2
1 3
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
12 24
9 33
9 3
6 12
2 1
3 Dari hasil perkalian tersebut, tampak bahwa 3AB = 3AB = A3B. Apakah 3AB =
AB3? Apakah hal ini termasuk sifat asosiatif? Kemukakan alasanmu.
Berdasarkan contoh-contoh di atas dan pembahasan sebelumnya, untuk setiap matriks A, B, dan C yang dapat
dikalikan atau dijumlahkan, dengan k adalah suatu skalar anggota himpunan bilangan real, pada perkalian matriks berlaku sifat-
sifat berikut:
a. Tidak komutatif, yaitu A
×
B B
×
A b.
Asosiatif, yaitu A
×
B
×
C = A
×
B
×
C c.
Distributif kanan, yaitu A
×
B + C = A
×
B + A
×
C d.
Distributif kiri, A + B
×
C = A
×
C + B
×
C e.
Perkalian dengan skalar k, yaitu kA
×
B = kA
×
B. f.
Jika perkalian hanya memuat matriks-matriks persegi, terdapat unsur identitas, yaitu I sehingga AI = IA = A
g. Perkalian dengan matriks O, yaitu AO = OA = O.
57
Matriks
Uji Kompetensi 5
Kerjakan di buku tugas
Investigasi
Tugas
Kerjakan di buku tugas
Misalkan A, B, C, dan D matriks. Apakah berlaku sifat-sifat berikut?
a. Jika AB = AC dan A bukan matriks C.
b. Jika AD matriks nol maka A atau D matriks nol.
Jika ”ya”, buktikan. Jika ’tidak”, carilah contoh matriks A, B, C
, dan D sehingga a.
AB = BC dan A bukan matriks tetapi B
C. b.
AD matriks nol tetapi A dan D bukan matriks nol.
1. Diketahui A =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
2 1
3 , B =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
1 1
1 2
, dan C = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 1
2 2
1 1
. Tentukan hasil perkalian berikut.
a. A
×
B d.
C
t
×
A b.
B
×
C e.
C
t
×
B c.
A
×
C f.
C
t
×
A
t
2. Diketahui P =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
3 1
1 2
, Q = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 3
1 2
, dan R = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 1
1 3
2 .
Tentukan hasil perkalian berikut. a.
P
×
Q
×
R d.
Q
t
×
R b.
Q
×
R
×
P e.
P
×
Q
t
c. P + Q
×
R f.
P
×
Q
t
×
R
t
3. Tentukan nilai a dan b yang memenuhi persamaan berikut.
a.
2 1
1 5
a b
£ ¤
² ¥
¦ ´
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
4 6
d.
a b
£ ¤
² ¥
¦ ´
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
1 3
2 1
2 2
4 3
1
b.
a b
1 2
8 £
¤ ²
¥ ¦
´ £
¤ ²
¥ ¦
´ = £
¤ ²
¥ ¦
´ 5
19
e.
a b
2 3
1 4
2 3
24 14
23 13
£ ¤
² ¥
¦ ´
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
c.
3 1
2 4
2 6
a b
£ ¤
² ¥
¦ ´
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
4. Tentukan matriks persegi X ordo 2 yang memenuhi persamaan berikut.
a.
1 2
2 1
4 2
3 1
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
X
b.
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
3 4
1 2
2 2
X