44
Mmt Aplikasi SMA 3 Bhs
2. Sifat-Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Untuk mendapatkan sifat-sifat penjumlahan matriks, lakukan kegiatan berikut.
Kegiatan
Kerjakan di buku tugas
Tujuan: Menyelidiki sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan dan
pengurangan matriks.
Permasalahan: Sifat apakah yang berlaku pada operasi penjumlahan dan
pengurangan matriks?
Langkah-Langkah:
Kerjakan persoalan-persoalan berikut. 1.
Diketahui matriks A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 4
3 2
1 , B =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
7 6
5 4
, dan
C =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
2 5
1 3
. Selidiki hasil penjumlahan berikut ini, kemudian simpulkan.
a. A
+ B b.
B + A
c. A + B + C
d. A
+ B + C 2.
Diketahui O = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ dan P =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
5 2
2 3
. Apakah O + P = P + O?
3. Diketahui A =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
1 4
7 5
dan –A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 1
4 7
5 .
Tentukan a.
A + –A;
b. –A + A;
c. Apakah A + –A = – A + A?
Kesimpulan: Dari soal 1, 2, dan 3 kalian akan memperoleh sifat-sifat
penjumlahan dan pengurangan matriks.
Jika melakukan kegiatan di atas dengan benar, kalian akan memperoleh sifat-sifat berikut.
45
Matriks
Jika A, B, dan C adalah matriks-matriks yang berordo sama, pada penjumlahan matriks berlaku sifat-sifat berikut:
a. komutatif sehingga A + B = B + A;
b. asosiatif sehingga A + B + C = A + B + C;
c. unsur identitasnya O sehingga A + O = O + A = A;
d. invers penjumlahan A adalah –A sehingga
A + –A = –A + A = O.
Eksplorasi
Tugas
Kerjakan di buku tugas
Sifat-sifat di atas dapat kalian buktikan dengan mudah. Coba kalian buktikan sifat-sifat di atas dengan mengambil
matriks A = a
ij
, B = b
ij
, C = c
ij
, dan O = o
ij
, untuk o
ij
= 0. Ingat matriks
A =
a a
a a
a a
a a
a
n n
m m
mn 11
12 1
21 22
2 1
2
L L
M M
L M
£
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´
´ dapat ditulis A = a
ij
; i
= 1, 2, ..., m j
= 1, 2, ..., n Apakah pada pengurangan matriks berlaku sifat komutatif dan
sifat asosiatif? Adakah unsur identitasnya? Coba kalian selidiki dengan mengambil beberapa matriks yang dapat dijumlahkan atau
dikurangkan. Kemukakan hasilnya.
Uji Kompetensi 3
Kerjakan di buku tugas
1. Diketahui A =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
2 3
1 2
, B = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 2
2 4
5 , dan C =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
6 2
2 3
. Tentukan hasil operasi berikut.
a. A
+ B d.
A – B + B – C b.
A + C – B
e. C
– B – A c.
A – B + C
f. – B – C – A + B
2. Diketahui P =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
1 4
3 2
, Q = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 1
3 4
4 , dan R =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
3 6
5 2
. Tentukan hasil operasi berikut.
a. P
+ Q
t
d. R – P – Q
t
b. R
t
– P + Q e.
P + R – Q + Q
t
c. P
t
+ Q
t
– R f.
P – P
t
+ R – R
t
3. Diketahui
U =
£ ¤
² ¥
¦ ´
4 2
3 1
7 5
dan V
= £
¤ ²
¥ ¦
´ 1
2 5
6 8
4 .
46
Mmt Aplikasi SMA 3 Bhs
Tentukan hasil operasi berikut. a. U + V
t
c. U – V
t
b. U
t
+ V
t
d. U
t
– V
t
4. Tentukan matriks A yang memenuhi persamaan berikut.
a. ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 6
1 2
3 + A =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
2 2
1 4
c.
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
1 2
1 4
3 6
– A =
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
1 2
5 1
2
b. A + ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
2 2
1 4
2 5
4 2
1 3
5 d.
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
1 3
5 4
1 3
2 2
1 2
2 1
3 1
2 1
4 2
= A 5.
Tentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi persamaan berikut. a.
£ ¤
² ¥
¦ ´ +
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
1 3
4 2
3 5
2 y
x z
z y
b.
3 x
z y
z x
x z
£ ¤
² ¥
¦ ´ +
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
1 1
3 1
6. Tentukan nilai a, b, dan c yang memenuhi persamaan berikut.
a. 6
3 6
1 7
7 1 1
5 2
b c
a a
c a
c b
£ ¤
² ¥
¦ ´
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
b. 3
4 2
3 2
7 6
2 5
1 £
¤ ²
² ¥
¦ ´
´ £
¤ ²
² ¥
¦ ´
´ =
£ ¤
² ²
¥ ¦
´ ´
b a
c a
c c
b a
3. Perkalian Suatu Skalar dengan Matriks
Kita telah mengetahui bahwa penjumlahan bilangan real skalar secara berulang dapat dinyatakan sebagai suatu perkalian.
Misalnya, a + a = 2a, a + a + a = 3a, dan seterusnya. Hal tersebut
Info Math: Informasi Lebih Lanjut
Arthur Cayley
Arthur Cayley 1821–1895, pencetus perhitungan matriks, ini mengembangkan matriks pada tahun 1857. Seperti yang telah
diketahui banyak orang, dalam matriks banyak sekali istilah- istilah yang mewakili suatu operasi tertentu, di antaranya adalah
penjumlahan, pengurangan, perkalian, determinan, invers, dan transpose. Matriks sangat diminati karena penyajian data atau
informasi numerikal dengan cara ini sangat efisien. Dalam matematika sendiri, matriks menjadi suatu alat yang sangat
fleksibel, dinamis, dan hampir semua bidang kajian matematis dapat menerapkan matriks.
Sumber: www.myscienceblog.com
Arthur Cayley 1821–1895
Sumber: www.myscienceblog.com
Kategori