Contoh Kasus pada Model 3.1 Contoh Kasus pada Model 3.2 1 Misalkan

0, , sup , n r n n R r n + ∈Ζ ≥ ∈ Ζ = ∞ ∞ ≤ Ζ ∈ Ζ ∈ n K n K K n n sup , inf , k k k m cx m x I = dengan Maka untuk memenuhi pertidaksamaan dan suatu solusi dari 4.4 yang sesuai untuk memenuhi pertidaksamaan . c h R c h 1 ln + ≤ n x x 1 1 1 1 1 1 1 exp exp r n j h j n n i j e r i h r n h x n x K n j − − − − = = = ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ ≤ − + − − ⎜ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ l l 4.7 Bukti: Lihat di lampiran 3 Teorema 2. Misalkan semua asumsi dari Teorema 1 terpenuhi dan misalkan terdapat suatu bilangan sehingga L 1 1 lim , m m j r n j L m m + →∞ = ⎧ ⎫ − = ∈ Ζ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ∑ , seragam pada . n ∈ Ζ 4.8 Maka solusi dari sistem 4.4 menuju ke n x x n ∗ ketika , dimana ∞ → n x n ∗ diberikan sebagai berikut 1 1 1 1 1 exp r n j h j j e x n r n h K n j − − − − ∞ ∗ = = ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ − = − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ − ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∑ ∑ l l − sehingga ketika x n x n ∗ − → ∞ → n . Bukti: Lihat di lampiran 3 4.4 Contoh Kasus

4.4.1 Contoh Kasus pada Model 3.1

Untuk 0, , , . x x K x K x K = = 1 Misalkan dan 0.1, r x = = 1000 K = 0.1 0 1 1000 dx dt ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = 2 Misalkan dan 0.1, 1000 r x = = 1000 K = 1000 0.1 1000 1 1000 dx dt ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = Artinya bahwa, jika populasi awalnya 0, maka populasi akan tetap konstan laju perubahan populasi sama dengan nol. Begitu pula jika populasi awalnya x K = , maka populasi akan tetap konstan. 3 Untuk kasus x K misalkan , 500 x = 0.1, 1000 r K = = 500 0.1 500 1 1000 25 1 500 25 525 dx dt x ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = = + = Dengan menggunakan program Scilab: -- function xdot=ft,x -- xdot=rx1-xK; -- endfunction -- t=0:110; -- r=0.1; -- K=1000; -- x=ode 500,0.0,t,f; -- xbasc;plot2dt,x Diperoleh grafik sebagai berikut: Grafik 2 Dinamika populasi x t terhadap dengan t 500 x = . Berdasarkan grafik diatas dapat kita lihat bahwa ketika x K , jumlah populasi x t akan terus meningkat menuju daya dukung lingkungannya. Tetapi, nilai x t tidak akan melebihi daya dukung lingkungannya. 4 Untuk kasus populasi awal lebih besar dari daya dukung lingkungan x K , misalkan 1100 x = 1100 0.1 1100 1 1000 11 1 1100 11 1089. dx dt x ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = − = − = Dari contoh 4 ini dapat kita lihat bahwa jika x K , maka laju perubahannya menjadi negatif sehingga semakin lama populasi akan 19 menurun dan akan menuju daya dukung lingkungannya. Hal ini dapat kita lihat pada grafik berikut: Dengan menggunakan program scilab: -- function xdot=ft,x -- xdot=rx1-xK; -- endfunction -- t=0:50; -- r=0.1; -- K=1000; -- x=ode 1100,0.0,t,f; -- xbasc;plot2dt,x Diperoleh grafik sebagai berikut: Grafik 3 Dinamika populasi x t terhadap t dengan . 1100 x =

4.4.2 Contoh Kasus pada Model 3.2 1 Misalkan

0.2 , 10 5000, 0. r t t K t t x = = + = 0.2 1 10 5000 0.2 0 0 1 5000 x t dx t x t dt t ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = Ini artinya bahwa jika populasi awalnya 0, maka populasi akan tetap konstan laju perubahan populasi sama dengan nol. Jika populasi awalnya , maka populasi akan tetap konstan. x K = 2 Misalkan 0.2 , 10 5000, 5000. r t t K t t x = = + = Tabel 1 Nilai x t dengan untuk 5000 x = t = sampai dengan 10 t = t r t K t dx dt x t 0 0 5000 5000 1 0.2 5010 1.99 5001.99 2 0.4 5020 7.1828 5009.1728 3 0.6 5030 12.4428 5021.6156 4 0.8 5040 14.6631 5036.2787 5 1 5050 13.6987 5049.9774 6 1.2 5060 11.9987 5061.9761 7 1.4 5070 11.1971 5073.1732 8 1.6 5080 10.8769 5084.0501 9 1.8 5090 10.707 5094.7571 10 2 5100 10.4952 5105.2523 3 Misalkan 0.2 , 10 5000, 10000. r t t K t t x = = + = Tabel 2 Nilai x t dengan untuk 10000 x = t = sampai dengan 10 t = t r t K t dx dt x t 0 0 5000 0 10000 1 0.2 5010 -1992 8008 2 0.4 5020 -1916.7948 6101.455 3 0.6 5030 -779.8136 5321.642 4 0.8 5040 -237.8987 5083.743 5 1 5050 -33.9594 5049.784 6 1.2 5060 12.2407 5062.024 7 1.4 5070 11.1263 5073.151 8 1.6 5080 10.958 5084.109 9 1.8 5090 10.5882 5094.697 10 2 5100 10.5969 5105.294 4 Solusi yang telah diperoleh pada model 3.2 adalah sebagai berikut: 1 1 1 r nh h r nh h e x nh x n h x nh e K nh + = ⎡ ⎤ − ⎣ ⎦ + . A. Misalkan [ ] 10 0 0,10 1 10 t h − ∈ ⇒ = = dengan 10 subinterval, maka 20 0; 0 1 1; 1 2 2; 2 3 3;3 4 4; 4 5 5;5 6 1 6; 6 7 7 ; 7 8 8;8 9 9;9 10 10;10 11 t t t t t t n t t t t t t ≤ ⎧ ⎪ ≤ ⎪ ⎪ ≤ ⎪ ≤ ⎪ ⎪ ≤ ⎪ = = ≤ ⎨ ⎪ ≤ ⎪ ≤ ⎪ ⎪ ≤ ⎪ ⎪ ≤ ⎪ ≤ ⎩ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ a Misalkan 0.2 0.2 1 r t t r nh r n n h = ⇔ = = = 1 1 0.2 1 0.2 2 2 0.4 2 0.4 1 1 0.1 2 2 1 1 2 2 0.5 2 0.4 2 2 t r r t r r t r r t r r t r r = ⇒ = ⇔ = = ⇒ = = = ⇒ = = ⎛ ⎞ = ⇒ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⇒ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ M b Misalkan 10 5000 10 5000 1 K t t K nh n h = + ⇔ = + = 5000 5000 1 1 5010 1 5010 2 2 5020 2 5020 1 1 5005 5000 2 2 1 1 2 2 5025 2 5020 2 2 t K K t K K t K K t K K t K K = ⇒ = ⇔ = = ⇒ = = = ⇒ = = ⎛ ⎞ = ⇒ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⇒ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ M c Misalkan 0.2 , 10 5000 r nh r n n K nh K n n = = = = + dan 5000. x = Tabel 3 Nilai 1 x n + dengan 5000 x = untuk n = sampai dengan 10 n = n r n K n 1 x n + 0 0 5000 5000 1 0.2 5010 5001.87 2 0.4 5020 5007.7925 3 0.6 5030 5017.788 4 0.8 5040 5029.9951 5 1 5050 5042.6221 6 1.2 5060 5054.7533 7 1.4 5070 5066.2316 8 1.6 5080 5077.2142 9 1.8 5090 5087.882 10 2 5100 5098.3567 Dari data diatas dapat kita lihat bahwa, dengan bertambahnya nilai n , maka nilai 1 x n + semakin meningkat. Tetapi, nilai 1 x n + untuk masing-masing nilai n tidak melebihi nilai K n untuk masing-masing nilai . Artinya bahwa, populasi tidak akan melebihi masing-masing daya dukung lingkungannya. n 4980 5000 5020 5040 5060 5080 5100 5120 5 10 15 n x n + 1 xn+1 Grafik 4 Hubungan dan n 1 x n + untuk 5000. x = d Misalkan 0.2 , 10 5000, 10000. r nh n K n n x = = + = Tabel 4 Nilai 1 x n + dengan untuk 10000 x = n = sampai dengan 10 n = n r n K n 1 x n + 0 0 5000 10000 1 0.2 5010 8470.6601 2 0.4 5020 6905.7135 3 0.6 5030 5910.8941 4 0.8 5040 5397.3175 5 1 5050 5172.4472 6 1.2 5060 5093.3505 7 1.4 5070 5075.7384 8 1.6 5080 5079.139 21 9 1.8 5090 5088.2015 10 2 5100 5098.4001 Dari tabel 4 diatas dapat kita lihat bahwa pada saat sampai nilai n = 7 n = 1 x n + mengalami penurunan dan setelah 7 n = , nilai 1 x n + mengalami kenaikan. Hal ini berarti bahwa, populasi mengalami fluktuasi dan ketika populasi awalnya melebihi daya dukung lingkungannya, maka populasi akan menurun mendekati daya dukung lingkungannya tetapi tidak akan melebihi daya dukung lingkungannya. 2000 4000 6000 8000 10000 12000 5 10 15 n x n+ 1 xn+1 Grafik 5 Hubungan dan n 1 x n + dengan 10000. x = B. Misalkan 0.5 0.5 , 1 0.5 h t n n = ⇒ ∈ + ⎡⎣ Maka, 0; 0 0.5 1; 0.5 1 2; 1 1.5 3;1.5 2 4; 2 2.5 5; 2.5 3 0.5 6;3 3.5 7 ;3.5 4 8; 4 4.5 9; 4.5 5 10;5 5.5 t t t t t t n t t t t t t ≤ ⎧ ⎪ ≤ ⎪ ⎪ ≤ ⎪ ≤ ⎪ ⎪ ≤ ⎪ = ≤ ⎨ ⎪ ≤ ⎪ ≤ ⎪ ⎪ ≤ ⎪ ⎪ ≤ ⎪ ≤ ⎩ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ a Misalkan 0.2 0.2 0.5 1 1 0.2 1 0.2 2 2 0.4 2 0.4 1 1 0.1 0.5 0.1 2 2 1 1 2 2 0.5 2.5 0.5 2 2 r t t r nh nh h t r r t r r t r r t r r t r r = ⇔ = = = ⇒ = = = ⇒ = = = ⇒ = = ⎛ ⎞ = ⇒ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⇒ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ b Misalkan 10 5000 10 5000 5000 5000 1 1 5010 1 5010 2 2 5020 2 5020 0.5 0.5 5005 0.5 5005 2.5 2.5 5025 2.5 5025 K t t K nh nh t K K t K K t K K t K K t K K = + ⇔ = + = ⇒ = = = ⇒ = = = ⇒ = = = ⇒ = = = ⇒ = = c Misalkan 0.2 , 10 5000, 5000 0.5 0.5 0.1 0.5 5 5000 r nh nh K nh nh x h r n n K n n = = + = ⇒ = = + = Tabel 5 Nilai 1 x n + dengan dan 5000 x = 0.5 h = untuk sampai dengan n = 20 n = n 0.5 r n 0.5 K n 1 x n h + 0 0 5000 5000 1 0.1 5005 5000.2439 2 0.2 5010 5001.1707 3 0.3 5015 5003.0924 4 0.4 5020 5006.1488 5 0.5 5025 5010.3065 6 0.6 5030 5015.3959 7 0.7 5035 5021.1693 8 0.8 5040 5027.3618 9 0.9 5045 5033.7391 10 1 5050 5040.1247 11 1.1 5055 5046.407 12 1.2 5060 5052.5309 13 1.3 5065 5058.4829 14 1.4 5070 5064.2742 15 1.5 5075 5069.9278 16 1.6 5080 5075.4693 17 1.7 5085 5080.9221 22 18 1.8 5090 5086.3053 19 1.9 5095 5091.6339 20 2 5100 5096.919 Dari data diatas dapat kita lihat bahwa, dengan bertambahnya nilai , maka nilai n 1 x n + semakin meningkat. Tetapi, nilai 1 x n + untuk masing-masing nilai tidak melebihi nilai n K n untuk masing-masing nilai . Artinya bahwa, populasi tidak akan melebihi masing-masing daya dukung lingkungannya. n 4980 5000 5020 5040 5060 5080 5100 5120 5 10 15 20 25 n x n + 1 xn+1 Grafik 6 Hubungan dan n 1 x n + untuk 5000. x = d Misalkan 0.2 , 10 5000, 10000 0.5 0.5 0.1 0.5 5 5000 r nh nh K nh nh x h r n n K n n = = + = = ⇒ = = + Tabel 6 Nilai 1 x n + dengan 10000 x = dan 0.5 h = untuk n = sampai dengan 20 n = n 0.5 r n 0.5 K n 1 x n h + 0 0 5000 10000 1 0.1 5005 9535.8598 2 0.2 5010 8780.9884 3 0.3 5015 7949.4689 4 0.4 5020 7189.0058 5 0.5 5025 6563.7497 6 0.6 5030 6083.0105 7 0.7 5035 5730.7541 8 0.8 5040 5483.0093 9 0.9 5045 5315.7683 10 1 5050 5207.9264 11 1.1 5055 5142.1159 12 1.2 5060 5104.7386 13 1.3 5065 5085.6679 14 1.4 5070 5077.7684 15 1.5 5075 5076.3073 16 1.6 5080 5078.3401 17 1.7 5085 5082.1513 18 1.8 5090 5086.806 19 1.9 5095 5091.8279 20 2 5100 5096.9906 Dari tabel diatas dapat kita lihat bahwa pada saat n = sampai nilai 15 n = 1 x n + mengalami penurunan dan setelah , nilai 15 n = 1 x n + mengalami kenaikan. Hal ini berarti bahwa, populasi mengalami fluktuasi dan ketika populasi awalnya melebihi daya dukung lingkungannya, maka populasi akan menurun mendekati daya dukung lingkungannya tetapi tidak akan melebihi daya dukung lingkungannya. 2000 4000 6000 8000 10000 12000 5 10 15 20 25 n x n + 1 xn+1 Grafik 7 Hubungan dan n 1 x n + untuk 10000. x =

4.4.3 Contoh Kasus pada Model 3.3