0, ,
sup ,
n
r n n
R r n
+ ∈Ζ
≥ ∈ Ζ
= ∞
∞ ≤
Ζ ∈
Ζ ∈
n K
n K
K
n n
sup ,
inf ,
k k
k
m cx
m x
I =
dengan Maka untuk
memenuhi pertidaksamaan
dan suatu solusi
dari 4.4 yang sesuai untuk memenuhi pertidaksamaan
. c
h R
c h
1 ln
+ ≤
n x
x
1 1
1 1
1 1
1 exp
exp
r n j h j
n n
i j
e r i h
r n h
x n x K n j
− − −
− =
= =
⎛ ⎞
− ⎛
⎞ ≤
− +
− −
⎜ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
⎝ ⎠
∑ ∑
∑
l
l
4.7 Bukti:
Lihat di lampiran 3 Teorema 2.
Misalkan semua asumsi dari Teorema 1 terpenuhi dan misalkan terdapat
suatu bilangan sehingga
L
1
1 lim
,
m m
j
r n j
L m m
+ →∞
=
⎧ ⎫
− =
∈ Ζ ⎨
⎬ ⎩
⎭
∑
, seragam pada
. n
∈ Ζ
4.8 Maka solusi
dari sistem 4.4 menuju ke
n x
x n
∗
ketika , dimana
∞ →
n
x n
∗
diberikan sebagai berikut
1 1
1 1
1 exp
r n j h j
j
e x
n r n
h K n
j
− −
− −
∞ ∗
= =
⎡ ⎤
⎛ ⎞
− =
− ⎢
⎥ ⎜
⎟ −
⎢ ⎥
⎝ ⎠
⎣ ⎦
∑ ∑
l
l −
sehingga ketika
x n x
n
∗
− →
∞ →
n
. Bukti: Lihat di lampiran 3
4.4 Contoh Kasus
4.4.1 Contoh Kasus pada Model 3.1
Untuk
0, ,
, .
x x
K x K x
K =
=
1 Misalkan
dan
0.1, r
x =
= 1000
K =
0.1 0 1 1000
dx dt
⎡ ⎤
= −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
=
2 Misalkan dan
0.1, 1000
r x
= =
1000 K
= 1000
0.1 1000 1 1000
dx dt
⎡ ⎤
= −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
=
Artinya bahwa, jika populasi awalnya 0, maka populasi akan tetap konstan laju
perubahan populasi sama dengan nol. Begitu pula jika populasi awalnya
x K
=
, maka populasi akan tetap konstan.
3 Untuk kasus
x K
misalkan
,
500 x
= 0.1,
1000 r
K =
=
500 0.1 500 1
1000 25
1 500 25
525 dx
dt x
⎡ ⎤
= −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
= =
+ =
Dengan menggunakan program Scilab: -- function xdot=ft,x
-- xdot=rx1-xK; -- endfunction
-- t=0:110; -- r=0.1;
-- K=1000; -- x=ode 500,0.0,t,f;
-- xbasc;plot2dt,x Diperoleh grafik sebagai berikut:
Grafik 2 Dinamika populasi x t terhadap
dengan t
500 x
=
. Berdasarkan grafik diatas dapat kita lihat
bahwa ketika
x K
, jumlah populasi x t
akan terus meningkat menuju daya dukung lingkungannya. Tetapi, nilai
x t tidak akan melebihi daya dukung lingkungannya.
4 Untuk kasus populasi awal lebih besar dari daya dukung lingkungan
x K
,
misalkan
1100 x
=
1100 0.1 1100 1
1000 11
1 1100 11 1089.
dx dt
x ⎡
⎤ =
− ⎢
⎥ ⎣
⎦ = −
= − =
Dari contoh 4 ini dapat kita lihat bahwa jika
x K
,
maka laju perubahannya menjadi negatif sehingga semakin lama populasi akan
19
menurun dan akan menuju daya dukung lingkungannya. Hal ini dapat kita lihat pada
grafik berikut: Dengan menggunakan program scilab:
-- function xdot=ft,x -- xdot=rx1-xK;
-- endfunction -- t=0:50;
-- r=0.1; -- K=1000;
-- x=ode 1100,0.0,t,f; -- xbasc;plot2dt,x
Diperoleh grafik sebagai berikut:
Grafik 3 Dinamika populasi x t
terhadap t dengan
.
1100 x
=
4.4.2 Contoh Kasus pada Model 3.2 1 Misalkan
0.2 , 10
5000, 0.
r t t K t
t x
= =
+ =
0.2 1
10 5000
0.2 0 0 1
5000 x t
dx t x t
dt t
⎡ ⎤
= −
⎢ ⎥
+ ⎣
⎦ ⎡
⎤ =
− ⎢
⎥ ⎣
⎦ =
Ini artinya bahwa jika populasi awalnya 0, maka populasi akan tetap konstan laju
perubahan populasi sama dengan nol. Jika populasi awalnya
, maka populasi akan tetap konstan.
x K
=
2 Misalkan 0.2 ,
10 5000,
5000. r t
t K t t
x =
= +
= Tabel 1 Nilai
x t dengan
untuk
5000 x
= t
=
sampai dengan
10 t
=
t r t
K t
dx dt
x t 0 0 5000
5000 1 0.2
5010 1.99 5001.99
2 0.4 5020
7.1828 5009.1728 3 0.6
5030 12.4428
5021.6156 4 0.8
5040 14.6631
5036.2787 5 1 5050
13.6987 5049.9774
6 1.2 5060
11.9987 5061.9761
7 1.4 5070
11.1971 5073.1732
8 1.6 5080
10.8769 5084.0501
9 1.8 5090
10.707 5094.7571 10 2 5100 10.4952 5105.2523
3 Misalkan 0.2 ,
10 5000,
10000. r t
t K t t
x =
= +
= Tabel 2 Nilai
x t dengan
untuk
10000 x
= t
=
sampai dengan
10 t
=
t r t
K t
dx dt
x t
0 0 5000 0 10000
1 0.2 5010 -1992 8008
2 0.4 5020 -1916.7948 6101.455 3 0.6 5030 -779.8136 5321.642
4 0.8 5040 -237.8987 5083.743 5 1 5050 -33.9594 5049.784
6 1.2 5060 12.2407
5062.024 7 1.4 5070 11.1263
5073.151 8 1.6 5080 10.958
5084.109 9 1.8 5090 10.5882
5094.697 10 2 5100 10.5969
5105.294 4 Solusi yang telah diperoleh pada model
3.2 adalah sebagai berikut: 1
1 1
r nh h r nh h
e x nh
x n
h x nh
e K nh
+ =
⎡ ⎤
− ⎣
⎦ +
.
A. Misalkan
[ ]
10 0 0,10
1 10
t h
− ∈
⇒ = =
dengan 10 subinterval, maka
20
0; 0 1
1; 1 2
2; 2 3
3;3 4
4; 4 5
5;5 6
1 6; 6
7 7 ; 7
8 8;8
9 9;9
10 10;10
11 t
t t
t t
t n
t t
t t
t t
≤ ⎧
⎪ ≤
⎪ ⎪
≤ ⎪
≤ ⎪
⎪ ≤
⎪ = =
≤ ⎨
⎪ ≤
⎪ ≤
⎪ ⎪
≤ ⎪
⎪ ≤
⎪ ≤
⎩
a Misalkan 0.2
0.2 1
r t t
r nh r n
n h
= ⇔
= =
= 1
1 0.2
1 0.2
2 2
0.4 2
0.4 1
1 0.1
2 2
1 1
2 2
0.5 2
0.4 2
2 t
r r
t r
r t
r r
t r
r t
r r
= ⇒ =
⇔ =
= ⇒ =
= = ⇒
= =
⎛ ⎞ = ⇒
= =
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
= ⇒
= =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
M b Misalkan
10 5000
10 5000
1 K t
t K nh
n h
= +
⇔ =
+ =
5000 5000
1 1
5010 1
5010 2
2 5020
2 5020
1 1
5005 5000
2 2
1 1
2 2
5025 2
5020 2
2 t
K K
t K
K t
K K
t K
K t
K K
= ⇒ =
⇔ =
= ⇒ =
= = ⇒
= =
⎛ ⎞ = ⇒
= =
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
= ⇒
= =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
M c Misalkan
0.2 , 10
5000 r nh
r n n K nh
K n n
= =
= =
+ dan
5000. x
= Tabel 3 Nilai
1 x n
+ dengan 5000
x =
untuk n
= sampai dengan 10
n =
n
r n K n
1 x n
+ 0 0
5000 5000
1 0.2 5010
5001.87 2 0.4
5020 5007.7925
3 0.6 5030
5017.788 4 0.8
5040 5029.9951
5 1 5050
5042.6221 6 1.2
5060 5054.7533
7 1.4 5070
5066.2316 8 1.6
5080 5077.2142
9 1.8 5090
5087.882 10 2
5100 5098.3567 Dari data diatas dapat kita lihat bahwa,
dengan bertambahnya nilai
n
, maka nilai 1
x n + semakin meningkat. Tetapi, nilai
1 x n
+ untuk masing-masing nilai
n
tidak melebihi nilai
K n untuk masing-masing nilai
. Artinya bahwa, populasi tidak akan melebihi masing-masing daya dukung
lingkungannya.
n
4980 5000
5020 5040
5060 5080
5100 5120
5 10
15
n x
n +
1
xn+1
Grafik 4 Hubungan dan
n
1 x n
+ untuk 5000.
x =
d Misalkan 0.2 ,
10 5000,
10000. r nh
n K n
n x
= =
+ =
Tabel 4 Nilai 1
x n + dengan
untuk 10000
x =
n = sampai dengan
10 n
=
n
r n K n
1 x n
+ 0 0
5000 10000 1 0.2 5010 8470.6601
2 0.4 5020 6905.7135 3 0.6 5030 5910.8941
4 0.8 5040 5397.3175 5 1
5050 5172.4472 6 1.2 5060 5093.3505
7 1.4 5070 5075.7384 8 1.6 5080 5079.139
21
9 1.8 5090 5088.2015 10 2
5100 5098.4001 Dari tabel 4 diatas dapat kita lihat bahwa pada
saat sampai
nilai n
= 7
n =
1 x n
+ mengalami penurunan dan setelah
7 n
= , nilai 1
x n + mengalami kenaikan. Hal ini berarti
bahwa, populasi mengalami fluktuasi dan ketika populasi awalnya melebihi daya
dukung lingkungannya, maka populasi akan menurun mendekati daya dukung
lingkungannya tetapi tidak akan melebihi daya dukung lingkungannya.
2000 4000
6000 8000
10000 12000
5 10
15
n x
n+ 1
xn+1
Grafik 5 Hubungan dan
n
1 x n
+ dengan 10000.
x =
B. Misalkan
0.5 0.5 ,
1 0.5 h
t n n
= ⇒ ∈
+ ⎡⎣
Maka, 0; 0
0.5 1; 0.5
1 2; 1
1.5 3;1.5
2 4; 2
2.5 5; 2.5
3 0.5
6;3 3.5
7 ;3.5 4
8; 4 4.5
9; 4.5 5
10;5 5.5
t t
t t
t t
n t
t t
t t
t ≤
⎧ ⎪
≤ ⎪
⎪ ≤
⎪ ≤
⎪ ⎪
≤ ⎪
= ≤
⎨ ⎪
≤ ⎪
≤ ⎪
⎪ ≤
⎪ ⎪
≤ ⎪
≤ ⎩
a Misalkan
0.2 0.2
0.5 1
1 0.2
1 0.2
2 2
0.4 2
0.4 1
1 0.1
0.5 0.1
2 2
1 1
2 2
0.5 2.5
0.5 2
2 r t
t r nh
nh h
t r
r t
r r
t r
r t
r r
t r
r =
⇔ =
= = ⇒
= =
= ⇒ =
= = ⇒
= =
⎛ ⎞ = ⇒
= =
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
= ⇒
= =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
b Misalkan 10
5000 10
5000 5000
5000 1
1 5010
1 5010
2 2
5020 2
5020 0.5
0.5 5005
0.5 5005
2.5 2.5
5025 2.5
5025 K t
t K nh
nh t
K K
t K
K t
K K
t K
K t
K K
= +
⇔ =
+ = ⇒
= =
= ⇒ =
= = ⇒
= =
= ⇒
= =
= ⇒
= =
c Misalkan
0.2 ,
10 5000,
5000 0.5
0.5 0.1
0.5 5
5000 r nh
nh K nh nh
x h
r n
n K
n n
= =
+ =
⇒ =
= +
=
Tabel 5 Nilai 1
x n + dengan
dan
5000 x
= 0.5
h =
untuk sampai
dengan
n =
20 n
=
n
0.5 r
n 0.5
K n
1 x
n h
+
0 0 5000 5000
1 0.1 5005 5000.2439
2 0.2 5010 5001.1707
3 0.3 5015 5003.0924
4 0.4 5020 5006.1488
5 0.5 5025 5010.3065
6 0.6 5030 5015.3959
7 0.7 5035 5021.1693
8 0.8 5040 5027.3618
9 0.9 5045 5033.7391
10 1 5050 5040.1247
11 1.1 5055 5046.407
12 1.2 5060 5052.5309
13 1.3 5065 5058.4829
14 1.4 5070 5064.2742
15 1.5 5075 5069.9278
16 1.6 5080 5075.4693
17 1.7 5085 5080.9221
22
18 1.8 5090 5086.3053
19 1.9 5095 5091.6339
20 2 5100 5096.919
Dari data diatas dapat kita lihat bahwa, dengan bertambahnya nilai , maka nilai
n
1 x n
+ semakin meningkat. Tetapi, nilai 1
x n + untuk masing-masing nilai tidak
melebihi nilai
n
K n untuk masing-masing nilai
. Artinya bahwa, populasi tidak akan melebihi masing-masing daya dukung
lingkungannya.
n
4980 5000
5020 5040
5060 5080
5100 5120
5 10
15 20
25
n x
n +
1
xn+1
Grafik 6 Hubungan dan
n
1 x n
+ untuk 5000.
x =
d Misalkan
0.2 ,
10 5000,
10000 0.5
0.5 0.1
0.5 5
5000 r nh
nh K nh nh
x h
r n
n K
n n
= =
+ =
= ⇒
= =
+
Tabel 6 Nilai 1
x n + dengan
10000 x
=
dan
0.5 h
=
untuk
n =
sampai dengan
20 n
= n
0.5 r
n 0.5
K n
1 x
n h
+
0 0 5000 10000
1 0.1 5005 9535.8598
2 0.2 5010 8780.9884
3 0.3 5015 7949.4689
4 0.4 5020 7189.0058
5 0.5 5025 6563.7497
6 0.6 5030 6083.0105
7 0.7 5035 5730.7541
8 0.8 5040 5483.0093
9 0.9 5045 5315.7683
10 1 5050 5207.9264
11 1.1 5055 5142.1159
12 1.2 5060 5104.7386
13 1.3 5065 5085.6679
14 1.4 5070 5077.7684
15 1.5 5075 5076.3073
16 1.6 5080 5078.3401
17 1.7 5085 5082.1513
18 1.8 5090 5086.806
19 1.9 5095 5091.8279
20 2 5100 5096.9906
Dari tabel diatas dapat kita lihat bahwa pada saat
n =
sampai nilai
15 n
=
1 x n
+ mengalami penurunan dan setelah
, nilai
15 n
=
1 x n
+ mengalami kenaikan. Hal ini berarti bahwa, populasi mengalami fluktuasi
dan ketika populasi awalnya melebihi daya dukung lingkungannya, maka populasi akan
menurun mendekati daya dukung lingkungannya tetapi tidak akan melebihi daya
dukung lingkungannya.
2000 4000
6000 8000
10000 12000
5 10
15 20
25
n x
n +
1
xn+1
Grafik 7 Hubungan dan
n
1 x n
+ untuk 10000.
x =
4.4.3 Contoh Kasus pada Model 3.3