I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Populasi adalah kumpulan individu dari suatu spesies yang sama yang menempati
suatu tempat tertentu. Laju perubahan suatu populasi dapat dipengaruhi oleh empat hal
yaitu tingkat kelahiran, tingkat kematian, imigrasi dan emigrasi. Tingkat kelahiran yaitu
tingkat dimana adanya individu baru yang lahir melalui proses reproduksi yang dapat
menambah jumlah populasi. Tingkat kematian yaitu tingkat dimana adanya individu yang
mati dalam suatu populasi. Imigrasi yaitu masuknya individu baru ke dalam suatu
populasi. Emigrasi yaitu keluarnya individu dari suatu populasi.
Laju perubahan suatu populasi dapat dimodelkan ke dalam suatu persamaan
diferensial yang dapat memprediksikan pertumbuhan suatu populasi secara
eksponensial. Terbatasnya sumber-sumber seperti ruang dan makanan dan juga adanya
jumlah populasi yang terlalu padat menyebabkan populasi dibatasi oleh suatu
daya dukung lingkungan sehingga pertumbuhan populasi lambat laun akan
menurun dan akhirnya akan berhenti jika populasi sama dengan daya dukung
lingkungan.
Berdasarkan dari segi waktu, model pertumbuhan populasi dapat dibagi menjadi
model pertumbuhan kontinu dan model pertumbuhan diskret. Model pertumbuhan
kontinu pertama kali diusulkan oleh Verhulst seorang matematikawan dari Belgia. Dia
menyebut model ini sebagai persamaan logistik. Salah satu bentuk variasi dari
persamaan logistik yaitu persamaan logistik tak otonom. Pada model ini tingkat
pertumbuhan populasi dan daya dukung lingkungannya tergantung pada waktu. Hal ini
bisa disebabkan oleh adanya pengaruh tahunan yang mempengaruhi laju perubahan
populasi. Salah satunya yaitu disebabkan oleh pengaruh musim.
Pada kehidupan nyata, banyak fenomena perubahan populasi yang terjadi secara
diskret. Fenomena ini biasanya dimodelkan dalam bentuk persamaan beda.
1.2 Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah:
1. Mempelajari model pertumbuhan populasi kontinu dan model
pertumbuhan diskret. 2. Mencari solusi dari model-model
pertumbuhan populasi tersebut. 3. Analisis kestabilan solusi diskret dari
model pertumbuhan kontinu dan model pertumbuhan diskret.
II. LANDASAN TEORI
Model Populasi Eksponensial Misalkan
x t menunjukkan ukuran populasi pada waktu t ,
menunjukkan jumlah kelahiran per individu per satuan waktu, dan
menunjukkan jumlah kematian per individu per satuan waktu
[
b m
]
, ,
t t t
t + ∆ ∆ .
Maka perubahan populasinya adalah sebagai berikut:
. x t
t x t
bx t t
mx t t
+ ∆ − =
∆ − ∆ 2.1
Bagi persamaan 1 dengan Jika
. t
∆ t
∆
mendekati nol, maka diperoleh dx t
rx t dt
= , 2.2
dengan adalah tingkat pertumbuhan
intrinsik dari populasi. Model 2.2 menggambarkan populasi akan tumbuh secara
eksponensial jika dan akan menurun
secara eksponensial jika .
r b
m = −
r r
Hallam and Levin, 1986
Definisi 1 [Persamaan Diferensial Biasa] Persamaan diferensial biasa berorde-
n
adalah suatu persamaan yang mempunyai bentuk
umum
, , ,
,.....,
n
F x y y y y
′ ′′ =
2.3 dengan
2 2
, dy
d y y
y dx
dx ′
′′ =
= , dan seterusnya.
Farlow, 1994 Metode Pemisahan Variabel
Langkah 1. Tulis kembali persamaan f x
dy dx
g y =
2.4
11
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Populasi adalah kumpulan individu dari suatu spesies yang sama yang menempati
suatu tempat tertentu. Laju perubahan suatu populasi dapat dipengaruhi oleh empat hal
yaitu tingkat kelahiran, tingkat kematian, imigrasi dan emigrasi. Tingkat kelahiran yaitu
tingkat dimana adanya individu baru yang lahir melalui proses reproduksi yang dapat
menambah jumlah populasi. Tingkat kematian yaitu tingkat dimana adanya individu yang
mati dalam suatu populasi. Imigrasi yaitu masuknya individu baru ke dalam suatu
populasi. Emigrasi yaitu keluarnya individu dari suatu populasi.
Laju perubahan suatu populasi dapat dimodelkan ke dalam suatu persamaan
diferensial yang dapat memprediksikan pertumbuhan suatu populasi secara
eksponensial. Terbatasnya sumber-sumber seperti ruang dan makanan dan juga adanya
jumlah populasi yang terlalu padat menyebabkan populasi dibatasi oleh suatu
daya dukung lingkungan sehingga pertumbuhan populasi lambat laun akan
menurun dan akhirnya akan berhenti jika populasi sama dengan daya dukung
lingkungan.
Berdasarkan dari segi waktu, model pertumbuhan populasi dapat dibagi menjadi
model pertumbuhan kontinu dan model pertumbuhan diskret. Model pertumbuhan
kontinu pertama kali diusulkan oleh Verhulst seorang matematikawan dari Belgia. Dia
menyebut model ini sebagai persamaan logistik. Salah satu bentuk variasi dari
persamaan logistik yaitu persamaan logistik tak otonom. Pada model ini tingkat
pertumbuhan populasi dan daya dukung lingkungannya tergantung pada waktu. Hal ini
bisa disebabkan oleh adanya pengaruh tahunan yang mempengaruhi laju perubahan
populasi. Salah satunya yaitu disebabkan oleh pengaruh musim.
Pada kehidupan nyata, banyak fenomena perubahan populasi yang terjadi secara
diskret. Fenomena ini biasanya dimodelkan dalam bentuk persamaan beda.
1.2 Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah:
1. Mempelajari model pertumbuhan populasi kontinu dan model
pertumbuhan diskret. 2. Mencari solusi dari model-model
pertumbuhan populasi tersebut. 3. Analisis kestabilan solusi diskret dari
model pertumbuhan kontinu dan model pertumbuhan diskret.
II. LANDASAN TEORI
Model Populasi Eksponensial Misalkan
x t menunjukkan ukuran populasi pada waktu t ,
menunjukkan jumlah kelahiran per individu per satuan waktu, dan
menunjukkan jumlah kematian per individu per satuan waktu
[
b m
]
, ,
t t t
t + ∆ ∆ .
Maka perubahan populasinya adalah sebagai berikut:
. x t
t x t
bx t t
mx t t
+ ∆ − =
∆ − ∆ 2.1
Bagi persamaan 1 dengan Jika
. t
∆ t
∆
mendekati nol, maka diperoleh dx t
rx t dt
= , 2.2
dengan adalah tingkat pertumbuhan
intrinsik dari populasi. Model 2.2 menggambarkan populasi akan tumbuh secara
eksponensial jika dan akan menurun
secara eksponensial jika .
r b
m = −
r r
Hallam and Levin, 1986
Definisi 1 [Persamaan Diferensial Biasa] Persamaan diferensial biasa berorde-
n
adalah suatu persamaan yang mempunyai bentuk
umum
, , ,
,.....,
n
F x y y y y
′ ′′ =
2.3 dengan
2 2
, dy
d y y
y dx
dx ′
′′ =
= , dan seterusnya.
Farlow, 1994 Metode Pemisahan Variabel
Langkah 1. Tulis kembali persamaan f x
dy dx
g y =
2.4
11
dalam bentuk yang terpisah .
g y dy f x dx
= 2.5
Langkah 2. Integralkan masing-masing sisi dari persamaan 2.5, untuk memperoleh
solusi implisit.
, g y dy
f x dx c
= +
∫ ∫
dengan adalah suatu konstanta bebas.
c
Langkah 3. Jika mungkin, selesaikan dalam
bentuk solusi implisit untuk memperoleh solusi eksplisit.
y
Farlow, 1994
Definisi 2 [Masalah Nilai Awal] Masalah nilai awal untuk suatu persamaan
diferensial berorde-
n
2 2
, , ,
,........,
n n
dy d y d y
F x y dx dx
dx ⎛
⎞ =
⎜ ⎝
⎟ ⎠
mengandung solusi yang akan dicari dari persamaan diferensial tersebut pada suatu
interval yang juga memenuhi syarat awal
n
I
1
1 1
.
n n
y x y
y x y
y x
y y
y
− −
= ′
= ′′
= =
M
2
2.6
dengan
x I
∈
dan
1 1
, ,....,
n
y y y
−
adalah konstanta yang diberikan.
Farlow, 1994
Definisi 3 [Persamaan Diferensial Bernoulli]
Suatu persamaan berbentuk
n
dy P x y
Q x y dx
+ =
disebut persamaan diferensial Bernoulli. Catatan bahwa jika
atau 1, maka persamaan Bernoulli adalah linear.
n =
Rice and Strange, 1994
Teorema 1 [Transformasi persamaan Bernoulli ke dalam persamaan linear]
Jika atau 1, maka persamaan Bernoulli
n ≠
n
y P x y
Q x y ′ +
= dapat direduksi ke persamaan linear dengan
mentransformasi
1
.
n
v y
−
=
Bukti: Langkah pertama, kalikan persamaan
diferensial dengan , sehingga diperoleh
n
y
− 1
.
n n
y y P x y
Q x
− −
′ + =
Misalkan
1 n
v y
−
=
,
maka 1
n
v n y
−
y ′
′ = −
atau
. 1
n
y v
n y
′ ′
= −
Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan diferensial yang diberikan, sehingga diperoleh
1 v
v P x Q x
n ′
+ =
−
yang linear dalam
. v
Rice and Strange, 1994
Definisi 4 [Titik Tetap] Diberikan sistem persamaan diferensial
,
n
dx .
x f x
x R
dt = =
∈
2.7 Titik x
∗
disebut titik tetap jika
f x
∗
=
. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik
kesetimbangan. Untuk selanjutnya akan digunakan istilah titik tetap.
Tu,1994
Pelinearan
Misalkan x
∗
adalah titik tetap, dan misalkan t
x t x
η
∗
= − adalah suatu perturbasi
gangguan kecil jauhnya dari x
∗
. Untuk melihat apakah gangguan tersebut meningkat
atau menurun, kita turunkan persamaan diferensial untuk
η . Sehingga,
, d
x x
x dt
η
∗
= −
=
2.8 dengan
x
∗
adalah konstan. Maka,
. x
f x f x
η η
∗
= = =
+
2.9 Kita gunakan ekspansi Taylor sehingga
diperoleh,
2
, f x
f x f
x O
η η
∗ ∗
∗
′ +
= +
+
η 2.10
dengan
2
O
η menunjukkan bilangan kuadrat yang nilainya kecil. Catatan bahwa
f x
∗
=
, jika x
∗
adalah titik tetap. Oleh karena itu, dari persamaan 2.9 dan 2.10
kita peroleh
2
. f
x O
η η η
∗
′ =
+
2.11 Jika
0, f
x
∗
′ ≠
maka
2
O
η diabaikan dan kita dapat menulis perkiraannya
. f
x
η η
∗
′ =
2.12 Persamaan 2.12 merupakan persamaan linear
dalam
η , dan disebut pelinearan sekitar x
∗
. Hal ini menunjukkan bahwa perturbasi
t η
meningkat secara eksponensial jika
f x
∗
′
dan menurun jika
f x
∗
′
. Jika
f x
∗
′ =
, maka
2
O
η tidak
12
diabaikan dan analisis taklinear diperlukan untuk menentukan kestabilan.
Kemiringan
f x
∗
′
pada titik tetap menentukan kestabilannya. Jika
kemiringannya negatif
f x
∗
′
, maka titik tetap x
∗
adalah stabil. Dan jika kemiringannya positif
f x
∗
′
, maka titik tetap x
∗
adalah tidak stabil. Strogatz, 1994
Definisi 5 [Kestabilan Solusi Dari Persamaan Diferensial Tingkat Satu]
Pandang sistem persamaan diferensial tingkat satu
, x
f x t ′ =
dengan nilai awal x t
x = .
Solusinya merupakan fungsi ;
, x
x t x t =
t t
≤ . Untuk mempelajari kestabilan dari x t pandang solusi yang berdekatan
, dengan ;
, y
y t x t =
, , y
f y t ′ =
y t y
= . Misalkan
z t y t
x t =
− ,
maka ,
z F z t
′ = dengan
, ,
, F z t
f x t z t
f x t t =
+ −
Solusi dari dikatakan
z =
1. Stabil jika
ε
∀
dan ,
1
t t
≥
1 1
, ,
t z t
t
δ ε ε
∃ ∋
∀ t
≥
. 2.
Stabil seragam jika stabil dan δ δ ε
= bebas terhadap .
1
t
3. Stabil asimtotik jika stabil dan
1
z t
δ akan mengakibatkan
z t →
untuk t .
→ ∞ Grimshow, 1990
Definisi 6 [Kekontinuan fungsi di Suatu Selang]
Kita katakan fungsi kontinu pada selang
terbuka
f
, a b jika
kontinu di setiap titik
f
, a b .
kontinu pada selang tertutup
f
[ ]
, a b
jika kontinu pada
f
, a b , kontinu kanan di
dan kontinu kiri di .
a b
Purcell and Varberg, 1987
Definisi 7 [Fungsi Kontinu Sepotong- sepotong
Piecewise Continuous Function]
Suatu fungsi dikatakan kontinu sepotong- sepotong pada interval tertutup
jika interval dapat dibagi ke dalam sejumlah
hingga subinterval terbuka ,
sehingga
a t
b ≤ ≤
c t
d
1. Fungsi adalah kontinu pada tiap
subinterval
f c
t d
. 2. Fungsi
mempunyai limit hingga ketika
mendekati tiap-tiap titik ujung dari interval tersebut, sehingga
f
t lim
t c
f t
+
→
dan lim
t d
f t
−
→
ada. Rice and Strange, 1994
Definisi 8 [Persamaan Beda difference
equations] Persamaan beda adalah suatu persamaan yang
menghubungkan anggota-anggota yang berbeda dari barisan bilangan
{ }
1 2
, ,
,..., ,...
n
y y y y
dimana nilai dari
barisan tidak diketahui nilainya dan nilai tersebut yang akan dicari.
n
y
Farlow, 1994
Definisi 9 [Limit Barisan]
Misalkan
{ }
1 n
n
s
∞ =
merupakan barisan bilangan real. Kita katakan bahwa
n
s
mendekati limit L ketika mendekati tak hingga, jika
untuk setiap
n
ε terdapat suatu bilangan
bulat positif sehingga,
N
.
n
s L
n N
ε −
≥ Jika
n
s
mendekati limit L kita tulis
lim
n n
s L
→∞
=
atau .
n
s L
n →
→ ∞ Goldberg, 1976
Definisi 10 [Kekonvergenan Barisan]
Jika barisan bilangan real
{ }
mempunyai limit
1 n
n
s
∞ =
L , kita katakan bahwa
{ }
1 n
n
s
∞ =
konvergen ke L . Jika
{ }
tidak mempunyai limit, kita katakan bahwa
{ }
1 n
n
s
∞ =
1 n
n
s
∞ =
adalah divergen. Goldberg, 1976
13
III. PEMODELAN
Kategori