a. Misalkan populasi awal 500
x =
dengan tingkat pertumbuhan 1 per tahun
0.01
k k
k
I x m
x m =
, maka jumlah populasi yang akan datang dapat
diprediksikan sebagai berikut: 1
0.01 1
1.01 .
k k
k k
k
x m x m
x m x m
x m + −
= + =
1 1.01
1.01 500 505
2 1.01 1
1.01 505 510.05
3 515.15
4 520.3
5 525.5
x x
x x
x x
x =
= =
= =
= =
= =
6 530.75
7 536.06
8 541.42
9 546.83
10 552.29
x x
x x
x =
= =
= =
b. Misalkan
0.04 ,
500.
k k
k
I x m
x m x
= =
1 1.04
1.04 500 520
2 1.04
1 1.04 520
540.8 3
562.432 4
584.93 5
608.33 x
x x
x x
x x
= =
= =
= =
= =
= 6
632.66 7
657.97 8
684.29 9
711.66 10
740.13 x
x x
x x
= =
= =
=
Dari dua data diatas dapat kita lihat bahwa populasi akan bertambah dari waktu ke
waktu.
V. SIMPULAN
Pada persamaan logistik 3.1, ada 2 titik tetap yang diperoleh. Tetapi hanya satu titik
tetap yang stabil yaitu pada saat jumlah populasi sama dengan daya dukung
lingkungannya. Hal ini berarti bahwa populasi akan selalu menuju daya dukung
lingkungannya. Sedangkan pada persamaan logistik tak otonom, tidak diperoleh titik tetap.
Berdasarkan contoh kasus yang telah diperoleh pada model 3.1, ketika populasi
awalnya sama dengan nol dan populasi awalnya sama dengan daya dukung
lingkungannya, maka populasi akan tetap konstan.
Ketika populasi awalnya kurang dari daya dukung lingkungannya, maka populasi akan
meningkat menuju daya dukung lingkungan. Dan ketika populasi awalnya lebih dari daya
dukung lingkungannya, maka populasi akan semakin menurun dan menuju daya dukung
lingkungan. Begitu pula pada model 3.2, ketika
populasi awal nol dan populasi awal sama dengan daya dukung lingkungan awal maka
populasi tetap konstan. Ketika populasi awal kurang dari daya dukung lingkungan awal,
maka populasi akan meningkat. Tetapi tidak akan melebihi masing-masing daya dukung
lingkungan. Dan ketika populasi awal lebih dari daya dukung lingkungan awal, maka
populasi akan menurun dan pada waktu tertentu populasi akan meningkat.
Berdasarkan analisis kestabilan solusi pada model 3.2 dan 3.3, maka disimpulkan
bahwa solusi yang telah diperoleh merupakan solusi yang stabil asimtotik. Hal ini berarti
bahwa ketika waktu menuju tak hingga, maka populasi akan menuju nol.
24
DAFTAR PUSTAKA
Akca, H; E. A Al-Zahrani and V. Covachev.
2005. Asymptotic Behavior of Discrete Solutions To Impulsive
Logistic Equations. Electronic Journal of Differential Equations
. Conference 12. pp 1-8.
Farlow, J. 1994. An Introduction To
Differential Equations and Their Applications
. McGraw-Hill, New York. Goldberg, R
. 1976. Methods of Real Analysis
. John Wiley Sons, New York.
Grimshow, R
. 1990. Nonlinear Ordinary Differential Equations
. Blackwell Scientific, Oxford.
Hallam, G and S. A. Levin . 1986.
Mathematical Ecology An Introduction .
Springer-Verlag, Berlin.
Purcell, J and D.Varberg . 1987. Kalkulus
dan Geometri Analitis Jilid 1 .
Erlangga, Jakarta.
Rice, J and D. J. Strange. 1994. Ordinary
Differential Equations with Applications Third Edition
. Brooks Cole Publishing Company, California.
Strogatz, H . 1994. Nonlinear Dynamics and
Chaos with Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering
. Addison-Wesley, Reading
Massachussetts Menlo Park, California. Sladen, B. K and F. B. Bang
. 1969. Biology of Populations
. American Elsevier Publishing Company, New York.
TU, P. N. V . 1994. Dynamical System An
Introduction with Application in Economics and Biology
. Springer- Verlag, Hiedelberg, Germany.
25
LAMPIRAN
26
Lampiran 1. Mencari Solusi Sistem 3.1
Persamaan diferensial 3.1 merupakan persamaan diferensial terpisahkan sehingga solusinya dapat diperoleh dengan tekhnik variabel terpisahkan:
1
1 dx
x rx
dt K
dx r dt
x x
K ⎛
⎞ =
− ⎜
⎟ ⎝
⎠ =
⎛ ⎞
− ⎜
⎟ ⎝
⎠ Dengan mengintegralkan persamaan diatas diperoleh:
1 dx
r dt x
x K
= ⎛
⎞ −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
Ruas kiri dapat dijabarkan menjadi pecahan parsial sebagai berikut: 1
1 K
x x K
x x
K K
A B
x K x
x K
x K
A K x
Bx x K
x x K
x =
− ⎛
⎞ −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= +
− −
− + =
− −
1 1
K AK
x B A
A B
= +
− =
= Jadi,
1 1
1 dx
r dt x
x K
dx r dt
x K
x =
⎛ ⎞
− ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎛
⎞ +
= ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
∫ ∫
∫ ∫
ln ln
ln
rt
x K
x rt
C x
rt C
K x
x Ce
K x
− − = +
= + −
= −
Karena x
K x
− positif, maka dapat ditulis
rt
x Ce
K x
= −
rt
x Ce
K x
= −
rt rt
x KCe
xCe =
− 1
rt rt
KCe x t
Ce =
+
Jika , maka
t =
. 1
1 KCe
KC x
C Ce
= =
+ +
27
Jika
x x
=
, dengan
x
adalah populasi awal, maka diperoleh
x C
K x
= −
Dengan mensubstitusi
x C
K x
= −
ke dalam persamaan
x t
, maka diperoleh 1
rt rt
Kx e x t
K x e
= +
− .
Lampiran 2. Mencari solusi sistem 3.2
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
− =
− =
n K
s x
s x
n r
ds dx
s x
n K
n r
s x
n r
ds dx
2 2
Persamaan diatas merupakan persamaan diferensial terpisahkan sehingga kita dapat memisahkan variable-variabel yang sejenis.
2
1
x t t
x nh nh
dx r n ds
x s
x s K n
dx r n ds
x s x s
K n =
− =
⎡ ⎤
− ⎢
⎥ ⎣
⎦
∫ ∫
Ruas kiri dapat dijabarkan menjadi pecahan parsial sebagai berikut:
[ ]
[ ]
s x
n K
B s
x A
s x
n K
s x
n K
s x
n K
s x
n K
n K
s x
s x
− +
= −
⇔ −
= ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ −
1 1
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
A B
s x
n AK
n K
s Bx
s Ax
n AK
n K
s Bx
s x
n K
A n
K s
x n
K s
x s
Bx s
x n
K A
s x
n K
s x
n K
− +
= +
− =
+ −
= −
+ −
= −
1 1
= =
= −
= B
A A
B n
K n
AK
[ ]
s x
n K
s x
t x
n K
s x
n K
− +
= −
1 1
Jadi,
1 1
1
x t t
x nh nh
x t t
x nh nh
dx r n ds
x s x s
K n dx
r n ds x s
K n x s
= ⎡
⎤ −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
+ =
⎢ ⎥
− ⎢
⎥ ⎣
⎦
∫ ∫
∫ ∫
28
ln ln
x t t
nh x nh
x s K n
x s r n s
− −
= ⎡
⎤ ⎣
⎦
ln
x t t
nh x nh
x s r n s
K n x s
= −
nh n
r t
n r
nh x
nh x
n K
t x
n K
t x
nh n
r t
n r
nh x
n K
nh x
t x
n K
t x
− =
− −
− =
− −
− .
ln ln
ln
Karena
x t K n
x nh K n
x t x nh
− ⎡
⎤ ⎣
− ⎡
⎤ ⎣
⎦ ⎦
positif, maka
[ ]
[ ]
nh n
r t
n r
e nh
x t
x n
K nh
x n
K t
x
−
= −
−
[ ]
[ ]
nh n
r t
n r
e e
nh x
t x
n K
nh x
n K
t x
= −
−
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
t x
e nh
x e
n K
e e
nh x
t x
n K
t x
e n
K nh
x e
nh x
t x
e nh
x t
x e
t x
nh x
e n
K nh
x e
nh x
t x
e n
K t
x e
t x
n K
nh x
e nh
x n
K t
x e
nh n
r t
n r
nh n
r t
n r
nh n
r t
n r
nh n
r t
n r
t n
r t
n r
nh n
r nh
n r
t n
r nh
n r
− =
− −
= −
− =
− −
= −
nh x
t x
t x
e nh
x e
n K
e e
nh n
r t
n r
nh n
r t
n r
− =
−
r n t r n nh
r n t r n nh
r n t r n nh
r n t r n nh
e x nh
e x t
e e
K n K n
x t x nh x t x nh
e e
e e
K n K n
x t x nh
− =
− −
= −
1 2 Dan untuk
1 t
n →
+ h
, diperoleh 1
1 1
lim
r n t r n nh
r n n h
r n nh r n nh r n h
r n nh t
n h
e e
e e
e e
K n K n
K n
+ +
→ +
− −
= =
−
2
1 1
lim 1
1
r n t r n nh
r n n h
r n nh r n nh r n h
r n nh t
n h
e e
e e
e e
x t x nh
x nh x nh
x n
h x
n h
+ +
→ +
− =
− =
− +
+ Maka, persamaan menjadi
1 1
r n n h r n h
r n n h r n
n h h
r n n h r n n h
r n h r n n h
r n h r n n h
r n n h
e e
e e
x n h K
n x
n h
e e
e e
K n
x x
n h
+ +
+ +
− −
= +
− =
+ +
n h
29
nh x
n K
n K
e e
nh x
e nh
x e
e nh
x e
n K
e e
e h
n x
nh n
r nh
n r
h n
r nh
n r
h n
r nh
n r
nh n
r nh
n r
h n
r nh
n r
h n
r nh
n r
+ −
= +
− =
+
+ +
+
1
n K
nh x
nh x
e e
nh x
n K
e e
n K
e e
nh x
e e
nh x
nh x
n K
e e
h n
r nh
n r
h n
r nh
n r
nh n
r nh
n r
h n
r nh
n r
h n
r nh
n r
+ −
= +
− =
n K
nh x
nh x
e nh
x n
K e
h n
r h
n r
+ −
=
[ ]
n K
e nh
x nh
x n
K e
h n
r h
n r
+ −
= 1
[ ]
1 1 +
− =
n K
e nh
x nh
x e
h n
r h
n r
[ ]
1 1
1 +
− =
+ ∴
n K
e nh
x nh
x e
h n
x
h n
r h
n r
Kita gunakan notasi , maka
nh x
n x
=
[ ]
1 1
1 +
− =
+ n
K e
n x
n x
e n
x
h n
r h
n r
4.3
Lampiran 3. Pembuktian Teorema Bukti Teorema 1
● Ketika untuk semua
, kita misalkan n
x
+
Ζ ∈
n n
x n
y 1
= pada 4.3, dan diperoleh
1 1
1 1
y n y n
x n x n
= ⇔
+ = +
30
n x
e n
K n
x e
n x
e n
x e
n x
n K
e n
x e
n x
n K
e
n x
n K
e n
x e
n x
n y
h n
r h
n r
h n
r h
n r
h n
r h
n r
h n
r
h n
r h
n r
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
− +
= ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
+ =
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
= ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
+ =
+ =
+
n K
e n
y e
n K
e n
K e
n y
e n
K n
K n
y e
e n
K n
K n
x e
e n
K e
n K
e n
x e
e n
K e
n x
e
h n
r h
n r
h n
r h
n r
h n
r h
n r
h n
r h
n r
h n
r h
n r
h n
r h
n r
h n
r h
n r
h n
r
− −
−
− +
= ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
+ =
− +
= −
+ =
− +
= −
+ =
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
●
Ketika untuk semua
k
x m
k
m
+
∈ Ζ , kita misalkan
1
k k
y m x m
= , maka diperoleh
1 1
1 1
k k
k k
y m y m
x m x m
= ⇔
+ = +
[ ]
k k
k k
k k
k k
k
m y
c c
m x
m x
c m
x m
x I
m x
m x
m y
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
+
1 1
1 1
1 1
1 1
1
jadi, diperoleh
,.... 2
, 1
, 1
1 1
, ,
, 1
1 =
+ =
+ ≠
Ζ ∈
− +
= +
+ −
−
k m
y c
m y
m n
n n
K e
n y
e n
y
k k
k h
n r
h n
r
4.4 Dengan menggunakan induksi matematika akan dibuktikan bahwa 4.4 menunjukkan
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− ≤
∑ ∑
∑ ∑
− =
− +
= −
= −
= 1
1 1
1 1
exp exp
1 exp
n j
n j
n j
n i
h r
h r
j K
h i
r y
n y
l l
l l
Bukti: 1.Basis induksi.
• Untuk
k
n m
≠
Untuk
= n
31
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− ≤
∑ ∑
∑ ∑
− =
− +
= −
= −
= 1
1 1
1 1
exp exp
1 exp
n j
n j
n j
n i
h r
h r
j K
h i
r y
y
l l
l l
exp exp
1 exp
1 1
1 1
1
y y
e y
y h
r h
r j
K h
i r
y y
j j
j i
≤ +
≤ ⎪⎭
⎪ ⎬
⎫ ⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
− ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
≤
∑ ∑
∑ ∑
− =
− +
= −
= −
= l
l
l l
benar Untuk
diperoleh:
1 n
=
1 1 1 1
1 1 1 1
1
1 1
0 exp exp
exp
i j
j j
y y
r i h r
h r
h K j
− −
− −
= =
= + =
⎧ ⎫
⎛ ⎞
⎛ ⎛
⎞ ⎞
⎪ ⎪
≤ −
+ −
− −
⎨ ⎜
⎟ ⎜
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎟⎬ ⎪
⎪ ⎝
⎠ ⎝
⎩ ⎭
∑ ∑
∑ ∑
l l
l l
⎠
{ }
1
1 1
0 exp exp
exp 1
1 0 exp
i j
j j
r h
y y
r i h r
h r
h K j
y y
r h
e e
K
= =
= + =
−
⎧ ⎫
⎛ ⎞
⎛ ⎛
⎞ ⎞
⎪ ⎪
≤ −
+ −
− −
⎨ ⎜
⎟ ⎜
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎟⎬ ⎪
⎪ ⎝
⎠ ⎝
⎩ ⎭
≤ −
+ −
∑ ∑
∑ ∑
l l
l l
⎠
{ }
1 1
1 1
1 1
1
r h
r h
r h
r h
y y
e e
K e
y e
y K
y y
− −
− −
≤ +
− −
≤ +
≤
benar • Untuk
k
n m
=
Untuk
k
m =
1 1
1 1
1
1 0 exp
exp exp
k k
k k
m m
m m
k i
j j
j
y m y
r i h r
h r
h K j
− −
− −
= =
= + =
⎧ ⎫
⎛ ⎞
⎛ ⎛
⎞ ⎞
⎪ ⎪
≤ −
+ −
− −
⎨ ⎜
⎟ ⎜
⎜ ⎟
⎟⎬ ⎪
⎪ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎩ ⎭
∑ ∑
∑ ∑
l l
l l
⎠
1 1
1 1
1
1 0 exp
exp exp
i j
j j
y y
r i h r
h r
h K j
− −
− −
= =
= + =
⎧ ⎫
⎛ ⎞
⎛ ⎛
⎞ ⎞
⎪ ⎪
≤ −
+ −
− −
⎨ ⎜
⎟ ⎜
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎟⎬ ⎪
⎪ ⎝
⎠ ⎝
⎩ ⎭
∑ ∑
∑ ∑
l l
l l
⎠ y
y e
y y
≤ +
≤
benar Untuk
diperoleh:
1
k
m =
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
0 exp exp
exp 1
1 0 exp
exp exp
i j
j j
i j
j j
y y
r i h r
h r
h K j
y y
r i h r
h r
h K j
− −
− −
= =
= + =
= =
= + =
⎧ ⎫
⎛ ⎞
⎛ ⎛
⎞ ⎞
⎪ ⎪
≤ −
+ −
− −
⎨ ⎜
⎟ ⎜
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎟⎬ ⎪
⎪ ⎝
⎠ ⎝
⎩ ⎭
⎠ ⎧
⎫ ⎛
⎞ ⎛
⎛ ⎞
⎞ ⎪
⎪ ≤
− +
− −
− ⎨
⎜ ⎟
⎜ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎟⎬
⎪ ⎪
⎝ ⎠
⎝ ⎩
⎭
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
l l
l l
l l
l l
⎠
{ }
{ }
1 1
0 exp exp 0
exp 1
1
r h
r h
y y
r h
r h
K y
y e
e e
K
− −
≤ −
+ −
− ≤
+ −
32
1 1
r h
r h
e y
e y
K
− −
− ≤
+
benar Catatan: dari 4.4 diperoleh
1 1
r n h r n h
e y n
e y n
K n
− −
− + =
+
Untuk
1 1
r h
r h
e n
y e
y K
− −
− = ⇒
= +
1 1
1 1
1 1
k k
k
y m y m
c m
y y
c + =
+ = ⇒
= +
Karena 1
1
k
r m h
e c
−
≤ +
,
maka 1
r h
y e
y
−
≤ 2. Hipotesis induksi. Anggap benar untuk
p n
= ∗〉 Untuk
k
m n
≠ Artinya, kita anggap
∑ ∑
∑ ∑
− =
− =
− +
= −
=
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− ≤
1 1
1 1
1
exp exp
1 exp
p j
p j
p j
p i
h r
h r
j K
h i
r y
p y
l l
l l
berlaku. ∗〉 Untuk
k
m n
= Artinya, kita anggap
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− ≤
∑ ∑
∑ ∑
− =
− +
= −
= −
= 1
1 1
1 1
exp exp
1 exp
k k
k k
m j
m j
m j
m i
k
h r
h r
j K
h i
r y
m y
l l
l l
berlaku. 3. Langkah induksi. Akan kita tunjukkan bahwa
1
+ = p
n benar berdasarkan hipotesis induksi.
∗〉 Untuk . Akan dibuktikan bahwa:
k
m n
≠ ⎪⎭
⎪ ⎬
⎫ ⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
− ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
≤ +
∑ ∑
∑ ∑
= +
= =
= p
j p
j p
j p
i
h r
h r
j K
h i
r y
p y
l l
l l
exp exp
1 exp
1
1
. Karena menurut hipotesis induksi
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− ≤
∑ ∑
∑ ∑
− =
− +
= −
= −
= 1
1 1
1 1
exp exp
1 exp
p j
p j
p j
p i
h r
h r
j K
h i
r y
p y
l l
l l
. Maka, dari 4.4
p K
e p
y e
p y
h p
r h
p r
− −
− +
= +
1 1
p K
e h
r h
r j
K h
i r
y e
h p
r p
j p
j p
j p
i h
p r
− −
= −
= −
+ =
− =
−
− +
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− ≤
∑ ∑
∑ ∑
1 exp
exp 1
exp
1 1
1 1
1 l
l
l l
berdasarkan hipotesis induksi
p K
e h
r h
r j
K h
i r
y p
K e
h r
h r
j K
e h
i r
y e
h p
r p
j p
j p
j p
i h
p r
p j
p j
p j
h p
r p
i h
p r
− =
+ =
− =
= −
− =
− +
= −
= −
− =
−
− +
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− =
− +
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− =
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
1 exp
exp 1
exp 1
exp exp
1 exp
1 1
1 1
1 1
1
l l
l l
l l
l l
33
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− =
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− =
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
= +
= =
= =
+ =
= +
= −
= =
p j
p j
p j
p i
p p
p p
p j
p j
p j
p i
h r
h r
j K
h i
r y
h r
h r
p K
h r
h r
j K
h i
r y
l l
l l
l l
l l
l l
l l
exp exp
1 exp
exp exp
1 exp
exp 1
exp
1 1
1 1
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− ≤
+ ∴
∑ ∑
∑ ∑
= +
= =
= p
j p
j p
j p
i
h r
h r
j K
h i
r y
p y
l l
l l
exp exp
1 exp
1
1
∗〉 Untuk . Akan dibuktikan bahwa:
1
k
n m
= +
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− ≤
+
∑ ∑
∑ ∑
= +
= =
=
k k
k k
m j
m j
m j
m i
k
h r
h r
j K
h i
r y
m y
l l
l l
exp exp
1 exp
1
1
Karena menurut hipotesis induksi ⎪⎭
⎪ ⎬
⎫ ⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
− ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
≤
∑ ∑
∑ ∑
− =
− +
= −
= −
= 1
1 1
1 1
exp exp
1 exp
k k
k k
m j
m j
m j
m i
k
h r
h r
j K
h i
r y
m y
l l
l l
. Dengan menggunakan pertidaksamaan
c h
m r
k
+ ≤
1 exp
, akan diperoleh
h m
r h
m r
k
k k
e c
c e
c h
m r
−
≤ +
⇔ +
≥ ⇔
+ ≤
1 1
1 1
1 1
exp
maka, dari 4.4
k h
m r
k k
m y
e m
y c
m y
k
−
≤ +
= +
1 1
1
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− ≤
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− =
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− ≤
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
= +
= =
= =
+ =
− =
= −
= −
= −
+ =
− =
−
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k
m j
m j
m j
m i
m j
m j
m j
m i
m j
m j
m j
m i
h m
r
h r
h r
j K
h i
r y
h r
h r
j K
h i
r y
h r
h r
j K
h i
r y
e
l l
l l
l l
l l
l l
l l
exp exp
1 exp
exp exp
1 exp
exp exp
1 exp
1 1
1 1
1 1
1 1
karena
∑ ∑
= −
=
≤
k k
m j
m j
1
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− ≤
+ ∴
∑ ∑
∑ ∑
= +
= =
=
k k
k k
m j
m j
m j
m i
k
h r
h r
j K
h i
r y
m y
l l
l l
exp exp
1 exp
1
1
1
1
1 1
0 exp exp
exp
p p
p p
i j
j j
y p y
r i h r
h r
h K j
= =
= + =
⎧ ⎫
⎛ ⎞
⎛ ⎛
⎞ ⎞
⎪ ⎪
+ ≤ −
+ −
− −
⎨ ⎜
⎟ ⎜
⎜ ⎟
⎟⎬ ⎪
⎪ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎩ ⎭
∑ ∑
∑ ∑
l l
l l
⎠ .
1 1
1 1
1
1 1
exp exp
exp
n n
n n
i j
j j
n p
y n r i h
r h
r h
K j
− −
− −
= =
= + =
⎧ ⎫
⎛ ⎞
⎛ ⎛
⎞ ⎞
⎪ ⎪
= + ⇒ ≤
− +
− −
− ⎨
⎜ ⎟
⎜ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎟⎬
⎪ ⎪
⎝ ⎠
⎝ ⎩
⎭
∑ ∑
∑ ∑
l l
l l
⎠ 2
1
1 1
0 exp exp
exp
k k
k k
m m
m m
k i
j j
j
y m y
r i h r
h r
h K j
= =
= + =
⎧ ⎫
⎛ ⎞
⎛ ⎛
⎞ ⎞
⎪ ⎪
+ ≤ −
+ −
− −
⎨ ⎜
⎟ ⎜
⎜ ⎟
⎟⎬ ⎪
⎪ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎩ ⎭
∑ ∑
∑ ∑
l l
l l
⎠ .
1 1
1 1
1
1 1
exp exp
exp
n n
n n
k i
j j
j
n m
y n r i h
r h
r h
K j
− −
− −
= =
= + =
⎧ ⎫
⎛ ⎞
⎛ ⎛
⎞ ⎞
⎪ ⎪
= + ⇒
≤ −
+ −
− −
⎨ ⎜
⎟ ⎜
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎟⎬ ⎪
⎪ ⎝
⎠ ⎝
⎩ ⎭
∑ ∑
∑ ∑
l l
l
⎠
l
Berdasarkan 1 dan 2, maka terbukti.
34
Dengan mengganti variabel penjumlahan pada , akan diperoleh ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
− −
− +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− ≤
∑ ∑
∑
− =
= −
− −
=
1 1
1 1
exp 1
exp
m n
m h
m n
r n
i
h n
r m
n K
e h
i r
y n
y
l
l
Ketika untuk semua
, kita dapat mensubstitusikan
n y
+
Ζ ∈
n
+
Ζ ∈
=
, 1
n n
y n
x
maka diperoleh
∑ ∑
∑
= −
= −
− −
=
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− −
− −
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
≤
n m
m h
m n
r n
i
h n
r m
n K
e h
i r
x n
x
1 1
1 1
exp 1
exp 1
1
l
l
4.7
∴
Terbukti
Bukti Teorema 2
Ketika positif, kita dapat menggunakan
n x
+
Ζ ∈
= ,
1 n
n x
n y
dan dari teorema 1 diperoleh
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− −
− −
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
≤
∑ ∑
∑
− =
= −
− −
= 1
1 1
1
exp 1
exp
j n
j h
j n
r n
i
h n
r j
n K
e h
i r
y n
y
l
l
maka
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− −
− −
−
∑ ∑
− =
∞ =
− −
1 1
1
exp 1
j j
h j
n r
h n
r j
n K
e n
y
l
l ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
− −
− −
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− −
− −
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
≤
∑ ∑
∑ ∑
∑
− =
∞ =
− −
− =
= −
− −
= 1
1 1
1 1
1 1
exp 1
exp 1
exp
j j
h j
n r
j n
j h
j n
r n
i
h n
r j
n K
e h
n r
j n
K e
h i
r y
l l
l l
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− −
− −
− ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
=
∑ ∑
∑
− =
∞ +
= −
− −
= 1
1 1
1
exp 1
exp
j n
j h
j n
r n
i
h n
r j
n K
e h
i r
y
l
l ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
− −
− −
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− ≤
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− −
− −
− ∴
∑ ∑
∑ ∑
∑
− =
∞ +
= −
− −
= −
= ∞
= −
− 1
1 1
1 1
1 1
exp 1
exp exp
1
j n
j h
j n
r n
i j
j h
j n
r
h n
r j
n K
e h
i r
y h
n r
j n
K e
n y
l l
l l
dan oleh karena itu
1 1
1 1
1 1
1
1 1
exp 0 exp
exp
r n j h r n j h
j j
n j
i j n
e e
y n r n
h y
r i h r n
h K n
j K n
j
− −
− −
− −
∞ −
∞ =
= =
= + =
⎛ ⎞
⎛ −
− ⎛
⎞ −
− −
≤ −
+ −
⎜ ⎟
⎜ ⎜
⎟ −
− ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
∑ ∑
∑ ∑
∑
l l
l l
⎞ −
⎟ ⎠
4.9 Kita pilih suatu bilangan
ε yang memenuhi
L
ε . Dari asumsi 4.8 yang berarti bahwa
untuk setiap ε
terdapat suatu bilangan bulat positif
N N
ε
=
sehingga,
1
1 ,
n i
r i L
n N
n
ε
− =
⎧ ⎫
− ≥
⎨ ⎬
⎩ ⎭
∑
1 1
1 1
1
n i
n i
n i
n i
L r i
L n
n L r i
n L n L
h h
r i n L
h n L
h r i h
n L h
ε ε
ε ε
ε ε
ε ε
− =
− =
− =
− =
⎧ ⎫
− +
⎨ ⎬
⎩ ⎭
− +
− +
− +
∑ ∑
∑ ∑
4.10
Dengan mensubstitusi 4.10 ke 4.9 , maka untuk kita peroleh
n N
≥
35
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1 exp
1 0 exp
exp 1
0 exp 1
exp
r n j h j
j r n j h
j n
i j n
j n
r n j h i
j n
e y n
r n h
K n j
e y
r i h r n
h K n
j y
r i h e
r n K
− −
− ∞
= =
− −
− −
∞ =
= + =
− −
∞ −
− =
= + =
∗
⎛ ⎞
− −
− −
⎜ ⎟
− ⎝
⎠ ⎛
⎞ −
⎛ ⎞
≤ −
+ −
− ⎜
⎟ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎛ ⎞
− +
− −
− ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎝
⎠
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
l l
l
l l
l h
1 1
1 1
1
1 0 exp
exp exp
1 0 exp
exp 1
exp
j j
j n j n
y n L
h r n
h r n
K y
n L h
j L
h j L
h K
ε ε
ε
− ∞
= + =
= ∗
∞ = +
∗
⎛ ⎞
⎛ =
− −
+ −
− −
− −
⎜ ⎟
⎜ ⎝
⎠ ⎝
− −
+ − −
− −
− −
h
ε
⎞ ⎟
⎠ ⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎣
⎦ ⎣
∑ ∑
∑ ∑
l l
l l
⎦
1 1
1 1
n L h
j L
h j L
h j n
n L h
n L h
y e
e e
K y
e e
K
ε ε
ε ε
∞ −
− − −
− −
− = +
∗ −
− −
− ∗
= +
− =
+
∑
ε
1 1
1
1 1
exp
r n j h j
n L h
n L h
j
e y n
r n h
y e
e K n
j K
ε ε
− −
− ∞
− −
− −
= =
∗
⎛ ⎞
− ∴
− −
− ≤
+ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
∑ ∑
l
l
Dari :
1 1
1 lim
0 0 0
L h
L h
n L h
n L h
L h
L h
n
e e
y e
e y
e y
y K
K K
e
ε ε
ε ε
ε ε
−∞ − ∞ −
− −
− −
−∞ − ∞ −
→∞ ∗
∗ ∗
+ =
+ =
+ =
+
=
Karena
1
n L h
n L h
y e
e K
ε ε
− −
− −
∗
+ →
ketika , maka
n → ∞
1 1
1
1 exp
r n j h j
j
e y n
r n h
K n j
− −
− ∞
= =
⎛ ⎞
− −
− −
⎜ ⎟
− ⎝
⎠
∑ ∑
l
l →
ketika .
n → ∞
Kita misalkan
1 1
1
1 exp
,
r n j h j
j
e y
n r n
h K n
j
− −
− ∞
∗ =
=
⎛ ⎞
− =
− ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
∑ ∑
l
l −
maka
y n y
n
∗
− →
ketika dan
n → ∞
y n
∗
untuk semua
. n
∈ Ζ
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa
y n
∗
∞
. Dari asumsi 4.8, untuk setiap
ε terdapat suatu bilangan bulat positif
N N
ε
=
, sehingga
1 1
1 ,
1
m j
m j
r n j
L m
N m
L r n
j L
m ε
ε ε
= =
⎧ ⎫
− −
≥ ⎨
⎬ ⎩
⎭ ⎧
⎫ −
− +
⎨ ⎬
⎩ ⎭
∑ ∑
1 1
1 m
j m
j m
j
m L r n
j m L
m L h
h r n
j m L
h m L
h r n
j h m L
h ε
ε ε
ε ε
ε
= =
=
− −
+ −
− +
− −
+
∑ ∑
∑
4.11
36
Selanjutnya, kita perhatikan deret
1 1
1
exp .
j j
r n h
− ∞
= =
⎛ ⎞
− −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑
l
l Apabila kita uraikan deret ini, maka diperoleh
1 1
1 1
1 1
1 1
1
exp exp
exp .
j j
j N
j j
j N
r n h
r n h
r n h
− −
− ∞
∞ =
= =
= = +
=
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
− −
= −
− +
− −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
l l
l
l l
l Kita catat disini bahwa
adalah bilangan bulat positif dan hingga dan barisan pertama pada persamaan diatas adalah terbatas dan tak negatif untuk semua
N .
n ∈ Ζ Maka terdapat suatu bilangan
real positif hingga
A
yang memenuhi
1 1
1
exp
j N
j
r n h
A
− =
=
⎛ ⎞
− −
≤ ⎜
⎝ ⎠
∑ ∑
l
l ⎟
untuk semua .
Selanjutnya, kita lihat deret berikutnya yaitu
n
∈ Ζ
1 1
1 1
1 1 2 1
1 2
2 3
exp exp
1 ....
... 0 1
...
j j N
j N N
L h
N h
L h
N L h
N L
h N
L h
N L h
L h
L h
L h
r n h
j L
h e
e e
e e
e e
e e
e
ε ε
ε ε
ε ε
ε ε
ε
ε
− ∞
∞ = +
= = +
− + −
− −
+ − −∞ −
− −
− +
− −
+ −
− −
− − −
− −
−
⎛ ⎞
− −
− − −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= +
+ +
= +
+ + +
⎡ ⎤
= +
+ +
+ ⎣
⎦
∑ ∑
∑
l
l
→ 0
Maka,
1 1
1
exp .
j N L
h j N
r n h
e
ε
− ∞
− −
= + =
⎛ ⎞
− −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑
l
l Oleh karena itu,
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1 exp
1 1
exp exp
1 1
exp exp
r n j h j
j r n j h
r n j h j
j N
j j N
j j
N j
j N
e y
n r n
h K n
j e
e r n
h r n
h K n
j K n
j r n
h r n
h K
K
− −
− ∞
∗ =
= −
− −
− −
− ∞
= =
= + =
− −
= =
= + =
∗ ∗
⎛ ⎞
− =
− −
⎜ ⎟
− ⎝
⎠ ⎛
⎞ ⎛
− −
= −
− +
− ⎜
⎟ ⎜
− −
⎝ ⎠
⎝ ⎧
⎫ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎪
⎪ −
− +
− −
⎨ ⎬
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎪ ⎪
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎩ ⎭
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
l l
l l
l
l l
l l
l
∞
⎧ ⎫
⎪ ⎪
⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎩ ⎭
∑
⎞ −
⎟ ⎠
{ }
{ }
{ }
1 1
1
N L h
N L h
A e
K K
A e K
ε ε
− −
∗ ∗
− −
∗
≤ +
= +
{ }
1 .
N L h
y n
A e K
ε
− −
∗ ∗
∴ ≤
+
Dengan menggunakan sisi kanan pada 4.11 dan syarat
sup ,
n
K n
∈Ζ
∞
kita peroleh bahwa Jika
untuk semua dan
lim inf 0.
n
y n
∗ →∞
y n
n
y n y
n
∗
− →
ketika , kita
peroleh bahwa dan
n → ∞
lim inf
n
y n
→∞
sup .
n
y n
∈Ζ
∞
Maka
x n
memenuhi
1 1
lim lim
0.
n n
x n x
n y n
y n
∗ ∗
→∞ →∞
⎛ ⎞
− =
− =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Jadi, terbukti bahwa solusinya adalah stabil asimtotik.
37
38
ANALISIS KESTABILAN MODEL PERTUMBUHAN KONTINU DAN MODEL PERTUMBUHAN
DISKRET
Oleh: SITI MUSLIAH
G54101011
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
2007
1
ABSTRAK
SITI MUSLIAH . Analisis Kestabilan Model Pertumbuhan Kontinu dan Model Pertumbuhan
Diskret. Dibimbing oleh ANNIS D. RAKSANAGARA dan ALI KUSNANTO.
Laju perubahan suatu populasi dapat dipengaruhi oleh empat hal yaitu tingkat kelahiran, tingkat kematian, imigrasi dan emigrasi. Laju perubahan suatu populasi dapat dimodelkan ke
dalam suatu persamaan diferensial yang dapat memprediksikan pertumbuhan suatu populasi secara eksponensial. Terbatasnya sumber-sumber seperti ruang dan makanan dan juga adanya jumlah
populasi yang terlalu padat menyebabkan populasi dibatasi oleh suatu daya dukung lingkungan sehingga pertumbuhan populasi lambat laun akan menurun dan akhirnya akan berhenti jika daya
dukung lingkungan tercapai.
Berdasarkan waktu, model pertumbuhan populasi dapat dibagi menjadi model pertumbuhan kontinu dan model pertumbuhan diskret. Model yang dibahas dalam karya ilmiah ini adalah model
pertumbuhan kontinu yang disebut sebagai persamaan logistik. Pada model ini, jika populasi awalnya sama dengan nol dan populasi awalnya sama dengan daya dukung lingkungannya yaitu
batas atas ukuran populasi yang dapat didukung oleh sumber daya yang tersedia, maka populasi akan tetap konstan. Jika populasi awalnya kurang dari daya dukung lingkungan, maka populasi
akan meningkat menuju daya dukung lingkungan. Dan jika populasi awalnya lebih dari daya dukung lingkungan, maka populasi akan semakin menurun dan menuju daya dukung lingkungan.
Ada 2 titik tetap yang diperoleh pada model ini yaitu titik tetap tidak stabil yaitu pada saat jumlah populasi sama dengan nol dan titik tetap yang stabil yaitu pada saat jumlah populasi sama
dengan daya dukung lingkungan. Selain itu, diperoleh juga solusi yang stabil. Salah satu bentuk variasi dari persamaan logistik yaitu persamaan logistik tak otonom. Pada
model ini tingkat pertumbuhan populasi dan daya dukung lingkungannya tergantung pada waktu. Hal ini bisa disebabkan oleh adanya pengaruh tahunan yang mempengaruhi laju pertumbuhan
populasi. Salah satunya yaitu disebabkan oleh pengaruh musim. Oleh karena itu, populasi mengalami fluktuasi.
Pada kehidupan nyata, banyak fenomena perubahan populasi yang terjadi secara diskret. Fenomena ini dapat dimodelkan ke dalam persamaan beda. Salah satu model yang dibahas yaitu
bentuk analog diskret dari model pertumbuhan eksponensial kontinu. Model ini merupakan model perubahan populasi yang dihitung secara tahunan.
Solusi yang telah diperoleh dengan metode pendekatan pada persamaan logistik tak otonom dan pada model pertumbuhan diskret merupakan solusi yang stabil asimtotik.
2
ABSTRACT
SITI MUSLIAH . Stability Analysis of Continuous Growth Model and Discrete Growth Model.
Under the direction of ANNIS D. RAKSANAGARA and ALI KUSNANTO.
Population change rate is influenced by birth rate, death rate, imigration and emigration. It can be modeled into a differential equation which predicts that population grow exponentially. Limited
sources such as space and food, also dense number of population have caused population been limited by a carrying capacity of environment. So population growth gradually decrease and
finally stop if the carrying capacity has been reached.
Based on time, models of population growth are divided into continuous growth model and discrete growth model. In this paper, the continuous growth model known as logistic equation will
be discussed. In this model, if the initial population equal to zero or has the same value with its carrying capacity of environment that is, upper bound of population growth supported by an
available resources, so the population will be constant. If the initial population less than carrying capacity, then population will increase to the carrying capacity of environment. And if the initial
population exceeds the carrying capacity, so the population will reduce to the carrying capacity.
There are two fixed points captured in this model, those are unstable fixed point when the number of population is equal to zero and stable fixed point when the number of population is
equal to the carrying capacity of environment. The model also reached a stable solution. Non autonomous logistic equation is one of the logistic equation form. In this model, the
population growth rate and carrying capacity of environment depend on time. This is caused by the annual influence to the population growth rate, such as seasonal influence. Therefore, the
population become fluctuative. In the real life, there are so many phenomenon of population change that happened
discretically. This phenomenon can be modeled into a difference equation. One which is discussed is a discrete analogue form of continuous exponential growth model. This is the population change
model counted annually. Solution that has been reached by an approximation method to the non autonomous logistic
equation and discrete growth model is an asymptotic stable solution.
3
I. PENDAHULUAN
