K lingkungan
yang dipengaruhi oleh sumber-sumber penyokong yang tersedia.
Jika sumber makanan yang tersedia berlimpah maka populasi akan meningkat.
Jika hal ini berlangsung terus, maka populasi yang terlalu besar akan menyebabkan
terjadinya persaingan antar spesies untuk mendapatkan makanan yang sama. Sehingga
lama kelamaan makanan yang tersedia akan menurun dan menyebabkan jumlah populasi
menurun. Hal ini bisa mengakibatkan jumlah kematian akan meningkat. Dan jika tingkat
produktivitasnya menurun, maka lambat laun pertumbuhan populasi akan lambat bahkan
berhenti.
Jika jumlah populasi
x
lebih besar dari daya dukung lingkungan
maka tingkat pertumbuhan populasi akan menurun dan
populasi menuju ke arah daya dukung lingkungan
, K
. K
Dan jika jumlah populasi
x
lebih kecil dari maka tingkat pertumbuhan
populasi akan meningkat dan populasi menuju ke arah daya dukung lingkungan
, K
. K
Model 3.2 merupakan bentuk variasi dari persamaan logistik 3.1. Pada model
3.1, tingkat pertumbuhan intrinsik dan daya dukung lingkungan merupakan konstanta
positif. Sedangkan pada model 3.2, dan
r
K merupakan suatu fungsi dari waktu. Sehingga, model 3.2 ini dinamakan
persamaan logistik tak otonom, karena
r
dan K tergantung pada waktu.
Adanya perbedaan musim yang terjadi pada suatu wilayah atau tempat bisa menjadi
salah satu sebab adanya perbedaan tingkat pertumbuhan dan daya dukung lingkungan
menurut waktu tertentu. Misalnya saja pada musim kemarau suatu spesies tertentu
mengalami kekurangan makanan dan air disebabkan kekeringan. Hal ini bisa
menyebabkan angka kematian spesies tersebut menjadi tinggi karena ketergantungan spesies
tersebut pada sumber makanan dan air. Tentu saja kondisi ini akan berbeda ketika berada
pada musim-musim yang lain. Dimana angka kematian dan angka kelahiran bisa berubah-
ubah sesuai dengan musim tertentu. Dan juga perbedaan musim ini bisa menyebabkan daya
dukung lingkungannya berbeda-beda juga. Sehingga menyebabkan populasi tersebut
mengalami fluktuasi.
Banyak populasi binatang yang mengalami fluktuasi secara musiman dengan
penurunan populasi pada musim dingin, titik rendah pada musim semi, kenaikan pada
musim panas dan titik yang tinggi pada musim gugur. Misalnya saja populasi burung puyuh
di California, Lophortyc californicus yang mengalami penurunan pada musim dingin dan
musim semi dan kenaikan yang tiba-tiba pada bulan Juni ketika anak-anaknya muncul.
Sladen and Bang, 1969.
Model 3.1 dan 3.2 menggambarkan laju perubahan populasi suatu spesies tanpa
adanya pemanenan. Artinya, tidak ada pengaruh dari luar seperti perburuan,
pemancingan, dll yang mempengaruhi laju perubahan populasi tersebut.
Model 3.3 menggambarkan fenomena perubahan populasi yang terjadi secara
diskret. Ada beberapa spesies hewan yang biasanya mengalami proses kelahiran dan
masa kawin setiap satu tahun sekali, sehingga ukuran populasi hewan tersebut dihitung
setiap satu tahun sekali. Oleh karena itu, model ini merupakan model yang sesuai untuk
memprediksikan fenomena perubahan populasi yang dihitung secara tahunan.
4.1 Pencarian Solusi
A. Mencari Solusi Persamaan 3.1 Solusi dari sistem 3.1 adalah sebagai
berikut:
1
rt rt
Kx e x t
K x e
= +
−
. [Uraian lebih lengkap dapat dilihat di
lampiran 1]. B. Mencari Solusi Persamaan 3.2
Persamaan 3.2 merupakan persamaan logistik tak otonom yang berarti fungsi dan
r
K tergantung pada waktu. Model 3.2 merupakan salah satu model yang sulit
diselesaikan secara eksplisit. Oleh karena itu, untuk mendapatkan solusi dari sistem 3.2
diperlukan adanya suatu metode yaitu dengan menggunakan metode perkiraan. Solusi yang
akan diperoleh dari persamaan ini yaitu dalam bentuk diskret.
Model 3.2 merupakan tipe-Bernoulli dan persamaan ini dapat diselesaikan jika
dan
r
K adalah kontinu sepotong-sepotong piecewise continuous pada
yang setiap bagiannya merupakan fungsi konstan.
Hallam and Levin, 1986. Berdasarkan definisi kontinu sepotong-sepotong Rice and
Strange, 1994, maka kita dapat membagi interval
[
0, R
+
= ∞
[
0, ∞ ke dalam sejumlah hingga
subinterval terbuka
c t
d
, sehingga fungsi dan fungsi
r
K kontinu pada tiap subinterval dan fungsi dan
r
K mempunyai limit hingga
15
ketika mendekati tiap-tiap titik ujung dari interval tersebut, sehingga
t dan
lim
t c
r t
+
→
lim
t d
r t
−
→
ada. lim
t c
K t
+
→
dan lim
t d
K t
−
→
ada. Untuk mencari solusi sistem 3.2, fungsi
dan fungsi
r
K didekati dengan fungsi bilangan bulat terbesar, yang merupakan fungsi
kontinu sepotong-sepotong. Sehingga t pada fungsi dan
r
K kita ganti menjadi t
h
,
dengan yang menunjukkan ukuran
langkah.
h
Persamaan 3.2 menjadi
,
, 1
, ,
k
t r
h x t h
dx t
x t r
h dt
h t
K h
h t
nh n h
n n
h
τ
+
⎛ ⎛
⎞ ⎜
⎜ ⎟
⎛ ⎞
⎝ ⎠
⎜ ⎟
= −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎛ ⎞
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
∈ +
∈ Ζ ≠
⎡⎣
⎞
⎟
4.1 t
h
merupakan bilangan bulat terbesar yang
kurang dari atau sama dengan
t h
. Artinya, 1
1 . t
t n
n n
h h
nh t
n h
= ↔ ≤ + ≤
+
Jadi,
berada pada interval t
, 1
nh n h
+ ⎡⎣
dengan
.
n
+
∈ Ζ
Jika kita uraikan, maka diperoleh beberapa subinterval:
0 ; 0 1 ;
2 2 ; 2
3 .
3 ;3 4
t h
h t
h t
n h
t h
h t
h ≤
⎧ ⎪
≤ ⎪⎪
= = ≤
⎨ ⎪
≤ ⎪
⎪⎩
M
h
Lemma. Fungsi
dan
r
K yang didefinisikan
seperti diatas adalah fungsi yang kontinu sepotong-sepotong.
Bukti: Untuk membuktikan bahwa dengan
menggunakan fungsi bilangan bulat terbesar pada fungsi dan
r
K , akan kita dapatkan fungsi
dan
r
K yang kontinu sepotong- sepotong, maka pertama kali yang harus kita
buktikan adalah dan
r
K kontinu pada tiap subinterval terbuka diatas.
1 Untuk interval
t h
≤ .
0. lim
. 0.
lim .
0.
t t
h
t r
h r
h r
h t
r h
r h
r h
t r
h r
h r
h
+ −
→ →
⎛ ⎞
= =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
lim .
lim .
0 .
t t
h
t r
h r
h t
r h
r h
+ −
→ →
⎛ ⎞
∴ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= ⎜
⎟ ⎝
⎠
2 Untuk interval
2 h
t h
≤ .
1. t
r h
r h
r h
⎛ ⎞
= =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
h
2
lim .
1. lim
. 1.
t h
t h
t r
h r
h r h
h t
r h
r h
r h
+ −
→ →
⎛ ⎞
= =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
h
2
lim .
lim .
.
t h
t h
t r
h r h
h t
r h
r h h
+ −
→ →
⎛ ⎞
∴ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= ⎜
⎟ ⎝
⎠
dan seterusnya untuk interval-interval berikutnya. Begitu pula pada fungsi K , kita
buktikan bahwa fungsi K kontinu pada tiap subinterval.
1 Untuk interval
t h
≤ .
0. lim
. 0.
lim .
0. 0 .
t t
h
t K
h K
h K
h t
K h
K h
K h
t K
h K
h K
h
+ −
→ →
⎛ ⎞
= =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 Untuk interval
2 h
t h
≤
2
. 1.
lim .
1. lim
. 1.
,
t h
t h
t K
h K
h K h
h t
K h
K h
K h h
t K
h K
h K h
h
+ −
→ →
⎛ ⎞
= =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan seterusnya untuk interval-interval berikutnya. Jadi, terbukti bahwa fungsi dan
fungsi
r
K kontinu pada tiap-tiap subinterval.
16
Selanjutnya, kita buktikan bahwa lim
t c
r t
+
→
dan lim
t d
r t
−
→
ada. lim
t c
K t
+
→
dan lim
t d
K t
−
→
ada. 1
Untuk interval
t h
≤ lim
lim
t t
h
t r
h r
h t
r h
r h
+ −
→ →
⎛ ⎞
= ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎛
⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
lim lim
0 .
t t
h
t K
h K
h t
K h
K h
+ −
→ →
⎛ ⎞
= ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎛
⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 Untuk interval
2 h
t h
≤ lim
1.
t h
t r
h r
h r
h
+
→
⎛ ⎞
= =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
h
2
lim 1.
t h
t r
h r
h r h
h
−
→
⎛ ⎞
= =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
lim lim
,
t h
t h
t K
h K h
h t
K h
K h h
+ −
→ →
⎛ ⎞
= ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎛
⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan seterusnya untuk interval–interval berikutnya dapat kita buktikan bahwa nilai
limit kiri dan limit kanannya ada.
Karena t
n h
=
,
maka dari persamaan 4.1 diperoleh
. r nh x t
dx x t
r nh dt
K nh ⎡
⎤ =
− ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎣
⎦ Untuk menyederhanakan penulisan, maka kita
tulis:
2
, ,
1 r n
dx r n x t
x t
t nh n
h dt
K n =
− ∈
+ ⎡⎣
. 4.2
dengan, r n
r nh =
dan .
K n K nh
= Sehingga solusi dari persamaan 3.22 adalah
sebagai berikut: 1
1 1
r n h r n h
e x n
x n x n
e K n
+ = ⎡
⎤ −
⎣ ⎦ +
.
4.3 [Uraian lebih lengkap dapat dilihat di
lampiran 2]. C. Mencari Solusi Persamaan 3.3
Begitu pula untuk persamaan 3.3, kita pilih fungsi
x
adalah fungsi bilangan bulat terbesar, sehingga
k
τ pada fungsi
x
kita ganti menjadi
, 1, 2,..
k k
m k
h
τ
= =
.
k
h
τ
merupakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan
.
k
h
τ Artinya,
1 1 .
k k
k k
k k
k k
m m
m h
h hm
m h
τ τ
τ =
⇔ ≤
+ ≤
+
Jadi,
k
τ berada pada interval
, 1
k k
hm m
h +
⎡⎣ ,
dengan
.
k
m
+
∈ Ζ
Jika kita uraikan, maka diperoleh
1 ; 2
2 ; 2 3
3 ;3 4
k k
k k
k
h h
h h
m h
h h
τ τ
τ τ
≤ ⎧
⎪ ≤
⎪ =
= ⎨ ≤
⎪ ⎪⎩
M
Dari persamaan 3.3
, ,
1, 2,... 1
.
k k
k k
k k
x t I
x t t
k x
x I
x
τ τ
τ τ
∆ =
= =
+ − =
sehingga diperoleh,
1 ,
1,2,..
k k
k k
x h
x h
I x h k
h h
h
τ τ
τ
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
+ =
+ =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
.
4.4 Karena
k k
m h
τ
=
, maka
1 .
k k
k k
x m
h x m h
I x m h
+ =
+
Dinotasikan
k k
x m x m h
= , sehingga solusi
dari sistem 3.3 adalah sebagai berikut:
1
k k
k
x m x m
I x m
+ = +
k
. 4.5
4
.
2 Penentuan titik tetap
Titik tetap pada persamaan 3.1 dapat diperoleh dengan menentukan persamaan
dx dt
=
, sehingga dari persamaan 3.1 diperoleh:
1 x
rx K
⎛ ⎞
− =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
17
rx =
atau
1 x
K −
= x
=
atau
x K
=
4.6 Berdasarkan persamaan 4.6 maka
diperoleh 2 titik tetap untuk persamaan 3.1 yaitu
atau x
∗
= x
K
∗
= .
4.3 Analisis Kestabilan
