2.10 Metode Iterasi Jacobi
Metode iterasi Jacobi merupakan salah satu bidang analisis numerik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linier dan sering
Dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu. Metode iterasi Jacobi merupakan salah satu metode tak langsung, yang bermula dari suatu hampiran penyelesaian awal
dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran dalam tak berhingga namun langkah konvergen. Metode iterasi Jacobi ini digunakan untuk menyelesaikan
persamaan linier yang proporsi koefisien nol nya besar. Metode ini ditemukan olek matematikawan yang berasal dari Jerman, Carl Gustav
Jakob Jacobi. Penemuan ini diperkirakan pada tahun 1800-an. Iterasi dapat diartikan sebagai suatu proses atau metode yang digunakan secara
berulang-ulang pengulangan dalam menyelesaikan suatu permasalahan matematika.
Jika diubah dari persamaan linier, maka akan menjadi : =
Kemudian diketahui bahwa A = D + L + U, dimana D merupakan matriks diagonal, L merupakan matriks segitiga bawah, dan U merupakan matriks segitiga
atas. Lalu persamaan tersebut diubah menjadi + + =
= [
+ ] Jika ditulis dalam aturan iteratif, maka metode iterasi Jacobi dapat ditulis sebagai
berikut : =
+ 2.5
Dimana k merupakan banyaknya iterasi. Jika x
k
menyatakan hampiran ke –k
penyelesaian SPL, maka x adalah hampiran awal.
= , = 1,2, , ; = 1,2,3, ,
Suatu matriks A berukuran n x n dikatakan dominan secara diagonal apabila : |a
ii
| |a
i,1
| + ...+|a
i,i-1
| + |a
i,i+1
| + ...+ |a
i,n
| untuk i = 1, 2, ... , n.
Berikut adalah gambaran bagaimana menggunakan metode iterasi Jacobi dengan sebuah contoh. Misalkan ingin menyelesaikan SPL :
10x
1
− x
2
+ 2x
3
= 6 P1
-x
1
+ 11x
2
– x
3
+ 3x
4
= 25 P2
2x
1
– x
2
+ 10 x
3
– x
4
= -11 P3
3x
2
– x
3
+ 8x
4
= 15 P4
Jawab : Nyatakan terlebih dahulu setiap variabel dalam ketiga variabel yang lain :
1. Nyatakan x
1
dari persamaan P1 dalam x
2
, x
3
, dan x
4
. 2.
Nyatakan x
2
dari persamaan P2 dalam x
1
, x
3
, dan x
4
. 3.
Nyatakan x
3
dari persamaan P3 dalam x
1
, x
2
, dan x
4
. 4.
Nyatakan x
4
dari persamaan P4 dalam x
1
, x
2
, dan x
3
. Hasilnya adalah SPL :
= +
P5 =
+ +
P6 =
+ +
P7 =
+ +
P8 2.6
Nyatakan bahwa nilai x
1
, x
2
, x
3
, dan x
4
yang berada di ruas kiri = baca : sama dengan sebagai x
baru
. Sementara nilai x
1
, x
2
, x
3
, dan x
4
yang berada di ruas kanan tanda = baca : sama dengan sebagai x
lama
. Sehingga sistem persamaan tersebut dapat ditulis seperti :
= +
= +
+ =
+ +
= +
+ yang secara umum dapat diformulasikan sebagai persamaan matrik berikut ini :
= +
dimana
= 1
10 2
10 1
11 1
11 3
11 2
10 1
10 3
8 1
10 1
8 +
6 10
25 11
11 10
15 8
atau dapat pula di tulis : =
+ dimana k = 1, 2, 3, ..., n. Sehingga persamaan matriks dapat dinyatakan sebagai :
= +
2.7
2.8
2.9
Kategori