Nyatakan bahwa nilai x
1
, x
2
, x
3
, dan x
4
yang berada di ruas kiri = baca : sama dengan sebagai x
baru
. Sementara nilai x
1
, x
2
, x
3
, dan x
4
yang berada di ruas kanan tanda = baca : sama dengan sebagai x
lama
. Sehingga sistem persamaan tersebut dapat ditulis seperti :
= +
= +
+ =
+ +
= +
+ yang secara umum dapat diformulasikan sebagai persamaan matrik berikut ini :
= +
dimana
= 1
10 2
10 1
11 1
11 3
11 2
10 1
10 3
8 1
10 1
8 +
6 10
25 11
11 10
15 8
atau dapat pula di tulis : =
+ dimana k = 1, 2, 3, ..., n. Sehingga persamaan matriks dapat dinyatakan sebagai :
= +
2.7
2.8
2.9
Pada persamaan 2.9, indeks k menunjukan jumlah perhitungan iterasi. Pada k = 1, dapat ditulis persamaan linier sebagai berikut :
= +
= +
+ =
+ +
= +
+ Jika diberikan nilai-nilai awal x
adalah x
1
= 0, x
2
= 0, x
3
= 0, dan x
4
= 0, atau dinyatakan sebagai hampiran awal x
= 0;0;0;0
T
, maka hampiran pertama pada penyelesaian tersebut adalah :
= 6
10 = 0.6
= 25
11 = 2.2727
= 11
10 = 1.1
= 15
8 = 1.8750
Atau x
1
= [0.6000;2.2727;-1.1000;1.8750]
T
. Setelah nilai x
1
diperoleh, perhitungan tersebut diulang kembali untuk mendapatkan hasil iterasi kedua, yaitu
ketika k = 2. Caranya adalah dengan memasukan nilai-nilai x
1
= 0.6000;2.2727;-1.1000;1.8750
T
ke suku-suku pada ruas kanan tanda sama dengan,
= +
= +
+ =
+ +
= +
+ Maka nilai-nilai x
2
yang didapat adalah x
2
= 1.0473; 1.7159; -0.8052; 0.8852
T
. Setelah diperoleh nilai-nilai x
2
, perhitungan tersebut diulang kembali agar mendapatkan iterasi ketiga, dimana
nilai k = 3. Caranya adalah dengan memasukan nilai-nilai x
2
= 1.0473; 1.7159; -0.8052; 0.8852
T
ke ruas kanan kembali, =
+ =
+ +
= +
+ =
+ +
Maka diperoleh nilai-nilai x
3
= 0.9326; 2.0530; -1.0493; 1.1309
T
. Lalu proses perhitungan diulangi lagi dengan k = 4. Begitulah seterusnya. Proses ini diulangi
berkali-kali untuk nilai-nilai k berikutnya. Proses yang berulang ini disebut proses iterasi.
Sampai dengan x
3
di atas, telah dilakukan tiga kali proses iterasi. Proses iterasi akan terus berlanjut sampai x
baru
mendekati solusi yang tepat, yaitu : x = 1; 2; -1; 1
T
dengan kata lain, proses iterasi harus dihentikan bila x
baru
sudah mendekati solusi. Berikut adalah hasil proses iterasi dengan menggunakan MATLAB
R2014a.
n x
1
x
2
x
3
x
4
Waktu s err
1 0.6000
2.2727 -1.1000
1.8750 0.0011
3.2017 2
1.0473 1.7159
-0.8052 0.8852
1.6287e-04 1.2556
3 0.9326
2.0533 -1.0493
1.1309 8.9244e-05
0.4969
4 1.0152
1.9537 -0.9681
0.9738 1.0308e-04
0.2191 5
0.9890 2.0114
-1.0103 1.0214
8.3443e-05 0.0897
6 1.0032
1.9922 -0.9945
0.9944 1.2762e-04
0.0393 7
0.9981 2.0023
-1.0020 1.0036
1.3476e-04 0.0163
8 1.0006
1.9987 -0.9990
0.9989 8.4782e-05
0.0071 9
0.9997 2.0004
-1.0004 1.0006
8.3443e-05 0.0030
10 1.0001
1.9998 -0.9998
0.9998 1.1780e-04
0.0013
Tabel 1. Hasil Iterasi Jacobi. Setelah iterasi ke-10 diperoleh hampiran penyelesaian
x = 1.0001; 1.9998; -0.9998; 0.9998
T
bandingkan dengan penyelesaian eksaknya, yakni x = 1; 2; -1; 1
T
Sahid, 2007.
2.11 Metode Iterasi Gauss-Seidel
Metode Gauss-Seidel digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier SPL berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar, seperti sistem-sistem
yang banyak ditemukan dalam sistem persamaan diferensial. Teknik iterasi jarang digunakan untuk menyelesaikan SPL berukuran kecil karena metode-metode
langsung seperti metode eliminasi Gauss lebih efisien daripada metode iteratif. Akan tetapi, untuk SPL berukuran besar dengan persentase elemen nol pada
matriks koefisien besar, teknik iterasi lebih efisien daripada metode langsung dalam hal penggunaan memori komputer maupun waktu komputasi. Dengan
metode iterasi Gauss-Seidel hampiran pembulatan dapat diperkecil karena dapat meneruskan iterasi sampai solusinya seteliti mungkin sesuai dengan batas
hampiran yang diperbolehkan. Pada metode iterasi Gauss-Seidel, nilai-nilai yang paling akhir dihitung digunakan
di dalam semua perhitungan. Jelasnya, di dalam iterasi Jacobi, menghitung
= ,
, , ,
, , sedangkan pada iterasi Gauss-Seidel menghitung
= ,
, , ,
, , .
rumus untuk hampiran ke-k pada metode iterasi Gauss-Seidel adalah sebagai berikut :
= dengan syarat a
ii
≠ 0 dan k = 1, 2, ... Metode iterasi Gauss-Seidel dapat dinyatakan dalam bentuk matriks. Nyatakan
matriks koefisien A sebagai A = D + L + U,
dengan L dan U berturut-turut adalah matriks segitiga bawah dan atas dengan diagonal nol dan D matriks diagonal. Rumus iterasi Gauss-Seidel dapat ditulis
dalam bentuk :
X
k
= D-1b-LX
k
-UX
k-1
D + LX
k
= b – UX
k-1
X
k
= D + L
-1
b-UX
k-1
, yang menghasilkan
X
k
= - D + L
-1
UX
k-1
+ D + L
-1
b .
Metode iterasi Gauss-Seidel hampir sama dengan metode iterasi Jacobi. Perbedaannya hanya terletak pada penggunaan nilai elemen vektor x
baru
yang langsung digunakan pada persamaan di bawahnya. Untuk lebih jelasnya,
perhatikan sistem persamaan linier berikut, yang diturunkan dari contoh terdahulu =
+ 2.10
2.11
2.12
2.13 2.14
2.15
2.16
= +
+ =
+ +
= +
+ Pada baris pertama, x
1 baru
dihitung berdasarkan x
2 lama
dan x
3 lama
. Kemudian x1baru tersebut langsung dipakai pada baris kedua untuk menghitung x
2 baru
. Selanjutnya x
1 baru
dan x
2 baru
digunakan pada baris ketiga untuk mendapatkan x
3 baru
. Begitu seterusnya hingga x
4 baru
pun diperoleh pada baris keempat. Sistem persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam indeks k seperti di bawah ini dimana k adalah
jumlah iterasi. =
+ =
+ +
= +
+ =
+ +
Jika diberikan nilai-nilai awal x adalah x
1
= 0, x
2
= 0, x
3
= 0, dan x
4
= 0, atau dinyatakan sebagai hampiran awal x
= 0;0;0;0
T
, maka pada k = 1 akan memperoleh hampiran pertama sebagai berikut :
= 0.6000 = 2.3272
= 0.9873 = 0.8789
Lalu proses perhitungan diulangi lagi dengan k = 2. Begitu seterusnya proses ini diulang-ulang lagi untuk nilai-nilai k berikutnya sampai x
k
mendekati solusi yang sesungguhnya, yaitu
x = 1; 2; -1; 1
T
Berikut adalah hasil proses iterasi dengan menggunakan MATLAB R2014a :
n x
1
x
2
x
3
x
4
Waktu s err
1 0.6000
2.3273 -0.9873
0.8789 0.0011
2.7429 2
1.0302 2.0369
-1.0145 0.9843
0.0023 0.5303
3 1.0066
2.0036 -1.0025
0.9984 0.0033
0.0448 4
1.0009 2.0003
-1.0003 0.9998
0.0042 0.0071
5 1.0001
2.0000 -1.0000
1.0000 0.0052
8.7436e-04
Tabel 2 Hasil Iterasi Gauss-Seidel Setelah iterasi ke-5 diperoleh hampiran penyelesaian
x = 1.0001; 2.0000; -1.0000; 1.0000
T
bandingkan dengan penyelesaian eksaknya, yakni x = 1; 2; -1; 1
T
Sahid, 2007.
2.12 Stasioner
Suatu iterasi matriks
X
k
= M
k
X
k-1
+ C
k
b
dikatakan stasioner jika Mk dan Ck tidak tergantung pada k, sehingga iterasinya dapat ditulis dalam bentuk :
X
k
= MX
k-1
+ Cb
Jelas bahwa metode iterasi Gauss-Seidel bersifat stasioner dengan M = - D +L
-1
U dan C = D + L
-1
Sahid, 2007. 2.17
2.18
