Lalu proses perhitungan diulangi lagi dengan k = 2. Begitu seterusnya proses ini diulang-ulang lagi untuk nilai-nilai k berikutnya sampai x
k
mendekati solusi yang sesungguhnya, yaitu
x = 1; 2; -1; 1
T
Berikut adalah hasil proses iterasi dengan menggunakan MATLAB R2014a :
n x
1
x
2
x
3
x
4
Waktu s err
1 0.6000
2.3273 -0.9873
0.8789 0.0011
2.7429 2
1.0302 2.0369
-1.0145 0.9843
0.0023 0.5303
3 1.0066
2.0036 -1.0025
0.9984 0.0033
0.0448 4
1.0009 2.0003
-1.0003 0.9998
0.0042 0.0071
5 1.0001
2.0000 -1.0000
1.0000 0.0052
8.7436e-04
Tabel 2 Hasil Iterasi Gauss-Seidel Setelah iterasi ke-5 diperoleh hampiran penyelesaian
x = 1.0001; 2.0000; -1.0000; 1.0000
T
bandingkan dengan penyelesaian eksaknya, yakni x = 1; 2; -1; 1
T
Sahid, 2007.
2.12 Stasioner
Suatu iterasi matriks
X
k
= M
k
X
k-1
+ C
k
b
dikatakan stasioner jika Mk dan Ck tidak tergantung pada k, sehingga iterasinya dapat ditulis dalam bentuk :
X
k
= MX
k-1
+ Cb
Jelas bahwa metode iterasi Gauss-Seidel bersifat stasioner dengan M = - D +L
-1
U dan C = D + L
-1
Sahid, 2007. 2.17
2.18
2.13 Kekonvergenan Iterasi Matriks Penyelesaian SPL AX = b merupakan titik tetap iterasi matriks 2.17 ini artinya,
X = A
-1
b dapat digunakan untuk mengganti masukan maupun keluaran pada persamaan 2.17, yakni :
X = A
-1
b = M
k
A
-1
b + C
k
b = M
k
X + C
k
b .
Dari kesamaan ini didapatkan M
k
X = X – C
k
b .
Dimisalkan e
k
adalah galat hampiran ke-k. e
k
= X – X
k
dengan menggunakan 2.17 dan 2.20 diperoleh : e
k
= X – M
k
X
k-1
+ C
k
b
= M
k
X – M
k
X
k-1
= M
k
X – X
k-1
= M
k
e
k-1
.
= M
k
M
k-1
... M
1
e ,
dengan e adalah galat hampiran awal. Untuk iterasi matriks stasioner termasuk
iterasi Gauss-Seidel matriks galat hampiran ke-k adalah e
k
= M
k
e .
Dengan menggunakan sifat norm, didapat : |e
k
| ≤ || M
k
|.|e ||.
Iterasi matriks 2.17 dikatakan konvergen jika lim
= . Dari pertidaksamaan terakhir jelas bahwa hal ini akan dipenuhi jika ||M|| 1 Sahid,
2005. 2.19
2.20
2.21
2.22
2.23
2.14 M-File Sebagai Skrip Program
Penulisan skrip rumus iterasi menggunakan M-File, deretan command dapat disimpan dalam bentuk skrip teks. Kapan pun dibutuhkan, skrips tersebut dapat
dijalankan secara otomatis dengan cara mengetikan rumus output M-File dalam command window.
Untuk menuliskan skrip rumus iterasi, dapat dimulai dengan membuka file baru. Caranya ialah melalui menu di main window dengan mengklik ikon new script
yang terdapat pada jendela utama.
Gambar 1. Tampilan Awal MATLAB R2014a. Dengan editor ini, dapat membuka sejumlah M-File, melakukan editing, ataupun
mencoba menjalankannya dan melakukan debuging mencari kesalahan dalam skrip. Sementara itu untuk menyimpan M-File, dapat dilakukan dengan mengklik
ikon save workspace pada menu. Teks yang diawali dengan “
” menunjukan komentar dan tidak akan dijalankan oleh MATLAB R2014a. Perhatikan bahwa :
• Di dalam M-File, setiap command diakhiri dengan titik koma agar hasil
perhitungan di tiap baris tidak ditampilkan di command window. Kecuali pada hasil perhitungan yang ingin ditampilkan, tidak diakhiri titik koma.
• Variabel yang didefinisikan di dalam M-File akan disimpan oleh MATLAB
R2014a ketika M-File telah dieksekusi atau dijalankan. Di dalam editor, skrip yang dituliskan akan memiliki warna tertentu, yaitu :
• Hijau untuk komentar.
• Hitam untuk variabel dan comand.
• Biru untuk statement pemrograman.
Sebagai skrip program, jika ingin mengubah atau mengatur parameter masukan program, maka harus dilakukan di dalam editor.
2.15 Variabel-Variabel yang Digunakan
Abs = menghitung nilai absolut.
Break = keluar dari suatu loop.
Clc = membersihkan tampilan command window.
Clear = membersihkan variabel.
Eps = bilangan yang sangat kecil mendekati nol yang merupakan batas
akurasi perhitungan. Length
= untuk mengetahui ukuran atau dimensi dari matriks. Load
= mengeluarkan kembali pekerjaan dari dalam file. N
= berisi bilangan asli yaitu {0, 1, 2, ...}. Norm
= fungsi distribusi normal gaussian. Operasi :
= sampai dengan.
