2.17 Definisi Galat
Misalkan adalah suatu nilai hampiran numerik untuk nilai numerik eksak x,
yang tidak diketahui. Nilai =
disebut galat, | | disebut galat mutlak, dan nilai
=
| |
asalkan x ≠ 0 disebut galat relatif. Oleh karena nilai x biasanya tidak diketahui, dalam perhitungan, penyebut pada galat relatif sering menggunakan nilai
hampiran, yakni :
| |
. dengan kata lain,
Nilai eksak = nilai hampiran + galat, dan
= .
Nilai-nilai dan
yang sudah diketahui, dan memenuhi | |
dan | |
, Disebut berturut-turut batas galat mutlak dan batas galat relatif, dan jika x ≠ 0,
hubungan keduanya didefinisikan sebagai : Sahid, 2007. =
| |
.
2.18 Konsep Norm dan Bilangan Kondisi Suatu Matriks
Dimulai dengan memisalkan adalah hampiran penyelesaian atau hasil
perhitungan SPL AX = b dan x adalah penyelesaian eksaknya.
2.24
2.25
2.26
2.27
Galat hampiran adalah
=
Selanjutnya definisikan =
Besaran ini disebut residu di dalam penghampiran b oleh . Jelaslah apabila
= , maka r = 0. Oleh karena =
= =
= , maka diperoleh hubungan
= . Jadi galat
memenuhi suatu SPL dengan matriks koefisien A, dan vektor residu, r sebagai vektor konstanta Sahid, 2007.
2.19 Ukuran Besar Vektor dan Matriks
Ukuran besar panjang suatu vektor x
n x 1
ditulis dengan notasi |x|, dan matriks A
n x n
ditulis dengan ||A|| didefinisikan sebagai | | =
| |, =
.
Teorema.
Jika A matriks nonsingular, maka penyelesaian-penyelesaian Ax = b dan =
memenuhi
‖ ‖
| |
≤ ‖ ‖ . ‖ ‖
| |
. Bukti :
Dengan mengurangkan kedua SPL Ax = b dan =
diperoleh : − =
− 2.28
2.29
− =
− .
Dengan menggunakan sifat norm, dipenuhi hubungan : | − | ≤
− ≤ ‖
‖ . −
. Pembagian dengan |x| menghasilkan
‖ −
‖ | |
≤ ‖
‖ −
| | = ‖ ‖ ‖
‖ −
‖ ‖ | | .
Mengingat ||A|| ≠ 0. Dari persamaan Ax = b diperoleh ||A||.|x| ≥ |b|, sehingga dengan memasukan pertidaksamaan ini ke dalam pertidaksamaan sebelumnya
akan diperoleh hasil pada teorema di atas.
Hasil dari 2.28 memberikan hubungan antara galat relatif hampiran .
Dari rumus tersebut terlihat bahwa, apabila nilai ||A||.||A
-1
|| sangat besar, maka galat relatif hampiran
menjadi sangat besar dari galat relatif .
Bilangan = ‖ ‖ × ‖
‖
Disebut bilangan kondisi matriks A. Jika nilai kondisi matriks A sangat besar,
penyelesaian SPL Ax = b sangat sensitif terhadap perubahan kecil pada vektor b. Dengan kata lain, residu yang relatif kecil menghasilkan galat hampiran
yang
relatif besar. Sistem demikian dikatakan dalam kondisi sakit ill-conditioned.
Sistem yang memiliki matriks koefisien dengan bilangan kondisi kecil dikatakan
dalam kondisi baik well-conditioned Sahid, 2007.
2.30
Kategori