24
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
X Y
O y
= fx a
b c
3. Tentukan luas daerah yang diarsir pada soal nomor 2.
4. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva di bawah ini.
a. y
= 6 – 3x, sumbu X, garis x = –3, dan garis x = 1 b.
y = 8 – 2x, sumbu X, garis x = –4, dan garis x = –1
c. y
= x
2
, sumbu X, dan garis x = 3 d.
y = x
2
+ 2, sumbu X, garis x = 1, dan garis x = 4 e.
y = x
2
– 4x + 3, sumbu X, garis x = 4, dan garis x = 5 5.
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh sumbu X dengan kurva-kurva berikut. a.
y = –3x – x
2
d. y
= 2 + x – x
2
b. y
= 6 – 3x
2
e. y
= –x
2
+ 6x – 8 c.
y = 2 – x
2
f. y
= 1 – xx – 3
2. Luas Daerah Gabungan: Di Atas dan di Bawah Sumbu X
Untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f
x, sumbu X, garis x = a, dan x = b seperti pada Gambar 1.9
dilakukan dengan analisis sebagai berikut. Untuk c x
b nilai fx 0 sehingga
-
= b
c x
x f
× x 6
0. Hal ini berarti
b c
dx x
f .
Pada interval a x c, f
x bernilai negatif atau fx 0 sehingga
6 ×
-
=
x x
f
c a
x
.
Hal itu berarti dx
x f
c a
. Adapun pada titik c, fx bernilai nol atau fc = 0.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = fx, sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, seperti
pada Gambar 1.10 adalah sebagai berikut.
Gambar 1.9
Gambar 1.10
a c
x 6
x 6
b f
x f
x y
= fx Y
X O
Luas = Luas daerah di bawah sumbu X + Luas daerah di atas sumbu X
Kita telah mengetahui bahwa
c a
dx x
f bernilai negatif,
sedangkan luas suatu daerah tidak mungkin bernilai negatif. Untuk itu,
c a
dx x
f perlu diubah tandanya sehingga nilainya
menjadi positif. Hal itu dilakukan dengan cara membalik batas integralnya atau membubuhkan tanda negatif dari bentuk inte-
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Luas daerah yang
dibatasi oleh kurva y = 3x
2
– 2, garis x = 2, garis x = 4, dan sumbu
X adalah .... a. 60 satuan luas
b. 52 satuan luas c. 44 satuan luas
d. 6 satuan luas e. 2 satuan luas
Soal UN SMK, 2004
Di unduh dari : Bukupaket.com
25
Integral
gral semula sehingga diperoleh
a c
dx x
f atau –
c a
dx x
f .
Dengan demikian, luas daerah yang dimaksud adalah L
= +
c a
b c
dx x
f dx
x f
atau L = +
a c
b c
dx x
f dx
x f
Contoh: Tentukan luas daerah yang diarsir pada Gambar 1.11 de-
ngan menggunakan integral.
Penyelesaian:
Karena L
2
terletak di bawah sumbu X bernilai negatif, L
2
diberi tanda negatif agar menjadi positif. Oleh karena itu, luas daerah yang dicari adalah sebagai berikut.
Luas = L
1
+ –L
2
= L
1
– L
2
L =
+
1 2
4 5
dx x
x –
+
4 1
2
4 5
dx x
x
Y
X O
1 2
3 4
5 6
1 2
3 4
5
-1 -2
-3 y
= x
2
– 5x + 4
L
2
L
1
Gambar 1.11
= +
+ +
1 1
4 2
2
4 5
4 5
dx x
x dx
x x
=
1 4
2 3
1 2
3
4 2
5 3
1 4
2 5
3 1
µ
³
+ +
µ
³
+ x
x x
x x
x
= 1
3 1
5 2
1 4 1
3 2
+
³
µ
[ ]
µ
³
+ µ
³
+
+ 4
4 4
2 5
4 3
1 1
4 1
2 5
1 3
1
3 2
3
= µ
³
+
µ
³
+ +
µ
³
+ 16
2 80
3 64
4 2
5 3
1 4
2 5
3 1
=
11 6
11 6
16 6
38 6
6 1
3 +
£ ¤
¥ ¦
= =
Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah 6
1 3
satuan luas.
Misalkan diberikan suatu fungsi f, pada interval a x
c maka fx dan pada interval c x
d maka fx 0. Apa yang terjadi jika kalian menggunakan rumus
f x dx
a d
untuk mencari luas antara kurva dan sumbu X? Mengapa demikian? Langkah apa yang kalian ambil?
Berpikir Kritis
Diskusi
Di unduh dari : Bukupaket.com
26
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
1. Tentukan luas daerah yang diarsir berikut.
Y
X O
1 2
3 4
5 1
2 3
4
-1 -2
-3 y
= x
2
– 3x
-1 Y
X O
1 2
3 4
5 1
2 3
4
-1 -2
-3 y
= x
-1 -2
-3 1
2
Gambar 1.12
a b
Untuk soal nomor 2 – 8, tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut dan sumbu X pada interval yang diberikan.
2. y
= x
2
– 7x + 10; [0, 2] 3.
y = x
2
– 25; [–5, 5] 4.
y = x
2
– 5x; [0, 5] 5.
y = x
2
x – 1; [0, 1] 6.
y = xx + 1x – 2; [–1, 2]
7. y
= xx
2
+ x – 6; [–3, 2] 8.
y = x
3
– 9x; [–1, 1] 9.
Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = x
2
, sumbu X, garis x = 2, dan garis x
= 4. 10. Gambarlah kurva y = x
2
– 8x + 15, kemudian tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut, garis x = 1, garis x = 7, dan sumbu X.
O A
B E
F C
D
a b
X Y
L y
1
= fx
y
2
= gx
3. Luas Daerah yang Dibatasi Dua Kurva
